प्रश्नावली 2(L)
प्रश्न 1
उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए :
(i) (x+4)(x+10)
(ii) (x+8)(x-10)
(iii) (3x+4)(3x-5)
(iv) $\left(y^{2}+\frac{3}{2}\right)\left(y^{2}-\frac{3}{2}\right)$
(v) (3-2x)(3+2x)
हल :
(i) सर्वसमिका $(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b) x+a b$ के प्रयोग से,
$\begin{aligned}(x+4)(x+10) &=x^{2}+(4+10) x+4 \times 10 \\&=x^{2}+14 x+40\end{aligned}$
(ii) सर्वसमिका $(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b) x+a b$ के प्रयोग से,
$\begin{aligned}(x+8)(x-10) &=x^{2}+(8-10) x+8 \times(-10) \\&=x^{2}-2 x-80\end{aligned}$
(iii) $\begin{aligned}(3 x+4)(3 x-5) &=3 x(3 x-5)+4(3 x-5) \\ &=3 x \times 3 x-3 x \times 5+4 \times 3 x-4 \times 5 \\ &=9 x^{2}-15 x+12 x-20 \\ &=9 x^{2}-3 x-20 \end{aligned}$
(iv$\left(y^{2}+\frac{3}{2}\right)\left(y^{2}-\frac{3}{2}\right)=\left(y^{2}\right)^{2}-\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$ [सर्वसमिका $(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}$ के प्रयोग से]
$=y^{4}-\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=y^{4}-\frac{9}{4}$
(v) सर्वसमिका $(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}$ - के प्रयोग से
$(3-2 x)(3+2 x)=(3)^{2}-(2 x)^{2}=9-4 x^{2}$
प्रश्न 2
सीधे गुणा किये बिना निम्नलिखित गुणनफंकों के मान ज्ञात कीजिए :
(i) 103×107
(ii) 95×96
(iii) 104×96
हल :
(i) $\begin{aligned} 103 \times 107 &=(100+3)(100+7) \\ &=100 \times 100+100 \times 7+3 \times 100+3 \times 7 \\ &=10000+700+300+21 \\ &=11021 \end{aligned}$
(ii)
$\begin{aligned}95 \times 96 &=(100-5)(100-4) \\&=(100)^{2}+(-5-4) 100+(-5) \times(-4) \\&=10000-900+20=9120\end{aligned}$
(iii)
$\begin{aligned}104 \times 96 &=(100+4)(100-4) \\&=100(100-4)+4(100-4) \\&=100 \times 100-100 \times 4+4 \times 100-4 \times 4 \\&=10000-400+400-16 \\&=9984 .\end{aligned}$
प्रश्न 3
गुणनखण्ड कीजिए :
(i) $10 x^{4} y-10 x y^{4}$
(ii) $x^{3} y^{3}+1$
(iii) $8 x^{3} y^{3}+27 a^{3}$
(iv) $a^{12}+b^{12}$
हल :
(i)
$\begin{aligned} 10 x^{4} y-10 x y^{4} &=10 x y\left(x^{3}-y^{3}\right) \\ &=10 x y(x-y)\left(x^{2}+x y+y^{2}\right) \end{aligned}$
(ii)
$\begin{aligned} x^{3} y^{3}+1 &=(x y)^{3}+(1)^{3} \\ &=(x y+1)\left(x^{2} y^{2}-x y+1\right) \end{aligned}$
(iii)
$\begin{aligned} 8 x^{3} y^{3}+27 a^{3} &=(2 x y)^{3}+(3 a)^{3} \\ &=(2 x y+3 a)\left[(2 x y)^{2}-2 x y \times 3 a+(3 a)^{2}\right] \\ &=(2 x y+3 a)\left(4 x^{2} y^{2}-6 x y a+9 a^{2}\right) \end{aligned}$
(iv)
$\begin{aligned} a^{12}+b^{12} &=\left(a^{4}\right)^{3}+\left(b^{4}\right)^{3} \\ &=\left(a^{4}+b^{4}\right)\left[\left(a^{4}\right)^{2}-a^{4} b^{4}+\left(b^{4}\right)^{2}\right] \\ &=\left(a^{4}+b^{4}\right)\left(a^{8}-a^{4} b^{4}+b^{8}\right) \end{aligned}$
प्रश्न 4
उपर्युक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए :
(i) $(x+2 y+4 z)^{2}$
(ii) $(2 x-y+z)^{2}$
(iii) $(-2 x+3 y+2 z)^{2}$
(iv) $(3 a-7 b-c)^{2}$
(v) $(-2 x+5 y-3 z)^{2}$
(vi) $\left(\frac{1}{4} a-\frac{b}{2}+1\right)^{2}$
हल :
(i) सर्वसमिका $(x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x y+2 y z+2 z x$ के प्रयोग से
$\begin{aligned}(x+2 y+4 z)^{2} &=(x)^{2}+(2 y)^{2}+(4 z)^{2}+2(x)(2 y)+2(2 y)(4 z)+2(x)(4 z) \\&=x^{2}+4 y^{2}+16 z^{2}+4 x y+16 y z+8 x z\end{aligned}$
(ii) $(2 x-y+z)^{2}=(2 x)^{2}+(-y)^{2}+(z)^{2}+2(2 x)(-y)+2(-y)(z)+2(z)(2 x)$
$=4 x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x y-2 y z+4 z x$
(iii) $(-2 x+3 y+2 z)^{2}=(-2 x)^{2}+(3 y)^{2}+(2 z)^{2}+2(-2 x)(3 y)+2(3 y)(2 z)+2(-2 x)(2 z)$ $\begin{array}{ll}=4 x^{2}+9 y^{2}+4 z^{2}-12 x y+12 y z-8 x z \end{array}$
उत्तर
(iv) $(3 a-7 b-c)^{2}=(3 a)^{2}+(-7 b)^{2}+(-c)^{2}+2(3 a)(-7 b)$$+2(-7 b)(-c)+2(-c)(3 a)$
$=9 a^{2}+49 b^{2}+c^{2}-42 a b+14 b c-6 c a$
(v) $(-2 x+5 y-3 z)^{2}=(-2 x)^{2}+(5 y)^{2}+(-3 z)^{2}+2(-2 x)(5 y)+2(5 y)(-3 z)+2(-3 z)(-2 x)$
$=4 x^{2}+25 y^{2}+9 z^{2}-20 x y-30 y z+12 z x$
(vi)
$\begin{aligned}\left(\frac{1}{4} a-\frac{b}{2}+1\right)^{2} &=\left(\frac{1}{4} a\right)^{2}+\left(-\frac{1}{2}b\right)^{2}+(1)^{2}+2\left(\frac{1}{4} a\right)\left(-\frac{1}{2} b\right)+2\left(-\frac{1}{2} b\right(1)+2(1)\left(\frac{1}{4} a\right) \\&=\frac{1}{16} a^{2}+\frac{1}{4} b^{2}+1-\frac{1}{4} a b-b+\frac{1}{2}a \end{aligned}$
प्रश्न 5
गुणनखण्ड कीजिए :
(i) $4 x^{2}+9 y^{2}+16 z^{2}+12 x y-24 y z-16 x z$
(ii) $2 x^{2}+y^{2}+8 z^{2}-2 \sqrt{2} x y+4 \sqrt{2} y z-8 x z$
हल :
(i)
$\begin{aligned} 4 x^{2}+9 y^{2}+16 z^{2}+12 x y-24 y z-16 x z \\ &=(2 x)^{2}+(3 y)^{2}+(-4 z)^{2}+2(2 x)(3 y)+2(3 y)(-4 z)+2(-4 z)(2 x) \\ &=(2 x+3 y-4 z)^{2} \end{aligned}$
(ii)
$\begin{aligned} 2 x^{2}+y^{2}+8 z^{2}-2 \sqrt{2} x y+4 \sqrt{2} y z-8 x z \\ &=(-\sqrt{2} x)^{2}+(y)^{2}+(2 \sqrt{2} z)^{2}+2(-\sqrt{2} x)(y)+2(y)(2 \sqrt{2} z)+2(2 \sqrt{2} z)(-\sqrt{2} x) \\ &=(-\sqrt{2} x+y+2 \sqrt{2} z)^{2} . \end{aligned}$
प्रश्न 6
निम्नलिखित व्यंजकों के गुणनखण्ड कीजिए :
(i) $8 a^{3}-b^{3}-4 a x+2 b x$
(ii) $x^{3}-12 x(x-4)-64$
हल :
(i)
$\begin{aligned}8 a^{3}-b^{3}-4 a x+2 b x &=(2 a)^{3}-(b)^{3}-2 x[2 a-b] \\&=(2 a-b)\left(4 a^{2}+2 a b+b^{2}\right)-2 x(2 a-b) \\&=(2 a-b)\left(4 a^{2}+2 a b+b^{2}-2 x\right)\end{aligned}$
(ii)
$\begin{aligned}x^{3}-12 x(x-4)-64 &=x^{3}-64-12 x(x-4) \\&=(x)^{3}-(4)^{3}-3 \times x \times 4(x-4) \\&=(x-4)^{3}\end{aligned}$
या (x-4)(x-4)(x-4)
प्रश्न 7
निम्नलिखित घनों को प्रसारित रूप में लिखिए :
(i) $(2 x+1)^{3}$
(ii) $(2 a-3 b)^{3}$
(iii) $\left(\frac{3}{2} x+1\right)^{3}$
(iv) $\left(x-\frac{2}{3} y^{3}\right.$
हल :
(i)
$\begin{aligned}(2 x+1)^{3} &=(2 x)^{3}+(1)^{3}+3(2 x)(1)(2 x+1) \\&=8 x^{3}+1+6 x(2 x+1) \\&=8 x^{3}+1+6 x \times 2 x+6 x \times 1 \\&=8 x^{3}+1+12 x^{2}+6 x \\&=8 x^{3}+12 x^{2}+6 x+1\end{aligned}$
(ii)
$\begin{aligned}(2 a-3 b)^{3} &=(2 a)^{3}-3(2 a)^{2}(3 b)+3(2 a)(3 b)^{2}-(3 b)^{3} \\&=8 a^{3}-36 a^{2} b+54 a b^{2}-27 b^{3}\end{aligned}$
(iii)
$\begin{aligned}\left(\frac{3}{2} x+1\right)^{3} &=\left(\frac{3}{2} x\right)^{3}+3\left(\frac{3}{2} x\right)^{2}(1)+3\left(\frac{3}{2} x\right)(1)^{2}+(1)^{3} \\ &=\frac{27}{8} x^{3}+\frac{27}{4} x^{2}+\frac{9}{2} x+1 \end{aligned}$
(iv)
$\begin{aligned}\left(x-\frac{2}{3} y\right)^{3} &=(x)^{3}-\left(\frac{2}{3} y\right)^{3}-3 \times x \times \frac{2}{3}y\left(x-\frac{2}{3} y\right) \\&=x^{3}-\frac{8}{27} y^{3}-2 x y\left(x-\frac{2}{3} y\right) \\&=x^{3}-\frac{8}{27} y^{3}-2 x y \times x+2 x y \times \frac{2}{3} y \\&=x^{3}-\frac{8}{27} y^{3}-2 x^{2} y+\frac{4}{3} x y^{2}\end{aligned}$
प्रश्न 8
उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करंके निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए :
(i) $(99)^{3}$
(ii) $(998)^{3}$
(iii) $(102)^{3}$
हल :
(i) $(99)^{3}=(100-1)^{3}$
सर्वसमिका $(a-b)^{3}=a^{3}-b^{3}-3 a b(a-b)$ के अनुसार
अब पद $(a-b)^{3}$ तथा $(100-1)^{3}$ की तुलना करने पर
यहाँ
a=100 तथा b=1
$\begin{aligned}(100-1)^{3} &=(100)^{3}-(1)^{3}-3(100)(1)(100-1)\end{aligned}$
=1000000-1-30000+300
=1000300-30001
=970299
(ii) $(998)^{3}=(100-2)^{3}$
सर्वसमिका $(a-b)^{3}=a^{3}-b^{3}-3 a b(a-b)$ के अनुसार
अब पद $(a-b)^{3}$ तथा $(1000-2)^{3}$ की तुलना करने पर
यहाँ
$\begin{aligned} a &=1000 \text { तथा } b=2 \\(1000-2)^{3} &=(1000)^{3}-(2)^{3}-3(1000)(2)(1000-2) \end{aligned}$
=1000000000-8-6000(1000-2)
=1000000000-8-6000000+12000
=1000012000-6000008=994011992
(iii) $(102)^{3}=(100+2)^{3}$
सर्वसमिका $(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3 a b(a+b)$ के अनुसार
अब पद $(a+b)^{3}$ तथा $(100+2)^{3}$ की तुलना करने पर
यहाँ a=100 तथा b=2
∴$(100+2)^{3}=(100)^{3}+(2)^{3}+3(100)(2)(100+2)$
=1000000+8+600(100+2)
=1000000+8+60000+1200=1061208
प्रश्न 9
सत्यापित कीजिए :
(i) $x^{3}+y^{3}=(x+y)\left(x^{2}-x y+y^{2}\right)$
(ii) $x^{3}-y^{3}=(x-y)\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)$
हल :
(i)
$\begin{aligned} x^{3}+y^{3} &=(x+y)\left(x^{2}-x y+y^{2}\right) \\ \text { R.H.S. } &=(x+y)\left(x^{2}-x y+y^{2}\right) \\ &=x\left(x^{2}-x y+y^{2}\right)+y\left(x^{2}-x y+y^{2}\right) \\ &=x^{3}-x^{2} y+x y^{2}+x^{2} y-x y^{2}+y^{3} \\ &=x^{3}+x^{2} y-x^{2} y-x y^{2}+x y^{2}+y^{3} \\ &=x^{3}+y^{3} \\ &=\text { L.H.S. } \end{aligned}$
(ii)
$\begin{aligned} x^{3}-y^{3} &=(x-y)\left(x^{2}+x y+y^{2}\right) \\ \text { R.H.S. } &=(x-y)\left(x^{2}+x y+y^{2}\right) \\ &=x\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)-y\left(x^{2}+x y+y^{2}\right) \\ &=x^{3}+x^{2} y+x y^{2}-y x^{2}-x y^{2}-y^{3} \\ &=x^{3}+x^{2} y-x^{2} y+x y^{2}-x y^{2}-y^{3} \\ &=x^{3}-y^{3} \\ &=\text { L.H.S. } \end{aligned}$
प्रश्न 10
निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखण्ड कीजिए :
(i) $27 y^{3}+125 z^{3}$
(ii) $64 m^{3}-343 n^{3}$
हल :
(i) $27 y^{3}+125 z^{3}$
सर्वसमिका $a^{3}+b^{3}=(a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)$ के अनुसार
यहाँ a=3y तथा b=5z
अर्थात् $\begin{aligned} 27 y^{3}+125 z^{3} &=(3 y)^{3}+(5 z)^{3} \\ &=(3 y+5 z)\left[(3 y)^{2}-(3 y)(5 z)+(5 z)^{2}\right] \\ &=(3 y+5 z)\left(9 y^{2}-15 y z+25 z^{2}\right) \end{aligned}$
(ii) $64 m^{3}-343 n^{3}$
सर्वसमिका $a^{3}-b^{3}=(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)$ के अनुसार
यहाँ a=4m तथा b=7n
अर्थात् $64 m^{3}-343 n^{3}=(4 m)^{3}-(7 n)^{3}$
$=(4 m-7 n)\left[(4 m)^{2}+(4 m)(7 n)+(7 n)^{2}\right]$
$=(4 m-7 n)\left(16 m^{2}+28 m n+49 n^{2}\right)$
प्रश्न 11
गुणनखण्ड कीजिए : $x^{6}-7 x^{3}-8$
हल :
$\begin{aligned}x^{6}-7 x^{3}-8 &=x^{6}-(8-1) x^{3}-8 \\&=x^{6}-8 x^{3}+x^{3}-8 \\&=x^{3}\left(x^{3}-8\right)+1\left(x^{3}-8\right) \\&=\left(x^{3}-8\right)\left(x^{3}+1\right) \\&=\left[(x)^{3}-(2)^{3}\right]\left[(x)^{3}+(1)^{3}\right] \\&=(x-2)\left(x^{2}+2 x+4\right)(x+1)\left(x^{2}-x+1\right)\end{aligned}$
प्रश्न 12
$a^{7}+a b^{6}$ के गुणनखण्ड कीजिए।
हल :
$\begin{aligned}a^{7}+a b^{6} &=a\left(a^{6}+b^{6}\right) \\&=a\left[\left(a^{2}\right)^{3}+\left(b^{2}\right)^{3}\right] \\&=a\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(a^{4}-a^{2} b^{2}+b^{4}\right)\end{aligned}$
प्रश्न 13
गुणनखण्ड कीजिए :
$27 x^{3}+y^{3}+z^{3}-9 x y z$
हल :
$27 x^{3}+y^{3}+z^{3}-9 x y z$
सर्वसमिका $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c=(a+b+c)\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a\right)$ के अनुसार
यहाँ a=3x, b=y, c=z
$\therefore 27 x^{3}+y^{3}+z^{3}-9 x y z$
$=(3 x)^{3}+(y)^{3}+(z)^{3}-3(3 x)(y)(z)$
$=(3 x+y+z)\left[(3 x)^{2}+(y)^{2}+(z)^{2}-(3 x)(y)-(y)(z)-(3 x)(z)\right]$
$=(3 x+y+z)\left(9 x^{2}+y^{2}+z^{2}-3 x y-y z-3 x z\right)$
प्रश्न 14
सत्यापित कीजिए :
$x^{3}+y^{3}+z^{3}-3 x y z=\frac{1}{2}(x+y+z)\left[(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}\right]$
हल :
$x^{3}+y^{3}+z^{3}-3 x y z=\frac{1}{2}(x+y+z)\left[(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}\right]$
R.H.S. $=\frac{1}{2}(x+y+z)\left[(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}\right]$
$=\frac{1}{2}(x+y+z)\left[x^{2}+y^{2}-2 x y+y^{2}+z^{2}-2 y z+z^{2}+x^{2}-2 x z\right]$
$=\frac{1}{2}(x+y+z)\left[2 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}-2 x y-2 y z-2 z x\right]$
$=\frac{1}{2}(x+y+z) \cdot 2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y-y z-z x\right)$
$=(x+y+z)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y-y z-z x\right) .$
$=x\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y-y z-z x\right)+y\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y-y z-z x\right)$
$+z\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y-y z-z x\right)$
$=x^{3}+x y^{2}+x z^{2}-x^{2} y-x y z-z x^{2}+x^{2} y+y^{3}+y z^{2}-x y^{2}$$-y^{2} z-x y z+z x^{2}+z y^{2}+z^{3}-x y z-y z^{2}-z^{2} x$
$\begin{aligned}=x^{3}+\left(x y^{2}-x y^{2}\right)+\left(x z^{2}-x z^{2}\right)+\left(-x^{2} y+y x^{2}\right)+&\left(z x^{2}-x^{2} z\right) \\ &+\left(y z^{2}-y z^{2}\right)+\left(z y^{2}-y^{2} z\right)+y^{3}+z^{3}-3 x y z \end{aligned}$
$=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3 x y z$
=L.H.S.
प्रश्न 15
वास्तव में घनों का परिकलन किए बिना निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए :
(i) $(-12)^{3}+(7)^{3}+(5)^{3}$
(ii) $(28)^{3}+(-15)^{3}+(-13)^{3}$
हल :
(i) $(-12)^{3}+(7)^{3}+(5)^{3}$
माना कि a=-12, b=7 तथा c=5
सर्वसमिका के अनुसार यदि a+b+c=0
तब
$\begin{aligned} a^{3}+b^{3}+c^{3} &=3 a b c \\-a+b+c &=-12+7+5=0 \\(-12)^{3}+(7)^{3}+(5)^{3} &=3(-12)(7)(5) \\ &=-1260 \end{aligned}$
(ii) $(28)^{3}+(-15)^{3}+(-13)^{3}$
माना कि a=28, b=-15 तथा c=-13
तब $a^{3}+b^{3}+c^{3} \cdot=3 a b c$
∴a+b+c=28-15-13=0
∴ $(28)^{3}+(-15)^{3}+(-13)^{3}$
=3(28)(-15)(-13)
=16380
प्रश्न 16
नीचे दिए गए आयतों, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए हैं, में से प्रत्येक की लम्बाई और चौड़ाई के लिए संभव व्यंजक दीजिए :
(i) क्षेत्रफल : $25 a^{2}-35 a+12$
(ii) क्षेत्रफल : $35 y^{2}+13 y-12$
हल :
(i) क्षेत्रफल : $25 a^{2}-35 a+12$
अर्थात्
लम्बाई ×चौड़ाई
$\begin{aligned}&=25 a^{2}-35 a+12 \\ &=25 a^{2}-15 a-20 a+12 \\ &=5 a(5 a-3)-4(5 a-3) \\ &=(5 a-4) \cdot(5 a-3)\end{aligned}$
∴(i) यदि लम्बाई (5a-4) तो चौड़ाई (5a-3) होगी।
(ii) यदि लम्बाई (5a-3) तो चौड़ाई (5a-4) होगी।
(ii) प्रश्नानुसार क्षेत्रफल : $35 y^{2}+13 y-12$
अर्थात् लम्बाई × चौड़ाई
$\begin{aligned}&=35 y^{2}+13 y-12 \\ &=35 y^{2}+28 y-15 y-12 \\ &=7 y(5 y+4)-3(5 y+4) \\ &=(5 y+4)(7 y-3) \end{aligned}$
∴ (i) यदि लम्बाई (5y+4) तो चौड़ाई (7y-3) होगी।
(ii) यदि लम्बाई (7y-3) तो चौड़ाई (5y+4) होगी।
प्रश्न 17
सरल कीजिए : $\frac{155 \times 155 \times 155-55 \times 55 \times 55}{155 \times 155+155 \times 55+55 \times 55}$.
हल :
$\frac{155 \times 155 \times 155-55 \times 55 \times 55}{155 \times 155+155 \times 55+55 \times 55}$
$=\frac{(155)^{3}-(55)^{3}}{(155)^{2}+155 \times 55+(55)^{2}}$
$=\frac{(155-55)\left[(155)^{2}+155 \times 55+(55)^{2}\right]}{(155)^{2}+155 \times 55+(55)^{2}}$
$=155-55=100$
प्रश्न 18
गुणनखण्ड कीजिए : $(2 a+1)^{3}+(a-1)^{3}$.
हल :
$\begin{aligned}(2 a+1)^{3}+(a-1)^{3} &=(2 a+1+a-1)\left[(2 a+1)^{2}-(2 a+1)(a-1)+(a-1)^{2}\right] \\ &=3 a\left[4 a^{2}+1+4 a-2 a^{2}-a+2 a+1+a^{2}+1-2 a\right] \end{aligned}$
$=3 a\left(3 a^{2}+3 a+3\right)$
प्रश्न 19
यदि x+y=-4, तब $x^{3}+y^{3}-12 x y+64$ का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
x+y=-4
$\begin{aligned} \Rightarrow & &(x+y)^{3} &=(-4)^{3} \\ \Rightarrow & & x^{3}+y^{3}+3 x y(x+y) &=-64 \\ \Rightarrow & & x^{3}+y^{3}+3 x y(-4) &=-64 \\ \Rightarrow & & x^{3}+y^{3}-12 x y+64 &=0 . \end{aligned}$
प्रश्न 20
निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखण्ड कीजिए-
(i) $8 a^{3}+b^{3}+12 a^{2} b+6 a b^{2}$
(ii) $8 a^{3}-b^{3}-12 a^{2} b+6 a b^{2}$
(iii) $27-125 a^{3}-135 a+225 a^{2}$
(iv) $64 a^{3}-27 b^{3}-144 a^{2} b+108 a b^{2}$
(iv) $27 p^{3}-\frac{1}{216}-\frac{9}{2} p^{2}+\frac{1}{4} p$
हल :
(i) $8 a^{3}+b^{3}+12 a^{2} b+6 a b^{2}$
[सर्वसमिका $x^{3}+y^{3}+3 x y(x+y)=(x+y)^{3}$ के अनुसार]
यहाँ
x=2a तथा y=b
दिए हुए व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है-
$=(2 a)^{3}+b^{3}+3(2 a)(b)(2 a+b)$
$=(2 a+b)^{3}$
(ii) $8 a^{3}-b^{3}-12 a^{2} b+6 a b^{2}$
सर्वमिका $x^{3}-y^{3}-3 x y(x-y)=(x-y)^{3}$ के अनुसार
यहाँ x=2 a, y=b
∴ $=(2 a)^{3}-(b)^{3}-3(2 a)(b)(2 a-b)$
$=(2 a-b)^{3}$
(iii) $27-125 a^{3}-135 a+225 a^{2}$
सर्वसमिका $x^{3}-y^{3}-3 x y(x-y)=(x-y)^{3}$ के अनुसार
यहाँ x=3, y=5a
∴ $=(3)^{3}-(5 a)^{3}-3(3)(5 a)(3-5 a)$
$=(3-5 a)^{3}$
(iv) $64 a^{3}-27 b^{3}-144 a^{2} b+108 a b^{2}$
सर्वसमिका $x^{3}-y^{3}-3 x y(x-y)=(x-y)^{3}$ के अनुसार
यहाँ x=4a तथा b=3b
$=(4 a)^{3}-(3 b)^{3}-3(4 a)(3 b)(4 a-3 b)$
$=(4 a-3 b)^{3}$
(v) $27 p^{3}-\frac{1}{216}-\frac{9}{2} p^{2}+\frac{1}{4} p$
सर्वसमिक। $x^{3}-y^{3}-3 x y(x-y)=(x-y)^{3}$ के' अनुसार
यहाँ x=3p तथा $y=\frac{1}{6}$
$=(3 p)^{3}-\left(\frac{1}{6}\right)^{3}-3(3 p)\left(\frac{1}{6}\right)\left(3 p-\frac{1}{6}\right)$
$=\left(3 p-\frac{1}{6}\right)^{3}$
प्रश्न 21
घनाभों (cuboids), जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं, की विमाओं के लिए संभव व्यंजक क्या हैं?
(i)आयतन : $3 x^{2}-12 x$
(ii) आयतन : $12 k v^{2}+8 k v-20 k$
हल :
(i) प्रश्नानुसार आयतन $: 3 x^{2}-12 x$
अर्थात् लम्बाई x चौड़ाई × ऊँचाई =3x(x-4)
∴ घनाभ की विमाओं के लिए संभव व्यंजक =3, x और x-4 हैं।
(ii) प्रश्नानुसार आयतन : $12 k y^{2}+8 k y-20 k$
अर्थात् लम्बाई x चौड़ाई × ऊँचाई $=4 k\left(3 y^{2}+2 y-5\right)$
$=4 k\left[3 y^{2}+5 y-3 y-5\right]$
=4 k[y(3 y+5)-1(3 y+5)
=4 k[(3 y+5)(y-1)]
या लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई =4k(3 y+5)(y-1)
∴ घनाभ की विमाओं के लिए संभव व्यंजक क्रमशः 4k, (3y+5) तथा (y-1) हैं।
