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Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 15 प्रायिकता (Probability) प्रश्नावली 15 (A)

 प्रश्नावली 15 (A)

प्रश्न 1

किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ हो, तो उसके घटित न होने की प्रायिकता बताइए।

हल : 

∵$P(E)+P(\bar{E})=1$

$\therefore$ घटित न होने की प्रायिकता

$\begin{aligned}\mathrm{P}(\overline{\mathrm{E}}) &=1-\mathrm{P}(\mathrm{E}) \\&=1-\frac{1}{2} \\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$ उत्तर

प्रश्न 2. 

बारह टिकटों पर एक-एक संख्या 1 से 12 तक लिखी हुई हैं। यदि उनमें से कोई एक टिकट उठा लिया जाय, तो उस पर लिखी हुई संख्या के 2 अथवा 3 के गुणक होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिये।.

हल : 

1 से 12 तक की संख्याओं में 2 अथवा 3 के गुणक $2,3,4,6,8,9,10,12$ हैं। चूँकि समप्रायिक 12 स्थितियों में से 8 पक्ष में हैं, अतः S(P)=12, S(E)=8

अभीष्ट प्रायिकता$=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$उत्तर


प्रश्न 3. 

यदि P(E)=0.05 है; तो ' E नही' की प्रायिकता क्या है?

हल :

दिया है :

P(E-नहीं) अर्थात्

$\begin{aligned}P(E) &=0.05 \\P(E) &=1-P(E)^{\prime} \\&=1-0.05 \\&=0.95\end{aligned}$उत्तर


प्रश्न 4. 

एक कक्षा में 20 विदार्थी हैं जिनमें 8 लड़के और शेष लड़कियाँ हैं। यदि उस कक्षा से एक विद्यार्थी चुनना है, तो लड़की के चुने जाने की प्रायिकता क्या होगी?

हल : 

कक्षा में कुल विद्यार्थी =20

कक्षा में कुल लड़के =8

कक्षा में कुल लड़कियाँ =20-8=12

जब कक्षा में एक विद्यार्थी चुनना है तो लड़की के चुने जाने की प्रायिकता $=\frac{12}{20}$.

$=\frac{3}{5}$ उत्तर


प्रश्न 5. 

एक पिग्री बैंक (piggy bank) में, 50 पैसे के सौ सिक्के है, ₹ 1 के पचास सिक्के हैं, ₹ 2 के बीस सिक्के और ₹ 5 के दस सिक्के हैं। यदि पिग्री बैंक को हिलाकर उत्टा करने पर कोई एक सिक्का गिरने के परिणाम समप्रायिक है, तो इसकी क्या प्रायिकता' है कि वह गिरा हुआ सिक्का (i) 50 पैसे का होगा? (ii) ₹ 5 का नहीं होगा?

हल : 

पिग्गी-बैंक में कुल सिक्कों की संख्या

=100+50+20+10=180

$\therefore$ पिग्गी बेंक से सिक्का निकलने की घटना के परिणामों की संख्या $=180$

(i) $\because$

50 पैसे के सिक्कों की संख्या =100

अर्थात् अनुकूल परिणामों की संख्या =100

अतः $\mathrm{P}(50$ पैसे के सिक्का होना $)=\frac{100}{180}=\frac{5}{9}$ उत्तर

(ii) : : 5 ₹ के सिक्कों की संख्या $=10$

$\therefore ₹ 5$ के सिक्कों के न होने की संख्या $=180-10=170$

$\therefore$ पिग्री बैंक से गिरने वाले सिक्कों का ' 5 ₹ का सिक्का नहीं' होने की घटना के परिणामों की संख्या $=170$ अतः

$P(5$ ₹ का सिक्का नहीं) $)=\frac{170}{180}=\frac{17}{18}$; उत्तर


प्रश्न 6. 

यदि एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हों, तो एक लाल गेंद निकालने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल : 

$\therefore \quad$ थैले में कुल $\tau_{6}$ $\therefore \quad$ गेंद होने की प्रायिकता $=\frac{3}{8}$. उत्तर


प्रश्न 7. 

किसी ऐसे वर्ष में जो लीप वर्ष न हो 53 रविवार होने की प्रायिकता क्या है?

हल :

ऐसा वर्ष जो कि लीप वर्ष न हो उसमैं 365 दिन अर्थात् 52 पूर्ण सप्ताह और 1 दिन होते है। यह एक दिन हो सकता है-

(a) रविवार

(b) सोमवार

(c) मंगलवार

(d) बुधवार

(e) बृब्स्पतिवार

(f) जुक्रवार

(g) शनिवार

∴रविवार होने की प्रायिकता $=\frac{1}{7}$. उत्तर


प्रश्न 8. 

गोपी अपने जल-जीव कुंड (aquarium) के लिए एक दुकान से मछली खरीदती है। दुकानदार एक टंकी, जिसमें 5 नर मछली और 8 मादा मछली हैं, में से एक मछली यादृच्छात उसे देने के लिए निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाली गई मछली नर मछली है?

हल : 

मछलियों की कुल संख्या= नर मबलियों की संख्या + मादा मछलियों की संख्या

सम्भव परिणामों की संख्या =13

चूँकि नर मधलियों की संख्या =5

अनुकूल परिणामों की संख्या =5

∴ P(नर मछली का निकलना)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सम्भन् परि्ण्मामों की संख्या $=\frac{5}{13}$

उत्तर


प्रश्न 9. 

पाँसे के एक बार फेंकने में ऊपर 5 बिन्दु आने की प्रायिकता लिखिए।

हल : 

कुल परिस्थितियाँ =6

अनुकूल परिस्थितियाँ =1

∴5 बिन्दु ऊपर आने की प्रायिकता $=\frac{1}{6}$. उत्तर


प्रश्न 10. 

एक घटना के अनुकूल संयोगानुपात 3: 5 हो, तो उसके घटने की प्रायिकता' बताओ।

हल : 

प्रायिकता $-\frac{3}{3+5}=\frac{3}{8}$.  उत्तर


प्रश्न 11. 

एक थैले में 5 लाल गेंद और कुछ नीली गेदें हैं यदि इस थैले में से नीली गेंद निकालने की प्रायिकता लाल गेंद निकालने की प्रायिकता की दुगुनी है, तो थैले में नीली गेंदों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल : 

मान लीजिए थैले में नीली गेदों की संख्या x है।

$\therefore$ सभी सम्भव परिणामों की संख्या = लाल गेंदों की संख्या + नीली गेंदों की संख्या =5+x

यदि घटना "थैले में से नीली गेंद निकालना" को $E$ से व्यक्त करें, तो E के अनुकूल परिणामों की संख्या =x

∴ P(E)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भव परिणामों की संख्या$=\frac{x}{x+5}$

पुनः, यदि घटना "थैले में से लाल गेंद निकालना" को F से व्यक्त करें, तो F के अनुकूल परिणामों की संख्या =5

∴P(F)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भव परिणामों की संख्या$=\frac{5}{x+5}$ 

∵ P(E)=2P(F)

या $\frac{x}{x+5}=2\left[\frac{5}{x+5}\right]$

$\begin{aligned}\frac{x}{x+5} &=\frac{10}{x+5} \\x &=10\end{aligned}$

नीली गेदों की संख्या =10.


प्रश्न 12.

 संयोग (chance) के एक खेल में, एक तीर को घुमाया जाता है, जो विश्राम में आने के बाद संख्याओं $1,2,3,4,5,6,7$ और 8 में से किसी एक संख्या को इंगित करता है। (देखिए आकृति) यदि ये सभी परिणाम समझायिक हों तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह तीर इंगित

(i) 8 को करेगा?

(ii) एक विषम संख्या को करेगा?

(iii) 2 से बड़ी संख्या को करेगा?

(iv) 9 से छोटी संख्या को करेगा?






हल : 

चूँकि विश्राम में आने पर तीर 1 से 8 तक की किसी भी संख्या को इंगित करता है।

$\therefore$ सम्भव परिणामों की कुल संख्या =8


(i) चूँकि चक्र पर 8 का एक अंक है।

$\therefore$ तीर द्वारा अंक 8 को इंगित करने की घटना के परिणामों की संख्या $=1$

अर्थात्अ नुकूल परिणामों की संख्या =1

∴P (8 की ओर तीर इंगित होना ) = अनुकूल परिणामों की संख्या / सम्भव पर्ण्णम्मों की संख्या$=\frac{1}{8}$ उत्तर


(ii) चक्र पर कुल विषम संख्याएँ 1,3,5 और 7

 ∴ विषम संख्याओं की कुल संख्या =4

अर्थात् अनुकूल परिणामों की संख्या =4

∴ P (विषम संख्या की ओर तीर इंगित होना ) = अनुकूल परिणामों कीसंख्या / सम्भव परिणामों की संख्या

$=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$उत्तर


(iii) चक्र पर 2 से बड़ी संख्याएँ =3,4,5,6,7 और 8 .

∴ 2 से बड़ी संख्याओं की कुल संख्या =6

अनुकूल परिणामों की संख्या =6

∴  P (2 से बड़ी संख्या की ओर तीर इंगित होना ) = अनुकूल परिणामों की संख्या / सम्भव परिणामों की संख्या

$=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$ उत्तर


(iv) चक्र पर 9 से छोटी संख्याएँ =1,2,3,4,5,6,7 और 8 हैं।

अर्थात् अनुकूल परिणामों की संख्या =8

∴ P (9 से छोटी संख्या की ओर तीर इंगित होना ) = अनुकूल परिणामों की संख्या / सम्भव परिभामों की संख्या 

$=\frac{8}{8}=1$ उत्तर


प्रश्न 13.

 एक थैले में केवल नीबू की महक वाली मीठी गोलियाँ हैं। मालिनी बिना थैले में झाँके उसमें से एक गोली निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह निकाली गई गोली

(i) संतरे की महक वाली है?

(ii) नीदू की महक वाली है?

हल : 

(i) थैले में सभी दी गई गोलियाँ नींबू की महक वाली हैं अर्थात् इसमें से एक संतरे की महक वाली गोली निकालना एक असम्भव घटना है।

P (सन्तरे की महक वाली गोली) = 0 उत्तर

(ii) प्रश्नानुसार थैले में सभी गोलियाँ नींबू की महक वाली हैं

∴ अतः इसमें से एक नीबू की महक वाली गोली निकालना एक निश्चित घटना है।

∴ P (सन्तरे की महक वाली गोली) =1. उत्तर


प्रश्न 14.

  एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद (i) लाल हो? (ii) लाल नहीं हो?

हल : 

$\because$ थैले में कुल गेंदों की संख्या =3+5=8

अतः थैले में से 8 प्रकार से गेंदों को निकाला जा सकता है।

(i) चूँकि लाल गेंदों की संख्या =3

अनुकूल परिणामों की संख्या =3

संभव परिणामों की संख्या =3

∴ P( लाल गेंद निकालना ) = अनुकूल परिणामों की संख्या / सम्भव परिणामों की संख्या $=\frac{3}{8}$. उत्तर

(ii) ∵ P(लाल गेंद निकालना)+ P(लाल गेंद नहीं निकालना) = 1

∴ $ \frac{3}{8}+$P ( लाल गेंद नहीं निकालना )=1

या P (लाल गेंद नहीं निकालना) $=\frac{5}{8}$उत्तर


प्रश्न 15. 

यह दिया हुआ है कि 3 विद्यार्थियों के एक समूह में से 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन' एक ही दिन न होने की प्रायिकता $0.992$ है। इसकी क्या प्रायिकता है कि इन 2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन हो ?

हल : 

मान लीजिए 2 विद्यार्थियों का एक ही दिन जन्मदिन होने की घटना $\mathrm{E}$ है। नहीं होने की घटना $\overline{\mathrm{E}}$ हो, तब

$P(E)+P(\bar{E})=1$

दिया है :

$\begin{array}{lr}\therefore & \mathrm{P}(\mathrm{E})+0.992=1 \\\Rightarrow & \mathrm{P}(\mathrm{E})=1-0.992=0.008 .\end{array}$$\mathrm{P}(\overline{\mathrm{E}})=0.992$

अतः 2 विद्यार्थियों का एक ही दिन जन्मदिन होने की घटना की प्रायकिता $0.008$ है।उत्तर


प्रश्न 16. 

एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं। इस डिब्बे में से एक कंचा यादृच्छया। निकालग जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाला गया कंचा

(i) लाल है?

(ii) सफेद है?

(iii) हरा नहीं है?

हल : 

डिब्बे में कुल कंचों की संख्या =5+8+4=17 कंचे

$\Rightarrow$ डिब्बे में से एक कंचा निकालनें की घटना के सम्भव परिणामों की संख्या $=17$

(i) लाल कंचों की संख्या =5

⇒ अनुकूल परिणा'मों' की संख्या =5

∴ P(लाल गेंद)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सम्भव परिणामों की संख्या $=\frac{5}{17}$.


(ii) सफेद गेंदों की संख्या =8

अर्थात्अ नुकूल परिणामों' की संख्या =8

∴ P(सफेद गेंद)= अनुकूल परिणामों की संख्या $=\frac{8}{17}$. उत्तर


(iii) ∵ डिब्बे में हरी गेंदों की संख्या =4

∴ डिब्बे में 'हरी गेंद नहीं' की संख्या =17-4=13

अर्थात् अनुकूल परिणाभों की संख्या =13

∴ P(हरा गेंद नहीं निकालना) =अनुकूल परिणामों की संख्या / सम्भव प्रिथामों की संख्या $=\frac{13}{17}$

उत्तर


प्रश्न 17.

 एक पासे को एक बार फेंका जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकतरं ज्ञात कीजिए :

(i) एक अभाज्य संख्या

(ii) 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या

(iii) एक विषम संख्या

हल : 

एक पासे पर छः संख्याएँ [1,2,3,4,5 और 6] होती हैं।

∴ कुल सम्भावित परिणामों की संख्या, n(S)=6

(i) एक पासे पर अभाज्य संख्याएँ 2,3 और 5 है।

∴ माना कि घटना $\mathrm{E}^{\prime \prime}$ एक अभाज्य संख्या प्राप्त करना है।"

- अर्थात् $\mathrm{E}$ के अनुकूल परिणामों की संख्या, n(E)=3

∴ P(E)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सम्भव परिणामों की संख्या$=\frac{n(\mathrm{E})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} . \quad \text { उत्तर }$

(ii) माना घटना E, पासे पर 2 और 6 के बीच की कोई संख्या प्राप्त करना है।

$\therefore 2$ और 6 के बीच की संख्या 3,4 और 5 हैं।.

$\therefore \mathrm{E}_{1}$ के अनुकूल परिणामों की संख्या =3

P ($E_1$)= अनुकूल परिणामों की संख्या  / सभी सम्भव परिणामों की संख्या$=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ . उत्तर

(iii) माना घटना $\mathrm{E}_{2}$ "पासे पर एक विषम संख्या प्राप्त करना है।"

अतः पासे पर विक्ष्स संख्याएँ 1,3 और 5 है।

$\therefore \mathrm{E}_{2}$ के अनुकूल परिधामों की संख्या =3

∴ P($E_2$)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भवपरिधामें की संख्या$=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$  उत्तर 


प्रश्न 18.

 किसी कारण 12 खराब पेन 132 अच्छे पेनों में मिल गए हैं। केवल देखकर यह नहीं बताया जा सकता कि कोई पेन खराब है या अच्छा है। इस मिश्रण में से, एक पेन यादृच्छया निकाला जाता है। निकाले गए पेन की अच्छा होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल : 

कुल पेनों की संख्या=132+12=144

अतः एक अच्छा पेन निकाले जाने के 144 परिणाम हो सकते हैं।

∴ सम्भावित परिणामों की संख्या =144

माना घटना E "एक अच्छे पेन का निकलना" है

और अच्छे पेनों की संख्या =132

∴ E के अनुकूल परिणामों की संख्या =132

अतः P(E)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भव परिणामों की संख्या$=\frac{132}{144}=\frac{11}{12}$.


प्रश्न 19. 

एक बच्चे के पास ऐसा पासा है जिसके फलकों पर निम्नलिखित अक्षर अंकित हैं ;

A $\quad$ B $\quad$ C $\quad$ D $\quad$ A

इस पासे को एक बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि

(i) $\mathrm{A}$ प्राप्त हो?

(ii) $\mathrm{D}$ प्राप्त हो?

हल : 

चूँकि पासे के 6 फलकों पर अंकित अक्षर इस प्रकार हैं :

A B C D E A.

$\therefore$ फेंके जाने पर एक अक्षर छः प्रकार से प्राप्त होता है।

अर्थात् सम्भव परिणामों की कुल संख्या =6

(i) यहाँ दो फलकों पर अक्षर A अंकित है।

∴ अभव A दो प्रकार से प्राप्त हो सकता है।

अर्थात् अनुकूल परिणोंमों की संख्या =2

माना घट़ना E "अक्षर A का प्राप्त होता" है,

P(E) = अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भव परिणाभों की संख्या $=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

(ii) चूँकि केवल एक फलक पर अक्षर D अंकित है

अर्थात् अनुकूल परिणामों की संख्या =1

माना घटना $\mathrm{E}^{\text {' }}$ अक्षर $\mathrm{D}$ वाला प्राप्त हो" है,

P(E)=अनुकूल' परिणामों की संख्या  / सभी सम्भव परिणासों कीसंख्या$=\frac{1}{6}$उत्तर


प्रश्न 20.

52 पत्तों की अच्छी प्रकार से फेंटी गई एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए :

(i) लाल रंग का बादशाह

(ii) एक फेस कार्ड अर्थात् तस्वीर वाला पत्ता

(iii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता

(iv) पान का गुलाम

(v) हुकुम का पत्ता

(vi) एक इंट की बेगम

हल : 

हम जानते हैं कि तास की एक गड्डी में 52 पत्ते होते हैं

∴ एक पत्ता 52 तरीकों से निकाला जा सकता है।

अर्थात् प्रत्येक अवस्था में सभी सम्भव परिणामों की संख्या =52

(i) माना घट्ना E " "लाल रंग का बादशाह प्राप्त करना है चूँकि एक गड्डी में लाल रंग के 2 बादशाहं अर्थात् 1 पान का और 1 ईंट का है।

अनुकूल परिणामों की संख्या =2

P(E)=अनुकूल परिणामों की संख्या  / सभी सम्भव परिणामों की संख्या$=\frac{2}{52}=\frac{1}{26}$

(ii) माना घटना $\mathrm{E}_{1}$ "एक फेस कार्ड प्राप्त करना है।" चूँकि एक गड्डी में 12 फेस कार्ड होते हैं। अर्थात् अनुकूल परिणामों की संख्या =12

अतः P($E_1$) = अनुकूल परिणामों' की संख्या / सभी सम्भवपरिणामों की संख्या$=\frac{12}{52}=\frac{3}{13}$उत्तर

(iii) माना घटना $\mathrm{E}_{2}$ "लाल रंग की तस्वीर वाला पता" प्राप्त करना है।

चूँकि एक रंग में 3 पत्ते तस्वीर वाले (बादशाए, बेगम, गुलाम) होते हैं और ईंट तथा पान के पत्ते लाल रंग के होते है।

∴ तस्वीर वाले लाल रंग के कुल पत्ते $=2 \times 3=6$

∴ अनुकूल परिणामों की संख्या =6

अतः P($E_2$)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भवपरिणामों की संख्या$=\frac{6}{52}=\frac{3}{26} $

उतर

(iv) माना घटना $\mathrm{E}_{3}$ "पान का गुलाम" प्राप्त करना है। चूँकि पान का केवल एक ही गुलाम होता है। $\therefore$ अनुकूल परिणामों की संख्या =1

अतः P($E_3$)= अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भवपरिणामों की संख्या$=\frac{1}{52} \text {. }$उत्तर

(v) माना घटना $\mathrm{E}_{4}$ " " हुकुम का पत्ता" प्राप्त करना है। चूँकि गड्डी में हुकुम के 13 पत्ते होते हैं।

∴ अनुकूल परिणामों की संख्या =13

अतः P($E_4$)=अनुकूल परिणामों की संख्या  / सभी सम्भवपरिणामों की संख्या$=\frac{13}{52}=\frac{1}{4} $ उत्तर

(vi) माना घटना $\mathrm{E}_{5}$ "एक इंट की बेगम" प्राप्त करना है। चूँकि तास की गड्डी में ईैंट की बेगम एक होती है। $\therefore$ अनुकूल परिणामों की संख्या $=1^{\circ}$

अतः P($E_5$)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भव परिणामों की संख्या$=\frac{1}{52} $ उत्तर


प्रश्न 21.

 ताश के पाँच पत्तों-ईंट का दहला, गुलाम, वेगम, बादशाह और इक्का-को पलट करके अच्छी प्रकार फेटा जाता है। फिर इनमें से यादृच्छाया एक पत्ता निकाला जाता है।

(i) इसकी क्या प्रायिकता है कि यह पत्ता एक बेगम है ?

(ii) यदि बेगम निकल आती है, तो उसे अलग रख विया जाता है और एक अन्य पत्त्रा निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा निकाला गया पत्ता (a) एक इक्का है? (b) एक बेगम है?

हल : 

चूँकि कुल पत्ते (दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह' और इक्का) पाँच हैं।

(i) ∴  माना घटना $\mathrm{E}$ " "निकाला गया पता एक बेगम है" को प्रदर्शित करता है

∴  कुल परिणामों की संख्या =5

चूँकि इन पत्तों में केवल एक ही बेगम है।

∴ अनुकूल परिणामों की संख्या =1

अतः P(E)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भव परिणामों की संख्या$=\frac{1}{5} .$ उत्तर

(ii) चूँकि बेगम के पत्ते को निकालकर एक ओर रखने पर, हमारे पास केवल चार पत्ते बचते हैं।

$\therefore$ सभी संभव परिणामों की संख्या =4

(a) चूँकि चार पत्तों में केवल 1 इक्का है।

∴ घटना E " "निकाला गया पत्ता एक इकका है" के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या $=1$

अतः P(E)=अनुकूल परिणामों की संख्या  / कुल परिणामों की संख्या $=\frac{1}{4}$


(b) घटना $\mathrm{E}_{y}$ " निकाला गया पत्ता बेगम है" को दर्शाता है।

अतः $\mathrm{P}(\mathrm{E})=\frac{0}{4}=0$उतर


प्रश्न 22.

 एक पेटी में 90 डिस्क (dises) हैं, जिन पर 1 से 90 तक संख्याएँ अकित हैं। यदि इस पेटी में से एक डिस्क यादृच्छया निकाली' जाती है तो इसकी ड्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी; (i) दो अंकों की एक संख्या (ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या (iii) 5 से विभाज्य एक संख्या।

हल : 

पेटी में कुल डिस्कों की संख्या $=90$

एक डिस्क निकालेे' के 90 सम्भव परिणाम' हो सकते हैं।

(i) चूँकि प्रत्येक डिस्क पर एक अंक ( 1 से 90 तक) अंकित हैं।

∴ ऐसी डिस्को की संख्या जिन पर 2 अंकों वाली संख्या अंकित हैं

=90 - (1 अंक वाली संख्याएँ)

=90-9=81

मान लीजिए घटना E "निकाली गई डिस्क पर दो अंकों वाली संख्या का अंकित होना" है।

P(E)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भव परिणामों की संख्या$=\frac{81}{90}=\frac{9}{10}$ उत्तर

(ii) चूँकि 1 से 90 तक की संख्याओं में ' 9 ' पूर्ण वर्ग अर्थात् 1,4,9,16,25,36,49,64 और 81 हैं।

∴ अनुकूल परिणामों की संख्या =9

माना घटना E, 'निकाली गई डिस्क पर एक पूर्ण वर्ग संख्या अंकित होना' है।

P(E)=अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल परिणामों की संख्या $=\frac{1}{4}$.

(ii) चूँकि 1 से 90 तक की संख्याओं में 5 से विभाज्य संख्याएँ : 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85 और 90 है।

∴अनुकूल परिणामों की संख्या =18

माना घटना E, 'निकाली गई डिस्क पर एक अंकित संख्या 5 से विभाज्य" है।

∴ P(E)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भव परिणामों कीसंख्या$=\frac{18}{90}=\frac{1}{5} $ उत्तर


प्रश्न 23. 

20 बल्बों के एक समूह में 4 बल्ब खराब है। इस समूह में से एक बल्ब 'यादृच्छया' निकाला' जाता है। इसकी क्या प्रायकिता' है कि यह बल्ब खराब होगा?

हल : 

दिए गए कुल बल्बों की संख्या =20

अर्थात् सम्भावित परिणामों की संख्या =20

तथा खराब बल्बों की संख्या =4

अर्थात् अनुकूल परिणामों' की संख्या =4

माना घटना E " "निकाला गया बल्ब का खराब होना" है।

P(E)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सम्भावित परि्पामों की संख्या$=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$.


प्रश्न 24.

 144 बॉल पेनों के एक समूह में 20 बॉल पेन खराब हैं और शेष अच्छे हैं। आप वही पेन खरीदना' चाहेंगे जो अच्छा हो, परन्तु खूराब पेन अप खरीदना हहीं चाहेंगे। दुकानदार इन पेनों में से, यादृच्छया एक पेन निकालकर आपको देता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि

(i) आप वह पेन खरीदेंगे?

(ii) आप वह पेन नहीं खरीदेगे?

हल : 

दिए गए पेनों की कुल संख्या =144

1 पेन निकालने के सम्भावित परिणामों की संख्या =144

(i) खराब पेनों की कुल संख्या =20

अनुकूल परिणामों की संख्या =124

माना घटना E, "अच्छा पेन खरीदनT" है

∴ P(E)=अनुकूल परिणामों की संख्या /  सभी सम्भव परिणामों कीसंख्या$=\frac{124}{144}=\frac{31}{36}$

(ii) माना घटना $\overline{\mathrm{E}}$ " "एक अच्छा पेन नहीं खरीदना" है

$\therefore\begin{aligned}\mathrm{P}(\overline{\mathrm{E}}) &=1-\mathrm{P}(\mathrm{E})=1-\frac{31}{36} \\&=\frac{36-31}{36}=\frac{5}{36}\end{aligned}$


प्रश्न 25. 

एक पासे को दो बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि

(i) 5 किसी भी बार में नहीं आएगा?

(ii) 5 कम से कम एक बार आएगा?

हल : 

संकेत : एक पासे को दो बार फेंकना और दो पासों को एक साथ फेंकना एक ही प्रयोग मानों जाता है। हल : हम जानते हैं कि एक पासे को दो बार फेंकना या दो पासों को एक साथ फेंकना एक ही घटना है। $\therefore$ सभी सम्भव परिणाम इस प्रकार हैं :

$\begin{aligned}&(1,1) ;(1,2) ;(1,3) ;(1,4) ;(1,5) ;(1,6) \\&(2,1) ;(2,2) ;(2,3) ;(2,4) ;(2,5) ;(2,6) \\&(3,1) ;(3,2) ;(3,3) ;(3,4) ;(3,5) ;(3,6) \\&(4,1) ;(4,2) ;(4,3) ;(4,4) ;(4,5) ;(4,6) \\&(5,1) ;(5,2) ;(5,3) ;(5,4) ;(5,5) ;(5,6) \\&(6,1) ;(6,2) ;(6,3) ;(6,4) ;(6,5) ;(6,6)\end{aligned}$

∴ सभी सम्भव परिणामों की संख्या $=36$

(i) माना घटना " 5 किसी भी बार में.नहीं आयेगा" को $\mathrm{E}$ से व्यक्त करें, तो $\mathrm{E}$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $=36-[6+6-1]=25$

∴ P(E)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भव परिणामों की संख्या

$=\frac{25}{36}$ उत्तर

(ii) माना घटना " 5 कम से कम एक बार आयेगा" को F से व्यक्त करें, तो F के अनुकूल परिणामों की संख्या =6+6-1=11

∴ P(F)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भव परिणामों कीसंख्या$=\frac{11}{36}$ उत्तर 


प्रश्न 26.

 दो पासों को एक साथ फेंका जाता है। सभी सम्भावित परिणामों को निम्नलिखित सारणी द्वारा पूर्ण कीजिए :

दोनों पासों की संख्याओं का योग 23456789101112
प्रायिकता $\frac{1}{36}$$\frac{5}{36}$$\frac{1}{36}$

हल : 

$\frac{3}{36}=\frac{1}{12}, \frac{4}{36}=\frac{1}{9}, \frac{5}{36}, \frac{6}{36}=\frac{1}{6}, \frac{7}{36}, \frac{9}{36}=\frac{1}{4}, \frac{10}{36}-\frac{5}{18}, \frac{11}{36}$


प्रश्न 27. 

एक खेल में एक रुपए के सिक्के को तीन बार उछाला जाता है और प्रत्येक बार का परिणाम लिख लिया जाता है। तीनों परिणाम समान होने पर, अर्यात् तीन चित या तीन पट प्राप्त होने पर, हनीफ खेल में जीत जाएगा, अन्यथा वह हार जाएगा। हनीफ के खेल में हार जाने की प्रायिकता परिकलित कीजिए।

हल : 

एक सिक्के को उछालने पर, माना चित प्राप्त होने की घटना $\mathrm{H}$ और पट प्राप्त होने की घटना $\mathrm{T}$ है। $\therefore$ एक सिक्के को तीन बार उछालने पर हमें निम्नांकित परिणाम प्राप्त हो सकते हैं :

$\mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}$

TTH, THT, HTT और TTT

अर्थात् सभी सम्भव परिणामों की संख्या =8

यदि इस घटना को E से व्यक्त करें, तो E के अनुकूल परिणाम' हैं :

HHT, HTH, THT, THH, TTH, HंTT

$\because$ चूँकि तीनों चित या तीनों पट अर्थात् TTT या HHH प्राप्त होने पर वह जीतता है

$\therefore$ शेष परिणाम हारने के अनुकूल हैं।

$\therefore \mathrm{E}$ के अनुकूल परिणामों की संख्या =6

∴ P(E)= अनुकूल परिणामों की संख्या  / सभी सम्भव परिणामों कीसंख्या $=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$


प्रश्न 28.

 निम्नलिखित' में से कौन से तर्क सत्य हैं और कौन से तर्क असत्य हैं ? सकारण उत्तर दीजिए।

(i) यदि दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है, तो इसके तीन सम्भावित परिणाम-दो चित, दो पट या प्रत्येक एक बार हैं। अतः, इनमें से प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता $\frac{1}{3}$ है।

(ii) यदि एक पासे को फेंका जाता है, तो इसके दो सम्भावित परिणाम-एक विषम संख्या या एक सम संख्या हैं। अतः एक विषम संख्या ज्ञात करने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है।

हल : 

(i) दिया गया कथन असत्य है, कारण यह है कि जब दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है, तो 'प्रत्येक में से एक' दो प्रकार से परिणाम' दे सकता है-पहले सिक्के से चित और दूसरे सिक्के पर पट या पहले सिक्के से पट और दूसरे से चित प्राप्त हो सकता है। इस प्रकार दो बार चित और दो बार पट आ सकता है। इस प्रकार प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता $\frac{1}{4}$ है। परंतु $\frac{1}{3}$ नहीं।

(ii) हौं, यह कथन सत्य है।


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Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 15 प्रायिकता (Probability) प्रश्नावली 15 (B)

  प्रश्नावली 15 (B) 

प्रश्न 1.

 एक सिक्के को उछालने पर ऊपर शीर्ष आने की प्रायिकत $\mathrm{r}$ है :
(i) 1
(ii) -1
(iii) $\frac{1}{2}$
(iv) $\frac{1}{3}$.
हल :
सिक्के उछालने पर ऊपर शीर्ष आने का प्रायिकता $=\frac{1}{2}$.
अतः विकल्प (iii) $\frac{1}{2}$ सही है। उत्तर

प्रश्न 2.

 एक साधारण पासे को फेंका जाता है। उसके ऊपरी फलक पर सम संख्या आने की प्रायिकता है :
(i) $\frac{1}{6}$
(ii) $\frac{1}{2}$
(iii) $\frac{1}{4}$
(iv) $\frac{1}{3}$.
हल : 
पासे पर प्राप्त होने वाली संख्याएँ $=1,2,3,4,5,6$ $n(S)=6$ अर्थात्
पासे पर ऊपरी फलक पर सम संख्याएँ $=2,4,6$ अर्थात्
n(E)=3
∴प्रायिकता, 
$\begin{aligned} \mathrm{P}(\mathrm{E}) &=\frac{n(\mathrm{E})}{n(\mathrm{~S})} \\&=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\end{aligned}$

प्रश्न 3. 

पासों का एक युग्म फेंका जाता है, यदि कम से कम एक पर अंक 5 आता है तो योग 9 या अधिक आने की प्रायिकता है :
(i) $\frac{5}{36}$
(ii) $\frac{2}{9}$
(iii) $\frac{3}{11}$
(iv) $\frac{1}{12}$.
हल : 
प्रश्नानुसार, दो पासों को उछालने पर कुल संभव परिणाम, $n(\mathrm{~S})=36$
ऐसे परिणामों की संख्या जिनका योग 9 या 9 से अधिक हो तथा कम से कम एक पासे पर अंक 5 हों।
$=\{(5,4),(4,5),(5,5),(5,6),(6,5)\}$
अर्थात् $n(\mathrm{E})=5$
प्राथिकता, $\mathrm{P}(\mathrm{E})=\frac{n(\mathrm{E})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{5}{36}$
अतः विकल्प (i) $\frac{5}{36}$ सही है। उत्तर

प्रश्न 4. 

एक पासे को फेंकने पर ऊपर फलक पर 3 से बड़े अंक आने की प्रायिकता है :
(i) $\frac{1}{6}$
(ii) $\frac{1}{3}$
(iii) $\frac{1}{4}$
(iv) $\frac{1}{2}$
हल : 
पासे के कुल परिणार्मों की संख्या, $n(\mathrm{~S})=6$ तथा पासे पर 3 से बड़े अंक आने वाली संख्याएँ $=4,5,6$ अर्थात्
$n(\mathrm{E})=3$
प्रायिकता $=\frac{n(\mathrm{E})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{n(\mathrm{E})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
अतः विक्ल (iv) $\frac{1}{2}$ सही है

प्रश्न 5. 

दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं। दोनों पासों की संख्याओं का योगफल 7 होने की प्रायिकता है :
(i) $\frac{1}{6}$
(ii) $\frac{1}{2}$
(iii) $\frac{1}{36}$
(iv) $\frac{1}{12}$
हल : 
दो पासों को उछालने पर कुल संभव परिणाम
$n(\mathrm{~S})=36$
योगफल 7 आने वाले युग्म $=\{(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(4,3),(3,4)\}$
अर्थात्
$n(\mathrm{E})=6$
प्रायिकता $=\frac{n(\mathrm{E})}{n(\mathrm{~S})}$
$=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$
अतः विकल्प (i) $\frac{1}{6}$ सही है। उत्तर

प्रश्न 6. 

निम्नलिखित कथनों को पूरा कीजिए :
(i) घटना $\mathrm{E}$ की प्रायिकता $+$ घटना ' $\mathrm{E}$ नहीं' की प्रायिकता $=\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots$ है।
(ii) उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती $\cdots \cdots \cdots$ है। ऐसी घटना $\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots$
(iii) उस घटना की प्रायिक्ता जिसका घटित होना निश्चित है ......... है। ऐसी घटना कहलाती है।
(iv) किसी प्रयोग की समी प्रारम्भिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग $\cdots \cdots \cdots \cdots$ है।
(v) किसी घट्ना की प्रागिक्ता $\cdots \cdots \cdots$ से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा $\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots$ से छोटी या उसके बराबर होती है।
हल : 
(i) घटना $\mathrm{E}$ की प्रायिकता $+$ घटना ' $\mathrm{E}$ नहीं' की प्रायिकता $=1$ है।
(ii) उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती 0 है। ऐसी घटना असंभव घटना कहलाती है।
(ii) उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है 1 है। ऐसी घटना निश्चित घटना कहलाती है।
(iv) किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 1 है।
(v) किसी घटना की प्रायिकता 0 से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा 1 से छेटी या उसके बराबर होती क्षे।

प्रश्न 7. 

एक पेटी में 12 गेदे हैं, जिनमें से $x$ गेंद काली है। यदि इसमें से एक गेंद यातृच्छाय निकाली जाती है, तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह गेंद काली है।
यदि इस पेटी में 6 काली गेंद और डाल दी जाएँ, तो काली गेंद निकालने की प्रायिकता पहली प्रायिकता की दुगुनी हो जाती है। $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल : 
दी गई पेटी में गेदों की कुल संख्या $=12$
$\therefore \quad$ सभी सम्भव परिणामों की संख्या $=12$

स्थिति-I: माना घटना " निकाली गई गेंद काली है", को $\mathrm{E}$ से व्यक्त करें, तो
E के अनुकूल परिणामों की संख्या
$=x[\because$ पेटी में x काली गेंदे हैं]
∴ P(E)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सभीसम्भव परिणामों' की संख्या$=\frac{x}{12}$

स्थिति-II : 
पेटी में 6 काली गेंद और डालने पर गेंदों की कुल संख्या $=12+6=18$
अर्थात् सभी सम्भव' परिणामों की संख्या $=18$
अब काली गेंदों की संख्या $=x+6$
माना घटना "काली गेंद निकालना" को $\mathrm{F}$ से व्यक्त करें, तो $\mathrm{F}$ के अनुकूल परिणामों की संख्या =x+6
⇒P(F)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भव परिणामों की संख्या $=\frac{x+6}{18}$

प्रश्नानुसार,

$\because\frac{x+6}{18}=2\left(\frac{x}{12}\right)$
$\begin{aligned} 12(x+6) &=36 x \\ 12 x+72 &=36 x \\ 36 x-12 x &=72 \\ 24 x &=72 \\ x &=\frac{72}{24}=3 \end{aligned}$

प्रश्न 8.

एक जार में 24 कंचे हैं जिनमें कुछ हरे हैं और शेष नीले हैं। यदि इस जार में से यादृच्छाया' एक कंचा निकाला' जाता है तो इस कंचे के हरा होने की प्रायिकता $\frac{2}{3}$ है। जार में नीले कंचों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल : 
दिया गया है कि जार में कंचों की संख्या $=24$
$\therefore \quad$ सभी सम्भव परिणामों की संख्या $=24$
मान लीजिए जार में नीले कंचे $x$ हों, तब
$\therefore \quad$ जार में हरे कंवों की संख्या $=24-x$
माना घटना "निकाला गया कंचा हरा है" को $\mathrm{E}$ से व्यक्त करें, तो $\mathrm{E}$ के अनुकूल परिणामों की संख्या
=(24-x)
∴P(E)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भव परिणामों कीसंख्या $=\frac{24-x}{24}$
$\begin{aligned} \frac{24-x}{24} &=\frac{2}{3} \\ 3(24-x) &=2 \times 24 \\ 72-3 x &=48 \\ 3 x &=72-48 \\ 3 x &=24 \\ x &=\frac{24}{3}=8 \end{aligned}$
अतः जार में नीले कंचों की संख्या 8 है।

प्रश्न 9. 

दो ग्राहक श्याम और एकता एक विशेष दुकान पर एक ही सप्ताह में जा रहे हैं (मंगलवार से शनिवार तक)। प्रत्येक द्वारा दुकान पर किसी दिन या किसी अन्य दिन जाने के परिणाम समप्रायिक हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों उस दुकान पर (i) एक ही दिन जाएँगे? (ii) क्रमागत दिनों में जाएँगे? (iii) भिन्न-भिन्न दिनों में जाएँगे?

हल : 
माना मंगलवार को $\mathrm{T}$ से, बुधवार को $\mathrm{W}$ से, गुरुवार को $\mathrm{Th}$ से, शुक्रवार को $\mathrm{F}$ से तथा शनिवार को $\mathrm{S}$ से प्रकट करें, तो ग्राहकों श्याम और एकता द्वारा एक विशेष दुकान पर एक ही सप्ताह (मंगलवार से शनिवार) में जाने के सभी सम्भव परिणाम निम्नलिखित हैं :
$\begin{array}{lllll}\begin{array}{l}(\mathrm{T}, \mathrm{T}), \\ (\mathrm{W}, \mathrm{T}),\end{array} & \begin{array}{l}(\mathrm{T}, \mathrm{W}), \\ (\mathrm{W}, \mathrm{W}),\end{array} & \begin{array}{l}(\mathrm{T}, \mathrm{Th}), \\ (\mathrm{W}, \mathrm{Th}),\end{array} & \begin{array}{l}(\mathrm{T}, \mathrm{F}), \\ (\mathrm{W}, \mathrm{F}),\end{array} & \begin{array}{l}(\mathrm{T}, \mathrm{S}) \\ (\mathrm{W}, \mathrm{S})\end{array} \\ (\mathrm{F}, \mathrm{T}), & (\mathrm{Th}, \mathrm{W}), & (\mathrm{Th}, \mathrm{Th}), & (\mathrm{Th}, \mathrm{F}), & (\mathrm{Th}, \mathrm{S}) \\ (\mathrm{S}, \mathrm{T}), & (\mathrm{S}, \mathrm{W}), & (\mathrm{F}, \mathrm{Th}), & (\mathrm{F}, \mathrm{F}), & (\mathrm{F}, \mathrm{S}) \\ & & (\mathrm{S}), & (\mathrm{S}, \mathrm{F}), & (\mathrm{S}, \mathrm{S})\end{array}$
$\therefore$ सभी सम्भव परिणामों की कुल संख्या $=25$

(i) माना घटना 'दो ग्राहक एक ही दिन जायेंगे' को $\mathrm{E}$ से व्यक्त करें तो $\mathrm{E}$ के अनुकूल परिणामों' की संख्या $=5$ $[\because(\mathrm{T}, \mathrm{T}),(\mathrm{W}, \mathrm{W}),(\mathrm{Th}, \mathrm{Th}),(\mathrm{F}, \mathrm{F}),(\mathrm{S}, \mathrm{S})$ एक ही दिन की घटनाएँ हैं]
∴P(E)= अनुकूल परिणामों की संख्या  / सभीसम्भव परिणामों की संख्या$=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}$

(ii) यदि घटना 'दो ग्राहक क्रमागत दिनों में जायेंगे' को $\mathrm{A}$ से व्यक्त करें तो
$\mathrm{A}$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $=8$
$\left[\begin{array}{l}\because(\mathrm{T}, \mathrm{W}),(\mathrm{W}, \mathrm{Th}),(\mathrm{Th}, \mathrm{F}),(\mathrm{F}, \mathrm{S}), \\ (\mathrm{S}, \mathrm{F}),(\mathrm{W}, \mathrm{T}),(\mathrm{Th}, \mathrm{W}),(\mathrm{F}, \mathrm{Th}) \end{array}\right.$ क्रमागत' दिन हैं। ]
P(A)=अनुकूल परिणामों की संख्या  / सभी सम्भव पस्पिणमें की संख्या$=\frac{8}{25}$ उत्तर 

(iii) यदि घटना दो ग्राहक भिन्न-भिन्न दिनों में जायेंगे' को $\mathrm{B}$ से व्यक्त करें तो
$\mathrm{B}$ के अनुकूल परिणामों की संख्या =20

25-एक ही दिन वाले परिणाम⇒25-5=20
अर्थात् 
$\left[\begin{array}{l} (\mathrm{T}, \mathrm{T}),(\mathrm{WW}),(\mathrm{T}, \mathrm{Th}),(\mathrm{F}, \mathrm{F}) \text { और }(\mathrm{S}, \mathrm{S}) \end{array}\right.$ को छोड़कर ]
∴P(B)=अनुकूल परिणामों की संख्या  / सभी सम्भव परिणामों की संख्या$=\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$. उत्तर

प्रश्न 10:

 एक पासे के फलकों पर संख्याएँ $1,2,2,3,3$ और 6 लिखी हुई हैं। इसे दो बार फेंका जाता है तथा दोनों बार प्राप्त हुई संख्याओं के योग लिख लिए जाते हैं। दोनों बार फैंकने के बाद, प्राप्त योग के कुछ संभावित मान निम्नलिखित सारणी में दिए हैं इस सारणी को पूरा कीजिए।
पहली बार फेंकने के मान
















इसकी क्या प्रायिकता है कि कुल योग
(i) एक सम संख्या होगा? (ii) 6 है? (iii) कम से कम 6 है?
हल : 
पूरा करने पर सारणी इस प्रकार है :

इसकी क्या प्रायिकता है कि कुल योग
(i) एक सम संख्या होगा? (ii) 6 है? (iii) कम से कम 6 है?
हल : पूरा करने पर सारणी इस प्रकार है :














∴ सभी सम्भावित परिणामों की संख्या =36

(i) मान लीजिए घटना 'कुल योग एक सम संख्या होगा' को $\mathrm{E}$ से व्यक्त करें तो उपरोक्त परिणामों से E के अनुकूल परिणामों की संख्या $=18$

∴ P(E)$=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$उत्तर

(ii) माना घटना 'कुल योग 6 है' को $F$ से व्यक्त करें तो अनुकूल परिणामों की संख्या 4 है
∴P(F)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भव पस्सिभामें की संख्या$=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$. उत्तर

(iii) माना घटना ' कुल योग कम से कम 6 हैं को G से व्यक्त करें, तो G के अनुकूल परिणामों की संख्या =15 [∵7,8,8,6,6,9,6,6,9,7,8,7,9,9,12 अनुकूल परिणाम हैं ]
P(G)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भव परिणामों की संख्या $=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$. उत्तर

प्रश्न 11. 

निम्नलिखित में से कौन सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती ?
(A) $\frac{2}{3}$
(B) $-1.5$
(C) $15 \%$
(D) $0.7$

हल : 
$\because$ किसी घटना $\mathrm{E}$ की प्रायिक्ता' $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ सदैव
$0 \leq \mathrm{P}(\mathrm{E}) \leq 1$
(A) $\therefore 0<\frac{2}{3}<1$ है अर्थात् $\frac{2}{3}$ किसी घटना की प्रायिक्ता हो सकती है।
(B) $0>(-1.5)$ अर्थात् $-1.5$ शून्य से छोटा है।
$\therefore$ यह किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती है।
(C) चूँकि $0>15 \%<1$
$\therefore 15 \%$, किसी घटना की प्रायिक्ता हो सकती है।
(D) $0<0.7<1$ है।
$\therefore$ यह किसी घटना की प्रायिकता हो सकती है।

प्रश्न 12. 

निम्नलिखित प्रयोगों में से किन-किन प्रयोगों के परिणाम समप्रायिक हैं ? स्पष्ट कीजिए।
(i) एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयल करता है। कार चलना प्रारम्भ हो जाती है या कार चलना प्रारम्भ नहीं होती है।
(ii) एक खिलाड़ी बास्केटबॉल' को बास्केट में डालने का प्रयल करती है। वह बास्केट में बॉल डाल पाती है या नहीं डाल पाती है।
(iii) एक सत्य-असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है। उत्तर सही है या गलत होगा।
(iv) एक बच्चे का जन्म होता है। वह एक लड़का है या एक लड़की है।
हल :
(i) जब एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयल करता है। तो कार चलना प्रारम्भ हो जाती है या नहीं भी चलती है। अतः इस प्रयोग का परिणाम समप्रायिक नहीं है।
(ii) एक खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डाल भी सकती है या नहीं भी डाल सकती है। अतः यह प्रयोग समप्रायिक नहीं है।
(iii) एक सत्य या असत्य प्रश्न के उत्तर के विषय में हमें पहले ही पाता है कि परिणाम दो में से एक का 'उत्तर के रूप में' आना निश्चित है। अतः इस प्रयोग का परिणाम समप्रायिक है।
(iv) किसी बच्चे के जन्म के विषय में लड़का या लड़की का होना निश्चित होता है। अतः इस परिणाम को समप्रायिक कहते हैं।

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Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 14 सांख्यिकी (Statistics) प्रश्नाबलीं 14 (E)

  प्रश्नाबलीं 14 (E) 


प्रश्न 1.

निम्नलिखित बंटन किसी फैक्ट्री के 50 श्रमिकों की दैनिक आय दर्शाता है  :
दैनिक आय (रुपयों में)श्रमिकों की संख्या
100-12012
120-14014
140-1608
160-1806
180-12010

उपरोक्त बंटन को एक 'कम प्रकार' के संचयी बारम्बारता बंटन में बदलिए और उसका तोरण खींचिए। gy% दिए गए बंटन से 'कम प्रकार' का संचयी बारम्बारता बंटन

दैनिक आय (रुपयों में)श्रमिकों की (f)संचयी बारम्बारता तोरण पर स्थित बिन्दु 
100-1201212(120 , 12)
120-1401426(140 , 26)
140-160834(160 , 34)
160-180640(180 , 40)
180-2001050(200 , 50)

संचयी बरम्बारता वक्र (तोरण)




















प्रश्न 2.

किसी कक्षा के 35 विद्यार्थियों की मेडिकल जाँच के समय, उनके भार निम्नलिखित रूप में रिकॉर्ड किए गए :

भार (किग्रा में)  विद्यार्थियों की संख्या 
38 से कम 0
40 से कम 3
42 से कम 5
44 से कम 9
46 से कम 14
48 से कम 28
50 से कम 32
52 से कम 35


उपरोक्त आँकड़ों के लिए 'कम प्रकार' का तोरण खीचिए इसके बाद माध्यक भार ज्ञात कीजिए।
हल :
∵ विद्यार्थियों की कुल संख्या =35
∴ यह एक संचयी बारम्बारता बंटन है।

भार (किग्रा में) विद्यार्थियों की संख्या $(f_i)$संचयी बारम्बारता (से कम प्रकारकी) तोरण पर स्थित बिन्दु
36-3800(38 , 0)
38-4033(40 , 3)
40-4225(42 , 5)
42-4449(44 , 9)
44-46514 $(c.f.)$(46 , 14)
46-4814(f)28(48 , 28)
48-50432(50 , 32)
50-52335(52 , 35)
योगn=35


















∵$\frac{\mathrm{N}}{2}=\frac{35}{2}=17.5$

∴ बिन्दु 17.5, y-अक्ष पर लेकर x-अक्ष के समान्तर रेखा खींचते हैं जो तोरण पर P बिन्दु पर प्रतिच्छेद करता है। P से x-अक्ष पर लम्ब डालते हैं। यह लम्ब x-अक्ष को जिस बिन्दु पर काटता है वही अभीष्ट माध्यिका है।
उपरोक्त खींचे गए ग्राफ से, माध्यिका 46.5 किग्रा. प्राप्त हुई, जिसका माध्यक वर्ग 46-48 है।

$\because \frac{n}{2}=\frac{35}{2}=17.5$ वाँ पद, जो संचयी बारम्बारता में 28 के समीप है। अतः 46-48 माध्यक वर्ग होगा।

$\begin{aligned} f &=14, c . f .=14, \frac{n}{2}=17.5 \\ l_{1} &=46, l_{2}=48 \\ h &=l_{2}-l_{1}=48-46=2 \end{aligned}$

माध्यक $\begin{aligned} &=l_{1}+\left(\frac{\frac{n}{2}-c . f_{i}}{f}\right) \times h \\ &=46+\left(\frac{17.5-14}{14}\right) \times 2 \\ &=46+\frac{3.5 \times 2}{14} \\ &=46+0.5=46.5\end{aligned}$

अतः माध्यक भार 46.5 होगा।

प्रश्न 3. 

निम्नलिखित आँकड़ों से संचयी बारम्बारता वक्र या तोरण बनाइये :

वर्ग अन्तराल बारन्बारता
0-104
10-2010
20-3025
30-408
40-502
योग49
हल : 
संचयी बारम्बारता वक्र या तोरण :














प्रश्न 4

निम्नलिखित सारणी किसी गाँव के 100 फार्मों में हुआ प्रति हेक्टेयर (ha) गेहूँ का उत्पादन दर्शाते हैं :

उत्पादन (किग्रा/हेक्टे) फार्मों की संख्या
50-552
55-608
60-6512
65-7024
70-7538
75-8016

इस बंटन को 'अधिक के प्रकार के' बंटन में बदलिए और फिर उसका तोरण खींचिए। 

हल : 
दिए गए बंटन को 'से अधिक' प्रकार के बंटन की सारणी

उत्पादन (किग्रा./ हेक्टे)फार्मीं की संख्या उत्पादन (किग्रा./ हेक्टे)संचयी बारम्बारता (से अधिक प्रकार)
50-55250 के बराबर या 50 से अधिक 2+8+12+24+38+16=100
55-60855 के बराबर या 55 से अधिक 8+12+24+38+16=98
60-651260 के बराबर या 60 से अधिक 12+24+38+16=90
65-702465 के बराबर या 65 से अधिक 24+38+16=78
70-753870 के बराबर या 70 से अधिक 38+16=54
75-801675 के बराबर या 75 से अधिक 16


अतः बिन्दुओं (50,100),(55,98),(60,90),(65,78),(70,54) तथा (75,16) को आलेखित करके तोरण खींचा।






















प्रश्न 5.

मैडीकल प्रवेश परीक्षा में 230 परीक्षार्थियों द्वारा प्राप्त अंकों का बारंबारता वितरण नीचे दिया है :

अंक (अन्तराल बारम्बारता
400-45020
450-50035
500-55040
550-60032
600-65024
650-70027
700-75018
750-80034
योग230

इन आँकड़ों को प्रदर्शित करने के लिए एक संचयी बारंबारता वक्र बनाइए।
 हल : 
संचयी बारंबारता वक्र :















प्रश्न 6. 
नीचे दिये हुये आँकड़ों के लिए संचयी बारम्बारता वक्र या तोरण खींचिए :

ऊँचाई (सेमी)बच्चों की संख्या
124-12810
128-13210
132-1365
136-14015
140-1445
144-14810
148-15220
152-1565
156-16015
160-1645
हल : 
संचयी बारम्बारता वक्र :



प्रश्न 7.

किसी मनुष्य के कुछ बेतों में चावल की उपज प्रति हेक्टेअर तथा खेतों की संख्या दी गई है। इन आँकड़ों से तोरण बनाइये :

चावल की उपज प्रति हेक्टेअर (क्विण्टल में) खेतों की संख्या 
0-1023
10-2025
20-3047
30-4013
40-5016



















प्रश्न 8.

 निम्नलिखित बारम्बारता बंटन से एक संघयी बारम्बारता वक्र खींचिए :

 प्राप्तांक छान्रों की संख्या
3-63
7-1010
11-1412
15-188
19-225
23-262
27-301
योग41

हल : 
संचयी बारंबारता वक्र :
















प्रश्न 9.

96 बच्चों की ऊँचाइयों का बंटन नीचे दिया गया है।

वर्ग अन्तराल बारम्बारतां 
0-105
10-208
20-3017
30-4024
40-5016
50-6012
60-706
70-804
80-903
90-1001

उपरोक्त आँकड़ों से 'से कम प्रकार' का संचयी बारम्बारता वक्र खींचिए और इसका प्रयोग बच्चों कीं ऊँचाई की माध्यिका ज्ञात करने में कीजिए।

हल :
ऊँचाई (सेमी में)  बच्चों की संख्या संखयी बारम्बारता
0 से कम00
10 से कम516
20 से कम813
30 से कम1730
40 से कम2454
50 से कम1670
60 से कम1282
70 से कम688
80 से कम492
90 से कम395
100 से कम196





















यहाँ, $\frac{\mathrm{N}}{2}=\frac{96}{2}=48$
हम, y=48, y-अक्ष पर लेते हैं और x-अक्ष के समांतर रेखा खींनते हैं। जो वक्र के बिंदु A पर मिलती है और A से लंबवत् रेखा x-अक्ष पर खींचते हैं जहाँ, ये रेखाएँ मिलती हैं। वही निर्देशांक बिंदु माध्यिका है अर्थात् माध्यिका =37.


प्रश्न 10. 

70 पैकेटों में चाय का वजन निम्नलिखित तालिका द्वारा दिखाया गया है।
 वजन (ग्राम में) पैकेटों की संख्या
200-20113
201-20227
202-20318
203-20410
204-2051
205-2061
आँकड़ों के लिए 'से कम प्रकार' और 'से अधिक प्रकार' का तोरण खींचिए।
हल :
(i) से कम प्रकार (ii) से अधिक प्रकार
वजन (ग्राम में)पैकेटों की संख्यावजन (ग्राम में)पैकेटों कीसंख्या
200 से कम0200 से अधिक या उसके बराबर70
201 से कम13201 से अधिक या उसके बराबर57
202 से कम40202 से अधिक या उसके बराबर30
203 से कम58203 से अधिक या उसके बराबर12
204 से कम68204 से अधिक या उसके बराबर2
205 से कम69205 से अधिक या उसके बराबर1
206 से कम70206 से अधिक या उसके बराबर0

'से कम प्रकार' का तोरण खींचने के लिए हम बिंदुओं (200,0),(201,13),(202,40),(203,58),(204,68),(205,69),(206,70) को कांगज पर दर्शाति हैं और उन्हें मिलाते हैं। 'से ज्यादा' प्रकार के लिए हम बिंदुओं (200,70), (201,57),(202,30),(203,12),(204,2),(205,1),(206,0) को ग्राफ कागज पर दर्शाते हैं और उन्हें मिलाते हैं।




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Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 14 सांख्यिकी (Statistics) प्रश्नाबलीं 14 (F)

 प्रश्नाबलीं 14 (F) 

बहुविकल्पीय प्रश्न
प्रत्येक प्रश्न के चार उत्तर दिये हैं, सही उत्तर छाँटिए :

प्रश्न 1

वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य ज्ञात करने के लिए सूत्र $\bar{x}=a+h\left(\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}\right)$ में, $u_{i}=$

(i) $\frac{x_{i}+a}{h}$
(ii) $h\left(x_{i}-a\right)$
(iii) $\frac{x_{i}-a}{\text { h }}$
(iv) $\frac{a-x_{i}}{h}$

हल : 
दिया है,
$\bar{x}=a+h\left(\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}\right)$
ऊपर दिया सूत्र पद विचलन सूत्र है।
$\therefore_{i}=\frac{x_{i}-a}{h}$
अतः विकल्प (iii) सही है।

प्रश्न 2. 

वर्गीकृत आँकड़ों की ' से कम प्रकार का' और 'से अधिक प्रकार का' संचयी बास्बारता वक्रों के प्रतिच्छेद बिंदु के भुज से आँकड़ों को प्राप्त होना है :
(i) माध्य
(ii) माध्यिका
(iii) बहुलक
(iv) ये सभी'
हल : 
चूँकि भुज (x-अक्ष पर 'से कम प्रकार का' और 'से अधिक प्रकार का' तोरण वक्र के प्रतिच्छद' बिंदु से माध्यिका प्राप्त होती है। अतः विकल्प (iii) सही है। उत्तर

प्रश्न 3.

निम्नलिखित बंटन के लिए

 वर्ग 0-55-1010-1515-2020-25
बारम्बारता 101512209

बहुलक वर्ग और माध्यिका वर्ग की निम्न सीमाओं का योग है :
(i) 15
(ii) 25
(iii) 30
(iv) 35

हल : 
यहाँ,


वर्गबारम्बारतासंचयी बारम्बारता 
0-51010
5-101525
10-151237
15-202057
20-25966

अब, $\frac{\mathrm{N}}{2}=\frac{66}{2}=33$, जो वर्ग अंतराल $(10-15)$ में आती है। 

अतः माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा 10 है।

अधिकतम बारंबारता 20 है, जो वर्ग अंतराल (15-20) में आती है। इसलिए बहुलक वर्ग की निम्न सीमा 15 है। 

अतः अभीष्ट योग 10+15=25 है।

अतः  (ii) सही है।

 प्रश्न 4. 

निम्नलिखित बारंबारता बंटन के लिए 

 वर्ग 0-56-1112-1718-2324-29
बारम्बारता 131015811

माध्यिका वर्ग की उच्च सीमा है।
(i) 17
(ii) 175
(iii) 18
(iv) 18.5
हल : 

दिया गया वर्ग सतत् नहीं है। अतः हम इसकी निम्न सीमा में 0.5 घटाकर और उच्च सीमा में 0.5 जोड़कर सतत् बनते हैं।

वर्गबारम्बारतासंचयी बारम्बारता 
0-5.51313
5.5-11.51023
11.5-17.51538
17.5-23.5846
23.5-29.51157


यहाँ, $\frac{\mathrm{N}}{2}=\frac{57}{2}=28.5$, जो वर्ग अंतराल 11.5-17.5 में आती है। 
अतः उच्च सीमा $17.5$ है। अतः विकल्प (ii) सही है।

प्रश्न 5.

निम्नलिखित बंटन के लिए
अंक विद्यार्थियों की संख्या
10 से कम3
20 से कम12
30 से कम27
40 से कम57
50 से कम75
60 से कम80

बहुलक वर्ग है :
(i) 10-20
(ii) 20-30
(iii) 30-40
(iv) 50-60
हल :

अंकविद्यार्थियों की संख्या संचयी बारंबारता
10 से कम3=33
10-20(12-3)=912
20-30(27-12)=1527
30-40(57-27)=3057
40-50(75-57)=1875
50-60(80-75)=580

यहाँ, हम देखते हैं कि सबसे अधिक बारंबारता 30 है, जो वर्ग अंतराल 30-40 के अंतर्गत आती है। अतः विकल्य (iii) सही है।


प्रश्न 6.

दिए आँकड़े हैं :

वर्ग 65-8585-105105-125125-145145-165165-185185-205
बारम्बारता 4513201474

(i) 0
(ii) 19
(iii) 20
(iv) 38
अंकविद्यार्थियों की संख्यासंचयी बारंबारता
65-8544
85-10559
105-1251322
125-1452042
145-1651456
165-185763
185-205467

हल :
यहाँ, $\frac{\mathrm{N}}{2}=\frac{67}{2}=33.5$ जो अंतराल (125-145) में आता है। 
$\therefore$ अभीष्ट अंतर = उच्च सीमा - निम्न सीमा =145-125=20
अतः विकल्प (iii) सही है।



प्रश्न 7. 

110 मी की बाधा दौड़ में 150 धावकों द्वारा लिया गया समय (सेकंड में) नीवे सारणीबद्ध किया गया है :
वर्ग 13.8-1414-14.214.2-14.414.4-14.614.6-14.814.8-15
बारंबारता 245714820

धावकों की संख्या जिन्हौने दौड़ को 14.6 सेकंड से कम समय में पूरा किया है :
(i) 11
(ii) 71
(iii) 82
(iv) 130

हल : 

धावकों की संख्या जिन्होंने दौड़ को 14.6 सेकंड से कम समय में पूरा किया

=2+4+5+71=82

अतः विकल्प (iii) सही है उत्तर


प्रश्न 8. 

निम्नलिखित बंटन में
प्राप्तांकविद्यार्थियों की संख्या
0 से अधिक या उसके बराबर63
10 से अधिक या उसके बराबर58
20 से अधिक या उसके बराबर55
30 से अधिक या उसके बराबर51
40 से अधिक या उसके बराबर48
50 से अधिक या उसके बराबर42

वर्ग 30-40 की बारंबारता है :
(i) 3
(ii) 4
(iii) 48
(iv) 51
हल :

प्राप्तांक विद्यार्थियों की संख्या
0-1063-58=5
10-2058-55=3
20-3055-51=4
30-4051-48=3
40-5048-42=6
50....42=42
अतः वर्ग अंतराल (30-40) की बारंबारता 3 है।
 अतः विकल्प (i) सही है।
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Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 14 सांख्यिकी (Statistics) प्रश्नाबलीं 14 (B)

   प्रश्नाबलीं 14 (B) 

प्रश्न 1. 

नीचे की सारणी में 2010 में उच्चतर माध्यमिक विद्यालयों में मंजूर किये गये अध्यापक पदों की संख्या का बारम्बारता बंटन दिया गया है :
मंजूर किये गये अध्यापक पद विद्याल्यों की संख्या 
6-10899
11-151149
16-201553
21-251464
26-301307
31-351003
36-40833
41-45642
46-50440
कुल योग9290


प्रति उच्चतर माध्यमिक विद्यालय में मंजूर किये गये अध्यापक पदों की औसत संख्या ज्ञात कीजिए। हल :

वर्ग अन्तरालमध्यमान $(x_i)$बारम्बरता $f_i$$d_i=x_i-a$$u_i=\frac{d_i}{h}$$f_i \times u_i$
6-108899-20-4-3596
11-15131149-15-3-3447
16-20181553-10-2-3106
21-25231464-5-1-1464
26-30a=281307000
31-35331003511003
36-40388331021666
41-45436421531926
46-50484402041760
कुल योग$\Sigma f_{i}=9290$$\Sigma f_{i} u_{i}=-5258$

हम जानते हैं कि :
$\begin{aligned}\bar{x} &=a+\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \times h \\a &=28 \text { और } h=5 \\\bar{x} &=a+\bar{u} h \\\bar{x} &=28+\left(\frac{-5228}{9290}\right) \times 5 \\&=28-2.83 \\&=25.17 .\end{aligned}$

प्रश्न 2. 

निम्नलिखित सारणी में किसी जनपद के कॉलेजों में प्रवेश दिये गये छात्रों की संख्या दी गई है :
छात्रों की संख्या विद्यालयों की संख्या
60-7918
80-9924
100-11926
120-13932
140-15925
160-17919
180-19916
प्रति विद्यालय प्रविष्ट छात्रों की औसत संख्या ज्ञात कीजिए।
हल :

छात्रों की संख्यामध्यमान $(x_i)$विद्यालयों की संख्या $f_i$$d_i=x_i-za$$u_i=\frac{d_i}{h}$$f_i \times u_i$
60-7969.518-60-3-54
80-9989.524-40-2-26
100-119109.526-20-1-26
120-139129.5=a32000
140-159149.52520125
160-179169.51940238
180-199189.51660348
कुल योग $\sum f_i=160$$\Sigma f_{i} u_{i}=-17$

हम जानते हैं कि :
$\bar{x}=a+\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \times h$
a=129.5  तथा h=20
$\begin{aligned}\bar{x} &=129.5+\left(\frac{-17}{160}\right) \times 20 \\&=129.5-2.125 \\&=127.38 .\end{aligned}$

प्रश्न 3. 

किसी पुटकर बाजार में, फल विक्रेता पेटियों में रखे आम बेच रहे थे। इन पेटियों में आमों की संख्याएँ भिन्न-भिन्त धीं। पेटियों की संख्या के अनुसार, आमों का बंटन निम्नलिखित था :

 आमों की संख्या 50-5253-5556-5859-6162-64
पेटियों की संख्या1511013511525

एक पेटी में रखे आमों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए। आपने माध्य ज्ञात करने की किस विधि का प्रयोग किया है ?

हल : 
प्रश्न में दिए आंकड़े सतत् नहीं हैं, अतः हमें सर्वप्रथम दी गई|वर्ग सीमाओं को सतत् रूप में निम्न प्रेकार से बनाना होगा :

आमों की संख्यापेटियों की संख्या $(f_i)$मध्य-बिन्दु  $(x_i)$विचलन $d_i=x_i-A$$f_i \times d_i$
49.5-52.51551-6-90
52.5-55.511054-3-330
55.5-58.513557(A)00
58.5-61.5115603345
61.5-64.525636150
योग40075

$\Sigma f_{i}=400, \Sigma f_{f} d_{i}=75$ तथा $\mathrm{A}=57$ हो, तो
आमों की माध्य संख्या, $\bar{x}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{t}}$
$\begin{aligned}&=57+\frac{75}{400} \\&=57+0.1875 \\\bar{x} &=57.1875\end{aligned}$

अतः आमों की माध्य संख्या 57.19 हैं।

प्रश्न 4. 

निम्नलिखित सारणी में किसी वर्ष की छ्याध्यमिक विद्यालयों के अध्यापकों की संख्या का बारम्बारता बंटन दिया गया है। उस वर्ष की प्रति माध्यमिक विद्यालय' में अध्यापकों की औसत संख्या ज्ञात कीजिए।

अध्यापकों की संख्या मा. वि की संख्या
6-10950
11-151075
16-201660
21-251500
26-301480
31-351200
36-401085
41-45650
46-50400

हल :
वर्ग अन्तरालमध्यमान $(x_i)$बारम्बारता $(f_i)$$d_i=x_i-a$$u_i=\frac{d_i}{h}$$f_i \times u_i$
6-108950-20-4-3800
11-15131075-15-3-3225
16-20181660-10-2-3320
21-25231500-5-1-1500
26-3028=a1480000
31-35331200511200
36-403810851022170
41-45436501531950
46-50484002041600
कुल योग$ \Sigma f_{i}=10,000$$\Sigma f_{i} u_{i}=-4925$

$\begin{aligned} \bar{x} &=a+\frac{\sum f_{i} u_{i}}{\sum f_{i}} \times h \\ &=28+\left(\frac{-4925}{10,000}\right) \times 5 \\ &=28-2.4625 \\ &=25.5 \end{aligned}$


 प्रश्न 5. 

किसी फैक्टरी के 50 श्रमिकों की दैनिक मजदूरी के निम्नलिखित बंटन पर विचार कीजिए :

दैनिक मजदूरी (रुपयों में)100-120120-140140-160160-180180-200
श्रमिकों की संख्या 12148610

एक उपयुक्त विधि का प्रयोग करते हुए, इस फैक्टरी के श्रमिकों की माध्य दैनिक मजदूरी ज्ञात कीजिए।
हल :

दैनिक मजदूरी (रुपयों में )श्रमिकों की संख्या $(f_i)$मध्य-बिन्दु $(x_i)$$f_i \times x_i$
100-120121101320
120-140141301820
140-16081501200
160-18061701020
180-200101901900
योग507260

$\Sigma f_{i}=50$ तथा $\Sigma f_{i} x_{i}=7,260$ हो, तो
$\begin{aligned}\bar{x} &=\frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{t}} \\&=\frac{7260}{50} \\&=₹ 145.20 .\end{aligned}$

प्रश्न 6. 

वायु में सल्फर डाइ-ऑक्साइड $\left(\mathrm{SO}_{2}\right)$ की सान्द्रता (भाग प्रति मिलियन में) को ज्ञात करने के लिए, एक नगर के 30 मोहल्लों से आँकड़े एकत्रित किए गए, जिन्हें नीचे प्रस्तुत किया गया है :

$\text{ SO}_2$ की सान्द्रता बारम्बारता
0.00-0.044
0.04-0.089
0.08-0.129
0.12-0.162
0.16-0.204
0.20-0.242
वायु में $\mathrm{SO}_{2}$ की सान्द्रता का माध्य ज्ञात कीजिए। 

हल :

$\text{SO}_2$ की सान्द्रता बारम्बारता $(f_i)$मध्य-बिन्दु $(x_i)$$f_i \times x_i$
0.00-0.0440.020.08
0.04-0.0890.060.54
0.08-0.1290.100.90
0.12-0.1620.140.28
0.16-0.2040.180.72
0.20-0.2420.220.44
योग302.96

$\mathrm{SO}_{2}$ की सान्द्रता का माध्य, $x=\frac{\sum f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}$
$=\frac{2.96}{30}$
=0.099 भाग प्रति मिलियन
अतः वायु में $\mathrm{SO}_{2}$ की सान्द्रता का माध्य 0.099 भाग प्रति मिलियन है।
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Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 14 सांख्यिकी (Statistics) प्रश्नाबलीं 14 (C)

 प्रश्नाबलीं 14 (C) 

प्रश्न 1. 

निम्नलिखित बारम्बारता बंटन किसी मोहल्ले के 68 उपभोक्ताओं की बिजली की मासिक खपत दर्शाता है। इन आँकड़ों के माध्यक और माध्य ज्ञात कीजिए।

मासिक खपत (इकाइयों में) उपभोक्ताओं की संख्या 
65-854
85-1055
105-12513
125-14520
145-16514
165-1858
185-2054

हल :
माध्यक के लिए सारणी : 

मासिक खपत (इकाइयों में)उपभोंक्ताओं की संख्या (f)संचयी बारम्बारता (c.f.)
65-8544
85-10559
105-1251322(c.f.)
125-14520(f)42
145-1651456
165-185864
185-205468
योग68

 ∴ यहाँ पदों का योग n=68 है अर्थात्

$\frac{n}{2}=\frac{68}{2}=34 $ वाँ पद 

संचयी बारम्बारता में 34 वाँ पद या इससे अधिक या इसके निकटतम' वाला वर्ग लेते हैं जो 125 - 145 वाला वर्ग है।
अतः माध्यक वर्ग 125-145 है।

$l=125, \frac{n}{2}=34, f=20, c f .=22 $
$h=145-125=20$

 माध्यक =
$\begin{aligned}&=l+\left(\frac{\frac{n}{2}-c . f .}{f}\right) \times h \\&=125+\left(\frac{34-22}{20}\right) \times 20\end{aligned}$

$\begin{aligned}&=125+\frac{12 \times 20}{20} \\&=125+12=137 .\end{aligned}$

माध्य हेत सारणी
मासिक खपत (इकाइयों में) उपभोक्ताओं की संख्या $(f_i)$ मध्य बिन्दु $(x_i)$विचलन $d_i=x_i-A$पद विचलन $u_i=d_i/20$$f_i \times u_i$
65-85475-60-3-12
85-105595-40-2-10
105-12513115-20-1-13
125-14520135(A)000
145-1651415520114
165-185817540216
185-205419560312
योग687

माध्य, $\begin{aligned} \bar{x} &=\mathrm{A}+\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \times h \\ &=135+\frac{7}{68} \times 20 \\ &=135+\frac{140}{68} \\ &=135+2.06 \\ x &=137.06, \end{aligned}$


प्रश्न 2

निम्नलिखित बारम्बारता' बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए :

वर्ग अन्तराल 0-1010-2020-3030-4040-50
बारम्बरता891163

हल :

वर्ग अन्तरालबारम्बारतासंचयी बारम्बारता 
0-1088
10-20917
20-301128
30-40634
40-50337

$n=\frac{37}{2}=18.5, \mathrm{~L}_{1}=20, \mathrm{~L}_{2}=30, f=11, \mathrm{~F}=17$

माध्यिका $=\mathrm{L}_{1}+\frac{\mathrm{L}_{2}-\mathrm{L}_{1}}{f}\left(\frac{n}{2}-\mathrm{F}\right)$

$\begin{aligned}&=20+\frac{30-20}{11}(18.5-17) \\&=20+\frac{10}{11} \times 1.5=20+\frac{15}{11} \\&=20+1.36=2136\end{aligned}$
माध्यिका =21.36


प्रश्न 3.

निम्नलिखित बारम्बारता बंटन की मध्यिका ज्ञात कीजिये :

वर्ग अन्तराल0-1010-2020-3030-4040-50
बारम्बारता981253
हल :
 वर्ग अन्तराल बारम्बारतासंचयी बारम्बारता 
0-1099
10-20817
20-301229
30-40534
40-50337

$=\frac{n}{2} =18.5, \mathrm{~F}=17, f=12, \mathrm{~L}_{1}=20, \mathrm{~L}_{2}=30 $ 

माध्यिका=
$\begin{aligned}  &=\mathrm{L}_{1}+\frac{\mathrm{L}_{2}-\mathrm{L}_{1}\left(\frac{n}{2}-\mathrm{F}\right)}{f} \\ &=20+\frac{30-20}{12}(18.5-17) \\ &=20+\frac{10}{12} \times 1.5 \\ &=2125. \end{aligned}$

 मध्यिका =2125 
उत्तर

प्रश्न 4.

निम्नलिखित सारणी से माध्यिका ज्ञात कीजिए :
 वर्ग अन्तराल 0-1010-2020-3030-4040-50
बारम्बारता 6912815

हल :
 वर्ग अन्तरालबारम्बारता संचयी बारम्बांरतं
0-1066
10-20915
20-301227
30-40835
40-501550

 $\frac{n}{2}=\frac{50}{2} =25, \mathrm{~F}=15, f=12, \mathrm{~L}_{1}=20, \mathrm{~L}_{2}=30$

माध्यिका=
$\begin{aligned}&=\mathrm{L}_{1}+\frac{\mathrm{L}_{2}-\mathrm{L}_{1}\left(\frac{n}{2}-\mathrm{F}\right)}{f} \\ &=20+\frac{30-20}{12}(25-15) \\ &=20+\frac{10}{12} \times 10 \\ &=20+\frac{25}{3} \\ &=20+8.33=28.33 . \end{aligned}$

माध्यिका=28.33
उत्तर


 प्रश्न 5.

यदि नीचे दिए हुए बंटन का माध्यक 28.5 हो तो x और y के मान ज्ञात कीजिए :
वर्ग-अन्तरालबारम्बारता (f)
0-105
10-20x
20-3020
30-4015
40-50y
50-605
योग60

हल : 
माध्यक हेतु सारणी
 वर्ग-अन्तराल  बारम्बारता (f)संचयी बारम्बारता (c.f)
0-1055
10-20x5+x
20-3020 f25+x
30-401540+x
40-50y40+x+y
50-60545+x+y
योगn=60

दिया है,
n=60 अर्थात् $\frac{n}{2}=30$
अतः 45+x+y=60

∴x+y=60-45=15....(i)

मध्यक 28.5 है, जो वर्ग $20-30$ में स्थित है।

J=20, f=20, c . f=5+x, h=10

माध्यक=
$\begin{aligned} &=l+\left(\frac{\frac{n}{2}-c . f .}{f}\right) \times h \\ 28.5 &=20+\left(\frac{30-5-x}{20}\right) \times 10 \\ 28.5-20 &=\frac{25-x}{2} \\ 8.5 &=\frac{25-x}{2} \\ 25-x &=17 \\-x &=17-25 \\-x &=-8 \\ x &=8 \end{aligned}$

x का मान समीकरण (i) में रखने पर,

8+y=15

$\therefore=15-8=7$

अतः x=8 तथा y=7

प्रश्न 6. 

नीचे दिया हुआ बंटन एक कक्षा के 30 विद्यार्थियों के भार दर्शा रहा है। विद्यार्थियों का माध्यक भार ज्ञात कीजिए।

भार (किग्रा में)विद्यार्थियों की संख्या 
40-452
45-503
50-558
55-606
60-656
65-703
70-752
हल : 
माध्यक भार हेतु सारणी
भार (किग्रा में)विद्यार्थियों की संख्या (बारम्बारता)संचयी बारम्बारता
40-4522
45-5035
50-55813 (c.f)
55-606(f)19
60-65625
65-70328
700-75230
योग30
$\because \frac{n}{2}=\frac{30}{2}=15$ वाँ पद, जो संचयी बारम्बारता में 19 के समीप है। अतः माध्यक वर्ग 55-60 होगा।
$f =6, c . f=13, \frac{n}{2}=15$ , $ l_{1}=55, l_{2}=60$
$h=l_{2}-l_{1}=60-55=5$

माध्यक=
$\begin{aligned} &=l_{1}+\left(\frac{\frac{n}{2}-c . f .}{f}\right) \times h \\ &=55+\left(\frac{15-13}{6}\right) \times 5 \\ &=55+\frac{10}{6} \\ &=55+1.67=56.67 \end{aligned}$
अतः विद्यार्थियों का माध्यक भार 56.67 किग्रा होगा।

प्रश्न 7. 

निम्नलिखित बंटन के लिए माध्यिका ज्ञात कीजिए :
वर्ग0-1010-2020-3030-4040-50
बारम्बारता2036443318
हल : 
वर्ग अन्तरालबारम्बारतासंचयी बारम्बारतां 
0-102020
10-203656
20-3044100
30-4033133
40-5018151

$=\frac{n}{2}=\frac{151}{2} =75.5, \mathrm{~F}=56, f=44, \mathrm{~L}_{1}=20,\mathrm{~L}_{2}=30$

माध्यिका =
$\begin{aligned} &=\mathrm{L}_{1}+\frac{\mathrm{L}_{2}-\mathrm{L}_{1}}{f}\left(\frac{n}{2}\mathrm{F}\right) \\&=20+\frac{30-20}{44}(75.5-56) \\&=20+\frac{10}{44} \times 19.5 \\&=20+4.43=24.43\end{aligned}$
माध्यिका =24.43

प्रश्न 8.

निम्न सारणी में कुछ व्यक्तियों का आयकर दिया गया है। उनकी माध्यिका ज्ञात कीजिए : 

आयकर (रुपयों में)व्यक्तियों की संख्या 
10-256
25-4020
40-5544
55-7026
70-853
85-1001
हल : 
आयकर (रुपयों में) छात्रों की संख्यासंचयी बारम्बारता
10-2566
25-402026
40-554470
55-702696
70-85399
85-1001100

$=\frac{n}{2}=\frac{100}{2} =50, \mathrm{~F}=26$ , $ f=44, \mathrm{~L}_{1}=40, \mathrm{~L}_{2}=55$

माध्यिका= 
$\begin{aligned} &=\mathrm{L}_{1}+\frac{\mathrm{L}_{2}-\mathrm{L}_{1}}{f}\left(\frac{n}{2}-\mathrm{F}\right) \\ &=40+\frac{55-40}{44}(50-26) \\ &=40+\frac{15}{44} \times 24 \end{aligned}$

$\begin{aligned}&=40+\frac{15}{11} \times 6 \\&=40+\frac{90}{11} \\&=40+8.18 \\&=48.18 \end{aligned}$
माध्यिका =48.18 

 प्रश्न 9.
निम्न सारणी से माध्यिका ज्ञात कीजिए :
वर्ग0-1010-2020-3030-4040-50
बारम्बारता24732

हल : 

 वर्ग अन्तराल बारम्बारतासंचयी बारम्बारता 
0-1022
10-2046
20-30713
30-40316
40-50218

$ =\frac{n}{2}=\frac{18}{2} =9, \mathrm{~F}=6, f=7 $ , $\mathrm{~L}_{1}=20, \mathrm{~L}_{2}=30  $

माध्यिका=
$\begin{aligned}&=\mathrm{L}_{1}+\frac{\mathrm{L}_{2}-\mathrm{L}_{1}}{f}\left(\frac{n}{2}-\mathrm{F}\right) \\ &=20+\frac{30-20}{7}(9-6) \\ &=20+\frac{10}{7} \times 3 \\ &=20+\frac{30}{7} \\ &=20+4.3 \\ &=24.3 \\ \text { माध्यिका } &=24.3 . \end{aligned}$

प्रश्न 10. 

एक जीवन बीमा एजेंट 100 पॉलिसी धारकों की आयु के बंटन के निम्नलिखित' आँकड़े प्राप्त करता है। माध्यक आयु परिकलित' कीजिए, यदि पॉलिसी केवल उन्हीं व्यक्तियों को दी जानी है, जिनकी आयु 18 वर्ष या उससे अधिक हो, परन्तु 60 से कम हो।

आयु (वर्षों में)पालिसी धारकों की संख्या
202
256
3024
3545
4078
4589
5092
5598
60100

हल : 
दी गयी सारणी में पॉलिसी धारकों की संख्या बढ़ते क्रम में हैं अर्थात् यह संचयी बारम्बारता के रूप में है, अब हम सर्वप्रथम इसे बारम्बारता बंटन सारणी में प्रस्तुत करेंगे।


सारणी
वर्ग-अन्तरालबारम्बारता संचयी बारम्बारता
15-2022
20-2546
25-301824
30-352145
35-403378
40-451189
45-50392
50-55698
55-602100
योगn=100

हम जानते हैं कि संचयी बारम्बारता के 50 वें पद का मान 78 के समीप है जो 35-40 के वर्ग में है।

$l =35, \frac{n}{2}=50, f=33, c . f=45 $
$h =l_{2}-l_{1}=40-35=5$

माध्यक =
$\begin{aligned} &=l+\left(\frac{\frac{n}{2}-c \cdot f}{f}\right) \\ &=35+\left(\frac{50-45}{33}\right) \times 5 \\ &=35+\frac{25}{33}=35+0.76=35.76 \end{aligned}$

अतः माध्यक आयु 35.76 वर्ष है।

प्रश्न 11. 

निम्नलिखित बारम्बारता बंटन से माध्यिका की गणना कीजिए :

वर्ग अन्तराल10-1515-2020-2525-3030-3535-40
बारम्बारता56101595
हल :
वर्ग अन्तरालबारम्बारता संचयी बारम्बारता
10-1555
15-20611
20-251021
25-301536
30-35945
35-40550

$\frac{n}{2}=\frac{50}{2} =25$ , $ L_{1}=25, L_{2}=30, \mathrm{~F}=21, f=15$

माध्यिका=
$\begin{aligned} &=L_{1}+\frac{L_{2}-L_{1}}{f}\left(\frac{n}{2}-\mathrm{F}\right) \\ &=25+\frac{30-25}{15}(25-21) \\ &=25+\frac{5}{15} \times 4=25+\frac{4}{3}=25+1.3 \\ &=26.3 . \end{aligned}$

प्रश्न 12. 

एक पौधे की 40 पत्तियों की लम्बाइयाँ निकटतम मिलीमीटरों में मापी जाती है तथा प्राप्त आँकडों को निम्नलिखित सारणी के रूप में निरूपित किया जाता है .

लम्बाई (मिमी में)  पत्तियों की संख्या
118-1263
127-1355
136-1449
145-15312
154-1625
163-1714
172-1802
पत्तियों की माध्यक लम्बाई ज्ञात कीजिए।

हल : 
माध्यक ज्ञात करने के लिए आँकड़ों को सतत वर्ग-अन्तरालों में बदलना पड़ेगा क्योंकि सूत्र में वर्ग-अन्तरालों को सतत माना गया है।
 वर्ग पतियों की संख्या (बारम्बारता)संचयी बारम्बारता
117.5-126.533
126.5-135.558
135.5-144.5917(c.f.)
144.5-153.512(f)29
153.5-162.5534
162.5-171.5438
171.5-180.5240
योगn=40
$\therefore \frac{n}{2}=\frac{40}{2}=20$ वाँ पद जो संचयी बारम्बारता में 29 के समीप है अर्थात् माध्यक वर्ग $144.5^{\circ}-153.5$ है।

$\begin{aligned} f &=12, \frac{n}{2}=20, c f=17 \\ l_{1} &=144.5, l_{2}=153.5 \\ h &=l_{2}-l_{1}=153.5-144.5=9 \\ \text { माध्यक } &=l+\left(\frac{\frac{n}{2}-c . f .}{f}\right) \times h \\ &=144.5+\left(\frac{20-17}{12}\right) \times 9 \\ &=144.5+\frac{3 \times 9}{12} \\ &=144.5+2.25=146.75 \end{aligned}$

अतः माध्यक लम्बाई 146.75 मिमी होगी।

प्रश्न 13.
निम्नलिखित सारणी 400 नियॉन लैम्पों के जीवन कालों (Life Time) को प्रदर्शित करती है : 

 जीवन काल (घप्टों में)लैम्यों की संख्या 
1500-200014
2000-250056
2500-300060
3000-350086
3500-400074
4000-450062
4500-500048

एक लैम्प का माध्यक जीवन काल ज्ञात कीजिए।
हल : 
माध्यक जीवन-काल हेतु सारणी

जीवन काल (घष्टों में)लैम्पों की संख्यासंचयी बारम्बारता
1500-20001414
2000-25005670
2500-30006013
3000-350086(f)216 (c.f.)
3500-400074290
4000-450062352
4500-500048400
योगn=400

$\because \frac{n}{2}=\frac{400}{2}=200$ वाँ पद, जो संचयी बारम्बारता के 216 के समीप है। अतः माध्यक वर्ग 3000-3500 होगा।

$f =86, \frac{n}{2}=200, c . f=130, l=3000$

$h=l_{2}-l_{1}=3500-3000=500 $

माध्यक=
$\begin{aligned} &=l+\left(\frac{\frac{n}{2}-c . f .}{f}\right) \times h \\ &=3000+\left(\frac{200-130}{86}\right) \times 500 \\ &=3000+\frac{70 \times 500}{86} \\ &=3000+\frac{35000}{86} \\ &=3000+406.98=3406.98 \end{aligned}$
अतः लैम्प का माध्यक जीवन काल 3406.98 घण्टे है।


प्रश्न 14. 

एक स्थानीय टेलीफोन निर्देशिका से 100 कुलनाम (Surnames) लिए गए और उनमें प्रयुक्त अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों की संख्या का निम्नलिखित बारम्बारता बंटन प्राप्त हुआ :
अक्षरों की संख्या कुल नामों की संख्या
1-46
4-730
7-1040
10-1316
13-164
16-194

कुलनामों में माध्यक अक्षरों की संख्या ज्ञात कीजिए। कुलनामंं में माध्य अक्षरों की संख्या भी ज्ञात कीजिए।

हल : 
माध्यक तथा बहुलक हेतु सारणी
अक्षरों की संख्या (वर्ग)कुलनामों की संख्या (बारम्बारता) संचयी बारम्बारता
1-466
4-73036(c.f.)
7-1040(f)76
10-131692
13-16496
16-194100
योगn=100

$\because \frac{n}{2}=\frac{100}{2}=50$ वाँ पद, जो संचयी बारम्बारता में 76 के समीप है। अतः माध्यक वर्ग 7-10 होगा।
$f=40, c f_{1}=36, \frac{n}{2}=50, l=7 $
$h=l_{2}-l_{1}=10-7=3$

माध्यक =
$\therefore \begin{aligned} &=l+\left(\frac{\frac{n}{2}-c . f .}{f}\right) \times h \\&=7+\left(\frac{50-36}{40}\right) \times 3 \\&=7+\frac{42}{40}=7+1.05\end{aligned}$
माध्यक =8.05

अक्षरों की संख्याकुलनामों की संख्या $(f_i)$मध्य बिन्दु $x_i$$f_i \times x_i$
1-462.515
4-7305.5165
7-10408.5340
10-131611.5184
13-16414.558
16-19417.570
योग100832
$\begin{aligned} x &=\frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}} \\ &=\frac{832}{100}=8.32 . \end{aligned}$
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