प्रश्नावली 2(H)
बहुविकल्पीय प्रश्न
प्रत्येक प्रश्न के चार उत्तर दिये हुए हैं, सही उत्तर छाँटिए :
प्रश्न 1
$x^{2}-7 x+12$ के गुणनखण्ड हैं :
(i) (x-7)(x-5)
(ii) (x+7)(x-5)
(iii) (x-4)(x-3)
(iv) (x+4)(x-3)
उत्तर : (iii) $(x-4)(x-3)$.
हल :
$\begin{aligned} x^{2}-7 x+12 &=x^{2}-4 x-3 x+12 \\ &=x(x-4)-3(x-4) \\ &=(x-4)(x-3) \end{aligned}$
प्रश्न 2
$x^{2}-5 x+6$ के गुणनखण्ड हैं :
(i) (x-2)(x-3)
(ii) (x+6)(x-1)
(iii) (x-1)(x+6)
(iv) (x+2)(x+3)
हल : $x^{2}-5 x+6$
यहाँ
$\begin{aligned} p-q &=6, p+q=-5 \\ 6 &=1 \times 6,(-1) \times(-6), 2 \times 3,(-2) \times(-3) \end{aligned}$
लेकिन
$\begin{aligned} p &=-2, q=-3 \text { लेंगे } \\ p q &=6, p+q=-5 \\ x^{2}-5 x+6 &=x^{2}-2 x-3 x+6 \\ &=x(x-2)-3(x-2) \\ &=(x-2)(x-3) . \end{aligned}$
प्रश्न 3
$x^{2}+2 x-15$ के गुणनखण्ड हैं :
(i) (x-5)(x+3)
(ii) (x+5)(x-3)
(iii) (x-5)(x-3)
(iv) (x+5)(x+3)
उत्तर : विकल्प (ii) $(x+5)(x-3)$.
हल :
$x^{2}+2 x-15=x^{2}+(5-3) x-15, \quad[\because 15=5 \times 3,5-3=2]$
$=x^{2}+5 x-3 x-15$
=x(x+5)-3(x+5)
=(x+5)(x-3)
प्रश्न 4
$p^{2}-11 p+24$ के गुणनखण्ड हैं :
(i) (p-8)(p-3)
(ii) (p+8)(p-3)
(iii) (p-8)(p+3)
(iv) (p+8)(p+3)
उत्तर : विकल्प (i) $(p-8)(p-3)$.
हल :
$p^{2}-11 p+24=p^{2}-(3+8) p+24, \quad[\because 24=3 \times 8,3+8=11]$
$=p^{2}-3 p-8 p+24$
=p(p-3)-8(p-3)
=(p-3)(p-8)
=(p-8)(p-3)
अति लघु उत्तरीय प्रश्न :
निम्नलिखित के गुणनखण्ड कीजिए (प्रश्न 5 से 10 तक) :
प्रश्न 5
$4 y^{2}-4 y+1$.
हल :
यहाँ p+q=-4
pq=4
∵ $4 y^{2}-4 y+1=4 y^{2}-2 y-2 y+1$
=2y(2y-1)-1(2y-1)
=(2y-1)(2y-1)
प्रश्न 6
$x^{2}+\frac{1}{6} x-\frac{1}{6}$
हल :
यहाँ
$\begin{aligned} p+q &=\frac{1}{6}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3} \\ p q &=-\frac{1}{6}=-\frac{1}{2} \because \frac{1}{3} \end{aligned}$
∴ $\begin{aligned} x^{2}+\frac{1}{6} x-\frac{1}{6} &=x^{2}+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) x-\frac{1}{6} \\ &=x^{2}+\frac{1}{2} x-\frac{1}{3} x-\frac{1}{6} \\ &=x\left(x+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{3}\left(x+\frac{1}{2}\right) \\ &=\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right) \end{aligned}$
प्रश्न 7
$c^{2}+16 c-36$
हल :
$c^{2}+16 c-36=c^{2}+(18-2) c-36, \quad[\because 18 \times 2=36,18-2=16]$
$=c^{2}+18 c-2 c-36$
=c(c+18)-2(c+18)
=(c+18)(c-2)
प्रश्न 8
$x^{2}-13 x+36$.
हल :
यहाँ
$\begin{aligned} \dot{p}+q &=-13 \\ p q &=36 \\ 36 &=9 \times 4 \\ 13 &=9+4 \end{aligned}$
$\begin{aligned} x^{2}-13 x+36 &=x^{2}-9 x-4 x+36 \\ &=x(x-9)-4(x-9) \\ &=(x-9)(x-4) \end{aligned}$
प्रश्न 9
$x^{2}-4 x-5$
हल :
$48+2 x-x^{2}=48+(8-6) x-x^{2}, \quad[\because 8 \times 6=48,8-6=2]$
$=48+8 x-6 x-x^{2}$
=8(6+x)-x(6+x)
=(6+x)(8-x)
=(8-x)(6+x)
लघु उत्तरीय प्रश्न :
निम्नलिखित द्विघाती बहुपदों के मध्य पद को दो भागों में बाँटकर इनके गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए ( प्रश्न 11 से 27 तक):
प्रश्न 11
$x^{2}+5 x-6$
हल :
$x^{2}+5 x-6=x^{2}+(6-1) x-6, \quad[\because 6 \times 1=6,6-1=5]$
$=x^{2}+6 x-x-6$
=x(x+6)-1(x+6)
=(x+6)(x-1)
प्रश्न 12
$x^{2}-6 x-91$
हल : यहाँ
$\begin{aligned} p+q &=-6 \\ p q &=-91 \\ 91 &=13 \times 7 \\-6 &=-13+7 \end{aligned}$
$\begin{aligned} x^{2}-6 x-91 &=x^{2}-13 x+7 x-91 \\ &=x(x-13)+7(x-13) \\ &=(x-13)(x+7) \end{aligned}$
प्रश्न 13
$x^{2}-30 x y+29 y^{2}$
हल :
$x^{2}-30 x y+29 y^{2}=x^{2}-(29+1) x y+29 y^{2} \quad[\because 29=29 \times 1,29+1=30]$
$=x^{2}-29 x y-x y+29 y^{2}$
=x(x-29y)-y(x-29y)
=(x-29y)(x-y)
प्रश्न 14
$x^{2}+8 x-105$
हल :
$x^{2}+8 x-105=x^{2}+(15-7) x-105, \quad[\because 105=15 \times 7,15-7=8]$
$=x^{2}+15 x-7 x-105$
=x(x+15)-7(x+15)
=(x+15)(x-7)
प्रश्न 15
$x^{2}-22 x+121$.
हल :
यहाँ
$\begin{aligned} p+q &=-22 \\ p q &=121 \\ 121 &=11 \times 11 \\ 22 &=11+11 \end{aligned}$
$\begin{aligned} x^{2}-22 x+121 &=x^{2}-11 x-11 x+121 \\ &=x(x-11)-11(x-11) \\ &=(x-11)(x-11) \end{aligned}$
प्रश्न 16
$a^{2}+12 a+32$.
हल :
$a^{2}+12 a+32$
यहाँ p+q=12
pq=32
12=8+4
32=8×4
$\begin{aligned} a^{2}+8 a+4 a+32 &=a(a+8)+4(a+8) \\ &=(a+8)(a+4) \end{aligned}$
प्रश्न 17
$x^{2}-(a+b) x+a b$
हल :
$x^{2}-(a+b) x+a b=x^{2}-a x-b x+a b$
=x(x-a)-b(x-a)
=(x-a)(x-b)
प्रश्न 18
$x^{2}-7 x-30$
हल :
$x^{2}-7 x-30=x^{2}-(10-3) x-30$ $[\because 30=10 \times 3,10-3=7]$
$=x^{2}-10 x+3 x-30$
=x(x-10)+3(x-10)
=(x-10)(x+3)
प्रश्न 19
$-30-x+x^{2}$
हल :
$-30-x+x^{2}$
या $x^{2}-x-30=x^{2}-(6-5) x-30$$[\because 30=6 \times 5,6-5=1]$
$=x^{2}-6 x+5 x-30$
=x(x-6)+5(x-6)
=(x-6)(x+5)
प्रश्न 20
$(x+y)^{2}-3 x-3 y+2$
हल :
$(x+y)^{2}-3 x-3 y+2=(x+y)^{2}-3(x+y)+2$
$=(x+y)^{2}-(x+y)-2(x+y)+2$
=(x+y)(x+y-1)-2(x+y-1)
=(x+y-1)(x+y-2)
प्रश्न 21
$-45-4 x+x^{2}$.
हल :
$x^{2}-4 x-45$
यहाँ p+q=-4
$\begin{aligned} p q &=-45 \\ 45 &=9 \times 5 \\-4 &=-9+5 \end{aligned}$
$\therefore \quad x^{2}-4 x-45=x^{2}-9 x+5 x-45$
=x(x-9)+5(x-9)
=(x-9)(x+5)
प्रश्न 22
$x^{2}-8-2 x$
हल :
$x^{2}-2 x-8$
यहाँ p+q=-2
$\begin{aligned} p q &=-45 \\ 45 &=9 \times 5 \\-4 &=-9+5 \end{aligned}$
$\begin{aligned} \therefore \quad x^{2}-4 x-45 &=x^{2}-9 x+5 x-45 \\ &=x(x-9)+5(x-9) \\ &=(x-9)(x+5) \end{aligned}$
प्रश्न 22
$x^{2}-8-2 x$.
हल :
$x^{2}-2 x-8$
यहाँ
$\begin{aligned} p+q &=-2 \\ p q &=-8 \\-8 &=-4 \times 2 \\-2 &=-4+2 \end{aligned}$
$\begin{aligned} x^{2}-2 x-8 &=x^{2}-4 x+2 x-8 \\ &=x(x-4)+2(x-4) \\ &=(x-4)(x+2) \end{aligned}$
प्रश्न 23
$x^{2}-25 x-84 .$
हल :
$x^{2}-25 x-84=x^{2}-(28-3) x-84, \quad[\because, 84=28 \times 3,28-3=25]$
$=x^{2}-28 x+3 x-84$
=x(x-28)+3(x-28)
=(x-28)(x+3)
प्रश्न 24
$\frac{1}{2} x^{2}-3 x+4$
हल :
$\frac{1}{2} x^{2}-3 x+4=\frac{1}{2}\left(x^{2}-6 x+8\right)$
$=\frac{1}{2}\left[x^{2}-(4+2) x+8\right]$ $[\because 8=4 \times 2,4+2=6]$
$=\frac{1}{2}\left[x^{2}-4 x-2 x+8\right]$
$=\frac{1}{2}[x(x-4)-2(x-4)]$
$=\frac{1}{2}(x-2)(x-4)$
प्रश्न 25
$18-11 x+x^{2}$.
हल :
$18-11 x+x^{2}$
या $x^{2}-11 x+18=x^{2}-(9+2) x+18$ $[\because 18=9 \times 2,9+2=11]$
$=x^{2}-9 x-2 x+18$
=x(x-9)-2(x-9)
=(x-2)(x-9)
प्रश्न 26
$x^{2}-10 x+24$.
हल :
$\begin{aligned} x^{2}-10 x+24 &=x^{2}-(6+4) x+24 \\ &=x^{2}-6 x-4 x+24 \\ &=x(x-6)-4(x-6) \\ &=(x-6)(x-4) \end{aligned}$
प्रश्न 27
$x^{2}-18 x+77$.
हल :
$x^{2}-18 x+77=x^{2}-(11+7) x+77$
$=x^{2}-11 x-7 x+77$
=x(x-11)-7(x-11)
=(x-11)(x-7)
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
निम्नलिखित के गुणनखण्ड कीजिए (प्रश्न 28 से 34 तक ):
प्रश्न 28
$x^{2}-3 x-108$
हल :
$x^{2}-3 x-108$
यहाँ
$\begin{aligned} p+q &=-3 \\ p q &=-108 \\ 108 &=12 \times 9 \\-3 &=-12+9 \end{aligned}$
$\therefore \quad x^{2}-3 x-108=x^{2}-12 x+9 x-108$
=x(x-12)+9(x-12)
=(x-12)(x+9)
प्रश्न 29
$b^{2} c^{3}+8 b c^{4}+12 c^{5}$.
हल :
$\begin{aligned}b^{2} c^{3}+8 b c^{4}+12 c^{5} &=c^{3}\left[b^{2}+8 b c+12 c^{2}\right] \\&=c^{3}\left[b^{2}+(6+2) b c+12 c^{2}\right], \quad\left[\because 6 \times 2=12^{\prime},6+2=8\right] \\&=c^{3}\left[b^{2}+6 b c+2 b c+12 c^{2}\right] \\&=c^{3}[b(b+6 c)+2 c(b+6 c)] \\&=c^{3}(b+6 c)(b+2 c) .\end{aligned}$
प्रश्न 30
$a^{2} b^{2}-3 a b-18$
हल :
$\begin{aligned}a^{2} b^{2}-3 a b-18 &=a^{2} b^{2}-(6-3) a b-18, \quad[\because 6 \times 3=18,6-3=3] \\&=a^{2} b^{2}-6 a b+3 a b-18 \\&=a b(a b-6)+3(a b-6) \\&=(a b-6)(a b+3) .\end{aligned}$
प्रश्न 31
$x^{2}+2 \sqrt{3 x}-24$
हल :
$\begin{aligned}x^{2}+2 \sqrt{3 x}-24 &=x^{2}+(4 \sqrt{3}-2 \sqrt{3}) x-24 \\&=x^{2}+4 \sqrt{3 x}-2 \sqrt{3 x}-24 \\&=x(x+4 \sqrt{3)}-2 \sqrt{3(} x+4 \sqrt{3)}\\&=(x+4 \sqrt{3})(x-2 \sqrt{3)}\end{aligned}$
प्रश्न 32
$8 x^{2}+2 x y-15 y^{2}$
हल :
$\begin{aligned}8 x^{2}+2 x y-15 y^{2} &=8 x^{2}+(12-10) x y-15 y^{2} \\&=8 x^{2}+12 x y-10 x y-15 y^{2} \\&=4 x(2 x+3 y)-5 y(2 x+3 y) \\&=(2 x+3 y)(4 x-5 y)\end{aligned}$
प्रश्न 33
$y^{2}+2 y-120$
हल : $y^{2}+2 y-120$
यहाँ
$\begin{aligned}p+q &=2 \\p q &=-120 \\120 &=12 \times 10 \\2 &=12-10 \\y^{2}+2 y-120 &=y^{2}+12 y-10 y-120 \\&=y(y+12)-10(y+12) \\&=(y+12)(y-10)\end{aligned}$
प्रश्न 34
$y^{2}-36 y-160$
हल :
यहाँ p+q=-36 तथा pq=-160
$-36=-40+4,160=40 \times 4$
$\therefore \quad y^{2}-36 y-160=y^{2}-40 y+4 y-160$
=y(y-40)+4(y-40)
=(y-40)(y+4)
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