प्रश्नावली 2(C)
बहुविकल्पीय प्रश्न :
प्रत्येक प्रश्न के चार उत्तर दिये हुए हैं, सही उत्तर छाँटिए :
प्रश्न 1
यदि p(-8)=0 हो, तो बहुपद p(x) का एक गुणनखण्ड होगा :
(i) (x-3)
(ii) x+8
(iii) 3x
(iv) $\frac{x}{2}$
उत्तर :
विकल्प (ii) x+8
हल :
p(-8)=0
p(x)=x+8
प्रश्न 2
बहुपद $x^{2}+3 x+6$ को x+4 से भाग देने पर प्राप्त शेषफल होगा :
(i) -10
(ii) 3
(iii) 5
(iv) -2
उत्तर : विकल्प (i) -10
हल :
x+4=0
x=-4
शेषफल }
$\begin{aligned} &=(-4)^{2}+8(-4)+6 \\ &=16-32+6 \\ &=-10 \end{aligned}$
प्रश्न 3
$x^{3}-3 x^{2}+4 x-12$ का एक गुणनखण्ड है :
(i) x-3
(ii) x-1
(iii) x-2
(iv) x-4
उत्तर : विकल्प (i) x-3
हल :
$\begin{aligned} x^{3}-3 x^{2}+4 x-12 &=x^{2}(x-3)+4(x-3) \\ &=(x-3)\left(x^{2}+4\right) \end{aligned}$
अतः x-3 एक गुणनखण्ड है।
प्रश्न 4
$2 x^{3}+4 x+6$ का एक गुणनखण्ड है :
(i) x-1
(ii) x+1
(iii) x-2
(iv) x+2
उत्तर : विकल्प (ii) x+1
x+1=0
या
शेषफल
$\begin{aligned} &=2(-1)^{3}+4(-1)+6 \\ &=-2-4+6 \\ &=0 \end{aligned}$
अतः (x+1) एक गुणनखण्ड है।
लघु उत्तरीय प्रश्न :
निम्नलिखित प्रत्येक प्रश्न में बहुपद p को बहुपद g से भाग दीजिए और भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए। यह भी बताइए कि किसमें g, p का गुणनखण्ड है ( प्रश्न 5 से 11 तक ):
प्रश्न 5
$p(x)=x+3 x^{2}-1$ तथा g(x)=1+x
हल :
$\frac{p(x)}{g(x)}=\frac{3 x^{2}+x-1}{1+x}$
(image to be added)
यहाँ भागफल 3x-2 तथा शेषफल 1 है।
अतः g, p का गुणनफल नहीं है।
प्रश्न 6
$p(x)=x^{3}+3 x^{2}-12 x+4$ और g(x)=x-2
हल :
$\frac{p(x)}{g(x)}=\frac{x^{3}+3 x^{2}-12 x+4}{x-2}$
(image to be added)
अतः भागफल $=x^{2}+5 x-2$
शेषफल =0
तथा g, p का गुणनखण्ड है ।
प्रश्न 7
p $(t)=\beta^{3}-3 t^{2}-t+3$ और $g(t)=t^{2}-4 t+3$.
हल :
$\frac{p(t)}{g(t)}=\frac{t^{3}-3 t^{2}-t+3}{t^{2}-4 t+3}$
(image to be added)
यहाँ भागफल t+1 और शेषफल शून्य है। हम लिखते हैं :
$t^{3}-3 t^{2}-t+3=(t+1)\left(t^{2}-4 t+3\right)$
अत: g, p का गुणनखण्ड है ।
प्रश्न 8
$p(x)=x^{4}+1$ और g(x)=x+1
हल :
$\frac{p(x)}{g(x)}=\frac{x^{4}+1}{x+1}$
(image to be added)
अतः भागफल $=x^{3}-x^{2}+x-1$
शेषफल =2
तथा g, p कां गुणनखण्ड नहीं है ।
प्रश्न 9
$p(x)=x^{5}+5 x^{3}+3 x^{2}+5 x+3$
$g(x)=x^{2}+4 x+2$
हल :
$\frac{p(x)}{g(x)}=\frac{x^{5}+5 x^{3}+3 x^{2}+5 x+3}{x^{2}+4 x+2}$
(image to be added)
अत : भागफल $\begin{aligned}&=x^{3}-4 x^{2}+19 x-65\end{aligned}$
शेषफल=227x+133
तथा g, p का गुणनखण्ड नहीं है ।
प्रश्न 10
$p(x)=y^{3}+y^{2}-2 y+1$ और $g(x)=y+3$.
हल :
$\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{y^{3}+y^{2}-2 y+1}{y+3}$
(image to be added)
यहाँ भागफल $y^{2}-2 y+4$ और शेषफल -11 है।
तथा g, p का गुणनखण्ड नहीं है।
प्रश्न 11
$p(x)=x^{4}-81$ और g(x)=x-3
हल :
$\frac{p(x)}{g(x)}=\frac{x^{4}-81}{x-3}$
(image to be added)
भागफल $=x^{3}+3 x^{2}+9 x+27$
शेषफल =शून्य
अतः g(x), p(x) का गुणनखण्ड है।
प्रश्न 12
शेषफल ज्ञात कीजिए जबकि $x^{3}-a x^{2}+6 x-a$ को (x-a) से भाग दिया जाता है।
हल :
दिया है, $P(x)=x^{3}-a x^{2}+6 x-a$
P(x) में शेषफल प्रमेय से x-a=0
या
x=a रखने पर,
$\begin{aligned} P(a) &=a^{3}-a(a)^{2}+6(a)-a \\ &=a^{3}-a^{3}+6 a-a=5 a \end{aligned}$
अतः P(x) में (x-a) से भाग देने पर शेषफल =5a
प्रश्न 13
यदि x-1,$4 x^{3}+3 x^{2}-4 x+k$ का एक गुणनखण्ड है, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
क्योंकि x-1, $p(x)=4 x^{3}+3 x^{2}-4 x+k$ का एक गुणनखण्ड है, इसलिए
p(1)=0 होगा
$p(1)=4(1)^{3}+3(1)^{2}-4(1)+k$
=4+3-4+k
3+k=0 या k=-3
प्रश्न 14
(i) जाँच कीजिए कि बहुपद $q(t)=4 t^{3}+4 t^{2}-t-1$, 2t+1 का एक गुणज है।
हल :
जैसा कि आप जानते हैं कि q(t). बहुपद 2t+1 का गुणज केवल तब होगा जबकि 2t+1 से q(t) को भाग देने पर कोई शेष न बचता हो।
अब 2t+1=0 लेने पर हमें यह प्राप्त होता है :
$t=\frac{1}{2}$
और $\begin{aligned} q\left(-\frac{1}{2}\right) &=4\left(-\frac{1}{2}\right)^{3}+4\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)-1 \\ &=-\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}-1 \\ &=0 \end{aligned}$
अतः q(t) को 2t+1 से भाग देने पर प्राप्त शेषफल 0 है।
अत: 2t+1 दिए हुए बहुपद q(t) का एक गुणनखण्ड है अर्थात् q(t), 2t+1 का एक गुणज है।
(ii) जाँच कीजिए कि $7+3 x, 3 x^{3}+7 x$ का एक गुणनखण्ड है या नहीं।
हल :
माना $P(x)=3 x^{3}+7 x$
P(x) में शेषफल प्रमेय से 7+3 x=0 या $x=\frac{-7}{3}$ रखने पर,
$\begin{aligned}P\left(-\frac{7}{3}\right) &=3\left(-\frac{7}{3}\right)^{3}+7\left(-\frac{7}{3}\right) \\&=3 \times \frac{-343}{27} \cdot-\frac{49}{3} \\&=\frac{-343}{9}-\frac{49}{3}\end{aligned}$
$=\frac{-343-147}{9}=\frac{-490}{9} \neq 0$
अतः (7+3 x), $3 x^{3}+7 x$ का गुणनखण्ड नहीं है।
प्रश्न 15
निम्नलिखित पर बहुपद $5 x-4 x^{2}+3$ के मान ज्ञात कीजिए :
(i) x=0
(ii) x=-1
(iii) x=2
हल :
माना $P(x)=5 x-4 x^{2}+3$
(i) समीकरण (i) में x=0 रखने पर,
$\begin{aligned} P(0) &=5(0)-4(0)^{2}+3 \\ &=0-0+3=3 \end{aligned}$
(ii) समीकरण (i) में x=-1 रखने पर,
$\begin{aligned}P(-1) &=5(-1)-4(-1)^{2}+3 \\&=-5-4(1)+3 \\&=-5-4+3=-6\end{aligned}$
(iii) समीकरण (i) में x=2 रखने पर,
$\begin{aligned}P(2) &=5(2)-4(2)^{2}+3 \\&=10-4(4)+3 \\&=10-16+3=-3\end{aligned}$
प्रश्न 16
निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद के लिए $P(0), P(1), P(2)$ ज्ञात कीजिए :
(i) $P(y)=y^{2}-y+1$
(ii) $P(t)=2+t+2 t^{2}-t^{3}$
(iii) $P(x)=x^{3}$
(iv) P(x)=(x-1)(x+1)
हल :
(i) ज्ञात है, $P(y)=y^{2}-y+1$
$P(0)=(0)^{2}-0+1=0-0+1=1$
$P(1)=(1)^{2}-1+1=1-1+1=1$
$P(2)=(2)^{2}-2+1=4-2+1=3 .$
(ii) ज्ञात है,
$\begin{aligned}P(t) &=2+t+2 t^{2}-t^{3} \\P(0) &=2+(0)+2(0)^{2}-(0)^{3} \\&=2+0+2(0)-0 \\&=2+0+0-0=2 \\P(1) &=2+(1)+2(1)^{2}-(1)^{3} \\&=2+1+2 \times 1-1 \\&=2+1+2-1=4 \\P(2) &=2+(2)+2(2)^{2}-(2)^{3} \\&=2+2+2(4)-8=2+2+8-8 \\&=4 .\end{aligned}$
(iii) ज्ञात है,
$\begin{aligned}&P(x)=x^{3} \\&P(0)=(0)^{3}=0 \\&P(1)=(1)^{3}=1 \\&P(2)=(2)^{3}=8\end{aligned}$
(iv) ज्ञात है,
P(x)=(x-1)(x+1)
P(0)=(0-1)(0+1)=(-1)(1)=-1
P(1)=(1-1)(1+1)=(0)(2)=0
P(2)=(2-1)(2+1)=(1)(3)=3
प्रश्न 17
सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान निम्नलिखित स्थितियों में संगत बहुपद के शून्यक हैं-
(i) $P(x)=3 x+1 ; x=-\frac{1}{3}$
(ii) $P(x)=5 x-\pi ; x=\frac{4}{5}$
(iii) $P(x)=x^{2}-1, x=1,-1$
(iv) P(x)=(x+1)(x-2), x=-1,2
(v) $P(x)=x^{2}, x=0$
(vi) $P(x)=k x+m, x=-\frac{m}{l}$
(vii) $P(x)=3 x^{2}-1, x=-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}}$
(viii) $P(x)=2 x+1, x=\frac{1}{2}$
हल :
(i) दिया है, P(x)=3 x+1
$x=-\frac{1}{3} \text { पर, } \quad P\left(-\frac{1}{3}\right)=3\left(-\frac{1}{3}\right)+1=-1+1=0$
अतः $x=-\frac{1}{3}$, P(x) का शून्यक है।
(ii) दिया है, $P(x)=5 x-\pi$
$x=\frac{4}{5}$ पर, $P\left(\frac{4}{5}\right)=5\left(\frac{4}{5}\right)-\pi=4-\pi \neq 0$
अत: $x=\frac{4}{5}, P(x)$ का शून्यक नहीं है।
(iii) दिया है ,$\begin{array}{ll} & P(x)=x^{2}-1 \\ x=1 \text { पर, } & P(1)=(1)^{2}-1=1-1=0\end{array}$
अतः x=1, P(x) का शून्यक है।
$P(-1)=(-1)^{2}-1=1-1=0$
x=-1 पर
अत: x=-1, P(x) का शून्यक है।
(iv) दिया है, P(x)=(x+1)(x-2)
x=-1 पर, P(-1)=(-1+1)(-1-2)=(0)(-3)=0
अतः x=-1, P(x) एक शून्यक है।
x=2 पर, P(2)=(2+1)(2-2)=(3)(0)=0
अतः x=2, P(x) का शून्यक है।
प्रश्न 18
निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में बहुपद का शून्यक ज्ञात कीजिए :
(i) p(x)=x+5
(ii) p(x)=x-5
(iii) p(x)=2x+5
(iv) p(x)=3x-2
(v) p(x)=3x
(vi) p(x)=ax ; a≠0
(vii) p(x)=c x+d ; c≠0, c, d वास्तविक संख्याएँ हैं।
हल :
(i) p(x)=x+5
इस पद में p(x) का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण p(x)=0 को हल करना।
अर्थात् x+5=0 या x=-5
अतः -5 बहुपद x+5 का एक शून्यक है।
(ii) p(x)=x-5
इस पद में p(x) का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण p(x)=0 को हल करना।
अर्थात् x-5=0
या x=5
अत: 5 बहुपद x-5 का एक शून्यक है।
(iii) p(x)=2x+5
इस पद में p(x) का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण p(x)=0 को हल करना।
अर्थात् 2x+5=0
$2 x=-5 \Rightarrow x=-\frac{5}{2}$
अतः $-\frac{5}{2}$ इस बहुपद का एक शून्यक है।
(iv) p(x)=3x-2
इस पद में p(x) का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण p(x)=0 को हल करना। अर्थात्
3x=0 या x=0
अतः x=0 इस बहुपद का एक शून्यक है।
(vii) ∵ p(x)=cx+d ; c≠0, c, d वास्तविक संख्याएँ हैं।
शून्यक के लिए
p(x)=0
cx+d=0
cx=-d
$x=-\frac{d}{c}$
अतः बहुपद cx+d का शून्यक $-\frac{d}{c}$ है।
प्रश्न 19
$x^{3}+3 x^{2}+3 x+1$ को निम्नलिखित से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
(i) x+1
(ii) $x-\frac{1}{2}$
(iii) x
(iv) $x+\pi$
(v) 5+2x
हल :
दिया है, $P(x)=x^{3}+3 x^{2}+3 x+1$
(i) शेषफल प्रमेय से समीकरण (i) में x+1=0 या x=-1 रखने पर,
$\begin{aligned}P(-1) &=(-1)^{3}+3(-1)^{2}+3(-1)+1 \\&=-1+3(1)-3+1=-1+3-3+1 \\&=0\end{aligned}$
अतः P(x) में (x+1) से भाग देने पर, शेषफल =0
(ii) शेषफल प्रमेय से समीकरण (i) में $x-\frac{1}{2}=0$ या $x=\frac{1}{2}$ रखने पर
$\begin{aligned} P\left(\frac{1}{2}\right) &=\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+3\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+3\left(\frac{1}{2}\right)+1 \\ &=\frac{1}{8}+\frac{3}{4}+\frac{3}{2}+1 \\ &=\frac{1+6+12+8}{8}=\frac{27}{8} \end{aligned}$
अतः P(x) में $\left(x-\frac{1}{2}\right)$ से भाग देने पर शेषफल $=\frac{27}{8}$.
(iii) शेषफल प्रमेय से समीकरण (i) में x=0 रखने पर
$\begin{aligned}P(0) &=(0)^{3}+3(0)^{2}+3(0)+1 \\&=0+0+0+1=1\end{aligned}$
अत: P(x) में x से भाग देने पर शेषफल =1
(iv) शेषफल प्रमेय से समीकरण (i) में x+π=0 या x=-π रखने पर
$\begin{aligned} P(-\pi) &=(-\pi)^{3}+3(-\pi)^{2}+3(-\pi)+1 \\ &=-\pi^{3}+3 \pi^{2}-3 \pi+1 \end{aligned}$
अतः P(x) में (x+π) से भाग देने पर शेषफल $=-\pi^{3}+3 \pi^{2}-3 \pi+1$.
(v) शेषफल प्रमेय से समीकरण (i) में 2x+5=0 या $x=-\frac{5}{2}$ रखने पर
$\begin{aligned} P\left(-\frac{5}{2}\right) &=\left(-\frac{5}{2}\right)^{3}+3\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}+3\left(-\frac{5}{2}\right)+1 \\ &=\frac{-125}{8}+\frac{75}{4}-\frac{15}{2}+1 \\ &=\frac{-125}{8}+\frac{3 \times 25}{4}-\frac{15}{2}+1 \\ &=\frac{-125+150-60+8}{8} \\ &=\frac{-27}{8} \end{aligned}$
अतः P(x) में (2x+5) से भाग देने पर शेषफल $=\frac{-27}{8}$
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