Dr Manohar Re Solution CLASS 9 CHAPTER 2 बहुपद (POLYNOMIALS AND THEIR FACTORS) प्रश्नावली 2(C)

  प्रश्नावली 2(C)

बहुविकल्पीय प्रश्न :

प्रत्येक प्रश्न के चार उत्तर दिये हुए हैं, सही उत्तर छाँटिए :

प्रश्न 1

यदि p(-8)=0 हो, तो बहुपद p(x) का एक गुणनखण्ड होगा :

(i) (x-3)

(ii) x+8

(iii) 3x

(iv) $\frac{x}{2}$

उत्तर :

विकल्प (ii) x+8

हल :

p(-8)=0

p(x)=x+8

प्रश्न 2

बहुपद $x^{2}+3 x+6$ को x+4 से भाग देने पर प्राप्त शेषफल होगा :

(i) -10

(ii) 3

(iii) 5

(iv) -2

उत्तर : विकल्प (i) -10

हल :

x+4=0

x=-4

शेषफल }

$\begin{aligned} &=(-4)^{2}+8(-4)+6 \\ &=16-32+6 \\ &=-10 \end{aligned}$

प्रश्न 3

$x^{3}-3 x^{2}+4 x-12$ का एक गुणनखण्ड है :

(i) x-3

(ii) x-1

(iii) x-2

(iv) x-4

उत्तर : विकल्प (i) x-3

हल :

$\begin{aligned} x^{3}-3 x^{2}+4 x-12 &=x^{2}(x-3)+4(x-3) \\ &=(x-3)\left(x^{2}+4\right) \end{aligned}$

अतः x-3 एक गुणनखण्ड है।

प्रश्न 4

$2 x^{3}+4 x+6$ का एक गुणनखण्ड है :

(i) x-1

(ii) x+1

(iii) x-2

(iv) x+2

उत्तर : विकल्प (ii) x+1

x+1=0

या 

शेषफल

$\begin{aligned} &=2(-1)^{3}+4(-1)+6 \\ &=-2-4+6 \\ &=0 \end{aligned}$

अतः (x+1) एक गुणनखण्ड है।

लघु उत्तरीय प्रश्न :

निम्नलिखित प्रत्येक प्रश्न में बहुपद p को बहुपद g से भाग दीजिए और भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए। यह भी बताइए कि किसमें g, p का गुणनखण्ड है ( प्रश्न 5 से 11 तक ):

प्रश्न 5

$p(x)=x+3 x^{2}-1$ तथा g(x)=1+x

हल :

$\frac{p(x)}{g(x)}=\frac{3 x^{2}+x-1}{1+x}$

(image to be added)

यहाँ भागफल 3x-2 तथा शेषफल 1 है।

 अतः g, p का गुणनफल नहीं है।

प्रश्न 6

$p(x)=x^{3}+3 x^{2}-12 x+4$ और g(x)=x-2

हल :

$\frac{p(x)}{g(x)}=\frac{x^{3}+3 x^{2}-12 x+4}{x-2}$

(image to be added)

अतः भागफल $=x^{2}+5 x-2$

शेषफल =0

तथा g, p का गुणनखण्ड है ।

प्रश्न 7

p $(t)=\beta^{3}-3 t^{2}-t+3$ और $g(t)=t^{2}-4 t+3$.

हल : 

$\frac{p(t)}{g(t)}=\frac{t^{3}-3 t^{2}-t+3}{t^{2}-4 t+3}$

(image to be added)

यहाँ भागफल t+1 और शेषफल शून्य है। हम लिखते हैं :

$t^{3}-3 t^{2}-t+3=(t+1)\left(t^{2}-4 t+3\right)$

अत: g, p का गुणनखण्ड है ।

प्रश्न 8

$p(x)=x^{4}+1$ और g(x)=x+1

हल :

$\frac{p(x)}{g(x)}=\frac{x^{4}+1}{x+1}$

(image to be added)

अतः भागफल $=x^{3}-x^{2}+x-1$

शेषफल =2

तथा g, p कां गुणनखण्ड नहीं है ।

प्रश्न 9

$p(x)=x^{5}+5 x^{3}+3 x^{2}+5 x+3$ 

$g(x)=x^{2}+4 x+2$

हल :

$\frac{p(x)}{g(x)}=\frac{x^{5}+5 x^{3}+3 x^{2}+5 x+3}{x^{2}+4 x+2}$

(image to be added)

अत : भागफल $\begin{aligned}&=x^{3}-4 x^{2}+19 x-65\end{aligned}$

शेषफल=227x+133 

तथा g, p का गुणनखण्ड नहीं है ।

प्रश्न 10

$p(x)=y^{3}+y^{2}-2 y+1$ और $g(x)=y+3$.

हल : 

$\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{y^{3}+y^{2}-2 y+1}{y+3}$

(image to be added)

यहाँ भागफल $y^{2}-2 y+4$ और शेषफल -11 है। 

तथा g, p का गुणनखण्ड नहीं है।

प्रश्न 11

$p(x)=x^{4}-81$ और g(x)=x-3

हल : 

$\frac{p(x)}{g(x)}=\frac{x^{4}-81}{x-3}$

(image to be added) 

भागफल $=x^{3}+3 x^{2}+9 x+27$

शेषफल =शून्य

अतः g(x), p(x) का गुणनखण्ड है।

प्रश्न 12

शेषफल ज्ञात कीजिए जबकि $x^{3}-a x^{2}+6 x-a$ को (x-a) से भाग दिया जाता है।

हल : 

दिया है, $P(x)=x^{3}-a x^{2}+6 x-a$

P(x) में शेषफल प्रमेय से x-a=0

या 

 x=a रखने पर,

$\begin{aligned} P(a) &=a^{3}-a(a)^{2}+6(a)-a \\ &=a^{3}-a^{3}+6 a-a=5 a \end{aligned}$

अतः P(x) में (x-a) से भाग देने पर शेषफल =5a

प्रश्न 13

यदि x-1,$4 x^{3}+3 x^{2}-4 x+k$ का एक गुणनखण्ड है, तो k का मान ज्ञात कीजिए।

हल : 

क्योंकि x-1, $p(x)=4 x^{3}+3 x^{2}-4 x+k$ का एक गुणनखण्ड है, इसलिए

 p(1)=0 होगा

$p(1)=4(1)^{3}+3(1)^{2}-4(1)+k$

=4+3-4+k

3+k=0 या k=-3

प्रश्न 14

(i) जाँच कीजिए कि बहुपद $q(t)=4 t^{3}+4 t^{2}-t-1$, 2t+1 का एक गुणज है।

हल : 

जैसा कि आप जानते हैं कि q(t). बहुपद 2t+1 का गुणज केवल तब होगा जबकि 2t+1 से q(t) को भाग देने पर कोई शेष न बचता हो। 

अब 2t+1=0 लेने पर हमें यह प्राप्त होता है :

$t=\frac{1}{2}$

और  $\begin{aligned} q\left(-\frac{1}{2}\right) &=4\left(-\frac{1}{2}\right)^{3}+4\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)-1 \\ &=-\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}-1 \\ &=0 \end{aligned}$

अतः q(t) को 2t+1 से भाग देने पर प्राप्त शेषफल 0 है।

अत: 2t+1 दिए हुए बहुपद q(t) का एक गुणनखण्ड है अर्थात् q(t),  2t+1 का एक गुणज है।

(ii) जाँच कीजिए कि $7+3 x, 3 x^{3}+7 x$ का एक गुणनखण्ड है या नहीं।

हल : 

माना $P(x)=3 x^{3}+7 x$

P(x) में शेषफल प्रमेय से 7+3 x=0 या $x=\frac{-7}{3}$ रखने पर,

$\begin{aligned}P\left(-\frac{7}{3}\right) &=3\left(-\frac{7}{3}\right)^{3}+7\left(-\frac{7}{3}\right) \\&=3 \times \frac{-343}{27} \cdot-\frac{49}{3} \\&=\frac{-343}{9}-\frac{49}{3}\end{aligned}$

$=\frac{-343-147}{9}=\frac{-490}{9} \neq 0$

अतः (7+3 x), $3 x^{3}+7 x$ का गुणनखण्ड नहीं है।

प्रश्न 15

निम्नलिखित पर बहुपद $5 x-4 x^{2}+3$ के मान ज्ञात कीजिए :

(i) x=0

(ii) x=-1

(iii) x=2

हल : 

माना $P(x)=5 x-4 x^{2}+3$

(i) समीकरण (i) में x=0 रखने पर,

$\begin{aligned} P(0) &=5(0)-4(0)^{2}+3 \\ &=0-0+3=3 \end{aligned}$

(ii) समीकरण (i) में x=-1 रखने पर,

$\begin{aligned}P(-1) &=5(-1)-4(-1)^{2}+3 \\&=-5-4(1)+3 \\&=-5-4+3=-6\end{aligned}$

(iii) समीकरण (i) में x=2 रखने पर,

$\begin{aligned}P(2) &=5(2)-4(2)^{2}+3 \\&=10-4(4)+3 \\&=10-16+3=-3\end{aligned}$

प्रश्न 16

निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद के लिए $P(0), P(1), P(2)$ ज्ञात कीजिए :

(i) $P(y)=y^{2}-y+1$

(ii) $P(t)=2+t+2 t^{2}-t^{3}$

(iii) $P(x)=x^{3}$

(iv) P(x)=(x-1)(x+1)

हल : 

(i) ज्ञात है, $P(y)=y^{2}-y+1$

 $P(0)=(0)^{2}-0+1=0-0+1=1$ 

$P(1)=(1)^{2}-1+1=1-1+1=1$ 

$P(2)=(2)^{2}-2+1=4-2+1=3 .$

(ii) ज्ञात है,

$\begin{aligned}P(t) &=2+t+2 t^{2}-t^{3} \\P(0) &=2+(0)+2(0)^{2}-(0)^{3} \\&=2+0+2(0)-0 \\&=2+0+0-0=2 \\P(1) &=2+(1)+2(1)^{2}-(1)^{3} \\&=2+1+2 \times 1-1 \\&=2+1+2-1=4 \\P(2) &=2+(2)+2(2)^{2}-(2)^{3} \\&=2+2+2(4)-8=2+2+8-8 \\&=4 .\end{aligned}$

(iii) ज्ञात है,

$\begin{aligned}&P(x)=x^{3} \\&P(0)=(0)^{3}=0 \\&P(1)=(1)^{3}=1 \\&P(2)=(2)^{3}=8\end{aligned}$

(iv) ज्ञात है,

P(x)=(x-1)(x+1)

P(0)=(0-1)(0+1)=(-1)(1)=-1 

P(1)=(1-1)(1+1)=(0)(2)=0 

P(2)=(2-1)(2+1)=(1)(3)=3

प्रश्न 17

सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान निम्नलिखित स्थितियों में संगत बहुपद के शून्यक हैं-

(i) $P(x)=3 x+1 ; x=-\frac{1}{3}$

(ii) $P(x)=5 x-\pi ; x=\frac{4}{5}$

(iii) $P(x)=x^{2}-1, x=1,-1$

(iv) P(x)=(x+1)(x-2),  x=-1,2

(v) $P(x)=x^{2}, x=0$

(vi) $P(x)=k x+m, x=-\frac{m}{l}$

(vii) $P(x)=3 x^{2}-1, x=-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}}$

(viii) $P(x)=2 x+1, x=\frac{1}{2}$

हल : 

(i) दिया है, P(x)=3 x+1

$x=-\frac{1}{3} \text { पर, } \quad P\left(-\frac{1}{3}\right)=3\left(-\frac{1}{3}\right)+1=-1+1=0$

अतः $x=-\frac{1}{3}$, P(x) का शून्यक है।

(ii) दिया है, $P(x)=5 x-\pi$

$x=\frac{4}{5}$ पर, $P\left(\frac{4}{5}\right)=5\left(\frac{4}{5}\right)-\pi=4-\pi \neq 0$

अत: $x=\frac{4}{5}, P(x)$ का शून्यक नहीं है।

(iii) दिया है ,$\begin{array}{ll} & P(x)=x^{2}-1 \\ x=1 \text { पर, } & P(1)=(1)^{2}-1=1-1=0\end{array}$

अतः x=1, P(x) का शून्यक है।

$P(-1)=(-1)^{2}-1=1-1=0$

x=-1 पर

अत: x=-1, P(x) का शून्यक है।

(iv) दिया है, P(x)=(x+1)(x-2)

x=-1 पर, P(-1)=(-1+1)(-1-2)=(0)(-3)=0

अतः x=-1, P(x) एक शून्यक है।

x=2 पर, P(2)=(2+1)(2-2)=(3)(0)=0

अतः x=2, P(x) का शून्यक है।

प्रश्न 18

निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में बहुपद का शून्यक ज्ञात कीजिए :

(i) p(x)=x+5

(ii) p(x)=x-5

(iii) p(x)=2x+5

(iv) p(x)=3x-2

(v) p(x)=3x

(vi) p(x)=ax ; a≠0

(vii) p(x)=c x+d ; c≠0, c, d वास्तविक संख्याएँ हैं।

हल : 

(i) p(x)=x+5

इस पद में p(x) का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण p(x)=0 को हल करना। 

अर्थात् x+5=0 या x=-5

अतः -5 बहुपद x+5 का एक शून्यक है।

(ii) p(x)=x-5

इस पद में p(x) का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण p(x)=0 को हल करना।

अर्थात् x-5=0

या  x=5

अत: 5 बहुपद x-5 का एक शून्यक है।

(iii) p(x)=2x+5

इस पद में p(x) का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण p(x)=0 को हल करना। 

अर्थात्  2x+5=0

$2 x=-5 \Rightarrow x=-\frac{5}{2}$

अतः $-\frac{5}{2}$ इस बहुपद का एक शून्यक है।

(iv) p(x)=3x-2

इस पद में p(x) का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण p(x)=0 को हल करना। अर्थात्

3x=0 या  x=0

अतः x=0 इस बहुपद का एक शून्यक है।

(vii) ∵ p(x)=cx+d ; c≠0, c, d वास्तविक संख्याएँ हैं। 

शून्यक के लिए

p(x)=0

cx+d=0

cx=-d

$x=-\frac{d}{c}$

अतः बहुपद cx+d का शून्यक $-\frac{d}{c}$ है।

प्रश्न 19

$x^{3}+3 x^{2}+3 x+1$ को निम्नलिखित से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।

(i) x+1

(ii) $x-\frac{1}{2}$

(iii) x

(iv) $x+\pi$

(v) 5+2x

हल : 

दिया है, $P(x)=x^{3}+3 x^{2}+3 x+1$

(i) शेषफल प्रमेय से समीकरण (i) में x+1=0 या x=-1 रखने पर,

$\begin{aligned}P(-1) &=(-1)^{3}+3(-1)^{2}+3(-1)+1 \\&=-1+3(1)-3+1=-1+3-3+1 \\&=0\end{aligned}$

अतः P(x) में (x+1) से भाग देने पर, शेषफल =0

(ii) शेषफल प्रमेय से समीकरण (i) में $x-\frac{1}{2}=0$ या $x=\frac{1}{2}$ रखने पर

$\begin{aligned} P\left(\frac{1}{2}\right) &=\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+3\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+3\left(\frac{1}{2}\right)+1 \\ &=\frac{1}{8}+\frac{3}{4}+\frac{3}{2}+1 \\ &=\frac{1+6+12+8}{8}=\frac{27}{8} \end{aligned}$

अतः P(x) में $\left(x-\frac{1}{2}\right)$ से भाग देने पर शेषफल $=\frac{27}{8}$.

(iii) शेषफल प्रमेय से समीकरण (i) में x=0 रखने पर

$\begin{aligned}P(0) &=(0)^{3}+3(0)^{2}+3(0)+1 \\&=0+0+0+1=1\end{aligned}$

अत: P(x) में x से भाग देने पर शेषफल =1

(iv) शेषफल प्रमेय से समीकरण (i) में x+π=0 या x=-π रखने पर

$\begin{aligned} P(-\pi) &=(-\pi)^{3}+3(-\pi)^{2}+3(-\pi)+1 \\ &=-\pi^{3}+3 \pi^{2}-3 \pi+1 \end{aligned}$

अतः P(x) में (x+π) से भाग देने पर शेषफल $=-\pi^{3}+3 \pi^{2}-3 \pi+1$.

(v) शेषफल प्रमेय से समीकरण (i) में 2x+5=0 या $x=-\frac{5}{2}$ रखने पर

$\begin{aligned} P\left(-\frac{5}{2}\right) &=\left(-\frac{5}{2}\right)^{3}+3\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}+3\left(-\frac{5}{2}\right)+1 \\ &=\frac{-125}{8}+\frac{75}{4}-\frac{15}{2}+1 \\ &=\frac{-125}{8}+\frac{3 \times 25}{4}-\frac{15}{2}+1 \\ &=\frac{-125+150-60+8}{8} \\ &=\frac{-27}{8} \end{aligned}$

अतः P(x) में (2x+5) से भाग देने पर शेषफल $=\frac{-27}{8}$