प्रश्नावली 2(K)
बहुविकल्पीय प्रश्न :
प्रत्येक प्रश्न के चार उत्तर दिये हुए हैं, सही उत्तर छाँटिए :
प्रश्न 1
$y^{4}-3 y^{2}+2 y+1$ में y-1 से भाग देने पर शेषफल होगा :
(i) 1
(ii) 4
(iii) 3
(iv) 2
हल :
यहाँ
$\begin{aligned}p(y) &=y^{4}-3 y^{2}+2 y+1 \\p(1) &=(1)^{4}-3(1)^{2}+2(1)+1 \\&=1-3+2+1 \\&=1\end{aligned}$
प्रश्न 2
$(x+y)^{3}-x-y$ के गुणनखण्ड है :
(i) (x+y)(x+y+1)(x-y+1)
(ii) (-x-y)(x+y+1)(x+y+1)
(iii) (x+y)(x+y+1)(x+y-1)
(iv) (x+y)(-x-y+1)(x+y-1)
उत्तर : विकल्प (iii) $(x+y)(x+y+1)(x+y-1)$.
हल :
$\begin{aligned}(x+y)^{3}-(x+y) &=(x+y)\left[(x+y)^{2}-1\right] \\&=(x+y)(x+y-1)(x+y+1)\end{aligned}$
अतः$(x+y)^{3}-x-y=(x+y)(x+y+1)(x+y-1)$
प्रश्न 3
यदि $4 x^{3}+3 x^{2}-4 x+k$ घ्येजक (x-1) से विभाज्य है तो k का मान होगा :
(i) -1
(ii) - 2
(iii) -3
(iv) 4
हल :
$p(x)=4 x^{3}+3 x^{2}-4 x+k$
$p(1)=4(1)^{3}+3(1)^{2}-4(1)+k$
=x-1, p(x) का गुणनखण्ड है।
$\begin{aligned} p(1) &=0 \\ p(1) &=4+3-4+k=0 \\ 3+k &=0 \\ k &=-3 \end{aligned}$
उत्तर : (iii) - 3 .
प्रश्न 4
$x^{3}+5 x^{2}-2$ को (x-1) से भाग देने पर शेषफल है :
(i) -4
(ii) 4
(iii) 3
(iv) -3
उत्तर : विकल्प (ii) 4
हल : $x^{3}+5 x^{2}-2$ में $x-1=0$ या $x=1$ रखने पर
शेषफल
$\begin{aligned}&=(1)^{3}+5(1)^{2}-2 \\&=1+5-2=4\end{aligned}$
अति लघु उत्तरीय प्रश्न
प्रश्न 5
यदि $p(x)=x^{3}+3 x^{2}+3 x+1$, तब शेषफल ज्ञात कीजिए जबकि $p(x)$ को निम्नलिखित से भाग दिया जाए :
(i) x+1
(ii) $x-1 / 2$
(iii) x-1
(iv) 5+2x
हल :
(i)
$\begin{aligned}p(x) &=x^{3}+3 x^{2}+3 x+1 \\p(-1) &=(-1)^{3}+3(-1)^{2}+3(-1)+1 \\&=-1+3-3+1 \\&=0\end{aligned}$
(ii)
$\begin{aligned} p(x) &=x^{3}+3 x^{2}+3 x+1 \\ p\left(\frac{1}{2}\right) &=\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+3\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+3\left(\frac{1}{2}\right)+1 \\ &=\frac{1}{8}+\frac{3}{4}+\frac{3}{2}+1 \\ &=\frac{1+6+12+8}{8} \\ &=\frac{27}{8} \end{aligned}$
(iii)
$\begin{aligned}p(x) &=x^{3}+3 x^{2}+3 x+1 \\p(1) &=1^{3}+3(1)^{2}+3(1)+1 \\&=1+3+3+1 \\&=8\end{aligned}$
(iv) $p(x)=x^{3}+3 x^{2}+3 x+1$
$\because \quad 2 x+5=0 \Rightarrow x=-5 / 2$
$\begin{aligned} p(-5 / 2) &=\left(-\frac{5}{2}\right)^{3}+3\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}+3\left(-\frac{5}{2}\right)+1 \\ &=-\frac{125}{8}+\frac{75}{4}-\frac{15}{2}+1 \\ &=\frac{-125+150-60+8}{8} \\ &=-\frac{27}{8} \end{aligned}$
प्रश्न 6
निम्नलिखित बहुपद युग्मों में, गुणनखण्ड प्रमेय द्वारा ज्ञात कीजिए कि क्या $g(x), p(x)$ का गुणनखण्ड है :
(i) $p(x)=2 x^{3}+4 x+6, g(x)=x+1$
(ii) $p(x)=2 x^{3}+x^{2}-2 x-1, g(x)=x+1$
(iii) $p(x)=x^{3}-3 x^{2}+4 x-4, g(x)=x-2$
(iv) $p(x)=x^{3}+3 x^{2}+3 x+1, g(x)=x+2$
(v) $p(x)=4 x^{3}-3 x^{2}+2 x-4, g(x)=x-1 .$
(vi) $p(x)=x^{3}-4 x^{2}+x+6, g(x)=x-3$
हल :
(i)
$\begin{aligned} p(x) &=2 x^{3}+4 x+6 \\ g(x) &=x+1=0 \Rightarrow x=-1 \\ p(-1) &=2(-1)^{3}+4(-1)+6 \\ &=-2-4+6=0 \end{aligned}$
अतः $g(x), p(x)$ का गुणनखण्ड है ।
(ii)
$\begin{aligned} p(x) &=2 x^{3}+x^{2}-2 x-1 \\ g(x) &=x+1=0 \\ x &=-1 \\ p(-1) &=2(-1)^{3}+(-1)^{2}-2(-1)-1 \end{aligned}$
$=2(-1)+(1)+2-1$
$=-2+1+2-1$
$=0$
अंतः $g(x), p(x)$ का एक गुणनखण्ड है ।
(iii)
$\begin{aligned} p(x) &=x^{3}-3 x^{2}+4 x-4 \\ g(x) &=x-2=0 \Rightarrow x=2 \\ p(2) &=(2)^{3}-3(2)^{2}+4 \times 2-4 \\ p(2) &=8-12+8-4 \\ &=16-16=0 \end{aligned}$
अतः $g(x), p(x)$ का गुणनखण्ड है ।
(iv)
$\begin{aligned} p(x) &=x^{3}+3 x^{2}+3 x+1 \\ g(x) &=x+2=0 \\ x &=-2 \end{aligned}$
अतः$p(-2)=(-2)^{3}+3(-2)^{2}+3(-2)+1$
$=-8+3(4)-6+1$
$=-8+12-6+1$
$=-1 \neq 0$
अत: $g(x), p(x)$ का एक गुणनखण्ड नहीं है।
(v)
$\begin{aligned} p(x) &=4 x^{3}-3 x^{2}+2 x-4 \\ g(x) &=x-1=0 \Rightarrow x=1 \\ p(1) &=4(1)^{3}-3(1)^{2}+2 \times 1-4 \\ &=4-3+2-4 \\ &=6-7=-1 \neq 0 \end{aligned}$
अतः $g(x), p(x)$ का गुणनखण्ड नहीं है ।
(vi)
$\begin{aligned} p(x) &=x^{3}-4 x^{2}+x+6 \\ g(x) &=x-3=0 \\ x &=3 \\ p(3) &=(3)^{3}-4(3)^{2}+(3)+6 \\ &=27-36+3+6=0 \end{aligned}$
अतः $g(x), p(x)$ का गुणनखण्ड है।
प्रश्न 7
यदि $p(x)=x^{2}+x+k$ का एक गुणनखण्ड (x-1) है, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
$\begin{aligned}p(x) &=x^{2}+x+k \\p(1) &=(1)^{2}+(1)+k=0 \\k &=-2\end{aligned}$
प्रश्न 8
यदि $x^{2}+p x+q$ और $x^{2}+m x+n$ का एक गुणनखण्ड (x+a) हैं तब सिद्ध कीजिए कि
$a=\frac{n-q}{m-p}$
हल :
x+a एक गुणनखण्ड है, तब
x+a=0⇒x=-a दोनों व्यंजकोंमें रखने पर,
$x^{2}+p x+q$ से,
$\begin{aligned}(-a)^{2}+p(-a)+q &=0 \\ a^{2}-a p+q &=0 \end{aligned}$
तथा $x^{2}+m x+n$ से,
$(-a)^{2}+m(-a)+n=0$
$a^{2}-a m+n=0$
समीकरण (1) में से (2) को घयने पर,
$\begin{aligned}-a p+a m+q-n &=0 \\ a(m-p) &=n-q \\ a &=\frac{n-q}{m-p} . \end{aligned}$
यही सिद्ध करना था।
प्रश्न 9
यदि $x^{3}+a x^{2}-2 x+a+4$ का एक गुणनखिण्ड $x+a$ है, तब $a$ का मान ज्ञात कीजिए ।
हल :
जब
x+a=0⇒x=-a
$x^{3}+a x^{2}-2 x+a+4$ का $x+a$ एक गुणनखण्ड है तब $x=-a$ रखने पर,
$\begin{aligned}(-a)^{3}+a(-a)^{2}-2 \times(-a)+a+4 &=0 \\-a^{3}+a^{3}+2 a+a+4 &=0 \\3 a+4 &=0 \\3 a &=-4 \\a &=-\frac{4}{3} .\end{aligned}$
प्रश्न 10
यदि $p(x)=k x^{2}-\sqrt{2 x}+1$ का एक गुणनखण्ड (x-1) है तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
$p(x)=k x^{2}-\sqrt{2 x}+1 $
$p(1)=k(1)^{2}-\sqrt{2}(1)+1 $
p(1)=0 हो, तब $k-\sqrt{2}+1=0 $
$k=-(1-\sqrt{2)}$
$k =\sqrt{2}-1$
प्रश्न 11
यदि $x^{2}+a x+b$ के गुणनखण्ड $(x-2)$ और (x-3) हैं, तब a और b के मान ज्ञात कीजिए ।
हल :
$x-2=0 \Rightarrow x=2$
x-3=0⇒x=3
x=2 रखने पर, $x^{2}+a x+b=(2)^{2}+a \times 2+b=0$
या 2a+b+4=0 ............(1)
x=3 से,
$\begin{aligned}(3)^{2}+a \times 3+b &=0 \\ 3 a+b+9 &=0 \end{aligned}$
समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर,
a+5=0 या a=-5
(1) में a=-5 रखने पर
2×(-5)+b+4=0
-10+b+4=0
b-6=0 या b=6
a=-5, b=6
प्रश्न 12
k का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में (x-1), P(x) का एक गुणनखण्ड है :
(i) $P(x)=2 x^{2}+k x+\sqrt{2}$
(ii) $P(x)=k x^{2}-\sqrt{2 x}+1$
(iii) $P(x)=k x^{2}-3 x+k$
हल :
(i) यदि $(x-1), P(x)$ का एक गुणनखण्ड' है। तब $x=1$ पर,
$\begin{aligned}P(1) &=0 \\2(1)^{2}+k(1)+\sqrt{2} &=0 \\2+k+\sqrt{2} &=0 \\k &=-(2+\sqrt{2)} .\end{aligned}$
(ii) यदि $(x-1), R_{k}(x)_{4}=k x^{2}-\sqrt{2 x}+1$ का एक गुणनरत्रण्ड है। तब $x=1$ पर,
$\begin{aligned}R(1)^{2}-\sqrt{2}(1)+1 &=0 \\k &=\sqrt{2}-1\end{aligned}$
(iii) यदि $(x-1), P(x)=k x^{2}-3 x+k$ का एक गुणनखण्ड है। तब $x=1$ पर,
$\begin{aligned}k(1)^{2}-3(1)+k &=0 \\k-3+k &=0 \\2 k &=+3 \\k &=+\frac{3}{2}\end{aligned}$
विस्तृत उत्तरीय प्रश्न :
प्रश्न 13
$x^{3}+7 x^{2}+2 x-40$ के गुणनखण्ड कीजिए।
हल :
$x^{3}+7 x^{2}+2 x-40$
x=2 रखने पर
$=(2)^{3}+7(2)^{2}+2 \times 2-40$
=8+7×4+4-40
=8+28+4-40
=40-40
=0
अतः (x-2) एक गुणनखण्ड है।
$\begin{array}{l}&x^{3}-2 x^{2}+9 x^{2}-18 x+2x-40 \\& =x^{2}(x-2)+9 x(x-2)+20(x-2) \\& =(x-2)\left(x^{2}+9 x+20\right) \\& =(x-2)\left[x^{2}+(4+5) x+20\right] \\& =(x-2)\left[x^{2}+4 x+5 x+20\right] \\& =(x-2)[x(x+4)+5(x+4)] \\& =(x-2)(x+4)(x+5) .\end{array}$
प्रश्न 14
गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए : $x^{3}-2 x^{2}-x+2$
हल :
माना कि $p(x)=x^{3}-2 x^{2}-x+2$
दिए गए बहुपद के अचर पद 2 के समस्त गुणनखण्ड क्रमशः ±1 तथा ±2 हैं।
निरीक्षण द्वारा बहुपद में x=-1 रखने पर
$\begin{aligned} p(-1) &=(-1)^{3}-2(-1)^{2}-(-1)+2 \\ &=-1-2+1+2 \\ &=0 \end{aligned}$
अर्थात् गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार (x+1) दिए गए बहुपद का एक गुणनखण्ड है।
अब बहुपद p(x) को x+1 से भाग दीजिए।
अतः $x^{3}-2 x^{2}-x+2=(x+1)\left(x^{2}-3 x+2\right)$
अब $x^{2}-3 x+2$ के गुणनखण्ड करने के लिए मध्य पद को विभाजित कर या गुणनखण्ड प्रमेय का प्रयोग कर सकते हैं :
अर्थात् $x^{3}-2 x^{2}-x+2=(x+1)\left(x^{2}-3 x+2\right)$
$\begin{aligned}&=(x+1)\left[x^{2}-2 x-x+2\right] \\&=(x+1)[x(x-2)-1(x-2)] \\&=(x+1)(x-1)(x-2)\end{aligned}$
प्रश्न 15
$x^{3}-3 x^{2}-9 x-5$ के 'गुणनखण्ड कीजिए।
हल :
$p(x)=x^{3}-3 x^{2}-9 x-5$
माना (x-5), p(x) का एक 'गुणनखण्ड हो, तब
$\begin{aligned}p(5) &=(5)^{3}-3(5)^{2}-9(5)-5 \\&=125-75-45-5 \\&=125-125 \\&=0\end{aligned}$
अतः (x-5), p(x) का एक गुणनखण्ड' है।
$\begin{aligned} x^{3}-3 x^{2}-9 x-5 &=x^{3}-5 x^{2}+2 x^{2}-10 x+x-5 \\ &=x^{2}(x-5)+2 x(x-5)+1(x-5) \\ &=(x-5)\left(x^{2}+2 x+1\right) \\ &=(x-5)(x+1)^{2} \\ &=(x-5)(x+1)(x+1) \end{aligned}$
प्रश्न 16
$12 x^{3}-7 x^{2}+19$ के गुणनखण्ड कीजिए।
हल :
$12 x^{3}-7 x^{2}+19$
x=-1 रखने पर
$\begin{aligned}12(-1)^{3}-7(-1)^{2}+19 &=-12-7+19 \\&=0\end{aligned}$
अतः (x+1) एक गुणनखण्ड है ।
तब $12 x^{3}+12 x^{2}-19 x^{2}-19 x+19 x+19$
$\begin{aligned}&=12 x^{2}(x+1)-19 x(x+1)+19(x+1) \\&=(x+1)\left(12 x^{2}-19x+19\right)\end{aligned}$
प्रश्न 17
गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए $: x^{3}+13 x^{2}+32 x+20$.
हल :
माना कि $p(x)=x^{3}+13 x^{2}+32 x+20$
दिए गए बहुपद के अचर पद 20 के समस्त गुणनखण्ड क्रमशः ±1, ±2, ±4, ±5, ±10 तथा ±20 हैं।
निरीक्षण द्वारा बहुपद में x=-1 रखने पर
$\begin{aligned} p(-1) &=(-1)^{3}+13(-1)^{2}+32(-1)+20 \\ &=-1+13-32+20 \\ &=33-33=0 \end{aligned}$
अर्थात् गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार (x+1) दिए गए बहुपद का एक गुणनखण्ड है।
अब बहुपद p(x) को x+1 से भाग दीजिए।
अतः $x^{3}+13 x^{2}+32 x+20=(x+1)\left(x^{2}+12 x+20\right)$
अब $x^{2}+12 x+20$ के गुणनख्रण्ड ज्ञात करने के लिए मध्य पद को विभाजित कर या गुणनखण्ड प्रमेय का प्रयोग कर सकते हैं।
अर्थात् $x^{3}+13 x^{2}+32 x+20$
$=(x+1)\left(x^{2}+12 x+20\right)$
$=(x+1)\left[x^{2}+10 x+2 x+20\right]$
=(x+1)[x(x+10)+2(x+10)]
=(x+1)(x+10)(x+2)
=(x+1)(x+2)(x+10)
प्रश्न 18
गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए : $2 y^{3}+y^{2}-2 y-1$.
हल :
माना कि $p(y)=2 y^{3}+y^{2}-2 y-1$
दिए गए अचर पद 1 के समस्त गुणनखण्ड $\pm 1$ हैं। निरीक्षण द्वारा बहुपद में $y=1$ रखने पर
$\begin{aligned}p(1) &=2(1)^{3}+(1)^{2}-2(1)-1 \\&=2+1-2-1 \\&=3-3=0\end{aligned}$
अर्थात् गुणनंखण्ड प्रमेय के अनुसार (y-1) दिए गए बहुपद का एक गुणनखण्ड. है।
अब बहुपद p(y) को y-1 से भाग दीजिए।
अत: $2 y^{3}+y^{2}-2 y-1=(y-1)\left(2 y^{2}+3 y+1\right)$
अब: $2 y^{2}+3 y+1$ के गुणनखण्ड 'ज्ञात करने के लिए मध्यपद को विभाजित कर या गुणनखण्ड प्रमेय का प्रयोग कर सकते हैं।
अर्थात्
$\begin{aligned} 2 y^{3}+y^{2}-2 y-1 &=(y-1)\left(2 y^{2}+3 y+1\right) \\ &=(y-1)\left[2 y^{2}+2 y+y+1\right] \\ &=(y-1)[2 y(y+1)+1(y+1)] \\ &=(y-1)(y+1)(2 y+1) \end{aligned}$
प्रश्न 19
यदि 2x-1,$2 x^{3}+a x^{2}+11 x+a+3$ का एक गुणनखण्ड हो, तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
∵ 2x-1 दिए गए व्यंजक का एक गुणनखण्ड है।
2x-1=0
2x=1 या $x=\frac{1}{2}$
तथा $2 x^{3}+a x^{2}+11 x+a+3=0$ होगा, जब
$\begin{aligned} 2\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+a\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+11\left(\frac{1}{2}\right)+a+3 &=0 \\ 2 \times \frac{1}{8}+\frac{a}{4}+\frac{11}{2}+a+3 &=0 \\ \frac{a}{4}+a &=-3-\frac{11}{2}-\frac{1}{4} \\ \frac{5 a}{4} &=\frac{-12-22-1}{4} \\ 5 a &=-35 \\ a &=-7 . \end{aligned}$
प्रश्न 20
$x^{3}-6 x^{2}+11 x-6$ के गुणनखण्ड कीजिए।
हल :
$x^{3}-6 x^{2}+11 x-6$
व्यंजक के अचर पद 6 के गुणनखण्ड =±1, ±2, ±3 हैं।
अब x=1 रखने पर,
$(1)^{3}-6(1)^{2}+11(1)-6=1-6+11-6=0$
अतः (x-1) एक गुणनखण्ड होगा ।
x=2 रखने पर,
$(2)^{3}-6(2)^{2}+11(2)-6=8-24+22-6=0$
अतः (x-2) दूसरा गुणनखण्ड होगा।
x=3 रखने पर,
$(3)^{3}-6(3)^{2}+11(3)-6=27-54+33-6=0$
अतः (x-3) तीसरा गुणनखण्ड होगा।
अत : $x^{3}-6 x^{2}+11 x-6=(x-1)(x-2)(x-3)$
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