Dr Manohar Re Solution CLASS 9 CHAPTER 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन [SURFACE AREAS AND VOLUMES] प्रश्नावली 13 (E)

 प्रश्नावली 13 (E)

प्रश्न 1. 

निम्न त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :

(i) 10.5 सेमी,

(ii) 5.6 समी,

(iii) 14 सेमी।

हल : 

(i) माना

r=गोले की त्रिज्या=10.5 सेमी

पृष्ठीय क्षेत्रफल $=4 \pi r^{2}$.

$=\left(4 \times \frac{22}{7} \times 10 \cdot 5 \times 10.5\right) \quad$ सेमी $^{2}$

=1386 सेमी ${ }^{2}$ ।

(ii) माना

= गोले की त्रिज्या

=5.6 सेमी 

पृष्ठीय क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=4 \pi r^{2} \\&=\left(4 \times \frac{22}{7} \times 5.6 \times 5.6\right) \end{aligned}$

=394.24 सेमी $^{2}$

(iii) माना

r=गोले की त्रिज्या

=14 सेमी

पृष्ठीय क्षेत्रफल 

$\begin{aligned}&=\left(4 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14\right) \end{aligned}$

=2464 सेमी $^{2}$

प्रश्न 2. 

क्रिकेट की गेंद का व्यास 14 सेमी है। उस गेंद का वक्रपृष्ठ तथा आयतन ज्ञात कीजिए। हल : माना क्रिकेट की गेंद की त्रिज्या,

r=व्यास / 2 $=\frac{14}{2}$=7 सेमी 

तब,

गेंद का वक्रपृष्ठ

$\begin{aligned} &=4 \pi r^{2} \\&=4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \\&=88 \times 7\end{aligned}$

=616 वर्ग सेमी

तथा गेंद का आयतन 

$\begin{aligned}  &=\frac{4}{3} \pi r^{3} \\&=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 7\end{aligned}$

$\begin{aligned}&=\frac{88 \times 49}{3}=\frac{4312}{3} \end{aligned}$

$=1437 \frac{1}{3}$   घन सेमी 

वक्रपृष्ट $=616$ वर्ग सेमी

आयतन $=1437$ घन सेमी।

प्रश्न 3. 

निम्न व्यास वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :

(i) 14 सेमी,

(ii) 21 सेमी,

(iii) $3 \cdot 5$ सेमी।

हल : 

(i) यहाँ, $r=\frac{14}{2}$ सेमी $=7$ सेमी

पृष्ठीय क्षेत्रफल

$\begin{aligned}  &=4 \pi r^{2} \\&=\left(4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7\right) \end{aligned}$

=616 सेमी $^{2}$

(ii) यहाँ, $r=\frac{21}{2}$ सेमी $=10.5$ सेमी

∴पृष्ठीय क्षेत्रफल 

$\begin{aligned} &=4 \pi r^{2} \\&=\left(4 \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5\right)   \mathrm{i}\end{aligned}$

=1386 सेमी $^{2}$

(iii) यहाँ, $r=\frac{3.5}{2}$ सेमी =1.75 सेमी

∴पृष्ठीय क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=4 \pi r^{2} \\&=\left(4 \times \frac{22}{7} \times 1.75 \times 1.75\right)  \end{aligned}$

=38.5 सेमी $^{2}$

प्रश्न 4. 

10 सेमी त्रिज्या वाले एक अर्द्धगोले का पृष्ठ्वय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ( $\pi=3 \cdot 14$ लीजिए) 

हल : यहाँ $r=10$ सेमी

अर्द्धगोले का कुल क्षेत्रफल 

$\begin{aligned}&=3 \pi r^{2} \\&=(3 \times 3 \cdot 14 \times 10 \times 10)।\end{aligned}$

=942 सेमी $^{2}$

प्रश्न 5. 

एक लोहे के ठोस गोले का अर्द्धव्यास 13 सेमी है । एक समतल गोले को केन्द्र से 5 सेमी की दूरी पर काटता है । समतल परिच्छेद का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।

हल : 

O केन्द्र का एक ठोस गोला है जिसकी त्रिज्या OA=13 सेमी, समतल $A B$ केन्द्र से OC=5 सेमी दूरी पर है । माना इस समतल परिच्छेद की त्रिज्या $r$ है, तब

समकोण $\triangle A C O$ में,

$\begin{aligned}O A^{2} &=O C^{2}+A C^{2} \\(13)^{2} &=(5)^{2}+r^{2}\end{aligned}$

समतल परिच्छेद का क्षेत्रफल 

$=\pi(12)^{2}$

=144𝛑  वर्ग सेमी

समतल परिच्छेद का अभीष्ट क्षेत्रफल 144𝛑 वर्ग सेमी ।

प्रश्न 6. 

एक अर्द्धगोलीय प्याले में कितना पानी आयेगा जिसका व्यास $6 \cdot 3$ सेमी है ?

हल : 

माना अर्द्धगोलीय प्याले की त्रिज्या

$r=\frac{6 \cdot 3}{2}$ सेमी 

कुल पानी की मात्रा = अर्द्धगोलीय प्याले का आयतन

$\begin{aligned}&=\frac{2}{3} \pi r^{3} \\&=\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{6 \cdot 3}{2} \times \frac{6 \cdot 3}{2} \times \frac{6\cdot 3}{2} \\&=\frac{11 \times 0.3 \times 6.3 \times 6.3}{2} \\&=\frac{130.997}{2} \\&=65.4885\end{aligned}$

=65.49 घन सेमी 

प्रश्न 7. 

एक ठोस 'गोलाकार' पिण्ड का 2 रुपये प्रति वर्ग मीटर की दर से रंगवाने का व्यय $308 \cdot 00$ रु. है । उसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए ।

हल : 

माना गोले की त्रिज्या r मीटर है, तब

वक्रतल $=4 \pi r^{2}$ वर्ग मीटर

2 रु. प्रति वर्ग मीटर की दर से $4 \pi r^{2}$ वक्रतल को रंगवाने का कुल खर्च

$\begin{aligned}&=4 \pi r^{2} \times 2 \\&=8 \pi r^{2}\end{aligned}$

$\begin{aligned}8 \times \frac{22}{7} r^{2} &=308 \\r^{2} &=\frac{7 \times 308}{8 \times 22}=\frac{7 \times 28}{8 \times 2}=\frac{7 \times 7}{4} \\r&=\frac{7}{2}\end{aligned}$

=3.5 मीटर 

अभीष्ट त्रिज्या $=3.5$ मीटर ।

प्रश्न 8. 

एक गोले का वक्रपृष्ठ $144 \pi$ वर्ग सेमी है । गोले का व्यास ज्ञात कीजिए । 

हल : 

माना गोले की त्रिज्या r सेमी है, तब

वक्रपृष्ठ

$\begin{aligned}&=4 \pi r^{2} \\4 \pi r^{2} &=144 \pi\end{aligned}$

$r^{2}=\frac{144}{4}=36$

या   r=6 सेमी

गोले का व्यास $=2 \times$ त्रिज्या $=2 \times 6=12$ सेमी

अत  अभीष्ट व्यास $=12$ सेमी ।

प्रश्न 9. 

एक अर्द्धगोलीय गुम्बद का व्यास 12 मीटर है । उसके वक्रपृष्ठ के रंगवाने का व्यय $1 \cdot 75$ रु. प्रति वर्ग मीटर की दर से कितना होगा ?

हल : 

माना अर्द्धोलीय गुम्बद की त्रिज्या

$r=\frac{12}{2}=6 $ मीटर

वक्रपृष्ठ 

$\begin{aligned} &=2 \pi r^{2} \\ &=2 \times \frac{22}{7} \times(6)^{2}\end{aligned}$

$=\frac{2 \times 22 \times 36}{7}$ वर्ग मीटर 

1.75 रु. प्रति वर्ग मीटर की दर से रंगवाने का कुल व्यय

$\begin{aligned}&=\frac{2 \times 22 \times 36}{7} \times 1.75 \\&=2 \times 22 \times 36 \times 0.25=396\end{aligned}$

अतः  कुल व्यय =396 रु.

प्रश्न 10. 

लोहे के एक गोले का व्यास $3.0$ सेमी है। जिसे पिघलाकर तीन गोलियाँ बनाई गई हैं। इनमें से दो गोलियों का व्यास $2.5$ सेमी तथा $1.5$ सेमी है, तो तीसरी गोली का व्यास ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना एक गोले की त्रिज्या

$r=\frac{3}{2}=1.5$ सेमी 

पिघलाने के बाद एक गोली की त्रिज्या $r_{1}=\frac{2 \cdot 5}{2}$ सेमी 

दूसरी गोली की त्रिज्या $r_{2}=\frac{1.5}{2}$ सेमी

माना तीसरी गोली की त्रिज्या $r_{3}$ है।

तब  एक गोले का आयतन = पिघलाने के बाद बनी तीनों गोलियों के आयतन का योग

$\begin{aligned} \frac{4}{3} \pi r^{3} &=\frac{4}{3} \pi r_{1}^{3}+\frac{4}{3} \pi r_{2}^{3}+\frac{4}{3} \pi r_{3}^{3} \\ r^{3} &=r_{1}^{3}+r_{2}^{3}+r_{3}^{3} \\(1 \cdot 5)^{3} &=\left(\frac{2.5}{2}\right)^{3}+\left(\frac{1 \cdot 5}{2}\right)^{3}+r_{3}^{3} \\\left(\frac{15}{10}\right)^{3} &=\left(\frac{25}{2 \times 10}\right)^{3}+\left(\frac{15}{2 \times 10}\right)^{3}+r_{3}^{3} \\\left(\frac{3}{2}\right)^{3} &=\left(\frac{5}{4}\right)^{3}+\left(\frac{3}{4}\right)^{3}+r_{3}^{3} \\ \frac{27}{8} &=\frac{125}{64}+\frac{27}{64}+r_{3}^{3} \\ r_{3}^{3} &=\frac{27}{8}-\frac{125}{64}-\frac{27}{64} \\ &=\frac{216-125-27}{64} \end{aligned}$

व्यास$=2 r_{3}=2 \times 1=2$

प्रश्न 11. 

एक गोलाकार गुब्बारे में हवा भरने पर उसकी त्रिज्या 7 सेमी से 14 सेमी हो जाती है। इन दोनों स्थितियों में, गुब्बारे के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल : 

पहले गुब्बारे की त्रिज्या $r=7$ सेमी

पृष्ठीय क्षेत्रफल $S_{1}=4 \pi r^{2}$

$\begin{aligned}&=4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \end{aligned}$

=88×7 सेमी $^{2}$

हवा भरने के बाद गुब्यारे की त्रिज्या $R=14$ सेमी

पृष्ठीय क्षेत्रफल $\mathrm{S}_{2}=4 \pi R^{2}$

$\begin{aligned}&=4 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14\\&=88 \times 28  \\\frac{S_{1}}{S_{2}} &=\frac{88 \times 7}{88 \times 28} .\end{aligned}$

$=\frac{1}{4}$ or 1: 4  सेमी $^{2}$

प्रश्न 12. 

तीन धातु की गेंदें जिनकी त्रिज्याएँ क्रमशः 1 सेमी, 8 सेमी तथा 6 सेमी हैं। इनको पिघलाकर एक ठोस गेंद बनाई गई है। इसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना तीन धातु की गेंदों की त्रिज्याएँ $r_{1}=1$ सेमी, $r_{2}=8$ सेमी, $r_{3}=6$ सेमी हैं। इनको पिघलाकर बनी एक ठोस गेंद की त्रिज्या $r$ है, तब

बनी बड़ी गेंद का आयतन $=$ तीनों गेंदों के आयतनों का योग

$\begin{aligned}\frac{4}{3} \pi r^{3} &=\frac{4}{3} \pi r_{1}^{3}+\frac{4}{3} \pi r_{2}^{3}+\frac{4}{3} \pi r_{3}^{3} \\r^{3} &=(1)^{3}+(8)^{3}+(6)^{3} \\r^{3} &=1+512+216=729 \end{aligned}$

r=9 सेमी 

पिघलाकर बनी गेंद की त्रिज्या $=9$ सेमी।

प्रश्न 13. 

उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या निम्न है :

(i) 7 सेमी

(ii) $0.63$ सेमी

हल : 

(i) यहाँ

r=7 सेमी

गोले का आयतन 

$\begin{aligned}&=\frac{4}{3} \pi r^{3} \\ &=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 7 \text { सेमी }^{3} \end{aligned}$

$=\frac{88 \times 49}{3}$ सेमी $^{3}$

$=\frac{4312}{3}$ सेमी $^{3}=1437.3$ सेमी $^{3}$ ।

$r=0.63$ मी।

(ii)गोले का आयतन $=\frac{4}{3} \pi r^{3}$

$=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{63}{100} \times \frac{63}{100} \times \frac{63}{100}$ मी $^{3}$

$=1.047816$ मी $^{3}$

$=1.05 \mathrm{म}^{3} \mathrm{l}$

प्रश्न 14. 

उस ठोस गोलाकार गेंद द्वारा हटाए गए (विस्थापित) पानी का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसका व्यास निम्न है :

(i) 28 सेमी,

(ii) $0.21$ मी ।

हल : 

(i) गोले के लिये व्यास $=28$ सेमी, त्रिज्या, $r=14$ सेमी

ठोस गोलाकर गेंद द्वारा हटायी जाने वाली पानी की मात्रा= इसका आयतन 

$\begin{aligned}&=\frac{4}{3} \pi r^{3} \\&=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 14  \\&=\frac{88 \times 392}{3} =\frac{34496}{3} \end{aligned}$

=11498.67 सेमी $^{3}$

व्यास =0.21 मी.

(ii)

त्रिज्या, $r=\frac{0.21}{2}=0.105$ मी.

'गोलाकार गेंद द्वारा हटाये पानी की मात्रा = इसका आयतन

$\begin{aligned}&=\frac{4}{3} \pi r^{3} \\&=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times(0.105)^{3} \end{aligned}$

=0.004851 मी $^{3}$

प्रश्न 15. 

धातु की एक गेंद का व्यास $4.2$ सेमी है। यदि इस धातु का घनत्व $8.9$ ग्राम प्रति सेमी $^{3}$ है, तोइस गेंद  का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।

हल :

गेंद का व्यास $=4.2$ सेमी

$\therefore \quad$ त्रिज्या $=\frac{4.2}{2}$ सेमी $=2.1$ सेमी

गेंद का आयतन 

$\begin{aligned}&=\frac{4}{3} \pi r^{3} \\&=\left(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 2.1\right)\end{aligned}$

=38.808 सेम $^{3}$

धातु का घनत्व $8.9$ ग्राम प्रति घन सेमी है।

∴ गेंद का द्रव्यमान $=(38.808 \times 8.9)$ ग्राम 

=345.3912 ग्राम।

प्रश्न 16. 

चंद्रमा का व्यास पृथ्बी के व्यास का लगभग एक-चौथाई है। चंद्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की कौन-सी भिन्न है ?

हल : 

माना पृथ्वी का व्यास $=8 x$

चन्द्रमा का व्यास $=\frac{1}{4} \times 8 x=2 x$

पृथ्वी की त्रिज्या $=4 x$

चन्द्रमा की त्रिज्या $=x$

चन्द्रमा का आयतन, $V_{1}=\frac{4}{3} \pi(x)^{3}$

पृथ्वी का आयतन, $V_{2}=\frac{4}{3} \pi(4 x)^{3}$

अभीष्ट अनुपात $=\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{4}{3} \pi(x)^{3}}{\frac{4}{3} \pi(4 x)^{3}}=\frac{1}{64}$ या $1: 64$.

प्रश्न 17. 

व्यास 10-5 सेमी वाले एक अर्द्धगोलाकार कटोरे में कितने लीटर दूध आ सकता है? 

हल : 

अर्द्धगोलाकार कटोरे के लिये, व्यास $=10.5$ सेमी

त्रिज्या,$r=\frac{10.5}{2}$=5.25 सेमी

अर्द्धगोलाकार कटोरे का आयतन $=\frac{2}{3} \pi r^{3}$

$\begin{aligned}&=\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times(5.25)^{3}\\&=\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 5.25 \times 5.25 \times 5.25 \\&=\frac{6366.9375}{21} \end{aligned}$

=303.1875 सेमी $^{3}$

धारिता (लींटर में) $=\frac{303.1875}{1000}$ लीटर

 =0.3031875 लीटर।

प्रश्न 18. 

एक अर्द्धगोलाकार टंकी $1 \mathrm{~cm}$ मोटी एक लोहे की चादर (sheet) से बनी है। यदि इसकी आन्तरिक त्रिज्या $1 \mathrm{~m}$ है, तो इस टंकी के बनाने में लगे लोहे का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल : 

अर्द्धगोलाकार टंकी की आन्तरिक त्रिज्या $(r)=1 \mathrm{~m}$

अर्थात् $r=100 \mathrm{~cm}$

चादर की मोटाई $=1 \mathrm{~cm}$

कटोरे की बाह्य त्रिज्या $(R)=100+1=101 \mathrm{~cm}$

टंकी को बनाने में प्रयुक्त लोहे का आयतन = बाह्य अर्द्धगोले का आयतन

- आन्तरिक अर्द्धगोले का आयतन $=\frac{2}{3} \times \pi R^{3}-\frac{2}{3} \pi r^{3}$ $=\frac{2}{3} \times \pi\left[R^{3}-r^{3}\right]$ $=\frac{2}{3} \times \frac{22}{7}\left[(101)^{3}-(100)^{3}\right]$ $=\frac{44}{21}[1030301-1000000] \mathrm{cm}^{3}$ $=\frac{44}{21} \times 30301 \mathrm{~cm}^{3}$ $=\frac{1333244}{21} \mathrm{~cm}^{3}$ $=63487.81 \mathrm{~cm}^{3}$

$\begin{aligned} 1 \mathrm{~cm}^{3} &=\frac{1}{1000000} \mathrm{~m}^{3} \\ &=\frac{63487.81}{1000000} \mathrm{~m}^{3} \\ &=0.06348 \mathrm{~m}^{3} \quad \text { (लगभग)। } \end{aligned}$

प्रश्न 19. 

उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल $154 \mathrm{~cm}^{2}$ है। 

हल :

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $=154 \mathrm{~cm}^{2}$

माना कि गोले की त्रिज्या $r$ है। अतः

$\begin{aligned} 4 \pi r^{2} &=154 \\ 4 \times \frac{22}{7} r^{2} &=154 \\ r^{2} &=\frac{154 \times 7}{4 \times 22} \mathrm{~cm}=\frac{49}{4} \mathrm{~cm} \\ r &=\sqrt{\frac{49}{4}}=\frac{7}{2} \mathrm{~cm} \end{aligned}$

अतः गोले का आयतन $=\frac{4}{3} \pi^{3}$

$\begin{aligned}&=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{2}\right)^{3} \mathrm{~cm}^{3} \\&=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\mathrm{~cm}^{3} \\&=\frac{1}{3} \times 11 \times 49 \mathrm{~cm}^{3} \\&=\frac{539}{3} \mathrm{~cm}^{3}=179 \frac{2}{3} \mathrm{~cm}^{3}\end{aligned}$

प्रश्न 20.

किसी भवन का गुम्बद एक अर्द्धगोले के आकार का है। अन्दर से, इसमें सफेदी कराने में $498.96$ रुपये व्यय हुए। यदि सफेदी कराने की दर 2 रुपये प्रति वर्ग मीटर है, तो ज्ञात कीजिए :

(i) गुम्बद का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

(ii) गुम्बद के अन्दर की हवा का आयतन।

हल : 

(i) $\quad$ सफेदी कराने का कुल व्यय $=498.96$ रु.

सफेदी कराने की दर $=2.00$ रु. प्रति $\mathrm{m}^{2}$

$\therefore \quad$ सफेदी कराने योग कुल क्षेत्रफल = कुल व्यय /  दर

$=\frac{498.96}{2}=249.48 \mathrm{~m}^{2}$

$\therefore$ गुम्बद का आन्तरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $=249.48 \mathrm{~m}^{2} .$

(ii) माना कि गुम्बद की आन्तरिक त्रिज्या $=r$

$2 \pi^{2}=249.48$

$\begin{aligned} 2 \times \frac{22}{7} \times r^{2} &=249: 48 \\ r^{2} &=\frac{249 \cdot 48 \times 7}{2 \times 22} \\ &=\frac{24948 \times 7}{2 \times 22 \times 100}-567 \times 7 \\ 100 \\ &=\frac{81 \times 7 \times 7}{100} \\ r &=\sqrt{\frac{81 \times 7 \times 7}{100}}=\frac{9 \times 7}{10} \\ r &=6.3 \mathrm{~m} \end{aligned}$

गुम्बद के अन्दर हवा का आयतन उस गोलार्द्ध गुम्बद का आयतन होगा

$\begin{aligned}&=\frac{2}{3} \pi r^{3} \\&=\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 6.3 \times 6.3 \times 6.3 \mathrm{~m}^{3} \\&=44 \times 2.1 \times 0.9 \times 6.3 \mathrm{~m}^{3}=523.9 \mathrm{~m}^{3} .\end{aligned}$

प्रश्न 21. 

लोहे के सत्ताइस ठोस गोलों को पिघलाकर, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या $r$ है और पृष्ठीय क्षेत्रफल $S$ है, एक बड़ा गोला बनाया जाता है जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल $S^{\prime}$ हैं। ज्ञात कीजिए :

(i) नए गोले की त्रिज्या $r^{\prime}$

(ii) S और $S^{\prime}$ का अनुपात।

हल :

गोलों की संख्या $=27$

तथा  प्रत्येक गोले की त्रिज्या $=r$

एक गोले का आयतन $=\frac{4}{3} \pi r^{3}$

तथा 

27 गोलों का आयतन 

$\begin{aligned} &=27 \times \frac{4}{3} \pi r^{3} \\ &=36 \pi r^{3} \end{aligned}$...........(i)

इस गोलों को पिघलाकर $r$ त्रिज्या का एक नया गोला बनाया गया है। अतः नए गोले का आयतन $=\frac{4}{3} \pi(r)^{3}$..........(ii)

समीकरण (i) व (ii) की तुलना करने पर

$\frac{4}{3} \pi r^{3}=36 \pi r^{3}$

$\begin{aligned} \frac{\pi r^{\prime 3}}{\pi r^{3}} &=36 \times \frac{3}{4} \\ \frac{r^{3}}{r^{3}} &=9 \times 3 \\ &=3 \times 3 \times 3 \\ &=(3)^{3} \\\left(\frac{r^{\prime 3}}{r^{3}}\right)^{3} &=(3)^{3} \\ \frac{r^{\prime}}{r} &=3 \\ r &=3 r \end{aligned}$

अर्थात्न ए गोले की त्रिज्या $=3 r$

दिए गए प्रश्नानुसार गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S$ तथा त्रिज्या $r$ है .

$\therefore$ $S=4 \pi r^{2}$.......(iii)

नए गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S^{\prime}$ तथा त्रिज्या $r^{\prime}$ है

$\begin{aligned}&S=4 \pi r^{\prime 2}=4 \pi(3 r)^{2} \\&S=4 \pi \times 3 r \times 3 r\end{aligned}$ $\left[\because r^{\prime}=3 r\right]$

$\begin{aligned} S^{\prime} &=4 \pi \times 3 r \times 3 r \\ &=36 \pi r^{2} \end{aligned}$..........(iv)

समीकरण (iii) व (iv) से

$\begin{aligned}\frac{S}{S} &=\frac{4 \pi r^{2}}{36 \pi r^{2}} \\&=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\end{aligned}$

अतः$ और S का अनुपात =1: 9.

प्रश्न 22. 

दवाई का एक कैप्सूल (capsule) $3.5 \mathrm{~mm}$ व्यास का एक गोला (गोली) है। इस कैप्पूल को भरने के लिए कितनी दवाई $\left(\mathrm{mm}^{3}\right)$ की आवश्यक्ता होगी?

हल : माना कि दवाई के कैप्सूल की त्रिज्या $r$ हैं

व्यास $(2 r)=3.5 \mathrm{~mm}$

$r=\frac{3.5}{2} \mathrm{~mm}$

$r=\frac{35}{20} \mathrm{~mm}$

$r=\frac{7}{4} \mathrm{~mm}$

कैप्सूल को भरते समय आवश्यक दवाई की मात्रा उसके आयतन के बराबर होगी अर्थात्

$\begin{aligned}\text { आयतन } &=\frac{4}{3} \pi r^{3} \\&=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{4}\right)^{3} \mathrm{~mm}^{3} \\&=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4}\mathrm{~mm}^{3} \\&=\frac{11 \times 7 \times 7}{3 \times 2 \times 4} \mathrm{~mm}^{3} \\&=\frac{539}{24} \mathrm{~mm}^{3}=22.46 \mathrm{~mm}^{3} \text { (लगभग)। }\end{aligned}$

प्रश्न 23. 

पीतल से बने एक अर्द्धगोलाकार कटोरे का आंतरिक व्यास $10.5$ सेमी है। 16 रु. प्रति 100 सेमी $^{2}$ की दर से इसके आंतरिक पृष्ठ पर कलई कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।

हल : 

कटोरे के लिये, आन्तरिक व्यास $=10.5$ सेमी

आन्तरिक त्रिज्या $=\frac{10.5}{2}$ सेमी

कटोरे का आन्तरिक वक्र पृष्ठ $=2 \pi r^{2}$

$\begin{aligned}&=2 \times \frac{22}{7} \times \frac{10.5}{2} \times \frac{10.5}{2} \end{aligned}$

=173.25 सेमी $^{2}$

कलई कराने की दर $=16$ रुपए प्रति सेमी $^{2}$

अतः कलई कराने की कीमत 

$\begin{aligned}&=\left(\frac{16}{100} \times 173.25\right)  \end{aligned}$

=27.72 रु.

उत्तर

प्रश्न 24. 

उस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए, जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल $154 \mathrm{~cm}^{2}$ है। हल : प्रश्नानुसार गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $=154 \mathrm{~cm}^{2}$

अब माना कि गोले की त्रिज्या $r \mathrm{~cm}$ है, अतः

$4 \pi r^{2}=154$

$\begin{aligned} 4 \times \frac{22}{7} \times r^{2} &=154 \\ r^{2} &=\frac{154 \times 7}{4 \times 22}=\frac{7 \times 7}{4}=\frac{49}{4} \\ r &=\sqrt{\frac{49}{4}}=\frac{7}{2} \\ r &=3.5 \mathrm{~cm} \end{aligned}$

प्रश्न 25. 

चन्द्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभाग एक-चौथाई है। इन दोनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना कि पृथ्वी का व्यास $x$ है, तो चन्द्रमा का व्यास $\frac{1}{4} \times x=\frac{x}{4}$ होगा।

अब पृथ्वी की त्रिज्या $=\frac{x}{2}$

तथ चन्द्रमा की त्रिज्या $=\frac{1}{2} \times \frac{x}{4}=\frac{x}{8}$

अतः पृथ्वी का पृष्ठीय क्षेत्रफलं $=4 \pi r^{2}$

$=4 \pi \times \frac{x}{2} \times \frac{x}{2}$

$=\pi \times x^{2}$...........(i)

इसी प्रकार

चन्द्रमा का पृष्ठीय क्षेत्रफल $=4 \pi r^{2}$

$\begin{aligned}&=4 \times \pi \times \frac{x}{8} \times \frac{x}{8} \\&=\frac{\pi \times x^{2}}{16}\end{aligned}$............(ii)

इन दोनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात =चन्द्रमा का पृष्ठीय क्षेत्रफल / पृथ्वी का पृष्ठीय क्षेत्रफल

$\frac{\pi x^{2}}{=\frac{16}{\frac{\pi x^{2}}{1}}}=\frac{\pi x^{2}}{16} \times \frac{1}{\pi x^{2}}$

$\begin{aligned} &=\frac{1}{16}  \end{aligned}$

अनुपात =1: 16

प्रश्न 26. 

एक अर्द्धगोलाकार कटोरा 0.25 cm मोटी स्टील से बना है। इस कटोरे की आन्तरिक त्रिज्या $5 \mathrm{~cm}$ है। कटोरे का बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

प्रश्नानुसार, कटोरे की आन्तरिक त्रिज्या $(r)=5 \mathrm{~cm}$

स्टील की मोटाई $(x)=0.25 \mathrm{~cm}$

अत :

कटोरे की बाह्म त्रिज्या $(R)=r+x$

$\begin{aligned}&=5+0.25 \\&=5.25 \mathrm{~cm}\end{aligned}$

अतः कटोरे का बाह्य पृष्ठीय क्षेत्रफल $=2 \pi R^{2}$

$\begin{aligned}&=2 \times \frac{22}{7} \times 5.25 \times 5.25 \mathrm{~cm}^{2} \\&=2 \times \frac{22}{7} \times \frac{525}{100} \times \frac{525}{100} \mathrm{~cm}^{2} \\&=2 \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{4} \times \frac{21}{4} \mathrm{~cm}^{2} \\&=\frac{11 \times 3 \times 21}{4} \\&=\frac{693}{4} \\&=173.25 \mathrm{~cm}^{2}\end{aligned}$

उत्तर

प्रश्न 27. 

एक लम्ब वृत्तीय बेलन की त्रिज्या $r$ वाले एक गोले को पूर्णतया घेरे हुए है (देखिए आकृति)। ज्ञात कीजिए :

(i) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल

(ii) बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

(iii) उपर (i) और (ii) में प्राप्त क्षेत्रफलों का अनुपात।

हल : 

(i) गोले की त्रिज्या $=r$

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $=4 \pi r^{2}$.

(ii) चूँकि गोला बेलन के अन्तर्गत है, अतः बेलन की ऊँचाई गोले के व्यास तथा बेलन की त्रिज्या गोले की त्रिज्या के समान होगी।

$\therefore \quad$ बेलन की त्रिज्या $=r$

बेलन की ऊँचाई $(h)=2 r$

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $=2 \pi r h$

$\begin{aligned}&=2 \times \pi \times r \times 2 r \\&=4 \pi r^{2}\end{aligned}$

(iii) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 

बेलन के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल

$=\frac{4 \pi r^{2}}{4 \pi r^{2}}=\frac{1}{1}$

अतःअनुपात =1: 1

Dr Manohar Re Solution CLASS 9 CHAPTER 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन [SURFACE AREAS AND VOLUMES] प्रश्नावली 13 (D)

 प्रश्नावली 13 (D)

प्रश्न 1. 

उस लंब वृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसकी :

(i) त्रिज्या 6 सेमी और ऊँचाई 7 सेमी है,

(ii) त्रिज्या $3.5$ सेमी और ऊँचाई 12 सेमी है।

हल : 

शंकु के लिये,

(i)

त्रिज्या =6 सेमी

ऊँचाई=7 सेमी

शंकु का आयतन

$\begin{aligned}  &=\frac{1}{3} \pi r^{2} h \\ &=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times(6)^{2} \cdot \times 7 \\ &=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 36 \times 7 \end{aligned}$

=264 सेमी $^{3}$

(ii) त्रिज्या $=3.5$ सेमी, ऊँचाई $=12$ सेमी

शंकु का आयतन

$\begin{aligned}&=\frac{1}{3} \pi r^{2} h \\&=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times(3.5)^{2} \times 12  \\&=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 12.25 \times 12  \\&=22 \times 1.75 \times 4  \end{aligned}$

=154 सेमी $^{3}$

प्रश्न 2. 

शंकु के आकार के अस बर्तन की लीटरों में धारिता ज्ञात कीजिए, जिसकी :

(i) त्रिज्या 7 सेमी और तिर्यक ऊँचाई 25 सेमी है।

(ii) ऊँचाई 12 सेमी और तिर्यक ऊँचाई 13 सेमी है।

हल :

 (i) त्रिज्या $r=7$ समी

तिरछी ऊँचाई, $l=25$ सेमी

अब समकोण $\triangle O A B$ से,

$\begin{aligned}h^{2}+7^{2} &=25^{2} \\h^{2} &=625-49=576 \\\Rightarrow \quad h &=\sqrt{576}\end{aligned}$

=24 सेमी 

आयतन 

 $\begin{aligned} &=\frac{1}{3} \pi r^{2} h \\&=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times(7)^{2} \times 24 \\&=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 49 \times 24\end{aligned}$

=1232 सेमी $^{3}$

धारिता $=\frac{1232}{1000}$ लीटर

=1.232 लीटर।

(ii) ऊँचाई, $h=12$ सेमी

 ऊँचाई, $l=13$ सेमी

समकोण $\triangle O A B$ से,

$\begin{aligned}r^{2}+12^{2} &=13^{2} \\r^{2} &=169-144 \\r^{2} &=25 \\r &=\sqrt{25} \end{aligned}$

=5 सेमी 

आयतन

 $\begin{aligned}  &=\frac{1}{3} \pi r^{2} h=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times(5)^{2} \times 12 \\ &=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 25 \times 12\end{aligned}$

$=\frac{2200}{7}$ सेमी $^{3}$ 

धारिता

$=\frac{2200}{7} \times \frac{1}{1000}$ लीटर

$=\frac{22}{70}=\frac{11}{35}$ लीटर। 

प्रश्न 3. 

एक शंकु की ऊँचाई 15 सेमी है। यदि इसका आयतन 1570 सेमी $^{3}$ है, तो इसके आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। ( $\pi=3.14$ प्रयोग कीजिए)

हल : 

यहाँ, $h=15$ सेमी और आयतन $=1570$ सेमी $^{3}$

माना शंकु के आधार की त्रिज्या $r$ सेमी है।

∴आयतन=1570 सेमी $^{3}$

$\frac{1}{3} \pi r^{2} h=1570$

$\frac{1}{3} \times 3.14 \times r^{2} \times 15=1570$

$r^{2} =\frac{1570}{3.14 \times 5}=100$

$r=\sqrt{100}=10$ सेमी

अतः शंकु के आधार की त्रिज्या 10 सेमी है।

उत्तर

प्रश्न 4. 

यदि 9 सेमी ऊँचाई वाले एक लंबवृत्तीय शंकु का आयतन $48 \pi$ सेमी $^{3}$ है, तो उसके आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।

हल : 

यहाँ, $h=9$ सेमी और आयतन $=48$ सेम् $^{3}$.

$\therefore \quad$ आयतन $=48 \pi$ सेमी $^{3}$

माना शंकु के आधार की त्रिज्या $r$ सेमी है।

$\begin{aligned}\frac{1}{3} \pi^{2} h &=48 \pi \\\frac{1}{3} \times r^{2} \times 9 &=48 \\3 r^{2} &=48 \\r^{2} &=\frac{48}{3}=16\end{aligned}$

r=4 सेमी

आधार का व्यास $=4 \times 2=8$ सेमी।

प्रश्न 5. 

उपरी व्यास $3.5 \mathrm{~m}$ वाले शंकु के आकार का एक गढढा $12 \mathrm{~m}$ गहरा है। इसकी धारिता किलोलीटरों में कितनी है?

हल : 

शंकु के आकार के गड्ढे का व्यास $=3.5 \mathrm{~m}$

$\therefore \quad$ गड्ढे की त्रिज्या $(r)=\frac{3.5}{2}=1.75 \mathrm{~m}$

गड्ढे की गहराई $(h)=12 \mathrm{~m}$

$\therefore \quad$ गड्ढे की धारिता $=\frac{1}{3} \pi r^{2} h$

$\begin{aligned}=& \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 1.75 \times 1.75 \times 12 \\=& \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{175}{100} \times \frac{175}{100} \times 12 \\=& \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4} \times 12 \\=& 22 \times \frac{7}{4}=11 \times \frac{7}{2}=\frac{77}{2} \mathrm{~m}^{3} \\=& 38.5 \mathrm{~m}^{3}=38.5 \mathrm{kl} . \\ &\left(\because 1 \mathrm{~m}^{3}=1000 l=1 \mathrm{kl}\right) \end{aligned}$

प्रश्न 6. 

एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन $9856 \mathrm{~cm}^{3}$ है। यदि इसके आधार का व्यास $28 \mathrm{~cm}$ है, तो ज्ञात कीजिए :

(i) शंकु की उँचाई

(ii) शंकु की तिर्यक ऊँचाई

(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।

हल : 

(i) शंकु का आयतन $=9856 \mathrm{~cm}^{3}$

शंकु के आधार का व्यास $(2 r)=28 \mathrm{~cm}$

माना कि शंकु की ऊँचाई $h$ है।

आधार की त्रिज्या $(r)=\frac{28}{2}=14 \mathrm{~cm}$

$\frac{1}{3} \pi^{2} h=9856$ [∵शंकु का आयतन $=\frac{1}{3} \pi r^{2} h$]

$\begin{aligned} \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times h &=9856 \\ \frac{1}{3} \times 22 \times 2 \times 14 \times h &=9856 \\ h &=-\frac{9856 \times 3}{22 \times 2 \times 14} \\ h &=48 \mathrm{~cm} \end{aligned}$

(ii) माना कि शंकु की तिर्यक ऊँचाई l है। अतः

$\begin{aligned}l^{2} &=r^{2}+h^{2} \\l^{2} &=(14)^{2}+(48)^{2} \\&=196+2304=2500 \\l &=\sqrt{2500}=50 \mathrm{~cm}\end{aligned}$

(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $=\pi r l$

$=\frac{22}{7} \times 14 \times 50=2200 \mathrm{~cm}^{2}$

प्रश्न 7. 

भुजाओं $5 \mathrm{~cm}, 12 \mathrm{~cm}$ और $13 \mathrm{~cm}$ वाले एक 'समकोण त्रिभुज $A B C$ को भुजा $12 \mathrm{~cm}$ के परितः घुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल : 

जब भुजाओं $5 \mathrm{~cm}, 12 \mathrm{~cm}$ तथा $13 \mathrm{~cm}$ वाले एक समकोण त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ को इसकी भुजा $12 \mathrm{~cm}$ वाली भुजा के परितः घुमाया जाता है तो एक ठोस शंक्वाकार आकृति प्राप्त होती है। इस प्रश्न के अनुसार $12 \mathrm{~cm}$ वाली भुजा शंकु की ऊँचाई तथा $5 \mathrm{~cm}$ भुजा शंकु के आधार की त्रिज्या होगी।

यहाँ

शंकु की त्रिज्या $(r)=5, \mathrm{~cm}$

शंकु की ऊँचाई $(h)=12 \mathrm{~cm}$

∴शंकु का आयतन

$\begin{aligned}&=\frac{1}{3} \pi r^{2} h \\ &=\frac{1}{3} \times \pi \times 5 \times 5 \times 12 \\ &=100 \pi \mathrm{cm}^{3} \end{aligned}$

प्रश्न 8. 

यदि प्रश्न 7 के त्रिभुज $A B C$ को यदि भुजा $5 \mathrm{~cm}$ के परितः घुमाया जाए, तो इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए। प्रश्नों 7 और 8 में प्राप्त किए गए दोनों ठोसों के आयतनों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।

हल : 

यदि समकोण त्रिभुज को $5 \mathrm{~cm}$ भुजा के परितः घुमाया जाता है, तो ठोस शंक्वाकार आकृति प्राप्त होती है। अब यहाँ $\mathrm{R}=12 \mathrm{~cm}$ शंकु की त्रिज्या तथा $\mathrm{H}=5 \mathrm{~cm}$ शंकु की ऊँचाई है।

शंकु का आयतन

$\begin{aligned}  &=\frac{1}{3} \pi R^{2} H=\frac{1}{3} \times \pi \times 12 \times 12 \times 5\\&=240 \pi \mathrm{cm}^{3}\end{aligned}$

प्रश्न सं 7  में बने शंकु का आयतन 

प्रश्न सं 8 में बने शंकु का आयतन 

$=\frac{100 \pi}{240 \pi}=\frac{5}{12}$

∴ वांछनीय अनुपात =5: 12

उत्तर

प्रश्न 9. 

गेहूँ की एक ढेरी 10.5 cm व्यास और उँचाई 3m वाले एक शंकु के आकार की है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए। इस ढेरी को वर्षा से बचाने के लिए केनवास से ढका जाना है। वाँछित केनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना कि गेहूँ की शंक्वाकार ढेरी के आधार की त्रिज्या $r$ है। अत:

व्यास $(2 r)=10.5 \mathrm{~m}$

या$r=\frac{10.5}{2} \mathrm{~m}=\frac{105}{20} \mathrm{~m}$

$r=\frac{21}{4} \mathrm{~m}$

'शंक्वाकार ढेरी की ऊँचाई $(h)=3 \mathrm{~m}$

इस गेहूँ की ढेरी का आयतन $=\frac{1}{3} \pi r^{2} h$

$\begin{aligned}&=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{21}{4}\right)^{2} \times 3 \mathrm{~m}^{3} \\&=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{4} \times \frac{21}{4} \times 3\mathrm{~m}^{3} \\&=\frac{11 \times 21 \times 3}{2 \times 4} \mathrm{~m}^{3}=\frac{693}{8} \mathrm{~m}^{3} \\&=86.658 \mathrm{~m}^{3}\end{aligned}$

अब माना कि शंकु के आकार की ढेरी की तिर्यक ऊँचाई $l \mathrm{~m}$ है। $\therefore$

$\begin{aligned}l^{2} &=r^{2}+h^{2} \\l^{2} &=\left(\frac{21}{4}\right)^{2}+(3)^{2} \\&=\frac{441}{16}+9=\frac{441+144}{16}\end{aligned}$

$\begin{aligned}l^{2} &=\frac{585}{16} \\&=36.5626 \mathrm{~m} \\l^{2} &=\sqrt{36.5626} \mathrm{~m}=6.046 \mathrm{~m}\end{aligned}$

वांछित केनवांस का क्षेत्रफल = शंकु के वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\pi r l=\frac{22}{7} \times \frac{21}{4} \times 6.046 \\&=99.75\mathrm{~m}^{2}\end{aligned}$ (लगभग)

प्रश्न 10. 

दिए चित्र में लम्बवृत्तीय शंकु के आधार की त्रिज्या $O B=6$ सेमी, ऊँचाई $O C=8$ सेमी है । उसकी तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।

हल :

प्रश्न में,OB=6 सेमी

           OC=8 सेमी

तब तिर्यक् ऊँचाई $B C$ ज्ञात करनी है ।

अब समकोण $\triangle C O B$ में,

$\begin{aligned}B C^{2} &=O C^{2}+O B^{2} \\&=(8)^{2}+(6)^{2} \\&=64+36 \\&=100\end{aligned}$

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,

$B C=10$ सेमी अत: अभीष्ट तिर्यक् ऊँचाई $=10$ सेमी ।

प्रश्न 11. 

निम्न शंकुओं का वक्रपृष्ठ एवं आयतन ज्ञात करो । मापें चित्रों में दी हुई हैं । ( मापों के मात्रक सेमी में हैं)

हल : 

(a) दिए चित्र में त्रिज्या $r=O B=5$ सेमी, ऊँचाई $h=O C=12$ सेमी ।

$\begin{aligned}&=\sqrt{O B^{2}+O C^{2}} \\&=\sqrt{(5)^{2}+(12)^{2}} \\&=\sqrt{25+144} \\&=\sqrt{169}\end{aligned}$

=13 सेमी 

अब वक्रपृष्ठ

$\begin{aligned} &=\pi r l \\&=\pi \times 5 \times 13 \end{aligned}$

=65𝛑 वर्ग सेमी

उत्तर

आयतन 

$\begin{aligned}&=\frac{1}{3} \pi r^{2} h \\ &=\frac{1}{3} \pi \times 25 \times 12  \end{aligned}$

=100𝛑 घन सेमी

हल : 

चित्र (b) में,

$\begin{aligned}O C &=h \\l &=A C=2 \sqrt{3}\end{aligned}$

माना    त्रिज्या $r=A O=\sqrt{3}$ सेमी

तब समकोण $\triangle C O A$ में,

$\begin{aligned} C O &=\sqrt{A C^{2}-O A^{2}} \\ &=\sqrt{12-3} \\ &=\sqrt{9} \end{aligned}$

h=3 सेमी

वक्रपृष्ठ 

$\begin{aligned}&=\pi r l \\ &=\pi \times \sqrt{3} \times 2 \sqrt{3} \end{aligned}$

=6𝛑 वर्ग सेमी

आयतन$\begin{aligned}&=\frac{1}{3} \pi r^{2} h \\ &=\frac{1}{3} \pi \times 3 \times 3  \end{aligned}$

=3𝛑  घन सेमी

हल :

चित्र (c) में,

शंकु की ऊँचाई $h=O C$

त्रिज्या $\vec{r}=O A=5$ सेमी

तिर्यक् ऊँचाई $l=5 \sqrt{2}$ सेमी

तब समकोण $\triangle C O A$ में,

$\begin{aligned}O C &=\sqrt{A C^{2}-O A^{2}} \\&=\sqrt{50-25} \\&=\sqrt{25}\end{aligned}$

=5 सेमी

 h=5 सेमी

वक्रपृष्ठ

$\begin{aligned} &=\pi r l \\ &=\pi \times 5 \times 5 \sqrt{2}  \end{aligned}$

$=25 \sqrt{2 \pi}$ वर्ग सेमी।

आयंतन

$\begin{aligned}&=\frac{1}{3} \pi r^{2} h \\ &=\frac{1}{3} \pi \times 25 \times 5 \end{aligned}$

$=\frac{125}{3} \pi $ घन सेमी 

प्रश्न 12. 

उस शंकु की तिरछी ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसके आधार की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 24 सेमी है ।

हल : 

माना शंकु की ऊँचाई

$h=24$ सेमी

तथा आधार की त्रिज्या

$r=7$ सेमी

माना तिरछी ऊँचाई $l$ है, तब

$\begin{aligned}l &=\sqrt{h^{2}+r^{2}} \\&=\sqrt{(24)^{2}+(7)^{2}} \\&=\sqrt{576+49} \\&=\sqrt{625}\end{aligned}$

=25 सेमी

अतःतिरछी ऊँचाई =25 सेमी ।   उत्तर

प्रश्न 13.

एक लम्बवृत्तीय शंकु के आधार का व्यास $3.5$ सेमी और ऊँचाई 6 सेमी है । शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठ ज्ञात कीजिए।

हल : 

शंकु के आधार की त्रिज्या

r= व्यास / 2

$=\frac{3.5}{2}=\frac{7}{4}$ सेमी

ऊँचाई $h=6$ सेमी

तिरछी ऊँचाई 

$\begin{aligned} l &=\sqrt{h^{2}+r^{2}} \\&=\sqrt{36+\frac{49}{16}} \\&=\sqrt{\frac{36 \times 16+49}{16}} \\&=\sqrt{\frac{625}{16}}\end{aligned}$

$=\frac{25}{4}$ सेमी

शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठ=वक्रपृष्ठ+आधार का क्षेत्रफल
$=\pi r l+\pi r^{2}$

$=\pi r(l+r)$

$=\pi \times \frac{7}{4}\left(\frac{25}{4}+\frac{7}{4}\right)$
$=\pi \times \frac{7}{4} \times 8$

$=14 \pi $
शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठ $=14 \pi$ वर्ग सेमी ।

प्रश्न 14. 

यदि किसी लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन 4620 घन सेमी, आधार की त्रिज्या 21 सेमी हो, तो उसकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।

हल : 

लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन $=4620$ घन सेमी

तथा माना आधार की त्रिज्या $r=21$ सेमी

तथा ऊँचाई $=h$ सेमी

आयतन $=\frac{1}{3} \pi r^{2} h$

$\begin{aligned}\frac{1}{3} \pi \times 21 \times 21 \times h &=4620 \\\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times h &=4620 \\22 \times 21 \times h &=4620 \\h &=\frac{4620}{22 \times 21} \end{aligned}$

=10 सेमी 

शंकु की अभीष्ट ऊँचाई =10 सेमी ।

प्रश्न 15. 

यदि किसी लम्बवृत्तीय' शंकु की तिर्यक् ऊँचाई 5 सेमी और उसकी त्रिज्या 3 सेमी है । शंकु की लम्ब ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना शंकु की तिर्यक् ऊँचाई $l=5$ सेमी तथा त्रिज्या $r=3$ सेमी ।

तथा शंकु की लम्ब ऊँचाई $=h$ सेमी

$\because$ सूत्र

$\begin{aligned}l^{2} &=h^{2}+r^{2} \\h &=\sqrt{l^{2}-r^{2}}=\sqrt{25-9} \end{aligned}$

$=\sqrt{16}=4 $ सेमी

अतः शंकु की लम्ब ऊँचाई =4 सेमी । 

प्रश्न 16.

एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज में कर्ण 4 सेमी लम्बा है । यदि त्रिभुज के कर्ण को अक्ष मानकर उसके परित: घुमाया जाय, तो निर्मित आकृति का वक्रपृष्ठ और आयतन ज्ञात कीजिए ।

हल : 

4 सेमी कर्ण वाले 'समद्विबाहु समकोण त्रिभुज. $A B C$ को कर्ण के परितः घुमाने से एक उभयनिष्ठ आधार वाला द्विशंकु बनेगा । प्रत्येक शंकु की ऊँचाई कर्ण की आधी $\frac{4}{2}=2$ सेमी होगी । हम जानते हैं कि समकोण त्रिभुज में समकोण वाले शीर्ष को कर्ण के मध्य बिन्दु से मिलाने वाली रेखा की आधी होती है अर्थात् $\frac{4}{2}=2$ सेमी ।

$\therefore$ यह समकोण समद्धिबाहु त्रिभुज है ।

$\therefore$ यह रेखा कर्ण पर भी होगी । यह रेखा ही शंकु की त्रिज्या होगी ।

अतःत्रिज्या r=2 सेमी

$\begin{aligned} \therefore \quad l &=\sqrt{\left(2^{2}+2^{2}\right)}=\sqrt{8}\end{aligned}$

$=2 \sqrt{2}$ सेमी

∴वक्रपृष्ठ=2×एक शंकु का वक्रपृष्ठ

$=2 \pi r l

$=2 \pi \times 2 \times 2 \sqrt{2}$

$=8 \sqrt{2 \pi}$ वर्ग सेमी

तथा ठोस का आयतन = दोनों शंकुओं का आयतन 

=2×एक शंकु का आयतन 

$=2 \times \frac{1}{3} \pi \times 2 \times 2 \times 2$

$=\left(\frac{16}{3}\right) \pi$ घन सेमी

प्रश्न 17. 

एक शंकु के आधार का व्यास $10.5$ सेमी और इसकी तिर्यक ऊँचाई 10 मी. है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :

आधार का व्यास $=10.5$ सेमी

आधार की त्रिज्या $=\frac{10 \cdot 5}{2}$

$r=5.25$ सेमी

तिरछी ऊँचाई $l=10$ सेमी

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 

$\begin{aligned} &=\pi r l \\ &=\frac{22}{7} \times 5.25 \times 10  \end{aligned}$

=165 सेमी$^{2}$

प्रश्न 18. 

एक शंकु की त्रिज्या और ऊँचाई $3: 4$ के अनुपात में हैं । यदि इसका आयतन $301.44$ सेमी ${ }^{3}$ हो, तो उसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए । इसकी तिरछी ऊँचाई भी ज्ञात कीजिए । ( $\pi=3.14$ )

हल :

शंकु की त्रिज्या : ऊँचाई $=3: 4$

$\therefore \quad$ माना कि शंकु की त्रिज्या $(r)=3 x$ सेमी

शंकु की ऊँचाई $(h)=4 x$ सेमी

शंकु का आयतन $=301.44$ सेमी 3

$\frac{1}{3} \pi r^{2} h=301 \cdot 44$

$\begin{aligned}\frac{1}{3} \times 3-14 \times(3 x)^{2} \times 4 x &=30144 \\\frac{1}{3} \times 3.14 \times 9 \times 4 \times x^{3} &=301 \cdot 44 \\3 \cdot 14 \times 12 \times x^{3} &=301 \cdot 44 \\x^{3} &=\frac{301.44}{3 \cdot 14 \times 12}=8 \\x &=\sqrt[3]{8}=2\end{aligned}$

शंकु के आधार की त्रिज्या $(r)=3 \times 2$

$=6$ सेमी

शंकु की ऊँचाई $(h)=4 \times 2$

$=8$ सेमी

शंकु की तिरछी ऊँचाई $(l)=\sqrt{r^{2}+h^{2}}$

$\begin{aligned}&=\sqrt{6^{2}+8^{2}} \\&=\sqrt{36+64} \\&=\sqrt{100}\end{aligned}$

=10 सेमी । 

प्रश्न 19. 

एक लम्बवृत्तीय' शंकु का वक्रपृष्ठ $70 \pi$ सेमी $^{2}$ है । यदि इसके आधार का व्यास 14 सेमी हो, तो इसकी तिर्यक् ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।

हल : 

माना शंकु की ऊँचाई $h$ तथा तिर्यक् ऊँचाई $l$ है .। आधार की त्रिज्या $r$ है ।

2r=14

r=7 सेमी

शंकु का वक्रपृष्ठ $=\pi r l$

$\begin{aligned} 70 \pi &=\pi \times 7 \times i \\ l &=\frac{70 \pi}{\pi \times 7} \end{aligned}$

=10 सेमी 

अतःशंकु की तिर्यक् ऊँचाई $=10$ सेमी ।  उत्तर

प्रश्न 20. 

एक शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी तिर्यक ऊँचाई 21 मी है और आधार का व्यास 24 मी है।

हल :

तिरछी ऊँचाई $l=21$ सेमी

आधार का व्यास $=24$ मी

आधार की त्रिज्या, $r=12$ मी

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

$\begin{aligned} &=\pi r(l+r) \\ &=\frac{22}{7} \times 12(21+12) \mathrm{H}^{2} \\ &=\frac{22}{7} \times 12 \times(33)  \\ &=\frac{22 \times 12}{7}(33)  \end{aligned}$

=1244.57 मी$^{2}$

प्रश्न 21. 

एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 308 सेमी $^{2}$ और इसकी तिर्यक ऊँचाई 14 सेमी है। ज्ञात कीजिए :

(i) आधार की त्रिज्या,

(ii) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

हल : 

शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $=308$ सेमी $^{2}$

तिरछी ऊँचाई $l=14$ सेमी

(i) वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल $=\pi r l$

$\therefore \quad \pi r=308$

या   $\frac{22}{7} \times r \times 14=308$

या    $44 r=308$

या    $r=\frac{308}{44}=7$ सेमी

अतः  आधार की त्रिज्या $=7$ सेमी।  उत्तर

(ii) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $=\pi r(l+r)$.

$\begin{aligned}&=\frac{22}{7} \times 7(14+7) \\&=22 \times 21 \end{aligned}$

=462 सेमी $^{2}$

उत्तर

प्रश्न 22. 

शंकु के आकार का एक तंबू 10 मी. उँचा है और उसके आधार की त्रिज्या 24 मी. है। ज्ञात कीजिए :

(i) तंबू की तिर्यक ऊँचाई

(ii) तंबू में लगे केनवास (canvas) की लागत, यदि 1 मी. ${ }^{2}$ केनवास की लागत 70 रुपए है। हल : (i) यहाँ $r=24$ मी., $h=10$ मी.

माना शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l$ है, तब

$\begin{aligned} l^{2} &=h^{2}+r^{2} \\ l &=\sqrt{h^{2}+r^{2}} \\ l &=\sqrt{24^{2}+10^{2}} \\ &=\sqrt{576+100} \\ &=\sqrt{676}\end{aligned}$

=26  मी.।

(ii) शंक्वाकार तंबू बनाने के लिए आवश्यक केनवास= शंकु का वक्रीय पृष्ठ

$\begin{aligned}&=\pi r l=\left(\frac{22}{7} \times 24 \times 26\right)\end{aligned}$

$\because 1$ मी. ${ }^{2}$ केनवास की दर 70 रु. है।

∴केनवास का कुल मूल्य

$\begin{aligned}&=\left(\frac{22}{7} \times 24 \times 26 \times 70\right)\end{aligned}$

=137280 रु.

प्रश्न 23.

$8 \mathrm{~m}$ ऊँचाई और आधार की त्रिज्या $6 \mathrm{~m}$ वाले एक शंकु के आकार का तम्बू बनाने में $3 \mathrm{~m}$ चौड़े तिरपाल की कितनी लम्बाई लगेगी? यह मानकर चलिए कि इसकी सिलाई और कटाई में $20 \mathrm{~cm}$ तिरपाल अतिरिक्त लगेगा। $(\pi=3 \cdot 14$ का प्रयोग कीजिए।)

हल : 

प्रश्नानुसार तम्बू की ऊँचाई $(h)=8 \mathrm{~m}$

तम्बू के आधार की त्रिज्या $(r)=6 \mathrm{~m}$

" अतः तम्बू की तिर्यक ऊँचाई $(l)=\sqrt{r^{2}+h^{2}}$

$\begin{aligned}&=\sqrt{(6)^{2}+(8)^{2}} \\&=\sqrt{36+64} \\&=\sqrt{100} \\l &=10 \mathrm{~m}\end{aligned}$

तम्बू में लगी तिरपाल का क्षेत्रफल = तम्बू के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\pi r l \\&=3.14 \times 6 \times 10 \\&=188.4 \mathrm{~m}^{2}\end{aligned}$

माना कि तिरपाल की लम्बाई $(L)$ हो तथा प्रश्नानुसार तिरपाल की चौड़ाई $=3 \mathrm{~m}$ 

अतः तिरपाल का क्षेत्रफल = लम्बाई $\times$ चौड़ाई

$=L \times 3=3 L \mathrm{~m}$

$\begin{aligned} 3 L &=188.4 \quad\left(\because \text { क्षेत्रफल }=188.4 \mathrm{~m}^{2}\right) \\ L &=\frac{188.4}{3}=62.8 \mathrm{~m} \end{aligned}$

प्रश्नानुसार, सिलाई तथा कटाई में लगी तिरपाल की अतिरिक्त लम्बाई $=20 \mathrm{~cm}$

$=\frac{20}{100} \mathrm{~m}=0.2 \mathrm{~m}$

अतः  तम्बू बनाने में लगी तिरपाल की कुल लम्बाई $=62.8+0.2 \mathrm{~m}$ $=63 \mathrm{~m} .$

प्रश्न 24. 

शंकु के आकारं की एक गुम्बज की तिर्यक उँचाई और आधार व्यास क्रमश: $25 \mathrm{~m}$ और $14 \mathrm{~m}$ है। इसकी वक्र पृष्ठ पर 210 रुपये प्रति $100 \mathrm{~m}^{2}$ की दर से सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।

हल : 

प्रश्नानुसार शंकु के आकार की गुम्बज की तिर्यक ऊँचाई

$=l=25 \mathrm{~m}$

तथा आधार का व्यास $(2 r)=14 \mathrm{~m}$

∴ आधार की त्रिज्या $(r)=\frac{14}{2} \mathrm{~m}=7, \mathrm{~m}$.

अतः गुम्बज के वैक्रपपृष्ठ का क्षेत्रफल

$\begin{aligned} &=\pi r l \\ &=\frac{22}{7} \times 7 \times 25 \\ &=550 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned}$

$\because \quad 100 \mathrm{~m}^{2}$ पर सफेदी कराने का व्यय =210 रु.

$\therefore \quad 1 \mathrm{~m}^{2}$ पर सफेदी कराने का व्यय $=\frac{210}{100}$ रु.

∴ 550 $m^{2} $ पर सफेदी कराने का व्यय $=\frac{210}{100} \times 550$

=1155 रु. 

उत्तर

प्रश्न 25. 

एक लम्बवृत्तीय शंकु की ऊँचाई उसके आधार की त्रिज्या के बराबर है। यदि इसका आयतन $72 \pi$ सेमी $^{3}$ हो, तो शंकु की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

लम्बवृत्तीय शंकु के आधार की त्रिज्या $r$ है तब उसकी ऊँचाई $h=r$

∵ आयतन=72𝛑 सेमी $^{3}$

आयतन 

$\begin{aligned}&=\frac{1}{3} \pi r^{2} h \\72 \pi &=\frac{1}{3} \pi h^{2} h \\72 &=\frac{1}{3} h^{3} \\h^{3} &=3 \times 72=216\end{aligned}$

h=6 सेमी

अतः  शंकु की ऊँचाई $=6$ सेमी।

प्रश्न 26. 

एक 'शंक्वाकार' तम्बू में 528 घन मीटर हवा आ सकती है। यदि तम्बू की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई 14 मीटर है, तो तम्बू का वक्रपृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :

तम्बू का आयतन=तम्बू में हवा का आयतन 

=528 घन मीटर

माना  तम्बू की ऊँचाई h=14 मीटर

आयतन $=\frac{1}{3} \pi r^{2} h$

$\begin{aligned}528 &=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times r^{2} \times 14 \\528 &=\frac{22}{3} \times 2 r^{2}=\frac{44}{3} r^{2} \\r^{2} &=\frac{3 \times 528}{44}=36\end{aligned}$

r=6 सेमी 

तिर्यक ऊँचाई $l=\sqrt{h^{2}+r^{2}}$

$\begin{aligned}&=\sqrt{(14)^{2}+(6)^{2}} \\&=\sqrt{196+36}=\sqrt{232} \\&=2 \sqrt{58}\end{aligned}$

वक्रपृष्ठ

$\begin{aligned}&=\pi r l \\&=\frac{22}{7} \times 6 \times 2 \sqrt{58} \\&=\frac{264}{7} \sqrt{58} \end{aligned}$

=287: 19   वर्ग सेमी।

प्रश्न 27.

एक जोकर की टोपी एक शंकु के आकार की है, जिसके आधार की त्रिज्या $7 \mathrm{~cm}$ और उँचाई $24 \mathrm{~cm}$ है। इसी प्रकार की 10 टोपियाँ बनाने के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

प्रश्नानुसार शंक्वाकार टोपी के आधार की त्रिज्या $(r)=7 \mathrm{~cm}$

टोपी की ऊँचाई $(h)=24 \mathrm{~cm}$

अतः  टोपी का तिर्यक ऊँचाई

$\begin{aligned}(l) &=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{(7)^{2}+(24)^{2}} \\&=\sqrt{49+576} \\&=\sqrt{625}=25 \mathrm{~cm}\end{aligned}$

एक टोपी बनाने में लगे गत्ते का क्षेत्रफल = शंकु का वक्रं पृष्ठीय क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\pi r l=\frac{22}{7} \times 7 \times 25 \\&=550 \mathrm{~cm}^{2}\end{aligned}$

अत: 10 टोपियाँ बनाने में लगे गत्ते का क्षेत्रफल $=10 \times 550=5500 \mathrm{~cm}^{2}$.

प्रश्न 28. 

किसी बस स्टाप को पुराने गत्ते से बने 50 खोखले शंकुओं द्वारा सड़क से अलग किया हुआ है। प्रत्येक शंकु के आधार का व्यास $40 \mathrm{~cm}$ है और ऊँचाई $1 \mathrm{~m}$ है। यदि इन शंकुओं की बाहरी पृष्ठों को पेंट करवाना है और पेंट की दर 12 रुपये प्रति $\mathrm{m}^{2}$ है, तो इनको पेंट कराने में कितनी लागत आएगी ? ( $\pi=3.14$ और $\sqrt{1.04}$ $=1.02$ का प्रयोग कीजिए।

हल : 

माना कि वृत्ताकार आधार की त्रिज्या $r \mathrm{~cm}$ है।

'प्रश्नानुसार शंकु के आधार का व्यास $(2 r)=40 \mathrm{~cm}$

$r=\frac{40}{2}=20 \mathrm{~cm}$

$r=\frac{20}{100}=\frac{1}{5} \mathrm{~m}=0.2 \mathrm{~m}$

शंकु की ऊँचाई $(h)=1 \mathrm{~m}$

तिर्यक ऊँचाई $(l)=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{(0.2)^{2}+(1)^{2}}$ $$ l=\sqrt{0.04+1}=\sqrt{1.04} \mathrm{~m} $$

शंकु के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल $\pi r l=3.14 \times 0.2 \times \sqrt{1.04}$

$\begin{aligned}&=3.14 \times 0.2 \times 1.02 \\&=0.64056 \mathrm{~m}^{2}\end{aligned}$

$1 \mathrm{~m}^{2}$ क्षेत्रफल को पेन्ट कराने की लागत =12 रु.

$0.64056 \mathrm{~m}^{2}$ क्षेत्रफल को पेन्ट कराने की लागत $=12 \times 0.64056=7.68672$ रु.

ऐसे ही 50 शंकुओं को पेन्ट कराने की लागत $=50 \times 7.68672$ रु.

=384.34 रु. (लगभग)।

Dr Manohar Re Solution CLASS 9 CHAPTER 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन [SURFACE AREAS AND VOLUMES] प्रश्नावली 13 (C)

 प्रश्नावली 13 (C)

प्रश्न 1

निम्नलिखित सारणी में रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए : बेलन का :

क्र.सं.	त्रिज्या	ऊँचाई	वक्रपृष्ठ	सम्पूर्ण पृष्ठ	आयतन
(A)		15 सेमी	660 वर्ग सेमी
(B)	7 सेमी			780 सेमी

हल : 

(A) माना

ऊँचाई  h=15 सेमी 

वक्रपृष्ठ=660 वर्ग सेमी 

वक्रपृष्ठ=2𝛑rh=660

$\begin{aligned}2 \times \frac{22}{7} \times r \times 15 &=660 \\ r &=\frac{7 \times 660}{2 \times 22 \times 15}\end{aligned}$

=7 सेमी

सम्पूर्ण पृष्ठ

$\begin{aligned}&=2 \pi r(h+r) \\ &=2 \times \frac{22}{7} \times 7(15+7)\\ &=44 \times 22 \end{aligned}$

=968 वर्ग सेमी

आयतन

$\begin{aligned}&=\pi r^{2} h \\ &=\frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 15  \end{aligned}$

=2310  घन सेमी

त्रिज्या =7 सेमी

सम्पूर्ण पृष्ठ=968 वर्ग सेमी

आयतन=2310  घन सेमी

(B) माना   त्रिज्या $r=7$ सेमी

सम्पूर्ण पृष्ठ $=748$ वर्ग सेमी

सम्पूर्ण पृष्ठ $=2 \pi r(h+r)$

$748=2 \times \frac{22}{7} \times 7(h+7)$

$h+7=\frac{748}{2 \times 22}=17$

$h=17-7=10$ सेमी

वक्रपृष्ठ $=2 \pi r h$

$=2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 10$

$=440$ वर्ग सेमी

आयतन $=\pi r^{2} h$

$=\frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 10$

$=1540$ घन सेमी

ऊँचाई $=10$ सेमी

वक्रपृष्ठ $=440$ वर्ग सेमी

आयतन $=1540$ घन सेमी ।

प्रश्न 2. 

एक लम्बवृत्तीय' बेलन के आधार का क्षेत्रफल 154 . वर्ग सेमी है. । बेलन की ऊँचाई 10 सेमी है, तो आयतन ज्ञात कीजिए ।

हल :

बेलन के आधार का क्षेत्रफल =154 वर्ग सेमी

बेलन की ऊँचाई =10 सेमी

आयतन=आधार का क्षेत्रफल ×ऊँचाई

=154×10 =1540 घन सेमी

अभीष्ट आयतन =1540 घन सेमी ।

प्रश्न 3. 

एक 'लम्बवृत्तीय' बेलन के आधार का क्षेत्रफल $81 \pi$ वर्ग सेमी है, यदि उसकी ऊँचाई 14 सेमी है, तो उसका वकपषष्ठ ज्ञात कीजिए ।

हल : 

माना बेलन की त्रिज्या r है, तब

आधार का क्षेत्रफल$=\pi r^{2}$

=81𝛑

$r^{2}=81$

r=9 सेमी

बेलन की ऊँचाई h=14 सेमी

वक्रपृष्ठ=2𝛑rh 

$=2 \times \frac{22}{7} \times 9 \times 14$

$=2 \times 22 \times 9 \times 2$

=792 वर्ग सेमी 

अभीष्ट वक्रपृष्ठ =792 वर्ग सेमी ।

प्रश्न 4. 

दो समान ऊँचाई वाले लम्बवृत्तीय बेलनों के आधार की त्रिज्याएँ 2: 5 के अनुपात में हैं । इनके आयतनों का अनुपात ज्ञात कीजिए ।

हल : 

माना दो समान ऊँचाई $h$ वाले बेलनों के आधार की त्रिज्याएँ $r_{1}$ तथा $r_{2}$ हैं ।

$r_{1}: r_{2}=2: 5$, (दिया है)

माना बेलनों के आयतन $V_{1}$ तथा $V_{2}$ हैं। 

अतः $V_{1}=\pi r_{1}^{2} h$ तथा $V_{2}=\pi r_{2}^{2} h$

$\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\pi r_{1}^{2} h}{\pi r_{2}^{2} h}=\frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}=\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2}$

$\frac{V_{1}}{V_{2}}=\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{4}{25}$   दिया है : $\frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{2}{5}$

आयतनों में अनुपात $=4: 25$.

प्रश्न 5. 

यदि किसी बेलन का वक्रपृष्ठ 110 सेमी $^{2}$ तथा ऊँचाई 5 सेमी है, तो उस बेलन की त्रिज्या ज्ञात कीजिए ।

हल : 

बेलन की ऊँचाई $h=5$ सेमी तथा वक्रपृष्ठ $=110$ सेमी $^{2}$

माना बेलन की त्रिज्या $=r$ सेमी है, तब

बेलन का वक्रपृष्ठ

$\begin{aligned} &=2 \pi r h \\110 &=2 \times \frac{22}{7} \times r \times 5\end{aligned}$

$\begin{aligned}r &=\frac{110 \times 7}{2} \times 22 \times \overline{5} \\&=\frac{7}{2}\end{aligned}$

=3.5 सेमी

अभीष्ट त्रिज्या =3.5 सेमी ।

प्रश्न 6. 

यदि एक गैलर का व्यास 120 सेमी तथा ऊँचाई 84 सेमी है । एक चक्कर में वह कितनी जगह को समतल करेगा।

हल : 

माना रौलर की त्रिज्या $=r$ सेमी है, तब

व्यास=2 r=120 सेमी 

r=60 सेमी 

बेलन की ऊँचाई $h=84$ सेमी

एक चक्कर में चली गई दूरी= रौलर का वक्रपृष्ठ

$=2 \pi r h$ $=2 \times \frac{22}{7} \times 60 \times 84$ वर्ग सेमी

$=31680$ वर्ग सेमी

एक चक्कर में चली गई दूरी $=31680$ वर्ग सेमी ।

प्रश्न 7. 

सिद्ध करो कि बेलन के आयतन का दुगुना उसके वक्रपृष्ठ और आधार त्रिज्या के गुणनफल' के बराबर होता है ।

हल : 

माना बेलन की त्रिज्या $=r$ तथा ऊँचाई $=h$ है, तब सिद्ध करना है कि

2×आयतन = वक्रपृष्ठ×त्रिज्या 

 बायाँ पक्ष =2×आयतन 

$=2 \times \pi r^{2} h=2 \pi r^{2} h $

दायाँ पक्ष =वक्रपृष्ठ ×त्रिज्या 

$=2 \pi r h \times r=2 \pi r^{2} h$

अत : बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष ।

प्रश्न 8. 

यदि दो बेलनों की त्रिज्याओं में $2: 3$ का अनुपात है तथा उनकी'ऊँचाइयों में $5: 3$ का अनुपात है, तो उनके आयतनों का अनुपात ज्ञात कीजिए ।

हल : 

माना दो बेलनों की त्रिज्याएँ $r_{1}$ तथा $r_{2}$ और उनकी ऊँचाइयाँ $h_{1}$ तथा $h_{2}$ हैं, तब

$\frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{2}{3}$..........(1)

$\frac{h_{1}}{h_{2}}=\frac{5}{3}$..........(2)

उनके आयतनों में अनुपात =ननुपात 

$\begin{aligned} &=\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\pi r_{1}^{2} h_{1}}{\pi r_{2}{ }^{2} h_{2}} \\&=\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2} \times\left(\frac{h_{1}}{h_{2}}\right) \\&=\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \times \frac{5}{3}\end{aligned}$

$=\frac{4}{9} \times \frac{5}{3}=\frac{20}{27}$

आयतनों में अनुपात $=20: 27$.

प्रश्न 9. 

किसी बेलन का वकपृष्ठ 264 मी. $^{2}$ तथा आयतन 396 मी. 3 हैं। बेलन की ऊँचाई तथा बेलन के आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

हल : 

बेलन का वक्रपृष्ठ,

$2 \pi r h=264$ मी. $^{2}$

बेलन का आयतन, $\pi r^{2} h=396$ मी. 3

$\begin{aligned}\frac{\pi r^{2} h}{2 \pi r h} &=\frac{396}{264} \\\frac{r}{2} &=\frac{3}{2} \\r &=3 \end{aligned}$

2𝝿rh=264 लेने पर,

$\begin{aligned}2 \times \frac{22}{7} \times 3 \times h &=264 \\h &=\frac{264 \times 7}{2 \times 22 \times 3}\end{aligned}$

=14 मी.

अतः बेलन की ऊँचाई तथा त्रिज्या 14 मी. तथा 3 मी. हैं।

उत्तर

प्रश्न 10. 

44 सेमी लम्बे, 20 सेमी चौड़े आयताकार कागज को लम्बाई की ओर मोड़ने पर एक बेलन बनाया गया है । प्राप्त बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए । $\pi=\frac{22}{7}$ )

हल : 

आयताकार कागज की लम्बाई 44 सेमी तथा चौड़ाई 20 सेमी है । लम्बाई की ओर मोड़ने पर बने बेलन की परिधि

44 सेमी तथा ऊँचाई 20 सेमी होगी, तब

परिधि 

$\begin{aligned}&=2 \pi r=44 \\2 \times \frac{22}{7} \times r &=44 \\r &=\frac{7 \times 44}{2 \times 22}\end{aligned}$

=7 सेमी

आयतन$\begin{aligned}&=\pi r^{2} h \\&=\frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 20 \\&=22 \times 7 \times 20 \end{aligned}$

=3080  घन सेमी 

अभीष्ट आयतन =3080 घन सेमी ।

प्रश्न 11. 

ऊँचाई 14 सेमी वाले एक लम्बवृत्तीयं बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 88 सेमी है है। बेलन के आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।

हल: 

वक्रीय पुष्ठ या वक्र पुष्ठीय क्षेत्रफल $=2 \pi m$

$\begin{aligned} 88 &=2 \times \frac{22}{7} \times r \times 14 \\ r &=\frac{88 \times 7}{2 \times 22 \times 14}=1 \end{aligned}$

प्रश्न 12. 

धांतु की एक चादर से 1 मीटर ऊँची तथा 140 सेमी व्यास के आधार वाली एक बंद बेलनाकार' टंकी बनाई जानी है। इस कार्य के लिए कितने वर्ग मीटर चादर की आवश्यकता होगी ?

हल : 

माना $r$ आधार की त्रिज्या और $h$ 'बेलनाकार टंकी की ऊँचाई है।

यहाँ $h=1$ मीटर, $r=\frac{140}{2}$ सेमी $=70$ सेमी $=0.70$ मीटर

बंद 'बेलनाकार टंकी के लिए आवश्यक धातु की चादर

= इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=2 \pi r(h+r) \\&=2 \times \frac{22}{7} \times 0.7(1+0 \cdot 70) \\&=2 \times 22 \times 0-1 \times 1.70\end{aligned}$

=7.48 मी $^{2}$ 

आवश्यक चादर =7.48 मी $^{2}$ 

प्रश्न 13. 

धातु का एक पाइप 77 सेमी लम्बा है। इसकी एक अनुप्रस्थ काट का आंतरिक व्यास 4 सेमी है और बाहरी व्यास 4 .4 सेमी है (देखिए आकृति)। ज्ञात कीजिए।

(i) आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

(ii) बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

(iii) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

हल : 

धात्यिक पाइप के लिये,

लम्बाई, $h=77$ सेमी

आन्तरिक व्यास $=4$ सेमी

बाहरी व्यास $=4.4$ सेमी

आन्तरिक त्रिज्या $r=2$ सेमी

बाह्य त्रिज्या $\mathrm{R}=2.2$ सेमी

(i)

आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 

$\begin{aligned} &=2 \pi r h \\ &=2 \times \frac{122}{7} \times 2 \times 77   \end{aligned}$

=968 सेमी $^{2}$

(ii)

बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $=2 \pi R h$

$=2 \times \frac{22}{7} \times 2.2 \times 77 $

=1064.8 सेमी $^{2}$

(iii) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल +बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + दोनों किनारों का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}=& 968+1064 \cdot 8+2 \pi\left(R^{2}-r^{2}\right) \\ &=\left[968+1064.8+2 \times \frac{22}{7}\left(2 \cdot 2^{2}-2^{2}\right)\right]  \\ &=\left[968+1064 \cdot 8+2 \times \frac{22}{7}(4.84-4)\right]  \\ &=(2032.8+5.28)\end{aligned}$

=2038.08 सेमी $^{2}$

प्रश्न 14. 

एक रोलर (Roller) का व्यास 84 सेमी और लम्बाई 120 सेमी है। एक खेल के मैदान को एक बार समतल करने के लिए 500 चक्कर लगाने पड़ते हैं। खेल के मैदान का (मीटर ${ }^{2}$ में) क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

रोलर की लम्बाई 120 सेमी अर्थात् $h=1.2$ मीटर और बेलन (अर्थात् रोलर) की त्रिज्या $=\frac{84}{2}$ सेमी $=42$ सेमी $=0.42$ मीटर।

एक चक्कर में रोलर द्वारा तय की जाने वाली दूरी = इसका वक्रीय पृष्ठ

$\begin{aligned}&=2 \pi h \\&=\left(2 \times \frac{22}{7} \times 0.42 \times 1.2\right) \end{aligned}$

=3.168 मी $^{2}$

खेल के मैदान का क्षेत्रफंल =500 चक्करों में रोलर द्वारा तय की गई दूरी

$=(500 \times 3 \cdot 168)+h^{2}$

=1584 मी $^{2}$

प्रश्न 15.

किसी बेलनाकार स्तंभ का व्यास 50 सेमी है और ऊँचाई $3.5$ मी है। $12.50$ रुपए प्रति मी $^{2}$ की दर से इस स्तम्भ के वक्र पृष्ठ पर पेंट कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना आधार की त्रिज्या $r$ और स्तम्भ की ऊँचाई $h$ है।

$\therefore r=\frac{50}{2}$ सेमी $=25$ सेमी $=0.25$ मी और $h=3.5$ मी

वक्रीय पृष्ठ 

$\begin{aligned} & =2 \pi r h \\& & =\left(2 \times \frac{22}{7} \times 0-25 \times 3.5\right)+A^{2}\end{aligned}$

=5.5 मी $^{2}$

12.50 रु. प्रति वर्ग मी की दर से वक्र पृष्ठ पर पेंट कराने का व्यय

$\begin{aligned}&=(5.5 \times 12.5) \\&=68.75\end{aligned}$

प्रश्न 16.

एक लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $4.4 \mathrm{~m}^{2}$ है। यदि बेलन के आधार की त्रिज्या $0.7 \mathrm{~m}$ है, तो असकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

प्रश्नानुसार लम्ब वृत्तीय बेलन के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल $=4.4 \mathrm{~m}^{2}$

तथा  बेलन की त्रिज्या $(r)=0.7 \mathrm{~m}$

बेलन की ऊँचाई $(h)=?$

माना कि बेलन की ऊँचाई $=h$

$\therefore \quad 2 \pi h=4.4$

$\begin{aligned} 2 \times \frac{22}{7} \times 0.7 \times h &=4.4 \\ 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{10} \times h &=4.4 \\ \frac{44}{10} \times h &=4.4 \\ h &=\frac{4.4 \times 10}{44} \\ &=\frac{44}{10} \times \frac{10}{1} \times \frac{1}{44} \\ h &=1 \mathrm{~m} . \end{aligned}$

प्रश्न 17. 

किसी वृत्ताकार ' कुएँ का आन्तरिक व्यास $3.5 \mathrm{~m}$ है और यह $10 \mathrm{~m}$ गहरा है। ज्ञात कीजिए

(i) आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।

(ii) 40 रु. प्रति $\mathrm{m}^{2}$ की दर से इसके वक्र पृष्ठ पर प्लास्टर कराने का व्यय।

हल : 

प्रश्नानुसार, वृत्ताकार कुएँ का आन्तरिक व्यास $=3.5 \mathrm{~m}$

$\therefore \quad$ कुएँ की त्रिज्या $(r)=\frac{3.5}{2}=1.75 \mathrm{~m}$

कुएँ की गहराई $(h)=10 \mathrm{~m}$

(i) चूँक कुआँ बेलनाकार है, अतः कुएँ का आन्तरिक वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=2 \pi r h \\&=2 \times \frac{22}{7} \times 1.75 \times 10 \mathrm{~m}^{2} \\&=2 \times \frac{22}{7} \times \frac{175}{100} \times 10 \mathrm{~m}^{2} \\&=110 \mathrm{~m}^{2}\end{aligned}$

(ii)$1 \mathrm{~m}^{2}$. क्षेत्रफल पर प्लास्टर कराने का व्यय =40 रु.

$110 \mathrm{~m}^{2}$ पर प्लास्टर कराने का व्यय

=40×110 

=4400

प्रश्न 18. 

गरम पानी द्वारा गरम रखने वाले एक संयंत्र में $28 \mathrm{~m}$ लम्बाई और $5 \mathrm{~cm}$ व्यास वाला एक बेलनाकार पाइप है। इस संयंत्र में गर्मी देने वाला कुल कितना पृष्ठ है?

हल : 

माना कि बेलनाकार पाइप की लम्बाई (ऊँचाई) $=h$ है।

प्रश्नानुसार,  $h=28 \mathrm{~m}$

तथा  बेलनाकार पाइप की त्रिज्या $(r)=r$.

$2 r=5 \mathrm{~cm}$

दिया है : $r=\frac{5}{2} \mathrm{~cm}$

$\therefore$ गर्मी देने वाले बेलनाकार पाइप का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल $=2 \pi r$

$\begin{aligned}&=2 \times \frac{22}{7} \times \frac{5}{2} \times 2800 \\&=44000 \mathrm{~cm}^{2} \\&=\frac{44000}{10000} \mathrm{~m}^{2} \\&=4.4 \mathrm{~m}^{2}\end{aligned}$

उत्तर

प्रश्न 19. 

ज्ञात कीजिए :

(i) एक बेलनाकार पेट्रोल की बन्द टंकी का पाश्व्व या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, जिसका व्यास $4.2 \mathrm{~m}$ है और ऊँचाई $4.5 \mathrm{~m}$ है।

(ii) इस टंकी को बनाने में कुल कितना इस्पात (steel) लगा होगा, यदि कुल इस्पात का $\frac{1}{12}$ भाग बनाने में नष्ट हो गया है?

हल : 

(i) 'प्रश्नानुसार बेलनाकार पेट्रोल की टंकी का व्यास

$\begin{aligned} 2 r &=4.2 \mathrm{~m} \\ \text { त्रिज्या }(r) &=\frac{4.2}{2}=2.1 \mathrm{~m} \end{aligned}$

टंकी की ऊँचाई $(h)=4.5 \mathrm{~m}$

अतः पेट्रोल की टंकी का वक्र पृष्ठ्ठीय क्षेत्रफल $=2 \pi r h$

$\begin{aligned}&=2 \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 4.5 \mathrm{~m}^{2} \\&=59.4 \mathrm{~m}^{2}\end{aligned}$

(ii) माना कि इस टंकी को बनाने में लगा इस्पात $=x \mathrm{~m}^{2}$

प्रश्नानुसार क्योंकि टंकी को बनाने में कुल इस्पात का $\frac{1}{12}$ भाग नष्ट हो जाता है। अतः टंकी में लगे इस्पात का क्षेत्रफल $=x-\frac{1}{12} x=\frac{11}{12} x$

$\begin{aligned} \frac{11}{12} x &=59.4 \mathrm{~m}^{2} \\ 11 x &=12 \times 59.4 \\ x &=\frac{12 \times 59.4}{11} \\ x &=12 \times 5.4 \\ &=64.8 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned}$

प्रश्न 20. 

दी गयी आकृति में, आप एक लैंपशेड का फ्रेम देख रहे हैं। इसे एक सजावटी कपड़े से ढका जाना है। इस फ्रेम के आधार का व्यास $20 \mathrm{~cm}$ है और ऊँचाई $30 \mathrm{~cm}$ है । फ्रेम के उपर और नीचे मोड़ने के लिए दोनों ओर $2.5 \mathrm{~cm}$ अतिरिक्त कपड़ा भी छोड़ा जाना है। ज्ञात कीजिए कि लैंपशेड को ढकने के लिए कुल कितने कपड़े की आवश्यकता होगी?

हल :

फ्रेम की ऊँचाई $(H)=30 \mathrm{~cm}$.

ऊपर व नीचे मोड़े जाने वाले प्रत्येक कपड़े की ऊँचाई $(h)=2.5 \mathrm{~cm}$

अब माना कि प्रत्येक भाग की त्रिज्या $(r)$ हो, तब

प्रश्नानुसार व्यास $(2 r)=20 \mathrm{~cm}$

या  $r=\frac{20}{2} \mathrm{~cm}=10 \mathrm{~cm}$

लैंपशेड ढकने के लिए आवश्यक कपड़ा

=Ist बेलन के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल + IInd बेलन के वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल+ III बेलन के वक्र पृष्ठ क 

$\begin{aligned}&=2 \pi r h+2 \pi r H+2 \pi r h \\&=2 \pi r(h+H+h) \\&=2 \pi r(2 h+H)\end{aligned}$

$\begin{aligned} &=2 \times \frac{22}{7} \times 10(30+2 \times 2.5) \mathrm{cm}^{2} \\ &=\frac{440}{7} \times 35=440 \times 5 \\ &=2200 \mathrm{~cm}^{2} . \end{aligned}$

प्रश्न 21.

किसी विद्यालय के विद्यार्थियों से एक आधार वाले बेलनाकार कलमदानों को गत्ते से बनाने और

सजाने की प्रतियोगिता में भाग लेने के लिए कहा गया। प्रत्येक कलमदान को 3 cm त्रिज्या और 10.5 ऊँचाई

का होना था विद्यालय को इसके लिए प्रतिभागियों को गत्ता देना था। यदि इसमें 35 प्रतिभागी थे, तो विद्यालय

को कितना गत्ता खरीदना पड़ा होगा?

Sol :

प्रश्नानुसार माना कि बेलनाकार कलमदानों की त्रिज्या r है तब r=3 cm है।

बेलनाकार कलमदानों की ऊँचाई=h=10.5 cm

कलमदान के लिए वांछित गत्ता=कलमदान का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल + वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल

=2𝝿rh+𝝿$r^2$

=𝝿r(2h+r)

$=\frac{22}{7} \times 3 (2 \times 10.5+3)$

$=\frac{22}{7} \times 3(21+3)$

$=\frac{22}{7} \times 3 \times 24$

=226.28 $cm^2$

अर्थात् प्रत्येक प्रतिभागी के लिए कलमदान बनाने के लिए वांछनीय गत्ते का क्षेत्रफल $=226.28 \mathrm{~cm}^{2}$ 

अतः 35 कलमदानों हेतु वांछित गत्ता

$\begin{aligned}&=(226.28 \times 35) \mathrm{cm}^{2} \\&=7919.8 \mathrm{~cm}^{2}\end{aligned}$

=7920 $\mathrm{~cm}^{2}$ (लगभग)

प्रश्न 22. 

एक बेलनाकार बर्तन के आधार की परिधि $132 \mathrm{~cm}$ और उसकी ऊँचाई $25 \mathrm{~cm}$ है। इस बर्तन में कितने लीटर पानी आ सकता है? $\left(1000 \mathrm{~cm}^{3}=1\right.$.लीटर)

हल : - 

बर्तन के आधार की परिधि $=132 \mathrm{~cm}$

माना जब आधार की त्रिज्या $r$ है तो परिधि $=2 \pi r$ '

$2 \pi r=132 \mathrm{~cm}$

$\begin{aligned}2 \times \frac{22}{7} \times r &=132 \\r &=132 \times \frac{1}{2} \times \frac{7}{22} \\r &=21 \mathrm{~cm}\end{aligned}$

बर्तन की ऊँचाई $(h)=25 \mathrm{~cm}$

 बर्तन का आयतन = बेलन का आयतन

$\begin{aligned}&=\pi r^{2} h \\&=\frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 25 \mathrm{~cm}^{3} \\&=22 \times 3 \times 21 \times 25 \mathrm{~cm}^{3} \\&=34650 \mathrm{~cm}^{3}\end{aligned}$

$1000 \mathrm{~cm}^{3}=1$ लीटर अतः

$=\frac{34650}{1000}$ लीटर

=34.65 लीटर। 

प्रश्न 23. 

लकड़ी के एक बेल्नाकार पाइप का आन्तरिक व्यास $24 \mathrm{~cm}$ है और बाहरी व्यास $28 \mathrm{~cm}$ है। इस पाइप की लम्बाई $35 \mathrm{~cm}$ हैं। इस पोइप का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, यदि $1 \mathrm{~cm}^{3}$ लकड़ी का 'द्रव्यमान $0.6$ ग्राम है।

बाहरी त्रिज्या $=R=\frac{28}{2}=14$ सेमी

तथा r=भीतरी त्रिज्या $=\frac{24}{2}$ सेमी=12 सेमी 

पाइप बनाने में प्रयुक्त लकड़ी का आयतन = बाहरी बेलन का आयतन - भीतरी बेलन का आयतन

$\begin{aligned}&=\pi R^{2} h-\pi r^{2} h=\pi\left(R^{2}-r^{2}\right) h \\&=\frac{22}{7} \times\left(14^{2}-12^{2}\right) \times 35\end{aligned}$

$\begin{aligned}&=\frac{22}{7} \times(14+12)(14-12) \times  \\&=\frac{22}{7} \times 26 \times 2 \times 35\end{aligned}$

=5720 सेमी $^{3}$

1 सेमी $^{3}$ का द्रव्यमान =0.6 ग्राम

5720 सेमी $^{3}$ का द्रव्यमान $=(5720 \times 0.6)$

$=\left(\frac{5720 \times 0.6}{1000}\right)$

=3.432 किग्रा।

प्रश्न 24. 

एक सोफ्ट ड्रिंक (Soft drink) दो प्रकार के पैकों में उपलब्ध है : (i) लंबाई 5 सेमी और चौड़ाई 4 सेमी वाले एक आयताकार' आधार का टिन का डिब्बा जिसकी ऊँचाई 15 सेमी है और (ii) व्यास 7 सेमी वाले वृत्तीय आधार और 10 सेमी ऊँचाई वाला एक प्लास्टिक का बेलनाकार डिब्बा। किस डिब्बे की धारिता अधिक है और कितनी अधिक है ?

हल :

(i) आयताकार पैक के लिये,

लम्बाई, $l=5$ सेमी

चौड़ाई, $b=4$ सेमी

ऊँचाई, $h=15$ सेमी

आयतन 

$\begin{aligned}&=l \times b \times h=5 \times 4 \times 15  \end{aligned}$

=300 सेमी $^{3}$

(ii) बेलनाकार पैक के लिये,

व्यास =7 सेमी

त्रिज्या, $r=\frac{7}{2}$ सेमी

ऊँचाई, h=10 सेमी

आयतन 

$\begin{aligned}&=\pi r^{2} h \\&=\frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{2}\right)^{2} \times 10  \\&=\frac{22}{7} \times \frac{49}{4} \times 10 \\&=\frac{1540}{4} \end{aligned}$

=385 सेमी $^{3}$

स्पष्ट है कि 'बेलनाकार डिब्बे की धारिता =385-300=85 घन सेमी अधिक है।

उत्तर

प्रश्न 25. 

यदि एक बेलन का पाश्व्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $94.2$ सेमी $^{2}$ और उसकी ऊँचाई 5 सेमी है, तो ज्ञात कीजिए :

(i) आधार की त्रिज्या,

(ii) बेलन का आयतन, $(\pi=3.14$ लीजिए)।

हल : 

बेलन के लिये,

ऊँचाई, $h=5$ सेमी

(i) $\therefore$

वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल =94.2 सेमी $^{2}$

2𝝿h=94.2

2×3.14×r×5=84.2

r$=\frac{94.2}{2 \times 3.14 \times 5}$

r$=\frac{94.2}{31.4} $

$=\frac{942}{314}$

=3 सेमी। 

उत्तर

(ii)

बेलन का आयतन 

$\begin{aligned}&=\pi r^{2} h \\&=3.14 \times(3)^{2} \times 5 \\&=3.14 \times 45 \end{aligned}$

=141.3 सेमी $^{3}$

उत्तर

प्रश्न 26. 

$10 \mathrm{~m}$ गहरे एक बेलनाकार' बर्तन की आन्तरिक वक्र पृष्ठ को पेंट कराने का व्यय 2200 रुपये है। यदि पेंट कराने की दर 20 रुपये प्रति $\mathrm{m}^{2}$ है, तो ज्ञात कीजिए :

(i) बर्तन का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

(ii) आधार की त्रिज्या

(iii) बर्तन की धारिता।

हल : 

बर्तन के आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल को पेन्ट कराने का व्यय

=2200 रु.

पेंट कराने की दर $=20$ रु. प्रति $\mathrm{m}^{2}$

(i) अतः बर्तन का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल =कुल व्यय / दरं 

$=\frac{2200}{20}=110 \mathrm{~m}^{2}$............(i)

(ii) बर्तन की गहराई $(h)=10 \mathrm{~m}$

अब माना कि आधार की त्रिज्या =r है।

∴ बर्तन का आन्तरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल 

$\begin{aligned}&=2 \pi r h \\&=2 \times \frac{22}{7} \times r \times 10\end{aligned}$..........(ii)

अब (i) व (ii) से

$2 \times \frac{22}{7} \times r \times 10=110$

या

$\begin{aligned}&r=110 \times \frac{1}{2} \times \frac{7}{22} \times \frac{1}{10} \\&r_{0}=1.75 \mathrm{~m} .\end{aligned}$

(iii) अब चूँकि $r=1.75 \mathrm{~m}$ तथा $h=10 \mathrm{~m}$.

बर्तन की धारिता =बेलन का आयतन 

$\begin{aligned}&=\pi r^{2} h \\&=\frac{22}{7} \times 1.75 \times 1.75 \times 10 \\&=96.25 \mathrm{~m}^{3}\end{aligned}$

∵ हम जानते है कि $1 \mathrm{~m}^{3}=1$ किलोलीटर,

अतः 96.25 किलोलीटर।

प्रश्न 27. 

ऊँचाई $1 \mathrm{~m}$ वाले एक बेलनाकार बर्तन की धारिता $15.4$ लीदर है। इसको बनाने के लिए कितने वर्ग मीटर धातु की शीट की आवश्यकता होगी?

हल :

बर्तन की ऊँचाई $(h)=1 \mathrm{~m}$

बर्तन की धारिता =15.4 लीटर

$\begin{aligned}&=\frac{15.4}{1000}=0.0154 \mathrm{~m}^{3}\end{aligned}$.........(i)

                         $\left[\because 1000\right.$ लटटर $\left.=1 \mathrm{~m}^{3}\right]$

अब माना कि बर्तन के आधार की त्रिज्या $r$ हैं

$\therefore$$\pi r^{2} h=0.0154$

$\begin{aligned} \frac{22}{7} \times r^{2} \times 1 &=0.0154 \\ r^{2} &=0.0154 \times \frac{7}{22} \\ &=0.0007 \times 7 \\ r^{2} &=0.0049 \\ r &=\sqrt{0.0049} \\ &=0.07 \mathrm{~m} \end{aligned}$

क्योंकि यह बेलनाकार बर्तन बन्द है।

अतः बर्तन बनाने में लगी धातु का क्षेत्रफल = बर्तन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल+ दो वृत्ताकार ढक्कनों का क्षेत्रफल

$=2 \pi r h+2 \pi r^{2}$

$=2 \pi r(h+r)$

$=2 \times \frac{22}{7} \times 0.07(1+0.07)$

$=\frac{44}{7} \times 0.07 \times 1.07$

$=44 \times 0.01 \times 1.07$

$=0.4708 \mathrm{~m}^{2}$

प्रश्न 28. 

सीसे की एक पेसिल (lead pencil) लकड़ी के एक बेलन के अभ्यंतर में ग्रेफइट (graphite) से बने ठेस बेलन को डाल कर बनाई गई है। पैसिल का व्यास $7 \mathrm{~mm}$ है और ग्रेफाइट का व्यास $1 \mathrm{~mm}$ है। यदि पेंसिल की लम्बाई $14 \mathrm{~cm}$ है, तो लकड़ी का आयतन और ग्रेफाइट का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना कि पेंसिल में लगी ग्रेफांइट की त्रिज्या $r$ है।

$\therefore \quad$ व्यास $(2 r)=1$ मिमी.

$\begin{aligned}&r=\frac{1}{2} \mathrm{~mm}=\frac{1}{2} \times \frac{1}{10} \mathrm{~cm} \\&r=\frac{1}{20} \mathrm{~cm}\end{aligned}$

ग्रेफाइट की ऊँचाई $(h)=14 \mathrm{~cm}

ग्रेफाइट का आयतन

$=\pi r^{2} h$

$=\frac{22}{7} \times\left(\frac{1}{20}\right)^{2} \times 14 \mathrm{~cm}^{3}$

$=\frac{22}{7} \times \frac{1}{400} \times 14 \mathrm{~cm}^{3}$

$=\frac{11}{100} \mathrm{~cm}^{3}$

$=0.11 \mathrm{~cm}^{3}$

अब माना कि पेंसिल की त्रिज्या $R$ हैं।

अतः व्यास $(2 R)=7 \mathrm{~mm}$

$R=\frac{7}{2} \mathrm{~mm}=\frac{7}{2} \times \frac{1}{10} \mathrm{~cm}$

$R=\frac{7}{20} \mathrm{~cm}$

पेंसिल का आयतन $=\pi r^{2} h$

$\begin{aligned}&=\frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{20}\right)^{2} \times 14 \mathrm{~cm}^{3} \\&=\frac{22}{7} \times \frac{49}{400} \times 14 \mathrm{~cm}^{3} \\&=5.39 \mathrm{~cm}^{3}\end{aligned}$

लकड़ी का आयतन = पेंसिल का आयतन - ग्रेफाइट का आयतन

$\begin{aligned}&=(5.39-0.11) \mathrm{cm}^{3} \\&=5.28 \mathrm{~cm}^{3}\end{aligned}$

प्रश्न 29. 

एक अस्पताल (hospital) के एक रोगी को प्रतिदिन $7 \mathrm{~cm}$ व्यास वाले एक बेलनांकार कटोरे में सूप (soup) दिया जाता है। यदि यह कटोरा सूप से $4 \mathrm{~cm}$ ऊँचाई तक भरा जाता है, तो इस अस्पताल में 250 रोगियों के लिए प्रतिदिन कितना सूप तैयार किया जाता है?

हल : 

माना बेलनाकार कटोरे के वृत्तीय आधार की त्रिज्या $r$ है।

$\therefore \quad$ व्यास $(2 r)=7 \mathrm{~cm}$

$r=\frac{7}{2} \mathrm{~cm}$

कटोरे की ऊँचाई $(h)=4 \mathrm{~cm}$

बेलनाकार कटोरे का आयतन $=\pi r^{2} h$

$\begin{aligned}&=\frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{2}\right)^{2} \times 4 \\&=\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 4 \\&=22 \times 7=154 \mathrm{~cm}^{3}\end{aligned}$

चूँकि कटोरा पूरी तरह से सूप से भरा हुआ है। अतः एक कटोरे में भरे गए सूप की मांत्रा या आयतन $=154 \mathrm{~cm}^{3}$ अतः अस्ततल द्वारा तैयार किए गए 250 रोगियों होतु सूप की कुल मात्रा

$\begin{aligned}&=(250 \times 154) \mathrm{cm}^{3} \\&=38500 \mathrm{~cm}^{3}\end{aligned}$

$=\frac{38500}{1000}$ लीटर [1 लीटर$=1000 \mathrm{~cm}^{3}$]

=38.5 लीटर

Dr Manohar Re Solution CLASS 9 CHAPTER 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन [SURFACE AREAS AND VOLUMES] प्रश्नावली 13 (B)

 प्रश्नावली 13 (B)

प्रश्न 1.

1.5 मीटर लम्बा, $1 \cdot 25$ मीटर चौड़ा और 65 सेमी गहरा प्लांस्टिक का एक डिब्या बनाया जाना है। इसे ऊपर से खुला रखना है। प्लास्टिक शीट की मोटाई को नगण्य मानते हुए निर्धारित कीजिए :

(i) डिब्या बनाने के लिए आवश्यक प्लास्टिक शीट का क्षेत्रफल।

(ii) इस शीट का मूल्य, यदि 1 वर्ग मीटर शीट का मूल्य 20 रुपये है।

हल : 

प्लास्टिक डिब्या के लिए

लम्बाई $=1.5$ मी

चौड़ाई $=1.25$ मी

गहराई $=0.65$ मी

(i) चूँक डिब्या ऊपर से खुला है अतः अभीष्ट प्लास्टिक' शीट का क्षेत्रफल

$=2[l b+b h+h l]-l b$ 

$=2[1 \cdot 5 \times 1 \cdot 25+1 \cdot 25 \times 0 \cdot 65+0.65 \times 1.5)-1.5 \times 1 \cdot 25$ $=2[1 \cdot 875+0.8125+0.975]-1.875$

$=2 \times 3 \cdot 6625-1.875$ 

$=7.325-1 \cdot 875$ 

=5.45 मी $^{2}$

उत्तर

(ii)

शीट का कुल मूल्य $=(5.45 \times 20)$

=109  रु.

प्रश्न 2. 

एक कमरे की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 5 मी., 4 मी. और 3 मी. हैं। $7 \cdot 50$ रुपए प्रति मी $^{2}$ की दर से इस कमरे की दीवारों और छत पर सफेदी कराने का व्यय ज्ञांत कीजिए।

हल : 

माना l=5 मी., b=4 मी. और h=3 मी

चारों दीवारों सहित छ्छ का क्षेत्रफल 

$\begin{aligned} &=[2(l+b) \times h+l b] \\&=[2(5+4) \times 3+5 \times 4]  \\&=(2 \times 9 \times 3+20)  \\&=(54+20) \end{aligned}$

=74 मी $^{2}$

सफेदी कराने की प्रति वर्ग' मीटर दर =7.50 रु.

सफेदी कराने का कुल व्यय=74×7.50=555 रु

प्रश्न 3. 

किसी आयताकार हॉल के फर्श का परिमाप 250 मी. है। यंदि 10 रुपए प्रति मी $^{2}$ की दर से चारों दीवारों पर पेंट कराने की लागत 15000 रु. है, तो इस हॉल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

चारों दीवारों पर पेंट कराने की लागत =15000 रुपए

पेंट कराने की दर =10 रु. प्रति मी $^{2}$

∴ चारों दीवारों का क्षेत्रफल $=\left(\frac{15000}{10}\right)$ मी $^{2}$

=1500 मी $^{2}$

 2(l+b) h=1500 

परिमाप × ऊँचाई =1500

250× ऊँचाई =1500

ऊँचाई$=\frac{1500}{250}$

ऊँचाई=6 मी

प्रश्न 4. 

किसी डिब्बे में भरा हुआ पेंट, $9 \cdot 375$ मी $^{2}$ के क्षेत्रफल पर पेंट करने के लिए पर्याप्त है। इस डिब्बे के पेंट से $22 \cdot 5$ सेमी $\times 10$ सेमी $\times 7 \cdot 5$ सेमी विमाओं वाली कितनी ईटें पेंट की जा सकती हैं?

हल : 

एक ईंट का पृष्ठीय क्षेत्रफल $=2(b+b h+h l)$

$=2\left(\frac{22 \cdot 5}{100} \times \frac{10}{100}+\frac{10}{100} \times \frac{7.5}{100}+\frac{7.5}{100} \times \frac{22 \cdot 5}{100}\right)$ मी $^{2}$

$=2 \times \frac{1}{100} \times \frac{1}{100}(22 \cdot 5 \times 10+10 \times 7 \cdot 5+7.5 \times 22 \cdot 5)$ मी $^{2}$

$=\frac{1}{5000} \times(225+75+168 \cdot 75)$ मी $^{2}$

$=\frac{1}{5000} \times 468.75$ मी $^{2}$

$=0.09375$ मी $^{2}$

वह क्षेत्रफल जिसके लिए पेंट पर्याप्त है = $9.375$ मी $^{2}$

:उपलब्य पेंट से रंगी जा सकने वाली इंटों की संख्या $=\frac{9.375}{0.09375}=100$. उत्तर

प्रश्न 5. 

एक घनाकार डिब्बे का एक किनारा 10 सेमी लम्बाई का है तथा एक अन्य घनाभाकार डिब्बे की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः $12.5$ सेमी, 10 सेमी और 8 सेमी हैं।

(i) किस डिब्बे का पाश्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है और कितना अधिक है?

(ii) किस डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल कम है और कितना कम है?

हल : 

घनाकार डिब्ने के लिए भुजा, $a=10$ सेमी

पार्श्व पृष्ठ$=4 a^{2}$

$=4 \times(10)^{2}$

=400 सेमी $^{2}$

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $=6 a^{2} $

$=6 \times(10)^{2}$

=600 सेमी $^{2}$

घनाभाकार डिब्बे के लिए,

लम्बाई =12.5 सेमी

चौड़ाई =10 सेमी

ऊँचाई =8 सेमी

पृष्ठीय क्षेत्रफल=

$\begin{aligned}  &=2(l+b) \times h \\ &=2 \times 22.5 \times 8 \end{aligned}$

=360 सेमी $^{2}$

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल =2[l b+b h+h l]

$\begin{aligned}&=2[12 \cdot 5 \times 10+10 \times 8+8 \times 12.5]  \\&=2[125+80+100] \\&=2 \times 305\end{aligned}$

=610 सेमी $^{2}$

अत: घनाकार डिब्बे का पाश्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है।

$(400-360)$ सेमी $^{2}=40$ सेमी $^{2}$ अधिक है।

घनाभाकार डिब्ये का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल कम है

(610-600) सेमी $^{2}=10$ सेमी $^{2}$ कम है।

प्रश्न 6. 

एक छोटा पौधा घर (green house) सम्पूर्ण रूप से शीशे की पट्टियों 'से (आधार भी सम्मिलित है) घर के अन्दर ही बनाया गया है और शीशे की पट्टियों को टेप द्वारा चिपका कर रोका गया है। यह पौधा घर 30 सेमी लम्बा, 25 सेमी चौड़ा और 25 सेमी ऊँचा है।

(i) इसमें प्रयुक्त शीशे की पट्टियों का क्षेत्रफल क्या है ?

(ii) सभी 12 किनारों के लिए कितने टेप की अवश्यकता है?

हल :

 माना, l=30 सेमी, b=25 सेमी और h=25 सेमी.

(i). शीशे की पट्टियों का क्षेत्रफल = कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=2(lb+b h+h l) \\&=2(30 \times 25+25 \times 25+25 \times 30) \\&=2(750+625 \\&=(2 \times 2125)  \end{aligned}$

=4250 सेमी $^{2}$

(ii) सभी 12 किनारों के लिए आवश्यक टेप = सभी किनारों का योग

$\begin{aligned}&=4(l+b+h) \\&=4(30+25+25)  \\&=4 \times 80 \end{aligned}$

=320 सेमी.

उत्तर

प्रश्न 7. 

शान्ति स्वीट स्टाल अपनी मिठाइयों को पैक करने के लिए गत्ते के डिब्बे बनाने का ऑर्डर दे रहा था। दो मापों के डिब्बों की आवश्यकता थी। बड़े डिब्बों की माप $25 \mathrm{~cm} \times 20 \mathrm{~cm} \times 5 \mathrm{~cm}$ और छोटे डिब्बों की माप $15 \mathrm{~cm} \times 12 \mathrm{~cm} \times 5 \mathrm{~cm}$ थीं । सभी प्रकार की अतिव्यापिकता (overlaps) के लिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के $5 \%$ के बराबर अतिरिक्त गत्ता लगेगा। यदि गत्ते की लागत 4 रुपए प्रति $1000 \mathrm{~cm}^{2}$ है, तो प्रत्येक प्रकार के 250 डिब्बे बनवाने की कितनी लागत आएगी ?

हल : 

माना कि बड़े डिब्बे की लम्बाई $(l)=25 \mathrm{~cm}$

चौड़ाई $(b)=20 \mathrm{~cm}$

तथा ऊँचाई $(h)=5 \mathrm{~cm}$

बड़े डिब्बे का पृष्ठीय क्षेत्रफल

$\begin{aligned}  &=2(lb+b h+h l) \\ &=2(25 \times 20+20 \times 5+5 \times 25) \mathrm{cm}^{2} \\ &=2(500+100+125) \mathrm{cm}^{2} \\ &=2(725) \mathrm{cm}^{2} \\ &=1450 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned}$

सभी प्रकार की अति व्यापिकता के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के 5% के बराबर वांछनीय गत्ते का क्षेत्रफल

=1450 का 5%

$\begin{aligned}&=1450 \times \frac{5}{100} \\&=72 \cdot 5 \mathrm{~cm}^{2}\end{aligned}$

इस प्रकार कुल क्षेत्रफल $=(1450+72 \cdot 5) \mathrm{cm}^{2}$

$=1522.5 \mathrm{~cm}^{2}$

इसी क्षेत्रफल के 250 डिब्बों का सम्पूर्ण क्षेत्रफल $=(1522.5 \times 250) \mathrm{cm}^{2}$

$=380625 \mathrm{~cm}^{2}$

$\therefore \quad 1000 \mathrm{~cm}^{2}$ गत्ते की लागत $=4$ रु.

$\therefore \quad 1 \mathrm{~cm}^{2}$ हेतु गत्ते की लागत $=\frac{4}{1000}$ रु.

380625 $\mathrm{~cm}^{2}$ 

∴गत्ते की लागत 

$=\frac{4}{1000} \times 380625$

=1522.50 रु.

अब पुन: माना कि छोटे डिब्बे की लम्बाई $(l)=15 \mathrm{~cm}$

चौड़ाई $(b)=12 \mathrm{~cm}$

तथा ऊँचाई $(h)=5 \mathrm{~cm}$.

अतः छोटे डिब्ने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $=2(l b+b h+h l)$

$\begin{aligned}&=2(15 \times 12+12 \times 5+5 \times 15) \mathrm{cm}^{2} \\&=2(180+60+75) \mathrm{cm}^{2} \\&=2(315) \mathrm{cm}^{2} \\&=630 \mathrm{~cm}^{2}\end{aligned}$

सभी प्रकार की अतिव्यापिकता' के लिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रत्ल 5% के बराबर वांछनीय गत्ते का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=630 \text { का } 5 \% \\&=630 \times \frac{5}{100} \mathrm{~cm}^{2} \\&=31 \cdot 5 \mathrm{~cm}^{2}\end{aligned}$

प्रकार कुल क्षेत्रफल $=(630+31 \cdot 5) \mathrm{cm}^{2}$

$=661.5 \mathrm{~cm}^{2}$

इसी क्षेत्रफल के 250 डिब्बों का सम्पूर्ण क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=661 \cdot 50 \times 250 \mathrm{~cm}^{2} \\&=165375 \mathrm{~cm}^{2}\end{aligned}$

$\therefore \quad 1000 \mathrm{~cm}^{2}$ गत्ते की लागत $=4$ रु.

∴ 165375 $ \mathrm{~cm}^{2}$ 

 गत्ते की लागत

$=\frac{4}{1000} \times 165375$

=661.5 रु. 

इस प्रकार प्रत्येक प्रकार के 250 गत्ते के डिब्यों कीं लागत

=1522.5+661.5 

=2184 रु

प्रश्न 8. 

परवीन अपनी कार खड़ी करने के लिए, एक सन्दूक के प्रकार के ढाँचे जैसा एक अस्थाई स्थान तिरपाल की सहायता से बनाना चाहती है, जो कार को चारों ओर से और ऊपर से ढक ले (सामने वाला फलक लटका हुआ होगा जिसे घुमाकर ऊपर किया जा सकता है)। यह मानते हुए कि सिलाई के समय लगा तिरपाल का अतिरिक्त कपड़ा नगण्य होगा, आधार विमाओं 4 मीटर $\times 3$ मीटर और ऊँचाई $2.5$ मीटर वाले इस ढाँचे को बनाने के लिए कितने तिरपाल की आवश्यकता होगी ?

हल : 

माना कि-सन्दूक के प्रकार वाले ढाँचे की लम्बाई $(l)=4 \mathrm{~cm}$

चौड़ाई $(b)=3 \mathrm{~cm}$

तथा ऊँचाई $(h)=2.5 \mathrm{~cm}$

कार खड़ी करने के लिए आवश्यक तिरपाल $=2(l+b) h+l b$

$\begin{aligned}&=2(4+3) \times 2.5+4 \times 3 \mathrm{~m}^{2} \\&=2 \times 7 \times 2.5+12 \mathrm{~m}^{2} \\&=35+12 \mathrm{~m}^{2} \\&.=47 \mathrm{~m}^{2}\end{aligned}$

प्रश्न 9

माचिस की डिब्बी की माप 4 सेमी $\times 2.5$ सेमी $\times 1.5$ सेमी हैं। ऐसी 12 डिब्बियों के एक पैकेट का आयतन क्या होगा?

हल :

लम्बाई =4 सेमी

माना कि माचिस की डिब्नी की लम्बाई $l$, चौड़ाई $b$ तथा ऊँचाई $h$ है। प्रश्नानुसार

$\begin{aligned}l &=4 \mathrm{~cm} \\b &=2.5 \mathrm{~cm} \\h &=1.5 \mathrm{~cm}\end{aligned}$

मांचिस की 1 डिब्बी का आयतन $=l \times b \times h$

$\begin{aligned}&=(4 \times 2.5 \times 1.5) \mathrm{cm}^{3} \\&=15 \mathrm{~cm}^{3}\end{aligned}$

ऐसी ही 12 माचिस की डिब्बियों का आयतन

$\begin{aligned} &=(12 \times 15) \mathrm{cm}^{3} \\ &=180 \mathrm{~cm}^{3} \end{aligned}$

प्रश्न 10. 

एक घनाथाकार पानी की टंकी 6 m लम्बी, $5 \mathrm{~m}$ चौड़ी और $4.5 \mathrm{~m}$ गहरी है। इसमें कितने लीटर पानी आ सकता है ? $\left(1 \mathrm{~m}^{3}=1000 l\right)$

हल : 

प्रश्नानुसार घनाभाकार टंकी में पानी का आयतन = लम्बाई $\times$ चौड़ाई $\times$ ऊँचाई

=6m×5m×4.5m  [∵आयतन=l×b×h]

$=135 \mathrm{~m}^{3}$ $\left[\because 1 \mathrm{~m}^{3}=1000 \right]$लीटर 

=135×1000

=135000 लीटर

प्रश्न 11. 

एक घनाभाकार बर्तन $10 \mathrm{~m}$ लम्बा और $8 \mathrm{~m}$ चौड़ा है। इसको कितना ऊँचा बनाया जाए कि इसमें 380 घन मीटर द्रव आ सके ?

हल : 

माना कि घनाभाकार बर्तन को $h$ मीटर ऊँचा बनाया जाए। घनाभाकार बर्तन में द्रव का आयतन =380 घनमीटर

l×b×h=380 घनमीटर

10×8×h=380

$h=\frac{380}{10 \times 8}$

h=4.75 m

प्रश्न 12.

$8 \mathrm{~m}$ लम्बा, $6 \mathrm{~m}$ चौड़ा और $3 \mathrm{~m}$ गहरा एक घनाभाकार गड्ढा खुदवाने में 30 रुपये प्रति $\mathrm{m}^{3}$ की दर से होने वाला व्यय ज्ञात कीजिए।

हल : 

प्रश्नानुसार

$\begin{aligned}  &=8 \mathrm{~m} \times 6 \mathrm{~m} \times 3 \mathrm{~m} \\ &=144 \mathrm{~m}^{3} \end{aligned}$

∴गडढ़ा खुदवाने का व्यय=144×30=4320 रु.

प्रश्न 13. 

एक घनाभाकार टंकी की धारिता 50000 लीटर पानी की है। यदि इस टंकी की लम्बाई और गहराई क्रमशः $2.5 \mathrm{~m}$ और $10 \mathrm{~m}$ हैं, तो इसकी चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना कि घनाभाकार टंकी की चौड़ाई $=b \mathrm{~m}$ है।

इस टंकी की धारिता $=50000$ लीटर

l×b×h=50000 लीटर 

2.5 m×b×10m=50000

2.5m×b×10m$=\frac{50000}{1000} m^3$  $\left[\because 1 \mathrm{~m}^{3}=1000 \right]$

25b=50

$b=\frac{50}{25}=2 \mathrm{~m}$

प्रश्न 14. 

एक गाँव जिसकी 'जनसंख्या 4000 है, को प्रतिदिन प्रति व्यक्ति 150 लीटर पानी की आवश्यकता' है। इस गाँव में $20 \mathrm{~m} \times 15 \mathrm{~m} \times 6 \mathrm{~m}$ मापों वाली एक टंकी बनी हुई है। इस टंकी का पानी वहाँ कितने दिन के लिए पर्याप्त होगां?

हल : 

गाँव में बनी हुई घनाभाकार टंकी की धारिता=l×b×h

=20m×15m×6m

=1800 $\mathrm{~m}^{3}$ $\left[\therefore 1 \mathrm{~m}^{3}=1000 \right.$लीटर ]

=1800×1000 लीटर

=1800000 लीटर 

प्रतिदिन 1 व्यक्ति को पानी की आवश्यकता =150 लीटर

अत: 4000 व्यक्तियों हेतु प्रतिदिन आवश्यक पानी $=150 \times 4000$ लीटर

=600000 लीटर

पानी की पर्याप्तता =टंकी की धारिता / प्रतिदिन आवश्यक पानी

$=\frac{1800000}{600000}$

=3 दिन।

प्रश्न 15. 

किसी गोदाम की माप $40 \mathrm{~m} \times 25 \mathrm{~m} \times 15 \mathrm{~m}$ हैं। इस गोदाम में $1.5 \mathrm{~m} \times 1.25 \mathrm{~m} \times 0.5 \mathrm{~m}$ की माप वाले लकड़ी के कितने अधिकतम क्रेट (crate) रखे जा सकते हैं?

हल : 

प्रश्नानुसार, घनाभाकार गोदाम का आयतन $=l \times b \times h$

$\begin{aligned}&=40 \mathrm{~m} \times 25 \mathrm{~m} \times 15 \mathrm{~m} \\&=15000 \mathrm{~m}^{3}\end{aligned}$

लकड़ी के क्रेट का आयतन

$\begin{aligned} &=l \times b \times h \\ &=1.5 \mathrm{~m} \times 1.25 \mathrm{~m} \times 0.5 \mathrm{~m} \\ &=0.9375 \mathrm{~m}^{3} \end{aligned}$

अत: गोदाम में रखे जा सकने वाले क्रेटों की संख्या =गोदाम / क्रेट का आयतन

कायतन 

$=\frac{15000}{0.9375}=16000$

प्रश्न 16.

$12 \mathrm{~cm}$ भुजा वाले एक ठोस घन को बराबर आयतन वाले 8 घनों में काटा जाता है। नए घन् की क्या भुजा होगी? साथ ही, इन दोनों घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।

हल :

ठोस घन का आयतन(भुजा)$^{3}$

$\begin{aligned}&=(12 \mathrm{~cm})^{3} \\&=12 \mathrm{~cm} \times 12 \mathrm{~cm} \times 12 \mathrm{~cm} \\&=1728 \mathrm{~cm}^{3}\end{aligned}$

प्रश्नानुसार ठोस घन को बराबर आयतन वाले 8 . घनों में काटा जाता है। अतः प्रत्येक बनने वाले नए घन का आयतन $=\frac{1}{8}$ (मूल घन का आयतन)

$\begin{aligned}&=\frac{1}{8} \times 1728 \mathrm{~cm}^{3} \\&=216 \mathrm{~cm}^{3}\end{aligned}$

नए घन की भुजा$=\sqrt[3]{}$ आयतन 

$\begin{aligned}&=\sqrt[3]{216} \\&=\sqrt[3]{6 \times 6 \times 6} \\&=6 \mathrm{~cm}\end{aligned}$

मूल ठोस घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल =6 भुजा $^{2}$

$\begin{aligned}&=6(12)^{2} \\&=6 \times 12 \times 12 \mathrm{~cm}^{2} \\&=864 \mathrm{~cm}^{2}\end{aligned}$

नए घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $=6$ ( भुजा) $^{2}$.

$\begin{aligned}&=6(6 \mathrm{~cm})^{2} \\&=6 \times 6 \times 6 . \mathrm{cm}^{2}=216 \mathrm{~cm}^{2}\end{aligned}$

प्रश्नानुसार=मूल घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल /  नए घन का पृष्ठीय क्षेत्रफंल 

$=\frac{864}{216}=\frac{4}{1}$

अतः मूल घन तथा नए घन के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात=4 : 1

प्रश्न 17

3 $\mathrm{m}$ गहरी और $40 \mathrm{~m}$ चौड़ी एक नदी $2 \mathrm{~km}$ प्रंति घण्टा की चाल से बह कर समुद्र में गिरती है। एक मिनट में समुद्र में कितना पानी गिरेगा?

हल : 

समुद्र में 1 घण्टे में 2 km लम्बी नदी का पानी गिरता हो, तब एक घण्टे में समुद्र में गिर रहे पानी का आयतन = घनाभ का आयतन

$\begin{aligned}&=l \times b \times h \\&=2000 \mathrm{~m} \times 40 \mathrm{~m} \times 3 \mathrm{~m}[\because 1\mathrm{~km}=1000 \mathrm{~m}] \\&=240000 \mathrm{~m}^{3}\end{aligned}$

यह आयतन 60 मिनट में समुद्र में गिरने वाले पानी का आयतन है। अतः 1 मिनट में समुद्र में गिरने वाले पानी का आयतन

$\begin{aligned}&=\frac{240000}{60} \\&=4000 \mathrm{~m}^{3}\end{aligned}$

उत्तर

प्रश्न 18. 

एक घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई का अनुपात $5: 3: 2$ है। यदि घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 558 सेमी $^{2}$ हो, तो उसकी कोरों का नाप ज्ञात कीजिए।

हल : 

घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई में अनुपात $=5: 3: 2$

माना

घनाभ की लम्बाई $=5 x$

चौड़ाई $=3 x$

ऊँचाई $=2 x$

घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $=558$ सेमी $^{2}$

2[लम्बाई×चौड़ाई+चौड़ाई×ऊँचाई + ऊँचाई×लम्बाई]=558

$\begin{aligned}&2(5 x \times 3 x+3 x \times 2 x+2 x \times 5 x)=558 \\&2\left(15 x^{2}+6 x^{2}+10 x^{2}\right)=558 \\&31 x^{2}=279 \\&x^{2}=9 \\&x=3 \end{aligned}

लम्बाई=5 × 3=15 सेमी

चौड़ाई=3 × 3=9 सेमी 

ऊँचाई=2 × 3=6 सेमी। 

प्रश्न 19. 

एक घनाभ 12 सेमी लम्बा, 9 सेमी चौड़ा और 5 सेमी ऊँचा है। घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन ज्ञात कीजिए।

हल :

घनाभ की लम्बाई =12 सेमी

चौड़ाई $=9$ सेमी

ऊँचाई $=5$ सेमी

और

घनाभ का सम्पूर्ण पृष्टीय क्षेत्रफल=2[लम्बाई×चौड़ाई+चौड़ाई×ऊँचाई + ऊँचाई×लम्बाई]

$\begin{aligned}&=2(12 \times 9+9 \times 5+5 \times 12) \\ &=2(108+45+60) \\ &=2 \times 213 \end{aligned}$

=426 वर्ग सेमी।

घनाभ का आयतन=ल.×चौ.×ऊँ

=12×9×5

=540 घन सेमी।

प्रश्न 20. 

6 मीटर भुजा के वर्गाकार फर्श के कमरे में 180 घन मीटर हवा है। कमरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। हल :

वर्गाकार फर्श की भुजा $=6$ मीटर

वर्गाकार कमरे का क्षेत्रफल $=$ (भुजा) $^{2}$

$=(6)^{2}$

=36 वर्ग मी.

वर्गाकार कमरे में हवा का आयतन =180 घन मी

कमरे की ऊँचाई = आयतन / क्षेत्रफल 

$=\frac{180}{36}$

=5 सेमी।

प्रश्न 21. 

किसी आयता कार वस्तु का आयतन 10368 डेमी $^{3}$ है, इसकी विमाओं में $3: 2: 1$ का अनुपात है। इसकी विमाएँ ज्ञात कीजिए।

हल :

आयताकार वस्तु का आयतन $=10368$ डेसीमीटर $3^{3}$

इसकी विमाएँ $3: 2: 1$ के अनुपात में है, तब

मानालम्बाई $l=3 x$

चैड़ाई $b=2 x$

ऊँचाई $h=x$

$\begin{aligned} \text { आयतन } &=10368 \\ l \times b \times h &=10368 \\ 3 x \times 2 x \times x &=10368 \\ 6 x^{3} &=10368 \end{aligned}$

$x^{3}=\frac{10368}{6}=1728$

$x=12$ डेसीमीदर

$x=12$ डेसीमीटर

लम्बाई $=3 x=3 \times 12=36$ डेसीमीटर

चौड़ाई $=2 x=2 \times 12=24$ डेसीमीटर

ऊँचाई = $x=12$ डेसीमीटर

अतः अभीष्ट विमाएँ 36 डेसीमीटर, 24 डेसीमीटर तथा 12 डेसीमीटर हैं।

उत्तर

प्रश्न 22. 

किसी आयताकार बक्से की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई $1: 2: 3$ के अनुपात में हैं, बक्से का

आयतन ज्ञात कीजिए। यदि सम्पूर्ण पृष्ठ 1078 डेसीमीटर $^{2}$ है।

हल : 

माना आयताकर बक्से की लम्बाई $=x$ डेसीमी

चौड़ाई $=2 x$ डेसीमी

तथा  ऊँचाई $=3 x$ डेसीमी

अब  बक्से का सम्पूर्ण पृष्ठ $=1078$ डेसीमी $^{2}$

2[ल.×चौ.+चौ.×ऊँ.+ऊँ.×ल.]=1078

 2(x \times 2 x+2 x \times 3 x+3 x \times x) &=1078

$2 x^{2}+6 x^{2}+3 x^{2}=539$

$11 x^{2}=539 $

$x^{2}=49$

x=7 लम्बाई

=7 डेसीमी

चौड़ाई $=2 \times 7=14$ डेसीमी

ऊँचाई $=3 \times 7=21$ डेसीमी

बक्से का आयतन = ल. $\times$ चौ. $\times$ ऊँ.

$=7 \times 14 \times 21$

=2058 घन सेमी।

प्रश्न 23. 

एक ईंट की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 18 सेमी, 12 सेमी तथा 10 सेमी हैं । 12 मीटर लम्बी, 6 डेसीमीटर' चौड़ी तथा $4.5$ मीटर ऊँची दीवार में ऐसी कितनी इटें लगेंगी, यदि दीवार का $\frac{1}{10}$ भाग मसाले से भरा हो ?

हल :

दीवार का आयतन 

$=\frac{12 \times 6 \times 45}{10 \times 10}$ घन मीटर

$=\frac{162}{5}$ घन मीटर

मसाले के द्वारा घिरा आयतन $=\frac{162}{5} \times \frac{1}{10}$

$=\frac{81}{25}$ घन मीटर

केवल ईटों द्वारा घिरा आयतन $=\left(\frac{162}{5}-\frac{81}{25}\right)$ घन मीटर

$=\frac{729}{25}$ घन मीटर

ईट का आयतन $=18 \times 12 \times 10$ घन सेमी

$=\frac{2160}{1000000}$ घन मीटर

कुल ईंटों की संख्या $=\frac{729 \times 1000000}{25 \times 2160}$ 

=13500

कुल प्रयुक्त इटें =13500

उत्तर

प्रश्न 24.

25 मीटर लम्बे तथा $13.5$ मीटर चौड़े एक मैदान के केन्द्र में एक तालाब 5 मी. $\times 4.5$ मी. $\times 2 \cdot 1$ मी. विमाओं का खोदा गया है । इससे निकली मिद्टी को मैदान के शेष भाग पर समान रूप में फैला दिया ग़या है, बताइए मैदान कितना ऊँचा उठ जायगा ?

हल :

तालाब का आयतन $=5 \times 4.5 \times 2.1$ घन मीटर

=47.25 घन मींटर

खोदी गई मिट्टी का आयतन =47.25 घन मीटरं

मैदान का क्षेत्रफल

=25×13.5=337.5 वर्ग मीटर

तालाब के आधार का क्षेत्रफल $=5 \times 4.5$

=22.5 वर्ग मीटर

शेष मैदान का क्षेत्रफल =337.5-22.5

=315 वर्ग मीटर

मैदान में फैलाई गई मिट्टी की ऊँचाई =खोदी गई मिद्टी का आयतन / शेष मैदान का क्षेत्रफल

$=\frac{47.25}{315}$=15

=15 सेमी 

अभीष्ट मिट्टी की ऊँचाई =15 सेमी ।

प्रश्न 25. 

किसी घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठ 846 वर्ग सेमी है । यदि इसकी लम्बाई, चौड़ाई तथा ऊँचाई का अनुपात $5: 4 .: 3$ है, तो घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई तथा ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।

हल : 

माना घनाभ की लम्बाई $=l$, चौड़ाई $=b$, तथा ऊँचाई $=h$ है, तब

$\begin{aligned}l: b: h &=5: 4: 3 \\l &=5 x \\b &=4 x \\h &=3 x\end{aligned}$

घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठ $=2[l b+b h+h]]=846$

$\begin{aligned} 2[5 x \times 4 x+4 x \times 3 x+3 x \times 5 x] &=846 \\ 20 x^{2}+12 x^{2}+15 x^{2} &=\frac{846}{2}=423 \\ 47 x^{2} &=423 \\ x^{2} &=\frac{423}{47}=9 \end{aligned}$

x=3 

लम्बाई=5x=5×3=15 सेमी

चौड़ाई $=4 x=4 \times 3=12$ सेमी

ऊँचाई $=3 x=3 \times 3=9$ सेमी

अत: अभीष्ट लम्बाई, चौड़ाई तथा ऊँचाई 15 सेमी, 12 सेमी तथा 9 सेमी हैं ।