प्रश्नावली 2(J)
बहुविकल्पीय प्रश्न :
प्रत्येक प्रश्न के चार उत्तर दिये हुए हैं, सही उत्तर छाँटिए :
प्रश्न 1
$x^{4}+4$ को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए जोड़ा जाएगा :
(i) $4 x^{2}$
(ii) 2x
(iii) 8x
(iv) 4x
उत्तर : विकल्प (i) $4 x^{2}$.
हल :
$x^{4}+4$
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए $=(2 x)^{2}$
$=4 x^{2}$ जोड़ा जाएगा।
प्रश्न 2
$9 x^{2}-30 x$ को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए जोड़ा जाएगा :
(i) 20
(ii) 25
(iii) 10
(iv) 30
उत्तर : विकल्प (ii) 25 .
हल : $\sqrt{9 x^{2}}=3 x$
$\frac{-30 x}{2}=-15 x$
अभीष्ट जोड़ने वाली संख्या $=\left(\frac{-15 x}{3 x}\right)^{2}$
$=(-5)^{2}=25$
प्रश्न 3
$9 y^{2}-12 x y$ को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए जोड़ा जायेगा :
(i) $4 x^{2}$
(ii) $-4 x^{2}$
(iii) $4 y^{2}$
(iv) $-4 y^{2}$
उत्तर : विकल्प (i) $4 x^{2}$.
हल : $9 y^{2}-12 x y$ को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए
$=\left(\frac{-12 x y}{\sqrt{9 y^{2}}}\right)^{2}=\left(\frac{-6 x y}{3 y}\right)^{2}$
$=(-2 x)^{2}$
$=4 x^{2}$
प्रश्न 4
(1-8x) को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए जोड़ा जाएगा :
(i) 1
(ii) $8 x^{2}$
(iii) $x^{2}$
(iv) $16 x^{2}$.
उत्तर : विकल्प (iv) $16 x^{2}$.
हल :
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए $=\left(-\frac{1}{2} \times 8 x\right)^{2}=(-4 x)^{2}$ $=16 x^{2}$
प्रश्न 5
$49 y^{2}-56 y z$ को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए जोड़ा जाएगा :
(i) $16 z^{2}$
(ii) $4 z^{2}$
(iii) $4 y^{2}$
(iv) $8 z^{2}$
उत्तर : विकल्प (i) $16 z^{2}$.
हल :
$\sqrt{49 y^{2}}=7 y$
$-\frac{56 z}{2}=-28 z$
अभीष्ट जोड़ने वाली संख्या $=\left(\frac{-28 z}{7}\right)^{2}$
$\begin{aligned}&=(-4 z)^{2} \\&=16 z^{2}\end{aligned}$
अति लघु उत्तरीय प्रश्न :
निम्नलिखित को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए क्या जोड़ना पड़ेगा ( प्रश्न 6 से 10 तक ) :
प्रश्न6
$x^{2}+13 x$
हल :
$x^{2}+13 x$ में $x^{2}$ के वर्गमूल $x$ के दुगुने $2 x$ से $13 x$ को विभाजित किया और प्राप्त भागफल $\frac{13}{2}$ का वर्ग $\left(\frac{13}{2}\right)^{2}$
$=\frac{169}{4}$ जोड़ा जायेगा।
प्रश्न 7
$81 p^{2}-198 p q$.
हल :
$81 p^{2}-198 p q$
$81 p^{2}$ के वर्गमूल $9 p$ के दुगुने से $-198 p q$ को विभाजित किया और प्राप्त भागफत $\frac{-198 p q}{2 \times 9 p}=-11 q$ का वर्ग $(-11 q)^{2}=121 q^{2}$ जोड़ा जाएगा।
प्रश्न 8
$x^{2}-17 x$
हल :
$17 x$ का आधा $=\frac{17}{2} x$
$x^{2}$ का वर्गमूल $=x$.
जोड़ने वाली संख्या $=\left[\frac{\frac{17}{2} x}{x}\right]^{2}$
$=\left(\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$
प्रश्न 9
$16 x^{2}+25 y^{2}$.
हल :
$16 x^{2}$ कां वर्गमूल
$=4 x \\25 y^{2}$ का वर्गमूल
=5y अभीष्ट जोड़ने वाली संख्या
$=\pm 2 \times 4 x \times 5 y$
$=\pm 40 x y$
प्रश्न 10
$x^{2}+8 x$
हल :
$x^{2}+8 x$
$x^{2}$ के वर्गमूल x के दुगुने से 8x को विभाजित किया और प्राप्त भागफल $\frac{8 x}{2 x}=4$ के वर्ग $(4)^{2}=16$ जोड़ा जाएगा।
लघु उत्तरीय प्रश्न :
निम्नलिखित को पूर्ण वर्ग बनाकर गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए ( प्रश्न 11 से 22 तक) ;
प्रश्न 11
$x^{2}+8 x+15$
हल :
$\begin{aligned}x^{2}+8 x+15 &=x^{2}+2 \times x \times 4+(4)^{2}-(4)^{2}+15 \\&=x^{2}+8 x+16-16+15 \\&=(x+4)^{2}-(1)^{2} \\&=(x+4+1)(x+4-1) \\&=(x+5)(x+3)\end{aligned}$
प्रश्न 12
$x^{4}+4$
हल :
$\begin{aligned}x^{4}+4 &=\left(x^{2}\right)^{2}+2 \times x^{2} \times 2+4-4 x^{2} \\&=\left(x^{2}\right)^{2}+4 x^{2}+(2)^{2}-4 x^{2} \\&=\left(x^{2}+2\right)^{2}-(2 x)^{2} \\&=\left(x^{2}+2+2 x\right) \cdot\left(x^{2}+2-2 x\right) \\&=\left(x^{2}+2 x+2\right)\left(x^{2}-2 x+2\right)\end{aligned}$
प्रश्न 13
$x^{4}+4 x^{2}+3$.
हल :
$\begin{aligned}x^{4}+4 x^{2}+3 &=\left(x^{2}\right)^{2}+2 \times x^{2} \times 2+(2)^{2}-(2)^{2}+3 \\&=\left(x^{2}+2\right)^{2}-4+3 \\&=\left(x^{2}+2\right)^{2}-(1)^{2} \\&=\left(x^{2}+2+1\right)\left(x^{2}+2-1\right) \\&=\left(x^{2}+3\right)\left(x^{2}+1\right)\end{aligned}$
प्रश्न 14
$x^{4}+x^{2}+1$.
हल :
$\begin{aligned}x^{4}+x^{2}+1 &=\left(x^{2}\right)^{2}+2 \times x^{2}+1-2 x^{2}+x^{2} \\&=\left(x^{2}+1\right)^{2}-x^{2} \\&=\left(x^{2}+1+x\right)\left(x^{2}+1-\dot{x}\right) \\&=\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)\end{aligned}$
प्रश्न 15
$a^{2}-4 a-437$
हल :
$\begin{aligned}a^{2}-4 a-437 &=a^{2}-2 \times 2 a+4-4-437 \\&=a^{2}-2 \times 2 a+(2)^{2}-441 \\&=(a-2)^{2}-(21)^{2} \\&=(a-2+21)(a-2-21) \\&=(a+19)(a-23)\end{aligned}$
प्रश्न 16
$16 x^{2}+56 x+13$
हल :
$\begin{aligned}16 x^{2}+56 x+13 &=(4 x)^{2}+2 \times 4 x \times 7+(7)^{2}-(7)^{2}+13 \\&=(4 x)^{2}+56 x+49-49+13 \\&=(4 x+7)^{2}-(49-13)\end{aligned}$
$=(4 x+7)^{2}-(36)$
$=(4 x+7)^{2}-(6)^{2}$
=(4 x+7+6)(4 x+7-6)
=(4 x+13)(4 x+1)
प्रश्न 17
$a^{2}+6 a-567$
हल :
$\begin{aligned}a^{2}+6 a-567 &=a^{2}+2 \times 3 a+(3)^{2}-(3)^{2}-567 \\&=a^{2}+2 \times 3 a+9-9-567 \\&=a^{2}+2 \times 3 a+9-576 \\&=(a+3)^{2}-(24)^{2} \\&=(a+3+24)(a+3-24) \\&=(a+27)(a-21)\end{aligned}$
प्रश्न 18
$p^{2}-8 p+7$
हल :
$\begin{aligned}p^{2}-8 p+7 &=(p)^{2}-2 \times p \times 4+4^{2}-4^{2}+7 \\&=p^{2}-8 p+(4)^{2}-16+7 \\&=(p-4)^{2}-9 \\&=(p-4)^{2}-(3)^{2} \\&=(p-4+3)(\dot{p}-4-3) \\&=(p-1)(p-7)\end{aligned}$
प्रश्न 19
$x^{2}+26 x+153$
हल :
$\begin{aligned}x^{2}+26 x+153 &=x^{2}+2 \times 13 x+(13)^{2}-(13)^{2}+153 \\&=(x+13)^{2}-169+153 \\&=(x+13)^{2}-16 \\&=(x+13)^{2}-(4)^{2} \\&=(x+13+4)(x+13-4) \\&=(x+17)(x+9)\end{aligned}$
प्रश्न 20
$x^{4}+2 x^{2}+9$
हल :
$\begin{aligned}x^{4}+2 x^{2}+9 &=\left(x^{2}\right)^{2}+2 \times x^{2} \times 3+(3)^{2}-6 x^{2}+2 x^{2} \\&=\left(x^{2}+3\right)^{2}-4 x^{2} \\&=\left(x^{2}+3\right)^{2}-(2 x)^{2} \\&=\left(x^{2}+3+2 x\right)\left(x^{2}+3-2 x\right) \\&=\left(x^{2}+2 x+3\right)\left(x^{2}-2 x+3\right)\end{aligned}$
प्रश्न 21
$9 x^{2}-15 x+6$
हल :
$\begin{aligned} 9 x^{2}-15 x+6 &=(3 x)^{2}-2 \times 3 x \times \frac{5}{2}+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}-\left(\frac{5}{2}\right)^{2}+6 \\ &=\left(3 x-\frac{5}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4} \\ &=\left(3 x-\frac{5}{2}\right)^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2} \\ &=\left(3 x-\frac{5}{2}+\frac{1}{2}\right)\left(3 x-\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\right) \\ &=(3 x-2)(3 x-3) \end{aligned}$
प्रश्न 22
$2 x^{2}-5 x+3$
हल :
$\begin{aligned}2 x^{2}-5 x+3 &=2\left[(x)^{2}-2 \times x \times \frac{5}{4}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}\left(\frac{5}{4}\right)^{2}+\frac{3}{2}\right] \\&=2\left[\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}-\left(\frac{1}{4}\right)^{2}\right] \\&=2\left[\left(x-\frac{5}{4}+\frac{1}{4}\right)\left(x-\frac{5}{4}-\frac{1}{4}\right)\right] \\&=2(x-1)\left(x-\frac{3}{2}\right)\end{aligned}$
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