Dr Manohar re Solution Class 10 Chapter 4 द्विघात समीकरण (Quadratic equations in two variables) प्रश्नावली 4 (G)

 प्रश्नावली 4 (G) 

Question 1

$a x^{2}+b x+c=0$ के मूलों का योग होगा :

(i) $\frac{a}{b}$

(ii) $-\frac{a}{b}$

(iii) $\frac{b}{a}$

(iv) $-\frac{b}{a}$

Sol :

(iv) $-\frac{b}{a}$

समीकरण' $a x^{2}+b x+c=0$ के मूलों का योगफल

=- x  का गुणांक / $x^{2} $ का गुणांक

$=-\frac{b}{a}$

Question 2

समीकरण $x^{2}-x-1=0$ का विविक्तकर है :

(i) -4

(ii) -5

(iii) 4

(iv) 5

Sol :

(iv) 5

समीकरण $x^{2}-x-1=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,

a=1 , b=1 , c=1

$\therefore$ विविक्तकर $b^{2}=4 a c$

$=(-1)^{2}-4 \times 1 \times(-1)$

=1+4=5

Question 3

समीकरण $x^{2}-25=0$ को कहते हैं ;

(i) एक घात समीकरण

(ii) शुद्ध द्विघात समीकरण

(iii) मिश्रित द्विघात समीकरण

(iv) सर्वसमिका।

Sol :

(ii) शुद्ध द्विघात समीकरण।

समीकरण $x^{2}-25=0$ को शुद्ध द्विघात समीकरण कहते हैं

 

Question 4

दो संख्याओं का योगफल 7 है तथा उनका गुणनफल 12 है, तो संख्याएँ होंगी :
(i) 5 , 2
(ii) 6 , 1
(iii) 4 , 3
(iv) 7 , 0
Sol :

(iii) 4 , 3

माना दो संख्याएँ x तथा y हैं, तब प्रश्नानुसार,

x+y=7...(1)

xy=12...(2)

समीकरण (1) से

y=7-x....(3)

समीकरण (2) में y का मान रखने पर

$x(7-x)=12$

$7 x-x^{2}=12$

$x^{2}-7 x+12=0$

(x-3)(x-4)=0

x=3,4

जब x=3 , y=7-3=4

जब x=4 , y=7-4=3

अतः संखयाएँ = 3 ,4 या 4 ,3

Question 5

द्विघात संमीकरण $x^{2}-6 x-16=0$ के मूलों का योग है :

(i) -6

(ii) 6

(iii) -16

(iv) 16

Sol :

(ii) 6

समीकरण $x^{2}-6 x-16=0$ तथा समीकरण $a r^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,

a=1 , b=-6 , c=-16

मूलों का योगफल $=-\frac{b}{c}=-\frac{(-6)}{1}=6 .$

Question 6

दिएात समीकरण जिसके मूल 5,4 है, होगा :

(i) $x^{2}-x+4=0$

(ii) $x^{2}+9 x+20=0$

(iii) $x^{2}+x+20=0$

(iv) $x^{2}-9 x+20=0$.

Sol :

(iv) $x^{2}-9 x+20=0$.

समीकरण$x^{2}$-( मूलों का योगफल) x+ मूलों का गुणनफल = 0

$x^{2}-(5+4) x+5 \times 4=0$

$x^{2}-9 x+20=0$

Question 7

समीकरण $3 x^{2}-48=0$ के मूल होंगे :
(i) 4
(ii) -4
(iii) $\pm 4$
(iv) 16

Sol :

(iii) $\pm 4$

समीकरण $3 x^{2}-48=0$ 

$3 x^{2}=48$

$x^{2}=\frac{48}{3}=16$

$x=\pm 4$

Question 8

समीकरण $x^{2}+4 x=0$ के मूल होंगे ;
(i) 0,-4
(ii) 0,4
(iii) 4,-4
(iv) 2,2 .
Sol :

(i) 0,-4

समीकरण  $x^{2}+4 x=0$

x(x+4)=0

x=0

x+4=0 , तब

x=-4

x=0 , -4

Question 9

समीकरण $ax^{2}+b x+c=0$ के मूल बराबर होते हैं, यदि :

(i) a=b=c

(ii) $b>2 \sqrt{a c}$

(iii) $b=2 \sqrt{a c}$

(iv) $b<2 \sqrt{a c}$.

Sol :

(iii) $b=2 \sqrt{a c}$.

जब समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ के मूल बराबर होते हैं, तब इसका प्रतिबन्ध $b^{2}=4 a c$ या $b=2 \sqrt{a c}$ होता है।

Question 10

समीकरण $\frac{x}{8}=\frac{8}{x}$ के मूल होंगे :

(i) 8

(ii) -8

(iii) $\pm 8$

(iv) 1

Sol :

(iii) $\pm 8$

समीकरण 

$\frac{x}{8}=\frac{8}{x}$

$x^{2}=64$

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर

$x=\pm \sqrt{64}$

अतः $x=\pm 8$

Question 11

समीकरण $2 x^{2}-5 x+4=0$ के मूल है :

(i) वास्तविक, समान

(ii) वास्तविक नहीं

(iii) वास्तविक, असमान

(iv) इनमें से कोई नहीं।

Sol :

(ii) वास्तविक नहीं

समीकरण $2 x^{2}-5 x+4=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,

a=2 , b=-5 , c=4

विविक्तकर, $b^{2}-4 a c=(-5)^{2}-4 \times 2 \times 4$

=25-32=-7 (ऋणात्मक मान)

तब मूल काल्पनिंक होंगे, वारतविक नहीं।

Question 12

समीकरण $2 x^{2}+5 x+3=0$ के मूलों के चिन्ह होंगे :

(i) दोनों धनात्मक

(ii) एक धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक

(iii) दोनों मूल ऋणात्मक

(iv) मूलों का चिन्ह x के मानों पर निर्भर है।

Sol :

समीकरण 

$2 x^{2}+5 x+3=0$

$2 x^{2}+2 x+3 x+3=0$

2x(x+1)+3(x+1)=0

(x+1)(2x+3)=0

जब x+1=0 , तब

x=-1

और जब 2x+3=0 तब

$x=-\frac{3}{2}$

ये दोनों मूल ऋणात्मक हैं।

Question 13

एक द्विघात समीकरण का विविक्तकर +3 है। समीकरण के दोनों मूल होंगे :

(i) वास्तविक नहीं

(ii) वास्तविक, समान

(iii) वास्तविक, असमान

(iv) शून्य और +3 

Sol :

(iii) वास्तविक, असमान

जब एक द्विघात समीकरण का विविक्तकर +3 है अर्थात् धनात्मक मान है तब मूल वास्तविक तथा असमान होते है

Question 14

समीकरण x(x-3)=0 के मूल होंगे :

(i) 1 और -3

(ii) 0 और -3

(iii) 1 और 3

(iv) 0 और 3

Sol :

(iv) 0 और 3

समीकरण x(x-3)=0

x=0

x-3=0

x=3

तब (0,3) है।

Question 15

समीकरण $4 x^{2}-12 x+9=0$ के मूल होंगे :

(i) वास्तविक, असमान

(ii) वास्तविक नहीं

(iii) वास्तविक, बराबर

(iv) शून्य

Sol :

(iii) वास्तविक, बराबर

समीकरण $4 x^{2}-12 x+9=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,

a=4 , b=-12 , c=9

विविक्तकर, $=b^{2}-4 a c$

$=(-12)^{2}-4 \times 4 \times 9$

=144-144=0

तब मूल वास्तविक तथा बराबर होंगे।

लघु उत्तरीय प्रश्न

Question 16

एक वर्ग समीकरण' के मूलों का योग $\frac{5}{4}$ और अन्तर $\frac{1}{4}$ है, तो समीकरण ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना वर्ग समीकरण के मूल $\alpha$ तथा $\beta$ हैं, तब प्रंश्नानुसार,

$\alpha+\beta=\frac{5}{4}$...(i)

$\alpha-\beta=\frac{1}{4}$...(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर

$2 \alpha=\frac{5}{4}+\frac{1}{4}$

$=\frac{5+1}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$

$\alpha=\frac{3}{4}$

समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर

$2 \beta=\frac{5}{4}-\frac{1}{4}=\frac{5-1}{4}$

$2 \beta=\frac{4}{4}=1$

$\beta=\frac{1}{2}$

तब समीकरण होगा

$x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta=0$

$x^{2}-\left(\frac{5}{4}\right) x+\frac{3}{4} \times \frac{1}{2}=0$

$8 x^{2}-10 x+3=0$

अतः अभीष्ट समीकरण $8 x^{2}-10 x+3=0$ है।

Question 17

उस द्विघात समीकरण को ज्ञात कीलिए जिसके मूल -3 और - 1 हैं।

Sol :

समीकरण

$x^{2}-$ (मूलों का योगफल x+ मूलों का गुणनफल $=0$

$x^{2}-(-3-1) x+(-3) \times(-1)=0$

$x^{2}-(-4) x+3=0$

$x^{2}+4 x+3=0$

अत : $x^{2}+4 x+3=0$ है।

Question 18

द्विघात संमीकरण $3 x^{2}-7 x+5=0$ का विविक्तकर ज्ञात कर मूलों के लक्षण बताइए।

Sol :

समीकरण $3 x^{2}-7 x+5=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,

a=3 , b=-7 ,c=5

विविक्तकर $=b^{2}-4 a c$

$=(-7)^{2}-4 \times 3 \times 5$

=49-60=-11 ,(ऋर्णात्मक मान)

अत : मूल काल्पनिक होंगे।

Question 19

निम्नलिखित कथन को समीकरण में व्यक्त कीजिए :

किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में 1 जोड़ने पर भिन्न का मान $\frac{5}{4}$ और अंश तथा हर दोनों में से 1 घटाने पर मान $\frac{3}{4}$ हो जाता है।

Sol :

माना भिन्न $\frac{x}{y}$ है, तब प्रश्नानुसार,

$\frac{x+1}{y+1}=\frac{4}{5}$

तथा पुन : प्रश्नानुसार, $\frac{x-1}{y-1}=\frac{3}{4}$

अतः अभीष्ट समीकरण $\frac{x+1}{y+1}=\frac{4}{5}, \frac{x-1}{y-1}=\frac{3}{4}$

दीर्च उत्तीय प्रसन

Question 20

वर्ष पूर्व रहमान की आयु (वर्षों में ) का व्युत्क्रम और अब से 5 वर्ष पश्चात् आयु के व्युत्क्रम का योग $\frac{1}{3}$ है उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना रहमान की वर्तमान आयु x वर्ष हो, तो

3 वर्ष पूर्व उसकी आयु =x-3 थी और 5 वर्ष पश्चात् उसकी आयु =x+5 होगी

इस प्रकार 3 वर्ष पूर्व तथा 5 वर्ष पश्चात् रहमान की आयु के व्युल्क्नम क्रमशः $\frac{1}{x-3}$ तथा $\frac{1}{x+5}$ हों, तब

प्रश्नानुसार,

दोनों स्थितियों वाली आयु के व्युत्क्रमों का योग $=\frac{1}{3}$

$\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{3}$

$\frac{x+5+x-3}{(x-3)(x+5)}=\frac{1}{3}$

$\frac{2 x+2}{x^{2}-3 x+5 x-15}=\frac{1}{3}$

$\frac{2 x+2}{x^{2}+2 x-15}=\frac{1}{3}$

$x^{2}+2 x-15=6 x+6$

$x^{2}-4 x-21=0$

$x^{2}-7 x+3 x-21=0$ ( गुणनखण्ड करने पर)

x(x-7)+3(x-7)=0

(x-7)(x+3)=0

x-7=0

x=7

x+3=0

x=-3 (आयु ऋणात्मक संभव नहीं)

अत : रहमान की वर्तमान आयु =7 वर्ष

Question 21

एक रेलगाड़ी एकसमान चाल से 360 किमी की दूरी तय करती है। यदि यह चाल 5 किमी/घण्टा अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घण्टा कम समय लेती। रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना रेलगाड़ी की चाल x किमी/घण्टा हो, तब

360 किमी दूरी तय करने में लगा समय $=\frac{360}{x}$

जब चाल में 5 किमी/घण्टा की वृद्धि हो तब कुल चाल =(x+5) किमी/घण्टा

∴360 किमी दूरी तय करने में लगा समय $=\frac{360}{x+5}$

360 किमी की दूरी तय करने में विभिन्न चालों द्वारा लगे दोनों समयों में अन्तर = 1 घण्टा

$\frac{360}{x}-\frac{360}{x+5}=1$

$\frac{360(x+5)-360 x}{x(x+5)}=1$

$\frac{360 x+1800-360 x}{x^{2}+5 x}=1$

$\frac{1800}{x^{2}+5 x}=1$

$x^{2}+5 x=1800$

$x^{2}+45 x-40 x-1800=0$

x(x+45)-40(x+45)=0

(x+45)(x-40)=0

x+45=0

x=-45 (चाल ऋणात्मक नही होती)

x-40=0

x=40

अतः रेलगाड़ी की चाल = 40 किमी/घण्टा।

Question 22

दो पानी के नल एक साथ एक हौज को $9 \frac{3}{8}$ घण्टों में भर सकते हैं। बड़े व्यास वाला नल हौज को भरने में, कम  व्यास वाले नल से 10 घण्टे कम समय लेता है। प्रत्येक नल द्वारा अलग से हौज को भरने के समय ज्ञात कीजिए।

Sol :

मान लीजिए छोटे व्यास वाला नल हौज को भरने में x घण्टे का समय ले, तो वह

1 घण्टे में भेगा $=\frac{1}{x}$ भाग

और बड़ा व्यास वाला नल उसी हौज को भरने में (x-10) घण्टे का समय ले, तो वह

1 घण्टे में भरेगा $=\frac{1}{x-10}$ भाग

अब दोनों ही नल एक साथ उसे भरेंगे $=9 \frac{3}{8}$ अर्थात् $\frac{75}{8}$ घण्टे

∴दोनों नलों द्वारा 1 घण्टे में हौज भरा जाएगा $=-\frac{1}{75 / 8}=\frac{8}{75}$

∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{x-10}=\frac{8}{75}$

$\frac{x-10+x}{x(x-10)}=\frac{8}{75}$

$\frac{2 x-10}{x^{2}-10 x}=\frac{8}{75}$

$8 x^{2}-80 x=150 x-750$

$8 x^{2}-80 x-150 x+750=0$

$8 x^{2}-230 x+750=0$

$4 x^{2}-115 x+375=0$

इसकी तुलना $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर,

a=4 , b=-115 , c=375

$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$

$=\frac{115 \pm \sqrt{(-115)^{2}-4 \times 4 \times 375}}{2 \times 4}$

$=\frac{115 \pm \sqrt{13225-6000}}{8}$

$=\frac{115+\sqrt{7225}}{8}$

$=\frac{115 \pm 85}{8}$

$=\frac{115+85}{8}$ या $\frac{115-85}{8}$

$=\frac{200}{8}$ या $\frac{30}{8}$

$=25$ या $3 \frac{3}{4}$

अतः छोटा व्यास वाला नल उसे 25 घण्टे में भरता है तथा बड़ा व्यास वाला नल उसें 25-10 अर्थात् 15 घण्टे मे भरेंगा।

Question 23

मैसूर और बैंगलोर के बीच के 132 किमी यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी, सवारी गाड़ी से 1 घण्टा समय कम लेती है (मध्य के सेशनों पर ठहरने का समय ध्यान में न लिंया जाए)। यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल, सवारी गाड़ी की औसत चाल से 11 किमी/घण्टा अधिक हो, तो दोनों रेलगाड़ियों की औसत चाल ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना सवारी गाड़ी की औसत चाल x किमी/घण्टा हो, तब

सवारी गाड़ी को 132 किमी दूरी तय करने में लगा समय

$=\frac{132}{x}$ घण्टे

और एक्सप्रेस गाड़ी की चाल जब (x+11) किमी/घण्टा हो, तब एक्सप्रेस गाड़ी को 132 किमी दूरी तय करने लगा समय $=\frac{132}{x+11}$ घण्टे

प्रश्नानुसार,

$\frac{132}{x}-\frac{132}{x+11}=1$

$\frac{132(x+11)-132 x}{x(x+11)}=1$

$\frac{132 x+1452-132 x}{x^{2}+11 x}=1$

$\frac{1452}{x^{2}+11 x}=1$

$x^{2}+11 x=1452$

$x^{2}+11 x-1452=0$

$x^{2}+44 x-33 x-1452=0$

x(x+44)-33(x+44)=0

(x+44)(x-33)=0

x+44=0

x=-44 (ऋणात्मक मान मान्य नहीं है )

x-33=0

x=33

अतः सवारी गाड़ी की औसत चाल 33 किमी/घण्टा है और एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल (33+11) किमी/घण्टा अर्थात् 44 किमी/घण्टा है।

Question 24

13 मीदर व्यास वाले एक वृत्ताकार पार्क की परिसीमा के एक बिन्दु पर एक खम्भा इस प्रकार गाड़ना है कि इस पार्क के एक व्यास के दोनों अंत बिन्दुओं पर बने फाटकों A और B से खम्भे की दूरियों का अन्तर 7 मीटर हो। क्या ऐसा करना सम्भव है? यदि है, तो दोनों फाटकों से कितनी दूरियों पर खन्भा गाड़न है।

Sol :

मान लीजिए C बिन्दु पर खस्भा है,

जिसकी फाटक B से दूरी a है

अर्थात्   BC=a

दिया है :

दोनों फाटकों की दूरियों का अन्तर = 7

अथात AC-BC=7

AC=7+BC=7+a

AB=13 मीटर (दिया है)

∵चूँकि खम्भा सीधा खड़ा है, अर्थात् $\angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}$

∴ $\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}$ (पाइथागोरस प्रमेय से)

$(13)^{2}=(7+a)^{2}+a^{2}$

$169=49+a^{2}+14 a+a^{2}$

$2 a^{2}+14 a=169-49=120$

$a^{2}+7 a-60=0$

अब खम्भे की फाटक से दूरी उपरोक्त समीकरण को सन्तुष्ट करती है या नहीं, इस हेतु

$b^{2}-4 a c=(7)^{2}-4 \times 1 \times(-60)$

=49+240=289>0

अतः इस समीकरण के दोनों मूल वास्तविक हैं।

इसीलिए खम्भें को पार्क की परिसीमा पर गाड़ना संभव है।

$a=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$ के सूत्र से

$=\frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2}$

$=\frac{-7 \pm 17}{2}$

$=\frac{-7+17}{2}, \frac{-7-17}{2}$

$a=\frac{10}{2}, \frac{-24}{2}=5,-12$

∴खम्भें और फाटक के मध्य दूरी है, जो कि धनात्मक होगी।

∴a=5 मी

अतः खम्भे को पार्क की परिसीमा पर फाटक B से 5 मीटर की दूरी पर तथा फाटक A से 12 मीटर की दूरी पंर गाड़ना है।

Dr Manohar re Solution Class 10 Chapter 4 द्विघात समीकरण (Quadratic equations in two variables) प्रश्नावली 4 (F)

 प्रश्नावली 4 (F) 

Question 1

दो क्रमागत सम संख्याओं का गुणनफल 528 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

Sol :
माना दो क्रमागत सम संख्याएँ 2 x,(2 x+2) हैं। 

प्रश्नानुसार,

$2 x \times(2 x+2)=528$

$2 x \times(2 x+2)=528$

$4 x \times(x+1)=528$

$x \times(x+1)=\frac{528}{4}=132$

$x^{2}+x=132$

$x^{2}+x-132=0$

$x^{2}+12 x-11 x-132=0$

x(x+12)-11(x+12)=0

(x+12)(x-11)=0

(x+12)=0

(x+12)=0 , तब

x=-12 अग्राह्य

x-11=0

x=11

अतः अभीष्ट संख्याएँ 22,24 हैं।

Question 2

दो संख्योंं का योग 20 और उनका गुणनफल 10 है, उनके व्युक्रमो का योग ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना दो संख्याएँ x तथा y हैं।

प्रश्नानुसार,

x+y=20

xy=10

अब संख्याओं के व्युत्क्रमो का योगफल,

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y+x}{x y}=\frac{20}{10}=2$

अतः अभीष्ट मान = 2 

Question 3

किसी संख्या का वर्ग उसके 4 गुने से 12 अधिक है। संख्या ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना संख्या x है।

प्रश्नानुसार , $x^{2}=4 x+12$

$x^{2}-4 x-12=0$

$x^{2}-(6-2) x-12=0$

$x^{2}-6 x+2 x-12=0$

x(x-6)+2(x-6)=0

(x-6)(x+2)=0

(x-6)=0 ,x=6

x+2=0 , x=-2 (अग्रहीत)

अतः अभीष्ट संख्या 6 है।

Question 4

$x+\frac{1}{x}=\frac{10}{3}$ को हल कीजिए।

Sol :

$x+\frac{1}{x}=\frac{10}{3}$

$\frac{x^{2}+1}{x}=\frac{10}{3}$

$3 x^{2}+3=10 x$

$3 x^{2}-10 x+3=0$

$3 x^{2}-9 x-x+3=0$

3 x(x-3)-1(x-3)=0

(x-3)(3 x-1)=0

जब x-3=0 , तब

x=3

और जब 3x-1=0 , तब 

$x=\frac{1}{3}$

$x=3, \frac{1}{3}$

Question 5

$\sqrt{x}+2 x=1$ को हल कीजिए।

Sol :

$\sqrt{x}+2 x=1$

$\sqrt{x}=1-2 x$

दोनो पक्षो का वर्ग करने पर,

$(\sqrt{x})^{2}=(1-2 x)^{2}$

$x=(1-2 x)^{2}$

$x=1+4 x^{2}-4 x$

$4 x^{2}-5 x+1=0$

$4 x^{2}-4 x-x+1=0$

4 x(x-1)-1(x-1)=0

(x-1)(4 x-1)=0

(x-1)=0, तब

x=1

4x-1=0 , तब

$x=\frac{1}{4}$

अतः $x=1, \frac{1}{4}$

Question 6

किसी धनांत्मक संख्या और उसके धनात्मक वर्गमूल का योग 12 है। संख्या ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना धनात्मक संख्या x है।

प्रश्नानुसार,

$x+\sqrt{x}=12$

$\sqrt{x}=12-x$

दोनों पक्षो का वर्ग करने पर

$(\sqrt{x})^{2}=(12-x)^{2}$

$x=144+x^{2}-24 x$

$x^{2}-25 x+144=0$

$x^{2}-16 x-9 x+144=0$

x(x-16)-9(x-16)=0

(x-9)(x-16)=0

जब x-9=0 तब

x=9

और जब x-16=0 , तब 

x=16 (अग्राह्य)

अतः अभीष्ट संख्या = 9

Question 7

किसी संख्या और उसके व्युत्क्रम का योग 4 है। संख्या ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना संख्या x है, तब

प्रश्नानुसार,

$x+\frac{1}{x}=4$

$\frac{x^{2}+1}{x}=4$

$x^{2}+1=4 x$

$x^{2}-4 x+1=0$

$x=\frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^{2}-4 \times 1 \times 1}}{2 \times 1}$ $\left[\right.$ सूत्र $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$ से $]$

$=\frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2}$

$=\frac{4 \pm \sqrt{12}}{2}$

$=\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

$=2 \pm \sqrt{3}$

अत : अभीष्ट संख्या $=2 \pm \sqrt{3}$.

Question 8

दो संख्याओं का योग 13 और उनके वर्गों का योगफल 89 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना संख्याएँ x तथा y हैं, तब प्रश्नानुसार,

x+y=13...(1)

$x^{2}+y^{2}=89$..(2)

समीकरण (1) से, y=13-x

समीकरण (2) में x का मान रखने पर

$x^{2}+(13-x)^{2}=89$

$x^{2}+169+x^{2}-26 x-89=0$

$2 x^{2}-26 x+80=0$

$x^{2}-13 x+40=0$

$x^{2}-5 x-8 x+40=0$

x(x-5)-8(x-5)=0

(x-5)(x-8)=0

x-5=0 , तब

x=5

x-8=0 , तब

x=8

जब x=5 , तब 

y=13-5=8

y=13-8=5

अत : अभीष्ट संख्याएँ =5,8

Question 9

किसी संख्या और उसके व्युत्क्रम  का योग $2 \frac{1}{20}$ है। संख्या ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना संख्या x हैं, तब व्युत्क्रम $=\frac{1}{x}$.

प्रश्नानुसार, $x+\frac{1}{x}=2 \frac{1}{20}$

$\frac{x^{2}+1}{x}=\frac{41}{20}$

$20 x^{2}+20=41 x$

$20 x^{2}-41 x+20=0$

$20 x^{2}-16 x-25 x+20=0$

4 x(5 x-4)-5(5 x-4)=0

(5 x-4)(4 x-5)=0

5 x-4=0 ; तब

$x=\frac{4}{5}$

4x-5=0 , तब

$x=\frac{5}{4}$

अत : अभीष्ट संख्या $=\frac{4}{5}$ या $\frac{5}{4}$.

Question 10

एक संख्या और उसके व्युत्क्रम (reciprocal) का 'योगफल' $6 \frac{1}{6}$ है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना संख्या x हो, तब व्युत्क्रम $=\frac{1}{x}$.

प्रश्नानुसार,

$x+\frac{1}{x}=6 \frac{1}{6}$

$\frac{x^{2}+1}{x}=\frac{37}{6}$

$6 x^{2}+6=37 x$

$6 x^{2}-37 x+6=0$

$6 x^{2}-36 x-x+6=0$

6x(x-6)-1(x-6)=0

(x-6)(6x-1)=0

x-6=0 , तब

x=6

और जब 6x-1=0 , तब

$x=\frac{1}{6}$

अत: अभीष्ट संख्या =6 या $\frac{1}{6}$

Question 11

निम्नलिखित कथन को समीकरण द्वारा अभिव्यक्ति कीजिए :

"दो क्रमागत धन पूर्णांकों के वर्गों का योगफल 221 है।"

Sol :

माना दो क्रमागत संख्याएँ x तथा (x+1) हैं, तब प्रश्नानुसार,

$x^{2}+(x+1)^{2}=221$

Question 12

$x^{2}+4 x+2=0$ को हल कीजिए।

Sol :

समीकरण $x^{2}+4 x+2=0$ तथा संमीकरण' $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,

a=1 , b=4 , c=2

$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$

$=\frac{-4 \pm \sqrt{(4)^{2}-4 \times 1 \times 2}}{2 \times 1}$

$=\frac{-4 \pm \sqrt{16-8}}{2}$

$=\frac{-4 \pm \sqrt{8}}{2}$

$=\frac{-4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

$=\frac{2(-2 \pm \sqrt{2})}{2}$

$=-2 \pm \sqrt{2}$

$x=-2 \pm \sqrt{2}$

Question 13

उन दो क्रमागत धन विषम प्रर्णांकों को ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 290 है।

Sol :

माना दो क्रमागत धन विषम पूर्णांक संख्याएँ (2 x+1),(2 x+3) हैं, तब प्रश्नानुसार,

$(2 x+1)^{2}+(2 x+3)^{2}=290$

$4 x^{2}+1+4 x+4 x^{2}+9+12 x=290$

$8 x^{2}+16 x+10-290=0$

$8 x^{2}+16 x-280=0$

$x^{2}+2 x-35=0$

$x^{2}+7 x-5 x-35=0$

x(x+7)-5(x+7)=0

(x-5)(x+7)=0

x-5=0 , तब

x=5

x+7=0 , तब

x=-7 , (अग्राह्य)

संख्याएँ $2 x+1=2 \times 5+1=11$

$2 x+3=2 \times 5+3=13$

अतः अभीष्ट संख्याएँ 11 , 13 है।

Question 14

क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना सम्भव है जिसकी लम्बाई, चौड़ाई से दुगुनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 मी हो ? यदि है, तो उसकी लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना बगिया की चौड़ाई = x मी

लम्बाई = 2x मी

बगिया का क्षेत्रफल =800 मी $^{2}$

लम्बाई $\times$ चौड़ाई =800

$x \times 2 x=800$

$2 x^{2}=800$

$x^{2}=400$

$x=\sqrt{400}=20$ मी

अतः बगिया की चौड़ाई = 20 मी

लम्बाई $=2 x=2 \times 20=40$ मी।

Question 15

क्या निम्नलिखित स्थिति सम्भव है? यदि है तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए। दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है। चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 48 था।

Sol :

माना एक मित्र की आयु =x वर्ष हो, तो

दूसरे मित्र की आयु =20-x

चार वर्ष पूर्व दोनों मित्रों की आयु क्रमशः (x-4) वर्ष तथा (20-x-4) वर्ष अर्थात् (16-x) वर्ष थी।

प्रश्नानुसार ,

∴(x-4)(16-x)=48

$16 x+4 x-64-x^{2}=48$

$-x^{2}+20 x-64-48=0$

$-x^{2}+20 x-112=0$

$x^{2}-20 x+112=0$

इसकी तलना $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर,

a=1 , b=-20 तथा c=112

विविक्तंकर $(\mathrm{D})=b^{2}-4 a c$

$=(-20)^{2}-4 \times 1 \times 112$

=400-448=-48

$\therefore-48<0$ हो, तो समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होंगे अर्थात् वर्तमान आयु ज्ञात करने की स्थिति सम्भव नही है।

Question 16

क्या परिमाप 80 मी तथा क्षेत्रफल 400 मी $^{2}$ के एक पार्क को बनाना सम्भव है? यदि है, तो उसकी लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

Sol : 

चूँकि पार्क की स्थिति आयताकार होगी क्योंकि लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है, तब माना पार्क की लम्बाई x मी है।

∵अंयंताकार पार्क का परिमाप = 80 मी

∴2 (लम्बाई + चौड़ाई)=80

2(x+चौड़ाई )=80

x+चौड़ाई =40

चौडाई =(40-x) मी

पार्क का क्षेत्रफल = 400 मी $^{2}$

∴लम्बाई $\times$ चौड़ाई $=400$

x(40-x)=400

$40 x-x^{2}=400$

$x^{2}-40 x=-400$

$x^{2}-40 x+400=0$

$x^{2}-20 x-20 x+400=0$

x(x-20)-20(x-20)=0

(x-20)(x-20)=0

x-20=0

x=20

अथात्  पार्क की लम्बाई =20 मी

पार्क की चाड़ाई =(40-x) मी

=(40-20) मी

=20

अतः पार्क बनाना संभव है जोकि वर्गकार होगा।

Question 17

दो क्रमागत संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनके वर्गों का योगफल 265 है।

Sol :

माना दो क्रमागत संख्याएँ x तथा (x+1) हैं, तब प्रश्नानुसार,

$x^{2}+(x+1)^{2}=265$

$x^{2}+x^{2}+2 x+1=265$

$2 x^{2}+2 x+1-265=0$

$2 x^{2}+2 x-264=0$

$x^{2}+x-132=0$

$x^{2}+12 x-11 x-132=0$

x(x+12)-11(x+12)=0

(x-11)(x+12)=0

जब x-11=0, तब

x=11

और जब x+12=0, तब

x=-12 (अग्राह्य)

अत : दो क्रमागत संख्याएँ = 11,12 हैं

Question 18

दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 $\text{मी}^2$ है। यदि उनके परिमांपों का अन्तर 24 मी हो, तो दोनों वर्गों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना पहले वर्ग की भुजा x मी हो, तब

∴परिमाप $=4 \times$ भुजा =4 x मी

∵दिया नै : दूसरे वर्ग का परिमाप - पहले वर्ग का परिमाप = 24 मी

∴दूसरे वर्ग का परिमाप = (4 x+24) मी

अर्थात् दूसरे वर्ग की भुजा $=\frac{(4 x+24)}{4}$ मी

$=\frac{4(x+6)}{4} \text { मी }$

=(x+6) मी

∵पहले वर्ग का क्षेत्रफल + दूसरे वर्ग का क्षेत्रफल = 468

∴$(x)^{2}+(x+6)^{2}=468$

$x^{2}+x^{2}+36+12 x=468$

$2 x^{2}+12 x+36-468=0$

$2 x^{2}+12 x-432=0$

$x^{2}+6 x-216=0$

$x^{2}+18 x-12 x-216=0$

x(x+18)-12(x+18)=0

(x+18)(x-12)=0

x+18=0

x=-18 (मान्य नहीं है)

x-12=0

x=12

अतः पहले वर्ग की भुजा = 12 मी तथा दूसरे वर्ग की भुजा = (x+6) मी = 18 मी

Question 19

एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है। यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते; तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता। उसके द्रारा दोनों विषयों में प्राप्त किए गए अंक ज्ञात कीजिए।

Sol :

शेफाली द्वारा गणित तथा अंग्रेजी में प्राप्त अंकों का योग = 30

मान लीजिए शेफाली ने गणित में x अंक प्राप्त किए हों तो शेफाली द्वारा अंग्रेजी में प्राप्त अंक = 30-x

और जब गणित में 2 अंक अधिक हों तो कुल अंक =x+2

तथा अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले हों, तो कुल अंक =(30-x-3) अर्थात् (27-x)

प्रश्नांनुसार,

$(x+2)(27-x)=210$

$27 x+54-x^{2}-2 x =210$

$-x^{2}+25 x+54-210 =0 $

$-x^{2}+25 x-156=0 $

$x^{2}-25 x+156 =0 $

$ x^{2}-12 x-13 x+156 =0 $ (गुणनखिण्ड द्वारा)

x(x-12)-13(x-12) =0

(x-12)(x-13) =0

जब x-12=0

x=12

x-13=0

x=13

जब गणित में 12 अंक मिले हों, तो अंग्रेजी में 30-12=18 अंक मिलेंगे। और जब गणित में 13 अंक मिले हों, तो अंग्रेजी में 30-13=17 अंक मिलेंगे।

Question 20

(i) एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 सेमी कम है। यदि कर्ण 13 सेमी का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना $\Delta \mathrm{PQR}$ में, $\angle \mathrm{Q}$ समकोण है, आधार भुजा x सेमी तथा ऊँचाई (x-7) सेमी है।

पाइथागोरस प्रमेय से, $(\text { कर्ण })^{2}=(\text { लम्ब })^{2}+(\text { आधार })^{2}$

$(\mathrm{PR})^{2}=(\mathrm{RQ})^{2}+(\mathrm{PQ})^{2}$

$(13)^{2}=(x-7)^{2}+(x)^{2}$

$169=x^{2}+49-14 x+x^{2}$

$169-49=2 x^{2}-14 x$

$2 x^{2}-14 x=120$

$x^{2}-7 x=60$

$x^{2}-7 x-60=0$

$x^{2}-12 x+5 x-60=0$ (गुणनखण्ड करने पर)

x(x-12)+5(x-12)=0

(x-12)(x+5)=0

x-12=0

x=12

x+5=0

x=-5

$\because$ ऋणात्मक भुजा मान्य नहीं है।

अत : आधार भुजा (PQ)=12 सेमी

तथा लम्ब भुजा (RQ)=(12-7) सेमी =5 सेमी

अत : दोनों भुजाएँ क्रमश : 12 सेमी तथा 5 सेमी होंगी।

(ii) एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मीटर अधिक लम्बा है। यदि बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मीटर अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

Sol :

मान लीजिए PQRS एक आयताकार खेत है जिसमें QR छोटी भुजा की लम्बाई x मीटर है।

=

x=

बड़ी भुजा PQ जिसकी लम्बाई =(x+30) मी.

तथा विकर्ण PR की लम्बाई =(x+60) मी.

$\therefore \Delta \mathrm{PQR}$ में, $\angle \mathrm{Q}=90^{\circ}$ हो, तब

$(\mathrm{PR})^{2}=(\mathrm{PQ})^{2}+(\mathrm{QR})^{2}$ (पाइथागोरस प्रमेय से)

$(x+60)^{2}=(x+30)^{2}+(x)^{2}$

$x^{2}+3600+120 x=x^{2}+900+60 x+x^{2}$

$x^{2}+3600+120 x=2 x^{2}+900+60 x$

$x^{2}-2 x^{2}+120 x-60 x+3600-900=0$

$-x^{2}+60 x+2700=0$

$x^{2}-60 x-2700=0$

$x^{2}-90 x+30 x-2700=0$

x(x-90)+30(x-90)=0

(x-90)(x+30)=0

x=90

x+30=0

x=-30  (∵ भुजा की लम्बाई ऋणात्मक' मान्य नहीं है )

अत : छोटी भुजा की लम्बाई = 90 मी

तथा बड़ी भुजा की लम्बाई =(90+30) मी = 120 मी।

Question 21

(i) ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो।

Sol :

माना पहली संख्या x हो, तब दूसरी संख्या = 27-x

अब दोनों संख्याओं का गुणनफल = 182

∴x(27-x)=182

$-x^{2}+27 x=182$

$x^{2}-27 x=-182$

$x^{2}-27 x+182=0$

$x^{2}-13 x-14 x+182=0$ ( गुणतखण्ड करने पर)

x(x-13)-14(x-13)=0

(x-13)(x-14)=0

x-13=0

x=13

x-14=0

x=14

जब पहली संख्या 13 हो, तो दूसरी संख्या 27-13 अर्थात् 14 होगी और जब पहली संख्या 14 हो, तो दूसरी संख्या 27-14 अर्थात् 13 होगी।

(ii) दो क्रमार्गत धनात्मक पूणांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो।

Sol :

माना x तथा (x+1) दो क्नमागत धनात्मक पूणांक हों, तब

इनके वर्गों का योगफल =365 (दिया है)

$(x)^{2}+(x+1)^{2}=365$

$x^{2}+x^{2}+1+2 x=365$

$2 x^{2}+2 x+1-365=0$

$2 x^{2}+2 x-364=0$

2 का दोनों पक्षों में भाग करने पर

$x^{2}+x-182=0$ 

$x^{2}+14 x-13 x-182=0$ (गुणनखण्ड करने पर)

x(x+14)-13(x+14)=0

(x+14)(x-13)=0

x+14=0

x=-14

x-13=0

x=13

$\because$ ऋणात्मक संख्या नहीं हो सकती है।

$\therefore$ पहली संख्या = 13 तथा दूसरी संख्या = 13+1 अर्थात् 14 होगी।

(iii) दो संख्याओं के वर्गों का अन्तर 180 है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुनान है।दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए। 

Sol :

माना छोटी संख्या x लें, तब

छोटी संख्या का वर्ग = $8 \times$ बड़ी संख्या

$x^{2}=8 \times$ बड़ी संख्या

$\therefore$ बड़ी संख्या = $\frac{x^{2}}{8}$

दोनों संख्याओं के वर्गो का अन्तर = 180 (दिया है)

(बड़ी संख्या $)^{2}$ - (छोटी संख्या ) $^{2}=180$

$\left(\frac{x^{2}}{8}\right)^{2}-(x)^{2}=180$

$\frac{x^{4}}{64}-x^{2}=180$

$\frac{x^{4}-64 x^{2}}{64}=180$

$x^{4}-64 x^{2}=11520$

$x^{4}-64 x^{2}-11520=0$

$x^{4}-144 x^{2}+80 x^{2}-11520=0$ (गुणनखण्ड द्वारा)

$x^{2}\left(x^{2}-144\right)+80\left(x^{2}-144\right)=0$

$\left(x^{2}-144\right)\left(x^{2}+80\right)=0$

$x^{2}-144=0$

$x=\sqrt{144}$

$x=\pm 12$

और $x^{2}+80=0 \Rightarrow x^{2}=-80$, जो मान्य नहीं है।

जब $x=\pm 12$ अर्थात् छोटी संख्या = 12 हो, तब बड़ी संख्या $=\frac{x^{2}}{8}$.

$=\frac{12 \times 12}{8}=18$

और जब x=-12 अर्थात् छोटी संख्या =-12 हो, तब

बड़ी संख्या $=\frac{x^{2}}{8}=\frac{-12 \times-12}{8}=18$

अतः दोनों संख्याएँ होंगी : 12 और 18 अथवा - 12 और 18 .

Question 2

एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है। एक विशेष दिन यह देखा गया कि प्रतेक नग की निर्माण लागत (रूपयों में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी। यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत ₹ 90 थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नग की लागत ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना निर्मित किए गए बर्तनों की संख्या = x हो, तब

1 बर्तन की लागत $=2 \times$ निर्मित किए गए बर्तनों की संख्या +3

=2x+3

∴निर्मित किए गए x बर्तनों की लागत =x(2 x+3)

x(2x+3)=90

$2 x^{2}+3 x=90$

$2 x^{2}+3 x-90=0$

$2 x^{2}+15 x-12 x-90=0$ (गुणनखण्ड करने पर)

x(2x+15)-6(2x+15)=0

(2x+15)(x-6)=0

2x+15=0 या $x=-\frac{15}{2}$ (मान्य नही है)

x-6=0

x=6

इसलिए 1 बर्तन की लागत =2×6+3=12+3=15

अतः बर्तनो की संख्या 6 है तथा 1 बर्तन की लागत 15 है।

Question 23

एक रेलगाड़ी एकसमान चाल से 360 किमी की दूरी तय करती है। यदि इसकी चाल 5 किमी/घण्टा अधिक हो, तो उसी दूरी को तय करने में 48 मिनट कम लेती है। रेलगाड़ी की प्रारम्भिक चाल ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना रेलगाड़ी की वास्तविक चाल = x किमी/घण्टा

वृद्धि करने पर रेलगाड़ी की चाल = (x+5) किमी/घण्टा

दूरी = 360 किमी

प्रश्नानुसार, $\frac{360}{x}-\frac{360}{x+5}=\frac{4}{5}$ $\left(\because\right.$ समय $\left.=\frac{\text { दूरी }}{\text { चाल }}\right)$

$\frac{360(x+5)-360 x}{x(x+5)}=\frac{4}{5}$ $\left(\because 48\right.$ मिनट $=\frac{48}{60}$ घण्ट $=\frac{4}{5}$ घण्टा $)$

$\frac{360 x+1800-360 x}{x^{2}+5 x}=\frac{4}{5}$

$\frac{1800}{x^{2}+5 x}=\frac{4}{5}$

$x^{2}+5 x=\frac{1800 \times 5}{4}=2250$

$x^{2}+5 x-2250=0$

$x^{2}+(50 x-45 x)-2250=0$ (गुणनखण्ड विधि से)

$x^{2}+50 x-45 x-2250=0$

x(x+50)-45(x+50)=0

(x+50)(x-45)=0

अब, (x+50)=0 ⇒ x=-50, जोकि सम्भव नहीं है। चूँकि चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती है।

और जब x-45=0 हो , तब x=45

अत: रेलगांड़ी की वंस्तविक चाल 45 किमी. घण्टा है।

Question 24

यदि जेबा अपनी वास्तविक आयु से 5 वर्ष छोटी होती, तो उसकी आयु ( वर्षों में ) का वर्ग उसकी वास्तविक आयु के 5 गुने से 11 वर्ष अधिक होता। उसकी वर्तमान आयु क्या है ?

Sol :

माना जेबा की वर्तमान आयु x वर्ष हो, तब प्रश्नान्सार,

$(x-5)^{2}=5 x+11$

$x^{2}-10 x+25=5 x+11$

$x^{2}-15 x+14=0$

$x^{2}-15 x+14=0$

$x^{2}-14 x-x+14=0$

x(x-14)-1(x-14)=0

(x-14)(x-1)=0

x=14 ,1

अत : जेबा की वर्तमान आयु 14 वर्ष होगी।

Dr Manohar re Solution Class 10 Chapter 4 द्विघात समीकरण (Quadratic equations in two variables) प्रश्नावली 4 (E)

 प्रश्नावली 4 (E) 

Question 1

$2 x^{2}+14 x+9=0$ के मूल सूत्र द्वारा ज्ञात कीजिए।
Sol :

समीकरण $2 x^{2}+14 x+9=0$ तथां समीकरण की तुलना $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर,

a=2 , b=14 , c=9

सूत्र  $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$

$=\frac{-14 \pm \sqrt{(14)^{2}-4 \times 2 \times 9}}{2 \times 2}$

$=\frac{-14 \pm \sqrt{196-72}}{4}$

$=\frac{-14 \pm \sqrt{124}}{4}$

$=\frac{-14 \pm 2 \sqrt{31}}{4}$

$=\frac{-7 \pm \sqrt{31}}{2}$

Question 2

$25 x^{2}+50 x+12=0$ के मूल सूत्र द्वारा ज्ञात कोजए।

Sol :

समीकरण $25 x^{2}+50 x+12=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,

a=25 , b=50, c=12

सूत्र $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$

$=\frac{-50 \pm \sqrt{(50)^{2}-4 \times 25 \times 12}}{2 \times 25}$

$=\frac{-50 \pm \sqrt{2500-1200}}{50}$

$=\frac{-50 \pm \sqrt{1300}}{50}$

$=\frac{-50 \pm 10 \sqrt{13}}{50}$

∴$=\frac{-5 \pm \sqrt{13}}{5}$

Question 3

$2 y^{2}+14 y+9=0$ के मूल सूत्र दारा ज्ञात कीजिए।

Sol :

समीकरण $2 y^{2}+14 y+9=0$ तथा समीकरण की तुलना $a y^{2}+b y+c=0$ से करने पर,

a=2 , b=14 , c=9

सूत्र $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$

$=\frac{-14 \pm \sqrt{(14)^{2}-4 \times 2 \times 9}}{2 \times 2}$

$=\frac{-14 \pm \sqrt{196-72}}{4} .$

$=\frac{-14 \pm \sqrt{124}}{4}$

$=\frac{-14 \pm 2 \sqrt{31}}{4}$

$=\frac{-7 \pm \sqrt{31}}{2}$

अत: अभीष्ट मूल $\frac{-7 \pm \sqrt{31}}{2-}$ है

Question 4

$2 x^{2}-3 x+4=0$ के मूल सूत्र द्वारा ज्ञात कीजिए।

Sol :

समीकरण $2 x^{2}-3 x+4=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,

a=2 , b=-3 , c=4

सूत्र  $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$

$=\frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^{2}-4 \times 2 \times 4}}{2 \times 2}$

$=\frac{3 \pm \sqrt{9-32}}{4}$

$=\frac{3 \pm \sqrt{-23}}{4}$

x= वास्तविक मान नही है।

Question 5

$2 x^{2}-5 x-24=0$ के मूल सूत्र द्वारा ज्ञात कीजिए।

Sol :

समीकरण $2 x^{2}-5 x-24=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,

a=2 , b=-5 ,c=-24

सूत्र $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$

$=\frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^{2}-4 \times 2 \times(-24)}}{2 \times 2}$

$=\frac{5 \pm \sqrt{25+192}}{4}$

$=\frac{5 \pm \sqrt{217}}{4}$

$x=\frac{5 \pm \sqrt{217}}{4}$

Question 6

$\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{3} x+1=0$ के मूलों के लक्षण ज्ञात कीजिए।

Sol :

समीकरण $\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{3} x+1=0$ तथा समीकरण' $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से

$a=\frac{1}{2}, b=\frac{1}{3}, c=1$

अब विविक्तकर, 

$b^{2}-4 a c=\left(\frac{1}{3}\right)^{2}-4 \times \frac{1}{2} \times 1$

$=\frac{1}{9}-2=\frac{1-18}{9}$

$=-\frac{17}{9}$ (ऋणात्मक)

अतः मूल काल्पनिक होंगे।

Question 7

$3 x^{2}-4 \sqrt{3} x+4=0$ के मूलों के लक्षण ज्ञात कीजिए।

Sol :

दिया गया द्विधात समीकरण है :

$3 x^{2}-4 \sqrt{3} x+4=0$

इसकी तुलना $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर,

$a=3, b=-4 \sqrt{3}, c=4$

विविक्तंकर $(\mathrm{D})=b^{2}-4 a c$

$=(-4 \sqrt{3})^{2}-4 \times 3 \times 4$

D=0

अतः द्विघात समीकरण के दो बराबर वास्तविक मूल हैं।

$x=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 a}=\frac{4 \sqrt{3} \pm 0}{2 \times 3}$

$=\frac{4 \sqrt{3}+0}{2 \times 3}, \frac{4 \sqrt{3}-0}{2 \times 3}$

$=\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

अतः समीकरण के मूल $\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ हैं जो वास्तविक तथा समान हैं।

Question 8

$4 x^{2}+12 x+9=0$ के मूलों के लक्षण ज्ञात कीजिए।

Sol :

समीकरण $4 x^{2}+12 x+9=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,

a=4 , b=12 , c=9

तब $b^{2}-4 a c=(12)^{2}-4 \times 4 \times 9$

=144-144=0

अतः दिये समीकरण के मूल वास्तविक तथा समान होंगे।

Question 9

$7 x^{2}-3 x+2=0$ के मूलों के लक्षण ज्ञात कीजिए।

Sol :

समीकरण $7 x^{2}-3 x+2=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,

a=7 , b=-3 , c=2

$b^{2}-4 a c=(-3)^{2}-4 \times 7 \times 2$

=9-56

=-47 (ऋणात्मक मान)

अतः दिये समीकरण के मूल काल्पनिक होंगे।

Question 10

$2 x^{2}-3 x+5=0$ के मूलों के लक्षण ज्ञात कीजिए।

Sol :

दिया गया द्विघात समीकरण :

$2 x^{2}-3 x+5=0$

इसकी तुलना $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर,

a=2 , b=-3 तथा c=5

विविक्तकर (D) $=b^{2}-4 a c$

$=(-3)^{2}-4 \times 2 \times 5$

=9-40=-31

$\therefore-31<0$ है।

अतः इस समीकरण के कोई वास्तविक मूल नही हैं।

Question 11

$2 x^{2}-6 x+3=0$ के मूलों के लक्षण ज्ञात कीजिए।

Sol :

दिया गया द्विघात समीकरण है :

$2 x^{2}-6 x+3=0$

इसकी तुलना $a x^{2}+b x+c=0$ करने पर,

a=2 , b=-6 तथा c=3

विविक्तकर (D) $=b^{2}-4 a c$

$=(-6)^{2}-4 \times 2 \times 3$

=36-24=12

$\because 12>0$ है

अतः द्विधात समीकरण के मूल वास्तविक और असमान हें।

∴$x=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 a}=\frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \times 2}$

$=\frac{6+\sqrt{12}}{4}, \frac{6-\sqrt{12}}{4}$

$=\frac{6+2 \sqrt{3}}{4}, \frac{6-2 \sqrt{3}}{4}$

$=\frac{3+\sqrt{3}}{2}, \frac{3-\sqrt{3}}{2}$

अत: द्विधात समीकरण के मूल $\frac{3+\sqrt{3}}{2}$ तथा $\frac{3-\sqrt{3}}{2}$ हैं जो वास्तविक तथा असमान हैं। 

Question 12

$4 x^{2}+3 x+7=0$ के मूलों के लकण जात कीजिए।

Sol :

समीकरण $4 x^{2}+3 x+7=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,

a=4 , b=3 , c=7

$b^{2}-4 a c=(3)^{2}-4 \times 4 \times 7$

=9-12=-103 (ऋणात्मक मान)

अत: दिये समीकरण के मूल काल्पनिक होंगे।

Question 13

यदि समीकरण $k x^{2}+(k-1) x-1=0$ के मूल समान हों, तो k का मान ज्ञात कीजिए।

Sol :

समीकरण $k^{2}+(k-1) x-1=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,

a=k , b=(k-1) , c=-1

जब मूल बराबर होते हैं तब $b^{2}=4 a c$ होता है, तब

$(k-1)^{2}=4 \times k \times(-1)$

$k^{2}+1-2 k=-4 k$

$k^{2}+2 k+1=0$

$(k+1)^{2}=0$

k+1=0

k=-1

Question 14

यदि समीकरण $2 x^{2}+k x+3=0$ के मूल बराबर हों, तो k का मान ज्ञात कीलिए।

Sol :

दिया गया द्विधात समीकरण है :

$2 x^{2}+k x+3=0$

इसकी तुलना $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर,

a=2 , b=k तथा c=3

∵जब इसके मूल बराबर हों, तब

विविक्तकर (D) =0

अर्थात् $ b^{2}-4 a c=0$

$k^{2}-4 \times 2 \times 3=0$

$k^{2}-24=0$

$k^{2}=24$

$\therefore \quad k=\pm 2 \sqrt{6} .$

Question 15

$3 x^{2}-8 x+5=0$ का विविक्तकर ज्ञात कीजिए।

Sol :

समीकरण $3 x^{2}-8 x+5=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x^{\prime}+c=0$ की तुलना से,

a=3 , b=-8 , c=5

विविक्तकर $=b^{2}-4 a c$

$=(-8)^{2}-4 \times 3 \times 5$

=64-60=4

अतः विविक्तकर (D) =4.

Question 16

$3 x^{2}-7 x+5=0$ का विविक्तकर ज्ञात कीजिए।

Sol :

समीकरण $3 x^{2}-7 x+5=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,

a=3 , b=-7 , c=5

विविक्तंकर $(\mathrm{D})=b^{2}-4 a c$

$=(-7)^{2}-4 \times 3 \times 5$

=49-60=-11

अतः विविक्तकर (D)=-11

Question 17

$2 x^{2}-5 x+2=0$ का विविक्तकर ज्ञात कीजिए।

Sol :

समीकरण' $2 x^{2}-5 x+2=0$ तथा समीकरण' $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,

a=2 , b=-5 , c=2 तब

विविक्तकर (D) $=b^{2}-4 a c$

$=(-5)^{2}-4 \times 2 \times 2$

=25-16=9

अतः विविक्तकर (D)=9

Question 18

$3 x^{2}+2 x-1=0$ का विविक्तकर ज्ञात कीजिए।

Sol :

समीकरण $3 x^{2}+2 x-1=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,

a=3 , b=2 , c=-1 तब

विविक्तकर $(\mathrm{D})=b^{2}-4 a c$

$=(2)^{2}-4 \times 3 \times(-1)$

=4+12=16

विविक्तकर (D) = 16

Question 19

$3 x^{2}+5 x+2=0$ का विविक्तकर ज्ञात कीजिए।

Sol :

समीकरण $3 x^{2}+5 x+2=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,

a=3 , b=5 , c=2 तब

विविक्तकर (D) $=b^{2}-4 a c$

$=(5)^{2}-4 \times 3 \times 2$

=25-24=1

अतः विविक्तकर (D) =1

Question 20

यदि समीकरण kx(x-2)+6=0 के मूल बराबर हों, तो k का मान ज्ञात कीजिए।

Sol :

दिया गया द्विघात समीकरण है :

kx(x-2)+6=0

$k x^{2}-2 k x+6=0$

इसकी तुलना $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर,

a=k , b=-2k , c=6

∵जब इसके मूल बराबर हों, तब

विविक्तकर (D) =0

अर्थात् $b^{2}-4 a c=0$

$(-2 k)^{2}-4 \times k \times 6=0$

$4 k^{2}-24 k=0$

k-6=0

∴k=6

Question 21

समीकरण $x^{2}-6 x+9=0$ के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए।

Sol :

समीकरण $x^{2}-6 x+9=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,

a=1 , b=-6 , c=9

तब $b^{2}-4 a c=(-6)^{2}-4 \times 1 \times 9$

=36-36=0

अतः दिये समीकरण के मूल वास्तविक तथा समान होंगे।

Question 22

यदि समीकरण $3 x^{2}-12 x+k=0$ के मूल बराबर हैं, तो k का मान ज्ञात कीजिए।

Sol :

समीकरण $3 x^{2}-12 x+k=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,

a=3 , b=-12 , c=k

जब मूल बराबर होते हैं, तब

$b^{2}=4 a c$

$(-12)^{2}=4 \times 3 \times k$

144=12k

$k=\frac{144}{12}=12$

अतः k=12

Question 23

निम्नलिखित समीकरणों के मूल सूत्र द्वारा ज्ञात कीजिए :

(a) $9 x^{2}-10 x+2=0$.

Sol :

समीकरण $9 x^{2}-10 x+2=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,

a=9 , b=-10, c=2

सूत्र $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$

$=\frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^{2}-4 \times 9 \times 2}}{2 \times 9}$

$=\frac{10 \pm \sqrt{100-72}}{18}$

$=\frac{10 \pm \sqrt{28}}{18}$

$=\frac{10 \pm 2 \sqrt{7}}{18}$

$=\frac{5 \pm \sqrt{7}}{9}$

(b) $\frac{x-1}{2}-\frac{2}{x}=x-\frac{3}{x}$.

Sol :

$\frac{x^{2}-x-4}{2 x}=\frac{x^{2}-3}{x}$

$\frac{x^{2}-x-4}{2}=\frac{x^{2}-3}{1}$

$x^{2}-x-4=2 x^{2}-6$

$x^{2}+x-2=0$

की $a x^{2}+b x+c=0$ से तुलना करने पर,

a=1 , b=1 , c=-2

सूत्र  $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$

$=\frac{-1 \pm \sqrt{1-4 \times 1 \times(-2)}}{2 \times 1}$

$=\frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{2}=\frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2}$

$=\frac{-1 \pm 3}{2}$

$x=\frac{-1+3}{2}=1$

और जब $x=\frac{-1-3}{2}=-2$

अतः x=1 , -2

Dr Manohar re Solution Class 10 Chapter 4 द्विघात समीकरण (Quadratic equations in two variables) प्रश्नावली 4 (D)

 प्रश्नावली 4 (D) 

Question 1

$6 x^{2}-13 x+5=0$ को पूर्ण वर्ग बनाकर मूल ज्ञात कीजिए।

Sol :

$6 x^{2}-13 x+5=0$

$6 x^{2}-13 x+\frac{169}{24}-\frac{169}{24}+5=0$

$\left(\sqrt{6} x-\frac{13}{2 \sqrt{6}}\right)^{2}-\frac{169-120}{24}=0$

$\left(\sqrt{6} x-\frac{13}{2 \sqrt{6}}\right)^{2}-\frac{49}{24}=0$

$\left(\sqrt{6} x-\frac{13}{2 \sqrt{6}}\right)^{2}-\left(-\frac{7}{2 \sqrt{6}}\right)^{2}=0$

$\left(\sqrt{6} x-\frac{13}{2 \sqrt{6}}+\frac{7}{2 \sqrt{6}}\right)\left(\sqrt{6} x-\frac{13}{2 \sqrt{6}}-\frac{7}{2 \sqrt{6}}\right)=0$

$\left(\sqrt{6} x-\frac{6}{2 \sqrt{6}}\right)\left(\sqrt{6} x-\frac{20}{2 \sqrt{6}}\right)=0$

जब $\sqrt{6} x-\frac{6}{2 \sqrt{6}}=0$, तब

$x=\frac{1}{2}$

जब $\sqrt{6 x}-\frac{20}{2 \sqrt{6}}=0$, तब

$x=\frac{5}{3}$

अतः $x=\frac{1}{2}, \frac{5}{3}$

Question 2

$2 x^{2}-7 x+3=0$ को प्रर्ण वर्ग बनाकर मूल ज्ञात कीजिए।

Sol :

दिया गया है:

$2 x^{2}-7 x+3=0$

$x^{2}-\frac{7}{2} x+\frac{3}{2}=0$

$x^{2}-\frac{7}{2} x+\frac{49}{16}-\frac{49}{16}+\frac{3}{2}=0$ $\left[\because(a-b)^{2}=(a)^{2}+(b)^{2}-2 \times a \times b\right.$ के प्रयोग से $]$

$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}-\frac{49}{16}+\frac{3}{2}=0$

$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}-\frac{3}{2}$

$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$

$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$

$x-\frac{7}{4}=\pm \frac{5}{4}$

धनात्मक चिह्न लेने पर,

$x-\frac{7}{4}=\frac{5}{4}$

∴$x=\frac{5}{4}+\frac{7}{4}=\frac{12}{4}=3$

ऋणात्मक चिह्न लेने पर,

$x-\frac{7}{4}=-\frac{5}{4}$

∴$x=\frac{7}{4}-\frac{5}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

अत: 3 तथा $\frac{1}{2}$ समीकरण के मूल होंगे।

Question 3

$4 x^{2}+16 x+15=0$ को पूर्ण वर्ग बनाकर मूल ज्ञात कीजिए।

Sol :

$4 x^{2}+16 x+15=0$

पूर्ण वर्ग बनाने के लिए 1 जोड़ने व घटाने पर

$4 x^{2}+16 x+16-1=0$

$(2 x+4)^{2}-1=0^{\circ}$

$(2 x+4)^{2}-(1)^{2}=0$

(2 x+4+1)(2 x+4-1)=0

(2x+5)(2x+3)=0

जब 2x+5=0 , 

$x=-\frac{5}{2}$

जब 2x+3=0 , तब

$x=-\frac{3}{2}$

अतः $x=-\frac{5}{2},-\frac{3}{2}$

Question 4

$x-\frac{1}{x}=3, x \neq 0$ के मूल ज्ञात कीजिए।

Sol :

दिया गया समीकरण है :

$x-\frac{1}{x}=3$

$\frac{x^{2}-1}{x}=3$

$x^{2}-1=3 x$

$x^{2}-3 x-1=0$

इसकी तुलना $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर,

a=1 , b=-3 तथा c=-1

a, b तथा c के मान द्विघार्ती सूत्र में रखने पर,

$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$

$=\frac{3 \pm \sqrt{(-3)^{2}-4 \times 1 \times-1}}{2 \times 1}$

$=\frac{3 \pm \sqrt{9+4}}{2}$

$=\frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$

$=\frac{3+\sqrt{13}}{2}, \frac{3-\sqrt{13}}{2}$

अत: $\frac{3+\sqrt{13}}{2}$ तथा $\frac{3-\sqrt{13}}{2}$ समीकरण के मूल होंगे।

Question 5

$4 x^{2}+4 \sqrt{3} x+3=0$ के मूल ज्ञात कीजिए।

Sol :

दिया गया समीकरण है :

$4 x^{2}+4 \sqrt{3} x+3=0$

$x^{2}+\sqrt{3} x+\frac{3}{4}=0$

$(x)^{2}+2 \times x \times \frac{\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}=0$

$\left[\because(a+b)^{2}=(a)^{2}+2 \times a \times b+(b)^{2}\right]$ के प्रयोग से

$\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}-\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=0$

$\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=0$

$\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=0$

दोनों पक्षों का वर्गमूल करने पर, $x+\frac{\sqrt{3}}{2}=0$

$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

और जब $x+\frac{\sqrt{3}}{2}=0$ हो, तब $x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

अतः दोनों गुणनखण्ड एक ही है इसलिए मूल भी समान होंगे, $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ तथा $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Question 6

$4-x-5 x^{2}=0$ को पूर्ण वर्ग बनाकर मूल ज्ञात कीजिए।

Sol :

$4-x-5 x^{2}=0$

$\frac{1}{20}$ जोड़ने व घटाने पर

$4+\frac{1}{20}-\frac{1}{20}-x-5 x^{2}=0$

$\left(-\frac{9}{2 \sqrt{5}}\right)^{2}-\left(\sqrt{5} x+\frac{1}{2 \sqrt{5}}\right)^{2}=0$

$\left(\frac{9}{2 \sqrt{5}}+\sqrt{5} x+\frac{1}{2 \sqrt{5}}\right) \times\left(\frac{9}{2 \sqrt{5}}-\sqrt{5} x-\frac{1}{2 \sqrt{5}}\right)=0$

$(\sqrt{5} x+\sqrt{5})\left(\frac{4}{\sqrt{5}}-\sqrt{5} x\right)=0$

जब $\sqrt{5} x+\sqrt{5}=0$, तब

x=-1

और जब $\frac{4}{\sqrt{5}}-\sqrt{5} x=0$, तब

$x=\frac{4}{5}$

अत : $x=-1, \frac{4}{5}$

Question 7

$\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30}, x \neq-4,7$ के मूल ज्ञात कीजिए।

Sol :

दिया गया समीकरण है :

$\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30}$

$\frac{x-7-x-4}{(x+4)(x-7)}=\frac{11}{30}$

$\frac{-11}{x^{2}+4 x-7 x-28}=\frac{11}{30}$

$\frac{-11}{x^{2}-3 x-28}=\frac{11}{30}$

$\frac{-1}{x^{2}-3 x-28}=\frac{1}{30}$

$x^{2}-3 x-28=-30$

$x^{2}-3 x+2=0$

$x^{2}-2 x-x+2=0$ (गुणनखण्ड करने पर)

x(x-2)-1(x-2)=0 

(x-2)(x-1)=0

जब (x-2)=0 हो, तब

x=2

और जब $x-1=0$ हो, तब

x=1

अत: 2 तथा 1 समीकरण के मूल होंगे।

Dr Manohar re Solution Class 10 Chapter 4 द्विघात समीकरण (Quadratic equations in two variables) प्रश्नावली 4 (C)

  प्रश्नावली 4 (C) 

Question 1

$x^{2}-6 x+5=0$ को ग़णनखण्ड विधि से हल कीजिए।

Sol :

$x^{2}-6 x+5=0$

$x^{2}-(1+5) x+5=0$

$x^{2}-x-5 x+5=0$

x(x-1)-5(x-1)=0

(x-1)(x-5)=0

x-1=0, x=1

x-5=0, x=5

अतः x=(1,5)

Question 2

$\sqrt{3} x^{2}+2 x-8 \sqrt{3}=0$ को गुणनखण्ड विधि से हल कीजिए

Sol :

$\sqrt{3} x^{2}+2 x-8 \sqrt{3}=0$

$\sqrt{3} \times 8 \sqrt{3}=24=6 \times 4$

$\sqrt{3} x^{2}+(6-4) x-8 \sqrt{3}=0$

$\sqrt{3} x^{2}+6 x-4 x-8 \sqrt{3}=0$

$\sqrt{3} x(x+2 \sqrt{3})-4(x-2 \sqrt{3})=0$

$(x+2 \sqrt{3})(\sqrt{3} x-4)=0$

जब $x+2 \sqrt{3}=0, x=-2 \sqrt{3}$

जब $\sqrt{3} x-4=0$, तब

$x=\frac{4}{\sqrt{3}}$

अतः $x=-2 \sqrt{3},-\frac{4}{\sqrt{3}}$

Question 3

$x^{2}-3 x-10=0$ को गुणंनखण्ड विधि से हल कीजिए।

Sol :

दिया गया समीकरण,

$x^{2}-3 x-10=0$

$x^{2}-5 x+2 x-10=0$

x(x-5)+2(x-5)=0

(x-5)(x+2)=0 अर्थात् x=5

x+2=0 या x=-2

∴ x=5 और -2

अत: 5 और - 2 द्विधात समीकरण के मूल होंगे।

Question 4

$x^{2}+x-20=0$ को गुणनखण्ड विधि से हल कंरो।

Sol :

$x^{2}+x-20=0$

$x^{2}+(5-4) x-20=0$

$x^{2}+5 x-4 x-20=0$

x(x+5)-4(x+5)=0

(x-4)(x+5)=0

x-4=0, x=4

x+5=0, x=-5

x=(4,-5)

Question 5

$x^{2}-9 x+18=0$ को गुणनखण्ड विधि से हल करो।

Sol :

$x^{2}-9 x+18=0$

$x^{2}-(6+3) x+18=0$

$x^{2}-6 x-3 x+18=0$

x(x-6)-3(x-6)=0

(x-3)(x-6)=0

जब x-3=0, तब

x=3

और जब x-6=0, तब

x=6

अतः x=3 , 6

Question 6

$4 x^{2}-2 x+\frac{1}{4}=0$ को गुणनखण्ड विधि से हल कीजिए।

Sol :

$4 x^{2}-2 x+\frac{1}{4}=0$

$16 x^{2}-8 x+1=0$

$16 x^{2}-(4+4) x+1=0$

$16 x^{2}-4 x-4 x+1=0$

4 x(4 x-1)-(4 x-1)=0

(4x-1)(4x-1)=0

$(4 x-1)^{2}=0$

जब 4 x-1=0, तब

$x=\frac{1}{4}$

अर जब 4 x-1=0, तब

$x=\frac{1}{4}$

अतः $x=\frac{1}{4}, \frac{1}{4}$

Question 7

$2 \sqrt{3} x^{2}-14 x+4 \sqrt{3}=0$ को गुणनखण्ड विरि से हल करो ।

Sol :

$2 \sqrt{3} x^{2}-14 x+4 \sqrt{3}=0$

$2 \sqrt{3} x^{2}-(12+2) x+4 \sqrt{3}=0$

$2 \sqrt{3} x^{2}-12 x-2 x+4 \sqrt{3}=0$

$2 \sqrt{3} x(x-2 \sqrt{3})-2(x-2 \sqrt{3})=0$

$(x-2 \sqrt{3})(2 \sqrt{3} x-2)=0$

जब $x-2 \sqrt{3}=0$, तब

$x=2 \sqrt{3}$

और जब $2 \sqrt{3 x}-2=0$, तब

$x=\frac{2}{2 \sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

अतः $x=2 \sqrt{3}, \frac{1}{\sqrt{3}}$

Question 8

$y^{2}-(p+q) y+p q=0$ को गुणनखण्ड विधि से हल करो।

Sol :

$y^{2}-(p+q) y+p q=0$

$y^{2}-p y-q y+p q=0$

y(y-p)-q(y-p)=0

(y-p)(y-q)=0

जब y-p=0, तब

y=p

जब y-q=0, तब

y=q

अतः y=p,q

Question 9

$2 x^{2}+x-6=0$ को गुणनखण्ड विधि से हल करो।

Sol :

दिया गया समीकरण :

$2 x^{2}+x-6=0$

$2 x^{2}+4 x-3 x-6=0$ [गुणनखण्ड करने पर]

2 x(x+2)-3(x+2)=0

(x+2)(2 x-3)=0

x+2=0

x=-2

2x-3=0

तब $x=\frac{3}{2}$

∴$x=-2, \frac{3}{2}$

Question 10

$x-\frac{3}{x}=\frac{1}{2}$ को गुणनखण्ड विधि से हल करो।

Sol :

$x-\frac{3}{x}=\frac{1}{2}$

$\frac{x^{2}-3}{x}=\frac{1}{2}$

$2 x^{2}-6=x$

$2 x^{2}-x-6=0$

$2 x^{2}-(4-3) x-6=0$

$2 x^{2}-4 x+3 x-6=0$

2 x(x-2)+3(x-2)=0

जब (x-2)(2 x+3)=0

और जब $2 x+3=0, x=-\frac{3}{2}$

अतः $x=\left(2,-\frac{3}{2}\right)$

Question 11

$\sqrt{2} x^{2}+7 x+5 \sqrt{2}=0$ को गुणनखण्ड विधि से हल करो।

Sol :

दिया गया सभीकरण :

$\sqrt{2} x^{2}+7 x+5 \sqrt{2}=0$

$\sqrt{2} x^{2}+5 x+2 x+5 \sqrt{2}=0$ [गुणनखण्ड करने पर]

$x(\sqrt{2} x+5)+\sqrt{2}(\sqrt{2} x+5)=0$

$(\sqrt{2} x+5)(x+\sqrt{2})=0$

$\sqrt{2} x+5=0$

$\sqrt{2} x=-5$

$x=-\frac{5}{\sqrt{2}}$

और जब $x+\sqrt{2}=0$

$x=-\sqrt{2}$

अतः $-\frac{5}{\sqrt{2}}$ तथा $-\sqrt{2}$ द्विघात समीकरण के मूल होंगे।

Question 12

$2 x^{2}+a x-a^{2}=0$ को गुणनखण्ड विधि से हल करो ।

Sol :

$2 x^{2}+a x-a^{2}=0$ (जहाँ a वास्तविक संख्या है)

$2 x^{2}+2 a x-a x-a^{2}=0$

2 x(x+a)-a(x+a)=0

(x+a)(2 x-a)=0

जब x+a=0 , तब

x=-a

और जब 2x-a=0, तब

$x=\frac{a}{2}$

अतः $x=-a, \frac{a}{2}$

Question 13

$4 \sqrt{3} x^{2}+2 x-2 \sqrt{3}=0$ को गुणनखण्ड विधि से हल करो।

Sol :

$4 \sqrt{3} x^{2}+2 x-2 \sqrt{3}=0$

$4 \sqrt{3} x^{2}+6 x-4 x-2 \sqrt{3}=0$

$2 \sqrt{3} x(2 x+\sqrt{3})-2(2 x+\sqrt{3})=0$

$(2 x+\sqrt{3})(2 \sqrt{3} x-2)=0$

जब $2 x+\sqrt{3}=0$, तब

$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

और जब $2 \sqrt{3} x-2=0$, तब

$x=\frac{1}{\sqrt{3}}$

अतः $x=-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{\sqrt{3}}$

Question 14

$3 x-\frac{8}{x}=2$ को गुणनखण्ड विधि से हल करो।

Sol :

$3 x-\frac{8}{x}=2$

$\frac{3 x^{2}-8}{x}=2$ $[3 \times 8=24=6 \times 4]$

$3 x^{2}-8=2 x$

$3 x^{2}-2 x-8=0$

$3 x^{2}-(6-4) x-8=0$

$3 x^{2}-6 x+4 x-8=0$

3 x(x-2)+4(x-2)=0

(x-2)(3x+4)=0

जब x-2=0  , x=2

और जब $3 x+4=0, x=-\frac{4}{3}$

अत: $ x=\left(2,-\frac{3}{4}\right)$.

Question 15

$2 x^{2}-x+\frac{1}{8}=0$ को गुणनखण्ड विधि से हल करो।

Sol :

दिया गया समीकरण :

$2 x^{2}-x+\frac{1}{8}=0$

$16 x^{2}-8 x+1=0$

$16 x^{2}-4 x-4 x+1=0$ [गुणनखण्ड करने पर]

4 x(4 x-1)-1(4 x-1)=0

(4 x-1)(4 x-1)=0

4x-1=0

4x=1

$x=\frac{1}{4}$

4x-1=0

4x=1

$x=\frac{1}{4}$

अतः $\frac{\mathrm{1}}{4}$ तथा $\frac{1}{4}$ द्विधात समीकरण के मूल होंगे।

Question 16

$100 x^{2}-20 x+1=0$ को गुणनखण्ड विधि से हल करो।

Sol :

$100 x^{2}-20 x+1=0$

$100 x^{2}-10 x-10 x+1=0$ [गुणनखण्ड करने पर]

10 x(10 x-1)-1(10 x-1)=0

(10 x-1)(10 x-1)=0

10x-1=0

10x=1

$x=\frac{1}{10}$

10x-1=0

10x=1

$x=\frac{1}{10}$

अतः $\frac{1}{10}$ तथा $\frac{1}{10}$ द्विघात समीकरण के मूल होंगे।

Dr Manohar re Solution Class 10 Chapter 4 द्विघात समीकरण (Quadratic equations in two variables) प्रश्नावली 4 (B)

  प्रश्नावली 4 (B) 

Question 1

समीकरण $x^{2}-\frac{1}{9}=0$ को हल कीजिए।

Sol :

$x^{2}-\frac{1}{9}=0$

$x^{2}=\frac{1}{9}$

$x=\pm \sqrt{\frac{1}{9}}$

$x=\pm \frac{1}{3}$

Question 2

$3 x^{2}-18=9$ को हल करो।

Sol :

$3 x^{2}-18=9$

$3 x^{2}=9+18=27$

$x^{2}=\frac{27}{3}$

$x^{2}=9$

$x=\pm 3$

अभीष्ट मूल $=\pm 3$

Question 3

$x^{2}-1=8$ को हल कतो।

Sol :

x^{2}-1=8

$x^{2}=8+1=9$

$x^{2}=9

$x=\pm 3$

अत: अभीष्ट मूल $=\pm 3$

Question 4

$3 x^{2}-36=12$ को हल करो।

Sol :

$3 x^{2}-36=12$

$3 x^{2}=12+36=48$

$x^{2}=\frac{48}{3}=16$

$x=\pm 4$

अत : अभीष्ट मूल $=\pm 4$

Question 5

$2 x^{2}-32=0$ को हल करो।

Sol :

$2 x^{2}-32=0$

$2 x^{2}=32$

$x^{2}=\frac{32}{2}$

$x^{2}=16$

$x=\pm 4$

अत: अभीष्ट मूल $=\pm 4 $

Question 6

$3 x^{2}=27$ को हल करो।

Sol :

$3 x^{2}=27$

$x^{2}=\frac{27}{3}$

$x^{2}=9$

$x=\pm 3$

अत :अभीष्ट मूल $=\pm 3$

Question 7

$2 x^{2}=8$ को हल करो।

Sol :

$2 x^{2}=8$

$x^{2}=\frac{8}{2}$

$x^{2}=4$

$x=\pm 2$

अत :अभीष्ट मूल = $\pm 2$

Question 8

$x^{2}-1^{2}=2^{3}$ को हल करो 1

Sol :

$x^{2}-1^{2}=8$

$x^{2}-1=8$

$x^{2}=8+1=9$

अत : अभीष्ट मूल = $\pm 3$

Question 9

$2 x^{2}-5^{2}=5^{2}$ को हल करो 1

Sol :

$2 x^{2}-5^{2}=5^{2}$

$2 x^{2}=5^{2}+5^{2}=25+25$

$2 x^{2}=50$

$x^{2}=\frac{50}{2}=25$

$x=\pm 5$

अत: अभीष्ट मूल $=\pm 5$

Question 10

समीकरण $\frac{x^{2}}{2}=8$ को हल करो।

Sol :

$\frac{x^{2}}{2}=8$

$x^{2}=2 \times 8$

$x^{2}=16$

$x=\pm 4$

अत: अभीष्ट मूल $=\pm 4$

Question 11

समीकरण $3 x^{2}-4 y^{2}=11$ में यदि x=2 हो, तो y का मान ज्ञात कीजिए।

Sol :

$3 x^{2}-4 y^{2}=11$

x=2 रखने पर, $\quad 3 \times(2)^{2}-4 y^{2}=11$

$12-4 y^{2}=11$

$4 y^{2}=12-11=1$

$y^{2}=\frac{1}{4}$

$y=\pm \frac{1}{2}$

अत : अभीष्ट मूल $y=\pm \frac{1}{2}$.

Question 12

$3 x^{2}-4 y^{2}=11$ में यदि x=-3 हो, तो y का मान क्या होगा ?

Sol :

$3 x^{2}-4 y^{2}=11$

x=-3 रखने पर

$3(-3)^{2}-4 y^{2}=11$

$27-4 y^{2}=11$

$4 y^{2}=27-11=16$

$y^{2}=4$

$y=\pm 2$

अत : अभीष्ट मूल $y=\pm 2$

Question 13

$\frac{x^{2}}{5}=20$ को हल कीजिए।

Sol :

$\frac{x^{2}}{5}=20$

$x^{2}=5 \times 20=100$

$x=\pm \sqrt{100}=\pm 10$

$x=\pm 10$

Question 14

समीकरण $x-\frac{1}{x}=0$ को हल करो।

Sol :

$x-\frac{1}{x}=0$

$x=\frac{1}{x}$

$x^{2}=1$

$x=\pm \sqrt{1}$

अत: अभीष्ट मूल $=\pm 1$

Question 15

$\frac{x}{2}=\frac{8}{x}$ को हल कीजिए।

Sol :

$\frac{x}{2}=\frac{8}{x}$

$x^{2}=2 \times 8$

$x^{2}=16$

$x=\pm 4$

Question 16

$5 x^{2}=9+x^{2}$ को हल करो।

Sol :

$5 x^{2}=9+x^{2}$

$5 x^{2}-x^{2}=9$

$4 x^{2}=9$

$x^{2}=\frac{9}{4}$

$x=\pm \frac{3}{2}$

अतः $x=\pm \frac{3}{2}$

Question 17

सर्माकरण (x-2)(x+2)=5 को हल करो।

Sol :

(x-2)(x+2)=5

$x^{2}-(2)^{2}=5$

$x^{2}-4=5$

$x^{2}=5+4=9$

अतः $x=\pm 3$

Question 18

समीकरण $2(x-9)^{2}=162$ को हल करो।

Sol :

$2(x-9)^{2}=162$

$(x-9)^{2}=\frac{162}{2}=81$

दोनों ओर वर्गमूल लेने पर

$x-9=\pm 9$

जब x-9=9

x=9+9=18

∴x=18

जब x-9=9

x=-9+9=0

x=0

अतः x=0 , 18

Question 19

समीकरण $\frac{3 x}{4}-\frac{4}{3 x}=0$ को हल करी।

Sol :

$\frac{3 x}{4}-\frac{4}{3 x}=0$

$\frac{3 x}{4}=\frac{4}{3 x}$

$9 x^{2}=16$

$x^{2}=\frac{16}{9}$

$x=\pm \frac{4}{3}$

अतः $x=\pm \frac{4}{3}$

Question 20

$\frac{x}{3}+\frac{3}{x}=\frac{x}{12}+\frac{12}{x}$ को हल करो

Sol :

$\frac{x}{3}+\frac{3}{x}=\frac{x}{12}+\frac{12}{x}$

$\frac{x^{2}+9}{3 x}=\frac{x^{2}+144}{12 x}$

$x^{2}+9=\frac{x^{2}+144}{4}$

$4 x^{2}+36=x^{2}+144$

$4 x^{2}-x^{2}=144-36$

$3 x^{2}=108$

$x^{2}=\frac{108}{3}$

$x^{2}=36$

$x=\pm 6$

अतः $x=\pm 6$

Dr Manohar re Solution Class 10 Chapter 4 द्विघात समीकरण (Quadratic equations in two variables) प्रश्नावली 4 (A)

  प्रश्नावली 4 (A) 

Question 1

$(x+1)^{2}=2(x-3)$

Sol : दिया है:  $(x+1)^{2}=2(x-3)$

$x^{2}+2 x+1=2 x-6$ $\left[\because(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}\right.$ के प्रयोग से]

$x^{2}+2 x-2 x=-1-6$

$x^{2}=-7$

$x^{2}+7=0$

$\because$ चूँकि समीकरण में चर x की अधिकत्तम घात 2 है। अतः यह द्विघात समीकरण है।

Question 2

$x^{2}-2 x=(-2)(3-x)$

Sol :

दिया है:

$x^{2}-2 x=(-2)(3-x)$

$x^{2}-2 x=-6+2 x$

$x^{2}-2 x-2 x=-6$

$x^{2}-4 x+6=0$

$\because$ चूँकि समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है। अतः यह द्विघात समीकरण है।

Question 3

(x-2)(x+1)=(x-1)(x+3)

Sol :

दिया है:

(x-2)(x+1)=(x-1)(x+3)

$x^{2}-2 x+x-2=x^{2}-x+3 x-3$

$x^{2}-x-2=x^{2}+2 x-3$

-x-2x-2+3=0

-3x+1=0

$\because$ समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 नहीं है। अतः यह द्विधात समीकरण नहीं है।

Question 4

(x-3)(2 x+1)=x(x+5)

Sol :

दिया है :

(x-3)(2 x+1)=x(x+5)

$2 x^{2}-6 x+x-3=x^{2}+5 x$

$2 x^{2}-x^{2}-5 x-5 x-3=0$

$x^{2}-10 x-3=0$

$\because$ समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है। अतः यह द्विघात समीकरण है।

Question 5

$x^{2}+3 x+1=(x-2)^{2}$

Sol :

$x^{2}+3 x+1=(x-2)^{2}$

7x=3

$x=\frac{3}{7}$

अत : यह द्विघात समीकरण नहीं है।

Question 6

$(x+2)^{3}=2 x\left(x^{2}-1\right)$

Sol : दिया है:

$(x+2)^{3}=2 x\left(x^{2}-1\right)$

$x^{3}+(2)^{3}+3 \times x \times 2(x+2)=2 x^{3}-2 x$  $\left[\because(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3 a b(a+b)\right.$ के प्रयोग से]

$x^{3}+8+6 x(x+2)=2 x^{3}-2 x$

$x^{3}+8+6 x^{2}+12 x=2 x^{3}-2 x$

$x^{3}-2 x^{3}+6 x^{2}+12 x+2 x+8=0$

$-x^{3}+6 x^{2}+14 x+8=0$

$\because$ समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 नहीं है। अतः यह द्विघात समीकरण नहीं है।

Question 7

$x^{3}-4 x^{2}-x+1=(x-2)^{3}$

Sol :

$x^{3}-4 x^{2}-x+1=(x-2)^{3}$

$x^{3}-4 x^{2}-x+1=x^{3}-(2)^{3}-3 \times x \times 2(x-2)$

$\left[\because(a-b)^{3}=a^{3}-b^{3}-3 a b(a-b)\right.$ के प्रयोग से]

$-4 x^{2}-x+1=-8-6 x(x-2)$

$-4 x^{2}-x+1=-8-6 x^{2}+12 x$

$-4 x^{2}+6 x^{2}-x-12 x+1+8=0$

$2 x^{2}-13 x+9=0$

$\because$ समीकरण में चर $x$ की अधिकतम घात 2 है। अतः यह द्विघात समीकरण है।

Question 8

(2 x-1)(x-3)=(x+5)(x-1)

Sol :

(2 x-1)(x-3)=(x+5)(x-1)

$2 x^{2}-x-6 x+3=x^{2}+5 x-x-5$

$2 x^{2}-x^{2}-7 x+3+5=4 x$

$x^{2}-7 x-4 x+8=0$

$x^{2}-11 x+8=0$

$\because$ समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है। अतः यह द्विघात समीकरण है।

Question 9

$x^{2}+3 x+1=(x-2)^{2}$

Sol :

$x^{2}+3 x+1=(x-2)^{2}$

$x^{2}+3 x+1=x^{2}-4 x+4$

$\left[\because(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}\right.$ के प्रयोग से]

$x^{2}-x^{2}+3 x+4 x+1-4=0$

7x-3=0

$\because$ समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 नहीं है। अत: यह द्विघात समीकरण नहीं है।

Question 10

दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।

Sol :

माना दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक क्रमश x तथा (x+1) हों, तब

दोरों धनात्मक पूणांकों का गुणनफल =306

∴x(x+1)=306

$x^{2}+x=306$

$x^{2}+x-306=0$

अतः यही अभीष्ट द्विघात समीकरण है।

अब $x^{2}+x-306=0$

$x^{2}+18 x-17 x-306=0$ (गुणनखण्ड करने पर)

x(x+18)-17(x+18)=0

(x+18)(x-17)=0

x=17 या -18 (ऋणात्मक मान मान्य नही है )

अतः दो क्रमागत् धनात्मक पूर्णांक = 17 तथा 17+1=18 हैं।

Question 11

एक रेलगाड़ी 480 किमी की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 8 किमी/घण्टा कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घण्टे अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।

Sol : 

माना रेलगाड़ी' की चाल x किमी/घण्टा है।

[∵ समय =दूरी / चाल ]

प्रश्नानुसार,

रेलगाड़ी की चाल में कमी =(x-8) किमी/घण्टा हो, तब

480 किमी दूरी तय करने में लगा $=\frac{480}{x-8}$, घण्टे

∵दोनों समयों में अन्तर = 3 घण्टे

∴$\frac{480}{x-8}-\frac{480}{x}=3$

या $\frac{480 x-480(x-8)}{x(x-8)}=3$

$\frac{480 x-480 x+3840}{x^{2}-8 x}=3$

$\frac{3840}{x^{2}-8 x}=3$

$3 x^{2}-24 x=3840$

$x^{2}-8 x-1280=0$

अत: यही अभीष्ट द्विघात समीकरण है।

$x^{2}-8 x-1280=0$

$x^{2}-40 x+32 x-1280=0$ (गुणनखण्ड करने पर)

$x(x-40)+32(x-40)=0$

(x-40)(x+32)=0

x=40,-32 (ऋणात्मक मान मान्य नहीं है )

Question 12

एक आयताकार भूखप्ड का क्षेन्रफल 528 वर्ग मीटर है। क्षेत्र की लम्बाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है। हमें भूखण्ड की लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है।

Sol :

माना भ्सखण्ड की चौड़ाई x मी हो, तब

भूखण्ड की लम्बाई $=2 \times$ चौड़ाई +1

=2x+1

∵आयताकार भूखण्ड का क्षेत्रफल = लम्बाई $\times$ चौड़ाई

∴$=(2 x+1) \times x$

इसलिए x(2 x+1)=528

$2 x^{2}+x=528$

$2 x^{2}+x-528=0$

अत: यही अभीष्ट द्विघात समीकरण है।

अब द्विधात समीकरण के गुणनखण्ड करने पर,

$2 x^{2}+x-528=0$

$2 x^{2}+33 x-32 x-528=0$

x(2 x+33)-16(2 x+33)=0

(2 x+33)(x-16)=0
$x=16$ या $-\frac{33}{2}$ ( ऋणात्मक चिन्ह का मान मान्य नहीं है)

अत: भूखण्ड की चौड़ाई = 16 मीटर

और भूखण्ड की लम्बाई $=2 \times 16+1=33$ मीटर।

Question 13

रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है। उनकी आयु ( वर्षों में ) का गुणनफल' अब से 3 वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।

Sol : मान लीज़िए रोहन की वर्तमान आयु x वर्ष है।

रोहन की माँ की आयु = (x+26) वर्ष

3 वर्ष पश्चात् रोहन तथा उसकी माँ की आयु (x+3) वर्ष तथा (x+26+3) अर्थात् (x+29) वर्ष होगी।

प्रश्नानुसार,

(x+3)(x+29)=360

$x^{2}+3 x+29 x+87=360$

$x^{2}+32 x+87-360=0$

$x^{2}+32 x-273=0$

अतः यही अभीष्ट द्विघात समीकरण है।

$x^{2}+32 x-273=0$

$x^{2}+39 x-7 x-273=0$ (गुणनखण्ड करने पर)

x(x+39)-7(x+39)=0

(x+39)(x-7)=0

x=7 , -39 (ऋणात्मक मान मान्य नहीं है )

रोहन की आयु = 7 वर्ष

रोहन की माँ की आयु =7+26=33 वर्ष।