Dr Manohar re Solution Class 10 Chapter 4 द्विघात समीकरण (Quadratic equations in two variables) प्रश्नावली 4 (D)

 प्रश्नावली 4 (D) 

Question 1

$6 x^{2}-13 x+5=0$ को पूर्ण वर्ग बनाकर मूल ज्ञात कीजिए।

Sol :

$6 x^{2}-13 x+5=0$

$6 x^{2}-13 x+\frac{169}{24}-\frac{169}{24}+5=0$

$\left(\sqrt{6} x-\frac{13}{2 \sqrt{6}}\right)^{2}-\frac{169-120}{24}=0$

$\left(\sqrt{6} x-\frac{13}{2 \sqrt{6}}\right)^{2}-\frac{49}{24}=0$

$\left(\sqrt{6} x-\frac{13}{2 \sqrt{6}}\right)^{2}-\left(-\frac{7}{2 \sqrt{6}}\right)^{2}=0$

$\left(\sqrt{6} x-\frac{13}{2 \sqrt{6}}+\frac{7}{2 \sqrt{6}}\right)\left(\sqrt{6} x-\frac{13}{2 \sqrt{6}}-\frac{7}{2 \sqrt{6}}\right)=0$

$\left(\sqrt{6} x-\frac{6}{2 \sqrt{6}}\right)\left(\sqrt{6} x-\frac{20}{2 \sqrt{6}}\right)=0$

जब $\sqrt{6} x-\frac{6}{2 \sqrt{6}}=0$, तब

$x=\frac{1}{2}$

जब $\sqrt{6 x}-\frac{20}{2 \sqrt{6}}=0$, तब

$x=\frac{5}{3}$

अतः $x=\frac{1}{2}, \frac{5}{3}$

Question 2

$2 x^{2}-7 x+3=0$ को प्रर्ण वर्ग बनाकर मूल ज्ञात कीजिए।

Sol :

दिया गया है:

$2 x^{2}-7 x+3=0$

$x^{2}-\frac{7}{2} x+\frac{3}{2}=0$

$x^{2}-\frac{7}{2} x+\frac{49}{16}-\frac{49}{16}+\frac{3}{2}=0$ $\left[\because(a-b)^{2}=(a)^{2}+(b)^{2}-2 \times a \times b\right.$ के प्रयोग से $]$

$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}-\frac{49}{16}+\frac{3}{2}=0$

$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}-\frac{3}{2}$

$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$

$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$

$x-\frac{7}{4}=\pm \frac{5}{4}$

धनात्मक चिह्न लेने पर,

$x-\frac{7}{4}=\frac{5}{4}$

∴$x=\frac{5}{4}+\frac{7}{4}=\frac{12}{4}=3$

ऋणात्मक चिह्न लेने पर,

$x-\frac{7}{4}=-\frac{5}{4}$

∴$x=\frac{7}{4}-\frac{5}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

अत: 3 तथा $\frac{1}{2}$ समीकरण के मूल होंगे।

Question 3

$4 x^{2}+16 x+15=0$ को पूर्ण वर्ग बनाकर मूल ज्ञात कीजिए।

Sol :

$4 x^{2}+16 x+15=0$

पूर्ण वर्ग बनाने के लिए 1 जोड़ने व घटाने पर

$4 x^{2}+16 x+16-1=0$

$(2 x+4)^{2}-1=0^{\circ}$

$(2 x+4)^{2}-(1)^{2}=0$

(2 x+4+1)(2 x+4-1)=0

(2x+5)(2x+3)=0

जब 2x+5=0 , 

$x=-\frac{5}{2}$

जब 2x+3=0 , तब

$x=-\frac{3}{2}$

अतः $x=-\frac{5}{2},-\frac{3}{2}$

Question 4

$x-\frac{1}{x}=3, x \neq 0$ के मूल ज्ञात कीजिए।

Sol :

दिया गया समीकरण है :

$x-\frac{1}{x}=3$

$\frac{x^{2}-1}{x}=3$

$x^{2}-1=3 x$

$x^{2}-3 x-1=0$

इसकी तुलना $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर,

a=1 , b=-3 तथा c=-1

a, b तथा c के मान द्विघार्ती सूत्र में रखने पर,

$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$

$=\frac{3 \pm \sqrt{(-3)^{2}-4 \times 1 \times-1}}{2 \times 1}$

$=\frac{3 \pm \sqrt{9+4}}{2}$

$=\frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$

$=\frac{3+\sqrt{13}}{2}, \frac{3-\sqrt{13}}{2}$

अत: $\frac{3+\sqrt{13}}{2}$ तथा $\frac{3-\sqrt{13}}{2}$ समीकरण के मूल होंगे।

Question 5

$4 x^{2}+4 \sqrt{3} x+3=0$ के मूल ज्ञात कीजिए।

Sol :

दिया गया समीकरण है :

$4 x^{2}+4 \sqrt{3} x+3=0$

$x^{2}+\sqrt{3} x+\frac{3}{4}=0$

$(x)^{2}+2 \times x \times \frac{\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}=0$

$\left[\because(a+b)^{2}=(a)^{2}+2 \times a \times b+(b)^{2}\right]$ के प्रयोग से

$\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}-\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=0$

$\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=0$

$\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=0$

दोनों पक्षों का वर्गमूल करने पर, $x+\frac{\sqrt{3}}{2}=0$

$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

और जब $x+\frac{\sqrt{3}}{2}=0$ हो, तब $x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

अतः दोनों गुणनखण्ड एक ही है इसलिए मूल भी समान होंगे, $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ तथा $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Question 6

$4-x-5 x^{2}=0$ को पूर्ण वर्ग बनाकर मूल ज्ञात कीजिए।

Sol :

$4-x-5 x^{2}=0$

$\frac{1}{20}$ जोड़ने व घटाने पर

$4+\frac{1}{20}-\frac{1}{20}-x-5 x^{2}=0$

$\left(-\frac{9}{2 \sqrt{5}}\right)^{2}-\left(\sqrt{5} x+\frac{1}{2 \sqrt{5}}\right)^{2}=0$

$\left(\frac{9}{2 \sqrt{5}}+\sqrt{5} x+\frac{1}{2 \sqrt{5}}\right) \times\left(\frac{9}{2 \sqrt{5}}-\sqrt{5} x-\frac{1}{2 \sqrt{5}}\right)=0$

$(\sqrt{5} x+\sqrt{5})\left(\frac{4}{\sqrt{5}}-\sqrt{5} x\right)=0$

जब $\sqrt{5} x+\sqrt{5}=0$, तब

x=-1

और जब $\frac{4}{\sqrt{5}}-\sqrt{5} x=0$, तब

$x=\frac{4}{5}$

अत : $x=-1, \frac{4}{5}$

Question 7

$\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30}, x \neq-4,7$ के मूल ज्ञात कीजिए।

Sol :

दिया गया समीकरण है :

$\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30}$

$\frac{x-7-x-4}{(x+4)(x-7)}=\frac{11}{30}$

$\frac{-11}{x^{2}+4 x-7 x-28}=\frac{11}{30}$

$\frac{-11}{x^{2}-3 x-28}=\frac{11}{30}$

$\frac{-1}{x^{2}-3 x-28}=\frac{1}{30}$

$x^{2}-3 x-28=-30$

$x^{2}-3 x+2=0$

$x^{2}-2 x-x+2=0$ (गुणनखण्ड करने पर)

x(x-2)-1(x-2)=0 

(x-2)(x-1)=0

जब (x-2)=0 हो, तब

x=2

और जब $x-1=0$ हो, तब

x=1

अत: 2 तथा 1 समीकरण के मूल होंगे।