प्रश्नावली 4 (G)
Question 1
$a x^{2}+b x+c=0$ के मूलों का योग होगा :
(i) $\frac{a}{b}$
(ii) $-\frac{a}{b}$
(iii) $\frac{b}{a}$
(iv) $-\frac{b}{a}$
Sol :
(iv) $-\frac{b}{a}$
समीकरण' $a x^{2}+b x+c=0$ के मूलों का योगफल
=- x का गुणांक / $x^{2} $ का गुणांक
$=-\frac{b}{a}$
Question 2
समीकरण $x^{2}-x-1=0$ का विविक्तकर है :
(i) -4
(ii) -5
(iii) 4
(iv) 5
Sol :
(iv) 5
समीकरण $x^{2}-x-1=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,
a=1 , b=1 , c=1
$\therefore$ विविक्तकर $b^{2}=4 a c$
$=(-1)^{2}-4 \times 1 \times(-1)$
=1+4=5
Question 3
समीकरण $x^{2}-25=0$ को कहते हैं ;
(i) एक घात समीकरण
(ii) शुद्ध द्विघात समीकरण
(iii) मिश्रित द्विघात समीकरण
(iv) सर्वसमिका।
Sol :
(ii) शुद्ध द्विघात समीकरण।
समीकरण $x^{2}-25=0$ को शुद्ध द्विघात समीकरण कहते हैं
Question 4
दो संख्याओं का योगफल 7 है तथा उनका गुणनफल 12 है, तो संख्याएँ होंगी :
(i) 5 , 2
(ii) 6 , 1
(iii) 4 , 3
(iv) 7 , 0
Sol :
(iii) 4 , 3
x+y=7...(1)
xy=12...(2)
समीकरण (1) से
y=7-x....(3)
समीकरण (2) में y का मान रखने पर
$x(7-x)=12$
$7 x-x^{2}=12$
$x^{2}-7 x+12=0$
(x-3)(x-4)=0
x=3,4
जब x=3 , y=7-3=4
जब x=4 , y=7-4=3
अतः संखयाएँ = 3 ,4 या 4 ,3
Question 5
द्विघात संमीकरण $x^{2}-6 x-16=0$ के मूलों का योग है :
(i) -6
(ii) 6
(iii) -16
(iv) 16
Sol :
(ii) 6
समीकरण $x^{2}-6 x-16=0$ तथा समीकरण $a r^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,
a=1 , b=-6 , c=-16
मूलों का योगफल $=-\frac{b}{c}=-\frac{(-6)}{1}=6 .$
Question 6
दिएात समीकरण जिसके मूल 5,4 है, होगा :
(i) $x^{2}-x+4=0$
(ii) $x^{2}+9 x+20=0$
(iii) $x^{2}+x+20=0$
(iv) $x^{2}-9 x+20=0$.
Sol :
(iv) $x^{2}-9 x+20=0$.
समीकरण$x^{2}$-( मूलों का योगफल) x+ मूलों का गुणनफल = 0
$x^{2}-(5+4) x+5 \times 4=0$
$x^{2}-9 x+20=0$
Question 7
समीकरण $3 x^{2}-48=0$ के मूल होंगे :
(i) 4
(ii) -4
(iii) $\pm 4$
(iv) 16
Sol :
(iii) $\pm 4$
$x^{2}=\frac{48}{3}=16$
$x=\pm 4$
Question 8
समीकरण $x^{2}+4 x=0$ के मूल होंगे ;
(i) 0,-4
(ii) 0,4
(iii) 4,-4
(iv) 2,2 .
Sol :
(i) 0,-4
Question 9
समीकरण $ax^{2}+b x+c=0$ के मूल बराबर होते हैं, यदि :
(i) a=b=c
(ii) $b>2 \sqrt{a c}$
(iii) $b=2 \sqrt{a c}$
(iv) $b<2 \sqrt{a c}$.
Sol :
(iii) $b=2 \sqrt{a c}$.
जब समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ के मूल बराबर होते हैं, तब इसका प्रतिबन्ध $b^{2}=4 a c$ या $b=2 \sqrt{a c}$ होता है।
Question 10
समीकरण $\frac{x}{8}=\frac{8}{x}$ के मूल होंगे :
(i) 8
(ii) -8
(iii) $\pm 8$
(iv) 1
Sol :
(iii) $\pm 8$
समीकरण
$\frac{x}{8}=\frac{8}{x}$
$x^{2}=64$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर
$x=\pm \sqrt{64}$
अतः $x=\pm 8$
Question 11
समीकरण $2 x^{2}-5 x+4=0$ के मूल है :
(i) वास्तविक, समान
(ii) वास्तविक नहीं
(iii) वास्तविक, असमान
(iv) इनमें से कोई नहीं।
Sol :
(ii) वास्तविक नहीं
समीकरण $2 x^{2}-5 x+4=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,
a=2 , b=-5 , c=4
विविक्तकर, $b^{2}-4 a c=(-5)^{2}-4 \times 2 \times 4$
=25-32=-7 (ऋणात्मक मान)
तब मूल काल्पनिंक होंगे, वारतविक नहीं।
Question 12
समीकरण $2 x^{2}+5 x+3=0$ के मूलों के चिन्ह होंगे :
(i) दोनों धनात्मक
(ii) एक धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक
(iii) दोनों मूल ऋणात्मक
(iv) मूलों का चिन्ह x के मानों पर निर्भर है।
Sol :
समीकरण
$2 x^{2}+5 x+3=0$
$2 x^{2}+2 x+3 x+3=0$
2x(x+1)+3(x+1)=0
(x+1)(2x+3)=0
जब x+1=0 , तब
x=-1
और जब 2x+3=0 तब
$x=-\frac{3}{2}$
ये दोनों मूल ऋणात्मक हैं।
Question 13
एक द्विघात समीकरण का विविक्तकर +3 है। समीकरण के दोनों मूल होंगे :
(i) वास्तविक नहीं
(ii) वास्तविक, समान
(iii) वास्तविक, असमान
(iv) शून्य और +3
Sol :
(iii) वास्तविक, असमान
जब एक द्विघात समीकरण का विविक्तकर +3 है अर्थात् धनात्मक मान है तब मूल वास्तविक तथा असमान होते है
Question 14
समीकरण x(x-3)=0 के मूल होंगे :
(i) 1 और -3
(ii) 0 और -3
(iii) 1 और 3
(iv) 0 और 3
Sol :
(iv) 0 और 3
समीकरण x(x-3)=0
x=0
x-3=0
x=3
तब (0,3) है।
Question 15
समीकरण $4 x^{2}-12 x+9=0$ के मूल होंगे :
(i) वास्तविक, असमान
(ii) वास्तविक नहीं
(iii) वास्तविक, बराबर
(iv) शून्य
Sol :
(iii) वास्तविक, बराबर
समीकरण $4 x^{2}-12 x+9=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,
a=4 , b=-12 , c=9
विविक्तकर, $=b^{2}-4 a c$
$=(-12)^{2}-4 \times 4 \times 9$
=144-144=0
तब मूल वास्तविक तथा बराबर होंगे।
लघु उत्तरीय प्रश्न
Question 16
एक वर्ग समीकरण' के मूलों का योग $\frac{5}{4}$ और अन्तर $\frac{1}{4}$ है, तो समीकरण ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना वर्ग समीकरण के मूल $\alpha$ तथा $\beta$ हैं, तब प्रंश्नानुसार,
$\alpha+\beta=\frac{5}{4}$...(i)
$\alpha-\beta=\frac{1}{4}$...(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर
$2 \alpha=\frac{5}{4}+\frac{1}{4}$
$=\frac{5+1}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$
$\alpha=\frac{3}{4}$
समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर
$2 \beta=\frac{5}{4}-\frac{1}{4}=\frac{5-1}{4}$
$2 \beta=\frac{4}{4}=1$
$\beta=\frac{1}{2}$
तब समीकरण होगा
$x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta=0$
$x^{2}-\left(\frac{5}{4}\right) x+\frac{3}{4} \times \frac{1}{2}=0$
$8 x^{2}-10 x+3=0$
अतः अभीष्ट समीकरण $8 x^{2}-10 x+3=0$ है।
Question 17
उस द्विघात समीकरण को ज्ञात कीलिए जिसके मूल -3 और - 1 हैं।
Sol :
समीकरण
$x^{2}-$ (मूलों का योगफल x+ मूलों का गुणनफल $=0$
$x^{2}-(-3-1) x+(-3) \times(-1)=0$
$x^{2}-(-4) x+3=0$
$x^{2}+4 x+3=0$
अत : $x^{2}+4 x+3=0$ है।
Question 18
द्विघात संमीकरण $3 x^{2}-7 x+5=0$ का विविक्तकर ज्ञात कर मूलों के लक्षण बताइए।
Sol :
समीकरण $3 x^{2}-7 x+5=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,
a=3 , b=-7 ,c=5
विविक्तकर $=b^{2}-4 a c$
$=(-7)^{2}-4 \times 3 \times 5$
=49-60=-11 ,(ऋर्णात्मक मान)
अत : मूल काल्पनिक होंगे।
Question 19
निम्नलिखित कथन को समीकरण में व्यक्त कीजिए :
किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में 1 जोड़ने पर भिन्न का मान $\frac{5}{4}$ और अंश तथा हर दोनों में से 1 घटाने पर मान $\frac{3}{4}$ हो जाता है।
Sol :
माना भिन्न $\frac{x}{y}$ है, तब प्रश्नानुसार,
$\frac{x+1}{y+1}=\frac{4}{5}$
तथा पुन : प्रश्नानुसार, $\frac{x-1}{y-1}=\frac{3}{4}$
अतः अभीष्ट समीकरण $\frac{x+1}{y+1}=\frac{4}{5}, \frac{x-1}{y-1}=\frac{3}{4}$
दीर्च उत्तीय प्रसन
Question 20
वर्ष पूर्व रहमान की आयु (वर्षों में ) का व्युत्क्रम और अब से 5 वर्ष पश्चात् आयु के व्युत्क्रम का योग $\frac{1}{3}$ है उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना रहमान की वर्तमान आयु x वर्ष हो, तो
3 वर्ष पूर्व उसकी आयु =x-3 थी और 5 वर्ष पश्चात् उसकी आयु =x+5 होगी
इस प्रकार 3 वर्ष पूर्व तथा 5 वर्ष पश्चात् रहमान की आयु के व्युल्क्नम क्रमशः $\frac{1}{x-3}$ तथा $\frac{1}{x+5}$ हों, तब
प्रश्नानुसार,
दोनों स्थितियों वाली आयु के व्युत्क्रमों का योग $=\frac{1}{3}$
$\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{3}$
$\frac{x+5+x-3}{(x-3)(x+5)}=\frac{1}{3}$
$\frac{2 x+2}{x^{2}-3 x+5 x-15}=\frac{1}{3}$
$\frac{2 x+2}{x^{2}+2 x-15}=\frac{1}{3}$
$x^{2}+2 x-15=6 x+6$
$x^{2}-4 x-21=0$
$x^{2}-7 x+3 x-21=0$ ( गुणनखण्ड करने पर)
x(x-7)+3(x-7)=0
(x-7)(x+3)=0
x-7=0
x=7
x+3=0
x=-3 (आयु ऋणात्मक संभव नहीं)
अत : रहमान की वर्तमान आयु =7 वर्ष
Question 21
एक रेलगाड़ी एकसमान चाल से 360 किमी की दूरी तय करती है। यदि यह चाल 5 किमी/घण्टा अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घण्टा कम समय लेती। रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना रेलगाड़ी की चाल x किमी/घण्टा हो, तब
360 किमी दूरी तय करने में लगा समय $=\frac{360}{x}$
जब चाल में 5 किमी/घण्टा की वृद्धि हो तब कुल चाल =(x+5) किमी/घण्टा
∴360 किमी दूरी तय करने में लगा समय $=\frac{360}{x+5}$
360 किमी की दूरी तय करने में विभिन्न चालों द्वारा लगे दोनों समयों में अन्तर = 1 घण्टा
$\frac{360}{x}-\frac{360}{x+5}=1$
$\frac{360(x+5)-360 x}{x(x+5)}=1$
$\frac{360 x+1800-360 x}{x^{2}+5 x}=1$
$\frac{1800}{x^{2}+5 x}=1$
$x^{2}+5 x=1800$
$x^{2}+45 x-40 x-1800=0$
x(x+45)-40(x+45)=0
(x+45)(x-40)=0
x+45=0
x=-45 (चाल ऋणात्मक नही होती)
x-40=0
x=40
अतः रेलगाड़ी की चाल = 40 किमी/घण्टा।
Question 22
दो पानी के नल एक साथ एक हौज को $9 \frac{3}{8}$ घण्टों में भर सकते हैं। बड़े व्यास वाला नल हौज को भरने में, कम व्यास वाले नल से 10 घण्टे कम समय लेता है। प्रत्येक नल द्वारा अलग से हौज को भरने के समय ज्ञात कीजिए।
Sol :
मान लीजिए छोटे व्यास वाला नल हौज को भरने में x घण्टे का समय ले, तो वह
1 घण्टे में भेगा $=\frac{1}{x}$ भाग
और बड़ा व्यास वाला नल उसी हौज को भरने में (x-10) घण्टे का समय ले, तो वह
1 घण्टे में भरेगा $=\frac{1}{x-10}$ भाग
अब दोनों ही नल एक साथ उसे भरेंगे $=9 \frac{3}{8}$ अर्थात् $\frac{75}{8}$ घण्टे
∴दोनों नलों द्वारा 1 घण्टे में हौज भरा जाएगा $=-\frac{1}{75 / 8}=\frac{8}{75}$
∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{x-10}=\frac{8}{75}$
$\frac{x-10+x}{x(x-10)}=\frac{8}{75}$
$\frac{2 x-10}{x^{2}-10 x}=\frac{8}{75}$
$8 x^{2}-80 x=150 x-750$
$8 x^{2}-80 x-150 x+750=0$
$8 x^{2}-230 x+750=0$
$4 x^{2}-115 x+375=0$
इसकी तुलना $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर,
a=4 , b=-115 , c=375
$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
$=\frac{115 \pm \sqrt{(-115)^{2}-4 \times 4 \times 375}}{2 \times 4}$
$=\frac{115 \pm \sqrt{13225-6000}}{8}$
$=\frac{115+\sqrt{7225}}{8}$
$=\frac{115 \pm 85}{8}$
$=\frac{115+85}{8}$ या $\frac{115-85}{8}$
$=\frac{200}{8}$ या $\frac{30}{8}$
$=25$ या $3 \frac{3}{4}$
अतः छोटा व्यास वाला नल उसे 25 घण्टे में भरता है तथा बड़ा व्यास वाला नल उसें 25-10 अर्थात् 15 घण्टे मे भरेंगा।
Question 23
मैसूर और बैंगलोर के बीच के 132 किमी यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी, सवारी गाड़ी से 1 घण्टा समय कम लेती है (मध्य के सेशनों पर ठहरने का समय ध्यान में न लिंया जाए)। यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल, सवारी गाड़ी की औसत चाल से 11 किमी/घण्टा अधिक हो, तो दोनों रेलगाड़ियों की औसत चाल ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना सवारी गाड़ी की औसत चाल x किमी/घण्टा हो, तब
सवारी गाड़ी को 132 किमी दूरी तय करने में लगा समय
$=\frac{132}{x}$ घण्टे
और एक्सप्रेस गाड़ी की चाल जब (x+11) किमी/घण्टा हो, तब एक्सप्रेस गाड़ी को 132 किमी दूरी तय करने लगा समय $=\frac{132}{x+11}$ घण्टे
प्रश्नानुसार,
$\frac{132}{x}-\frac{132}{x+11}=1$
$\frac{132(x+11)-132 x}{x(x+11)}=1$
$\frac{132 x+1452-132 x}{x^{2}+11 x}=1$
$\frac{1452}{x^{2}+11 x}=1$
$x^{2}+11 x=1452$
$x^{2}+11 x-1452=0$
$x^{2}+44 x-33 x-1452=0$
x(x+44)-33(x+44)=0
(x+44)(x-33)=0
x+44=0
x=-44 (ऋणात्मक मान मान्य नहीं है )
x-33=0
x=33
अतः सवारी गाड़ी की औसत चाल 33 किमी/घण्टा है और एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल (33+11) किमी/घण्टा अर्थात् 44 किमी/घण्टा है।
Question 24
13 मीदर व्यास वाले एक वृत्ताकार पार्क की परिसीमा के एक बिन्दु पर एक खम्भा इस प्रकार गाड़ना है कि इस पार्क के एक व्यास के दोनों अंत बिन्दुओं पर बने फाटकों A और B से खम्भे की दूरियों का अन्तर 7 मीटर हो। क्या ऐसा करना सम्भव है? यदि है, तो दोनों फाटकों से कितनी दूरियों पर खन्भा गाड़न है।
Sol :
मान लीजिए C बिन्दु पर खस्भा है,
जिसकी फाटक B से दूरी a है
अर्थात् BC=a
दिया है :
दोनों फाटकों की दूरियों का अन्तर = 7
अथात AC-BC=7
AC=7+BC=7+a
AB=13 मीटर (दिया है)
∵चूँकि खम्भा सीधा खड़ा है, अर्थात् $\angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}$
∴ $\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}$ (पाइथागोरस प्रमेय से)
$(13)^{2}=(7+a)^{2}+a^{2}$
$169=49+a^{2}+14 a+a^{2}$
$2 a^{2}+14 a=169-49=120$
$a^{2}+7 a-60=0$
अब खम्भे की फाटक से दूरी उपरोक्त समीकरण को सन्तुष्ट करती है या नहीं, इस हेतु
$b^{2}-4 a c=(7)^{2}-4 \times 1 \times(-60)$
=49+240=289>0
अतः इस समीकरण के दोनों मूल वास्तविक हैं।
इसीलिए खम्भें को पार्क की परिसीमा पर गाड़ना संभव है।
$a=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$ के सूत्र से
$=\frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2}$
$=\frac{-7 \pm 17}{2}$
$=\frac{-7+17}{2}, \frac{-7-17}{2}$
$a=\frac{10}{2}, \frac{-24}{2}=5,-12$
∴खम्भें और फाटक के मध्य दूरी है, जो कि धनात्मक होगी।
∴a=5 मी
अतः खम्भे को पार्क की परिसीमा पर फाटक B से 5 मीटर की दूरी पर तथा फाटक A से 12 मीटर की दूरी पंर गाड़ना है।
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