Dr Manohar re Solution Class 10 Chapter 4 द्विघात समीकरण (Quadratic equations in two variables) प्रश्नावली 4 (A)

  प्रश्नावली 4 (A) 

Question 1

$(x+1)^{2}=2(x-3)$

Sol : दिया है:  $(x+1)^{2}=2(x-3)$

$x^{2}+2 x+1=2 x-6$ $\left[\because(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}\right.$ के प्रयोग से]

$x^{2}+2 x-2 x=-1-6$

$x^{2}=-7$

$x^{2}+7=0$

$\because$ चूँकि समीकरण में चर x की अधिकत्तम घात 2 है। अतः यह द्विघात समीकरण है।

Question 2

$x^{2}-2 x=(-2)(3-x)$

Sol :

दिया है:

$x^{2}-2 x=(-2)(3-x)$

$x^{2}-2 x=-6+2 x$

$x^{2}-2 x-2 x=-6$

$x^{2}-4 x+6=0$

$\because$ चूँकि समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है। अतः यह द्विघात समीकरण है।

Question 3

(x-2)(x+1)=(x-1)(x+3)

Sol :

दिया है:

(x-2)(x+1)=(x-1)(x+3)

$x^{2}-2 x+x-2=x^{2}-x+3 x-3$

$x^{2}-x-2=x^{2}+2 x-3$

-x-2x-2+3=0

-3x+1=0

$\because$ समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 नहीं है। अतः यह द्विधात समीकरण नहीं है।

Question 4

(x-3)(2 x+1)=x(x+5)

Sol :

दिया है :

(x-3)(2 x+1)=x(x+5)

$2 x^{2}-6 x+x-3=x^{2}+5 x$

$2 x^{2}-x^{2}-5 x-5 x-3=0$

$x^{2}-10 x-3=0$

$\because$ समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है। अतः यह द्विघात समीकरण है।

Question 5

$x^{2}+3 x+1=(x-2)^{2}$

Sol :

$x^{2}+3 x+1=(x-2)^{2}$

7x=3

$x=\frac{3}{7}$

अत : यह द्विघात समीकरण नहीं है।

Question 6

$(x+2)^{3}=2 x\left(x^{2}-1\right)$

Sol : दिया है:

$(x+2)^{3}=2 x\left(x^{2}-1\right)$

$x^{3}+(2)^{3}+3 \times x \times 2(x+2)=2 x^{3}-2 x$  $\left[\because(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3 a b(a+b)\right.$ के प्रयोग से]

$x^{3}+8+6 x(x+2)=2 x^{3}-2 x$

$x^{3}+8+6 x^{2}+12 x=2 x^{3}-2 x$

$x^{3}-2 x^{3}+6 x^{2}+12 x+2 x+8=0$

$-x^{3}+6 x^{2}+14 x+8=0$

$\because$ समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 नहीं है। अतः यह द्विघात समीकरण नहीं है।

Question 7

$x^{3}-4 x^{2}-x+1=(x-2)^{3}$

Sol :

$x^{3}-4 x^{2}-x+1=(x-2)^{3}$

$x^{3}-4 x^{2}-x+1=x^{3}-(2)^{3}-3 \times x \times 2(x-2)$

$\left[\because(a-b)^{3}=a^{3}-b^{3}-3 a b(a-b)\right.$ के प्रयोग से]

$-4 x^{2}-x+1=-8-6 x(x-2)$

$-4 x^{2}-x+1=-8-6 x^{2}+12 x$

$-4 x^{2}+6 x^{2}-x-12 x+1+8=0$

$2 x^{2}-13 x+9=0$

$\because$ समीकरण में चर $x$ की अधिकतम घात 2 है। अतः यह द्विघात समीकरण है।

Question 8

(2 x-1)(x-3)=(x+5)(x-1)

Sol :

(2 x-1)(x-3)=(x+5)(x-1)

$2 x^{2}-x-6 x+3=x^{2}+5 x-x-5$

$2 x^{2}-x^{2}-7 x+3+5=4 x$

$x^{2}-7 x-4 x+8=0$

$x^{2}-11 x+8=0$

$\because$ समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है। अतः यह द्विघात समीकरण है।

Question 9

$x^{2}+3 x+1=(x-2)^{2}$

Sol :

$x^{2}+3 x+1=(x-2)^{2}$

$x^{2}+3 x+1=x^{2}-4 x+4$

$\left[\because(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}\right.$ के प्रयोग से]

$x^{2}-x^{2}+3 x+4 x+1-4=0$

7x-3=0

$\because$ समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 नहीं है। अत: यह द्विघात समीकरण नहीं है।

Question 10

दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।

Sol :

माना दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक क्रमश x तथा (x+1) हों, तब

दोरों धनात्मक पूणांकों का गुणनफल =306

∴x(x+1)=306

$x^{2}+x=306$

$x^{2}+x-306=0$

अतः यही अभीष्ट द्विघात समीकरण है।

अब $x^{2}+x-306=0$

$x^{2}+18 x-17 x-306=0$ (गुणनखण्ड करने पर)

x(x+18)-17(x+18)=0

(x+18)(x-17)=0

x=17 या -18 (ऋणात्मक मान मान्य नही है )

अतः दो क्रमागत् धनात्मक पूर्णांक = 17 तथा 17+1=18 हैं।

Question 11

एक रेलगाड़ी 480 किमी की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 8 किमी/घण्टा कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घण्टे अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।

Sol : 

माना रेलगाड़ी' की चाल x किमी/घण्टा है।

[∵ समय =दूरी / चाल ]

प्रश्नानुसार,

रेलगाड़ी की चाल में कमी =(x-8) किमी/घण्टा हो, तब

480 किमी दूरी तय करने में लगा $=\frac{480}{x-8}$, घण्टे

∵दोनों समयों में अन्तर = 3 घण्टे

∴$\frac{480}{x-8}-\frac{480}{x}=3$

या $\frac{480 x-480(x-8)}{x(x-8)}=3$

$\frac{480 x-480 x+3840}{x^{2}-8 x}=3$

$\frac{3840}{x^{2}-8 x}=3$

$3 x^{2}-24 x=3840$

$x^{2}-8 x-1280=0$

अत: यही अभीष्ट द्विघात समीकरण है।

$x^{2}-8 x-1280=0$

$x^{2}-40 x+32 x-1280=0$ (गुणनखण्ड करने पर)

$x(x-40)+32(x-40)=0$

(x-40)(x+32)=0

x=40,-32 (ऋणात्मक मान मान्य नहीं है )

Question 12

एक आयताकार भूखप्ड का क्षेन्रफल 528 वर्ग मीटर है। क्षेत्र की लम्बाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है। हमें भूखण्ड की लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है।

Sol :

माना भ्सखण्ड की चौड़ाई x मी हो, तब

भूखण्ड की लम्बाई $=2 \times$ चौड़ाई +1

=2x+1

∵आयताकार भूखण्ड का क्षेत्रफल = लम्बाई $\times$ चौड़ाई

∴$=(2 x+1) \times x$

इसलिए x(2 x+1)=528

$2 x^{2}+x=528$

$2 x^{2}+x-528=0$

अत: यही अभीष्ट द्विघात समीकरण है।

अब द्विधात समीकरण के गुणनखण्ड करने पर,

$2 x^{2}+x-528=0$

$2 x^{2}+33 x-32 x-528=0$

x(2 x+33)-16(2 x+33)=0

(2 x+33)(x-16)=0
$x=16$ या $-\frac{33}{2}$ ( ऋणात्मक चिन्ह का मान मान्य नहीं है)

अत: भूखण्ड की चौड़ाई = 16 मीटर

और भूखण्ड की लम्बाई $=2 \times 16+1=33$ मीटर।

Question 13

रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है। उनकी आयु ( वर्षों में ) का गुणनफल' अब से 3 वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।

Sol : मान लीज़िए रोहन की वर्तमान आयु x वर्ष है।

रोहन की माँ की आयु = (x+26) वर्ष

3 वर्ष पश्चात् रोहन तथा उसकी माँ की आयु (x+3) वर्ष तथा (x+26+3) अर्थात् (x+29) वर्ष होगी।

प्रश्नानुसार,

(x+3)(x+29)=360

$x^{2}+3 x+29 x+87=360$

$x^{2}+32 x+87-360=0$

$x^{2}+32 x-273=0$

अतः यही अभीष्ट द्विघात समीकरण है।

$x^{2}+32 x-273=0$

$x^{2}+39 x-7 x-273=0$ (गुणनखण्ड करने पर)

x(x+39)-7(x+39)=0

(x+39)(x-7)=0

x=7 , -39 (ऋणात्मक मान मान्य नहीं है )

रोहन की आयु = 7 वर्ष

रोहन की माँ की आयु =7+26=33 वर्ष।