प्रश्नावली 4 (F)
Question 1
दो क्रमागत सम संख्याओं का गुणनफल 528 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
Sol :माना दो क्रमागत सम संख्याएँ 2 x,(2 x+2) हैं।
प्रश्नानुसार,
$2 x \times(2 x+2)=528$
$2 x \times(2 x+2)=528$
$4 x \times(x+1)=528$
$x \times(x+1)=\frac{528}{4}=132$
$x^{2}+x=132$
$x^{2}+x-132=0$
$x^{2}+12 x-11 x-132=0$
x(x+12)-11(x+12)=0
(x+12)(x-11)=0
(x+12)=0
(x+12)=0 , तब
x=-12 अग्राह्य
x-11=0
x=11
अतः अभीष्ट संख्याएँ 22,24 हैं।
Question 2
दो संख्योंं का योग 20 और उनका गुणनफल 10 है, उनके व्युक्रमो का योग ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना दो संख्याएँ x तथा y हैं।
प्रश्नानुसार,
x+y=20
xy=10
अब संख्याओं के व्युत्क्रमो का योगफल,
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y+x}{x y}=\frac{20}{10}=2$
अतः अभीष्ट मान = 2
Question 3
किसी संख्या का वर्ग उसके 4 गुने से 12 अधिक है। संख्या ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना संख्या x है।
प्रश्नानुसार , $x^{2}=4 x+12$
$x^{2}-4 x-12=0$
$x^{2}-(6-2) x-12=0$
$x^{2}-6 x+2 x-12=0$
x(x-6)+2(x-6)=0
(x-6)(x+2)=0
(x-6)=0 ,x=6
x+2=0 , x=-2 (अग्रहीत)
अतः अभीष्ट संख्या 6 है।
Question 4
$x+\frac{1}{x}=\frac{10}{3}$ को हल कीजिए।
Sol :
$x+\frac{1}{x}=\frac{10}{3}$
$\frac{x^{2}+1}{x}=\frac{10}{3}$
$3 x^{2}+3=10 x$
$3 x^{2}-10 x+3=0$
$3 x^{2}-9 x-x+3=0$
3 x(x-3)-1(x-3)=0
(x-3)(3 x-1)=0
जब x-3=0 , तब
x=3
और जब 3x-1=0 , तब
$x=\frac{1}{3}$
$x=3, \frac{1}{3}$
Question 5
$\sqrt{x}+2 x=1$ को हल कीजिए।
Sol :
$\sqrt{x}+2 x=1$
$\sqrt{x}=1-2 x$
दोनो पक्षो का वर्ग करने पर,
$(\sqrt{x})^{2}=(1-2 x)^{2}$
$x=(1-2 x)^{2}$
$x=1+4 x^{2}-4 x$
$4 x^{2}-5 x+1=0$
$4 x^{2}-4 x-x+1=0$
4 x(x-1)-1(x-1)=0
(x-1)(4 x-1)=0
(x-1)=0, तब
x=1
4x-1=0 , तब
$x=\frac{1}{4}$
अतः $x=1, \frac{1}{4}$
Question 6
किसी धनांत्मक संख्या और उसके धनात्मक वर्गमूल का योग 12 है। संख्या ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना धनात्मक संख्या x है।
प्रश्नानुसार,
$x+\sqrt{x}=12$
$\sqrt{x}=12-x$
दोनों पक्षो का वर्ग करने पर
$(\sqrt{x})^{2}=(12-x)^{2}$
$x=144+x^{2}-24 x$
$x^{2}-25 x+144=0$
$x^{2}-16 x-9 x+144=0$
x(x-16)-9(x-16)=0
(x-9)(x-16)=0
जब x-9=0 तब
x=9
और जब x-16=0 , तब
x=16 (अग्राह्य)
अतः अभीष्ट संख्या = 9
Question 7
किसी संख्या और उसके व्युत्क्रम का योग 4 है। संख्या ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना संख्या x है, तब
प्रश्नानुसार,
$x+\frac{1}{x}=4$
$\frac{x^{2}+1}{x}=4$
$x^{2}+1=4 x$
$x^{2}-4 x+1=0$
$x=\frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^{2}-4 \times 1 \times 1}}{2 \times 1}$ $\left[\right.$ सूत्र $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$ से $]$
$=\frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2}$
$=\frac{4 \pm \sqrt{12}}{2}$
$=\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$
$=2 \pm \sqrt{3}$
अत : अभीष्ट संख्या $=2 \pm \sqrt{3}$.
Question 8
दो संख्याओं का योग 13 और उनके वर्गों का योगफल 89 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना संख्याएँ x तथा y हैं, तब प्रश्नानुसार,
x+y=13...(1)
$x^{2}+y^{2}=89$..(2)
समीकरण (1) से, y=13-x
समीकरण (2) में x का मान रखने पर
$x^{2}+(13-x)^{2}=89$
$x^{2}+169+x^{2}-26 x-89=0$
$2 x^{2}-26 x+80=0$
$x^{2}-13 x+40=0$
$x^{2}-5 x-8 x+40=0$
x(x-5)-8(x-5)=0
(x-5)(x-8)=0
x-5=0 , तब
x=5
x-8=0 , तब
x=8
जब x=5 , तब
y=13-5=8
y=13-8=5
अत : अभीष्ट संख्याएँ =5,8
Question 9
किसी संख्या और उसके व्युत्क्रम का योग $2 \frac{1}{20}$ है। संख्या ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना संख्या x हैं, तब व्युत्क्रम $=\frac{1}{x}$.
प्रश्नानुसार, $x+\frac{1}{x}=2 \frac{1}{20}$
$\frac{x^{2}+1}{x}=\frac{41}{20}$
$20 x^{2}+20=41 x$
$20 x^{2}-41 x+20=0$
$20 x^{2}-16 x-25 x+20=0$
4 x(5 x-4)-5(5 x-4)=0
(5 x-4)(4 x-5)=0
5 x-4=0 ; तब
$x=\frac{4}{5}$
4x-5=0 , तब
$x=\frac{5}{4}$
अत : अभीष्ट संख्या $=\frac{4}{5}$ या $\frac{5}{4}$.
Question 10
एक संख्या और उसके व्युत्क्रम (reciprocal) का 'योगफल' $6 \frac{1}{6}$ है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना संख्या x हो, तब व्युत्क्रम $=\frac{1}{x}$.
प्रश्नानुसार,
$x+\frac{1}{x}=6 \frac{1}{6}$
$\frac{x^{2}+1}{x}=\frac{37}{6}$
$6 x^{2}+6=37 x$
$6 x^{2}-37 x+6=0$
$6 x^{2}-36 x-x+6=0$
6x(x-6)-1(x-6)=0
(x-6)(6x-1)=0
x-6=0 , तब
x=6
और जब 6x-1=0 , तब
$x=\frac{1}{6}$
अत: अभीष्ट संख्या =6 या $\frac{1}{6}$
Question 11
निम्नलिखित कथन को समीकरण द्वारा अभिव्यक्ति कीजिए :
"दो क्रमागत धन पूर्णांकों के वर्गों का योगफल 221 है।"
Sol :
माना दो क्रमागत संख्याएँ x तथा (x+1) हैं, तब प्रश्नानुसार,
$x^{2}+(x+1)^{2}=221$
Question 12
$x^{2}+4 x+2=0$ को हल कीजिए।
Sol :
समीकरण $x^{2}+4 x+2=0$ तथा संमीकरण' $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,
a=1 , b=4 , c=2
$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
$=\frac{-4 \pm \sqrt{(4)^{2}-4 \times 1 \times 2}}{2 \times 1}$
$=\frac{-4 \pm \sqrt{16-8}}{2}$
$=\frac{-4 \pm \sqrt{8}}{2}$
$=\frac{-4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$
$=\frac{2(-2 \pm \sqrt{2})}{2}$
$=-2 \pm \sqrt{2}$
$x=-2 \pm \sqrt{2}$
Question 13
उन दो क्रमागत धन विषम प्रर्णांकों को ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 290 है।
Sol :
माना दो क्रमागत धन विषम पूर्णांक संख्याएँ (2 x+1),(2 x+3) हैं, तब प्रश्नानुसार,
$(2 x+1)^{2}+(2 x+3)^{2}=290$
$4 x^{2}+1+4 x+4 x^{2}+9+12 x=290$
$8 x^{2}+16 x+10-290=0$
$8 x^{2}+16 x-280=0$
$x^{2}+2 x-35=0$
$x^{2}+7 x-5 x-35=0$
x(x+7)-5(x+7)=0
(x-5)(x+7)=0
x-5=0 , तब
x=5
x+7=0 , तब
x=-7 , (अग्राह्य)
संख्याएँ $2 x+1=2 \times 5+1=11$
$2 x+3=2 \times 5+3=13$
अतः अभीष्ट संख्याएँ 11 , 13 है।
Question 14
क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना सम्भव है जिसकी लम्बाई, चौड़ाई से दुगुनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 मी हो ? यदि है, तो उसकी लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना बगिया की चौड़ाई = x मी
लम्बाई = 2x मी
बगिया का क्षेत्रफल =800 मी $^{2}$
लम्बाई $\times$ चौड़ाई =800
$x \times 2 x=800$
$2 x^{2}=800$
$x^{2}=400$
$x=\sqrt{400}=20$ मी
अतः बगिया की चौड़ाई = 20 मी
लम्बाई $=2 x=2 \times 20=40$ मी।
Question 15
क्या निम्नलिखित स्थिति सम्भव है? यदि है तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए। दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है। चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 48 था।
Sol :
माना एक मित्र की आयु =x वर्ष हो, तो
दूसरे मित्र की आयु =20-x
चार वर्ष पूर्व दोनों मित्रों की आयु क्रमशः (x-4) वर्ष तथा (20-x-4) वर्ष अर्थात् (16-x) वर्ष थी।
प्रश्नानुसार ,
∴(x-4)(16-x)=48
$16 x+4 x-64-x^{2}=48$
$-x^{2}+20 x-64-48=0$
$-x^{2}+20 x-112=0$
$x^{2}-20 x+112=0$
इसकी तलना $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर,
a=1 , b=-20 तथा c=112
विविक्तंकर $(\mathrm{D})=b^{2}-4 a c$
$=(-20)^{2}-4 \times 1 \times 112$
=400-448=-48
$\therefore-48<0$ हो, तो समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होंगे अर्थात् वर्तमान आयु ज्ञात करने की स्थिति सम्भव नही है।
Question 16
क्या परिमाप 80 मी तथा क्षेत्रफल 400 मी $^{2}$ के एक पार्क को बनाना सम्भव है? यदि है, तो उसकी लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
Sol :
चूँकि पार्क की स्थिति आयताकार होगी क्योंकि लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है, तब माना पार्क की लम्बाई x मी है।
∵अंयंताकार पार्क का परिमाप = 80 मी
∴2 (लम्बाई + चौड़ाई)=80
2(x+चौड़ाई )=80
x+चौड़ाई =40
चौडाई =(40-x) मी
पार्क का क्षेत्रफल = 400 मी $^{2}$
∴लम्बाई $\times$ चौड़ाई $=400$
x(40-x)=400
$40 x-x^{2}=400$
$x^{2}-40 x=-400$
$x^{2}-40 x+400=0$
$x^{2}-20 x-20 x+400=0$
x(x-20)-20(x-20)=0
(x-20)(x-20)=0
x-20=0
x=20
अथात् पार्क की लम्बाई =20 मी
पार्क की चाड़ाई =(40-x) मी
=(40-20) मी
=20
अतः पार्क बनाना संभव है जोकि वर्गकार होगा।
Question 17
दो क्रमागत संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनके वर्गों का योगफल 265 है।
Sol :
माना दो क्रमागत संख्याएँ x तथा (x+1) हैं, तब प्रश्नानुसार,
$x^{2}+(x+1)^{2}=265$
$x^{2}+x^{2}+2 x+1=265$
$2 x^{2}+2 x+1-265=0$
$2 x^{2}+2 x-264=0$
$x^{2}+x-132=0$
$x^{2}+12 x-11 x-132=0$
x(x+12)-11(x+12)=0
(x-11)(x+12)=0
जब x-11=0, तब
x=11
और जब x+12=0, तब
x=-12 (अग्राह्य)
अत : दो क्रमागत संख्याएँ = 11,12 हैं
Question 18
दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 $\text{मी}^2$ है। यदि उनके परिमांपों का अन्तर 24 मी हो, तो दोनों वर्गों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना पहले वर्ग की भुजा x मी हो, तब
∴परिमाप $=4 \times$ भुजा =4 x मी
∵दिया नै : दूसरे वर्ग का परिमाप - पहले वर्ग का परिमाप = 24 मी
∴दूसरे वर्ग का परिमाप = (4 x+24) मी
अर्थात् दूसरे वर्ग की भुजा $=\frac{(4 x+24)}{4}$ मी
$=\frac{4(x+6)}{4} \text { मी }$
=(x+6) मी
∵पहले वर्ग का क्षेत्रफल + दूसरे वर्ग का क्षेत्रफल = 468
∴$(x)^{2}+(x+6)^{2}=468$
$x^{2}+x^{2}+36+12 x=468$
$2 x^{2}+12 x+36-468=0$
$2 x^{2}+12 x-432=0$
$x^{2}+6 x-216=0$
$x^{2}+18 x-12 x-216=0$
x(x+18)-12(x+18)=0
(x+18)(x-12)=0
x+18=0
x=-18 (मान्य नहीं है)
x-12=0
x=12
अतः पहले वर्ग की भुजा = 12 मी तथा दूसरे वर्ग की भुजा = (x+6) मी = 18 मी
Question 19
एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है। यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते; तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता। उसके द्रारा दोनों विषयों में प्राप्त किए गए अंक ज्ञात कीजिए।
Sol :
शेफाली द्वारा गणित तथा अंग्रेजी में प्राप्त अंकों का योग = 30
मान लीजिए शेफाली ने गणित में x अंक प्राप्त किए हों तो शेफाली द्वारा अंग्रेजी में प्राप्त अंक = 30-x
और जब गणित में 2 अंक अधिक हों तो कुल अंक =x+2
तथा अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले हों, तो कुल अंक =(30-x-3) अर्थात् (27-x)
प्रश्नांनुसार,
$(x+2)(27-x)=210$
$27 x+54-x^{2}-2 x =210$
$-x^{2}+25 x+54-210 =0 $
$-x^{2}+25 x-156=0 $
$x^{2}-25 x+156 =0 $
$ x^{2}-12 x-13 x+156 =0 $ (गुणनखिण्ड द्वारा)
x(x-12)-13(x-12) =0
(x-12)(x-13) =0
जब x-12=0
x=12
x-13=0
x=13
जब गणित में 12 अंक मिले हों, तो अंग्रेजी में 30-12=18 अंक मिलेंगे। और जब गणित में 13 अंक मिले हों, तो अंग्रेजी में 30-13=17 अंक मिलेंगे।
Question 20
(i) एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 सेमी कम है। यदि कर्ण 13 सेमी का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना $\Delta \mathrm{PQR}$ में, $\angle \mathrm{Q}$ समकोण है, आधार भुजा x सेमी तथा ऊँचाई (x-7) सेमी है।
पाइथागोरस प्रमेय से, $(\text { कर्ण })^{2}=(\text { लम्ब })^{2}+(\text { आधार })^{2}$
$(\mathrm{PR})^{2}=(\mathrm{RQ})^{2}+(\mathrm{PQ})^{2}$
$(13)^{2}=(x-7)^{2}+(x)^{2}$
$169=x^{2}+49-14 x+x^{2}$
$169-49=2 x^{2}-14 x$
$2 x^{2}-14 x=120$
$x^{2}-7 x=60$
$x^{2}-7 x-60=0$
$x^{2}-12 x+5 x-60=0$ (गुणनखण्ड करने पर)
x(x-12)+5(x-12)=0
(x-12)(x+5)=0
x-12=0
x=12
x+5=0
x=-5
$\because$ ऋणात्मक भुजा मान्य नहीं है।
अत : आधार भुजा (PQ)=12 सेमी
तथा लम्ब भुजा (RQ)=(12-7) सेमी =5 सेमी
अत : दोनों भुजाएँ क्रमश : 12 सेमी तथा 5 सेमी होंगी।
(ii) एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मीटर अधिक लम्बा है। यदि बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मीटर अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
Sol :
मान लीजिए PQRS एक आयताकार खेत है जिसमें QR छोटी भुजा की लम्बाई x मीटर है।
=
x=
बड़ी भुजा PQ जिसकी लम्बाई =(x+30) मी.
तथा विकर्ण PR की लम्बाई =(x+60) मी.
$\therefore \Delta \mathrm{PQR}$ में, $\angle \mathrm{Q}=90^{\circ}$ हो, तब
$(\mathrm{PR})^{2}=(\mathrm{PQ})^{2}+(\mathrm{QR})^{2}$ (पाइथागोरस प्रमेय से)
$(x+60)^{2}=(x+30)^{2}+(x)^{2}$
$x^{2}+3600+120 x=x^{2}+900+60 x+x^{2}$
$x^{2}+3600+120 x=2 x^{2}+900+60 x$
$x^{2}-2 x^{2}+120 x-60 x+3600-900=0$
$-x^{2}+60 x+2700=0$
$x^{2}-60 x-2700=0$
$x^{2}-90 x+30 x-2700=0$
x(x-90)+30(x-90)=0
(x-90)(x+30)=0
x=90
x+30=0
x=-30 (∵ भुजा की लम्बाई ऋणात्मक' मान्य नहीं है )
अत : छोटी भुजा की लम्बाई = 90 मी
तथा बड़ी भुजा की लम्बाई =(90+30) मी = 120 मी।
Question 21
(i) ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो।
Sol :
माना पहली संख्या x हो, तब दूसरी संख्या = 27-x
अब दोनों संख्याओं का गुणनफल = 182
∴x(27-x)=182
$-x^{2}+27 x=182$
$x^{2}-27 x=-182$
$x^{2}-27 x+182=0$
$x^{2}-13 x-14 x+182=0$ ( गुणतखण्ड करने पर)
x(x-13)-14(x-13)=0
(x-13)(x-14)=0
x-13=0
x=13
x-14=0
x=14
जब पहली संख्या 13 हो, तो दूसरी संख्या 27-13 अर्थात् 14 होगी और जब पहली संख्या 14 हो, तो दूसरी संख्या 27-14 अर्थात् 13 होगी।
(ii) दो क्रमार्गत धनात्मक पूणांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो।
Sol :
माना x तथा (x+1) दो क्नमागत धनात्मक पूणांक हों, तब
इनके वर्गों का योगफल =365 (दिया है)
$(x)^{2}+(x+1)^{2}=365$
$x^{2}+x^{2}+1+2 x=365$
$2 x^{2}+2 x+1-365=0$
$2 x^{2}+2 x-364=0$
2 का दोनों पक्षों में भाग करने पर
$x^{2}+x-182=0$
$x^{2}+14 x-13 x-182=0$ (गुणनखण्ड करने पर)
x(x+14)-13(x+14)=0
(x+14)(x-13)=0
x+14=0
x=-14
x-13=0
x=13
$\because$ ऋणात्मक संख्या नहीं हो सकती है।
$\therefore$ पहली संख्या = 13 तथा दूसरी संख्या = 13+1 अर्थात् 14 होगी।
(iii) दो संख्याओं के वर्गों का अन्तर 180 है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुनान है।दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना छोटी संख्या x लें, तब
छोटी संख्या का वर्ग = $8 \times$ बड़ी संख्या
$x^{2}=8 \times$ बड़ी संख्या
$\therefore$ बड़ी संख्या = $\frac{x^{2}}{8}$
दोनों संख्याओं के वर्गो का अन्तर = 180 (दिया है)
(बड़ी संख्या $)^{2}$ - (छोटी संख्या ) $^{2}=180$
$\left(\frac{x^{2}}{8}\right)^{2}-(x)^{2}=180$
$\frac{x^{4}}{64}-x^{2}=180$
$\frac{x^{4}-64 x^{2}}{64}=180$
$x^{4}-64 x^{2}=11520$
$x^{4}-64 x^{2}-11520=0$
$x^{4}-144 x^{2}+80 x^{2}-11520=0$ (गुणनखण्ड द्वारा)
$x^{2}\left(x^{2}-144\right)+80\left(x^{2}-144\right)=0$
$\left(x^{2}-144\right)\left(x^{2}+80\right)=0$
$x^{2}-144=0$
$x=\sqrt{144}$
$x=\pm 12$
और $x^{2}+80=0 \Rightarrow x^{2}=-80$, जो मान्य नहीं है।
जब $x=\pm 12$ अर्थात् छोटी संख्या = 12 हो, तब बड़ी संख्या $=\frac{x^{2}}{8}$.
$=\frac{12 \times 12}{8}=18$
और जब x=-12 अर्थात् छोटी संख्या =-12 हो, तब
बड़ी संख्या $=\frac{x^{2}}{8}=\frac{-12 \times-12}{8}=18$
अतः दोनों संख्याएँ होंगी : 12 और 18 अथवा - 12 और 18 .
Question 2
एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है। एक विशेष दिन यह देखा गया कि प्रतेक नग की निर्माण लागत (रूपयों में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी। यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत ₹ 90 थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नग की लागत ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना निर्मित किए गए बर्तनों की संख्या = x हो, तब
1 बर्तन की लागत $=2 \times$ निर्मित किए गए बर्तनों की संख्या +3
=2x+3
∴निर्मित किए गए x बर्तनों की लागत =x(2 x+3)
x(2x+3)=90
$2 x^{2}+3 x=90$
$2 x^{2}+3 x-90=0$
$2 x^{2}+15 x-12 x-90=0$ (गुणनखण्ड करने पर)
x(2x+15)-6(2x+15)=0
(2x+15)(x-6)=0
2x+15=0 या $x=-\frac{15}{2}$ (मान्य नही है)
x-6=0
x=6
इसलिए 1 बर्तन की लागत =2×6+3=12+3=15
अतः बर्तनो की संख्या 6 है तथा 1 बर्तन की लागत 15 है।
Question 23
एक रेलगाड़ी एकसमान चाल से 360 किमी की दूरी तय करती है। यदि इसकी चाल 5 किमी/घण्टा अधिक हो, तो उसी दूरी को तय करने में 48 मिनट कम लेती है। रेलगाड़ी की प्रारम्भिक चाल ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना रेलगाड़ी की वास्तविक चाल = x किमी/घण्टा
वृद्धि करने पर रेलगाड़ी की चाल = (x+5) किमी/घण्टा
दूरी = 360 किमी
प्रश्नानुसार, $\frac{360}{x}-\frac{360}{x+5}=\frac{4}{5}$ $\left(\because\right.$ समय $\left.=\frac{\text { दूरी }}{\text { चाल }}\right)$
$\frac{360(x+5)-360 x}{x(x+5)}=\frac{4}{5}$ $\left(\because 48\right.$ मिनट $=\frac{48}{60}$ घण्ट $=\frac{4}{5}$ घण्टा $)$
$\frac{360 x+1800-360 x}{x^{2}+5 x}=\frac{4}{5}$
$\frac{1800}{x^{2}+5 x}=\frac{4}{5}$
$x^{2}+5 x=\frac{1800 \times 5}{4}=2250$
$x^{2}+5 x-2250=0$
$x^{2}+(50 x-45 x)-2250=0$ (गुणनखण्ड विधि से)
$x^{2}+50 x-45 x-2250=0$
x(x+50)-45(x+50)=0
(x+50)(x-45)=0
अब, (x+50)=0 ⇒ x=-50, जोकि सम्भव नहीं है। चूँकि चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती है।
और जब x-45=0 हो , तब x=45
अत: रेलगांड़ी की वंस्तविक चाल 45 किमी. घण्टा है।
Question 24
यदि जेबा अपनी वास्तविक आयु से 5 वर्ष छोटी होती, तो उसकी आयु ( वर्षों में ) का वर्ग उसकी वास्तविक आयु के 5 गुने से 11 वर्ष अधिक होता। उसकी वर्तमान आयु क्या है ?
Sol :
माना जेबा की वर्तमान आयु x वर्ष हो, तब प्रश्नान्सार,
$(x-5)^{2}=5 x+11$
$x^{2}-10 x+25=5 x+11$
$x^{2}-15 x+14=0$
$x^{2}-15 x+14=0$
$x^{2}-14 x-x+14=0$
x(x-14)-1(x-14)=0
(x-14)(x-1)=0
x=14 ,1
अत : जेबा की वर्तमान आयु 14 वर्ष होगी।
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