Dr Manohar re Solution Class 10 Chapter 4 द्विघात समीकरण (Quadratic equations in two variables) प्रश्नावली 4 (C)

  प्रश्नावली 4 (C) 

Question 1

$x^{2}-6 x+5=0$ को ग़णनखण्ड विधि से हल कीजिए।

Sol :

$x^{2}-6 x+5=0$

$x^{2}-(1+5) x+5=0$

$x^{2}-x-5 x+5=0$

x(x-1)-5(x-1)=0

(x-1)(x-5)=0

x-1=0, x=1

x-5=0, x=5

अतः x=(1,5)

Question 2

$\sqrt{3} x^{2}+2 x-8 \sqrt{3}=0$ को गुणनखण्ड विधि से हल कीजिए

Sol :

$\sqrt{3} x^{2}+2 x-8 \sqrt{3}=0$

$\sqrt{3} \times 8 \sqrt{3}=24=6 \times 4$

$\sqrt{3} x^{2}+(6-4) x-8 \sqrt{3}=0$

$\sqrt{3} x^{2}+6 x-4 x-8 \sqrt{3}=0$

$\sqrt{3} x(x+2 \sqrt{3})-4(x-2 \sqrt{3})=0$

$(x+2 \sqrt{3})(\sqrt{3} x-4)=0$

जब $x+2 \sqrt{3}=0, x=-2 \sqrt{3}$

जब $\sqrt{3} x-4=0$, तब

$x=\frac{4}{\sqrt{3}}$

अतः $x=-2 \sqrt{3},-\frac{4}{\sqrt{3}}$

Question 3

$x^{2}-3 x-10=0$ को गुणंनखण्ड विधि से हल कीजिए।

Sol :

दिया गया समीकरण,

$x^{2}-3 x-10=0$

$x^{2}-5 x+2 x-10=0$

x(x-5)+2(x-5)=0

(x-5)(x+2)=0 अर्थात् x=5

x+2=0 या x=-2

∴ x=5 और -2

अत: 5 और - 2 द्विधात समीकरण के मूल होंगे।

Question 4

$x^{2}+x-20=0$ को गुणनखण्ड विधि से हल कंरो।

Sol :

$x^{2}+x-20=0$

$x^{2}+(5-4) x-20=0$

$x^{2}+5 x-4 x-20=0$

x(x+5)-4(x+5)=0

(x-4)(x+5)=0

x-4=0, x=4

x+5=0, x=-5

x=(4,-5)

Question 5

$x^{2}-9 x+18=0$ को गुणनखण्ड विधि से हल करो।

Sol :

$x^{2}-9 x+18=0$

$x^{2}-(6+3) x+18=0$

$x^{2}-6 x-3 x+18=0$

x(x-6)-3(x-6)=0

(x-3)(x-6)=0

जब x-3=0, तब

x=3

और जब x-6=0, तब

x=6

अतः x=3 , 6

Question 6

$4 x^{2}-2 x+\frac{1}{4}=0$ को गुणनखण्ड विधि से हल कीजिए।

Sol :

$4 x^{2}-2 x+\frac{1}{4}=0$

$16 x^{2}-8 x+1=0$

$16 x^{2}-(4+4) x+1=0$

$16 x^{2}-4 x-4 x+1=0$

4 x(4 x-1)-(4 x-1)=0

(4x-1)(4x-1)=0

$(4 x-1)^{2}=0$

जब 4 x-1=0, तब

$x=\frac{1}{4}$

अर जब 4 x-1=0, तब

$x=\frac{1}{4}$

अतः $x=\frac{1}{4}, \frac{1}{4}$

Question 7

$2 \sqrt{3} x^{2}-14 x+4 \sqrt{3}=0$ को गुणनखण्ड विरि से हल करो ।

Sol :

$2 \sqrt{3} x^{2}-14 x+4 \sqrt{3}=0$

$2 \sqrt{3} x^{2}-(12+2) x+4 \sqrt{3}=0$

$2 \sqrt{3} x^{2}-12 x-2 x+4 \sqrt{3}=0$

$2 \sqrt{3} x(x-2 \sqrt{3})-2(x-2 \sqrt{3})=0$

$(x-2 \sqrt{3})(2 \sqrt{3} x-2)=0$

जब $x-2 \sqrt{3}=0$, तब

$x=2 \sqrt{3}$

और जब $2 \sqrt{3 x}-2=0$, तब

$x=\frac{2}{2 \sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

अतः $x=2 \sqrt{3}, \frac{1}{\sqrt{3}}$

Question 8

$y^{2}-(p+q) y+p q=0$ को गुणनखण्ड विधि से हल करो।

Sol :

$y^{2}-(p+q) y+p q=0$

$y^{2}-p y-q y+p q=0$

y(y-p)-q(y-p)=0

(y-p)(y-q)=0

जब y-p=0, तब

y=p

जब y-q=0, तब

y=q

अतः y=p,q

Question 9

$2 x^{2}+x-6=0$ को गुणनखण्ड विधि से हल करो।

Sol :

दिया गया समीकरण :

$2 x^{2}+x-6=0$

$2 x^{2}+4 x-3 x-6=0$ [गुणनखण्ड करने पर]

2 x(x+2)-3(x+2)=0

(x+2)(2 x-3)=0

x+2=0

x=-2

2x-3=0

तब $x=\frac{3}{2}$

∴$x=-2, \frac{3}{2}$

Question 10

$x-\frac{3}{x}=\frac{1}{2}$ को गुणनखण्ड विधि से हल करो।

Sol :

$x-\frac{3}{x}=\frac{1}{2}$

$\frac{x^{2}-3}{x}=\frac{1}{2}$

$2 x^{2}-6=x$

$2 x^{2}-x-6=0$

$2 x^{2}-(4-3) x-6=0$

$2 x^{2}-4 x+3 x-6=0$

2 x(x-2)+3(x-2)=0

जब (x-2)(2 x+3)=0

और जब $2 x+3=0, x=-\frac{3}{2}$

अतः $x=\left(2,-\frac{3}{2}\right)$

Question 11

$\sqrt{2} x^{2}+7 x+5 \sqrt{2}=0$ को गुणनखण्ड विधि से हल करो।

Sol :

दिया गया सभीकरण :

$\sqrt{2} x^{2}+7 x+5 \sqrt{2}=0$

$\sqrt{2} x^{2}+5 x+2 x+5 \sqrt{2}=0$ [गुणनखण्ड करने पर]

$x(\sqrt{2} x+5)+\sqrt{2}(\sqrt{2} x+5)=0$

$(\sqrt{2} x+5)(x+\sqrt{2})=0$

$\sqrt{2} x+5=0$

$\sqrt{2} x=-5$

$x=-\frac{5}{\sqrt{2}}$

और जब $x+\sqrt{2}=0$

$x=-\sqrt{2}$

अतः $-\frac{5}{\sqrt{2}}$ तथा $-\sqrt{2}$ द्विघात समीकरण के मूल होंगे।

Question 12

$2 x^{2}+a x-a^{2}=0$ को गुणनखण्ड विधि से हल करो ।

Sol :

$2 x^{2}+a x-a^{2}=0$ (जहाँ a वास्तविक संख्या है)

$2 x^{2}+2 a x-a x-a^{2}=0$

2 x(x+a)-a(x+a)=0

(x+a)(2 x-a)=0

जब x+a=0 , तब

x=-a

और जब 2x-a=0, तब

$x=\frac{a}{2}$

अतः $x=-a, \frac{a}{2}$

Question 13

$4 \sqrt{3} x^{2}+2 x-2 \sqrt{3}=0$ को गुणनखण्ड विधि से हल करो।

Sol :

$4 \sqrt{3} x^{2}+2 x-2 \sqrt{3}=0$

$4 \sqrt{3} x^{2}+6 x-4 x-2 \sqrt{3}=0$

$2 \sqrt{3} x(2 x+\sqrt{3})-2(2 x+\sqrt{3})=0$

$(2 x+\sqrt{3})(2 \sqrt{3} x-2)=0$

जब $2 x+\sqrt{3}=0$, तब

$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

और जब $2 \sqrt{3} x-2=0$, तब

$x=\frac{1}{\sqrt{3}}$

अतः $x=-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{\sqrt{3}}$

Question 14

$3 x-\frac{8}{x}=2$ को गुणनखण्ड विधि से हल करो।

Sol :

$3 x-\frac{8}{x}=2$

$\frac{3 x^{2}-8}{x}=2$ $[3 \times 8=24=6 \times 4]$

$3 x^{2}-8=2 x$

$3 x^{2}-2 x-8=0$

$3 x^{2}-(6-4) x-8=0$

$3 x^{2}-6 x+4 x-8=0$

3 x(x-2)+4(x-2)=0

(x-2)(3x+4)=0

जब x-2=0  , x=2

और जब $3 x+4=0, x=-\frac{4}{3}$

अत: $ x=\left(2,-\frac{3}{4}\right)$.

Question 15

$2 x^{2}-x+\frac{1}{8}=0$ को गुणनखण्ड विधि से हल करो।

Sol :

दिया गया समीकरण :

$2 x^{2}-x+\frac{1}{8}=0$

$16 x^{2}-8 x+1=0$

$16 x^{2}-4 x-4 x+1=0$ [गुणनखण्ड करने पर]

4 x(4 x-1)-1(4 x-1)=0

(4 x-1)(4 x-1)=0

4x-1=0

4x=1

$x=\frac{1}{4}$

4x-1=0

4x=1

$x=\frac{1}{4}$

अतः $\frac{\mathrm{1}}{4}$ तथा $\frac{1}{4}$ द्विधात समीकरण के मूल होंगे।

Question 16

$100 x^{2}-20 x+1=0$ को गुणनखण्ड विधि से हल करो।

Sol :

$100 x^{2}-20 x+1=0$

$100 x^{2}-10 x-10 x+1=0$ [गुणनखण्ड करने पर]

10 x(10 x-1)-1(10 x-1)=0

(10 x-1)(10 x-1)=0

10x-1=0

10x=1

$x=\frac{1}{10}$

10x-1=0

10x=1

$x=\frac{1}{10}$

अतः $\frac{1}{10}$ तथा $\frac{1}{10}$ द्विघात समीकरण के मूल होंगे।