Dr Manohar re Solution Class 10 Chapter 4 द्विघात समीकरण (Quadratic equations in two variables) प्रश्नावली 4 (E)

 प्रश्नावली 4 (E) 

Question 1

$2 x^{2}+14 x+9=0$ के मूल सूत्र द्वारा ज्ञात कीजिए।
Sol :

समीकरण $2 x^{2}+14 x+9=0$ तथां समीकरण की तुलना $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर,

a=2 , b=14 , c=9

सूत्र  $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$

$=\frac{-14 \pm \sqrt{(14)^{2}-4 \times 2 \times 9}}{2 \times 2}$

$=\frac{-14 \pm \sqrt{196-72}}{4}$

$=\frac{-14 \pm \sqrt{124}}{4}$

$=\frac{-14 \pm 2 \sqrt{31}}{4}$

$=\frac{-7 \pm \sqrt{31}}{2}$

Question 2

$25 x^{2}+50 x+12=0$ के मूल सूत्र द्वारा ज्ञात कोजए।

Sol :

समीकरण $25 x^{2}+50 x+12=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,

a=25 , b=50, c=12

सूत्र $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$

$=\frac{-50 \pm \sqrt{(50)^{2}-4 \times 25 \times 12}}{2 \times 25}$

$=\frac{-50 \pm \sqrt{2500-1200}}{50}$

$=\frac{-50 \pm \sqrt{1300}}{50}$

$=\frac{-50 \pm 10 \sqrt{13}}{50}$

∴$=\frac{-5 \pm \sqrt{13}}{5}$

Question 3

$2 y^{2}+14 y+9=0$ के मूल सूत्र दारा ज्ञात कीजिए।

Sol :

समीकरण $2 y^{2}+14 y+9=0$ तथा समीकरण की तुलना $a y^{2}+b y+c=0$ से करने पर,

a=2 , b=14 , c=9

सूत्र $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$

$=\frac{-14 \pm \sqrt{(14)^{2}-4 \times 2 \times 9}}{2 \times 2}$

$=\frac{-14 \pm \sqrt{196-72}}{4} .$

$=\frac{-14 \pm \sqrt{124}}{4}$

$=\frac{-14 \pm 2 \sqrt{31}}{4}$

$=\frac{-7 \pm \sqrt{31}}{2}$

अत: अभीष्ट मूल $\frac{-7 \pm \sqrt{31}}{2-}$ है

Question 4

$2 x^{2}-3 x+4=0$ के मूल सूत्र द्वारा ज्ञात कीजिए।

Sol :

समीकरण $2 x^{2}-3 x+4=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,

a=2 , b=-3 , c=4

सूत्र  $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$

$=\frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^{2}-4 \times 2 \times 4}}{2 \times 2}$

$=\frac{3 \pm \sqrt{9-32}}{4}$

$=\frac{3 \pm \sqrt{-23}}{4}$

x= वास्तविक मान नही है।

Question 5

$2 x^{2}-5 x-24=0$ के मूल सूत्र द्वारा ज्ञात कीजिए।

Sol :

समीकरण $2 x^{2}-5 x-24=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,

a=2 , b=-5 ,c=-24

सूत्र $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$

$=\frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^{2}-4 \times 2 \times(-24)}}{2 \times 2}$

$=\frac{5 \pm \sqrt{25+192}}{4}$

$=\frac{5 \pm \sqrt{217}}{4}$

$x=\frac{5 \pm \sqrt{217}}{4}$

Question 6

$\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{3} x+1=0$ के मूलों के लक्षण ज्ञात कीजिए।

Sol :

समीकरण $\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{3} x+1=0$ तथा समीकरण' $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से

$a=\frac{1}{2}, b=\frac{1}{3}, c=1$

अब विविक्तकर, 

$b^{2}-4 a c=\left(\frac{1}{3}\right)^{2}-4 \times \frac{1}{2} \times 1$

$=\frac{1}{9}-2=\frac{1-18}{9}$

$=-\frac{17}{9}$ (ऋणात्मक)

अतः मूल काल्पनिक होंगे।

Question 7

$3 x^{2}-4 \sqrt{3} x+4=0$ के मूलों के लक्षण ज्ञात कीजिए।

Sol :

दिया गया द्विधात समीकरण है :

$3 x^{2}-4 \sqrt{3} x+4=0$

इसकी तुलना $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर,

$a=3, b=-4 \sqrt{3}, c=4$

विविक्तंकर $(\mathrm{D})=b^{2}-4 a c$

$=(-4 \sqrt{3})^{2}-4 \times 3 \times 4$

D=0

अतः द्विघात समीकरण के दो बराबर वास्तविक मूल हैं।

$x=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 a}=\frac{4 \sqrt{3} \pm 0}{2 \times 3}$

$=\frac{4 \sqrt{3}+0}{2 \times 3}, \frac{4 \sqrt{3}-0}{2 \times 3}$

$=\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

अतः समीकरण के मूल $\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ हैं जो वास्तविक तथा समान हैं।

Question 8

$4 x^{2}+12 x+9=0$ के मूलों के लक्षण ज्ञात कीजिए।

Sol :

समीकरण $4 x^{2}+12 x+9=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,

a=4 , b=12 , c=9

तब $b^{2}-4 a c=(12)^{2}-4 \times 4 \times 9$

=144-144=0

अतः दिये समीकरण के मूल वास्तविक तथा समान होंगे।

Question 9

$7 x^{2}-3 x+2=0$ के मूलों के लक्षण ज्ञात कीजिए।

Sol :

समीकरण $7 x^{2}-3 x+2=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,

a=7 , b=-3 , c=2

$b^{2}-4 a c=(-3)^{2}-4 \times 7 \times 2$

=9-56

=-47 (ऋणात्मक मान)

अतः दिये समीकरण के मूल काल्पनिक होंगे।

Question 10

$2 x^{2}-3 x+5=0$ के मूलों के लक्षण ज्ञात कीजिए।

Sol :

दिया गया द्विघात समीकरण :

$2 x^{2}-3 x+5=0$

इसकी तुलना $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर,

a=2 , b=-3 तथा c=5

विविक्तकर (D) $=b^{2}-4 a c$

$=(-3)^{2}-4 \times 2 \times 5$

=9-40=-31

$\therefore-31<0$ है।

अतः इस समीकरण के कोई वास्तविक मूल नही हैं।

Question 11

$2 x^{2}-6 x+3=0$ के मूलों के लक्षण ज्ञात कीजिए।

Sol :

दिया गया द्विघात समीकरण है :

$2 x^{2}-6 x+3=0$

इसकी तुलना $a x^{2}+b x+c=0$ करने पर,

a=2 , b=-6 तथा c=3

विविक्तकर (D) $=b^{2}-4 a c$

$=(-6)^{2}-4 \times 2 \times 3$

=36-24=12

$\because 12>0$ है

अतः द्विधात समीकरण के मूल वास्तविक और असमान हें।

∴$x=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 a}=\frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \times 2}$

$=\frac{6+\sqrt{12}}{4}, \frac{6-\sqrt{12}}{4}$

$=\frac{6+2 \sqrt{3}}{4}, \frac{6-2 \sqrt{3}}{4}$

$=\frac{3+\sqrt{3}}{2}, \frac{3-\sqrt{3}}{2}$

अत: द्विधात समीकरण के मूल $\frac{3+\sqrt{3}}{2}$ तथा $\frac{3-\sqrt{3}}{2}$ हैं जो वास्तविक तथा असमान हैं। 

Question 12

$4 x^{2}+3 x+7=0$ के मूलों के लकण जात कीजिए।

Sol :

समीकरण $4 x^{2}+3 x+7=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,

a=4 , b=3 , c=7

$b^{2}-4 a c=(3)^{2}-4 \times 4 \times 7$

=9-12=-103 (ऋणात्मक मान)

अत: दिये समीकरण के मूल काल्पनिक होंगे।

Question 13

यदि समीकरण $k x^{2}+(k-1) x-1=0$ के मूल समान हों, तो k का मान ज्ञात कीजिए।

Sol :

समीकरण $k^{2}+(k-1) x-1=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,

a=k , b=(k-1) , c=-1

जब मूल बराबर होते हैं तब $b^{2}=4 a c$ होता है, तब

$(k-1)^{2}=4 \times k \times(-1)$

$k^{2}+1-2 k=-4 k$

$k^{2}+2 k+1=0$

$(k+1)^{2}=0$

k+1=0

k=-1

Question 14

यदि समीकरण $2 x^{2}+k x+3=0$ के मूल बराबर हों, तो k का मान ज्ञात कीलिए।

Sol :

दिया गया द्विधात समीकरण है :

$2 x^{2}+k x+3=0$

इसकी तुलना $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर,

a=2 , b=k तथा c=3

∵जब इसके मूल बराबर हों, तब

विविक्तकर (D) =0

अर्थात् $b^{2}-4 a c=0$

$k^{2}-4 \times 2 \times 3=0$

$k^{2}-24=0$

$k^{2}=24$

$\therefore \quad k=\pm 2 \sqrt{6} .$

Question 15

$3 x^{2}-8 x+5=0$ का विविक्तकर ज्ञात कीजिए।

Sol :

समीकरण $3 x^{2}-8 x+5=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x^{\prime}+c=0$ की तुलना से,

a=3 , b=-8 , c=5

विविक्तकर $=b^{2}-4 a c$

$=(-8)^{2}-4 \times 3 \times 5$

=64-60=4

अतः विविक्तकर (D) =4.

Question 16

$3 x^{2}-7 x+5=0$ का विविक्तकर ज्ञात कीजिए।

Sol :

समीकरण $3 x^{2}-7 x+5=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,

a=3 , b=-7 , c=5

विविक्तंकर $(\mathrm{D})=b^{2}-4 a c$

$=(-7)^{2}-4 \times 3 \times 5$

=49-60=-11

अतः विविक्तकर (D)=-11

Question 17

$2 x^{2}-5 x+2=0$ का विविक्तकर ज्ञात कीजिए।

Sol :

समीकरण' $2 x^{2}-5 x+2=0$ तथा समीकरण' $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,

a=2 , b=-5 , c=2 तब

विविक्तकर (D) $=b^{2}-4 a c$

$=(-5)^{2}-4 \times 2 \times 2$

=25-16=9

अतः विविक्तकर (D)=9

Question 18

$3 x^{2}+2 x-1=0$ का विविक्तकर ज्ञात कीजिए।

Sol :

समीकरण $3 x^{2}+2 x-1=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,

a=3 , b=2 , c=-1 तब

विविक्तकर $(\mathrm{D})=b^{2}-4 a c$

$=(2)^{2}-4 \times 3 \times(-1)$

=4+12=16

विविक्तकर (D) = 16

Question 19

$3 x^{2}+5 x+2=0$ का विविक्तकर ज्ञात कीजिए।

Sol :

समीकरण $3 x^{2}+5 x+2=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,

a=3 , b=5 , c=2 तब

विविक्तकर (D) $=b^{2}-4 a c$

$=(5)^{2}-4 \times 3 \times 2$

=25-24=1

अतः विविक्तकर (D) =1

Question 20

यदि समीकरण kx(x-2)+6=0 के मूल बराबर हों, तो k का मान ज्ञात कीजिए।

Sol :

दिया गया द्विघात समीकरण है :

kx(x-2)+6=0

$k x^{2}-2 k x+6=0$

इसकी तुलना $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर,

a=k , b=-2k , c=6

∵जब इसके मूल बराबर हों, तब

विविक्तकर (D) =0

अर्थात् $b^{2}-4 a c=0$

$(-2 k)^{2}-4 \times k \times 6=0$

$4 k^{2}-24 k=0$

k-6=0

∴k=6

Question 21

समीकरण $x^{2}-6 x+9=0$ के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए।

Sol :

समीकरण $x^{2}-6 x+9=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,

a=1 , b=-6 , c=9

तब $b^{2}-4 a c=(-6)^{2}-4 \times 1 \times 9$

=36-36=0

अतः दिये समीकरण के मूल वास्तविक तथा समान होंगे।

Question 22

यदि समीकरण $3 x^{2}-12 x+k=0$ के मूल बराबर हैं, तो k का मान ज्ञात कीजिए।

Sol :

समीकरण $3 x^{2}-12 x+k=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,

a=3 , b=-12 , c=k

जब मूल बराबर होते हैं, तब

$b^{2}=4 a c$

$(-12)^{2}=4 \times 3 \times k$

144=12k

$k=\frac{144}{12}=12$

अतः k=12

Question 23

निम्नलिखित समीकरणों के मूल सूत्र द्वारा ज्ञात कीजिए :

(a) $9 x^{2}-10 x+2=0$.

Sol :

समीकरण $9 x^{2}-10 x+2=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,

a=9 , b=-10, c=2

सूत्र $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$

$=\frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^{2}-4 \times 9 \times 2}}{2 \times 9}$

$=\frac{10 \pm \sqrt{100-72}}{18}$

$=\frac{10 \pm \sqrt{28}}{18}$

$=\frac{10 \pm 2 \sqrt{7}}{18}$

$=\frac{5 \pm \sqrt{7}}{9}$

(b) $\frac{x-1}{2}-\frac{2}{x}=x-\frac{3}{x}$.

Sol :

$\frac{x^{2}-x-4}{2 x}=\frac{x^{2}-3}{x}$

$\frac{x^{2}-x-4}{2}=\frac{x^{2}-3}{1}$

$x^{2}-x-4=2 x^{2}-6$

$x^{2}+x-2=0$

की $a x^{2}+b x+c=0$ से तुलना करने पर,

a=1 , b=1 , c=-2

सूत्र  $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$

$=\frac{-1 \pm \sqrt{1-4 \times 1 \times(-2)}}{2 \times 1}$

$=\frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{2}=\frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2}$

$=\frac{-1 \pm 3}{2}$

$x=\frac{-1+3}{2}=1$

और जब $x=\frac{-1-3}{2}=-2$

अतः x=1 , -2