प्रश्नावली 4 (E)
Question 1
$2 x^{2}+14 x+9=0$ के मूल सूत्र द्वारा ज्ञात कीजिए।Sol :
समीकरण $2 x^{2}+14 x+9=0$ तथां समीकरण की तुलना $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर,
a=2 , b=14 , c=9
सूत्र $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
$=\frac{-14 \pm \sqrt{(14)^{2}-4 \times 2 \times 9}}{2 \times 2}$
$=\frac{-14 \pm \sqrt{196-72}}{4}$
$=\frac{-14 \pm \sqrt{124}}{4}$
$=\frac{-14 \pm 2 \sqrt{31}}{4}$
$=\frac{-7 \pm \sqrt{31}}{2}$
Question 2
$25 x^{2}+50 x+12=0$ के मूल सूत्र द्वारा ज्ञात कोजए।
Sol :
समीकरण $25 x^{2}+50 x+12=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,
a=25 , b=50, c=12
सूत्र $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
$=\frac{-50 \pm \sqrt{(50)^{2}-4 \times 25 \times 12}}{2 \times 25}$
$=\frac{-50 \pm \sqrt{2500-1200}}{50}$
$=\frac{-50 \pm \sqrt{1300}}{50}$
$=\frac{-50 \pm 10 \sqrt{13}}{50}$
∴$=\frac{-5 \pm \sqrt{13}}{5}$
Question 3
$2 y^{2}+14 y+9=0$ के मूल सूत्र दारा ज्ञात कीजिए।
Sol :
समीकरण $2 y^{2}+14 y+9=0$ तथा समीकरण की तुलना $a y^{2}+b y+c=0$ से करने पर,
a=2 , b=14 , c=9
सूत्र $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
$=\frac{-14 \pm \sqrt{(14)^{2}-4 \times 2 \times 9}}{2 \times 2}$
$=\frac{-14 \pm \sqrt{196-72}}{4} .$
$=\frac{-14 \pm \sqrt{124}}{4}$
$=\frac{-14 \pm 2 \sqrt{31}}{4}$
$=\frac{-7 \pm \sqrt{31}}{2}$
अत: अभीष्ट मूल $\frac{-7 \pm \sqrt{31}}{2-}$ है
Question 4
$2 x^{2}-3 x+4=0$ के मूल सूत्र द्वारा ज्ञात कीजिए।
Sol :
समीकरण $2 x^{2}-3 x+4=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,
a=2 , b=-3 , c=4
सूत्र $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
$=\frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^{2}-4 \times 2 \times 4}}{2 \times 2}$
$=\frac{3 \pm \sqrt{9-32}}{4}$
$=\frac{3 \pm \sqrt{-23}}{4}$
x= वास्तविक मान नही है।
Question 5
$2 x^{2}-5 x-24=0$ के मूल सूत्र द्वारा ज्ञात कीजिए।
Sol :
समीकरण $2 x^{2}-5 x-24=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,
a=2 , b=-5 ,c=-24
सूत्र $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
$=\frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^{2}-4 \times 2 \times(-24)}}{2 \times 2}$
$=\frac{5 \pm \sqrt{25+192}}{4}$
$=\frac{5 \pm \sqrt{217}}{4}$
$x=\frac{5 \pm \sqrt{217}}{4}$
Question 6
$\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{3} x+1=0$ के मूलों के लक्षण ज्ञात कीजिए।
Sol :
समीकरण $\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{3} x+1=0$ तथा समीकरण' $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से
$a=\frac{1}{2}, b=\frac{1}{3}, c=1$
अब विविक्तकर,
$b^{2}-4 a c=\left(\frac{1}{3}\right)^{2}-4 \times \frac{1}{2} \times 1$
$=\frac{1}{9}-2=\frac{1-18}{9}$
$=-\frac{17}{9}$ (ऋणात्मक)
अतः मूल काल्पनिक होंगे।
Question 7
$3 x^{2}-4 \sqrt{3} x+4=0$ के मूलों के लक्षण ज्ञात कीजिए।
Sol :
दिया गया द्विधात समीकरण है :
$3 x^{2}-4 \sqrt{3} x+4=0$
इसकी तुलना $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर,
$a=3, b=-4 \sqrt{3}, c=4$
विविक्तंकर $(\mathrm{D})=b^{2}-4 a c$
$=(-4 \sqrt{3})^{2}-4 \times 3 \times 4$
D=0
अतः द्विघात समीकरण के दो बराबर वास्तविक मूल हैं।
$x=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 a}=\frac{4 \sqrt{3} \pm 0}{2 \times 3}$
$=\frac{4 \sqrt{3}+0}{2 \times 3}, \frac{4 \sqrt{3}-0}{2 \times 3}$
$=\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}$
अतः समीकरण के मूल $\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ हैं जो वास्तविक तथा समान हैं।
Question 8
$4 x^{2}+12 x+9=0$ के मूलों के लक्षण ज्ञात कीजिए।
Sol :
समीकरण $4 x^{2}+12 x+9=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,
a=4 , b=12 , c=9
तब $b^{2}-4 a c=(12)^{2}-4 \times 4 \times 9$
=144-144=0
अतः दिये समीकरण के मूल वास्तविक तथा समान होंगे।
Question 9
$7 x^{2}-3 x+2=0$ के मूलों के लक्षण ज्ञात कीजिए।
Sol :
समीकरण $7 x^{2}-3 x+2=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,
a=7 , b=-3 , c=2
$b^{2}-4 a c=(-3)^{2}-4 \times 7 \times 2$
=9-56
=-47 (ऋणात्मक मान)
अतः दिये समीकरण के मूल काल्पनिक होंगे।
Question 10
$2 x^{2}-3 x+5=0$ के मूलों के लक्षण ज्ञात कीजिए।
Sol :
दिया गया द्विघात समीकरण :
$2 x^{2}-3 x+5=0$
इसकी तुलना $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर,
a=2 , b=-3 तथा c=5
विविक्तकर (D) $=b^{2}-4 a c$
$=(-3)^{2}-4 \times 2 \times 5$
=9-40=-31
$\therefore-31<0$ है।
अतः इस समीकरण के कोई वास्तविक मूल नही हैं।
Question 11
$2 x^{2}-6 x+3=0$ के मूलों के लक्षण ज्ञात कीजिए।
Sol :
दिया गया द्विघात समीकरण है :
$2 x^{2}-6 x+3=0$
इसकी तुलना $a x^{2}+b x+c=0$ करने पर,
a=2 , b=-6 तथा c=3
विविक्तकर (D) $=b^{2}-4 a c$
$=(-6)^{2}-4 \times 2 \times 3$
=36-24=12
$\because 12>0$ है
अतः द्विधात समीकरण के मूल वास्तविक और असमान हें।
∴$x=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 a}=\frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \times 2}$
$=\frac{6+\sqrt{12}}{4}, \frac{6-\sqrt{12}}{4}$
$=\frac{6+2 \sqrt{3}}{4}, \frac{6-2 \sqrt{3}}{4}$
$=\frac{3+\sqrt{3}}{2}, \frac{3-\sqrt{3}}{2}$
अत: द्विधात समीकरण के मूल $\frac{3+\sqrt{3}}{2}$ तथा $\frac{3-\sqrt{3}}{2}$ हैं जो वास्तविक तथा असमान हैं।
Question 12
$4 x^{2}+3 x+7=0$ के मूलों के लकण जात कीजिए।
Sol :
समीकरण $4 x^{2}+3 x+7=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,
a=4 , b=3 , c=7
$b^{2}-4 a c=(3)^{2}-4 \times 4 \times 7$
=9-12=-103 (ऋणात्मक मान)
अत: दिये समीकरण के मूल काल्पनिक होंगे।
Question 13
यदि समीकरण $k x^{2}+(k-1) x-1=0$ के मूल समान हों, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
Sol :
समीकरण $k^{2}+(k-1) x-1=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,
a=k , b=(k-1) , c=-1
जब मूल बराबर होते हैं तब $b^{2}=4 a c$ होता है, तब
$(k-1)^{2}=4 \times k \times(-1)$
$k^{2}+1-2 k=-4 k$
$k^{2}+2 k+1=0$
$(k+1)^{2}=0$
k+1=0
k=-1
Question 14
यदि समीकरण $2 x^{2}+k x+3=0$ के मूल बराबर हों, तो k का मान ज्ञात कीलिए।
Sol :
दिया गया द्विधात समीकरण है :
$2 x^{2}+k x+3=0$
इसकी तुलना $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर,
a=2 , b=k तथा c=3
∵जब इसके मूल बराबर हों, तब
विविक्तकर (D) =0
अर्थात् $ b^{2}-4 a c=0$
$k^{2}-4 \times 2 \times 3=0$
$k^{2}-24=0$
$k^{2}=24$
$\therefore \quad k=\pm 2 \sqrt{6} .$
Question 15
$3 x^{2}-8 x+5=0$ का विविक्तकर ज्ञात कीजिए।
Sol :
समीकरण $3 x^{2}-8 x+5=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x^{\prime}+c=0$ की तुलना से,
a=3 , b=-8 , c=5
विविक्तकर $=b^{2}-4 a c$
$=(-8)^{2}-4 \times 3 \times 5$
=64-60=4
अतः विविक्तकर (D) =4.
Question 16
$3 x^{2}-7 x+5=0$ का विविक्तकर ज्ञात कीजिए।
Sol :
समीकरण $3 x^{2}-7 x+5=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,
a=3 , b=-7 , c=5
विविक्तंकर $(\mathrm{D})=b^{2}-4 a c$
$=(-7)^{2}-4 \times 3 \times 5$
=49-60=-11
अतः विविक्तकर (D)=-11
Question 17
$2 x^{2}-5 x+2=0$ का विविक्तकर ज्ञात कीजिए।
Sol :
समीकरण' $2 x^{2}-5 x+2=0$ तथा समीकरण' $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,
a=2 , b=-5 , c=2 तब
विविक्तकर (D) $=b^{2}-4 a c$
$=(-5)^{2}-4 \times 2 \times 2$
=25-16=9
अतः विविक्तकर (D)=9
Question 18
$3 x^{2}+2 x-1=0$ का विविक्तकर ज्ञात कीजिए।
Sol :
समीकरण $3 x^{2}+2 x-1=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,
a=3 , b=2 , c=-1 तब
विविक्तकर $(\mathrm{D})=b^{2}-4 a c$
$=(2)^{2}-4 \times 3 \times(-1)$
=4+12=16
विविक्तकर (D) = 16
Question 19
$3 x^{2}+5 x+2=0$ का विविक्तकर ज्ञात कीजिए।
Sol :
समीकरण $3 x^{2}+5 x+2=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,
a=3 , b=5 , c=2 तब
विविक्तकर (D) $=b^{2}-4 a c$
$=(5)^{2}-4 \times 3 \times 2$
=25-24=1
अतः विविक्तकर (D) =1
Question 20
यदि समीकरण kx(x-2)+6=0 के मूल बराबर हों, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
Sol :
दिया गया द्विघात समीकरण है :
kx(x-2)+6=0
$k x^{2}-2 k x+6=0$
इसकी तुलना $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर,
a=k , b=-2k , c=6
∵जब इसके मूल बराबर हों, तब
विविक्तकर (D) =0
अर्थात् $b^{2}-4 a c=0$
$(-2 k)^{2}-4 \times k \times 6=0$
$4 k^{2}-24 k=0$
k-6=0
∴k=6
Question 21
समीकरण $x^{2}-6 x+9=0$ के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए।
Sol :
समीकरण $x^{2}-6 x+9=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,
a=1 , b=-6 , c=9
तब $b^{2}-4 a c=(-6)^{2}-4 \times 1 \times 9$
=36-36=0
अतः दिये समीकरण के मूल वास्तविक तथा समान होंगे।
Question 22
यदि समीकरण $3 x^{2}-12 x+k=0$ के मूल बराबर हैं, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
Sol :
समीकरण $3 x^{2}-12 x+k=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,
a=3 , b=-12 , c=k
जब मूल बराबर होते हैं, तब
$b^{2}=4 a c$
$(-12)^{2}=4 \times 3 \times k$
144=12k
$k=\frac{144}{12}=12$
अतः k=12
Question 23
निम्नलिखित समीकरणों के मूल सूत्र द्वारा ज्ञात कीजिए :
(a) $9 x^{2}-10 x+2=0$.
Sol :
समीकरण $9 x^{2}-10 x+2=0$ तथा समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ की तुलना से,
a=9 , b=-10, c=2
सूत्र $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
$=\frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^{2}-4 \times 9 \times 2}}{2 \times 9}$
$=\frac{10 \pm \sqrt{100-72}}{18}$
$=\frac{10 \pm \sqrt{28}}{18}$
$=\frac{10 \pm 2 \sqrt{7}}{18}$
$=\frac{5 \pm \sqrt{7}}{9}$
(b) $\frac{x-1}{2}-\frac{2}{x}=x-\frac{3}{x}$.
Sol :
$\frac{x^{2}-x-4}{2 x}=\frac{x^{2}-3}{x}$
$\frac{x^{2}-x-4}{2}=\frac{x^{2}-3}{1}$
$x^{2}-x-4=2 x^{2}-6$
$x^{2}+x-2=0$
की $a x^{2}+b x+c=0$ से तुलना करने पर,
a=1 , b=1 , c=-2
सूत्र $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
$=\frac{-1 \pm \sqrt{1-4 \times 1 \times(-2)}}{2 \times 1}$
$=\frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{2}=\frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2}$
$=\frac{-1 \pm 3}{2}$
$x=\frac{-1+3}{2}=1$
और जब $x=\frac{-1-3}{2}=-2$
अतः x=1 , -2
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