प्रश्नाबलीं 14 (C)
प्रश्न 1.
निम्नलिखित बारम्बारता बंटन किसी मोहल्ले के 68 उपभोक्ताओं की बिजली की मासिक
खपत दर्शाता है। इन आँकड़ों के माध्यक और माध्य ज्ञात कीजिए।
| मासिक खपत (इकाइयों में) | उपभोक्ताओं की संख्या |
| 65-85 | 4 |
| 85-105 | 5 |
| 105-125 | 13 |
| 125-145 | 20 |
| 145-165 | 14 |
| 165-185 | 8 |
| 185-205 | 4 |
हल :
माध्यक के लिए सारणी :
| मासिक खपत (इकाइयों में) | उपभोंक्ताओं की संख्या (f) | संचयी बारम्बारता (c.f.) |
| 65-85 | 4 | 4 |
| 85-105 | 5 | 9 |
| 105-125 | 13 | 22(c.f.) |
| 125-145 | 20(f) | 42 |
| 145-165 | 14 | 56 |
| 165-185 | 8 | 64 |
| 185-205 | 4 | 68 |
| योग | 68 |
∴ यहाँ पदों का योग n=68 है अर्थात्
$\frac{n}{2}=\frac{68}{2}=34 $ वाँ पद
संचयी बारम्बारता में 34 वाँ पद या इससे अधिक या इसके निकटतम' वाला वर्ग लेते
हैं जो 125 - 145 वाला वर्ग है।
अतः माध्यक वर्ग 125-145 है।
$l=125, \frac{n}{2}=34, f=20, c f .=22 $
$h=145-125=20$
माध्यक =
$\begin{aligned}&=l+\left(\frac{\frac{n}{2}-c . f
.}{f}\right) \times h \\&=125+\left(\frac{34-22}{20}\right) \times
20\end{aligned}$
$\begin{aligned}&=125+\frac{12 \times 20}{20} \\&=125+12=137
.\end{aligned}$
| मासिक खपत (इकाइयों में) | उपभोक्ताओं की संख्या $(f_i)$ | मध्य बिन्दु $(x_i)$ | विचलन $d_i=x_i-A$ | पद विचलन $u_i=d_i/20$ | $f_i \times u_i$ |
| 65-85 | 4 | 75 | -60 | -3 | -12 |
| 85-105 | 5 | 95 | -40 | -2 | -10 |
| 105-125 | 13 | 115 | -20 | -1 | -13 |
| 125-145 | 20 | 135(A) | 0 | 0 | 0 |
| 145-165 | 14 | 155 | 20 | 1 | 14 |
| 165-185 | 8 | 175 | 40 | 2 | 16 |
| 185-205 | 4 | 195 | 60 | 3 | 12 |
| योग | 68 | 7 |
माध्य, $\begin{aligned} \bar{x} &=\mathrm{A}+\frac{\Sigma f_{i}
u_{i}}{\Sigma f_{i}} \times h \\ &=135+\frac{7}{68} \times 20 \\
&=135+\frac{140}{68} \\ &=135+2.06 \\ x &=137.06, \end{aligned}$
प्रश्न 2
निम्नलिखित बारम्बारता' बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए :
| वर्ग अन्तराल | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 |
| बारम्बरता | 8 | 9 | 11 | 6 | 3 |
हल :
| वर्ग अन्तराल | बारम्बारता | संचयी बारम्बारता |
| 0-10 | 8 | 8 |
| 10-20 | 9 | 17 |
| 20-30 | 11 | 28 |
| 30-40 | 6 | 34 |
| 40-50 | 3 | 37 |
$n=\frac{37}{2}=18.5, \mathrm{~L}_{1}=20, \mathrm{~L}_{2}=30, f=11,
\mathrm{~F}=17$
माध्यिका
$=\mathrm{L}_{1}+\frac{\mathrm{L}_{2}-\mathrm{L}_{1}}{f}\left(\frac{n}{2}-\mathrm{F}\right)$
$\begin{aligned}&=20+\frac{30-20}{11}(18.5-17) \\&=20+\frac{10}{11}
\times 1.5=20+\frac{15}{11} \\&=20+1.36=2136\end{aligned}$
माध्यिका =21.36
प्रश्न 3.
निम्नलिखित बारम्बारता बंटन की मध्यिका ज्ञात कीजिये :
| वर्ग अन्तराल | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 |
| बारम्बारता | 9 | 8 | 12 | 5 | 3 |
हल :
| वर्ग अन्तराल | बारम्बारता | संचयी बारम्बारता |
| 0-10 | 9 | 9 |
| 10-20 | 8 | 17 |
| 20-30 | 12 | 29 |
| 30-40 | 5 | 34 |
| 40-50 | 3 | 37 |
$=\frac{n}{2} =18.5, \mathrm{~F}=17, f=12, \mathrm{~L}_{1}=20, \mathrm{~L}_{2}=30 $
माध्यिका=
$\begin{aligned} &=\mathrm{L}_{1}+\frac{\mathrm{L}_{2}-\mathrm{L}_{1}\left(\frac{n}{2}-\mathrm{F}\right)}{f}
\\ &=20+\frac{30-20}{12}(18.5-17) \\ &=20+\frac{10}{12} \times 1.5
\\ &=2125. \end{aligned}$
मध्यिका =2125
उत्तर
प्रश्न 4.
निम्नलिखित सारणी से माध्यिका ज्ञात कीजिए :
| वर्ग अन्तराल | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 |
| बारम्बारता | 6 | 9 | 12 | 8 | 15 |
हल :
| वर्ग अन्तराल | बारम्बारता | संचयी बारम्बांरतं |
| 0-10 | 6 | 6 |
| 10-20 | 9 | 15 |
| 20-30 | 12 | 27 |
| 30-40 | 8 | 35 |
| 40-50 | 15 | 50 |
$\frac{n}{2}=\frac{50}{2} =25, \mathrm{~F}=15, f=12, \mathrm{~L}_{1}=20, \mathrm{~L}_{2}=30$
माध्यिका=
$\begin{aligned}&=\mathrm{L}_{1}+\frac{\mathrm{L}_{2}-\mathrm{L}_{1}\left(\frac{n}{2}-\mathrm{F}\right)}{f}
\\ &=20+\frac{30-20}{12}(25-15) \\ &=20+\frac{10}{12} \times 10 \\
&=20+\frac{25}{3} \\ &=20+8.33=28.33 . \end{aligned}$
माध्यिका=28.33
उत्तर
प्रश्न 5.
यदि नीचे दिए हुए बंटन का माध्यक 28.5 हो तो x और y के मान ज्ञात कीजिए :
| वर्ग-अन्तराल | बारम्बारता (f) |
| 0-10 | 5 |
| 10-20 | x |
| 20-30 | 20 |
| 30-40 | 15 |
| 40-50 | y |
| 50-60 | 5 |
| योग | 60 |
हल :
माध्यक हेतु सारणी
| वर्ग-अन्तराल | बारम्बारता (f) | संचयी बारम्बारता (c.f) |
| 0-10 | 5 | 5 |
| 10-20 | x | 5+x |
| 20-30 | 20 f | 25+x |
| 30-40 | 15 | 40+x |
| 40-50 | y | 40+x+y |
| 50-60 | 5 | 45+x+y |
| योग | n=60 |
दिया है,
n=60 अर्थात् $\frac{n}{2}=30$
अतः 45+x+y=60
∴x+y=60-45=15....(i)
मध्यक 28.5 है, जो वर्ग $20-30$ में स्थित है।
J=20, f=20, c . f=5+x, h=10
माध्यक=
$\begin{aligned} &=l+\left(\frac{\frac{n}{2}-c . f
.}{f}\right) \times h \\ 28.5 &=20+\left(\frac{30-5-x}{20}\right) \times
10 \\ 28.5-20 &=\frac{25-x}{2} \\ 8.5 &=\frac{25-x}{2} \\ 25-x
&=17 \\-x &=17-25 \\-x &=-8 \\ x &=8 \end{aligned}$
x का मान समीकरण (i) में रखने पर,
8+y=15
$\therefore=15-8=7$
अतः x=8 तथा y=7
प्रश्न 6.
नीचे दिया हुआ बंटन एक कक्षा के 30 विद्यार्थियों के भार दर्शा रहा है।
विद्यार्थियों का माध्यक भार ज्ञात कीजिए।
| भार (किग्रा में) | विद्यार्थियों की संख्या |
| 40-45 | 2 |
| 45-50 | 3 |
| 50-55 | 8 |
| 55-60 | 6 |
| 60-65 | 6 |
| 65-70 | 3 |
| 70-75 | 2 |
हल :
माध्यक भार हेतु सारणी
| भार (किग्रा में) | विद्यार्थियों की संख्या (बारम्बारता) | संचयी बारम्बारता |
| 40-45 | 2 | 2 |
| 45-50 | 3 | 5 |
| 50-55 | 8 | 13 (c.f) |
| 55-60 | 6(f) | 19 |
| 60-65 | 6 | 25 |
| 65-70 | 3 | 28 |
| 700-75 | 2 | 30 |
| योग | 30 |
$\because \frac{n}{2}=\frac{30}{2}=15$ वाँ पद, जो संचयी बारम्बारता में 19 के
समीप है। अतः माध्यक वर्ग 55-60 होगा।
$f =6, c . f=13, \frac{n}{2}=15$ , $ l_{1}=55, l_{2}=60$
$h=l_{2}-l_{1}=60-55=5$
माध्यक=
$\begin{aligned} &=l_{1}+\left(\frac{\frac{n}{2}-c . f .}{f}\right) \times h \\
&=55+\left(\frac{15-13}{6}\right) \times 5 \\ &=55+\frac{10}{6} \\
&=55+1.67=56.67 \end{aligned}$
अतः विद्यार्थियों का माध्यक भार 56.67 किग्रा होगा।
प्रश्न 7.
निम्नलिखित बंटन के लिए माध्यिका ज्ञात कीजिए :
| वर्ग | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 |
| बारम्बारता | 20 | 36 | 44 | 33 | 18 |
हल :
| वर्ग अन्तराल | बारम्बारता | संचयी बारम्बारतां |
| 0-10 | 20 | 20 |
| 10-20 | 36 | 56 |
| 20-30 | 44 | 100 |
| 30-40 | 33 | 133 |
| 40-50 | 18 | 151 |
$=\frac{n}{2}=\frac{151}{2} =75.5, \mathrm{~F}=56, f=44, \mathrm{~L}_{1}=20,\mathrm{~L}_{2}=30$
माध्यिका =
$\begin{aligned} &=\mathrm{L}_{1}+\frac{\mathrm{L}_{2}-\mathrm{L}_{1}}{f}\left(\frac{n}{2}\mathrm{F}\right)
\\&=20+\frac{30-20}{44}(75.5-56) \\&=20+\frac{10}{44} \times 19.5
\\&=20+4.43=24.43\end{aligned}$
माध्यिका =24.43
प्रश्न 8.
निम्न सारणी में कुछ व्यक्तियों का आयकर दिया गया है। उनकी माध्यिका ज्ञात कीजिए :
| आयकर (रुपयों में) | व्यक्तियों की संख्या |
| 10-25 | 6 |
| 25-40 | 20 |
| 40-55 | 44 |
| 55-70 | 26 |
| 70-85 | 3 |
| 85-100 | 1 |
हल :
| आयकर (रुपयों में) | छात्रों की संख्या | संचयी बारम्बारता |
| 10-25 | 6 | 6 |
| 25-40 | 20 | 26 |
| 40-55 | 44 | 70 |
| 55-70 | 26 | 96 |
| 70-85 | 3 | 99 |
| 85-100 | 1 | 100 |
$=\frac{n}{2}=\frac{100}{2} =50, \mathrm{~F}=26$ , $ f=44, \mathrm{~L}_{1}=40, \mathrm{~L}_{2}=55$
माध्यिका=
$\begin{aligned} &=\mathrm{L}_{1}+\frac{\mathrm{L}_{2}-\mathrm{L}_{1}}{f}\left(\frac{n}{2}-\mathrm{F}\right)
\\ &=40+\frac{55-40}{44}(50-26) \\ &=40+\frac{15}{44} \times 24
\end{aligned}$
$\begin{aligned}&=40+\frac{15}{11} \times 6 \\&=40+\frac{90}{11}
\\&=40+8.18 \\&=48.18 \end{aligned}$
माध्यिका =48.18
प्रश्न 9.
निम्न सारणी से माध्यिका ज्ञात कीजिए :
| वर्ग | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 |
| बारम्बारता | 2 | 4 | 7 | 3 | 2 |
हल :
| वर्ग अन्तराल | बारम्बारता | संचयी बारम्बारता |
| 0-10 | 2 | 2 |
| 10-20 | 4 | 6 |
| 20-30 | 7 | 13 |
| 30-40 | 3 | 16 |
| 40-50 | 2 | 18 |
$ =\frac{n}{2}=\frac{18}{2} =9, \mathrm{~F}=6, f=7 $ , $\mathrm{~L}_{1}=20, \mathrm{~L}_{2}=30 $
माध्यिका=
$\begin{aligned}&=\mathrm{L}_{1}+\frac{\mathrm{L}_{2}-\mathrm{L}_{1}}{f}\left(\frac{n}{2}-\mathrm{F}\right)
\\ &=20+\frac{30-20}{7}(9-6) \\ &=20+\frac{10}{7} \times 3 \\
&=20+\frac{30}{7} \\ &=20+4.3 \\ &=24.3 \\ \text { माध्यिका }
&=24.3 . \end{aligned}$
प्रश्न 10.
एक जीवन बीमा एजेंट 100 पॉलिसी धारकों की आयु के बंटन के निम्नलिखित' आँकड़े
प्राप्त करता है। माध्यक आयु परिकलित' कीजिए, यदि पॉलिसी केवल उन्हीं व्यक्तियों
को दी जानी है, जिनकी आयु 18 वर्ष या उससे अधिक हो, परन्तु 60 से कम हो।
| आयु (वर्षों में) | पालिसी धारकों की संख्या |
| 20 | 2 |
| 25 | 6 |
| 30 | 24 |
| 35 | 45 |
| 40 | 78 |
| 45 | 89 |
| 50 | 92 |
| 55 | 98 |
| 60 | 100 |
हल :
दी गयी सारणी में पॉलिसी धारकों की संख्या बढ़ते क्रम में हैं अर्थात् यह
संचयी बारम्बारता के रूप में है, अब हम सर्वप्रथम इसे बारम्बारता बंटन सारणी
में प्रस्तुत करेंगे।
| वर्ग-अन्तराल | बारम्बारता | संचयी बारम्बारता |
| 15-20 | 2 | 2 |
| 20-25 | 4 | 6 |
| 25-30 | 18 | 24 |
| 30-35 | 21 | 45 |
| 35-40 | 33 | 78 |
| 40-45 | 11 | 89 |
| 45-50 | 3 | 92 |
| 50-55 | 6 | 98 |
| 55-60 | 2 | 100 |
| योग | n=100 |
हम जानते हैं कि संचयी बारम्बारता के 50 वें पद का मान 78 के समीप है जो 35-40 के वर्ग में है।
$l =35, \frac{n}{2}=50, f=33, c . f=45 $
$h =l_{2}-l_{1}=40-35=5$
माध्यक =
$\begin{aligned} &=l+\left(\frac{\frac{n}{2}-c \cdot f}{f}\right) \\
&=35+\left(\frac{50-45}{33}\right) \times 5 \\
&=35+\frac{25}{33}=35+0.76=35.76 \end{aligned}$
अतः माध्यक आयु 35.76 वर्ष है।
प्रश्न 11.
निम्नलिखित बारम्बारता बंटन से माध्यिका की गणना कीजिए :
| वर्ग अन्तराल | 10-15 | 15-20 | 20-25 | 25-30 | 30-35 | 35-40 |
| बारम्बारता | 5 | 6 | 10 | 15 | 9 | 5 |
हल :
| वर्ग अन्तराल | बारम्बारता | संचयी बारम्बारता |
| 10-15 | 5 | 5 |
| 15-20 | 6 | 11 |
| 20-25 | 10 | 21 |
| 25-30 | 15 | 36 |
| 30-35 | 9 | 45 |
| 35-40 | 5 | 50 |
$\frac{n}{2}=\frac{50}{2} =25$ , $ L_{1}=25, L_{2}=30, \mathrm{~F}=21, f=15$
माध्यिका=
$\begin{aligned} &=L_{1}+\frac{L_{2}-L_{1}}{f}\left(\frac{n}{2}-\mathrm{F}\right) \\
&=25+\frac{30-25}{15}(25-21) \\ &=25+\frac{5}{15} \times
4=25+\frac{4}{3}=25+1.3 \\ &=26.3 . \end{aligned}$
प्रश्न 12.
एक पौधे की 40 पत्तियों की लम्बाइयाँ निकटतम मिलीमीटरों में मापी जाती है तथा
प्राप्त आँकडों को निम्नलिखित सारणी के रूप में निरूपित किया जाता है .
| लम्बाई (मिमी में) | पत्तियों की संख्या |
| 118-126 | 3 |
| 127-135 | 5 |
| 136-144 | 9 |
| 145-153 | 12 |
| 154-162 | 5 |
| 163-171 | 4 |
| 172-180 | 2 |
पत्तियों की माध्यक लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :
माध्यक ज्ञात करने के लिए आँकड़ों को सतत वर्ग-अन्तरालों में बदलना पड़ेगा
क्योंकि सूत्र में वर्ग-अन्तरालों को सतत माना गया है।
| वर्ग | पतियों की संख्या (बारम्बारता) | संचयी बारम्बारता |
| 117.5-126.5 | 3 | 3 |
| 126.5-135.5 | 5 | 8 |
| 135.5-144.5 | 9 | 17(c.f.) |
| 144.5-153.5 | 12(f) | 29 |
| 153.5-162.5 | 5 | 34 |
| 162.5-171.5 | 4 | 38 |
| 171.5-180.5 | 2 | 40 |
| योग | n=40 |
$\therefore \frac{n}{2}=\frac{40}{2}=20$ वाँ पद जो संचयी बारम्बारता में 29 के
समीप है अर्थात् माध्यक वर्ग $144.5^{\circ}-153.5$ है।
$\begin{aligned} f &=12, \frac{n}{2}=20, c f=17 \\ l_{1} &=144.5,
l_{2}=153.5 \\ h &=l_{2}-l_{1}=153.5-144.5=9 \\ \text { माध्यक }
&=l+\left(\frac{\frac{n}{2}-c . f .}{f}\right) \times h \\
&=144.5+\left(\frac{20-17}{12}\right) \times 9 \\ &=144.5+\frac{3
\times 9}{12} \\ &=144.5+2.25=146.75 \end{aligned}$
अतः माध्यक लम्बाई 146.75 मिमी होगी।
प्रश्न 13.
निम्नलिखित सारणी 400 नियॉन लैम्पों के जीवन कालों (Life Time) को प्रदर्शित करती है :
| जीवन काल (घप्टों में) | लैम्यों की संख्या |
| 1500-2000 | 14 |
| 2000-2500 | 56 |
| 2500-3000 | 60 |
| 3000-3500 | 86 |
| 3500-4000 | 74 |
| 4000-4500 | 62 |
| 4500-5000 | 48 |
एक लैम्प का माध्यक जीवन काल ज्ञात कीजिए।
हल :
माध्यक जीवन-काल हेतु सारणी
| जीवन काल (घष्टों में) | लैम्पों की संख्या | संचयी बारम्बारता |
| 1500-2000 | 14 | 14 |
| 2000-2500 | 56 | 70 |
| 2500-3000 | 60 | 13 |
| 3000-3500 | 86(f) | 216 (c.f.) |
| 3500-4000 | 74 | 290 |
| 4000-4500 | 62 | 352 |
| 4500-5000 | 48 | 400 |
| योग | n=400 |
$\because \frac{n}{2}=\frac{400}{2}=200$ वाँ पद, जो संचयी बारम्बारता के 216 के
समीप है। अतः माध्यक वर्ग 3000-3500 होगा।
$f =86, \frac{n}{2}=200, c . f=130, l=3000$
$h=l_{2}-l_{1}=3500-3000=500 $
माध्यक=
$\begin{aligned} &=l+\left(\frac{\frac{n}{2}-c . f .}{f}\right) \times h \\
&=3000+\left(\frac{200-130}{86}\right) \times 500 \\ &=3000+\frac{70
\times 500}{86} \\ &=3000+\frac{35000}{86} \\ &=3000+406.98=3406.98
\end{aligned}$
अतः लैम्प का माध्यक जीवन काल 3406.98 घण्टे है।
प्रश्न 14.
एक स्थानीय टेलीफोन निर्देशिका से 100 कुलनाम (Surnames) लिए गए और उनमें
प्रयुक्त अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों की संख्या का निम्नलिखित बारम्बारता बंटन
प्राप्त हुआ :
| अक्षरों की संख्या | कुल नामों की संख्या |
| 1-4 | 6 |
| 4-7 | 30 |
| 7-10 | 40 |
| 10-13 | 16 |
| 13-16 | 4 |
| 16-19 | 4 |
कुलनामों में माध्यक अक्षरों की संख्या ज्ञात कीजिए। कुलनामंं में माध्य
अक्षरों की संख्या भी ज्ञात कीजिए।
हल :
माध्यक तथा बहुलक हेतु सारणी
| अक्षरों की संख्या (वर्ग) | कुलनामों की संख्या (बारम्बारता) | संचयी बारम्बारता |
| 1-4 | 6 | 6 |
| 4-7 | 30 | 36(c.f.) |
| 7-10 | 40(f) | 76 |
| 10-13 | 16 | 92 |
| 13-16 | 4 | 96 |
| 16-19 | 4 | 100 |
| योग | n=100 |
$\because \frac{n}{2}=\frac{100}{2}=50$ वाँ पद, जो संचयी बारम्बारता में 76
के समीप है। अतः माध्यक वर्ग 7-10 होगा।
$f=40, c f_{1}=36, \frac{n}{2}=50, l=7 $
$h=l_{2}-l_{1}=10-7=3$
माध्यक =
$\therefore \begin{aligned} &=l+\left(\frac{\frac{n}{2}-c . f .}{f}\right) \times h
\\&=7+\left(\frac{50-36}{40}\right) \times 3 \\&=7+\frac{42}{40}=7+1.05\end{aligned}$
माध्यक =8.05
| अक्षरों की संख्या | कुलनामों की संख्या $(f_i)$ | मध्य बिन्दु $x_i$ | $f_i \times x_i$ |
| 1-4 | 6 | 2.5 | 15 |
| 4-7 | 30 | 5.5 | 165 |
| 7-10 | 40 | 8.5 | 340 |
| 10-13 | 16 | 11.5 | 184 |
| 13-16 | 4 | 14.5 | 58 |
| 16-19 | 4 | 17.5 | 70 |
| योग | 100 | 832 |
$\begin{aligned} x &=\frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}} \\
&=\frac{832}{100}=8.32 . \end{aligned}$
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