प्रश्नावली 15 (A)
प्रश्न 1
किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ हो, तो उसके घटित न होने की प्रायिकता बताइए।
हल :
∵$P(E)+P(\bar{E})=1$
$\therefore$ घटित न होने की प्रायिकता
$\begin{aligned}\mathrm{P}(\overline{\mathrm{E}}) &=1-\mathrm{P}(\mathrm{E}) \\&=1-\frac{1}{2} \\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$ उत्तर
प्रश्न 2.
बारह टिकटों पर एक-एक संख्या 1 से 12 तक लिखी हुई हैं। यदि उनमें से कोई एक टिकट उठा लिया जाय, तो उस पर लिखी हुई संख्या के 2 अथवा 3 के गुणक होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिये।.
हल :
1 से 12 तक की संख्याओं में 2 अथवा 3 के गुणक $2,3,4,6,8,9,10,12$ हैं। चूँकि समप्रायिक 12 स्थितियों में से 8 पक्ष में हैं, अतः S(P)=12, S(E)=8
अभीष्ट प्रायिकता$=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$उत्तर
प्रश्न 3.
यदि P(E)=0.05 है; तो ' E नही' की प्रायिकता क्या है?
हल :
दिया है :
P(E-नहीं) अर्थात्
$\begin{aligned}P(E) &=0.05 \\P(E) &=1-P(E)^{\prime} \\&=1-0.05 \\&=0.95\end{aligned}$उत्तर
प्रश्न 4.
एक कक्षा में 20 विदार्थी हैं जिनमें 8 लड़के और शेष लड़कियाँ हैं। यदि उस कक्षा से एक विद्यार्थी चुनना है, तो लड़की के चुने जाने की प्रायिकता क्या होगी?
हल :
कक्षा में कुल विद्यार्थी =20
कक्षा में कुल लड़के =8
कक्षा में कुल लड़कियाँ =20-8=12
जब कक्षा में एक विद्यार्थी चुनना है तो लड़की के चुने जाने की प्रायिकता $=\frac{12}{20}$.
$=\frac{3}{5}$ उत्तर
प्रश्न 5.
एक पिग्री बैंक (piggy bank) में, 50 पैसे के सौ सिक्के है, ₹ 1 के पचास सिक्के हैं, ₹ 2 के बीस सिक्के और ₹ 5 के दस सिक्के हैं। यदि पिग्री बैंक को हिलाकर उत्टा करने पर कोई एक सिक्का गिरने के परिणाम समप्रायिक है, तो इसकी क्या प्रायिकता' है कि वह गिरा हुआ सिक्का (i) 50 पैसे का होगा? (ii) ₹ 5 का नहीं होगा?
हल :
पिग्गी-बैंक में कुल सिक्कों की संख्या
=100+50+20+10=180
$\therefore$ पिग्गी बेंक से सिक्का निकलने की घटना के परिणामों की संख्या $=180$
(i) $\because$
50 पैसे के सिक्कों की संख्या =100
अर्थात् अनुकूल परिणामों की संख्या =100
अतः $\mathrm{P}(50$ पैसे के सिक्का होना $)=\frac{100}{180}=\frac{5}{9}$ उत्तर
(ii) : : 5 ₹ के सिक्कों की संख्या $=10$
$\therefore ₹ 5$ के सिक्कों के न होने की संख्या $=180-10=170$
$\therefore$ पिग्री बैंक से गिरने वाले सिक्कों का ' 5 ₹ का सिक्का नहीं' होने की घटना के परिणामों की संख्या $=170$ अतः
$P(5$ ₹ का सिक्का नहीं) $)=\frac{170}{180}=\frac{17}{18}$; उत्तर
प्रश्न 6.
यदि एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हों, तो एक लाल गेंद निकालने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
$\therefore \quad$ थैले में कुल $\tau_{6}$ $\therefore \quad$ गेंद होने की प्रायिकता $=\frac{3}{8}$. उत्तर
प्रश्न 7.
किसी ऐसे वर्ष में जो लीप वर्ष न हो 53 रविवार होने की प्रायिकता क्या है?
हल :
ऐसा वर्ष जो कि लीप वर्ष न हो उसमैं 365 दिन अर्थात् 52 पूर्ण सप्ताह और 1 दिन होते है। यह एक दिन हो सकता है-
(a) रविवार
(b) सोमवार
(c) मंगलवार
(d) बुधवार
(e) बृब्स्पतिवार
(f) जुक्रवार
(g) शनिवार
∴रविवार होने की प्रायिकता $=\frac{1}{7}$. उत्तर
प्रश्न 8.
गोपी अपने जल-जीव कुंड (aquarium) के लिए एक दुकान से मछली खरीदती है। दुकानदार एक टंकी, जिसमें 5 नर मछली और 8 मादा मछली हैं, में से एक मछली यादृच्छात उसे देने के लिए निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाली गई मछली नर मछली है?
हल :
मछलियों की कुल संख्या= नर मबलियों की संख्या + मादा मछलियों की संख्या
सम्भव परिणामों की संख्या =13
चूँकि नर मधलियों की संख्या =5
अनुकूल परिणामों की संख्या =5
∴ P(नर मछली का निकलना)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सम्भन् परि्ण्मामों की संख्या $=\frac{5}{13}$
उत्तर
प्रश्न 9.
पाँसे के एक बार फेंकने में ऊपर 5 बिन्दु आने की प्रायिकता लिखिए।
हल :
कुल परिस्थितियाँ =6
अनुकूल परिस्थितियाँ =1
∴5 बिन्दु ऊपर आने की प्रायिकता $=\frac{1}{6}$. उत्तर
प्रश्न 10.
एक घटना के अनुकूल संयोगानुपात 3: 5 हो, तो उसके घटने की प्रायिकता' बताओ।
हल :
प्रायिकता $-\frac{3}{3+5}=\frac{3}{8}$. उत्तर
प्रश्न 11.
एक थैले में 5 लाल गेंद और कुछ नीली गेदें हैं यदि इस थैले में से नीली गेंद निकालने की प्रायिकता लाल गेंद निकालने की प्रायिकता की दुगुनी है, तो थैले में नीली गेंदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए थैले में नीली गेदों की संख्या x है।
$\therefore$ सभी सम्भव परिणामों की संख्या = लाल गेंदों की संख्या + नीली गेंदों की संख्या =5+x
यदि घटना "थैले में से नीली गेंद निकालना" को $E$ से व्यक्त करें, तो E के अनुकूल परिणामों की संख्या =x
∴ P(E)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भव परिणामों की संख्या$=\frac{x}{x+5}$
पुनः, यदि घटना "थैले में से लाल गेंद निकालना" को F से व्यक्त करें, तो F के अनुकूल परिणामों की संख्या =5
∴P(F)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भव परिणामों की संख्या$=\frac{5}{x+5}$
∵ P(E)=2P(F)
या $\frac{x}{x+5}=2\left[\frac{5}{x+5}\right]$
$\begin{aligned}\frac{x}{x+5} &=\frac{10}{x+5} \\x &=10\end{aligned}$
नीली गेदों की संख्या =10.
प्रश्न 12.
संयोग (chance) के एक खेल में, एक तीर को घुमाया जाता है, जो विश्राम में आने के बाद संख्याओं $1,2,3,4,5,6,7$ और 8 में से किसी एक संख्या को इंगित करता है। (देखिए आकृति) यदि ये सभी परिणाम समझायिक हों तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह तीर इंगित
(i) 8 को करेगा?
(ii) एक विषम संख्या को करेगा?
(iii) 2 से बड़ी संख्या को करेगा?
(iv) 9 से छोटी संख्या को करेगा?
हल :
चूँकि विश्राम में आने पर तीर 1 से 8 तक की किसी भी संख्या को इंगित करता है।
$\therefore$ सम्भव परिणामों की कुल संख्या =8
(i) चूँकि चक्र पर 8 का एक अंक है।
$\therefore$ तीर द्वारा अंक 8 को इंगित करने की घटना के परिणामों की संख्या $=1$
अर्थात्अ नुकूल परिणामों की संख्या =1
∴P (8 की ओर तीर इंगित होना ) = अनुकूल परिणामों की संख्या / सम्भव पर्ण्णम्मों की संख्या$=\frac{1}{8}$ उत्तर
(ii) चक्र पर कुल विषम संख्याएँ 1,3,5 और 7
∴ विषम संख्याओं की कुल संख्या =4
अर्थात् अनुकूल परिणामों की संख्या =4
∴ P (विषम संख्या की ओर तीर इंगित होना ) = अनुकूल परिणामों कीसंख्या / सम्भव परिणामों की संख्या
$=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$उत्तर
(iii) चक्र पर 2 से बड़ी संख्याएँ =3,4,5,6,7 और 8 .
∴ 2 से बड़ी संख्याओं की कुल संख्या =6
अनुकूल परिणामों की संख्या =6
∴ P (2 से बड़ी संख्या की ओर तीर इंगित होना ) = अनुकूल परिणामों की संख्या / सम्भव परिणामों की संख्या
$=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$ उत्तर
(iv) चक्र पर 9 से छोटी संख्याएँ =1,2,3,4,5,6,7 और 8 हैं।
अर्थात् अनुकूल परिणामों की संख्या =8
∴ P (9 से छोटी संख्या की ओर तीर इंगित होना ) = अनुकूल परिणामों की संख्या / सम्भव परिभामों की संख्या
$=\frac{8}{8}=1$ उत्तर
प्रश्न 13.
एक थैले में केवल नीबू की महक वाली मीठी गोलियाँ हैं। मालिनी बिना थैले में झाँके उसमें से एक गोली निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह निकाली गई गोली
(i) संतरे की महक वाली है?
(ii) नीदू की महक वाली है?
हल :
(i) थैले में सभी दी गई गोलियाँ नींबू की महक वाली हैं अर्थात् इसमें से एक संतरे की महक वाली गोली निकालना एक असम्भव घटना है।
P (सन्तरे की महक वाली गोली) = 0 उत्तर
(ii) प्रश्नानुसार थैले में सभी गोलियाँ नींबू की महक वाली हैं
∴ अतः इसमें से एक नीबू की महक वाली गोली निकालना एक निश्चित घटना है।
∴ P (सन्तरे की महक वाली गोली) =1. उत्तर
प्रश्न 14.
एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद (i) लाल हो? (ii) लाल नहीं हो?
हल :
$\because$ थैले में कुल गेंदों की संख्या =3+5=8
अतः थैले में से 8 प्रकार से गेंदों को निकाला जा सकता है।
(i) चूँकि लाल गेंदों की संख्या =3
अनुकूल परिणामों की संख्या =3
संभव परिणामों की संख्या =3
∴ P( लाल गेंद निकालना ) = अनुकूल परिणामों की संख्या / सम्भव परिणामों की संख्या $=\frac{3}{8}$. उत्तर
(ii) ∵ P(लाल गेंद निकालना)+ P(लाल गेंद नहीं निकालना) = 1
∴ $ \frac{3}{8}+$P ( लाल गेंद नहीं निकालना )=1
या P (लाल गेंद नहीं निकालना) $=\frac{5}{8}$उत्तर
प्रश्न 15.
यह दिया हुआ है कि 3 विद्यार्थियों के एक समूह में से 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन' एक ही दिन न होने की प्रायिकता $0.992$ है। इसकी क्या प्रायिकता है कि इन 2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन हो ?
हल :
मान लीजिए 2 विद्यार्थियों का एक ही दिन जन्मदिन होने की घटना $\mathrm{E}$ है। नहीं होने की घटना $\overline{\mathrm{E}}$ हो, तब
$P(E)+P(\bar{E})=1$
दिया है :
$\begin{array}{lr}\therefore & \mathrm{P}(\mathrm{E})+0.992=1 \\\Rightarrow & \mathrm{P}(\mathrm{E})=1-0.992=0.008 .\end{array}$$\mathrm{P}(\overline{\mathrm{E}})=0.992$
अतः 2 विद्यार्थियों का एक ही दिन जन्मदिन होने की घटना की प्रायकिता $0.008$ है।उत्तर
प्रश्न 16.
एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं। इस डिब्बे में से एक कंचा यादृच्छया। निकालग जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाला गया कंचा
(i) लाल है?
(ii) सफेद है?
(iii) हरा नहीं है?
हल :
डिब्बे में कुल कंचों की संख्या =5+8+4=17 कंचे
$\Rightarrow$ डिब्बे में से एक कंचा निकालनें की घटना के सम्भव परिणामों की संख्या $=17$
(i) लाल कंचों की संख्या =5
⇒ अनुकूल परिणा'मों' की संख्या =5
∴ P(लाल गेंद)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सम्भव परिणामों की संख्या $=\frac{5}{17}$.
(ii) सफेद गेंदों की संख्या =8
अर्थात्अ नुकूल परिणामों' की संख्या =8
∴ P(सफेद गेंद)= अनुकूल परिणामों की संख्या $=\frac{8}{17}$. उत्तर
(iii) ∵ डिब्बे में हरी गेंदों की संख्या =4
∴ डिब्बे में 'हरी गेंद नहीं' की संख्या =17-4=13
अर्थात् अनुकूल परिणाभों की संख्या =13
∴ P(हरा गेंद नहीं निकालना) =अनुकूल परिणामों की संख्या / सम्भव प्रिथामों की संख्या $=\frac{13}{17}$
उत्तर
प्रश्न 17.
एक पासे को एक बार फेंका जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकतरं ज्ञात कीजिए :
(i) एक अभाज्य संख्या
(ii) 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या
(iii) एक विषम संख्या
हल :
एक पासे पर छः संख्याएँ [1,2,3,4,5 और 6] होती हैं।
∴ कुल सम्भावित परिणामों की संख्या, n(S)=6
(i) एक पासे पर अभाज्य संख्याएँ 2,3 और 5 है।
∴ माना कि घटना $\mathrm{E}^{\prime \prime}$ एक अभाज्य संख्या प्राप्त करना है।"
- अर्थात् $\mathrm{E}$ के अनुकूल परिणामों की संख्या, n(E)=3
∴ P(E)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सम्भव परिणामों की संख्या$=\frac{n(\mathrm{E})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} . \quad \text { उत्तर }$
(ii) माना घटना E, पासे पर 2 और 6 के बीच की कोई संख्या प्राप्त करना है।
$\therefore 2$ और 6 के बीच की संख्या 3,4 और 5 हैं।.
$\therefore \mathrm{E}_{1}$ के अनुकूल परिणामों की संख्या =3
P ($E_1$)= अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भव परिणामों की संख्या$=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ . उत्तर
(iii) माना घटना $\mathrm{E}_{2}$ "पासे पर एक विषम संख्या प्राप्त करना है।"
अतः पासे पर विक्ष्स संख्याएँ 1,3 और 5 है।
$\therefore \mathrm{E}_{2}$ के अनुकूल परिधामों की संख्या =3
∴ P($E_2$)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भवपरिधामें की संख्या$=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ उत्तर
प्रश्न 18.
किसी कारण 12 खराब पेन 132 अच्छे पेनों में मिल गए हैं। केवल देखकर यह नहीं बताया जा सकता कि कोई पेन खराब है या अच्छा है। इस मिश्रण में से, एक पेन यादृच्छया निकाला जाता है। निकाले गए पेन की अच्छा होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
कुल पेनों की संख्या=132+12=144
अतः एक अच्छा पेन निकाले जाने के 144 परिणाम हो सकते हैं।
∴ सम्भावित परिणामों की संख्या =144
माना घटना E "एक अच्छे पेन का निकलना" है
और अच्छे पेनों की संख्या =132
∴ E के अनुकूल परिणामों की संख्या =132
अतः P(E)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भव परिणामों की संख्या$=\frac{132}{144}=\frac{11}{12}$.
प्रश्न 19.
एक बच्चे के पास ऐसा पासा है जिसके फलकों पर निम्नलिखित अक्षर अंकित हैं ;
A $\quad$ B $\quad$ C $\quad$ D $\quad$ A
इस पासे को एक बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) $\mathrm{A}$ प्राप्त हो?
(ii) $\mathrm{D}$ प्राप्त हो?
हल :
चूँकि पासे के 6 फलकों पर अंकित अक्षर इस प्रकार हैं :
A B C D E A.
$\therefore$ फेंके जाने पर एक अक्षर छः प्रकार से प्राप्त होता है।
अर्थात् सम्भव परिणामों की कुल संख्या =6
(i) यहाँ दो फलकों पर अक्षर A अंकित है।
∴ अभव A दो प्रकार से प्राप्त हो सकता है।
अर्थात् अनुकूल परिणोंमों की संख्या =2
माना घट़ना E "अक्षर A का प्राप्त होता" है,
P(E) = अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भव परिणाभों की संख्या $=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
(ii) चूँकि केवल एक फलक पर अक्षर D अंकित है
अर्थात् अनुकूल परिणामों की संख्या =1
माना घटना $\mathrm{E}^{\text {' }}$ अक्षर $\mathrm{D}$ वाला प्राप्त हो" है,
P(E)=अनुकूल' परिणामों की संख्या / सभी सम्भव परिणासों कीसंख्या$=\frac{1}{6}$उत्तर
प्रश्न 20.
52 पत्तों की अच्छी प्रकार से फेंटी गई एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए :
(i) लाल रंग का बादशाह
(ii) एक फेस कार्ड अर्थात् तस्वीर वाला पत्ता
(iii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता
(iv) पान का गुलाम
(v) हुकुम का पत्ता
(vi) एक इंट की बेगम
हल :
हम जानते हैं कि तास की एक गड्डी में 52 पत्ते होते हैं
∴ एक पत्ता 52 तरीकों से निकाला जा सकता है।
अर्थात् प्रत्येक अवस्था में सभी सम्भव परिणामों की संख्या =52
(i) माना घट्ना E " "लाल रंग का बादशाह प्राप्त करना है चूँकि एक गड्डी में लाल रंग के 2 बादशाहं अर्थात् 1 पान का और 1 ईंट का है।
अनुकूल परिणामों की संख्या =2
P(E)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भव परिणामों की संख्या$=\frac{2}{52}=\frac{1}{26}$
(ii) माना घटना $\mathrm{E}_{1}$ "एक फेस कार्ड प्राप्त करना है।" चूँकि एक गड्डी में 12 फेस कार्ड होते हैं। अर्थात् अनुकूल परिणामों की संख्या =12
अतः P($E_1$) = अनुकूल परिणामों' की संख्या / सभी सम्भवपरिणामों की संख्या$=\frac{12}{52}=\frac{3}{13}$उत्तर
(iii) माना घटना $\mathrm{E}_{2}$ "लाल रंग की तस्वीर वाला पता" प्राप्त करना है।
चूँकि एक रंग में 3 पत्ते तस्वीर वाले (बादशाए, बेगम, गुलाम) होते हैं और ईंट तथा पान के पत्ते लाल रंग के होते है।
∴ तस्वीर वाले लाल रंग के कुल पत्ते $=2 \times 3=6$
∴ अनुकूल परिणामों की संख्या =6
अतः P($E_2$)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भवपरिणामों की संख्या$=\frac{6}{52}=\frac{3}{26} $
उतर
(iv) माना घटना $\mathrm{E}_{3}$ "पान का गुलाम" प्राप्त करना है। चूँकि पान का केवल एक ही गुलाम होता है। $\therefore$ अनुकूल परिणामों की संख्या =1
अतः P($E_3$)= अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भवपरिणामों की संख्या$=\frac{1}{52} \text {. }$उत्तर
(v) माना घटना $\mathrm{E}_{4}$ " " हुकुम का पत्ता" प्राप्त करना है। चूँकि गड्डी में हुकुम के 13 पत्ते होते हैं।
∴ अनुकूल परिणामों की संख्या =13
अतः P($E_4$)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भवपरिणामों की संख्या$=\frac{13}{52}=\frac{1}{4} $ उत्तर
(vi) माना घटना $\mathrm{E}_{5}$ "एक इंट की बेगम" प्राप्त करना है। चूँकि तास की गड्डी में ईैंट की बेगम एक होती है। $\therefore$ अनुकूल परिणामों की संख्या $=1^{\circ}$
अतः P($E_5$)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भव परिणामों की संख्या$=\frac{1}{52} $ उत्तर
प्रश्न 21.
ताश के पाँच पत्तों-ईंट का दहला, गुलाम, वेगम, बादशाह और इक्का-को पलट करके अच्छी प्रकार फेटा जाता है। फिर इनमें से यादृच्छाया एक पत्ता निकाला जाता है।
(i) इसकी क्या प्रायिकता है कि यह पत्ता एक बेगम है ?
(ii) यदि बेगम निकल आती है, तो उसे अलग रख विया जाता है और एक अन्य पत्त्रा निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा निकाला गया पत्ता (a) एक इक्का है? (b) एक बेगम है?
हल :
चूँकि कुल पत्ते (दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह' और इक्का) पाँच हैं।
(i) ∴ माना घटना $\mathrm{E}$ " "निकाला गया पता एक बेगम है" को प्रदर्शित करता है
∴ कुल परिणामों की संख्या =5
चूँकि इन पत्तों में केवल एक ही बेगम है।
∴ अनुकूल परिणामों की संख्या =1
अतः P(E)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भव परिणामों की संख्या$=\frac{1}{5} .$ उत्तर
(ii) चूँकि बेगम के पत्ते को निकालकर एक ओर रखने पर, हमारे पास केवल चार पत्ते बचते हैं।
$\therefore$ सभी संभव परिणामों की संख्या =4
(a) चूँकि चार पत्तों में केवल 1 इक्का है।
∴ घटना E " "निकाला गया पत्ता एक इकका है" के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या $=1$
अतः P(E)=अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल परिणामों की संख्या $=\frac{1}{4}$
(b) घटना $\mathrm{E}_{y}$ " निकाला गया पत्ता बेगम है" को दर्शाता है।
अतः $\mathrm{P}(\mathrm{E})=\frac{0}{4}=0$उतर
प्रश्न 22.
एक पेटी में 90 डिस्क (dises) हैं, जिन पर 1 से 90 तक संख्याएँ अकित हैं। यदि इस पेटी में से एक डिस्क यादृच्छया निकाली' जाती है तो इसकी ड्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी; (i) दो अंकों की एक संख्या (ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या (iii) 5 से विभाज्य एक संख्या।
हल :
पेटी में कुल डिस्कों की संख्या $=90$
एक डिस्क निकालेे' के 90 सम्भव परिणाम' हो सकते हैं।
(i) चूँकि प्रत्येक डिस्क पर एक अंक ( 1 से 90 तक) अंकित हैं।
∴ ऐसी डिस्को की संख्या जिन पर 2 अंकों वाली संख्या अंकित हैं
=90 - (1 अंक वाली संख्याएँ)
=90-9=81
मान लीजिए घटना E "निकाली गई डिस्क पर दो अंकों वाली संख्या का अंकित होना" है।
P(E)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भव परिणामों की संख्या$=\frac{81}{90}=\frac{9}{10}$ उत्तर
(ii) चूँकि 1 से 90 तक की संख्याओं में ' 9 ' पूर्ण वर्ग अर्थात् 1,4,9,16,25,36,49,64 और 81 हैं।
∴ अनुकूल परिणामों की संख्या =9
माना घटना E, 'निकाली गई डिस्क पर एक पूर्ण वर्ग संख्या अंकित होना' है।
P(E)=अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल परिणामों की संख्या $=\frac{1}{4}$.
(ii) चूँकि 1 से 90 तक की संख्याओं में 5 से विभाज्य संख्याएँ : 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85 और 90 है।
∴अनुकूल परिणामों की संख्या =18
माना घटना E, 'निकाली गई डिस्क पर एक अंकित संख्या 5 से विभाज्य" है।
∴ P(E)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भव परिणामों कीसंख्या$=\frac{18}{90}=\frac{1}{5} $ उत्तर
प्रश्न 23.
20 बल्बों के एक समूह में 4 बल्ब खराब है। इस समूह में से एक बल्ब 'यादृच्छया' निकाला' जाता है। इसकी क्या प्रायकिता' है कि यह बल्ब खराब होगा?
हल :
दिए गए कुल बल्बों की संख्या =20
अर्थात् सम्भावित परिणामों की संख्या =20
तथा खराब बल्बों की संख्या =4
अर्थात् अनुकूल परिणामों' की संख्या =4
माना घटना E " "निकाला गया बल्ब का खराब होना" है।
P(E)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सम्भावित परि्पामों की संख्या$=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$.
प्रश्न 24.
144 बॉल पेनों के एक समूह में 20 बॉल पेन खराब हैं और शेष अच्छे हैं। आप वही पेन खरीदना' चाहेंगे जो अच्छा हो, परन्तु खूराब पेन अप खरीदना हहीं चाहेंगे। दुकानदार इन पेनों में से, यादृच्छया एक पेन निकालकर आपको देता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) आप वह पेन खरीदेंगे?
(ii) आप वह पेन नहीं खरीदेगे?
हल :
दिए गए पेनों की कुल संख्या =144
1 पेन निकालने के सम्भावित परिणामों की संख्या =144
(i) खराब पेनों की कुल संख्या =20
अनुकूल परिणामों की संख्या =124
माना घटना E, "अच्छा पेन खरीदनT" है
∴ P(E)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भव परिणामों कीसंख्या$=\frac{124}{144}=\frac{31}{36}$
(ii) माना घटना $\overline{\mathrm{E}}$ " "एक अच्छा पेन नहीं खरीदना" है
$\therefore\begin{aligned}\mathrm{P}(\overline{\mathrm{E}}) &=1-\mathrm{P}(\mathrm{E})=1-\frac{31}{36} \\&=\frac{36-31}{36}=\frac{5}{36}\end{aligned}$
प्रश्न 25.
एक पासे को दो बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) 5 किसी भी बार में नहीं आएगा?
(ii) 5 कम से कम एक बार आएगा?
हल :
संकेत : एक पासे को दो बार फेंकना और दो पासों को एक साथ फेंकना एक ही प्रयोग मानों जाता है। हल : हम जानते हैं कि एक पासे को दो बार फेंकना या दो पासों को एक साथ फेंकना एक ही घटना है। $\therefore$ सभी सम्भव परिणाम इस प्रकार हैं :
$\begin{aligned}&(1,1) ;(1,2) ;(1,3) ;(1,4) ;(1,5) ;(1,6) \\&(2,1) ;(2,2) ;(2,3) ;(2,4) ;(2,5) ;(2,6) \\&(3,1) ;(3,2) ;(3,3) ;(3,4) ;(3,5) ;(3,6) \\&(4,1) ;(4,2) ;(4,3) ;(4,4) ;(4,5) ;(4,6) \\&(5,1) ;(5,2) ;(5,3) ;(5,4) ;(5,5) ;(5,6) \\&(6,1) ;(6,2) ;(6,3) ;(6,4) ;(6,5) ;(6,6)\end{aligned}$
∴ सभी सम्भव परिणामों की संख्या $=36$
(i) माना घटना " 5 किसी भी बार में.नहीं आयेगा" को $\mathrm{E}$ से व्यक्त करें, तो $\mathrm{E}$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $=36-[6+6-1]=25$
∴ P(E)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भव परिणामों की संख्या
$=\frac{25}{36}$ उत्तर
(ii) माना घटना " 5 कम से कम एक बार आयेगा" को F से व्यक्त करें, तो F के अनुकूल परिणामों की संख्या =6+6-1=11
∴ P(F)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भव परिणामों कीसंख्या$=\frac{11}{36}$ उत्तर
प्रश्न 26.
दो पासों को एक साथ फेंका जाता है। सभी सम्भावित परिणामों को निम्नलिखित सारणी द्वारा पूर्ण कीजिए :
| दोनों पासों की संख्याओं का योग | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| प्रायिकता | $\frac{1}{36}$ | $\frac{5}{36}$ | $\frac{1}{36}$ |
हल :
$\frac{3}{36}=\frac{1}{12}, \frac{4}{36}=\frac{1}{9}, \frac{5}{36}, \frac{6}{36}=\frac{1}{6}, \frac{7}{36}, \frac{9}{36}=\frac{1}{4}, \frac{10}{36}-\frac{5}{18}, \frac{11}{36}$
प्रश्न 27.
एक खेल में एक रुपए के सिक्के को तीन बार उछाला जाता है और प्रत्येक बार का परिणाम लिख लिया जाता है। तीनों परिणाम समान होने पर, अर्यात् तीन चित या तीन पट प्राप्त होने पर, हनीफ खेल में जीत जाएगा, अन्यथा वह हार जाएगा। हनीफ के खेल में हार जाने की प्रायिकता परिकलित कीजिए।
हल :
एक सिक्के को उछालने पर, माना चित प्राप्त होने की घटना $\mathrm{H}$ और पट प्राप्त होने की घटना $\mathrm{T}$ है। $\therefore$ एक सिक्के को तीन बार उछालने पर हमें निम्नांकित परिणाम प्राप्त हो सकते हैं :
$\mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}$
TTH, THT, HTT और TTT
अर्थात् सभी सम्भव परिणामों की संख्या =8
यदि इस घटना को E से व्यक्त करें, तो E के अनुकूल परिणाम' हैं :
HHT, HTH, THT, THH, TTH, HंTT
$\because$ चूँकि तीनों चित या तीनों पट अर्थात् TTT या HHH प्राप्त होने पर वह जीतता है
$\therefore$ शेष परिणाम हारने के अनुकूल हैं।
$\therefore \mathrm{E}$ के अनुकूल परिणामों की संख्या =6
∴ P(E)= अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भव परिणामों कीसंख्या $=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$
प्रश्न 28.
निम्नलिखित' में से कौन से तर्क सत्य हैं और कौन से तर्क असत्य हैं ? सकारण उत्तर दीजिए।
(i) यदि दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है, तो इसके तीन सम्भावित परिणाम-दो चित, दो पट या प्रत्येक एक बार हैं। अतः, इनमें से प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता $\frac{1}{3}$ है।
(ii) यदि एक पासे को फेंका जाता है, तो इसके दो सम्भावित परिणाम-एक विषम संख्या या एक सम संख्या हैं। अतः एक विषम संख्या ज्ञात करने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है।
हल :
(i) दिया गया कथन असत्य है, कारण यह है कि जब दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है, तो 'प्रत्येक में से एक' दो प्रकार से परिणाम' दे सकता है-पहले सिक्के से चित और दूसरे सिक्के पर पट या पहले सिक्के से पट और दूसरे से चित प्राप्त हो सकता है। इस प्रकार दो बार चित और दो बार पट आ सकता है। इस प्रकार प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता $\frac{1}{4}$ है। परंतु $\frac{1}{3}$ नहीं।
(ii) हौं, यह कथन सत्य है।
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