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Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 14 सांख्यिकी (Statistics) प्रश्नाबलीं 14 (E)

  प्रश्नाबलीं 14 (E) 


प्रश्न 1.

निम्नलिखित बंटन किसी फैक्ट्री के 50 श्रमिकों की दैनिक आय दर्शाता है  :
दैनिक आय (रुपयों में)श्रमिकों की संख्या
100-12012
120-14014
140-1608
160-1806
180-12010

उपरोक्त बंटन को एक 'कम प्रकार' के संचयी बारम्बारता बंटन में बदलिए और उसका तोरण खींचिए। gy% दिए गए बंटन से 'कम प्रकार' का संचयी बारम्बारता बंटन

दैनिक आय (रुपयों में)श्रमिकों की (f)संचयी बारम्बारता तोरण पर स्थित बिन्दु 
100-1201212(120 , 12)
120-1401426(140 , 26)
140-160834(160 , 34)
160-180640(180 , 40)
180-2001050(200 , 50)

संचयी बरम्बारता वक्र (तोरण)




















प्रश्न 2.

किसी कक्षा के 35 विद्यार्थियों की मेडिकल जाँच के समय, उनके भार निम्नलिखित रूप में रिकॉर्ड किए गए :

भार (किग्रा में)  विद्यार्थियों की संख्या 
38 से कम 0
40 से कम 3
42 से कम 5
44 से कम 9
46 से कम 14
48 से कम 28
50 से कम 32
52 से कम 35


उपरोक्त आँकड़ों के लिए 'कम प्रकार' का तोरण खीचिए इसके बाद माध्यक भार ज्ञात कीजिए।
हल :
∵ विद्यार्थियों की कुल संख्या =35
∴ यह एक संचयी बारम्बारता बंटन है।

भार (किग्रा में) विद्यार्थियों की संख्या $(f_i)$संचयी बारम्बारता (से कम प्रकारकी) तोरण पर स्थित बिन्दु
36-3800(38 , 0)
38-4033(40 , 3)
40-4225(42 , 5)
42-4449(44 , 9)
44-46514 $(c.f.)$(46 , 14)
46-4814(f)28(48 , 28)
48-50432(50 , 32)
50-52335(52 , 35)
योगn=35


















∵$\frac{\mathrm{N}}{2}=\frac{35}{2}=17.5$

∴ बिन्दु 17.5, y-अक्ष पर लेकर x-अक्ष के समान्तर रेखा खींचते हैं जो तोरण पर P बिन्दु पर प्रतिच्छेद करता है। P से x-अक्ष पर लम्ब डालते हैं। यह लम्ब x-अक्ष को जिस बिन्दु पर काटता है वही अभीष्ट माध्यिका है।
उपरोक्त खींचे गए ग्राफ से, माध्यिका 46.5 किग्रा. प्राप्त हुई, जिसका माध्यक वर्ग 46-48 है।

$\because \frac{n}{2}=\frac{35}{2}=17.5$ वाँ पद, जो संचयी बारम्बारता में 28 के समीप है। अतः 46-48 माध्यक वर्ग होगा।

$\begin{aligned} f &=14, c . f .=14, \frac{n}{2}=17.5 \\ l_{1} &=46, l_{2}=48 \\ h &=l_{2}-l_{1}=48-46=2 \end{aligned}$

माध्यक $\begin{aligned} &=l_{1}+\left(\frac{\frac{n}{2}-c . f_{i}}{f}\right) \times h \\ &=46+\left(\frac{17.5-14}{14}\right) \times 2 \\ &=46+\frac{3.5 \times 2}{14} \\ &=46+0.5=46.5\end{aligned}$

अतः माध्यक भार 46.5 होगा।

प्रश्न 3. 

निम्नलिखित आँकड़ों से संचयी बारम्बारता वक्र या तोरण बनाइये :

वर्ग अन्तराल बारन्बारता
0-104
10-2010
20-3025
30-408
40-502
योग49
हल : 
संचयी बारम्बारता वक्र या तोरण :














प्रश्न 4

निम्नलिखित सारणी किसी गाँव के 100 फार्मों में हुआ प्रति हेक्टेयर (ha) गेहूँ का उत्पादन दर्शाते हैं :

उत्पादन (किग्रा/हेक्टे) फार्मों की संख्या
50-552
55-608
60-6512
65-7024
70-7538
75-8016

इस बंटन को 'अधिक के प्रकार के' बंटन में बदलिए और फिर उसका तोरण खींचिए। 

हल : 
दिए गए बंटन को 'से अधिक' प्रकार के बंटन की सारणी

उत्पादन (किग्रा./ हेक्टे)फार्मीं की संख्या उत्पादन (किग्रा./ हेक्टे)संचयी बारम्बारता (से अधिक प्रकार)
50-55250 के बराबर या 50 से अधिक 2+8+12+24+38+16=100
55-60855 के बराबर या 55 से अधिक 8+12+24+38+16=98
60-651260 के बराबर या 60 से अधिक 12+24+38+16=90
65-702465 के बराबर या 65 से अधिक 24+38+16=78
70-753870 के बराबर या 70 से अधिक 38+16=54
75-801675 के बराबर या 75 से अधिक 16


अतः बिन्दुओं (50,100),(55,98),(60,90),(65,78),(70,54) तथा (75,16) को आलेखित करके तोरण खींचा।






















प्रश्न 5.

मैडीकल प्रवेश परीक्षा में 230 परीक्षार्थियों द्वारा प्राप्त अंकों का बारंबारता वितरण नीचे दिया है :

अंक (अन्तराल बारम्बारता
400-45020
450-50035
500-55040
550-60032
600-65024
650-70027
700-75018
750-80034
योग230

इन आँकड़ों को प्रदर्शित करने के लिए एक संचयी बारंबारता वक्र बनाइए।
 हल : 
संचयी बारंबारता वक्र :















प्रश्न 6. 
नीचे दिये हुये आँकड़ों के लिए संचयी बारम्बारता वक्र या तोरण खींचिए :

ऊँचाई (सेमी)बच्चों की संख्या
124-12810
128-13210
132-1365
136-14015
140-1445
144-14810
148-15220
152-1565
156-16015
160-1645
हल : 
संचयी बारम्बारता वक्र :



प्रश्न 7.

किसी मनुष्य के कुछ बेतों में चावल की उपज प्रति हेक्टेअर तथा खेतों की संख्या दी गई है। इन आँकड़ों से तोरण बनाइये :

चावल की उपज प्रति हेक्टेअर (क्विण्टल में) खेतों की संख्या 
0-1023
10-2025
20-3047
30-4013
40-5016



















प्रश्न 8.

 निम्नलिखित बारम्बारता बंटन से एक संघयी बारम्बारता वक्र खींचिए :

 प्राप्तांक छान्रों की संख्या
3-63
7-1010
11-1412
15-188
19-225
23-262
27-301
योग41

हल : 
संचयी बारंबारता वक्र :
















प्रश्न 9.

96 बच्चों की ऊँचाइयों का बंटन नीचे दिया गया है।

वर्ग अन्तराल बारम्बारतां 
0-105
10-208
20-3017
30-4024
40-5016
50-6012
60-706
70-804
80-903
90-1001

उपरोक्त आँकड़ों से 'से कम प्रकार' का संचयी बारम्बारता वक्र खींचिए और इसका प्रयोग बच्चों कीं ऊँचाई की माध्यिका ज्ञात करने में कीजिए।

हल :
ऊँचाई (सेमी में)  बच्चों की संख्या संखयी बारम्बारता
0 से कम00
10 से कम516
20 से कम813
30 से कम1730
40 से कम2454
50 से कम1670
60 से कम1282
70 से कम688
80 से कम492
90 से कम395
100 से कम196





















यहाँ, $\frac{\mathrm{N}}{2}=\frac{96}{2}=48$
हम, y=48, y-अक्ष पर लेते हैं और x-अक्ष के समांतर रेखा खींनते हैं। जो वक्र के बिंदु A पर मिलती है और A से लंबवत् रेखा x-अक्ष पर खींचते हैं जहाँ, ये रेखाएँ मिलती हैं। वही निर्देशांक बिंदु माध्यिका है अर्थात् माध्यिका =37.


प्रश्न 10. 

70 पैकेटों में चाय का वजन निम्नलिखित तालिका द्वारा दिखाया गया है।
 वजन (ग्राम में) पैकेटों की संख्या
200-20113
201-20227
202-20318
203-20410
204-2051
205-2061
आँकड़ों के लिए 'से कम प्रकार' और 'से अधिक प्रकार' का तोरण खींचिए।
हल :
(i) से कम प्रकार (ii) से अधिक प्रकार
वजन (ग्राम में)पैकेटों की संख्यावजन (ग्राम में)पैकेटों कीसंख्या
200 से कम0200 से अधिक या उसके बराबर70
201 से कम13201 से अधिक या उसके बराबर57
202 से कम40202 से अधिक या उसके बराबर30
203 से कम58203 से अधिक या उसके बराबर12
204 से कम68204 से अधिक या उसके बराबर2
205 से कम69205 से अधिक या उसके बराबर1
206 से कम70206 से अधिक या उसके बराबर0

'से कम प्रकार' का तोरण खींचने के लिए हम बिंदुओं (200,0),(201,13),(202,40),(203,58),(204,68),(205,69),(206,70) को कांगज पर दर्शाति हैं और उन्हें मिलाते हैं। 'से ज्यादा' प्रकार के लिए हम बिंदुओं (200,70), (201,57),(202,30),(203,12),(204,2),(205,1),(206,0) को ग्राफ कागज पर दर्शाते हैं और उन्हें मिलाते हैं।




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Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 14 सांख्यिकी (Statistics) प्रश्नाबलीं 14 (F)

 प्रश्नाबलीं 14 (F) 

बहुविकल्पीय प्रश्न
प्रत्येक प्रश्न के चार उत्तर दिये हैं, सही उत्तर छाँटिए :

प्रश्न 1

वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य ज्ञात करने के लिए सूत्र $\bar{x}=a+h\left(\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}\right)$ में, $u_{i}=$

(i) $\frac{x_{i}+a}{h}$
(ii) $h\left(x_{i}-a\right)$
(iii) $\frac{x_{i}-a}{\text { h }}$
(iv) $\frac{a-x_{i}}{h}$

हल : 
दिया है,
$\bar{x}=a+h\left(\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}\right)$
ऊपर दिया सूत्र पद विचलन सूत्र है।
$\therefore_{i}=\frac{x_{i}-a}{h}$
अतः विकल्प (iii) सही है।

प्रश्न 2. 

वर्गीकृत आँकड़ों की ' से कम प्रकार का' और 'से अधिक प्रकार का' संचयी बास्बारता वक्रों के प्रतिच्छेद बिंदु के भुज से आँकड़ों को प्राप्त होना है :
(i) माध्य
(ii) माध्यिका
(iii) बहुलक
(iv) ये सभी'
हल : 
चूँकि भुज (x-अक्ष पर 'से कम प्रकार का' और 'से अधिक प्रकार का' तोरण वक्र के प्रतिच्छद' बिंदु से माध्यिका प्राप्त होती है। अतः विकल्प (iii) सही है। उत्तर

प्रश्न 3.

निम्नलिखित बंटन के लिए

 वर्ग 0-55-1010-1515-2020-25
बारम्बारता 101512209

बहुलक वर्ग और माध्यिका वर्ग की निम्न सीमाओं का योग है :
(i) 15
(ii) 25
(iii) 30
(iv) 35

हल : 
यहाँ,


वर्गबारम्बारतासंचयी बारम्बारता 
0-51010
5-101525
10-151237
15-202057
20-25966

अब, $\frac{\mathrm{N}}{2}=\frac{66}{2}=33$, जो वर्ग अंतराल $(10-15)$ में आती है। 

अतः माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा 10 है।

अधिकतम बारंबारता 20 है, जो वर्ग अंतराल (15-20) में आती है। इसलिए बहुलक वर्ग की निम्न सीमा 15 है। 

अतः अभीष्ट योग 10+15=25 है।

अतः  (ii) सही है।

 प्रश्न 4. 

निम्नलिखित बारंबारता बंटन के लिए 

 वर्ग 0-56-1112-1718-2324-29
बारम्बारता 131015811

माध्यिका वर्ग की उच्च सीमा है।
(i) 17
(ii) 175
(iii) 18
(iv) 18.5
हल : 

दिया गया वर्ग सतत् नहीं है। अतः हम इसकी निम्न सीमा में 0.5 घटाकर और उच्च सीमा में 0.5 जोड़कर सतत् बनते हैं।

वर्गबारम्बारतासंचयी बारम्बारता 
0-5.51313
5.5-11.51023
11.5-17.51538
17.5-23.5846
23.5-29.51157


यहाँ, $\frac{\mathrm{N}}{2}=\frac{57}{2}=28.5$, जो वर्ग अंतराल 11.5-17.5 में आती है। 
अतः उच्च सीमा $17.5$ है। अतः विकल्प (ii) सही है।

प्रश्न 5.

निम्नलिखित बंटन के लिए
अंक विद्यार्थियों की संख्या
10 से कम3
20 से कम12
30 से कम27
40 से कम57
50 से कम75
60 से कम80

बहुलक वर्ग है :
(i) 10-20
(ii) 20-30
(iii) 30-40
(iv) 50-60
हल :

अंकविद्यार्थियों की संख्या संचयी बारंबारता
10 से कम3=33
10-20(12-3)=912
20-30(27-12)=1527
30-40(57-27)=3057
40-50(75-57)=1875
50-60(80-75)=580

यहाँ, हम देखते हैं कि सबसे अधिक बारंबारता 30 है, जो वर्ग अंतराल 30-40 के अंतर्गत आती है। अतः विकल्य (iii) सही है।


प्रश्न 6.

दिए आँकड़े हैं :

वर्ग 65-8585-105105-125125-145145-165165-185185-205
बारम्बारता 4513201474

(i) 0
(ii) 19
(iii) 20
(iv) 38
अंकविद्यार्थियों की संख्यासंचयी बारंबारता
65-8544
85-10559
105-1251322
125-1452042
145-1651456
165-185763
185-205467

हल :
यहाँ, $\frac{\mathrm{N}}{2}=\frac{67}{2}=33.5$ जो अंतराल (125-145) में आता है। 
$\therefore$ अभीष्ट अंतर = उच्च सीमा - निम्न सीमा =145-125=20
अतः विकल्प (iii) सही है।



प्रश्न 7. 

110 मी की बाधा दौड़ में 150 धावकों द्वारा लिया गया समय (सेकंड में) नीवे सारणीबद्ध किया गया है :
वर्ग 13.8-1414-14.214.2-14.414.4-14.614.6-14.814.8-15
बारंबारता 245714820

धावकों की संख्या जिन्हौने दौड़ को 14.6 सेकंड से कम समय में पूरा किया है :
(i) 11
(ii) 71
(iii) 82
(iv) 130

हल : 

धावकों की संख्या जिन्होंने दौड़ को 14.6 सेकंड से कम समय में पूरा किया

=2+4+5+71=82

अतः विकल्प (iii) सही है उत्तर


प्रश्न 8. 

निम्नलिखित बंटन में
प्राप्तांकविद्यार्थियों की संख्या
0 से अधिक या उसके बराबर63
10 से अधिक या उसके बराबर58
20 से अधिक या उसके बराबर55
30 से अधिक या उसके बराबर51
40 से अधिक या उसके बराबर48
50 से अधिक या उसके बराबर42

वर्ग 30-40 की बारंबारता है :
(i) 3
(ii) 4
(iii) 48
(iv) 51
हल :

प्राप्तांक विद्यार्थियों की संख्या
0-1063-58=5
10-2058-55=3
20-3055-51=4
30-4051-48=3
40-5048-42=6
50....42=42
अतः वर्ग अंतराल (30-40) की बारंबारता 3 है।
 अतः विकल्प (i) सही है।
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Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 14 सांख्यिकी (Statistics) प्रश्नाबलीं 14 (B)

   प्रश्नाबलीं 14 (B) 

प्रश्न 1. 

नीचे की सारणी में 2010 में उच्चतर माध्यमिक विद्यालयों में मंजूर किये गये अध्यापक पदों की संख्या का बारम्बारता बंटन दिया गया है :
मंजूर किये गये अध्यापक पद विद्याल्यों की संख्या 
6-10899
11-151149
16-201553
21-251464
26-301307
31-351003
36-40833
41-45642
46-50440
कुल योग9290


प्रति उच्चतर माध्यमिक विद्यालय में मंजूर किये गये अध्यापक पदों की औसत संख्या ज्ञात कीजिए। हल :

वर्ग अन्तरालमध्यमान $(x_i)$बारम्बरता $f_i$$d_i=x_i-a$$u_i=\frac{d_i}{h}$$f_i \times u_i$
6-108899-20-4-3596
11-15131149-15-3-3447
16-20181553-10-2-3106
21-25231464-5-1-1464
26-30a=281307000
31-35331003511003
36-40388331021666
41-45436421531926
46-50484402041760
कुल योग$\Sigma f_{i}=9290$$\Sigma f_{i} u_{i}=-5258$

हम जानते हैं कि :
$\begin{aligned}\bar{x} &=a+\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \times h \\a &=28 \text { और } h=5 \\\bar{x} &=a+\bar{u} h \\\bar{x} &=28+\left(\frac{-5228}{9290}\right) \times 5 \\&=28-2.83 \\&=25.17 .\end{aligned}$

प्रश्न 2. 

निम्नलिखित सारणी में किसी जनपद के कॉलेजों में प्रवेश दिये गये छात्रों की संख्या दी गई है :
छात्रों की संख्या विद्यालयों की संख्या
60-7918
80-9924
100-11926
120-13932
140-15925
160-17919
180-19916
प्रति विद्यालय प्रविष्ट छात्रों की औसत संख्या ज्ञात कीजिए।
हल :

छात्रों की संख्यामध्यमान $(x_i)$विद्यालयों की संख्या $f_i$$d_i=x_i-za$$u_i=\frac{d_i}{h}$$f_i \times u_i$
60-7969.518-60-3-54
80-9989.524-40-2-26
100-119109.526-20-1-26
120-139129.5=a32000
140-159149.52520125
160-179169.51940238
180-199189.51660348
कुल योग $\sum f_i=160$$\Sigma f_{i} u_{i}=-17$

हम जानते हैं कि :
$\bar{x}=a+\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \times h$
a=129.5  तथा h=20
$\begin{aligned}\bar{x} &=129.5+\left(\frac{-17}{160}\right) \times 20 \\&=129.5-2.125 \\&=127.38 .\end{aligned}$

प्रश्न 3. 

किसी पुटकर बाजार में, फल विक्रेता पेटियों में रखे आम बेच रहे थे। इन पेटियों में आमों की संख्याएँ भिन्न-भिन्त धीं। पेटियों की संख्या के अनुसार, आमों का बंटन निम्नलिखित था :

 आमों की संख्या 50-5253-5556-5859-6162-64
पेटियों की संख्या1511013511525

एक पेटी में रखे आमों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए। आपने माध्य ज्ञात करने की किस विधि का प्रयोग किया है ?

हल : 
प्रश्न में दिए आंकड़े सतत् नहीं हैं, अतः हमें सर्वप्रथम दी गई|वर्ग सीमाओं को सतत् रूप में निम्न प्रेकार से बनाना होगा :

आमों की संख्यापेटियों की संख्या $(f_i)$मध्य-बिन्दु  $(x_i)$विचलन $d_i=x_i-A$$f_i \times d_i$
49.5-52.51551-6-90
52.5-55.511054-3-330
55.5-58.513557(A)00
58.5-61.5115603345
61.5-64.525636150
योग40075

$\Sigma f_{i}=400, \Sigma f_{f} d_{i}=75$ तथा $\mathrm{A}=57$ हो, तो
आमों की माध्य संख्या, $\bar{x}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{t}}$
$\begin{aligned}&=57+\frac{75}{400} \\&=57+0.1875 \\\bar{x} &=57.1875\end{aligned}$

अतः आमों की माध्य संख्या 57.19 हैं।

प्रश्न 4. 

निम्नलिखित सारणी में किसी वर्ष की छ्याध्यमिक विद्यालयों के अध्यापकों की संख्या का बारम्बारता बंटन दिया गया है। उस वर्ष की प्रति माध्यमिक विद्यालय' में अध्यापकों की औसत संख्या ज्ञात कीजिए।

अध्यापकों की संख्या मा. वि की संख्या
6-10950
11-151075
16-201660
21-251500
26-301480
31-351200
36-401085
41-45650
46-50400

हल :
वर्ग अन्तरालमध्यमान $(x_i)$बारम्बारता $(f_i)$$d_i=x_i-a$$u_i=\frac{d_i}{h}$$f_i \times u_i$
6-108950-20-4-3800
11-15131075-15-3-3225
16-20181660-10-2-3320
21-25231500-5-1-1500
26-3028=a1480000
31-35331200511200
36-403810851022170
41-45436501531950
46-50484002041600
कुल योग$ \Sigma f_{i}=10,000$$\Sigma f_{i} u_{i}=-4925$

$\begin{aligned} \bar{x} &=a+\frac{\sum f_{i} u_{i}}{\sum f_{i}} \times h \\ &=28+\left(\frac{-4925}{10,000}\right) \times 5 \\ &=28-2.4625 \\ &=25.5 \end{aligned}$


 प्रश्न 5. 

किसी फैक्टरी के 50 श्रमिकों की दैनिक मजदूरी के निम्नलिखित बंटन पर विचार कीजिए :

दैनिक मजदूरी (रुपयों में)100-120120-140140-160160-180180-200
श्रमिकों की संख्या 12148610

एक उपयुक्त विधि का प्रयोग करते हुए, इस फैक्टरी के श्रमिकों की माध्य दैनिक मजदूरी ज्ञात कीजिए।
हल :

दैनिक मजदूरी (रुपयों में )श्रमिकों की संख्या $(f_i)$मध्य-बिन्दु $(x_i)$$f_i \times x_i$
100-120121101320
120-140141301820
140-16081501200
160-18061701020
180-200101901900
योग507260

$\Sigma f_{i}=50$ तथा $\Sigma f_{i} x_{i}=7,260$ हो, तो
$\begin{aligned}\bar{x} &=\frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{t}} \\&=\frac{7260}{50} \\&=₹ 145.20 .\end{aligned}$

प्रश्न 6. 

वायु में सल्फर डाइ-ऑक्साइड $\left(\mathrm{SO}_{2}\right)$ की सान्द्रता (भाग प्रति मिलियन में) को ज्ञात करने के लिए, एक नगर के 30 मोहल्लों से आँकड़े एकत्रित किए गए, जिन्हें नीचे प्रस्तुत किया गया है :

$\text{ SO}_2$ की सान्द्रता बारम्बारता
0.00-0.044
0.04-0.089
0.08-0.129
0.12-0.162
0.16-0.204
0.20-0.242
वायु में $\mathrm{SO}_{2}$ की सान्द्रता का माध्य ज्ञात कीजिए। 

हल :

$\text{SO}_2$ की सान्द्रता बारम्बारता $(f_i)$मध्य-बिन्दु $(x_i)$$f_i \times x_i$
0.00-0.0440.020.08
0.04-0.0890.060.54
0.08-0.1290.100.90
0.12-0.1620.140.28
0.16-0.2040.180.72
0.20-0.2420.220.44
योग302.96

$\mathrm{SO}_{2}$ की सान्द्रता का माध्य, $x=\frac{\sum f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}$
$=\frac{2.96}{30}$
=0.099 भाग प्रति मिलियन
अतः वायु में $\mathrm{SO}_{2}$ की सान्द्रता का माध्य 0.099 भाग प्रति मिलियन है।
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Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 14 सांख्यिकी (Statistics) प्रश्नाबलीं 14 (C)

 प्रश्नाबलीं 14 (C) 

प्रश्न 1. 

निम्नलिखित बारम्बारता बंटन किसी मोहल्ले के 68 उपभोक्ताओं की बिजली की मासिक खपत दर्शाता है। इन आँकड़ों के माध्यक और माध्य ज्ञात कीजिए।

मासिक खपत (इकाइयों में) उपभोक्ताओं की संख्या 
65-854
85-1055
105-12513
125-14520
145-16514
165-1858
185-2054

हल :
माध्यक के लिए सारणी : 

मासिक खपत (इकाइयों में)उपभोंक्ताओं की संख्या (f)संचयी बारम्बारता (c.f.)
65-8544
85-10559
105-1251322(c.f.)
125-14520(f)42
145-1651456
165-185864
185-205468
योग68

 ∴ यहाँ पदों का योग n=68 है अर्थात्

$\frac{n}{2}=\frac{68}{2}=34 $ वाँ पद 

संचयी बारम्बारता में 34 वाँ पद या इससे अधिक या इसके निकटतम' वाला वर्ग लेते हैं जो 125 - 145 वाला वर्ग है।
अतः माध्यक वर्ग 125-145 है।

$l=125, \frac{n}{2}=34, f=20, c f .=22 $
$h=145-125=20$

 माध्यक =
$\begin{aligned}&=l+\left(\frac{\frac{n}{2}-c . f .}{f}\right) \times h \\&=125+\left(\frac{34-22}{20}\right) \times 20\end{aligned}$

$\begin{aligned}&=125+\frac{12 \times 20}{20} \\&=125+12=137 .\end{aligned}$

माध्य हेत सारणी
मासिक खपत (इकाइयों में) उपभोक्ताओं की संख्या $(f_i)$ मध्य बिन्दु $(x_i)$विचलन $d_i=x_i-A$पद विचलन $u_i=d_i/20$$f_i \times u_i$
65-85475-60-3-12
85-105595-40-2-10
105-12513115-20-1-13
125-14520135(A)000
145-1651415520114
165-185817540216
185-205419560312
योग687

माध्य, $\begin{aligned} \bar{x} &=\mathrm{A}+\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \times h \\ &=135+\frac{7}{68} \times 20 \\ &=135+\frac{140}{68} \\ &=135+2.06 \\ x &=137.06, \end{aligned}$


प्रश्न 2

निम्नलिखित बारम्बारता' बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए :

वर्ग अन्तराल 0-1010-2020-3030-4040-50
बारम्बरता891163

हल :

वर्ग अन्तरालबारम्बारतासंचयी बारम्बारता 
0-1088
10-20917
20-301128
30-40634
40-50337

$n=\frac{37}{2}=18.5, \mathrm{~L}_{1}=20, \mathrm{~L}_{2}=30, f=11, \mathrm{~F}=17$

माध्यिका $=\mathrm{L}_{1}+\frac{\mathrm{L}_{2}-\mathrm{L}_{1}}{f}\left(\frac{n}{2}-\mathrm{F}\right)$

$\begin{aligned}&=20+\frac{30-20}{11}(18.5-17) \\&=20+\frac{10}{11} \times 1.5=20+\frac{15}{11} \\&=20+1.36=2136\end{aligned}$
माध्यिका =21.36


प्रश्न 3.

निम्नलिखित बारम्बारता बंटन की मध्यिका ज्ञात कीजिये :

वर्ग अन्तराल0-1010-2020-3030-4040-50
बारम्बारता981253
हल :
 वर्ग अन्तराल बारम्बारतासंचयी बारम्बारता 
0-1099
10-20817
20-301229
30-40534
40-50337

$=\frac{n}{2} =18.5, \mathrm{~F}=17, f=12, \mathrm{~L}_{1}=20, \mathrm{~L}_{2}=30 $ 

माध्यिका=
$\begin{aligned}  &=\mathrm{L}_{1}+\frac{\mathrm{L}_{2}-\mathrm{L}_{1}\left(\frac{n}{2}-\mathrm{F}\right)}{f} \\ &=20+\frac{30-20}{12}(18.5-17) \\ &=20+\frac{10}{12} \times 1.5 \\ &=2125. \end{aligned}$

 मध्यिका =2125 
उत्तर

प्रश्न 4.

निम्नलिखित सारणी से माध्यिका ज्ञात कीजिए :
 वर्ग अन्तराल 0-1010-2020-3030-4040-50
बारम्बारता 6912815

हल :
 वर्ग अन्तरालबारम्बारता संचयी बारम्बांरतं
0-1066
10-20915
20-301227
30-40835
40-501550

 $\frac{n}{2}=\frac{50}{2} =25, \mathrm{~F}=15, f=12, \mathrm{~L}_{1}=20, \mathrm{~L}_{2}=30$

माध्यिका=
$\begin{aligned}&=\mathrm{L}_{1}+\frac{\mathrm{L}_{2}-\mathrm{L}_{1}\left(\frac{n}{2}-\mathrm{F}\right)}{f} \\ &=20+\frac{30-20}{12}(25-15) \\ &=20+\frac{10}{12} \times 10 \\ &=20+\frac{25}{3} \\ &=20+8.33=28.33 . \end{aligned}$

माध्यिका=28.33
उत्तर


 प्रश्न 5.

यदि नीचे दिए हुए बंटन का माध्यक 28.5 हो तो x और y के मान ज्ञात कीजिए :
वर्ग-अन्तरालबारम्बारता (f)
0-105
10-20x
20-3020
30-4015
40-50y
50-605
योग60

हल : 
माध्यक हेतु सारणी
 वर्ग-अन्तराल  बारम्बारता (f)संचयी बारम्बारता (c.f)
0-1055
10-20x5+x
20-3020 f25+x
30-401540+x
40-50y40+x+y
50-60545+x+y
योगn=60

दिया है,
n=60 अर्थात् $\frac{n}{2}=30$
अतः 45+x+y=60

∴x+y=60-45=15....(i)

मध्यक 28.5 है, जो वर्ग $20-30$ में स्थित है।

J=20, f=20, c . f=5+x, h=10

माध्यक=
$\begin{aligned} &=l+\left(\frac{\frac{n}{2}-c . f .}{f}\right) \times h \\ 28.5 &=20+\left(\frac{30-5-x}{20}\right) \times 10 \\ 28.5-20 &=\frac{25-x}{2} \\ 8.5 &=\frac{25-x}{2} \\ 25-x &=17 \\-x &=17-25 \\-x &=-8 \\ x &=8 \end{aligned}$

x का मान समीकरण (i) में रखने पर,

8+y=15

$\therefore=15-8=7$

अतः x=8 तथा y=7

प्रश्न 6. 

नीचे दिया हुआ बंटन एक कक्षा के 30 विद्यार्थियों के भार दर्शा रहा है। विद्यार्थियों का माध्यक भार ज्ञात कीजिए।

भार (किग्रा में)विद्यार्थियों की संख्या 
40-452
45-503
50-558
55-606
60-656
65-703
70-752
हल : 
माध्यक भार हेतु सारणी
भार (किग्रा में)विद्यार्थियों की संख्या (बारम्बारता)संचयी बारम्बारता
40-4522
45-5035
50-55813 (c.f)
55-606(f)19
60-65625
65-70328
700-75230
योग30
$\because \frac{n}{2}=\frac{30}{2}=15$ वाँ पद, जो संचयी बारम्बारता में 19 के समीप है। अतः माध्यक वर्ग 55-60 होगा।
$f =6, c . f=13, \frac{n}{2}=15$ , $ l_{1}=55, l_{2}=60$
$h=l_{2}-l_{1}=60-55=5$

माध्यक=
$\begin{aligned} &=l_{1}+\left(\frac{\frac{n}{2}-c . f .}{f}\right) \times h \\ &=55+\left(\frac{15-13}{6}\right) \times 5 \\ &=55+\frac{10}{6} \\ &=55+1.67=56.67 \end{aligned}$
अतः विद्यार्थियों का माध्यक भार 56.67 किग्रा होगा।

प्रश्न 7. 

निम्नलिखित बंटन के लिए माध्यिका ज्ञात कीजिए :
वर्ग0-1010-2020-3030-4040-50
बारम्बारता2036443318
हल : 
वर्ग अन्तरालबारम्बारतासंचयी बारम्बारतां 
0-102020
10-203656
20-3044100
30-4033133
40-5018151

$=\frac{n}{2}=\frac{151}{2} =75.5, \mathrm{~F}=56, f=44, \mathrm{~L}_{1}=20,\mathrm{~L}_{2}=30$

माध्यिका =
$\begin{aligned} &=\mathrm{L}_{1}+\frac{\mathrm{L}_{2}-\mathrm{L}_{1}}{f}\left(\frac{n}{2}\mathrm{F}\right) \\&=20+\frac{30-20}{44}(75.5-56) \\&=20+\frac{10}{44} \times 19.5 \\&=20+4.43=24.43\end{aligned}$
माध्यिका =24.43

प्रश्न 8.

निम्न सारणी में कुछ व्यक्तियों का आयकर दिया गया है। उनकी माध्यिका ज्ञात कीजिए : 

आयकर (रुपयों में)व्यक्तियों की संख्या 
10-256
25-4020
40-5544
55-7026
70-853
85-1001
हल : 
आयकर (रुपयों में) छात्रों की संख्यासंचयी बारम्बारता
10-2566
25-402026
40-554470
55-702696
70-85399
85-1001100

$=\frac{n}{2}=\frac{100}{2} =50, \mathrm{~F}=26$ , $ f=44, \mathrm{~L}_{1}=40, \mathrm{~L}_{2}=55$

माध्यिका= 
$\begin{aligned} &=\mathrm{L}_{1}+\frac{\mathrm{L}_{2}-\mathrm{L}_{1}}{f}\left(\frac{n}{2}-\mathrm{F}\right) \\ &=40+\frac{55-40}{44}(50-26) \\ &=40+\frac{15}{44} \times 24 \end{aligned}$

$\begin{aligned}&=40+\frac{15}{11} \times 6 \\&=40+\frac{90}{11} \\&=40+8.18 \\&=48.18 \end{aligned}$
माध्यिका =48.18 

 प्रश्न 9.
निम्न सारणी से माध्यिका ज्ञात कीजिए :
वर्ग0-1010-2020-3030-4040-50
बारम्बारता24732

हल : 

 वर्ग अन्तराल बारम्बारतासंचयी बारम्बारता 
0-1022
10-2046
20-30713
30-40316
40-50218

$ =\frac{n}{2}=\frac{18}{2} =9, \mathrm{~F}=6, f=7 $ , $\mathrm{~L}_{1}=20, \mathrm{~L}_{2}=30  $

माध्यिका=
$\begin{aligned}&=\mathrm{L}_{1}+\frac{\mathrm{L}_{2}-\mathrm{L}_{1}}{f}\left(\frac{n}{2}-\mathrm{F}\right) \\ &=20+\frac{30-20}{7}(9-6) \\ &=20+\frac{10}{7} \times 3 \\ &=20+\frac{30}{7} \\ &=20+4.3 \\ &=24.3 \\ \text { माध्यिका } &=24.3 . \end{aligned}$

प्रश्न 10. 

एक जीवन बीमा एजेंट 100 पॉलिसी धारकों की आयु के बंटन के निम्नलिखित' आँकड़े प्राप्त करता है। माध्यक आयु परिकलित' कीजिए, यदि पॉलिसी केवल उन्हीं व्यक्तियों को दी जानी है, जिनकी आयु 18 वर्ष या उससे अधिक हो, परन्तु 60 से कम हो।

आयु (वर्षों में)पालिसी धारकों की संख्या
202
256
3024
3545
4078
4589
5092
5598
60100

हल : 
दी गयी सारणी में पॉलिसी धारकों की संख्या बढ़ते क्रम में हैं अर्थात् यह संचयी बारम्बारता के रूप में है, अब हम सर्वप्रथम इसे बारम्बारता बंटन सारणी में प्रस्तुत करेंगे।


सारणी
वर्ग-अन्तरालबारम्बारता संचयी बारम्बारता
15-2022
20-2546
25-301824
30-352145
35-403378
40-451189
45-50392
50-55698
55-602100
योगn=100

हम जानते हैं कि संचयी बारम्बारता के 50 वें पद का मान 78 के समीप है जो 35-40 के वर्ग में है।

$l =35, \frac{n}{2}=50, f=33, c . f=45 $
$h =l_{2}-l_{1}=40-35=5$

माध्यक =
$\begin{aligned} &=l+\left(\frac{\frac{n}{2}-c \cdot f}{f}\right) \\ &=35+\left(\frac{50-45}{33}\right) \times 5 \\ &=35+\frac{25}{33}=35+0.76=35.76 \end{aligned}$

अतः माध्यक आयु 35.76 वर्ष है।

प्रश्न 11. 

निम्नलिखित बारम्बारता बंटन से माध्यिका की गणना कीजिए :

वर्ग अन्तराल10-1515-2020-2525-3030-3535-40
बारम्बारता56101595
हल :
वर्ग अन्तरालबारम्बारता संचयी बारम्बारता
10-1555
15-20611
20-251021
25-301536
30-35945
35-40550

$\frac{n}{2}=\frac{50}{2} =25$ , $ L_{1}=25, L_{2}=30, \mathrm{~F}=21, f=15$

माध्यिका=
$\begin{aligned} &=L_{1}+\frac{L_{2}-L_{1}}{f}\left(\frac{n}{2}-\mathrm{F}\right) \\ &=25+\frac{30-25}{15}(25-21) \\ &=25+\frac{5}{15} \times 4=25+\frac{4}{3}=25+1.3 \\ &=26.3 . \end{aligned}$

प्रश्न 12. 

एक पौधे की 40 पत्तियों की लम्बाइयाँ निकटतम मिलीमीटरों में मापी जाती है तथा प्राप्त आँकडों को निम्नलिखित सारणी के रूप में निरूपित किया जाता है .

लम्बाई (मिमी में)  पत्तियों की संख्या
118-1263
127-1355
136-1449
145-15312
154-1625
163-1714
172-1802
पत्तियों की माध्यक लम्बाई ज्ञात कीजिए।

हल : 
माध्यक ज्ञात करने के लिए आँकड़ों को सतत वर्ग-अन्तरालों में बदलना पड़ेगा क्योंकि सूत्र में वर्ग-अन्तरालों को सतत माना गया है।
 वर्ग पतियों की संख्या (बारम्बारता)संचयी बारम्बारता
117.5-126.533
126.5-135.558
135.5-144.5917(c.f.)
144.5-153.512(f)29
153.5-162.5534
162.5-171.5438
171.5-180.5240
योगn=40
$\therefore \frac{n}{2}=\frac{40}{2}=20$ वाँ पद जो संचयी बारम्बारता में 29 के समीप है अर्थात् माध्यक वर्ग $144.5^{\circ}-153.5$ है।

$\begin{aligned} f &=12, \frac{n}{2}=20, c f=17 \\ l_{1} &=144.5, l_{2}=153.5 \\ h &=l_{2}-l_{1}=153.5-144.5=9 \\ \text { माध्यक } &=l+\left(\frac{\frac{n}{2}-c . f .}{f}\right) \times h \\ &=144.5+\left(\frac{20-17}{12}\right) \times 9 \\ &=144.5+\frac{3 \times 9}{12} \\ &=144.5+2.25=146.75 \end{aligned}$

अतः माध्यक लम्बाई 146.75 मिमी होगी।

प्रश्न 13.
निम्नलिखित सारणी 400 नियॉन लैम्पों के जीवन कालों (Life Time) को प्रदर्शित करती है : 

 जीवन काल (घप्टों में)लैम्यों की संख्या 
1500-200014
2000-250056
2500-300060
3000-350086
3500-400074
4000-450062
4500-500048

एक लैम्प का माध्यक जीवन काल ज्ञात कीजिए।
हल : 
माध्यक जीवन-काल हेतु सारणी

जीवन काल (घष्टों में)लैम्पों की संख्यासंचयी बारम्बारता
1500-20001414
2000-25005670
2500-30006013
3000-350086(f)216 (c.f.)
3500-400074290
4000-450062352
4500-500048400
योगn=400

$\because \frac{n}{2}=\frac{400}{2}=200$ वाँ पद, जो संचयी बारम्बारता के 216 के समीप है। अतः माध्यक वर्ग 3000-3500 होगा।

$f =86, \frac{n}{2}=200, c . f=130, l=3000$

$h=l_{2}-l_{1}=3500-3000=500 $

माध्यक=
$\begin{aligned} &=l+\left(\frac{\frac{n}{2}-c . f .}{f}\right) \times h \\ &=3000+\left(\frac{200-130}{86}\right) \times 500 \\ &=3000+\frac{70 \times 500}{86} \\ &=3000+\frac{35000}{86} \\ &=3000+406.98=3406.98 \end{aligned}$
अतः लैम्प का माध्यक जीवन काल 3406.98 घण्टे है।


प्रश्न 14. 

एक स्थानीय टेलीफोन निर्देशिका से 100 कुलनाम (Surnames) लिए गए और उनमें प्रयुक्त अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों की संख्या का निम्नलिखित बारम्बारता बंटन प्राप्त हुआ :
अक्षरों की संख्या कुल नामों की संख्या
1-46
4-730
7-1040
10-1316
13-164
16-194

कुलनामों में माध्यक अक्षरों की संख्या ज्ञात कीजिए। कुलनामंं में माध्य अक्षरों की संख्या भी ज्ञात कीजिए।

हल : 
माध्यक तथा बहुलक हेतु सारणी
अक्षरों की संख्या (वर्ग)कुलनामों की संख्या (बारम्बारता) संचयी बारम्बारता
1-466
4-73036(c.f.)
7-1040(f)76
10-131692
13-16496
16-194100
योगn=100

$\because \frac{n}{2}=\frac{100}{2}=50$ वाँ पद, जो संचयी बारम्बारता में 76 के समीप है। अतः माध्यक वर्ग 7-10 होगा।
$f=40, c f_{1}=36, \frac{n}{2}=50, l=7 $
$h=l_{2}-l_{1}=10-7=3$

माध्यक =
$\therefore \begin{aligned} &=l+\left(\frac{\frac{n}{2}-c . f .}{f}\right) \times h \\&=7+\left(\frac{50-36}{40}\right) \times 3 \\&=7+\frac{42}{40}=7+1.05\end{aligned}$
माध्यक =8.05

अक्षरों की संख्याकुलनामों की संख्या $(f_i)$मध्य बिन्दु $x_i$$f_i \times x_i$
1-462.515
4-7305.5165
7-10408.5340
10-131611.5184
13-16414.558
16-19417.570
योग100832
$\begin{aligned} x &=\frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}} \\ &=\frac{832}{100}=8.32 . \end{aligned}$
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Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 14 सांख्यिकी (Statistics) प्रश्नाबलीं 14 (D)

 प्रश्नाबलीं 14 (D) 

प्रश्न 1. 

निम्नलिखित सारणी किसी अस्पताल में एक विशेष वर्ष में भर्ती हुए रोगियों की आयु को दर्शाती है :
आयु (वर्षों में)5-1515-2525-3535-4545-5555-65
रोगियों की संख्या 6112123145

उपर्युक्त आँकड़ों के बहुलक श्ञात कीजिए।

हल : 
सर्वप्रथम बहुलक के लिए सारणी

आयु (वर्षों में) रोगियों की संख्या (बारम्बारता $f_i$)
5-156
15-2511
25-3521 $(f_i)$
35-4523(f)
45-5514($f_2$)
55-655
योग$\sum f_i=80$

यहाँ पर अधिकतम बारम्बारता वाला पद,
f=23
अधिकतम बारम्बारता वाले पद की वर्ग सीमा=35-45
अतः $l_{1}=35$ तथा $l_{2}=45$
अधिकतम बारम्बारता के ठीक ऊपर तथा ठीक नीचे की बारम्बारताएँ
क्रमशः $f_{1}=21$ तथा  $f_{2}=14$
और $h=l_{2}-l_{1}=45-35=10$

 बहुलक=
$\begin{aligned}\begin{aligned}&=l_{1}+\left(\frac{f-f_{1}}{2 f-f_{1}-f_{2}}\right) \times h \\&=35+\left(\frac{23-21}{2 \times 23-21-14}\right) \times 10 \\&=35+\left(\frac{2 \times 10}{46-35}\right) \\&=35+\frac{20}{11}=35+1.8=36.8 .\end{aligned}\end{aligned}$

प्रश्न 2.

निम्नलिखित बंटन भारत के उच्चतर माध्यमिक स्कूलों में राज्यों के अनुसार, शिक्षक-विद्यार्थी अनुपात को दर्शाता है। इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।

प्रति शिक्षक विद्यार्थियों की संख्याराज्य/संघीय क्षेत्रों की संख्या
15-203
20-258
25-309
30-3510
35-403
40-450
45-500
50-552

हल : 
प्रति शिक्षक विद्यार्थियों की संख्याराज्य/संघीय क्षेत्रों की संख्या
15-203
20-258
25-309 ($f_1$)
30-3510(f)
35-403($f_2$)
40-450
45-500
50-552
योग35


बहुलक ज्ञात करने हेतु $f=10, f_{1}=9$ तथा $f_{2}=3$

अधिकतम बारम्बारता वाला वर्ग 30 - 35 है।

अर्थात्  ${1}=30$ तथा $l_{2}=35$

∴$h=l_{2}-l_{1}=35-30=5$

बहुलक=
$\begin{aligned}&=l_{1}+\left(\frac{f-f_{1}}{2 f-f_{1}-f_{2}}\right) \times h \\&=30+\left(\frac{10-9}{2 \times 10-9-3}\right) \times 5 \\&=30+\frac{1 \times 5}{20-12} \\&=30+\frac{5}{8}=30+0.625=30.625\end{aligned}$

प्रश्न 3.

निम्नलिखित आँकड़े, 225 बिजली उपकरणों के प्रेक्षित जीवन काल (घष्टों में) की सूचना देते हैं:

जीवन काल (घण्टों में)0-2020-4040-6060-8080-100100-120
बारम्बारता103552613829

उपकरणों का बहलक जीवनकाल ज्ञात कीजिए।
हल :
दी गयी सारणी 
जीवन काल (घण्टों में)बारम्बारता
0-2010
20-4035
40-6052 ($f_1$)
60-8061(f)
80-10038($f_2$)
100-12029

दी गयी सारणी में अधिकतम बारम्बारता $f=61, f_{1}=52, f_{2}=38$

$\because$ अधिकतम बारम्बारता वाला वर्ग 60-80 है।
$\therefore \quad l_{1}=60$ तथा $l_{2}=80$
$ h =l_{2}-l_{1} =80-60=20$

बहुलक=
$\begin{aligned}&=l_{1}+\left(\frac{f-f_{1}}{2 f-f_{1}-f_{2}}\right) \times h \\ &=60+\left(\frac{61-52}{2 \times 61-52-38}\right) \times 20 \\ &=60+\frac{9 \times 20}{122-90} \\ &=65.625 \end{aligned}$

अतः उपकरणों का बहुलक जीवनकाल $65.625$ घण्टे होगा। उत्तर

प्रश्न 4.

 दिया हुआ बंटन विश्व के कुछ श्रेष्तम बल्लेबाजों द्वारा एकविवसीय अंतरोष्ट्रीय क्रेकेट मेचां में बनाए गए रनों को दर्शाता है :

बनाए गए रनबल्लेबाजों की संख्या
3000-40004
4000-500018
5000-60009
6000-70007
7000-80006
8000-90003
9000-100001
10000-110001

इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए। 
 हल :

बनाए गए रनबल्लेबाजों की संख्या
3000-40004 ($f_1$)
4000-500018 (f)
5000-60009 ($f_2$)
6000-70007
7000-80006
8000-90003
9000-100001
10000-110001

सबसे अधिक बारम्बारता f=18 , $f_1=4$ तथा $f_2=9$
∴ अधिकतम बारम्बारता वाला वर्ग 4000-5000 है।
∴$l_1=4000$ तथा $l_2=5000$
अतः $h=l_2-l_1=5000-4000=1000$

बहुलक =
$\begin{aligned}&=l_{1}+\left(\frac{f-f_{1}}{2 f-f_{1}-f_{2}}\right) \times h \\&=4000+\left(\frac{18-4}{2 \times 18-4-9}\right) \times 1000 \\&=4000+\frac{14 \times 1000}{36-13} \\&=4000+\frac{14000}{23} \\&=4000+608.7=4608.7\end{aligned}$
अतः बहुलक =4608.7 रन है।


प्रश्न 5. 

निम्नलिखित आँकड़े किसी गाँव के 200 परिवारों के कुल मासिक घरेलू व्यय के बंटन को दर्शाते हैं। इन परिवारों का बहुलक मासिक व्यय ज्ञात कीजिए।

व्यय (रुपयों में)परिवारों की संख्या
1000-150024
1500-200040
2000-250033
2500-300028
3000-350030
3500-400012
4000-450016
4500-50007

हल : 
बहुलक के लिए उपयुक्त सारणी

व्यय (रुपयों में)परिवारों की संख्या
1000-150024 $(f_1)$
1500-200040 (f)
2000-250033 $(f_2)$
2500-300028
3000-350030
3500-400012
4000-450016
4500-50007
 योग200

यहाँ अधिकतम बारम्बारता वाला पद $f=40, f_{1}=24$ तथा $f_{2}=33$ अधिकतम बारम्बारता वाला वर्ग 1500-2000 है।

$\therefore$ $l_{1}=1500$ तथा $l_{2}=2000$

तब$h=l_{2}-l_{1}=2000-1500=500$
अब
बहुलक =
$\begin{aligned}&=l_{1}+\left(\frac{f-f_{1}}{2 f-f_{1}-f_{2}}\right) \times h \\&=1500+\left(\frac{40-24}{2 \times 40-24-33}\right) \times 500\end{aligned}$
$=1500+\frac{16 \times 500}{80-57}$
$=1500+\frac{8000}{23}$
=1500+347.83=₹ 1,847.83 .

प्रश्न 6. 

एक विद्यार्थी ने एक सड़क के किसी स्थान से होकर जाती हुई कारों की संख्याएँ नोट कीं और उ नीचे दी हुई सारणी के रूप में व्यक्त किया। सारणी में दिया प्रत्येक प्रेक्षण 3 मिनट के अन्तराल में उस स्था से होकर जाने वाली कारों की संख्याओं से सम्बन्धित ' है। ऐसे 100 अन्तरालों पर प्रेक्षण लिए गए। इन आँका का बहुलक ज्ञात कीजिए।

कारों की संख्या बारम्बारता
0-107
10-2014
20-3013
30-4012
40-5020
50-6011
60-7015
70-808

हल :
कारों की संख्या बारम्बारता
0-107
10-2014
20-3013
30-4012($f_1$)
40-5020(f)
50-6011 $(f_2)$
60-7015
70-808


सबसे अधिक बारम्बारता $f=20, f_{1}=12$ तथा $f_{2}=11$ अधिकतम बारम्बारता वाला वर्ग 40-50 है।

∴ $l_{1}=40$ तथा $l_{2}=50 $

$h=l_{2}-l_{1}=50-40=10$
अतः

बहुलक$=l_{1}+\left(\frac{f-f_{1}}{2 f-f_{1}-f_{2}}\right) \times h$ 
$=40+\left(\frac{20-12}{2 \times 20-12-11}\right) \times 10$
$=40+\frac{8 \times 10}{40-23}$
$=40+\frac{80}{17}=40+4.7=44.7$
अतः आँकड़ों का बहुलक 44.7 होगा।

प्रश्न 7. 

नीचे दी सारणी 280 व्यक्तियों के वेतन दर्शाती है :

वेतन (हजार रुपये में) व्यक्तियों की संख्या 
5-1049
10-15133
15-2063
20-2515
25-306
30-357
35-404
40-452
45-501
इन आँकड़ों का माध्यक और बहुसक ज्ञात कीजिए।
 हल :
वेतन (हजार रुपये में)व्यक्तियों की संख्या (f)संचयी बारम्बारता 
5-104949
10-15133182
15-2063245
20-2515260
25-306266
30-357273
35-404277
40-452279
45-501280
280

$=\frac{n}{2}$ वें पद का मान, जहाँ n= बारंबारताओं का योग
 $=\frac{280}{2}$ वें अर्थात् 140 वें पद का मान जो वर्ग अंतराल  (10-15) में स्थित है, अर्थात् माध्यिका वर्ग (10-15) है।

$\therefore$ माध्यक,$\mathrm{M}=\mathrm{L}_{1}+\left(\frac{\mathrm{L}_{2}-\mathrm{L}_{1}}{f}\right)\left(\frac{n}{2}-\mathrm{F}\right)$
$\because L_{1}=10, L_{2}=15, f=133, \frac{n}{2}=140, \mathrm{~F}=49$

$\begin{aligned} M &=10+\left(\frac{15-10}{133}\right)(140-49) \\ &=10+\frac{5}{133} \times 91 \\ &=10+\frac{455}{133} \\ &=10+3.42 \\ &=13.42 \text { या } ₹ 13.42 \times 1000 \\ &=₹ 13420 \end{aligned}$

बहुलक हेतु :
उपरोक्त' सारणी में अधिकतम बारंबारता वाला पद 133 है, जिसका वर्ग अंतराल 10 - 15 है, तब बहुलक वर्ग=10-15
वर्ग माप,$h=5, f_{1}=133, f_{0}=49, f_{2}=63$

$h=5, f_{1}=133, f_{0}=49, f_{2}=63 $

बहुलक=
$\begin{aligned} &=l+\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right) \times h \\ &=10+\left(\frac{133-49}{2 \times 133-49-63}\right) \times 5 \\ &=10+\left(\frac{84 \times 5}{266-112}\right) \\ &=10+\frac{420}{154} \\ &=10+2.73 \\ &=12.73 \text { or₹ } 12.73 \times 1000 \\ &=₹ 12730 . \end{aligned}$





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Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 14 सांख्यिकी (Statistics) प्रश्नाबलीं 14 (A)

 प्रश्नाबलीं 14 (A)

प्रश्न 1: 

किसी कक्षा में 120 दिनों की अवधि में अनुपस्थित विद्यार्थियों की संख्या निम्नलिखित सारणी में दी गई है :

दिनों की संख्याअनुपस्थित विद्यार्थियों की संख्या 
20
31
102
523
324
155
46
27

प्रतिदिन अनुपस्थित विद्यार्थियों की औसत संख्या ज्ञात कीजिए।

हल :

$x_i$$f_i$$f_i x_i$
200
313
10220
523156
324128
15575
4624
2714
योग28420
  
प्रतिदिन अनुपस्थित विद्यार्थियों की औसत संख्या

$\begin{aligned}&=\frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}} \\&=\frac{420}{28}=15\end{aligned}$

प्रश्न 2
60 परीकार्थियों के किसी विषय में प्राप्त अंक निम्नलिखित सारणी में दिए हैं : 

प्राप्तांकपरीक्षार्थियों की संख्या प्राप्तांकपरीकार्थियों की संख्या
01020613
03050710
04070907
05121004

इन परीक्षार्थियों के प्राप्तांक का माध्य ज्ञात कीजिए।
हल : 
समान्तर माध्य के लिए सारणी
प्राप्तांक (x)परीक्षार्थियों की संख्या (f)$f \times x$
01022
030515
040728
051260
061378
071070
090763
100440
$\Sigma f=\mathrm{N}=60$$\Sigma f x=356$
समांत्तर माध्य $=\frac{\Sigma f x}{\mathrm{~N}}=\frac{356}{6 \theta}=5.93 .$

प्रश्न 3. 

किसी कक्षा अध्यापिका ने पूरे सत्र के लिए अपनी कक्षा के 40 विद्यार्थियों की अनुपस्थिति निम्नलिखित रूप में रिकाई की। एक विदार्थी जितने दिन अनुपस्थित रहा उनका माध्य ज्ञात कीजिए।

दिनों की संख्या0-66-1010-1414-2020-2828-3838-40
विद्यार्धियों की संख्या111074431
हल : 
सारणी
दिनों की संख्याविद्यार्थियों की संख्या $(f_i)$मध्य-बिन्दु $(x_i)$$f_i \times x_i$
0-611333
6-1010880
10-1471284
14-2041768
20-2842496
28-3833399
38-4013939
 योग 40499

माध्य, $\bar{x}=\frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}$
$=\frac{499}{40}$
=12.475
अतः विद्यार्थियों की अनुपस्थिति का माध्य 12.475 होगा।

प्रश्न 4. 

निम्नलिखित बारंबारता बंटन से ऊँचाई का सभान्तर माध्य ज्ञात कीजिए :

उँचाई (सेमी में) 150160158155164168
आदमिंमें की संख्या1014815716
हल : 
समान्तर माध्य के लिए सारणी :
ऊँचाई (x)आदमियों की संख्या $(f)$ $f \times x$
150101500
160142240
15881264
155152325
16471148
168162688
योग $\Sigma f=70$$\Sigma f \times x=11,165$

समान्तर माध्य $=\frac{\sum f \times x}{f}=\frac{11165}{70}=159.5$.
 
प्रश्न 5

अज्ञात चर  a का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित बंटन का माध्य
x12202733a54
f8164890308
हल : 
समान्तर माध्य के लिए सारणी :

xf$f \times x$
12896
2016320
27481296
33902970
a3030a
548432
योग$\Sigma f=200 $$\sum f \times x=5114+30 a$

समान्तर माध्य $=\frac{\Sigma f x}{\Sigma f}$

$\begin{aligned}31.87 &=\frac{.5114+30 a}{200} \\5114+30 a &=31.87 \times 200=6374 \\30 a &=6374-5114 \\30 a &=1260 \\a &=\frac{1260}{30}=42 \\a &=42\end{aligned}$

प्रश्न 6. 

निम्नलिखित आँकड़ों का माध्य 21 है, p का मान ज्ञात कीजिए :

x1015202535
f610p108

हल : 
समान्तर माध्य के लिए सारणी : 

xf$f \times x$
10660
1510150
20p50p
2510250
358280
योग$\Sigma \boldsymbol{f}=34+p $$ \Sigma \boldsymbol{f} \times\boldsymbol{x}=740+20 \boldsymbol{p} $

समान्तर माध्य =21

$\begin{gathered}\Sigma f=34+p \\\Sigma f x=740+20 p\end{gathered}$
समान्तर माध्य $=\frac{\Sigma f x}{\Sigma f}$

$\begin{aligned}21 &=\frac{740+20 p}{34+p} \\(34+p) \times 21 &=740+20 p \\34 \times 21+21 p &=740+20 p \\21 p-20 p &=740-34 \times 21\end{aligned}$

$p=740-714$

$p=26$

$p=26$

 प्रश्न 7. 

निम्नलिखित सारणी से आयु माध्य ज्ञात कीजिए :
कर्ग अन्तरालबारम्बारता
10-194
20-2910
30-3922
40-4926
50-5916
60-6912
70-796
80-894
हल : 

 वर्ग अन्तराज$(f_i)$$(x_i)$$f_ \times x_i$
10-19414.558
20-291024.5245
30-392234.5759
40-492644.51157
50-591654.5872
60-691264.5774
70-79674.5447
80-89484.5338
योग1004650

आयु का माध्य $\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{k} f_{i} x_{i}}{\sum_{i=1}^{k} f_{i}}=\frac{4650}{100}=46.50$.

प्रश्न 8. 

निम्नलिखित सारणी 35 नगरों की साक्षरता दर प्रतिशत में दर्शाती है। माध्य साक्षरता दर ज्ञात कीजिए :
साक्षरता दर (प्रतिशत में) 45-5555-6565-7575-8585-95
नगरों की संख्या3101183
हल : 
माध्य साक्षरता दर ज्ञात करने हेतु सारणी
साक्षरता दर (प्रतिशत में)नगरों की संख्या $f_i$मध्य-बिन्दु $(x_i)$$d_i=x_i-A$$f_i \times d_i$
45-55350-20-60
55-651060-10-100
65-751170(A)00
75-858801080
85-953902060
योग35-20

माध्य साक्षरता दर, $\bar{x}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}$

$\begin{aligned}&=70+\left(\frac{-2 n}{35}\right) \\&=70-\frac{4}{7} \\&=70-0.57=69.43\end{aligned}$

अतः माध्य साक्षरता दर $69.43 \%$ होगी।

प्रश्न 9.

निम्नलिखित बारंबारता बंटन से माध्य ज्ञात कीजिए।
प्राप्तांक0-1010-2020-3030-4040-5050-6060-7070-80
छात्रों की संख्या12716121171916
हल : 
प्राप्तांकछात्रों की संख्या $(f)$मध्य बिन्दु (x)$f \times x$
0-1012560
10-20715105
20-301625400
30-401235420
40-501145495
50-60755385
60-7019651235
70-8016751200
योग$\Sigma f =100$$\Sigma f x=4300$

अभीष्ट माध्य $=\frac{\Sigma f \times x}{\Sigma f}=\frac{4300}{100}$
=43 .

प्रश्न 10.

निम्नलिखित आँकड़ों से समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।
प्राप्तांकछात्र संख्या
10 से कम12
20 से कम19
30 से कम35
40 से कम47
50 से कम58
60 से कम65
70 से कम84
80 से कम100
हल : 
पहले सारणी को वर्ग अन्तराल के रूप में लिखेंगे तथा उनकी बारम्बारता ज्ञात करेंगे।
प्राप्तांकमध्यमान (x)संचयी बारम्बारता बारम्बारता $(f)$$ f \times x$
0-105121260
10-2015197105
20-30253516400
30-40354712420
40-50455811495
50-6055657385
60-706584191235
70-8075100161200
योग$\Sigma \boldsymbol{f}=100 $$\boldsymbol{\Sigma}\boldsymbol{f} \times \boldsymbol{x}=4300$

समान्तर माध्य $=\frac{\Sigma f \times x}{\Sigma f}$

$\begin{aligned}\Sigma f \times x &=4300, \Sigma f=100 \\&=\frac{4300}{100}=43\end{aligned}$

समान्तर माध्य =43


 प्रश्न 11. 

निम्नलिखित सारणी किसी मोहले के  25 परिवारों में भोजन पर हुए दैनिक व्यय कोदर्शाती है :
दैनिक व्यय (रुपयों में)100-150150-200200-250250-300300-350
 परिवारों की संख्या451222

एक उपयुक्त विधि द्वारा भोजन पर हुआ माध्य व्यय ज्ञात कीजिए।

हल : 
दैनिक भोजन पर व्यय हेतु माध्य सारणी 
दैनिक व्यय (रुपयों में)परीवारों की संख्या $(f_i)$ मध्य-बिन्दु $(x_i)$$d_i=x_i-A$$f_i \times d_i$
100-1504125-100-400
150-2005175-50-250
200-25012225 (A)00
250-300227550100
300-3502325100200
योग25-350

भोजन पर हुआ माध्य व्यय,

$\begin{aligned}\bar{x} &=\mathrm{A}+\frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}} \\&=225+\left(\frac{-350}{25}\right) \\&=225-14 \\\bar{x} &=211\end{aligned}$

अतः भोजन पर हुआ माध्य व्यय ₹ 211 होगा।

प्रश्न 12.

40 परिवारों का पानी का खर्च निम्नलिखित तालिका में दिया हुआ है। पानी का औसत खर्च रुपये में ज्ञात कीजिए।
पानी का खर्च (रुपयों में)घरों की संख्या
25-307
30-358
35-409
40-4510
45-506

हल : 
समान्तर माध्य के लिए सारणी :

पानी का खर्च (रुपयों में)घरों की संख्या $(f)$मध्यमान x$f \times x$
25-30727.5192.5
30-35832.5260.0
35-40937.5337.5
40-451042.5425.0
45-50647.5285.0
योग$\sum f=40$$\sim f \times x=1500$

समान्तर माध्य $=\frac{\Sigma f \times x}{\mathrm{~N}}=\frac{1500}{40}=\frac{75}{2}=37.5$

 समान्तर माध्य =37.5

 प्रश्न 13. 

वर्ग अन्तराल बारम्बारता 
20-2512
25-3010
30-358
35-409
40-456
45-505
50-552
हल : 
समान्तर माध्य के लिए सारणी :
वर्ग अन्तराल बारम्बारता $(f_i)$मध्य बिन्दु (x)$f \times x$
20-251222.5270.5
25-301027.5275.0
30-35832.5260.0
35-40937.5337.5
40-45642.5255.0
45-50547.5237.0
50-55252.5105.0
योग$\sum f=52$$\sum fx=1740$

समान्तर माध्य $=\frac{\Sigma f \times x}{\Sigma f}=\frac{1740}{52}=33.46$

समान्तर माध्य =33.46 

प्रश्न 14.

 यदि निम्न सारणी में विद्यार्थियों के प्राप्तांकों का समान्तर माध्य 25 अंक है, तो f का मान ज्ञात कीजिए।
प्राप्तांक 0-1010-2020-3030-4040-50
विद्यार्थियों की संख्या3f6105
हल : 

प्राप्तांकछात्रों की संख्या $(f)$मध्य बिन्दु (x)$f \times x$
0-103515
10-20f1515f
20-30625150
30-401035350
40-45545225
$\sum = 24+f$$\sum f\times x=740+15f$

समान्तर माध्य $=\frac{\Sigma f \times x}{\Sigma f}$

$\begin{aligned}25 &=\frac{740+15 f}{24+f} \\100+25 f &=740+15 f \\10 f &=140 \\f &=14 .\end{aligned}$

प्रश्न 15. 

निम्नलिखित बारम्बारता में माध्य 50 है। किन्दु 20-40 तथा 60-80 वर्ग अन्तरालों की बारम्बारताएँ $f_{1}$ और $f_{2}$ अज्ञात हैं। इन अज्ञात बारम्बारताओं को ज्ञात कीजिए।
वर्ग बारम्बारता 
0-2017
20-40$f_1$
40-6032
60-80$f_2$
80-10019
कुल योग 120

हल :
वर्ग C.I. मध्य बिन्दु $x_i$चर की बारम्बारता $f_i$$f_i x_i$
0-201017170
20-4030$f_1$$30f_1$
40-6050321600
60-8070$f_2$$70f_2$
80-10090191710
कुल योग$\sim f_i=68+f_1+f_2$$3480+30f_1+70f_2$

परन्तु 
$\begin{array}{lr} & \Sigma f_{i}=120, \\ \therefore & 68+f_{1}+f_{2}=120\end{array}$

$f_{1}+f_{2}=120-68=52$...........(i)

$\begin{aligned} \bar{x} &=\frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}} \\ 50 &=\frac{3480+30 f_{i}+70 f_{2}}{120} \\ 3480+30 f_{1}+70 f_{2} &=50 \times 120=6000 \\ 30 f_{1}+70 f_{2} &=6000-3480=2520 \\ 3 f_{1}+7 f_{2} &=252 \end{aligned}$............(ii)

समीकरण" (i) के दोनों पक्षों को 7 से गुणा करने पर
$7 f_{1}+7 f_{2}=364$......(iii)

समीकरण (iii) में से (ii) को घटाने पर हम प्राप्त करते हैं :

$\begin{aligned}&4 f_{1}=112 \\&f_{i}=\frac{112}{4}=28\end{aligned}$
$f_{1}$ का मान समीकरण' (i) में रखने पर हम प्राप्त करते हैं :

$\therefore28+f_{2}=52$

$f_{2}=52-28=24$

अतः अज्ञात बारम्बारताएँ हैं :

$f_{1}=28 \text { और } f_{2}=24 \text {. }$

प्रश्न 16.

 विद्यार्थियों के एक समूह द्वारा अपने पर्यावरण संचेतना अभियान के अंतर्गत एक सर्वेक्षण किया गया, जिसमें उन्होंने एक मोहल्ले के 20 घरों में लगे हुए पौधों से सम्बन्धित निम्नलिखित आँकड़े एकत्रित किए। प्रति घर माध्य पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए।

पौधों की संख्या0-22-44-66-88-1010-1212-14
घरों की संख्या 1215623

माध्य ज्ञात करने के लिए आपने किस विधि का प्रयोग किया और क्यों ? 
हल:
पौधंतं की संख्याघरों की संख्या $f_i$मध्य-बिन्दु $(x_i)$$f_i \times x_i$
0-2111
2-4236
4-6155
6-85735
8-106954
10-1221122
12-1431339
योग20162

$\Sigma f_{i}=20$ तथा $\Sigma f_{i} x_{i}=162$ हो, तब 
माध्य, $\bar{x}=\frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}=\frac{162}{20}=8.1$

हमने माध्य ज्ञात करने के लिए प्रत्यक्ष विधि का प्रयोग किया क्योंकिंदी गई बारम्बारताएँ $\left(f_{i}\right)$ तथा पौधों की संख्या द्वारा प्राप्तं मध्य-बिन्दु $\left(x_{i}\right)$ न्यूनतम रूप में हैं।
उत्तर


प्रश्न 17. 

निम्नलिखित बंटन एक मोहल्ले के बच्चों के दैनिक जेबखर्च दर्शाता है। माध्य जेब खर्च ₹ 18 है। लुप्त बारम्बरता f ज्ञात कीजिए।
दैनिक जेब खर्च (रूपयो में)11-1313-1515-1717-1919-2121-2323-25
बच्चों की संख्या76913f54
हल : 
देनिक जेब भत्ता (रुपयों में)बच्चों की संख्या $f_i$मध्य-बिन्दु $x_i$$f_i \times x_i$
11-1371284
13-1561484
15-17916144
17-191318234
19-21f2020f
21-23522110
23-2542496
योग44+f752+20f

माध्य, $\bar{x}=\frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}$

$\begin{aligned}18 &=\frac{752+20 f}{44+f} \\752+20 f &=792+18 f \\20 f-18 f &=792-752 \\2 f &=40 \\f &=20\end{aligned}$

अतः f का मान 20 होगा।

प्रश्न 18. 

किसी अस्पताल में, एक डॉक्टर द्वारा 30 महिलाओं की जाँच की गई और उनके हृदय स्पंदन की प्रति मिनट संख्या नोट करके नीचे दर्शाए अनुसार संक्षिप्त रूप में लिखी गई। एक उपयुक्त विधि चुनते हुए, इन महिलाओं के हृदय स्पंदन की प्रति मिनट माध्य संख्या ज्ञात कीजिए।

हृदय स्पंदन की प्रति मिनट संख्या65-6868-7171-7474-7777-8080-8383-86
महिलाओं की संख्या2438742
हल :
हृदय स्पंदन की प्रति मिनट संख्यामहिलाओं की संख्या $(f_i)$मध्य-बिन्दु $(x_i)$$d_i=x_i-A$$f_i \times d_i$65-68
65-68266.5-9-18
68-71469.5-6-24
71-74372.5-3-9
74-77875.5 (A)00
77-80778.5321
80-83481.5624
83-86284.5918
योग3012

प्रति मिनट माध्य संख्या,

$\bar{x}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}$

$=75.5+\frac{12}{30}$

$=75.5+0.4$

$=759$

अतः महिलाओं के हृदय स्पंदन की प्रति मिनट माध्य संख्या 75.9 होगी।
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