प्रश्नावली 15 (B)
प्रश्न 1.
एक सिक्के को उछालने पर ऊपर शीर्ष आने की प्रायिकत $\mathrm{r}$ है :
(i) 1
(ii) -1
(iii) $\frac{1}{2}$
(iv) $\frac{1}{3}$.
हल :
सिक्के उछालने पर ऊपर शीर्ष आने का प्रायिकता $=\frac{1}{2}$.
अतः विकल्प (iii) $\frac{1}{2}$ सही है। उत्तर
प्रश्न 2.
एक साधारण पासे को फेंका जाता है। उसके ऊपरी फलक पर सम संख्या आने की प्रायिकता है :
(i) $\frac{1}{6}$
(ii) $\frac{1}{2}$
(iii) $\frac{1}{4}$
(iv) $\frac{1}{3}$.
हल :
पासे पर प्राप्त होने वाली संख्याएँ $=1,2,3,4,5,6$ $n(S)=6$ अर्थात्
पासे पर ऊपरी फलक पर सम संख्याएँ $=2,4,6$ अर्थात्
n(E)=3
∴प्रायिकता,
$\begin{aligned} \mathrm{P}(\mathrm{E}) &=\frac{n(\mathrm{E})}{n(\mathrm{~S})} \\&=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\end{aligned}$
प्रश्न 3.
पासों का एक युग्म फेंका जाता है, यदि कम से कम एक पर अंक 5 आता है तो योग 9 या अधिक आने की प्रायिकता है :
(i) $\frac{5}{36}$
(ii) $\frac{2}{9}$
(iii) $\frac{3}{11}$
(iv) $\frac{1}{12}$.
हल :
प्रश्नानुसार, दो पासों को उछालने पर कुल संभव परिणाम, $n(\mathrm{~S})=36$
ऐसे परिणामों की संख्या जिनका योग 9 या 9 से अधिक हो तथा कम से कम एक पासे पर अंक 5 हों।
$=\{(5,4),(4,5),(5,5),(5,6),(6,5)\}$
अर्थात् $n(\mathrm{E})=5$
प्राथिकता, $\mathrm{P}(\mathrm{E})=\frac{n(\mathrm{E})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{5}{36}$
अतः विकल्प (i) $\frac{5}{36}$ सही है। उत्तर
प्रश्न 4.
एक पासे को फेंकने पर ऊपर फलक पर 3 से बड़े अंक आने की प्रायिकता है :
(i) $\frac{1}{6}$
(ii) $\frac{1}{3}$
(iii) $\frac{1}{4}$
(iv) $\frac{1}{2}$
हल :
पासे के कुल परिणार्मों की संख्या, $n(\mathrm{~S})=6$ तथा पासे पर 3 से बड़े अंक आने वाली संख्याएँ $=4,5,6$ अर्थात्
$n(\mathrm{E})=3$
प्रायिकता $=\frac{n(\mathrm{E})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{n(\mathrm{E})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
अतः विक्ल (iv) $\frac{1}{2}$ सही है
प्रश्न 5.
दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं। दोनों पासों की संख्याओं का योगफल 7 होने की प्रायिकता है :
(i) $\frac{1}{6}$
(ii) $\frac{1}{2}$
(iii) $\frac{1}{36}$
(iv) $\frac{1}{12}$
हल :
दो पासों को उछालने पर कुल संभव परिणाम
$n(\mathrm{~S})=36$
योगफल 7 आने वाले युग्म $=\{(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(4,3),(3,4)\}$
अर्थात्
$n(\mathrm{E})=6$
प्रायिकता $=\frac{n(\mathrm{E})}{n(\mathrm{~S})}$
$=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$
अतः विकल्प (i) $\frac{1}{6}$ सही है। उत्तर
प्रश्न 6.
निम्नलिखित कथनों को पूरा कीजिए :
(i) घटना $\mathrm{E}$ की प्रायिकता $+$ घटना ' $\mathrm{E}$ नहीं' की प्रायिकता $=\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots$ है।
(ii) उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती $\cdots \cdots \cdots$ है। ऐसी घटना $\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots$
(iii) उस घटना की प्रायिक्ता जिसका घटित होना निश्चित है ......... है। ऐसी घटना कहलाती है।
(iv) किसी प्रयोग की समी प्रारम्भिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग $\cdots \cdots \cdots \cdots$ है।
(v) किसी घट्ना की प्रागिक्ता $\cdots \cdots \cdots$ से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा $\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots$ से छोटी या उसके बराबर होती है।
हल :
(i) घटना $\mathrm{E}$ की प्रायिकता $+$ घटना ' $\mathrm{E}$ नहीं' की प्रायिकता $=1$ है।
(ii) उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती 0 है। ऐसी घटना असंभव घटना कहलाती है।
(ii) उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है 1 है। ऐसी घटना निश्चित घटना कहलाती है।
(iv) किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 1 है।
(v) किसी घटना की प्रायिकता 0 से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा 1 से छेटी या उसके बराबर होती क्षे।
प्रश्न 7.
एक पेटी में 12 गेदे हैं, जिनमें से $x$ गेंद काली है। यदि इसमें से एक गेंद यातृच्छाय निकाली जाती है, तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह गेंद काली है।
यदि इस पेटी में 6 काली गेंद और डाल दी जाएँ, तो काली गेंद निकालने की प्रायिकता पहली प्रायिकता की दुगुनी हो जाती है। $x$ का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
दी गई पेटी में गेदों की कुल संख्या $=12$
$\therefore \quad$ सभी सम्भव परिणामों की संख्या $=12$
स्थिति-I: माना घटना " निकाली गई गेंद काली है", को $\mathrm{E}$ से व्यक्त करें, तो
E के अनुकूल परिणामों की संख्या
$=x[\because$ पेटी में x काली गेंदे हैं]
∴ P(E)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सभीसम्भव परिणामों' की संख्या$=\frac{x}{12}$
स्थिति-II :
पेटी में 6 काली गेंद और डालने पर गेंदों की कुल संख्या $=12+6=18$
अर्थात् सभी सम्भव' परिणामों की संख्या $=18$
अब काली गेंदों की संख्या $=x+6$
माना घटना "काली गेंद निकालना" को $\mathrm{F}$ से व्यक्त करें, तो $\mathrm{F}$ के अनुकूल परिणामों की संख्या =x+6
⇒P(F)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भव परिणामों की संख्या $=\frac{x+6}{18}$
प्रश्नानुसार,
$\because\frac{x+6}{18}=2\left(\frac{x}{12}\right)$
$\begin{aligned} 12(x+6) &=36 x \\ 12 x+72 &=36 x \\ 36 x-12 x &=72 \\ 24 x &=72 \\ x &=\frac{72}{24}=3 \end{aligned}$
प्रश्न 8.
एक जार में 24 कंचे हैं जिनमें कुछ हरे हैं और शेष नीले हैं। यदि इस जार में से यादृच्छाया' एक कंचा निकाला' जाता है तो इस कंचे के हरा होने की प्रायिकता $\frac{2}{3}$ है। जार में नीले कंचों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया गया है कि जार में कंचों की संख्या $=24$
$\therefore \quad$ सभी सम्भव परिणामों की संख्या $=24$
मान लीजिए जार में नीले कंचे $x$ हों, तब
$\therefore \quad$ जार में हरे कंवों की संख्या $=24-x$
माना घटना "निकाला गया कंचा हरा है" को $\mathrm{E}$ से व्यक्त करें, तो $\mathrm{E}$ के अनुकूल परिणामों की संख्या
=(24-x)
∴P(E)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भव परिणामों कीसंख्या $=\frac{24-x}{24}$
$\begin{aligned} \frac{24-x}{24} &=\frac{2}{3} \\ 3(24-x) &=2 \times 24 \\ 72-3 x &=48 \\ 3 x &=72-48 \\ 3 x &=24 \\ x &=\frac{24}{3}=8 \end{aligned}$
अतः जार में नीले कंचों की संख्या 8 है।
प्रश्न 9.
दो ग्राहक श्याम और एकता एक विशेष दुकान पर एक ही सप्ताह में जा रहे हैं (मंगलवार से शनिवार तक)। प्रत्येक द्वारा दुकान पर किसी दिन या किसी अन्य दिन जाने के परिणाम समप्रायिक हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों उस दुकान पर (i) एक ही दिन जाएँगे? (ii) क्रमागत दिनों में जाएँगे? (iii) भिन्न-भिन्न दिनों में जाएँगे?
हल :
माना मंगलवार को $\mathrm{T}$ से, बुधवार को $\mathrm{W}$ से, गुरुवार को $\mathrm{Th}$ से, शुक्रवार को $\mathrm{F}$ से तथा शनिवार को $\mathrm{S}$ से प्रकट करें, तो ग्राहकों श्याम और एकता द्वारा एक विशेष दुकान पर एक ही सप्ताह (मंगलवार से शनिवार) में जाने के सभी सम्भव परिणाम निम्नलिखित हैं :
$\begin{array}{lllll}\begin{array}{l}(\mathrm{T}, \mathrm{T}), \\ (\mathrm{W}, \mathrm{T}),\end{array} & \begin{array}{l}(\mathrm{T}, \mathrm{W}), \\ (\mathrm{W}, \mathrm{W}),\end{array} & \begin{array}{l}(\mathrm{T}, \mathrm{Th}), \\ (\mathrm{W}, \mathrm{Th}),\end{array} & \begin{array}{l}(\mathrm{T}, \mathrm{F}), \\ (\mathrm{W}, \mathrm{F}),\end{array} & \begin{array}{l}(\mathrm{T}, \mathrm{S}) \\ (\mathrm{W}, \mathrm{S})\end{array} \\ (\mathrm{F}, \mathrm{T}), & (\mathrm{Th}, \mathrm{W}), & (\mathrm{Th}, \mathrm{Th}), & (\mathrm{Th}, \mathrm{F}), & (\mathrm{Th}, \mathrm{S}) \\ (\mathrm{S}, \mathrm{T}), & (\mathrm{S}, \mathrm{W}), & (\mathrm{F}, \mathrm{Th}), & (\mathrm{F}, \mathrm{F}), & (\mathrm{F}, \mathrm{S}) \\ & & (\mathrm{S}), & (\mathrm{S}, \mathrm{F}), & (\mathrm{S}, \mathrm{S})\end{array}$
$\therefore$ सभी सम्भव परिणामों की कुल संख्या $=25$
(i) माना घटना 'दो ग्राहक एक ही दिन जायेंगे' को $\mathrm{E}$ से व्यक्त करें तो $\mathrm{E}$ के अनुकूल परिणामों' की संख्या $=5$ $[\because(\mathrm{T}, \mathrm{T}),(\mathrm{W}, \mathrm{W}),(\mathrm{Th}, \mathrm{Th}),(\mathrm{F}, \mathrm{F}),(\mathrm{S}, \mathrm{S})$ एक ही दिन की घटनाएँ हैं]
∴P(E)= अनुकूल परिणामों की संख्या / सभीसम्भव परिणामों की संख्या$=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}$
(ii) यदि घटना 'दो ग्राहक क्रमागत दिनों में जायेंगे' को $\mathrm{A}$ से व्यक्त करें तो
$\mathrm{A}$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $=8$
$\left[\begin{array}{l}\because(\mathrm{T}, \mathrm{W}),(\mathrm{W}, \mathrm{Th}),(\mathrm{Th}, \mathrm{F}),(\mathrm{F}, \mathrm{S}), \\ (\mathrm{S}, \mathrm{F}),(\mathrm{W}, \mathrm{T}),(\mathrm{Th}, \mathrm{W}),(\mathrm{F}, \mathrm{Th}) \end{array}\right.$ क्रमागत' दिन हैं। ]
P(A)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भव पस्पिणमें की संख्या$=\frac{8}{25}$ उत्तर
(iii) यदि घटना दो ग्राहक भिन्न-भिन्न दिनों में जायेंगे' को $\mathrm{B}$ से व्यक्त करें तो
$\mathrm{B}$ के अनुकूल परिणामों की संख्या =20
25-एक ही दिन वाले परिणाम⇒25-5=20
अर्थात्
$\left[\begin{array}{l} (\mathrm{T}, \mathrm{T}),(\mathrm{WW}),(\mathrm{T}, \mathrm{Th}),(\mathrm{F}, \mathrm{F}) \text { और }(\mathrm{S}, \mathrm{S}) \end{array}\right.$ को छोड़कर ]
∴P(B)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भव परिणामों की संख्या$=\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$. उत्तर
प्रश्न 10:
एक पासे के फलकों पर संख्याएँ $1,2,2,3,3$ और 6 लिखी हुई हैं। इसे दो बार फेंका जाता है तथा दोनों बार प्राप्त हुई संख्याओं के योग लिख लिए जाते हैं। दोनों बार फैंकने के बाद, प्राप्त योग के कुछ संभावित मान निम्नलिखित सारणी में दिए हैं इस सारणी को पूरा कीजिए।
पहली बार फेंकने के मान
इसकी क्या प्रायिकता है कि कुल योग
(i) एक सम संख्या होगा? (ii) 6 है? (iii) कम से कम 6 है?
हल :
पूरा करने पर सारणी इस प्रकार है :
इसकी क्या प्रायिकता है कि कुल योग
(i) एक सम संख्या होगा? (ii) 6 है? (iii) कम से कम 6 है?
हल : पूरा करने पर सारणी इस प्रकार है :
∴ सभी सम्भावित परिणामों की संख्या =36
(i) मान लीजिए घटना 'कुल योग एक सम संख्या होगा' को $\mathrm{E}$ से व्यक्त करें तो उपरोक्त परिणामों से E के अनुकूल परिणामों की संख्या $=18$
∴ P(E)$=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$उत्तर
(ii) माना घटना 'कुल योग 6 है' को $F$ से व्यक्त करें तो अनुकूल परिणामों की संख्या 4 है
∴P(F)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भव पस्सिभामें की संख्या$=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$. उत्तर
(iii) माना घटना ' कुल योग कम से कम 6 हैं को G से व्यक्त करें, तो G के अनुकूल परिणामों की संख्या =15 [∵7,8,8,6,6,9,6,6,9,7,8,7,9,9,12 अनुकूल परिणाम हैं ]
P(G)=अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी सम्भव परिणामों की संख्या $=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$. उत्तर
प्रश्न 11.
निम्नलिखित में से कौन सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती ?
(A) $\frac{2}{3}$
(B) $-1.5$
(C) $15 \%$
(D) $0.7$
हल :
$\because$ किसी घटना $\mathrm{E}$ की प्रायिक्ता' $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ सदैव
$0 \leq \mathrm{P}(\mathrm{E}) \leq 1$
(A) $\therefore 0<\frac{2}{3}<1$ है अर्थात् $\frac{2}{3}$ किसी घटना की प्रायिक्ता हो सकती है।
(B) $0>(-1.5)$ अर्थात् $-1.5$ शून्य से छोटा है।
$\therefore$ यह किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती है।
(C) चूँकि $0>15 \%<1$
$\therefore 15 \%$, किसी घटना की प्रायिक्ता हो सकती है।
(D) $0<0.7<1$ है।
$\therefore$ यह किसी घटना की प्रायिकता हो सकती है।
प्रश्न 12.
निम्नलिखित प्रयोगों में से किन-किन प्रयोगों के परिणाम समप्रायिक हैं ? स्पष्ट कीजिए।
(i) एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयल करता है। कार चलना प्रारम्भ हो जाती है या कार चलना प्रारम्भ नहीं होती है।
(ii) एक खिलाड़ी बास्केटबॉल' को बास्केट में डालने का प्रयल करती है। वह बास्केट में बॉल डाल पाती है या नहीं डाल पाती है।
(iii) एक सत्य-असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है। उत्तर सही है या गलत होगा।
(iv) एक बच्चे का जन्म होता है। वह एक लड़का है या एक लड़की है।
हल :
(i) जब एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयल करता है। तो कार चलना प्रारम्भ हो जाती है या नहीं भी चलती है। अतः इस प्रयोग का परिणाम समप्रायिक नहीं है।
(ii) एक खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डाल भी सकती है या नहीं भी डाल सकती है। अतः यह प्रयोग समप्रायिक नहीं है।
(iii) एक सत्य या असत्य प्रश्न के उत्तर के विषय में हमें पहले ही पाता है कि परिणाम दो में से एक का 'उत्तर के रूप में' आना निश्चित है। अतः इस प्रयोग का परिणाम समप्रायिक है।
(iv) किसी बच्चे के जन्म के विषय में लड़का या लड़की का होना निश्चित होता है। अतः इस परिणाम को समप्रायिक कहते हैं।
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