Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 7 निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry) प्रश्नावली - 7 (E)

 प्रश्नावली - 7 (E)

बहुविकल्पीय प्रश्न

निम्नलिखित प्रत्येक प्रश्न के चार सम्भावित उत्तर दिए गए हैं, जिनमें से एक सही है। सही उत्तर बताइए :

प्रश्न 1.

उस त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष $(0,0)(0,2)$ तथा $(2,0)$ हैं, होगा :

(i) 1

(ii) 2

(iii) 4

(iv) 8 

उत्तर :

विकल्प (ii) 2 .

हल : यहाँ $x_{1}=0, x_{2}=0, x_{3}=2$

$y_{1}=0, y_{2}=2, y_{3}=0$

Δ का क्षेत्रफल 

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right] \\ &=\frac{1}{2}[0(2-0)+0(0-0)+2(0-2)] \\ &=\frac{1}{2}[0+0-4] \\ &=\frac{1}{2} \times(-4)=-2 \\ &=2 . \end{aligned}$

प्रश्न 2.

एक समबाहु त्रिभुज का एक शीर्ष मूलबिन्दु पर और दूसरा शीर्ष बिन्दु $(4,0)$ पर है। त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा :

(i) 4 वर्ग इकाई

(ii) $\sqrt{3}$ वर्ग इकाई

(iii) $4 \sqrt{3}$ वर्ग इकाई

(iv) $2 \sqrt{3}$ वर्ग इकाई

उत्तर : 

विकल्प (iii) $4 \sqrt{3}$ वर्ग इकाई।

हल : 

यहाँ

$\begin{aligned}&x_{1}=0, x_{2}=4, x_{3}=2 \\&y_{1}=0, y_{2}=0, y_{3}=2 \sqrt{3}\end{aligned}$

Δ का क्षेत्रफल 

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right] \\ &=\frac{1}{2}[0(0-2 \sqrt{3})+4(2 \sqrt{3}-0)+2(0-0)] \\ &=\frac{1}{2}[0+8 \sqrt{3}+0] \\ &=\frac{1}{2} \times 8 \sqrt{3} \end{aligned}$

$=4 \sqrt{3}$ वर्ग इकाई।

प्रश्न 3.

$\triangle \mathrm{OAB}$ का क्षेत्रफल होगा :

(i) 16 वर्ग इकाई

(ii) 20 वर्ग इकाई

(iii) 24 वर्ग इकाई

(iv) 36 वर्ग इकाई

उत्तर : 

विकल्प (iii) 24 वर्ग इकाई।

हल : 

$\triangle \mathrm{OAB}$ के शीषों के निर्देशांक $(0,0),(8,0)$ तथा $(0,6)$ हैं।

$\Delta \mathrm{OAB}$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right]$

$=\frac{1}{2}[0(0-6)+8(6-0)+0(0-0)]$ $=\frac{1}{2}[0+48+0]$ $=\frac{1}{2} \times 48$ $=24$ वर्ग इकाई।

प्रश्न 4. 

त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ के शीर्ष $\mathrm{A}(0,0), \mathrm{B}(3,0), \mathrm{C}(-3,0)$ हों, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा :

(i) 9

(ii) $\frac{1}{2}$

(iii) 0

(iv) 18 

उत्तर- विकल्प (iii) 0 .

हल : 

यहाँ

$\begin{aligned}&x_{1}=0, x_{2}=3, x_{3}=-3 \\&y_{1}=0, y_{2}=0, y_{3}=0\end{aligned}$

Δ का क्षेत्रफल 

$\begin{aligned} &=\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right] \\ &=\frac{1}{2}[0(0-0)+3(0-0)+(-3)(0-0)] \\ &=\frac{1}{2} \times 0=0 . \end{aligned}$

प्रश्न 5.

त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ के शीर्ष $\mathrm{A}(0,0), \mathrm{B}(a, 0), \mathrm{C}(0,-a)$ हों, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा :

(i) 0

(ii) $\frac{1}{2} a^{2}$

(iii) $a^{2}$

(iv) $2 a^{2}$.

उत्तर : विकल्प (ii) $\frac{1}{2} a^{2}$.

हल : 

यहाँ

$\begin{aligned}&x_{1}=0, x_{2}=a, x_{3}=0 \\&y_{1}=0, y_{2}=0, y_{3}=-a\end{aligned}$

$\begin{aligned} x_{1} &=0, x_{2}=a, x_{3}=0 \\ y_{1} &=0, y_{2}=0, y_{3}=-a \end{aligned}$

Δ का क्षेत्रफल  

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right] \\ &=\frac{1}{2}[0(0+a)+a(-a-0)+0(0-0)] \\ &=\frac{1}{2}\left[0-a^{2}+0\right] \\ &=-\frac{1}{2} a^{2}\end{aligned}$

$=\frac{1}{2} a^{2}$ मात्रक। 

प्रश्न 6.

 बिन्दु $(0,5)$ और $(-5,0)$ के बीच की दूरी है :

(i) 5

(ii) $5 \sqrt{2}$

(iii) $2 \sqrt{5}$

(iv) $10 .$

हल : 

$(0,5)$ और $(-5,0)$ के बीच की दूरी $=\sqrt{(-5-0)^{2}+(0-5)^{2}}$

$\begin{aligned}&=\sqrt{(-5)^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{25+25} \\&=\sqrt{50}\end{aligned}$

$=5 \sqrt{2} $ इकाई।

अतः विकल्प (ii) सही है।

प्रश्न 7

. शीर्षों $(0,4),(0,0)$ और $(3,0)$ वाले त्रिभुज का परिमाप है :

(i) 5

(ii) 12

(iii) 11

(iv) $7+\sqrt{5}$

हल : 

$(0,4)$ तथा $(0,0)$ के बीच की दूरी $=\sqrt{(0-0)^{2}+(0-4)^{2}}=\sqrt{0+16}$

$=\sqrt{16}=4$

$(0,0)$ तथा $(3,0)$ के बीच की दूरी $=\sqrt{(0-3)^{2}+(0-0)^{2}}=\sqrt{9}=3$

$(0,4)$ तथा $(3,0)$ के बीच की दूरी $=\sqrt{(0-3)^{2}+(4-0)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

त्रिभुज का परिमाप $=4+3+5=12$

विकल्प (ii) सही है।

प्रश्न 8. 

बिन्दु $P(-6,8)$ की मूल बिन्दु से दूरी है :

(i) 8

(ii) $2 \sqrt{7}$

(iii) 10

(iv) $6 .$

हल :

बिन्दु $(-6,8)$ तथा $(0,0)$ के बीच की दूरी

$=\sqrt{(-6-0)^{2}+(8-0)^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}$

$=10 .$

अतः विकल्प (iii) सही है।

प्रश्न 9. 

यदि बिन्दुओं $(4, p)$ और $(1,0)$ के बीच की दूरी 5 है, तो $p$ का मान है :

(i) 4

(ii) $\pm 4$

(iii) $-4$

(iv) 0 .

हल : 

बिन्दु $(4, p)$ और $(1,0)$ के बीच की दूरी $=5$

$\begin{array}{r}\sqrt{(4-1)^{2}+(p-0)^{2}}=5 \\\sqrt{9+p^{2}}=5 \\9+p^{2}=25\end{array}$

$\begin{aligned} p^{2} &=25-9=16 \\ p &=\pm 4 \end{aligned}$

अतः विकल्प (ii) सही है।

प्रश्न 10. 

यदि बिन्दु $\mathrm{A}(1,2), O(0,0)$ और $\mathrm{C}(a, b)$ संरेख हैं, तो :

(i) $\quad a=b$

(ii) $a=2 b$

(iii) $2 a=b$

(iv) $a=-b$

हल : 

$\because$ बिन्दु $\mathrm{A}, \mathrm{O}$ तथा $\mathrm{C}$ सरेख हों, तब

$\triangle \mathrm{AOC} \text { का क्षेत्रफल }=0$

$\begin{aligned} \frac{1}{2}[1(0-b)+0(b-2)+a(2-0)] &=0 \\-b+0+2 a &=0 \\ 2 a &=b \end{aligned}$

अतः विकल्प (ii) सही है।

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 11. 

आपके स्कूल में खेल-कूद क्रियाकलाप आयोजित करने के लिए, एक आयताकार मैदान $\mathrm{ABCD}$ में, चूने से परस्पर 1 मी की दूरी पर पक्तियाँ बनाई गई हैं। $\mathrm{AD}$ के अनुदिश परस्पर 1 मी की दूरी पर 100 गमले रखे गए हैं, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। निहारिका दूसरी पंक्ति में $\mathrm{AD}$ के $\frac{1}{4}$ भाग के $\frac{1}{\text { है }}$ बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक हरा झंडा गाड़ देती है। प्रीत आठवीं पंक्ति में $\mathrm{AD}$ के $\frac{1}{5}$ भाग के बराबर की दूरी दौड़ती एक लाल अंडा गाड़ देती है। दोनों यांडों के बीच की दुरी क्या है? गदि रशिम को एक नीला एंडा इन दोनों अंडों को मिलाने वाले रेखाखंण्ड पर ठीक आधी दूरी (बीच में) पर गाड़ना हो तो उसे अपना झंडा कहाँ गाड़ना चाहिए ?

हल : 

आकृति में, $\mathrm{AB}$ और $\mathrm{AD}$ क्रमशः $x$-अक्ष और $y$-अक्ष हैं। 

अब, हरे-झंडे की स्थिति $\left(2, \frac{100}{4}\right)$ या $(2,25)$ है।

और लाल रंग के झंडे की स्थिति है: $\left(8, \frac{100}{5}\right)$ या $(8,20)$

दोनों झंडों के बीच की दूरी $=\sqrt{(8-2)^{2}+(20-25)^{2}}=\sqrt{6^{2}+(-5)^{2}}$

$=\sqrt{36+25}=\sqrt{61}$

माना झंडों को मिलाने वाले रेखाखण्ड का मध्यबिन्दु $\mathrm{M}(x, y)$ है।

$\begin{array}{lll} & M & \\\hline(2,25) & (x, y) & (8,20)\end{array}$

$x=\frac{2+8}{2}$ और $y=\frac{25+20}{2}$

$x=5$ और $y=(22.5)$

अतः नीला झंण्डा 5 वीं रेखा पर $\mathrm{AB}$ के ऊपर $22: 5 \mathrm{~m}$ की दूरी पर गाड़ना चाहिए।

प्रश्न 12. 

बिंदुओं $(6,-6),(3,-7)$ और $(3,3)$ से होकर जाने वाले वृत्त का केंन्द्र ज्ञात कीजिए। 

हल : 

माना बिन्दुओं $\mathrm{A}(6,-6), \mathrm{B}(3,-7)$ और $\mathrm{C}(3,3)$ से गुजरने वाले वृत्त का केन्द्र $\mathrm{P}(x, y)$ है।

$\begin{aligned} \mathrm{AP} &=\mathrm{BP}=\mathrm{CP} \\ \mathrm{AP} &=\mathrm{BP} \text { or } \mathrm{AP}^{2}=\mathrm{BP}^{2} \\(x-6)^{2}+(y+6)^{2} &=(x-3)^{2}+(y+7)^{2} \\ x^{2}-12 x+36+y^{2}+12 y+36 &=x^{2}-6 x+9+y^{2}+14 y+49 \\-12 x+6 x+12 y-14 y+72-58 &=0 \\-6 x-2 y+14 &=0 \\ 3 x+y-7 &=0 \end{aligned}$............(i)

अब $\mathrm{BP}=\mathrm{CP}$, या $\mathrm{BP}^{2}=\mathrm{CP}^{2}$

$\begin{aligned}(x-3)^{2}+(y+7)^{2} &=(x-3)^{2}+(y-3)^{2} \\(y+7)^{2} &=(y-3)^{2} \\ y^{2}+49+14 y &=y^{2}+9-6 y \\ 21: \quad 40 &=0 \end{aligned}$

$y=\frac{-40}{20}=-2$

$y$ का मान समीकरण (i) में रखने पर,

$3 x-2-7=0$

$3 x=9$

$x=3$

अतः वृत्त का केन्द्र $(3,-2)$ है।

प्रश्न 13. 

कृष्णानगर के एक सेकेंडरी स्कूल के कक्षा $\mathrm{X}$ के विद्यार्थियों को उनके बागवानी क्रियाकलाप के लिए एक आयताकार भूखंड दिया गया है। गुलमोहर की पौध (Sapling) को परस्पर 1 मीटर की दूरी पर इस भूखंड की परिसीमा (boundary) पर लगाया जाता है। इस भूखंड के अंदर एक त्रिभुजाकार घास लगा हुआ लॉन (lawn) है, जैसाकि आकृति में दर्शाया गया है। विद्यार्थियों को भूखंड के शेष भाग में फूलों के पौधे के बीज बोने हैं।

हल : 

(i) दिया है : $\mathrm{A}$ के निर्देशांक $(0,0)$ तथा $\mathrm{P}$ के निर्देशांक $(4,6), \mathrm{Q}$ के निर्देशांक $(3,2), \mathrm{R}$ के निर्देशांक $(6,5)$ हैं।

(ii) बिन्दु $\mathrm{C}$ के मूल बिन्दु और $\mathrm{CB}$ तथा $\mathrm{CD}$ को निर्देशांक-अक्ष लेने पर $\triangle \mathrm{PQR}$ के शीर्षों के निर्देशांक हैं : $\mathrm{P}(12,2), \mathrm{Q}(13,6)$ और $\mathrm{R}(10,3)$ हैं।

जब $\mathrm{P}(4 ; 6), \mathrm{Q}(3,2)$ और $\mathrm{R}(6,5)$ हों, तब क्षे. $(\Delta \mathrm{PQR})$

$=\frac{1}{2}[4(2-5)+3(5-6)+6(6-2)]=\frac{1}{2}[-12-3+24]=\frac{9}{2}$ वर्ग इकाई और जब $\mathrm{P}(12,2), \mathrm{Q}(13,6)$ और $\mathrm{R}(10,3)$ हों, तब क्षे. ( $\Delta \mathrm{PQR}$ $=\frac{1}{2}[12(6-3)+13(3-2)+10(2-6)]=\frac{1}{2}[36+13-40]=\frac{9}{2} \text { वर्ग इकाई }$

इस प्रकार, दोनों स्थितियों में $\triangle \mathrm{PQR}$ का क्षेत्रफल एक ही है।

प्रश्न 14. 

मान लीजिए $A(4,2), B(6,5)$ और $C(1,4)$ एक त्रिभुज $A B C$ के शीर्ष हैं।

(i) $\mathrm{A}$ से होकर जाने वाली माध्यिका $\mathrm{BC}$ से $\mathrm{D}$ पर मिलती है। बिंदु $\mathrm{D}$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

(ii) $\mathrm{AD}$ पर स्थित ऐसे बिंदु $\mathrm{P}$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि $\mathrm{AP}: \mathrm{PD}=2: 1$ हो।

(iii) माधिकाओं $\mathrm{BE}$ और $\mathrm{CF}$ पर ऐसे बिंदुओं $\mathrm{Q}$ और $\mathrm{R}$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि $\mathrm{BQ}: \mathrm{QE}=2: 1$ हो और $\mathrm{CR}: \mathrm{RF}=2: 1$ हो।

(iv) आप क्या देखते हैं ?

(v) यदि $\mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right), \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right)$ और $\mathrm{C}\left(x_{3}, y_{3}\right)$ त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ के शीर्ष हैं, तो इस त्रिभुज के केंद्रक के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल : 

दिया है : $\triangle \mathrm{ABC}$ के शीर्ष $\mathrm{A}(4,2), \mathrm{B}(6,5)$ और $\mathrm{C}(1,4)$ हैं।

(i) चूंकि $\mathrm{AD}$ एक माध्यिका है

$\therefore \quad \mathrm{D}$ के निर्देशांक हैं .

$\left(\frac{6+1}{2}, \frac{5+4}{2}\right)$ या $\left(\frac{7}{2}, \frac{9}{2}\right)$

(IMAGE TO BE ADDED)

(ii) चूंकि $\mathrm{AP}: \mathrm{PD}=2: 1$ अर्थात् $\mathrm{P}$ रेखाखण्ड $\mathrm{AD}$ को $2: 1$ के अनुपात में बांटता है।

$\therefore \quad \mathrm{P}$ के निर्देशांक हैं :

$\left[\frac{2\left(\frac{7}{2}\right)+(1 \times 4)}{2+1}, \frac{2\left(\frac{9}{2}\right)+1 \times 2}{2+1}\right]$ या $\left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right)$

(iii) चूंकि $\mathrm{BQ}: \mathrm{QE}=2: 1$

$\Rightarrow \mathrm{Q}$ रेखाखंड $\mathrm{BE}$ को $2: 1$ के अनुपात में बांटती है,

$\because \mathrm{BE}$ माध्यिका है,

 $\quad \mathrm{E}$ के निर्देशांक $=\left(\frac{4+1}{2}, \frac{2+4}{2}\right)=\left(\frac{5}{2}, 3\right)$

$\therefore \quad \mathrm{Q}$ के निर्देशांक हैं :

$\left[\frac{2\left(\frac{5}{2}\right)+1 \times 6}{2+1}, \frac{(2 \times 3)+(1 \times 5)}{2+1}\right]$

या $\left[\frac{5+6}{3}, \frac{6+5}{3}\right]$

या $\left[\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right]$.

$\because \mathrm{CF}$ माध्यिका है, $\therefore \mathrm{F}$ के निर्देशांक

$\left(\frac{4+6}{2}, \frac{2+5}{2}\right) \text { या }\left(5, \frac{7}{2}\right)$

$\mathrm{R}$ के निर्देशांक हैं :

$\left[\begin{array}{cc}2 \times 5+1 \times 1 & 2 \times \frac{7}{2}+1 \times 4 \\\hline 2+1 & 2+1\end{array}\right]$

या

$\left[\begin{array}{cc}10+1 & 7+4 \\\hline 3 & 3\end{array}\right] \text { या }\left[\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right]$

(iv) स्पष्ट है कि $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ और $\mathrm{R}$ एक बिन्दु को व्यक्त करते हैं।

(v) दिया है कि $\mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right), \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right)$ और $\mathrm{C}\left(x_{3}, y_{3}\right) \Delta \mathrm{ABC}$ के शीर्ष हैं। तथा $\mathrm{AD}, \mathrm{BE}$ और $\mathrm{CF}$ इसकी माध्यिकाएँ हैं।

$\therefore \quad D, E$ और $F$ क्रमशः $B C, C A$ और $A B$ के मध्य बिन्दु हैं।

हम जानते हैं केन्द्रक माध्यिका पर स्थित एक ऐसा बिन्दु होता है जो उसे $2: 1$ के अनुपात में बाटे। माध्यिका $\mathrm{AD}$ दी गयी हो, तब $\mathrm{D}$ के निर्देशांक

$\left[\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{\dot{y}_{2}+y_{3}}{2}\right]$

माना $\mathrm{G}$ एक केन्द्रक है,

$\therefore$ केन्द्रक के निर्देशांक हैं :

$\begin{aligned}&{\left[\frac{\left(1 \times x_{1}\right)+2\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}\right)}{1+2}, \frac{\left(1\times y_{1}\right)+2\left(\frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)}{1+2}\right]} \\&\quad=\left[\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3} y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right]\end{aligned}$

इसी प्रकार, अन्य माध्यिकाओं से, हमें प्राप्त होता है कि $\mathrm{G}$ के निर्देशांक :

$\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3} \quad y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$

अर्थात्, एक केन्द्रक के निर्देशांक' : $\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$ हें।

Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 7 निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry) प्रश्नावली - 7 (D)

 प्रश्नावली - 7 (D)

प्रश्न 1. 

सिद्ध कीजिए कि बिन्दु $(0,1)(1,2)$ और $(-2,-1)$ सरेख हैं।

हल : 

यदि बिन्दु सरेख हैं तब इन बिन्दुओं से बना त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा।

$\begin{aligned}\Delta &=\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right] \\&=\frac{1}{2}[0(2+1)+1(-1-1)-2(1-2)] \\&=\frac{1}{2}[0-2+2]=0\end{aligned}$

अतः दिये गये बिन्दु संरेख होंगे।

प्रश्न 2. 

सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित तीन बिन्दु सरेख हैं :

(i) $(6,9),(0,1),(-6,-7)$

(ii) $(-5,1),(5,5)$ और $(10,7)$

(iii) $(1,2),(2,3),(3,4)$

हल : 

(i) माना तीन बिन्दुओं के निर्देशांक

$\begin{aligned}&x_{1}=6, x_{2}=0, x_{3}=-6 \\&y_{1}=9, y_{2}=1, y_{3}=-7\end{aligned}$

दिये हुये तीन बिन्दुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल

दिये हुये तीन बिन्दुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}y_{2}\right)\right] \\&=\frac{1}{2}[6(1+7)+0(-7-9)-6(9-1)] \\&=\frac{1}{2}[6 \times 8+0-6 \times 8] \\&=\frac{1}{2}[48-48]=0\end{aligned}$

अतः दिये हुये तीन बिन्दु सरेख हैं।

(ii) माना 

$\begin{aligned}&x_{1}=-5, x_{2}=5, x_{3}=10 \\&y_{1}=1, y_{2}=5, y_{3}=7\end{aligned}$

दिये हुए तीन बिन्दुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}y_{2}\right)\right] \\&=\frac{1}{2}[-5(5-7)+5(7-1)+10(1-5)] \\&=\frac{1}{2}[-5 \times(-2)+5 \times 6+10 \times(-4)] \\&=\frac{1}{2}[10+30-40] \\&=\frac{1}{2}[40-40]=0\end{aligned}$

अतः दिये हुए तीन बिन्दु सरेख हैं।

(iii) माना तीन बिन्दु जिनके निर्देशांक

$\begin{aligned}&x_{1}=1, y_{1}=2 \\&x_{2}=2, y_{2}=3 \\&x_{3}=3, y_{3}=4\end{aligned}$

त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right]$

$\begin{aligned}=& \frac{1}{2}[1(3-4)+2(4-2)+3(2-3)] \\=& \frac{1}{2}[-1+4-3] \\=& \frac{1}{2}[-4+4] \\=& \frac{1}{2} \times 0=0 \end{aligned}$

$\because$ त्रिभुज के क्षेत्रफल का मान शून्य है।

अतः तीनों बिन्दु सरेख हैं।

प्रश्न 3. 

$x$ के किस मान के लिए बिन्दु $(-3,12),(7,6)$ तथा $(x, 9)$ सरेख हैं।

हल : 

यदि बिन्दु सरेख हैं, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल $=0$

$\begin{aligned} \frac{1}{2}[-3(6-9)+7(9-12)+x(12-6)] &=0 \\ \frac{1}{2}[-3 \times(-3)+7 \times(-3)+x \times 6] &=0 \\ 9-21+6 x &=0 \\ 6 x &=21-9=12 \\ x &=\frac{12}{6}=2 . \end{aligned}$

प्रश्न 4. 

यदि बिन्दु $(-1,3),(4,-2)$ तथा $(a, b)$ सरेख हैं, तो सिद्ध कीजिए कि $a+b=2$. हल : बिन्दुओं के संरेख होने के लिए त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा,

$x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)=0$

माना

$\begin{aligned}&x_{1}=-1, y_{1}=3 \\&x_{2}=4, y_{2}=-2 \\&x_{3}=a, y_{3}=b\end{aligned}$

$-1(-2-b)+4(b-3)+a(3+2)=0$

$2+b+4 b-12+5 a=0$

$5 a+5 b-10=0$

$a+b=2$

प्रश्न 5.

निम्नलिखित में से प्रत्येक में ' $k$ ' का मान ज्ञात कीजिए, ताकि तीनों बिंदु सरिखी हों :

(i) $(7,-2),(5,1),(3, k)$

(ii) $(8,1),(k,-4),(2,-5)$

हल :

(i) हम जानते हैं कि तीन बिन्दु संरेखी होंगे, जब उनसे बना $\Delta$ का क्षेत्रफल शून्य होगा। माना $\mathrm{A}(7,-2), \mathrm{B}(5,1)$ और $\mathrm{C}(3, k)$ है

$\therefore \mathrm{A}, \mathrm{B}$ और $\mathrm{C}$ सरेखी होंगे यदि क्षे. $(\triangle \mathrm{ABC})=0$

$\begin{aligned} 7(1-k)+5(k+2)+3(-2-1) &=0 \\ 7-7 k+5 k+10-9 &=0 \\ 17-9+5 k-7 k &=0 \\ 8-2 k &=0 \\ 2 k &=8 \\ k &=\frac{8}{2}=4 . \end{aligned}$

(ii) माना $\mathrm{A}(8,1), \mathrm{B}(k,-4)$ और $\mathrm{C}(2,-5)$ एक $\Delta$ के शीर्षों के निर्देशांक हैं। $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ और $\mathrm{C}$ सरेखी होंगे, यदि क्षे. $(\triangle \mathrm{ABC})=0$

$\begin{aligned} 8(-4+5)+k(-5-1)+2[1-(-4)] &=0 \\ 8(1)+k(-6)+2(5) &=0 \\ 8+(-6 k)+10 &=0 \\-6 k+18 &=0 \\ k &=\frac{-18}{-6}=3 \end{aligned}$

इस प्रकार, $k=3$.

प्रश्न 6.

$x$ और $y$ में एक संबंध स्थापित कीजिए, यदि बिंदु $(x, y),(1,2)$ और $(7,0)$ सरेखी हैं। 

हल :

माना $\mathrm{A}(x, y), \mathrm{B}(1,2)$ और $\mathrm{C}(7,0)$ बिन्दु हैं, जो संरेखी हैं, तब

$x(2-0)+1(0-y)+7(y-2)=0$

$2 x-y+7 y-14=0$

$2 x+6 y-14=0$

$x+3 y-7=0$

जो कि $x$ और $y$ के बीच अभीष्ट संबंध दर्शाता है।

प्रश्न 7. 

$m$ का मान ज्ञात कीजिए, यदि $(5,1),(-2,-3)$ और $(8,2 m)$ संरेख हैं। 

हल :

माना $\mathrm{A}(5,1), \mathrm{B}(-2,-3)$ और $\mathrm{C}(8,2 m)$ एक त्रिभुज के शीर्ष हों, जब कि

$\triangle \mathrm{ABC}$ का क्षेत्रफल $=0$

$\begin{aligned} \frac{1}{2}[5(-3-2 m)+(-2)(2 m-1)+8(1+3)] &=0 \\ \frac{1}{2}[-15-10 m-4 m+2+32] &=0 \\ \frac{1}{2}(-14 m+19) &=0 \\-14 m+19 &=0 \\ m &=\frac{19}{14} \end{aligned}$

प्रश्न 8

सिद्ध कीजिए कि बिन्दु $\mathrm{A}(-6,10), \mathrm{B}(-4,6)$ और $\mathrm{C}(3,-8)$ इस प्रकार सरेख हैं कि $\mathrm{AB}=\frac{2}{9} \mathrm{AC}$ है।

हल : 

$\triangle \mathrm{ABC}$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}[-6(6+8)-4(-8-10)+3(10-6)]$

$=\frac{1}{2}[-6 \times 14-4 \times-18+3 \times 4]$

$=\frac{1}{2}[-84+72+12]$

$=\frac{1}{2} \times 0=0 .$

$\begin{aligned} \mathrm{AB} &=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \\ &=\sqrt{(-4+6)^{2}+(6-10)^{2}}=\sqrt{(2)^{2}+(-4)^{2}} \\ &=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2 \sqrt{5} \\ \mathrm{AC} &=\sqrt{(3+6)^{2}+(-8-10)^{2}} \\ &=\sqrt{81+324}=\sqrt{405} \end{aligned}$

$=9 \sqrt{5}$  इकाई। 

$AB=\frac{2}{9} \mathrm{AC} $ से दायाँ पक्ष लेने पर, 

$=\frac{2}{9} \times 9 \sqrt{5}=2 \sqrt{5}$=  बायाँ पक्ष।

प्रश्न 9.

सिद्ध कीजिए कि बिन्दु $(a, b+c),(b, c+a)$ और $(c, a+b)$ सरेख हैं।

हल : 

माना बिन्दु $\mathrm{A}(a, b+c), \mathrm{B}(b, c+a)$ तथा $\mathrm{C}(c, a+b)$ सरेख हों, तो $\triangle \mathrm{ABC}$ का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}y_{2}\right)\right] \\&=\frac{1}{2}[a(c+a-a-b)+b(a+b-b-c)+c(b+c-c-a)] \\&=\frac{1}{2}[a(c-b)+b(a-c)+c(b-a)] \\&=\frac{1}{2}[a c-a b+a b-b c \mid+b c-a c] \\&=\frac{1}{2} \times 0 \\&=0\end{aligned}$

इति सिद्धम्।

प्रश्न 10. 

यदि बिन्दु $\mathrm{P}(-3,9), \mathrm{Q}(a, b)$ और $\mathrm{R}(4,-5)$ सरेख हैं और $a+b=1$ हो, तो $a$ तथा $b$ के मान ज्ञात कीजिए।

हल : 

यदि बिन्दु $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ तथा $\mathrm{R}$ संरेख हों,

तब $\Delta \mathrm{PQR}$ का क्षेत्रफल $=0$

$\frac{1}{2}[-3(b+5)+a(-5-9)+4(9-b)]=0$

$\begin{aligned}-3 b-15-14 a+36-4 b &=0 \\-14 a-7 b+21 &=0 \\ 14 a+7 b &=21 \\ 2 a+b &=3 \end{aligned}$.............(i)

$a+b=1$.........(ii)

समी. (i) में से (ii) घटाने पर,

$a=2$

$a$ का मान समी. (ii) में रखने पर,

$\begin{aligned} 2 \times 2+b &=3 \\ 4+b &=3 \\ b &=3-4=-1 \end{aligned}$

अत : $a=2$ तथा $b=-1$.

Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 7 निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry) प्रश्नावली - 7 (C)

 प्रश्नावली - 7 (C)

प्रश्न 1. 

उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष $(2,3),(-1,0),(2,-4)$ हैं। हल : माना $\triangle \mathrm{ABC}$ के शीर्षों के निर्देशांक हैं :

हल : 

माना $\triangle \mathrm{ABC}$ के शीर्षों के निर्देशांक हैं :

$\mathrm{A}(2,3), \mathrm{B}(-1,0) \text { और } \mathrm{C}(2,-4)$

$ x_{1}=2, y_{1}=3, x_{2}=-1 $ , $y_{2}=0, x_{3}=2, y_{3}=-4 $

Δ का क्षेत्रफल

$\begin{aligned} &=\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right] \\ &=\frac{1}{2}[2\{0-(-4)\}+(-1)\{-4-(3)\}+2\{3-0\}] \\ &=\frac{1}{2}[2(0+4)+(-1)(-4-3)+2(3)] \\ &=\frac{1}{2}[8+7+6] \\ &=\frac{1}{2}[21] \end{aligned}$

$=\frac{21}{2}$ वर्ग इकाई।

प्रश्न 2. 

उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष $(-5,-1),(3,-5),(5,2)$ हैं। हल : माना दिए गये Δ के शीर्षों के निर्देशांक हैं :

$\mathrm{A}(-5,-1), \mathrm{B}(3,-5)$ और $\mathrm{C}(5,2)$

यहाँ $x_{1}=-5, y_{1}=-1, x_{2}=3, y_{2}=-5, x_{3}=5, y_{3}=2$

Δ का क्षेत्रफल 

$\begin{aligned}  &=\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right] \\ &=\frac{1}{2}[-5\{-5-2\}+3\{2-(-1)\}+5\{-1-(-5)\}] \\ &=\frac{1}{2}[-5\{-7\}+3\{2+1\}+5\{-1+5\}] \\ &=\frac{1}{2}[(-5)(-7)+3(3)+5(4)] \\ &=\frac{1}{2}[35+9+20] \\ &=\frac{1}{2} \times 64 \end{aligned}$

=32  वर्ग इकाई। 

प्रश्न 3. 

यदि किसी त्रिभुज के शीर्ष बिन्दु (-2,4),(3,-1) तथा (1, a) हों और उसका क्षेत्रफल 10 वर्ग इकाई हो, तो सिद्ध कीजिए कि a=5.

हल : 

यहाँ

$\begin{aligned}&x_{1}=-2, x_{2}=3, x_{3}=1 \\&y_{1}=4, y_{2}=-1, y_{3}=a\end{aligned}$

त्रिभुज का क्षेत्रफल =10 वर्ग इकाई

त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right]$

त्रिभुज का क्षेत्रफल =10 वर्ग इकाई

त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right]$

$\begin{aligned}10 &=\frac{1}{2}[-2(-1-a)+3(a-4)+1(4+1)] \\20 &=2+2 a+3 a-12+5 \\20 &=5 a-5 \\5 a &=25 \\a &=5\end{aligned}$

इति सिद्धम्।

प्रश्न 4. 

उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष $(1,-1),(-4,6)$ और $(-3,-5)$ हैं। 

हल : 

मान लीजिए दिए गए शीर्ष $\mathrm{A}(1,-1), \mathrm{B}(-4,6)$ और $\mathrm{C}(-3,-5)$ हों, तब

 

त्रिभुज का क्षेत्रफल 

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}[1(6+5)+(-4)(-5+1)+(-3)(-1-6)] \\&=\frac{1}{2}[11+16+21] \\&=\frac{1}{2} \times 48\end{aligned}$

=24 वर्ग इकाई। 

प्रश्न 5. 

उस च्तर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में $(-4,-2),(-3,-5),(3,-2)$ और $(2,3)$ हैं।

हल : 

माना दिए गये चतुर्भुज के शीर्ष हैं;

$\mathrm{A}(-4,-2), \mathrm{B}(-3,-5), \mathrm{C}(3,-2)$ और $\mathrm{D}(2,3)$

विकर्क्ण BD को मिलाते हैं।

क्षे. ΔABD

$=\frac{1}{2}[(-4)\{-5-3)\}+(-3)\{3-(-2)\} +2\{(-2)-(-5)\}] $

$=\frac{1}{2}[(-4)(-8)+(-3)(5)+2(-2+5)]$

$=\frac{1}{2}[32+(-15)+6]$

$=\frac{1}{2}[23]=\frac{23}{2} $

क्षे.Δ CBD

$\begin{aligned} &=\frac{1}{2}[3(-5-3)+(-3)\{3-(-2)\}+2\{(-2)-(-5)\}] \\&=\frac{1}{2}[3(-8)+(-3)(5)+2(3)] \\&=\frac{1}{2}[-24-15+6] \\&=\frac{1}{2}[-33]\end{aligned}$

$=\frac{33}{2}$ वर्ग इकाई 

क्षे. चतुर्भुज ABCD = क्षे. ΔABD+ क्षे. Δ CDB

$\begin{aligned} &=\left(\frac{23}{2}+\frac{33}{2}\right) \\&=\frac{56}{2} \end{aligned}$

=28  वर्ग इकाई। 

उत्तर

प्रश्न 6. 

(1,2),(-5,6),(7,-4) तथा (k,-2) एक चतुर्भुज के क्रमशः चारों शीर्ष हैं। यदि चतुर्भुज का क्षेत्रफल शून्य $(0)$ हो तो k का मान ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना $\mathrm{A}(1,2), \mathrm{B}(-5,6), \mathrm{C}(7,-4), \mathrm{D}(k,-2)$

एक चतुर्भुज ABCD के शीर्ष हैं

 Δ ABC का क्षे. 

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}\left[x_{1} y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3} y_{1}-\left(x_{1} y_{3}+x_{2} y_{1}+x_{3} y_{2}\right)\right] \\&=\frac{1}{2}[(6+20+14)-(-4-10+42)] \\&=\frac{1}{2}(40-28)\end{aligned}$

=6 वर्ग मात्रक 

 Δ ADC का क्षे. 

$=\frac{1}{2}[(-4-14+2k)-(14-4 k-2)] $

$=\frac{1}{2}[(2 k-18)-(12-4 k)] $

$=\frac{1}{2}(6 k-30) $

=3k-15

लेकिन चतुर्मुज ABCD का क्षे. =0 दिया है 

∴ ΔABC का क्षे. +ΔACD का क्षे.=0

6+3 k-15=0

3k-9=0

k=3

उत्तर

प्रश्न 7. 

उस आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो रेखाओं $x=0, y=0$ और $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1$ से घिरी है।

हल : 

बिन्दु A के निर्देशांक $(0,3)$

बिन्दु $O$ के निर्देशांक $(0,0)$

बिन्दु $B$ के निर्देशांक $(2,0)$

$x_{1}=0, y_{1}=3$

$x_{2}=0, y_{2}=0$

$x_{3}=2, y_{3}=0$

ΔAOB का क्षेत्रफल

$\begin{aligned} &=\frac{1}{2} \left[x_{1}\left(y_{2}y_{3}\right)+x_{2}\left(\dot{y}_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right] \\&=\frac{1}{2}[0(0-0)+0(0-3)+2(3-0)] \\ &=\frac{1}{2}[0+0+6] \\&=\frac{1}{2} \times 6=3\end{aligned}$

त्रिभुज का अभीष्ट क्षेत्रफल $=3$ वर्ग मात्रक।

प्रश्न 8. 

आप जानते हैं कि किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। उस त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ के लिए इस परिणाम का सत्यापन कीजिए जिसके शीर्ष $\mathrm{A}(4,-6), \mathrm{B}(3,-2)$ और $\mathrm{C}(5,2)$ है।

हल :

यहाँ $\triangle \mathrm{ABC}$ के पीर्षों के निर्देशांक इस प्रकार हैं :

$\mathrm{A}(4,-6), \mathrm{B}(3,-2) \text { और } \mathrm{C}(5,2)$

$\therefore \quad D$ के निर्देशांक हैं :

$\left\{\frac{3+5}{2}, \frac{-2+2}{2}\right\}$ या $(4,0)$

चूंकि रेखाखंड $\mathrm{AD}, \triangle \mathrm{ABC}$ को दो भागों $\triangle \mathrm{ABD}$ और $\triangle \mathrm{ACD}$ में विभाजित करता है।

क्षे.  ΔABD

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}[4\{(-2)-0\}+3(0+6)+4(-6+2)] \\ &=\frac{1}{2}[(-8)+18+(-16)] \\ &=\frac{1}{2}(-6) \end{aligned}$

=-3 वर्ग इकाई =3 वर्ग इकाई ...........(i)

क्षे. Δ ACD 

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}[4(0-2)+4(2+6)+5(-6-0)] \\ &=\frac{1}{2}[-8+32-30]=\frac{1}{2}[-6]  \end{aligned}$

=-3 वर्ग इकाई =3 वर्ग इकाई ..........(ii)

समी (i) और (ii) से,

क्षे. Δ ABD = क्षे.Δ ACD

अर्थात्, माध्यिका एक त्रिभुज को दो समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में बांटती है।

प्रश्न 9. 

शीर्षों $(0,-1),(2,1)$ और $(0,3)$ वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना Δ के शीर्ष $\mathrm{A}(0,-1), \mathrm{B}(2,1)$ और $\mathrm{C}(0,3)$ हैं।

माना $\mathrm{D}, \mathrm{E}$ और $\mathrm{F}$ क्रमशः $\triangle \mathrm{ABC}$ की भुजाओं $\mathrm{BC}, \mathrm{CA}$ और $\mathrm{AB}$ के मध्य बिंदु हैं।

$D$ के निर्देश, $5=\left(\frac{2+}{2}, \frac{1+3}{2}\right)=\left(\frac{2}{4}, \frac{1}{2}\right)=(1,2)$

$\mathrm{E}$ के निर्देशांक $=\left(\frac{0+0}{2}, \frac{3+(-1)}{2}\right)=(0,1)$

$\mathrm{F}$ के निर्देशांक $=\left(\frac{2+0}{2}, \frac{1+(-1)}{2}\right)=(1,0)$

ΔABC का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}[0(1-3)+2\{3-(-1)\}+0(-1-1)] \\&=\frac{1}{2}[0(-2)+8+0(-2)] \\&=\frac{1}{2}[0+8+0]=\frac{1}{2} \times 8\end{aligned}$

=4 वर्ग इकाई 

ΔDEF का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}[1(1-0)+0(0-2)+1(2-1)] \\&=\frac{1}{2}[1(1)+0+1(1)] \\&=\frac{1}{2}[1+0+1]=\frac{1}{2} \times 2\end{aligned}$

=1 वर्ग इकाई 

 =क्षे. ΔDEF / क्षे. ΔABC$=\frac{1}{4}$

अतः :क्षे. $(\triangle \mathrm{DEF}):$ क्षे. $(\triangle \mathrm{ABC})=1: 4$.

प्रश्न 10. 

$\triangle \mathrm{ABC}$ के शीर्ष $\mathrm{A}(3,0), \mathrm{B}(0,6)$ और $\mathrm{C}(6,9)$ हैं। रेखा $\mathrm{DE} ;$ भुजा $\mathrm{AB}$ और $\mathrm{AC}$ को अनुपात $1: 2$ में बाँटती है। सिद्ध कीजिए

$\triangle \mathrm{ABC}$ का क्षेत्रफल $=9 \times \triangle \mathrm{ADE}$ का क्षेत्रफल

हल : 

बिन्दु $D$ के निर्दिशंक्रि $=\left(\begin{array}{cc}1 \times 0+2 \times 3 & 1 \times 6+2 \times 0 \\ 1+2 & , & 1+2\end{array}\right)=(2,2)$

बिन्दु $E$ के निर्देशांक $=\left(\frac{1 \times 6+2 \times 3 \quad 1 \times 9+2 \times 0}{1+2 \quad 1+2}\right)=(4,3)$

$\Delta \mathrm{ADE}$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}[3(2-3)+2(3-0)+4(0-2)]$

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}[-3+6-8]\end{aligned}$

$=\frac{5}{2}$ वर्ग इकाई

$\triangle \mathrm{ABC}$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}[3(6-9)+0(9-0)+6(0-6)]$

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}[-9-36] \\&=\frac{45}{2} \end{aligned}$

$\triangle \mathrm{ABC}$ का क्षेत्रफल $=9 \times \triangle \mathrm{ADE}$ का क्षेत्रफल

प्रश्न 11. 

उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्षों के निर्देशांक $\left(a t_{1}, \frac{a}{t_{1}}\right),\left(a t_{2}, \frac{a}{t_{2}}\right)$ और $\left(a t_{3}, \frac{a}{t_{3}}\right)$ हैं।

हल : 

यहाँ $x_{1}=a t_{1}, x_{2}=a t_{2}, x_{3}=a t_{3}$

$y_{1}=\frac{a}{t_{1}}, y_{2}=\frac{a}{t_{2}}, y_{3}=\frac{a}{t_{3}}$

त्रिभुज का क्षेत्रफल 

$\begin{aligned} &=\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right] \\ &=\frac{1}{2}\left[a t_{1}\left(\frac{a}{t_{2}}-\frac{a}{t_{3}}\right)+a t_{2}\left(\frac{a}{t_{3}}-\frac{a}{t_{1}}\right)+a t_{3}\left(\frac{a}{t_{1}}-\frac{a}{t_{2}}\right)\right] \\ &=\frac{1}{2}\left[a^{2} t_{1} \frac{\left(t_{3}-t_{2}\right)}{t_{2} t_{3}}+a^{2} t_{2} \frac{\left(t_{1}-t_{3}\right)}{t_{3} t_{1}}+a^{2} t_{3} \frac{\left(t_{2}-t_{1}\right)}{t_{1} t_{2}}\right] \\ &=\frac{a^{2}}{2 t_{1} t_{2} t_{3}}\left[t_{1}^{2}\left(t_{3}-t_{2}\right)+t_{2}^{2}\left(t_{1}-t_{3}\right)+t_{3}^{2}\left(t_{2}-t_{1}\right)\right] \\ &=\frac{a^{2}}{2 t_{1} t_{2} t_{3}}\left[t_{1}^{2}\left(t_{3}-t_{2}\right)+t_{2}^{2} t_{1}-t_{2}^{2} t_{3}+t_{3}^{2} t_{2}-t_{3}^{2} t_{1}\right] \\ &=\frac{a^{2}}{2 t_{1} t_{2} t_{3}}\left[t_{1}^{2}\left(t_{3}-t_{2}\right)+t_{2}^{2} t_{1}-t_{3}^{2} t_{1}-t_{2}^{2} t_{3}+t_{3}^{2} t_{2}\right] \end{aligned}$

$=\frac{a^{2}}{2 t_{1} t_{2} t_{3}}\left[-t_{1}^{2}\left(t_{2}-t_{3}\right)+t_{1}\left(t_{2}^{2}-t_{3}^{2}\right)-t_{2} t_{3}\left(t_{2}-t_{3}\right)\right]$

$=\frac{a^{2}}{2 t_{1} t_{2} t_{3}}\left[-t_{1}^{2}\left(t_{2}-t_{3}\right)+t_{1}\left(t_{2}-t_{3}\right)\left(t_{2}+t_{3}\right)-t_{2} t_{3}\left(t_{2}-t_{3}\right)\right]$

$=\frac{a^{2}}{2 t_{1} t_{2} t_{3}}\left(t_{2}-t_{3}\right)\left[-t_{1}^{2}+t_{1} t_{2}+t_{1} t_{3}-t_{2} t_{3}\right]$

$=\frac{a^{2}}{2 t_{1} t_{2} t_{3}}\left(t_{2}-t_{3}\right)\left[-t_{1}\left(t_{1}-t_{2}\right)+t_{3}\left(t_{1}-t_{2}\right)\right]$

$=\frac{a^{2}}{2 t_{1} t_{2} t_{3}}\left(t_{2}-t_{3}\right)\left(t_{1}-t_{2}\right)\left(-t_{1}+t_{3}\right)$

$=\frac{a^{2}}{2 t_{1} t_{2} t_{3}}\left(t_{2}-t_{3}\right)\left(t_{3}-t_{1}\right)\left(t_{1}-t_{2}\right) .$

प्रश्न 12. 

उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। जिसके शीषों के fिदेशांक क्रमशः (-3,2),(5,4), (7,-6) तथां (-5,-4) हैं।

हल : 

माना $\mathrm{A}(-3,2), \mathrm{B}(5,4), \mathrm{C}(7,-6)$ तथा $\mathrm{D}(-5,-4)$ चतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$ के शीर्ष हैं।

ΔABC का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}\left[\left(x_{1} y_{2}+x_{2} y_{3}+x_{3} y_{1}\right)-\left(x_{1} y_{3}+x_{2} y_{1}+x_{3} y_{2}\right)\right] \\ &=\frac{1}{2}[(-12-30+14)-(18+10+28)] \\ &=\frac{1}{2}[-28-56]  \end{aligned}$

=42  वर्ग मात्रक 

$\triangle \mathrm{ACD}$ में शीर्षों के निर्देशांक क्रमशः $\mathrm{A}(-3,2), \mathrm{C}(7,-6)$ तथा $\mathrm{D}(-5,-4)$ हैं।

ΔACD का क्षेत्रफल 

$\begin{aligned} &=\frac{1}{2}[(18-28-10)-(12+14+30)] \\&=\frac{1}{2}[-20-56]\end{aligned}$

=38 वर्ग मात्रक 

चतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$ का क्षेत्रफल $=\triangle \mathrm{ABC}$ का क्षे. $+\triangle \mathrm{ACD}$ का क्षे. =(42+38) वर्ग मात्रक

=80 वर्ग मात्रक।

प्रश्न 13.

एक त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ के शीर्ष $\mathrm{A}(4,6), \mathrm{B}(1,5)$ और $\mathrm{C}(7,2)$ हैं। भुजाओं $\mathrm{AB}$ और $\mathrm{AC}$ को क्रमशः $\mathrm{D}$ और $\mathrm{E}$ पर प्रतिच्छेद करते हुए एक रेखा इस प्रकार खींची गई है कि $\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}=\frac{1}{4}$ है। $\triangle A D E$ का क्षेत्रफल परिकलित कीजिए और इसकी तुलना $\triangle A B C$ के क्षेत्रफल से कीजिए।

हल : 

दिया है :

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}} &=\frac{1}{4} \\ \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}} &=\frac{4}{1} \\ \frac{\mathrm{AD}+\mathrm{DB}}{\mathrm{AD}} &=\frac{4}{1} \\ \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AD}}+\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{AD}} &=\frac{4}{1}=1+\frac{3}{1} \\ 1+\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{AD}} &=1+\frac{3}{1} \\ \frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{AD}} &=\frac{3}{1} . \\ \mathrm{AD}: \mathrm{DB} &=1: 3 \end{aligned}$

इस प्रकार, बिन्दु D रेखाखण्ड AB को 1: 3 के अनुपात में विभाजित करता है।

$\therefore$ बिन्दु D के निर्देशांक हैं :

$\left[\frac{(1 \times 1)+(3 \times 4)}{1+3}, \frac{(1 \times 5)+(3 \times 6)}{1+3}\right]$

या $\left[\begin{array}{cc}1+12 & 5+18 \\ 4 & 4\end{array}\right]$ या $\left(\frac{13}{4}, \frac{23}{4}\right)$

इसी प्रकार, AE : EC =1: 3

अतः बिन्दु E रेखाखण्ड AC को 1: 3 के अनुपात में विभाजित करता है।

$\Rightarrow \mathrm{E}$ के निर्देशांक' हैं :

$\left[\frac{(1 \times 7)+(3 \times 4)}{1+3},(1 \times 2)+(3 \times 6)\right]$

या $\left[\frac{7+12}{4}, \frac{2+18}{4}\right]$ या $\left[\frac{19}{4}, 5\right]$ अब, क्षे. Δ ADE

$=\left[\frac{1}{2}\left[4\left(\frac{23}{4}-5\right)+\frac{13}{4}(5-6)+\frac{19}{4}\left(6-\frac{23}{4}\right)\right]\right.$

$=\frac{1}{2}\left[(23-20)-\frac{13}{4}(1)+\frac{19}{4}\left(\frac{24-23}{4}\right)\right]$

$=\frac{1}{2}\left(3-\frac{13}{4}+\frac{19}{16}\right)$

$=\frac{1}{2}\left[\frac{48-52+19}{16}\right]=\frac{15}{32}$ वर्ग इकाई

क्षे. Δ ABC

$=\frac{1}{2}[4(5-2)+1(2-6)+7(6-5)]$

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}[(4 \times 3)+1 \times(-4)+7 \times 1] \\&=\frac{1}{2}[12+(-4)+7]=\frac{1}{2}(15)\end{aligned}$

$=\frac{15}{2}$ वर्ग इकाई

=क्षे. ΔADE /  क्षे.Δ ABC

$=\frac{\frac{15}{32}}{\frac{15}{2}}=\frac{15}{32} \times \frac{2}{15}=\frac{1}{16}$

क्षे. Δ ADE : क्षे. ΔABC=1 : 16

Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 7 निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry) प्रश्नावली - 7 (B)

 प्रश्नावली - 7 (B)

प्रश्न 1  

बिन्दुओं $(-3,4)$ और $(3,-4)$ को मिलाने वाले रेखाखण्ड के मध्य बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। 

हल : 

$\left(x_{1}, y_{1}\right)$ तथा $\left(x_{2}, y_{2}\right)$ बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड के मध्य किन्दु के निर्दिपमंक $\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$ होते हैं।

प्रश्नानुसार, $x_1=-3~,~x_2=3$

$y_1=4~ ,~y_2=-4$

∴मध्य बिन्दु के निर्देशांक $=\left(\frac{-3+3}{2},\frac{4-4}{2}\right)$

=(0,0)

प्रश्न 2  

यदि बिन्दु (1,2) , (4,y),(x,6) और (3,5) इसी क्रम में लेने पर, एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हों तो x और y ज्ञात कीजिए।

हल :

माना ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, जिसके शीर्ष

A(1,2),  B(4, y),  C(x, 6)  और D(3,5)

चूंकि समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर बिन्दु $\mathrm{P}$ पर समद्विभाजित होते हैं।

∴ P  के निर्देशांक हैं : $\mathrm{X}=\frac{x+1}{2}=\frac{3+4}{2}$

$\begin{aligned} x+1 &=7 \\ x &=6 \\ Y &=\frac{5+y}{2}=\frac{6+2}{2} \\ 5+y &=8 \text { or } y=3 \end{aligned}$

इस प्रकार x और y के अभीष्ट मान हैं : x=6, y=3

प्रश्न 3.

उस बिन्दु के निर्देशांक बताइये जो निम्न बिन्दुओं से खींचे जाने वाले रेखाखण्ड' को दिए हुए अनुपात में बाह्यतः विभाजित करता है :

(i) $(3,4)$ तथा $(-6,2)$; अनुपात $3: 2$,

(ii) $(-2,5)$ तथा $(6,4)$; अनुपात $1: 2$.

हल : 

(i) (3, 4) तथा $(-6,2)$; अनुपात $3: 2$

$x_{1}=3, x_{2}=-6$

$y_{1}=4, y_{2}=2$

$m_{1}=3, m_{2}=2$

बाह्यतः विभाजित करने वाले बिन्दु के निर्देशांक

$\begin{aligned}&=\left(\frac{3 \times(-6)-2 \times 3 \quad 3 \times 2-2 \times 4}{3-2}\right) \\&=\left(\frac{-18-6}{1}, \frac{6-8}{1}\right)=(-24,-2)\end{aligned}$

(ii) $(-2,5)$ तथा $(6,4)$; अनुपात $1: 2$

माना

$\begin{aligned}&x_{1}=-2, y_{1}=5 \\&x_{2}=6, y_{2}=4 \\&m_{1}=1, m_{2}=2\end{aligned}$

बाह्यतः विभाजित करने वाले बिन्दु के निर्देशांक

$=\left(\frac{m_{1} x_{2}-m_{2} x_{1}}{m_{1}-m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}-m_{2} y_{1}}{m_{1}-m_{2}}\right)$

$=\left(\frac{1 \times 6-2 \times(-2) 1 \times 4-2 \times 5}{1-2}\right)$

$=\left(\frac{6+4}{-1}, \frac{4-10}{-1}\right)=(-10,6)$

प्रश्न 4.

उस बिंदु के निर्देशांक' ज्ञात कीजिए, जो बिंदुओं $(-1,7)$ और $(4,-3)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को $2: 3$ के अनुपात में विभाजित करता है।

हल : 

माना वांछित बिन्दु $\mathrm{P}(x, y)$ है।

यहाँ रेखाखण्ड के अन्तः बिन्दु $(-1,7)$ और $(4,-3)$ हैं।

चूंकि अनुपात $=2: 3=m_{1}: m_{2}$

$x=\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{(2 \times 4)+3 \times(-1)}{2+3}=\frac{8-3}{5}=\frac{5}{5}=1$

$y=\frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{2 \times(-3)+(3 \times 7)}{2+3}=\frac{-6+21}{5}=\frac{15}{5}=3$

इस प्रकार अभीष्ट बिन्दु $(1,3)$ हैं।

उत्तर

प्रश्न 5. 

बिन्दुओं $(4,-1)$ और $(-2,-3)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को सम-त्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना दिए गये बिन्दु हैं : $\mathrm{A}(4,-1)$ और $\mathrm{B}(-2,-3)$

माना रेखाखण्ड $\mathrm{AB}$ को बिन्दु $\mathrm{P}$ और $\mathrm{Q}$ समत्रिभाजित करते हैं।

अर्थात $\mathrm{AP}=\mathrm{PQ}=\mathrm{QB}$

$\Rightarrow$ बिन्दु $\mathrm{P}$ रेखाखण्ड $\mathrm{AB}$ को $1: 2$ के अनुपात में विभाजित करता है। इसी प्रकार बिन्दु $\mathrm{Q}$ रेखाखण्ड $\mathrm{AB}$ को $2: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है। माना बिन्दु P के निर्देशांक $(x, y)$ हैं

$=\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{1(-2)+2(4)}{1+2}=\frac{-2+8}{3}=2$

$=\frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{1(-3)+2 \times(-1)}{1+2}=\frac{-3-2}{3}=\frac{-5}{3}$

$\therefore$ बिन्दु $\mathrm{P}$ के अभीष्ट निर्देशांक $\left(2,-\frac{5}{3}\right)$ हैं। 

माना $\mathrm{Q}$ के निर्देशांक $(\mathrm{X}, \mathrm{Y})$ हैं।

$=\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{2(-2)+1(4)}{2+1}=\frac{-4+4}{3}=0$

$=\frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{2(-3)+1(-1)}{2+1}=\frac{-6-1}{3}=\frac{-7}{3}$

अतः $\mathrm{Q}$ के $\left(\therefore \frac{-7}{3}\right) $  हैं। 

प्रश्न 6. 

एक रेखाखण्ड का एक अंत्यबिन्दु $(13,19)$ है। यदि उसका मध्य बिन्दु $(-9,30)$ हो,तो दूसरे अंत्यबिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना दूसरा अन्त्य बिन्दु $(x, y)$ है।

$(x, y)$ तथा $(13,19)$ को मिलाने वाली रेखा का मध्य बिन्दु $(-9,30)$ है।

$\begin{aligned}\frac{x+13}{2} &=-9 \\x+13 &=-18 \\x &=-18-13=-31 \\\frac{y+19}{2} &=30 \Rightarrow y+19=60 \\y &=60-19=41\end{aligned}$

दूसरे अंत्य बिन्दु के निर्देशांक $=(-31,41)$

प्रश्न 7. 

बिन्दु $\mathrm{A}(-4,-3)$ और $\mathrm{B}(5,2)$ से खींचा जाने वाला रेखाखण्ड $x$-अक्ष को किस अनुपात में विभाजित करता है?

हल :

x-अक्ष के लिए : x-अक्ष पर किसी बिन्दु के निर्देशांक (x, 0) हैं।

मान लीजिए अभीष्ट अनुपात $m_{1}: m_{2}$ है।

 हम जानते हैं कि $y=\frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}$

$\begin{aligned} y &=0, y_{1}=-3, y_{2}=2 \\ 0 &=\frac{m_{1}(2)+m_{2}(-3)}{m_{1}+m_{2}}=2 m_{1}-3 m_{2}=0 \\ \frac{m_{1}}{m_{2}} &=\frac{3}{2} \end{aligned}$

अतः अभीष्ट अनुपात $=3: 2$ है।

उत्तर

प्रश्न 8. 

बिंदुओं $(-3,10)$ और $(6,-8)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को बिंदु $(-1,6)$ किस अनुपात में विभाजित करता है ?

हल : 

मान लीजिए दिए गए बिन्दुओं के निर्देशांक $\mathrm{A}(-3,10)$ और $\mathrm{B}(6,-8)$ हैं। माना बिन्दु $\mathrm{P}(-1,6)$ रेखाखण्ड $\mathrm{AB}$ को $m_{1}: m_{2}$ के अनुपात में विभाजित करता है, तब विभाजन सूत्र से,

$(-1,6)=\left(\frac{x_{2} m_{1}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)$

$\begin{aligned}(-1,6) &=\left(\frac{\left(m_{1} \times 6\right)+\left[m_{2} \times(-3)\right]\left[m_{1}(-8)\right]+\left(m_{2} \times 10\right)}{m_{1}+m_{2}}\right) \\(-1,6) &\left.=\left(\frac{6 m_{1}+\left(-3 m_{2}\right)-8 m_{1}+10 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right) \quad m_{1}+m_{2}\right) \\-1 &=\frac{6 m_{1}-3 m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \text { और } 6=\frac{-8 m_{1}+10 m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \\-1\left(m_{1}+m_{2}\right) &=6 m_{1}-3 m_{2} \text { और } 6\left(m_{1}+m_{2}\right)=-8 m_{1}+10 m_{2} \\-m_{1}-m_{2}-6 m_{1}+3 m_{2} &=0 \\-7 m_{1}+2 m_{2} &=0 \\ 7 m_{1}-2 m_{2} &=0 \\ \frac{m_{1}}{m_{1}}+6 m_{2}+8 m_{1}-10 m_{2} &=0 \\ 14 m_{1}-4 m_{2} &=0 \\ 2 m_{2} &=7 m_{1} \text { and } 7 m_{1}=2 m_{2} \\ m_{1} &=2: 7 \text { and } m_{1}: m_{2}=2: 7 \end{aligned}$

प्रश्न 9.

यदि $\mathrm{A}$ और $\mathrm{B}$ क्रमश: $(-2,-2)$ और $(2,-4)$ हो तो बिंदु $\mathrm{P}$ के निर्देशांक' ज्ञात कीजिए ताकि $\mathrm{AP}=\frac{3}{7} \mathrm{AB}$ हो और $\mathrm{P}$ रेखाखंड' $\mathrm{AB}$ पर स्थित हो।

हल ः 

यहाँ दिए गये बिन्दु हैं: $\mathrm{A}(-2,-2)$ और $\mathrm{B}(2,-4)$ माना रेखाखण्ड $\mathrm{AB}$ को बिन्दु $\mathrm{P}$ इस प्रकार विभाजित करता है कि:

$\because\mathrm{AP}=\frac{3}{7} \mathrm{AB} \therefore \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AB}}=\frac{3}{7}$

$\begin{aligned} \mathrm{AB} &=\mathrm{AP}+\mathrm{BP} \\ \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AB}} &=\frac{3}{7} \\ \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AP}+\mathrm{PB}} &=\frac{3}{7} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{AP}+\mathrm{PB}}{\mathrm{AP}} &=\frac{7}{3} \\ \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AP}}+\frac{\mathrm{PB}}{\mathrm{AP}} &=\frac{7}{3} \\ 1+\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}} &=\frac{7}{3} \\ \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}} &=\frac{7}{3}-1=\frac{7-3}{3}=\frac{4}{3} \\ \mathrm{AP}: \mathrm{PB} &=3: 4 \end{aligned}$

अर्थात् $\mathrm{P}(x, y), \mathrm{AB}$ को $3: 4$ के अनुपात में विभाजित करता है।

$\therefore=\frac{3 \times 2+4 \times(-2)}{3+4}=\frac{6-8}{7}=\frac{-2}{7}$

$\begin{aligned} y &=\frac{3 \times(-4)+4 \times(-2)}{3+4} \\ &=\frac{-12-8}{7}=\frac{-20}{7} \end{aligned}$

इस. प्रकार, P के निर्देशांक हैं : $\left(\frac{-2}{7}, \frac{-20}{7}\right)$.

प्रश्न 10. 

रेखाखण्ड $\mathrm{AB}$ को एक बिन्दु $\mathrm{P}$ बाह्यतः $3: 2$ के अनुपात में बाँटता है। यदि बिन्दुओं $\mathrm{A}$ और $\mathrm{B}$ के निर्देशांक क्रमशः $(4,3)$ और $(2,1)$ हैं, तो $\mathrm{P}$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल : 

दिया है

$\begin{aligned}&\mathrm{A}(4,3) \Rightarrow x_{1}=4, y_{1}=3 \\&\mathrm{~B}(2,1) \Rightarrow x_{2}=2, y_{2}=1\end{aligned}$

अनुपात $m_{1}=3, m_{2}=2$

बाहतः बिन्दु के निर्देशांक

$\begin{aligned}&=\left(\frac{m_{1} x_{2}-m_{2} x_{1}}{m_{1}-m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}-m_{2} y_{1}}{m_{1}-m_{2}}\right) \\ &=\left(\frac{3 \times 2-2 \times 43 \times 1-2 \times 3}{3-2}\right) \\ &=\left(\frac{6-83-6}{1}, \frac{1}{3}\right) \\ &=(-2,-3) . \end{aligned}$

प्रश्न 11. 

वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिंदुओं $A(1,-5)$ और $B(-4,5)$ को मिलाने वाला रेखाखंड $x$-अक्ष से विभाजित होता है। इस विभाजन बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।

हल : 

ज्ञात बिंदु $A(1,-5)$ और $B(-4,5)$ हैं।

माना बिन्दु $\mathrm{P}(x, y) \mathrm{AB}$ को $k: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है। भाग-I:

भाग-I :

$\because \mathrm{P}, x$-अक्ष पर स्थित हो,' तब 

$\therefore y$-निर्देशांक 0 है

$\begin{aligned} x &=\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+\mid m_{2}} \text { और } y=\frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}} \\ x &=\frac{k(-4)+1(1)}{k+1} \text { और } 0=\frac{5 k-5}{k+1} \\ x &=\frac{-4 k+1}{k+1} \text { और } 0=\frac{5 k-5}{k+1} \\ x(k+1) &=-4 k+1 \text { और } 5 k-5=0 \\ k &=1 \end{aligned}$

भाग-II : निर्देशांक ज्ञात करना

$x(k+1)=-4 k+1$

$x(1+1)=-4+1 \quad[\because k=1]$

$\begin{aligned} 2 x &=-3 \\ x &=\frac{-3}{2} \end{aligned}$

$\therefore$ अभीष्ट अनुपात $k: 1=1: 1$, अभीष्ट निर्देशांक $\mathrm{P}(x, 0)=\mathrm{P}\left(\frac{-3}{2}, 0\right)$.

प्रश्न 12.

त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ के शीर्षो के निर्देशांक क्रमशः $(-1,3),(-3,-2)$ एवं $(5,-1)$ हैं, तो शीर्ष $\mathrm{A}$ व $\mathrm{B}$ से खींची गयी माध्यिकाओं की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

मानलो शीर्ष $\mathrm{A}$ एवं $\mathrm{B}$ से खींची गयी माध्यिकाएँ क्रमशः $\mathrm{AP}$ और $\mathrm{BQ}$ हैं।

BC कें मध्य बिन्दु P  के निर्देशांक 

$\begin{aligned} &=\left(\frac{-3+5}{2}, \frac{-21}{2}\right) \\&=\left(\frac{2}{2}, \frac{-3}{2}\right)=\left(1,-\frac{3}{2}\right)\end{aligned}$

और $\mathrm{CA}$ के मध्य बिन्दु $\mathrm{Q}$ के निर्देशांक $=\left(\frac{5-1}{2}, \frac{-1+3}{2}\right)$

$=\left(\frac{4}{2}, \frac{2}{2}\right)=(2,1)$

माध्यिका AP की लम्बाई $=$ बिन्दु $\mathrm{A}(-1,3)$ और बिन्दु $\mathrm{P}\left(1,-\frac{3}{2}\right)$ के बीच की दूरी

$\begin{aligned}&=\sqrt{\{1+1\}^{2}+\left\{-\frac{3}{2}-3\right\}^{2}} \\&=\sqrt{\left[(2)^{2}+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}\right]} \\&=\sqrt{\left[4+\frac{81}{4}\right]}=\sqrt{\left(\frac{97}{4}\right)}\end{aligned}$

माध्यिका BQ की लम्बाई $=$ बिन्दु $B(-3,-2)$ और बिन्दु $Q(2,1)$ के बीच की दूरी

$\begin{aligned}&=\sqrt{\left[\{2-(-3)\}^{2}+\{1-(-2)\}^{2}\right]} \\&=\sqrt{(2+3)^{2}+(1+2)^{2}} \\&=\sqrt{(5)^{2}+(3)^{2}} \\&=\sqrt{25+9} \\&=\sqrt{34}\end{aligned}$

प्रश्न 13. 

बिंदुओं $\mathrm{A}(-2,2)$ और $\mathrm{B}(2,8)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड $\mathrm{AB}$ को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल :

यहाँ, दिए गये बिन्दु हैं: $\mathrm{A}(-2,2)$ और $\mathrm{B}(2,8)$

माना $\mathrm{P}_{1}, \mathrm{P}_{2}$ और $\mathrm{P}_{3}$ रेखाखंण्ड $\mathrm{AB}$ को चार समान भागों में विभाजित करते हैं।

$\therefore\mathrm{AP}_{1}=\mathrm{P}_{1}\mathrm{P}_{2}=\mathrm{P}_{2}\mathrm{P}_{3}=\mathrm{P}_{3} \mathrm{~B}$

स्पष्ट है कि $\mathrm{P}_{2}$ रेखाखण्ड $\mathrm{AB}$ का मध्यबिन्दु है। 

$\therefore \quad \mathrm{P}_{2}$ के निर्देशांक हैं :

$\left(\frac{-2+2}{2}, \frac{2+8}{2}\right)$ या $(0,5)$

पुनः $\mathrm{P}_{1}$ रेखाखण्ड $\mathrm{AP}_{2}$ का मध्यबिन्दु है। $\therefore \quad \mathrm{P}_{1}$ के निर्देशांक हैं :

$\left(\frac{-2+0}{2}, \frac{2+5}{2}\right) \text { या }\left(-1, \frac{7}{2}\right)$

और $\mathrm{P}_{3}$ रेखाखण्ड $\mathrm{P}_{2} \mathrm{~B}$ का मध्य बिन्दु है। 

$\therefore \quad \mathrm{P}_{3}$ के निर्देशांक हैं :

$\left(\frac{0+2}{2}, \frac{5+8}{2}\right)$ या, $\left(1,-\frac{13}{2}\right)$

इस प्रकार $\mathrm{P}_{1}, \mathrm{P}_{2}$ और $\mathrm{P}_{3}$ के निर्देशांक क्रमशः हैं :

$(0,5),\left(-1, \frac{7}{2}\right) \text { और }\left(1,-\frac{13}{2}\right)$

प्रश्न 14. 

एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, $(3,0),(4,5),(-1,4)$ और $(-2,-1)$ हैं।

संकेत : समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}$ (उसके विकर्णों का गुणनफल)

हल : 

माना दिए गये समचतुर्भुज के शीर्ष निम्नांकित हैं-

$\mathrm{A}(3,0), \mathrm{B}(4,5), \mathrm{C}(-1,4)$ और $\mathrm{D}(-2,-1)$

चूंकि, $\mathrm{AC}$ और $\mathrm{BD}$ समचतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$ के विकर्ण हैं। और

विकर्ण $\mathrm{AC}=\sqrt{(-1-3)^{2}+(4-0)^{2}}$

$\begin{aligned} &=\sqrt{(-4)^{2}+(4)^{2}} \\ &=\sqrt{16+16}=4 \sqrt{2} \end{aligned}$

 विकर्ण $\begin{aligned}\mathrm{BD} &=\sqrt{(-2-4)^{2}+(-1-5)^{2}} \\ &=\sqrt{(-6)^{2}+(-6)^{2}} \\ &=\sqrt{36+36}=6 \sqrt{2} \end{aligned}$

अतः समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 

$=\frac{1}{2}$ विकर्णों का गुणनफल) 

$=\frac{1}{2}(\mathrm{AC} \times \mathrm{BD})$

$=\frac{1}{2} \times 4 \sqrt{2} \times 6 \sqrt{2}$ वर्ग इकाई

$=\frac{1}{2} \times 2 \times 4 \times 6$ वर्ग इकाई

$=4 \times 6$ वर्ग इकाई

$=24$ वर्ग इकाई।

प्रश्न 15.

बिंदु $\mathrm{A}$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ $\mathrm{AB}$ एक वृत्त का व्यास है जिसका केन्द्र $(2,-3)$ है तथा $B$ के निर्देशांक' $(1,4)$ हैं।

हल : 

चूँकि, वृत्त का केन्द्र $O(2,-3)$ है।

इसीलिए, वृत्त का केन्द्र इसके व्यास को समद्विभाजित करता है।

$\therefore2=\frac{x+1}{2}$

$\begin{aligned} x+1 &=4 \text { or } x=3 \\-3 &=\frac{y+4}{2} \\ y+4 &=-6 \text { or } y=-10 \end{aligned}$

अतः $\mathrm{A}$ के निर्देशांक $(3,-10)$ हैं। उत्तर

प्रश्न 16.

उस बिन्दु के निर्देशांक' ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं $(-3,-4)$ और $(2,1)$ से खींचे गये' रेखाखण्ड' को $3: 2$ के अनुपात में बाह्यतः विभाजित करता है।

हल : 

माना $x_{1}=-3, y_{1}=-4$

$x_{2}=2, y_{2}=1$

$m_{1}=3, m_{2}=2$

बाह्यतः विभाजित करने वाले बिन्दु के निर्देशांक

$\begin{aligned}&=\left(\frac{m_{1} x_{2}-m_{2} x_{1}}{m_{1}-m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}-m_{2} y_{1}}{m_{1}-m_{2}}\right) \\&=\left(\frac{3 \times 2-2 \times(-3)}{3-2}, 3 \times 1-2 \times(-4)\right) \\&=\left(\frac{6+6}{1}, \frac{3+8}{1}\right) \\&=(12,11)\end{aligned}$

प्रश्न 17.

बिन्दुओं A $(2,-2)$ और B $(-7,4)$ को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को समत्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल : 

मान लीजिए $\mathrm{AB}$ एक रेखाखण्ड है, जो $\mathrm{P}$ तथा $\mathrm{Q}$ बिन्दुओं पर सम-त्रिभाजित करती है।

यहाँ $\mathrm{AP}=\mathrm{PQ}=\mathrm{BQ}$ है।

$\therefore$ बिन्दु $\mathrm{P}, \mathrm{AQ}$ को आन्तरिक रूप से $1: 2$ के अनुपात में विभाजित करता है।

$\therefore \quad \mathrm{P}$ के निर्देशांक- $\left(\frac{1 \times-7+2 \times 2,1 \times 4+2 \times-2}{1+2,1+2}\right)$

=(-1,0)

अब $\mathrm{Q}, \mathrm{AB}$ को अन्तरिक रूप से $2: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।

$\begin{aligned}\mathrm{Q} \text { के निर्देशंक } &=\left(\frac{2 \times-7+1 \times 2}{2+1}, 2 \times 4+1 \times2\right) \\&=(-4,2)\end{aligned}$

अतः $(-1,0)$ तथा $(-4,2)$ बिन्दुओं $\mathrm{P}$ तथा $\mathrm{Q}$ के निर्देशांक हैं।

प्रश्न 18. 

बिंदुओं $\mathrm{A}(2,-2)$ और $\mathrm{B}(3,7)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड' को रेखा $2 x+y-4=0$ जिस अनुपात में विभाजित करती है, उसे ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना दिए गये बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखण्ड $\mathrm{AB}$ को रेखा $2 x+y-4=0$ बिन्दु $\mathrm{C}$ पर $k: 1$ के अनुपात में विभाजित करती है।

$\therefore \quad \mathrm{C}$ के निर्दिशतंक हैं : $\left(\frac{3 k+2}{k+1}, \frac{7 k-2}{k+1}\right)$ चूंकि बिन्दु $\mathrm{C}$ रेखा $2 x+y-4=0$ पर स्थित है,

$\therefore \quad 2\left(\frac{3 k+2}{k+1}\right)+\left(\frac{7 k-2}{k+1}\right)-4=0$

$\begin{aligned}2[3 k+2]+[7 k-2] &=4 \times(k+1) \\6 k+4+7 k-2-4 k-4 &=0 \\(6+7-4) k+(4-2-4) &=0 \\9 k+(-2) &=0 \\9 k-2 &=0 \\k &=\frac{2}{9}\end{aligned}$

अभीष्ट अनुपात $=k: 1=\frac{2}{9}: 1=2: 9$

प्रश्न 19. 

किसी वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष $(-1,2)$ और $(3,2)$ हैं। वर्ग के अन्य दोनों शीर्ष ज्ञात कीजिए।

 हल : 

माना वर्ग $\mathrm{ABCD}$ में $\mathrm{A}(-1,2)$ और $\mathrm{C}(3,2)$ सम्मुख शीर्ष हैं। माना अज्ञात शीर्ष $\mathrm{B}$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।

चूंकि एक वर्ग की सभी भुजाएँ समान होती हैं।

$\therefore\mathrm{AB}=\mathrm{BC} \text { या } \mathrm{AB}^{2}=\mathrm{BC}^{2}$

या $(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=(x-3)^{2}+(y-2)^{2}$

या $2 x+1=-6 x+9$

$\begin{aligned} 8 x &=8 \\ x &=1 \end{aligned}$.........(i)

चूंकि एक वर्ग का प्रत्येक कोण $90^{\circ}$ होता है,

$\therefore \quad \triangle \mathrm{ABC}$ एक समकोण $\Delta$ है।

$\therefore$ पाइथागोरस प्रमेय से, हमें प्राप्त है :

$\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{AC}^{2}$

या $\left[(x+1)^{2}+(y-2)^{2}\right]+\left[(x-3)^{2}+(y-2)^{2}\right]=\left[(3+1)^{2}+(2-2)^{2}\right]$

या $2 x^{2}+2 y^{2}+2 x-4 y-6 x-4 y+1+4+9+4=16$

या $2 x^{2}+2 y^{2}-4 x-8 y+2=0$

या $x^{2}+y^{2}-2 x-4 y+1=0$

$x$ का मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,

$1+y^{2}-2-4 y+1=0$

$y^{2}-4 y+2-2=0$

$y^{2}-4 y=0$

$y(y-4)=0$

$y=0$

$y=4$

अतः अन्य दो शीर्ष $(1,0)$ और $(1,4)$ हैं।

प्रश्न 20. 

बिंदुओं $A(-1,-1), B(-1,4), C(5,4)$ और $D(5,-1)$ से एक आयत $A B C D$ बनता है। $\mathbf{P}, \mathbf{Q}, \mathbf{R}$ और $\mathbf{S}$ क्रमश : भुजाओं $\mathbf{A B}, \mathbf{B C}, \mathbf{C D}$ और $\mathbf{D A}$ के मध्य बिंदु हैं। क्या चतुर्भुज $\mathbf{P Q R S}$ एक वर्ग है? क्या यह एक आयत है? क्या यह एक समचतुर्भुज है? सकारण' उत्तर दीजिए।

हल : 

दिया है कि एक चतुर्भुज जिसके शीर्ष हैं :

$\mathrm{A}(-1,-1), \mathrm{B}(-1,4), \mathrm{C}(5,4), \quad \mathrm{D}(5,-1)$

चूंकि $\mathrm{AB}$ का मध्य बिन्दु $\mathrm{P}$ है।

$\therefore \quad P$ के निर्देशांक हैं : $\left[\frac{-1-1}{2}, \frac{-1+4}{2}\right]$ या $\left(-1, \frac{3}{2}\right)$ इसी प्रकार $\mathrm{Q}$ के निर्देशांक हैं : $\left[\frac{-1+5}{2}, \frac{4+4}{2}\right]$ या $(2,4)$ तथा $\mathrm{R}$ के निर्देशांक हैं : $\left(\frac{5+5}{2}, \frac{-1+4}{2}\right)$ या $\left(5, \frac{3}{2}\right)$ और $\mathrm{S}$ के निर्देशांक हैं : $\left(\frac{-1+5}{2}, \frac{1-}{2}\right)$ या $(2,-1)$

$\begin{aligned} \mathrm{PQ} &=\sqrt{(2+1)^{2}+\left(4-\frac{3}{2}\right)^{2}} \\ &=\sqrt{9+\frac{25}{4}}=\frac{\sqrt{61}}{2} \\ \mathrm{QR} &=\sqrt{(5-2)^{2}+\left(\frac{3}{2}-4\right)^{2}} \\ &=\sqrt{9+\frac{25}{4}}=\frac{\sqrt{61}}{2} \\ \mathrm{RS} &=\sqrt{(2-5)^{2}+\left\{-1+\left(-\frac{3}{2}\right)\right\}^{2}} \\ &=\sqrt{9+\frac{25}{4}}=\frac{\sqrt{61}}{2} \\ \mathrm{SP} &=\sqrt{(2+1)^{2}+\left(-1-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9+\frac{25}{4}}=\frac{\sqrt{61}}{2} \\ &=\sqrt{(5+1)^{2}+\left(\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{6^{2}+0}=6 \\ &=\sqrt{0+5^{2}}=5 \end{aligned}$

उक्त से स्पष्ट है कि $\mathrm{PQ}=\mathrm{QR}=\mathrm{RS}=\mathrm{SP}$ अर्थात् चतुर्भुज $\mathrm{PQRS}$ की सभी भुजाएँ समान हैं। $\therefore$ यह एक वर्ग या एक समचतुर्भुज हो सकता है।

चूंकि $\mathrm{PR} \neq \mathrm{QS}$

अर्थात् $\mathrm{PQRS}$ के विकर्ण समान नहीं हैं।

$\therefore \quad$ PQRS एक समचतुर्भुज है।

Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 7 निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry) प्रश्नावली - 7 (A)

 प्रश्नावली 7 (A)

प्रश्न 1

निम्नलिखित बिन्दु युग्मों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए :

(i) (4,3) और (2,5)

(ii) (2,0) और (-1,4)

(iii) (2a, a) और (-a,-3a)

(iv) (4,-6) और (-6,4)

(v) (2,3) और (4,1)

(vi) (-5,7) और (-1,3)

(vii) (a, b) और (-a,-b)

(viii) (0,0) और (36,15)

हल : (i)

अभीष्ट दूरी 

$\begin{aligned}&=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \\&=\sqrt{(2-4)^{2}+(5-3)^{2}}\end{aligned}$

$=\sqrt{(-2)^{2}+(2)^{2}}$

$=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}$

$=2 \sqrt{2}$ इकाई।

(ii) 

अभीष्ट दूरी

$\begin{aligned} &=\sqrt{(-1-2)^{2}+(4-0)^{2}} \\ &=\sqrt{(-3)^{2}+(4)^{2}} \\ &=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}\end{aligned}$

=5 इकाई। 

(iii)

अभीष्ट दूरी 

$\begin{aligned} &=\sqrt{(-a-2 a)^{2}+(-3 a-a)^{2}} \\ &=\sqrt{(-3 a)^{2}+(-4 a)^{2}} \\ &=\sqrt{9 a^{2}+16 a^{2}}=\sqrt{25 a^{2}}\end{aligned}$

=5 a  इकाई। 

(iv)

अभीष्ट दूरी 

$\begin{aligned} &=\sqrt{(-6-4)^{2}+(4+6)^{2}} \\ &=\sqrt{100+100} \\ &=\sqrt{200} \end{aligned}$ 

$=10 \sqrt{2}$ इकाई। 

(v)

अभीष्ट दूरी

$\begin{aligned} &=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \\ &=\sqrt{(4-2)^{2}+(1-3)^{2}} \\ &=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}} \\ &=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}   \end{aligned}$

$=\sqrt{2 \times 4}=2 \sqrt{2}$ इकाई।

(vi)

अभीष्ट दूरी 

$\begin{aligned} &=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \\ &=\sqrt{[-1-(-5)]^{2}+(3-7)^{2}} \\ &=\sqrt{(-1+5)^{2}+(-4)^{2}} \\ &=\sqrt{(4)^{2}+(-4)^{2}} \\ &=\sqrt{16+16} \end{aligned}$

$=\sqrt{32}=\sqrt{2 \times 16}=4 \sqrt{2}$ इकाई। 

(vii)

अभीष्ट दूरी 

$\begin{aligned} &=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \\ &=\sqrt{(-a-a)^{2}+(-b-b)^{2}} \\ &=\sqrt{(-2 a)^{2}+(-2 b)^{2}} \\ &=\sqrt{4 a^{2}+4 b^{2}}  \end{aligned}$

$=\sqrt{4\left(a^{2}+b^{2}\right)}=2 \sqrt{\left(a^{2}+b^{2}\right)}$ इकाई। 

(viii)

अभीष्ट दूरी 

$\begin{aligned}&=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \\ &=\sqrt{(36-0)^{2}+(15-0)^{2}} \\ &=\sqrt{(36)^{2}+(15)^{2}} \\ &=\sqrt{1296+225} \\ &=\sqrt{1521}=\sqrt{39^{2}}\end{aligned}$

=39 इकाई।

प्रश्न 2

x-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो (2,-5) और (-2,9) से समदूरस्थ है।

हल : 

माना x-अक्ष पर स्थित बिन्दु $\mathrm{P}$ के निर्देशांक $(x, 0)$ हैं तथा दिए गये बिन्दु $\mathrm{A}(2,-5)$ और $\mathrm{B}(-2,9)$ से

,$\therefore\mathrm{PA}=\sqrt{(x-2)^{2}+[0-(-5)]^{2}}$

$=\sqrt{(x-2)^{2}+5^{2}}$

$=\sqrt{x^{2}-4 x+4+25}$

$=\sqrt{x^{2}-4 x+29}$

$\mathrm{PB}=\sqrt{\left[x-(-2)^{2}\right]+(0-9)^{2}}$

$=\sqrt{(x+2)^{2}+(-9)^{2}}$

$=\sqrt{x^{2}+4 x+4+81}$

$=\sqrt{x^{2}+4 x+85}$

$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}$

$\sqrt{x^{2}-4 x+29}=\sqrt{x^{2}+4 x+85}$

$x^{2}-4 x+29=x^{2}+4 x+85$

$x^{2}-4 x-x^{2}-4 x=85-29$ या $-8 x=56$

$x=\frac{56}{-8}=-7$

इस प्रकार अभीष्ट बिन्दु (-7 ,0) है।उत्तर

प्रश्न 3. 

यदि बिन्दु $(x, y)$ बिन्दुओं $(a+b, b-a)$ और $(a-b, a+b)$ से समान दूरी पर हों, तो दिखाइए कि $b x=a y$

हल :
माना बिन्दु $\mathrm{P}(x, y)$ तथा $\mathrm{A}(a+b, b-a), \mathrm{B}(a-b, a+b)$ हैं, तब प्रश्नानुसार
$\begin{aligned}\mathrm{PA} &=\mathrm{PB} \\\mathrm{PA}^{2}&=\mathrm{PB}^{2}\end{aligned}$

$[x-(a+b)]^{2}+[y-(b-a)]^{2}=[x-(a-b)]^{2}+[y-(a+b)]^{2} $

$\begin{aligned} \\ x^{2}+(a+b)^{2}-2(a+b) x+y^{2}+(b-a)^{2} &-2(b-a) y \\ &=x^{2}+(a-b)^{2}-2(a-b) x+y^{2}+(a+b)^{2}-2(a+b) y \\ 2(a-b) x-2(a+b) x &=2(b-a) y-2(a+b) y \\ x[a-b-a-b] &=y(b-a-a-b) \\-2 b x &=-2 a y \\ b x &=a y \end{aligned}$

प्रश्न 4

 निम्नलिखित' बिन्दु युग्मों के बीच की दूरियाँ ज्ञात कीजिए :

(i) $(a \sin \theta, a \cos \theta)$ और $(a \cos \theta,-a \sin \theta)$

(ii) $\left(a m_{1}{ }^{2}, 2 a m_{1}\right)$ और $\left(a m_{2}{ }^{2}, 2 a m_{2}\right)$.

हल : 

(i) बिन्दुओं $(a \sin \theta ; a \cos \theta)$ और $(a \cos \theta,-a \sin \theta)$ के बीच की दूरी

$\begin{aligned}&=\sqrt{\left[(a \cos \theta-a \sin \theta)^{2}+(-a \sin \theta-a \cos \theta)^{2}\right]} \\&=\sqrt{\left[a^{2}(\cos \theta-\sin \theta)^{2}+(-a)^{2}(\sin \theta+\cos \theta)^{2}\right]} \\&=\sqrt{\left[a^{2}\left(\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta-2 \sin \theta \cos \theta\right)+a^{2}\left(\sin^{2} \theta+\cos ^{2} \theta+2 \sin \theta \cos \theta\right)\right]} \\&=\sqrt{\left[a^{2}\left(2 \sin ^{2} \theta+2 \cos ^{2} \theta\right)\right]} \\&=\sqrt{2 a^{2}\left(\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta\right)} \\&=\sqrt{\left(2 a^{2} \times 1\right)}=\sqrt{\left(2 a^{2}\right)}\end{aligned}$

$=a \sqrt{2}$ इकाई।

(ii) बिन्दुओं $\left(a m_{1}^{2}, 2 a m_{1}\right)$ और $\left(a m_{2}^{2}, 2 a m_{2}\right)$ के बीच की दूरी

$\begin{aligned}&=\sqrt{\left[\left(a m_{2}^{2}-a m_{1}^{2}\right)^{2}+\left(2 a m_{2}-2 a m_{1}\right)^{2}\right]}\\&=\sqrt{\left[a^{2}\left(m_{2}^{2}-m_{1}^{2}\right)^{2}+(2 a)^{2}\left(m_{2}m_{1}\right)^{2}\right]} \\&=\sqrt{\left[a^{2}\left(m_{2}-m_{1}\right)^{2}\left(m_{2}+m_{1}\right)^{2}+4 a^{2}\left(m_{2}m_{1}\right)^{2}\right]} \end{aligned}$

$=a\left(m_{2}-m_{1}\right) \sqrt{\left[\left(m_{2}+m_{1}\right)^{2}+4\right]} $ इकाई।

प्रश्न 5. 

y का वह मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए बिंदु $\mathrm{P}(2,-3)$ और $\mathrm{Q}(10, y)$ के बीच की दूरी 10 मात्रक है।

हल : 

दिए गये बिन्दु हैं : $\mathrm{P}(2,-3)$ और $\mathrm{Q}(10, y)$

$\begin{aligned} \mathrm{PQ} &=\sqrt{(10-2)^{2}+[y-(-3)]^{2}} \\ &=\sqrt{8^{2}+(y+3)^{2}} \\ &=\sqrt{64+y^{2}+6 y+9} \\ &=\sqrt{y^{2}+6 y+73} \\ \mathrm{PQ} &=10 \\ \sqrt{y^{2}+6 y+73} &=10 \end{aligned}$

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

$y^{2}+6 y+73=100$

$y^{2}+6 y-27=0$

$y^{2}-3 y+9 y-27=0$

$\begin{aligned}(y-3)(y+9) &=0 \\ y-3 &=0 \\ y &=3 \\ y+9 &=0 \\ y &=-9 \end{aligned}$

अतः y का मान 3 या (-9) है।

प्रश्न 6.

 सिद्ध कीजिए कि बिन्दु $(2,-2),(8,4),(5,7)$ और $(-1,1)$ एक आयत के शीर्ष हैं। 

हल : 

मान लो आयत के शीर्ष $\mathrm{A}(2,-2), \mathrm{B}(8,4), \mathrm{C}(5,7)$ तथा $\mathrm{D}(-1,1)$ हैं।

$\begin{aligned} \mathrm{AB} &=\sqrt{\left[(2-8)^{2}+(-2-4)^{2}\right]} \\ &=\sqrt{\left[(-6)^{2}+(-6)^{2}\right]} \\ &=\sqrt{36+36} \\ &=\sqrt{72}=6 \sqrt{2} \\ \mathrm{BC} &=\sqrt{\left[(8-5)^{2}+(4-7)^{2}\right]} \\ &=\sqrt{\left[(3)^{2}+(-3)^{2}\right]} \\ &=\sqrt{9+9} \\ &=\sqrt{18}=3 \sqrt{2} \\ \mathrm{CD} &=\sqrt{\{5-(-1)\}^{2}+(7-1)^{2}} \\ &=\sqrt{6^{2}+6^{2}} \\ &=\sqrt{36+36} \\ &=\sqrt{72}=6 \sqrt{2} \\ \mathrm{DA} &=\sqrt{(-1-2)^{2}+[1-(-2)]^{2}} \\ &=\sqrt{(-3)^{2}+(-3)^{2}} \\ &=\sqrt{9+9} \\ &=\sqrt{18}=3 \sqrt{2} \\ &=\sqrt{\left[(2-5)^{2}+(-2-7)^{2}\right]} \\ &=\sqrt{90}=3 \sqrt{10} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \mathrm{BD} &=\sqrt{\left[\left\{8-(-1)^{2}\right\}+(4-1)^{2}\right]} \\ &=\sqrt{\left(9^{2}+3^{2}\right)} \\ &=\sqrt{81+9} \\ &=\sqrt{90} \\ &=3 \sqrt{10} \end{aligned}$

$\because$ सम्मुख भुजाएँ $\mathrm{AB}=\mathrm{CD}$ और $\mathrm{BC}=\mathrm{AD}$ तथा विकर्ण $\mathrm{AC}=\mathrm{BD}$ है। अतः चारों बिन्दु एक आयत के शीर्ष हैं। इति सिद्धम्।

प्रश्न 7. 

दर्शाइए कि बिन्दु $(1,7),(4,2),(-1,-1)$ और $(-4,4)$ एक वर्ग के शीर्ष हैं। हल : मान लीजिए कि बिन्दु $\mathrm{A}(1,7), \mathrm{B}(4,2), \mathrm{C}(-1,-1)$ और $\mathrm{D}(-4,4)$ हों, तब

$\begin{array}{r}A B=\sqrt{(1-4)^{2}+(7-2)^{2}}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34} \\B C=\sqrt{(4+1)^{2}+(2+1)^{2}}=\sqrt{25: 9}=\sqrt{34} \\C D=\sqrt{(-1+4)^{2}+(-1-4)^{2}}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}\end{array}$

$\mathrm{DA}=\sqrt{(1+4)^{2}+(7-4)^{2}}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$

$\mathrm{AC}=\sqrt{(1+1)^{2}+(7+1)^{2}}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}$

$\mathrm{BD}=\sqrt{(4+4)^{2}+(2-4)^{2}}=\sqrt{64+4}=\sqrt{68}$

उपरोक्त' ज्ञात भुजाएँ $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}, \mathrm{CD}$ और $\mathrm{DA}$ आपस में बराबर हैं तथा विकर्ण $\mathrm{AC}=\mathrm{BD}$ है। अतः इससे स्पष्ट है कि दिए गए बिन्दु एक वर्ग के शीर्ष हैं, क्योंकि वर्ग की चारों भुजाएँ तथा दोनों विकर्ण बराबर होते हैं।

प्रश्न 8.

एक त्रिभुज के शीर्ष क्रमश: $(-5,6),(3,0)$ तथा $(9,8)$ हैं। सिद्ध कीजिए कि यह समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है।

हल : 

मानलो $\Delta$ के शीर्ष $\mathrm{A}(-5,6), \mathrm{B}(3,0)$ तथा $\mathrm{C}(9,8)$ हैं।

$\begin{aligned}\mathrm{AB} &=\sqrt{\left[(-5-3)^{2}+(6-0)^{2}\right]} \\&=\sqrt{64+36}=10 \\\mathrm{BC} &=\sqrt{\left[(3-9)^{2}+(0-8)^{2}\right]} \\&=\sqrt{(36+64)}=10 \\\mathrm{AC} &=\sqrt{\left[(-5-9)^{2}+(6-8)^{2}\right]} \\&=\sqrt{196+4}=\sqrt{200} \\&=10 \sqrt{2}\end{aligned}$

$\begin{aligned} \mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2} &=10^{2}+10^{2} \\ &=100+100 \\ &=200 \\ \mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2} &=\mathrm{AC}^{2} \\ \mathrm{AB} &=\mathrm{BC} . \end{aligned}$

प्रश्न 9. 

जाँच कीजिए कि क्या बिंदु $(5,-2),(6,4)$ और $(7,-2)$ एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं। हल : माना $\mathrm{A}(5,-2), \mathrm{B}(6,4)$ और $\mathrm{C}(7,-2)$ हों, तब

$\begin{aligned} A B &=\sqrt{(6-5)^{2}+[4-(-2)]^{2}} \\ &=\sqrt{(1)^{2}+(6)^{2}}=\sqrt{1+36}=\sqrt{37} \\ B C &=\sqrt{(7-6)^{2}+(-2-4)^{2}} \\ &=\sqrt{(1)^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{1+36}=\sqrt{37} \\ A C &=\sqrt{(5-7)^{2}+(-2-(-2))^{2}} \\ &=\sqrt{(-2)^{2}+(0)^{2}}=\sqrt{4+0}=2 \\ A B &=B C=\sqrt{37} \text { and } A C=2 \\ A B &=B C \neq A C \end{aligned}$

अतः $\triangle \mathrm{ABC}$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है। इति सिद्धम्।

प्रश्न 10. 

यदि $\mathrm{Q}(0,1)$ बिंदुओं $\mathrm{P}(5,-3)$ और $\mathrm{R}(x, 6)$ से समदूरस्थ है, तो $x$ के मान ज्ञात कीजिए। दूरियाँ $Q R$ और $P R$ भी ज्ञात कीजिए।

$\begin{aligned} \mathrm{QP} &=\sqrt{(5-0)^{2}+[(-3)-1]^{2}} \\ &=\sqrt{5^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41} \\ \mathrm{QR} &=\sqrt{(x-0)^{2}+(6-1)^{2}} \\ &=\sqrt{x^{2}+5^{2}}=\sqrt{x^{2}+25} \\ \mathrm{QP} &=\mathrm{QR} \\ \sqrt{41} &=\sqrt{x^{2}+25} \end{aligned}$

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

$\begin{aligned} x^{2}+25 &=41 \\ x^{2}+25-41 &=0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} x^{2}-16 &=0 \\ x &=\pm 4 \end{aligned}$

इस प्रकार, बिन्दु R के निर्देशांक हैं : (4,6) या (-4,6)

अब, $Q R=\sqrt{[(\pm 4)-(0)]^{2}+(6-1)^{2}}$

$\begin{aligned} &=\sqrt{16+25}=\sqrt{41} \\ \mathrm{PR} &=\sqrt{(\pm 4-5)^{2}+(6+3)^{2}} \\ \mathrm{PR} &=\sqrt{(4-5)^{2}+(6+3)^{2}} \text { or } \sqrt{(-4-5)^{2}+(6+3)^{2}} \\ \mathrm{PR} &=\sqrt{1+81} \text { or } \sqrt{(-9)^{2}+9^{2}} \\ &=\sqrt{82} \text { or } \sqrt{2 \times 9^{2}} \\ &=\sqrt{82} \text { or } 9 \sqrt{2}  \end{aligned}$

प्रश्न 11. 

सिद्ध कीजिए कि बिन्दु $(-2,5),(3,-4),(7,10)$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।

हल : 

मान लीजिए दिये हुए तीनों बिन्दु क्रमानुसार $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ हैं अर्थात् $\mathrm{A}$ के निर्देशांक $(-2,5), \mathrm{B}$ के $(3,-4)$ 1ौर $C$ के निर्देशांक $(7,10)$ हैं, तो

$\mathrm{AB}^{2}=(-2-3)^{2}+(5+4)^{2}=106$

$\mathrm{BC}^{2}=(3-7)^{2}+(-4-10)^{2}=212$

$\mathrm{AC}^{2}=(-2-7)^{2}+(5-10)^{2}=106$

$\begin{aligned} \mathrm{AB} &=\sqrt{106}=\mathrm{AC} \\ \mathrm{BC}^{2} &=212=106+106 \\ &=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2} \end{aligned}$

अतः $\mathrm{ABC}$ समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जिसका कोण $\mathrm{A}$ समकोण है।

प्रश्न 12. 

निम्नलिखित बिन्दुओं द्वारा बनने वाले चतुर्भुज का प्रकार (यदि कोई है, तो) बताइए तथा अपने उत्तर के लिए कारण भी दीजिए।

(i) $(-1,-2),(1,0),(-1,2),(-3,0)$

(ii) $(-3,5),(3,1),(0,3),(-1,-4)$

(iii) $(4,5),(7,6),(4,3),(1,2)$

हल : 

(i) मान लीजिए दिए गये बिन्दु हैं :

$\begin{aligned} \mathrm{A}(-1,-2), \mathrm{B}(1,&0), \mathrm{C}(-1,2) \text { और } \mathrm{D}(-3,0) \\ \mathrm{AB} &=\sqrt{(1+1)^{2}+(0+2)^{2}} \\ &=\sqrt{(2)^{2}+(2)^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8} \\ \mathrm{BC} &=\sqrt{(-1-1)^{2}+(2-0)^{2}} \\ &=\sqrt{4+4}=\sqrt{8} \\ \mathrm{CD} &=\sqrt{(-3+1)^{2}+(0-2)^{2}} \\ &=\sqrt{4+4}=\sqrt{8} \\ \mathrm{DA} &=\sqrt{(-1+3)^{2}+(-2-0)^{2}} \\ &=\sqrt{4+4}=\sqrt{8} \\ \mathrm{AC} &=\sqrt{(-1+1)^{2}+(-2-2)^{2}} \\ &=\sqrt{0+16}=4 \\ \mathrm{BD} &=\sqrt{(-3-1)^{2}+(0-0)^{2}} \\ &=\sqrt{(-4)^{2}}=4 \\ \mathrm{AB} &=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{AD} \end{aligned}$

अर्थात् सभी भुजाएँ समान हैं, और विकर्ण $\mathrm{AC}$ और विकर्ण $\mathrm{BD}$ भी समान है। अतः $\mathrm{ABCD}$ एक वर्ग है।

(ii) मान लीजिए दिए गये बिन्दु हैं :

$\mathrm{A}(-3,5), \mathrm{B}(3,1), \mathrm{C}(0,3)$ और $\mathrm{D}(-1,-4)$

$\begin{aligned}\mathrm{AB} &=\sqrt{[3-(-3)]^{2}+(1-5)^{2}} \\&=\sqrt{6^{2}+(-4)^{2}} \\&=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2 \sqrt{13}\end{aligned}$

$\begin{aligned} \mathrm{BC} &=\sqrt{(0-3)^{2}+(3-1)^{2}} \\ &=\sqrt{9+4}=\sqrt{13} \\ \mathrm{CD} &=\sqrt{(-1-0)^{2}+(-4-3)^{2}} \\ &=\sqrt{(-1)^{2}+(-7)^{2}}=\sqrt{1+49}=\sqrt{50} \\ \mathrm{DA} &=\sqrt{[-3-(-1)]^{2}+[5-(-4)]^{2}} \\ &=\sqrt{(-2)^{2}+(9)^{2}}=\sqrt{4+81}=\sqrt{85} \\ \mathrm{AC} &=\sqrt{[0-(-3)]^{2}+(3-5)^{2}} \\ &=\sqrt{(3)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13} \\ \mathrm{BD} &=\sqrt{(-1-3)^{2}+(-4-1)^{2}} \\ &=\sqrt{(-4)^{2}+(-5)^{2}} \\ &=\sqrt{16+25}=\sqrt{41} \end{aligned}$

उपरोक्त परिणामों से,

BC+AC अर्थात्

$\begin{aligned}\sqrt{13}+\sqrt{13} &=2 \sqrt{13} \\\mathrm{AC}+\mathrm{BC} &=\mathrm{AB}\end{aligned}$

$\Rightarrow \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ और $\mathrm{D}$ संरेखी हैं। इस प्रकार, ABCD एक चतुर्भुज नहीं है।

(iii) मान लीजिए दिए गये बिन्दु हैं :

$\mathrm{A}(4,5), \mathrm{B}(7,6), \mathrm{C}(4,3)$ और $\mathrm{D}(1,2)$

$\begin{aligned} \mathrm{AB} &=\sqrt{(7-4)^{2}+(6-5)^{2}} \\ &=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10} \\ \mathrm{BC} &=\sqrt{(4-7)^{2}+(3-6)^{2}} \\ &=\sqrt{(-3)^{2}+(-3)^{2}} \\ &=\sqrt{9+9}=\sqrt{18} \\ \mathrm{CD} &=\sqrt{(1-4)^{2}+(2-3)^{2}} \\ &=\sqrt{(-3)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{10} \\ \mathrm{DA} &=\sqrt{(4-1)^{2}+(5-2)^{2}} \end{aligned}$

$\begin{aligned} &=\sqrt{9+9}=\sqrt{18} \\ \mathrm{AC} &=\sqrt{(4-4)^{2}+(3-5)^{2}} \\ &=\sqrt{0+(-2)^{2}}=2 \\ \mathrm{BD} &=\sqrt{(1-7)^{2}+(2-6)^{2}} \\ &=\sqrt{36+16}=\sqrt{52} \end{aligned}$

उपरोक्त परिणामों से, 

$\mathrm{AB}=\mathrm{CD} \text { तथा } \mathrm{BC}=\mathrm{DA}$

अर्थात् चतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$ की सम्मुख भुजाएँ समान हैं।

 परन्तु $\mathrm{AC} \neq \mathrm{BD}$ अर्थात् विकर्ण समान नहीं है। 

अतः $\mathrm{ABCD}$ एक समान्तर चतुर्भुज है।

प्रश्न 13.

उस त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष $(0,4),(4,0)$ और $(2,-2)$ एक समकी त्रिभुज के शीर्ष हैं।

हल : 

माना $\triangle \mathrm{ABC}$ के शीर्ष $\mathrm{A}(0,4), \mathrm{B}(4,0)$ तथा $\mathrm{C}(2,-2)$ हैं।

$\begin{aligned} \mathrm{AB} &=\sqrt{(0-4)^{2}+(4-0)^{2}} \\ &=\sqrt{16+16} \\ &=\sqrt{32} \text { मात्रक } \\ \mathrm{BC} &=\sqrt{(4-2)^{2}+(0+2)^{2}} \\ &=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}  \\ \mathrm{CA} &=\sqrt{(2-0)^{2}+(-2-4)^{2}} \\ &=\sqrt{4+36} \\ &=\sqrt{40} \text { मात्रक } \\ \mathrm{CA}^{2} &=40 \\ \mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2} &=32+8=40 \end{aligned}$

अतः $\triangle \mathrm{ABC}$ समकोण त्रिभुज है।

परिमाप 

$\begin{aligned}  &=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA} \\&=\sqrt{32}+\sqrt{8}+\sqrt{40} \\&=4 \sqrt{2}+2 \sqrt{2}+2 \sqrt{10} \\&=6 \sqrt{2}+2 \sqrt{10}\end{aligned}$

$=2(3 \sqrt{2}+\sqrt{10}) $ मात्रक।

प्रश्न 14. 

निर्धारित' कीजिए कि क्या बिंदु $(1,5),(2,3)$ और $(-2,-11)$ संरेखी हैं ?

 दिए गये बिंदु $\mathrm{A}(1,5), \mathrm{B}(2,3)$ और $\mathrm{C}(-2,-11)$ हैं यदि $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ और $\mathrm{C}$ संरेखी हैं तो

$\begin{aligned}\mathrm{AB} &=\sqrt{(2-1)^{2}+(3-5)^{2}} \\&=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\end{aligned}$

$\begin{aligned}\mathrm{BC} &=\sqrt{(-2-2)^{2}+(-11-3)^{2}} \\&=\sqrt{(-4)^{2}+(-14)^{2}} \\&=\sqrt{16+196}=\sqrt{212}\end{aligned}$

$A C=\sqrt{(-2-1)^{2}+(-11-5)^{2}}$

$=\sqrt{(-3)^{2}+(-16)^{2}}$

$=\sqrt{9+256}$

$=\sqrt{265}$

अतः बिन्दु $A, B$ और $C$ संरेखी नहीं हैं।

प्रश्न 15. 

x और y में एक ऐसा संबंध ज्ञात कीजिए कि बिंदु $(x, y)$ बिंदुओं $(3,6)$ और $(-3,4)$ से समदू रस्थ हो।

हल : 

माना $\mathrm{A}(x, y), \mathrm{B}(3,6)$ और $\mathrm{C}(-3,4)$

$\therefore\mathrm{AB}=\sqrt{(3-x)^{2}+(6-y)^{2}}$

$\mathrm{AC}=\sqrt{[(-3)-x]^{2}+(4-y)^{2}}$

चूंकि, बिन्दु $(x, y)$ बिन्दुओं $(3,6)$ और $(-3,4)$ से समदूरस्थ हैं, $\therefore$

$A B=A C$

$\sqrt{(3-x)^{2}+(6-y)^{2}}=\sqrt{(-3-x)^{2}+(4-y)^{2}}$

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

$(3-x)^{2}+\left(6^{\circ}-y\right)^{2}=(-3-x)^{2}+(4-y)^{2}$

$\begin{array}{rlr}\left(9+x^{2}-6 x\right)+\left(36+y^{2}-12 y\right) & =.\left(9+x^{2}+6 x\right)+\left(16+y^{2}-8y\right) \\9+x^{2}-6 x+36+y^{2}-12 y-9-x^{2}-6 x-16-y^{2}+8 y & =0 \\-6 x-6 x+36-12 y-16+8 y & =0 \\-12 x-4 y+20 & =0 \end{array} $ 

3x+y-5 =0 [-4 से विभाजित करने पर]

3x+y-5 =0 जो कि x और y में अभीष्ट संबंध है।

प्रश्न 16. 

किसी कक्षा में, चार मित्र बिंदुओं $A, B, C$ और $D$ पर बैंठे हुए हैं, जैसाकि आकृति में दर्शाया गया है। चंपा और चमेली कक्षा के अंदर आती हैं और कुछ मिनट तक देखने के बाद, चंपा चमेली से पूछती है, 'क्या तुम नहीं सोचती हो कि $\mathrm{ABCD}$ एक वर्ग है?' चमेली इससे सहमत नहीं है। दूरी सूत्र का प्रयोग करके बताइए कि इनमें कौन सही है।

हल : 

माना चित्र में स्तंभों की संख्या $x$-अक्ष पर और पंक्तियों की संख्या $y$-अक्ष पर व्यक्त की गयी हों तथा दिए गए चार बिन्दु हैं :

$\mathrm{A}(3,4), \mathrm{B}(6,7), \mathrm{C}(9,4) \text { और } \mathrm{D}(6,1)$

$\begin{aligned} A B &=\sqrt{(6-3)^{2}+(7-4)^{2}} \\ &=\sqrt{(3)^{2}+(3)^{2}} \\ &=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2} \\ B C &=\sqrt{(9-6)^{2}+(4-7)^{2}} \\ &=\sqrt{3^{2}+(-3)^{2}} \\ &=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2} \\ C D &=\sqrt{(6-9)^{2}+(1-4)^{2}} \\ &=\sqrt{(-3)^{2}+(-3)^{2}} \\ &=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2} \\ A D &=\sqrt{(6-3)^{2}+(1-4)^{2}} \\ &=\sqrt{(3)^{2}+(-3)^{2}} \\ &=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2} \end{aligned}$

$\mathrm{AB} \cdot=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{AD}$

अर्थात् सभी चारों भुजाएँ समान हैं। 

तथा विकर्ण

$\begin{aligned} \mathrm{AC} &=\sqrt{(9-3)^{2}+(4-4)^{2}} \\ &=\sqrt{(6)^{2}+(0)^{2}}=6 \\ \mathrm{BD} &=\sqrt{(6-6)^{2}+(1-7)^{2}} \\ &=\sqrt{(0)^{2}+(-6)^{2}}=6 \\ \mathrm{BD} &=\mathrm{AC} \end{aligned}$

$\Rightarrow$ दोनों विकर्ण भी समान हैं।

∴ ABCD एक वर्ग है। अर्थात् चंपा सही है।