प्रश्नावली - 7 (E)
बहुविकल्पीय प्रश्न
निम्नलिखित प्रत्येक प्रश्न के चार सम्भावित उत्तर दिए गए हैं, जिनमें से एक सही है। सही उत्तर बताइए :
प्रश्न 1.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष $(0,0)(0,2)$ तथा $(2,0)$ हैं, होगा :
(i) 1
(ii) 2
(iii) 4
(iv) 8
उत्तर :
विकल्प (ii) 2 .
हल : यहाँ $x_{1}=0, x_{2}=0, x_{3}=2$
$y_{1}=0, y_{2}=2, y_{3}=0$
Δ का क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right] \\ &=\frac{1}{2}[0(2-0)+0(0-0)+2(0-2)] \\ &=\frac{1}{2}[0+0-4] \\ &=\frac{1}{2} \times(-4)=-2 \\ &=2 . \end{aligned}$
प्रश्न 2.
एक समबाहु त्रिभुज का एक शीर्ष मूलबिन्दु पर और दूसरा शीर्ष बिन्दु $(4,0)$ पर है। त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा :
(i) 4 वर्ग इकाई
(ii) $\sqrt{3}$ वर्ग इकाई
(iii) $4 \sqrt{3}$ वर्ग इकाई
(iv) $2 \sqrt{3}$ वर्ग इकाई
उत्तर :
विकल्प (iii) $4 \sqrt{3}$ वर्ग इकाई।
हल :
यहाँ
$\begin{aligned}&x_{1}=0, x_{2}=4, x_{3}=2 \\&y_{1}=0, y_{2}=0, y_{3}=2 \sqrt{3}\end{aligned}$
Δ का क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right] \\ &=\frac{1}{2}[0(0-2 \sqrt{3})+4(2 \sqrt{3}-0)+2(0-0)] \\ &=\frac{1}{2}[0+8 \sqrt{3}+0] \\ &=\frac{1}{2} \times 8 \sqrt{3} \end{aligned}$
$=4 \sqrt{3}$ वर्ग इकाई।
प्रश्न 3.
$\triangle \mathrm{OAB}$ का क्षेत्रफल होगा :
(i) 16 वर्ग इकाई
(ii) 20 वर्ग इकाई
(iii) 24 वर्ग इकाई
(iv) 36 वर्ग इकाई
उत्तर :
विकल्प (iii) 24 वर्ग इकाई।
हल :
$\triangle \mathrm{OAB}$ के शीषों के निर्देशांक $(0,0),(8,0)$ तथा $(0,6)$ हैं।
$\Delta \mathrm{OAB}$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right]$
$=\frac{1}{2}[0(0-6)+8(6-0)+0(0-0)]$ $=\frac{1}{2}[0+48+0]$ $=\frac{1}{2} \times 48$ $=24$ वर्ग इकाई।
प्रश्न 4.
त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ के शीर्ष $\mathrm{A}(0,0), \mathrm{B}(3,0), \mathrm{C}(-3,0)$ हों, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा :
(i) 9
(ii) $\frac{1}{2}$
(iii) 0
(iv) 18
उत्तर- विकल्प (iii) 0 .
हल :
यहाँ
$\begin{aligned}&x_{1}=0, x_{2}=3, x_{3}=-3 \\&y_{1}=0, y_{2}=0, y_{3}=0\end{aligned}$
Δ का क्षेत्रफल
$\begin{aligned} &=\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right] \\ &=\frac{1}{2}[0(0-0)+3(0-0)+(-3)(0-0)] \\ &=\frac{1}{2} \times 0=0 . \end{aligned}$
प्रश्न 5.
त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ के शीर्ष $\mathrm{A}(0,0), \mathrm{B}(a, 0), \mathrm{C}(0,-a)$ हों, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा :
(i) 0
(ii) $\frac{1}{2} a^{2}$
(iii) $a^{2}$
(iv) $2 a^{2}$.
उत्तर : विकल्प (ii) $\frac{1}{2} a^{2}$.
हल :
यहाँ
$\begin{aligned}&x_{1}=0, x_{2}=a, x_{3}=0 \\&y_{1}=0, y_{2}=0, y_{3}=-a\end{aligned}$
$\begin{aligned} x_{1} &=0, x_{2}=a, x_{3}=0 \\ y_{1} &=0, y_{2}=0, y_{3}=-a \end{aligned}$
Δ का क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right] \\ &=\frac{1}{2}[0(0+a)+a(-a-0)+0(0-0)] \\ &=\frac{1}{2}\left[0-a^{2}+0\right] \\ &=-\frac{1}{2} a^{2}\end{aligned}$
$=\frac{1}{2} a^{2}$ मात्रक।
प्रश्न 6.
बिन्दु $(0,5)$ और $(-5,0)$ के बीच की दूरी है :
(i) 5
(ii) $5 \sqrt{2}$
(iii) $2 \sqrt{5}$
(iv) $10 .$
हल :
$(0,5)$ और $(-5,0)$ के बीच की दूरी $=\sqrt{(-5-0)^{2}+(0-5)^{2}}$
$\begin{aligned}&=\sqrt{(-5)^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{25+25} \\&=\sqrt{50}\end{aligned}$
$=5 \sqrt{2} $ इकाई।
अतः विकल्प (ii) सही है।
प्रश्न 7
. शीर्षों $(0,4),(0,0)$ और $(3,0)$ वाले त्रिभुज का परिमाप है :
(i) 5
(ii) 12
(iii) 11
(iv) $7+\sqrt{5}$
हल :
$(0,4)$ तथा $(0,0)$ के बीच की दूरी $=\sqrt{(0-0)^{2}+(0-4)^{2}}=\sqrt{0+16}$
$=\sqrt{16}=4$
$(0,0)$ तथा $(3,0)$ के बीच की दूरी $=\sqrt{(0-3)^{2}+(0-0)^{2}}=\sqrt{9}=3$
$(0,4)$ तथा $(3,0)$ के बीच की दूरी $=\sqrt{(0-3)^{2}+(4-0)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
त्रिभुज का परिमाप $=4+3+5=12$
विकल्प (ii) सही है।
प्रश्न 8.
बिन्दु $P(-6,8)$ की मूल बिन्दु से दूरी है :
(i) 8
(ii) $2 \sqrt{7}$
(iii) 10
(iv) $6 .$
हल :
बिन्दु $(-6,8)$ तथा $(0,0)$ के बीच की दूरी
$=\sqrt{(-6-0)^{2}+(8-0)^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}$
$=10 .$
अतः विकल्प (iii) सही है।
प्रश्न 9.
यदि बिन्दुओं $(4, p)$ और $(1,0)$ के बीच की दूरी 5 है, तो $p$ का मान है :
(i) 4
(ii) $\pm 4$
(iii) $-4$
(iv) 0 .
हल :
बिन्दु $(4, p)$ और $(1,0)$ के बीच की दूरी $=5$
$\begin{array}{r}\sqrt{(4-1)^{2}+(p-0)^{2}}=5 \\\sqrt{9+p^{2}}=5 \\9+p^{2}=25\end{array}$
$\begin{aligned} p^{2} &=25-9=16 \\ p &=\pm 4 \end{aligned}$
अतः विकल्प (ii) सही है।
प्रश्न 10.
यदि बिन्दु $\mathrm{A}(1,2), O(0,0)$ और $\mathrm{C}(a, b)$ संरेख हैं, तो :
(i) $\quad a=b$
(ii) $a=2 b$
(iii) $2 a=b$
(iv) $a=-b$
हल :
$\because$ बिन्दु $\mathrm{A}, \mathrm{O}$ तथा $\mathrm{C}$ सरेख हों, तब
$\triangle \mathrm{AOC} \text { का क्षेत्रफल }=0$
$\begin{aligned} \frac{1}{2}[1(0-b)+0(b-2)+a(2-0)] &=0 \\-b+0+2 a &=0 \\ 2 a &=b \end{aligned}$
अतः विकल्प (ii) सही है।
लघु उत्तरीय प्रश्न
प्रश्न 11.
आपके स्कूल में खेल-कूद क्रियाकलाप आयोजित करने के लिए, एक आयताकार मैदान $\mathrm{ABCD}$ में, चूने से परस्पर 1 मी की दूरी पर पक्तियाँ बनाई गई हैं। $\mathrm{AD}$ के अनुदिश परस्पर 1 मी की दूरी पर 100 गमले रखे गए हैं, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। निहारिका दूसरी पंक्ति में $\mathrm{AD}$ के $\frac{1}{4}$ भाग के $\frac{1}{\text { है }}$ बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक हरा झंडा गाड़ देती है। प्रीत आठवीं पंक्ति में $\mathrm{AD}$ के $\frac{1}{5}$ भाग के बराबर की दूरी दौड़ती एक लाल अंडा गाड़ देती है। दोनों यांडों के बीच की दुरी क्या है? गदि रशिम को एक नीला एंडा इन दोनों अंडों को मिलाने वाले रेखाखंण्ड पर ठीक आधी दूरी (बीच में) पर गाड़ना हो तो उसे अपना झंडा कहाँ गाड़ना चाहिए ?
हल :
आकृति में, $\mathrm{AB}$ और $\mathrm{AD}$ क्रमशः $x$-अक्ष और $y$-अक्ष हैं।
अब, हरे-झंडे की स्थिति $\left(2, \frac{100}{4}\right)$ या $(2,25)$ है।
और लाल रंग के झंडे की स्थिति है: $\left(8, \frac{100}{5}\right)$ या $(8,20)$
दोनों झंडों के बीच की दूरी $=\sqrt{(8-2)^{2}+(20-25)^{2}}=\sqrt{6^{2}+(-5)^{2}}$
$=\sqrt{36+25}=\sqrt{61}$
माना झंडों को मिलाने वाले रेखाखण्ड का मध्यबिन्दु $\mathrm{M}(x, y)$ है।
$\begin{array}{lll} & M & \\\hline(2,25) & (x, y) & (8,20)\end{array}$
$x=\frac{2+8}{2}$ और $y=\frac{25+20}{2}$
$x=5$ और $y=(22.5)$
अतः नीला झंण्डा 5 वीं रेखा पर $\mathrm{AB}$ के ऊपर $22: 5 \mathrm{~m}$ की दूरी पर गाड़ना चाहिए।
प्रश्न 12.
बिंदुओं $(6,-6),(3,-7)$ और $(3,3)$ से होकर जाने वाले वृत्त का केंन्द्र ज्ञात कीजिए।
हल :
माना बिन्दुओं $\mathrm{A}(6,-6), \mathrm{B}(3,-7)$ और $\mathrm{C}(3,3)$ से गुजरने वाले वृत्त का केन्द्र $\mathrm{P}(x, y)$ है।
$\begin{aligned} \mathrm{AP} &=\mathrm{BP}=\mathrm{CP} \\ \mathrm{AP} &=\mathrm{BP} \text { or } \mathrm{AP}^{2}=\mathrm{BP}^{2} \\(x-6)^{2}+(y+6)^{2} &=(x-3)^{2}+(y+7)^{2} \\ x^{2}-12 x+36+y^{2}+12 y+36 &=x^{2}-6 x+9+y^{2}+14 y+49 \\-12 x+6 x+12 y-14 y+72-58 &=0 \\-6 x-2 y+14 &=0 \\ 3 x+y-7 &=0 \end{aligned}$............(i)
अब $\mathrm{BP}=\mathrm{CP}$, या $\mathrm{BP}^{2}=\mathrm{CP}^{2}$
$\begin{aligned}(x-3)^{2}+(y+7)^{2} &=(x-3)^{2}+(y-3)^{2} \\(y+7)^{2} &=(y-3)^{2} \\ y^{2}+49+14 y &=y^{2}+9-6 y \\ 21: \quad 40 &=0 \end{aligned}$
$y=\frac{-40}{20}=-2$
$y$ का मान समीकरण (i) में रखने पर,
$3 x-2-7=0$
$3 x=9$
$x=3$
अतः वृत्त का केन्द्र $(3,-2)$ है।
प्रश्न 13.
कृष्णानगर के एक सेकेंडरी स्कूल के कक्षा $\mathrm{X}$ के विद्यार्थियों को उनके बागवानी क्रियाकलाप के लिए एक आयताकार भूखंड दिया गया है। गुलमोहर की पौध (Sapling) को परस्पर 1 मीटर की दूरी पर इस भूखंड की परिसीमा (boundary) पर लगाया जाता है। इस भूखंड के अंदर एक त्रिभुजाकार घास लगा हुआ लॉन (lawn) है, जैसाकि आकृति में दर्शाया गया है। विद्यार्थियों को भूखंड के शेष भाग में फूलों के पौधे के बीज बोने हैं।
हल :
(i) दिया है : $\mathrm{A}$ के निर्देशांक $(0,0)$ तथा $\mathrm{P}$ के निर्देशांक $(4,6), \mathrm{Q}$ के निर्देशांक $(3,2), \mathrm{R}$ के निर्देशांक $(6,5)$ हैं।
(ii) बिन्दु $\mathrm{C}$ के मूल बिन्दु और $\mathrm{CB}$ तथा $\mathrm{CD}$ को निर्देशांक-अक्ष लेने पर $\triangle \mathrm{PQR}$ के शीर्षों के निर्देशांक हैं : $\mathrm{P}(12,2), \mathrm{Q}(13,6)$ और $\mathrm{R}(10,3)$ हैं।
जब $\mathrm{P}(4 ; 6), \mathrm{Q}(3,2)$ और $\mathrm{R}(6,5)$ हों, तब क्षे. $(\Delta \mathrm{PQR})$
$=\frac{1}{2}[4(2-5)+3(5-6)+6(6-2)]=\frac{1}{2}[-12-3+24]=\frac{9}{2}$ वर्ग इकाई और जब $\mathrm{P}(12,2), \mathrm{Q}(13,6)$ और $\mathrm{R}(10,3)$ हों, तब क्षे. ( $\Delta \mathrm{PQR}$ $=\frac{1}{2}[12(6-3)+13(3-2)+10(2-6)]=\frac{1}{2}[36+13-40]=\frac{9}{2} \text { वर्ग इकाई }$
इस प्रकार, दोनों स्थितियों में $\triangle \mathrm{PQR}$ का क्षेत्रफल एक ही है।
प्रश्न 14.
मान लीजिए $A(4,2), B(6,5)$ और $C(1,4)$ एक त्रिभुज $A B C$ के शीर्ष हैं।
(i) $\mathrm{A}$ से होकर जाने वाली माध्यिका $\mathrm{BC}$ से $\mathrm{D}$ पर मिलती है। बिंदु $\mathrm{D}$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(ii) $\mathrm{AD}$ पर स्थित ऐसे बिंदु $\mathrm{P}$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि $\mathrm{AP}: \mathrm{PD}=2: 1$ हो।
(iii) माधिकाओं $\mathrm{BE}$ और $\mathrm{CF}$ पर ऐसे बिंदुओं $\mathrm{Q}$ और $\mathrm{R}$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि $\mathrm{BQ}: \mathrm{QE}=2: 1$ हो और $\mathrm{CR}: \mathrm{RF}=2: 1$ हो।
(iv) आप क्या देखते हैं ?
(v) यदि $\mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right), \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right)$ और $\mathrm{C}\left(x_{3}, y_{3}\right)$ त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ के शीर्ष हैं, तो इस त्रिभुज के केंद्रक के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है : $\triangle \mathrm{ABC}$ के शीर्ष $\mathrm{A}(4,2), \mathrm{B}(6,5)$ और $\mathrm{C}(1,4)$ हैं।
(i) चूंकि $\mathrm{AD}$ एक माध्यिका है
$\therefore \quad \mathrm{D}$ के निर्देशांक हैं .
$\left(\frac{6+1}{2}, \frac{5+4}{2}\right)$ या $\left(\frac{7}{2}, \frac{9}{2}\right)$
(IMAGE TO BE ADDED)
(ii) चूंकि $\mathrm{AP}: \mathrm{PD}=2: 1$ अर्थात् $\mathrm{P}$ रेखाखण्ड $\mathrm{AD}$ को $2: 1$ के अनुपात में बांटता है।
$\therefore \quad \mathrm{P}$ के निर्देशांक हैं :
$\left[\frac{2\left(\frac{7}{2}\right)+(1 \times 4)}{2+1}, \frac{2\left(\frac{9}{2}\right)+1 \times 2}{2+1}\right]$ या $\left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right)$
(iii) चूंकि $\mathrm{BQ}: \mathrm{QE}=2: 1$
$\Rightarrow \mathrm{Q}$ रेखाखंड $\mathrm{BE}$ को $2: 1$ के अनुपात में बांटती है,
$\because \mathrm{BE}$ माध्यिका है,
$\quad \mathrm{E}$ के निर्देशांक $=\left(\frac{4+1}{2}, \frac{2+4}{2}\right)=\left(\frac{5}{2}, 3\right)$
$\therefore \quad \mathrm{Q}$ के निर्देशांक हैं :
$\left[\frac{2\left(\frac{5}{2}\right)+1 \times 6}{2+1}, \frac{(2 \times 3)+(1 \times 5)}{2+1}\right]$
या $\left[\frac{5+6}{3}, \frac{6+5}{3}\right]$
या $\left[\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right]$.
$\because \mathrm{CF}$ माध्यिका है, $\therefore \mathrm{F}$ के निर्देशांक
$\left(\frac{4+6}{2}, \frac{2+5}{2}\right) \text { या }\left(5, \frac{7}{2}\right)$
$\mathrm{R}$ के निर्देशांक हैं :
$\left[\begin{array}{cc}2 \times 5+1 \times 1 & 2 \times \frac{7}{2}+1 \times 4 \\\hline 2+1 & 2+1\end{array}\right]$
या
$\left[\begin{array}{cc}10+1 & 7+4 \\\hline 3 & 3\end{array}\right] \text { या }\left[\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right]$
(iv) स्पष्ट है कि $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ और $\mathrm{R}$ एक बिन्दु को व्यक्त करते हैं।
(v) दिया है कि $\mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right), \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right)$ और $\mathrm{C}\left(x_{3}, y_{3}\right) \Delta \mathrm{ABC}$ के शीर्ष हैं। तथा $\mathrm{AD}, \mathrm{BE}$ और $\mathrm{CF}$ इसकी माध्यिकाएँ हैं।
$\therefore \quad D, E$ और $F$ क्रमशः $B C, C A$ और $A B$ के मध्य बिन्दु हैं।
हम जानते हैं केन्द्रक माध्यिका पर स्थित एक ऐसा बिन्दु होता है जो उसे $2: 1$ के अनुपात में बाटे। माध्यिका $\mathrm{AD}$ दी गयी हो, तब $\mathrm{D}$ के निर्देशांक
$\left[\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{\dot{y}_{2}+y_{3}}{2}\right]$
माना $\mathrm{G}$ एक केन्द्रक है,
$\therefore$ केन्द्रक के निर्देशांक हैं :
$\begin{aligned}&{\left[\frac{\left(1 \times x_{1}\right)+2\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}\right)}{1+2}, \frac{\left(1\times y_{1}\right)+2\left(\frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)}{1+2}\right]} \\&\quad=\left[\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3} y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right]\end{aligned}$
इसी प्रकार, अन्य माध्यिकाओं से, हमें प्राप्त होता है कि $\mathrm{G}$ के निर्देशांक :
$\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3} \quad y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$
अर्थात्, एक केन्द्रक के निर्देशांक' : $\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$ हें।
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