प्रश्नावली - 7 (C)
प्रश्न 1.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष $(2,3),(-1,0),(2,-4)$ हैं। हल : माना $\triangle \mathrm{ABC}$ के शीर्षों के निर्देशांक हैं :
हल :
माना $\triangle \mathrm{ABC}$ के शीर्षों के निर्देशांक हैं :
$\mathrm{A}(2,3), \mathrm{B}(-1,0) \text { और } \mathrm{C}(2,-4)$
$ x_{1}=2, y_{1}=3, x_{2}=-1 $ , $y_{2}=0, x_{3}=2, y_{3}=-4 $
Δ का क्षेत्रफल
$\begin{aligned} &=\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right] \\ &=\frac{1}{2}[2\{0-(-4)\}+(-1)\{-4-(3)\}+2\{3-0\}] \\ &=\frac{1}{2}[2(0+4)+(-1)(-4-3)+2(3)] \\ &=\frac{1}{2}[8+7+6] \\ &=\frac{1}{2}[21] \end{aligned}$
$=\frac{21}{2}$ वर्ग इकाई।
प्रश्न 2.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष $(-5,-1),(3,-5),(5,2)$ हैं। हल : माना दिए गये Δ के शीर्षों के निर्देशांक हैं :
$\mathrm{A}(-5,-1), \mathrm{B}(3,-5)$ और $\mathrm{C}(5,2)$
यहाँ $x_{1}=-5, y_{1}=-1, x_{2}=3, y_{2}=-5, x_{3}=5, y_{3}=2$
Δ का क्षेत्रफल
$\begin{aligned} &=\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right] \\ &=\frac{1}{2}[-5\{-5-2\}+3\{2-(-1)\}+5\{-1-(-5)\}] \\ &=\frac{1}{2}[-5\{-7\}+3\{2+1\}+5\{-1+5\}] \\ &=\frac{1}{2}[(-5)(-7)+3(3)+5(4)] \\ &=\frac{1}{2}[35+9+20] \\ &=\frac{1}{2} \times 64 \end{aligned}$
=32 वर्ग इकाई।
प्रश्न 3.
यदि किसी त्रिभुज के शीर्ष बिन्दु (-2,4),(3,-1) तथा (1, a) हों और उसका क्षेत्रफल 10 वर्ग इकाई हो, तो सिद्ध कीजिए कि a=5.
हल :
यहाँ
$\begin{aligned}&x_{1}=-2, x_{2}=3, x_{3}=1 \\&y_{1}=4, y_{2}=-1, y_{3}=a\end{aligned}$
त्रिभुज का क्षेत्रफल =10 वर्ग इकाई
त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right]$
त्रिभुज का क्षेत्रफल =10 वर्ग इकाई
त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right]$
$\begin{aligned}10 &=\frac{1}{2}[-2(-1-a)+3(a-4)+1(4+1)] \\20 &=2+2 a+3 a-12+5 \\20 &=5 a-5 \\5 a &=25 \\a &=5\end{aligned}$
इति सिद्धम्।
प्रश्न 4.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष $(1,-1),(-4,6)$ और $(-3,-5)$ हैं।
हल :
मान लीजिए दिए गए शीर्ष $\mathrm{A}(1,-1), \mathrm{B}(-4,6)$ और $\mathrm{C}(-3,-5)$ हों, तब
त्रिभुज का क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}[1(6+5)+(-4)(-5+1)+(-3)(-1-6)] \\&=\frac{1}{2}[11+16+21] \\&=\frac{1}{2} \times 48\end{aligned}$
=24 वर्ग इकाई।
प्रश्न 5.
उस च्तर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में $(-4,-2),(-3,-5),(3,-2)$ और $(2,3)$ हैं।
हल :
माना दिए गये चतुर्भुज के शीर्ष हैं;
$\mathrm{A}(-4,-2), \mathrm{B}(-3,-5), \mathrm{C}(3,-2)$ और $\mathrm{D}(2,3)$
विकर्क्ण BD को मिलाते हैं।
क्षे. ΔABD
$=\frac{1}{2}[(-4)\{-5-3)\}+(-3)\{3-(-2)\} +2\{(-2)-(-5)\}] $
$=\frac{1}{2}[(-4)(-8)+(-3)(5)+2(-2+5)]$
$=\frac{1}{2}[32+(-15)+6]$
$=\frac{1}{2}[23]=\frac{23}{2} $
क्षे.Δ CBD
$\begin{aligned} &=\frac{1}{2}[3(-5-3)+(-3)\{3-(-2)\}+2\{(-2)-(-5)\}] \\&=\frac{1}{2}[3(-8)+(-3)(5)+2(3)] \\&=\frac{1}{2}[-24-15+6] \\&=\frac{1}{2}[-33]\end{aligned}$
$=\frac{33}{2}$ वर्ग इकाई
क्षे. चतुर्भुज ABCD = क्षे. ΔABD+ क्षे. Δ CDB
$\begin{aligned} &=\left(\frac{23}{2}+\frac{33}{2}\right) \\&=\frac{56}{2} \end{aligned}$
=28 वर्ग इकाई।
उत्तर
प्रश्न 6.
(1,2),(-5,6),(7,-4) तथा (k,-2) एक चतुर्भुज के क्रमशः चारों शीर्ष हैं। यदि चतुर्भुज का क्षेत्रफल शून्य $(0)$ हो तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
माना $\mathrm{A}(1,2), \mathrm{B}(-5,6), \mathrm{C}(7,-4), \mathrm{D}(k,-2)$
एक चतुर्भुज ABCD के शीर्ष हैं
Δ ABC का क्षे.
$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}\left[x_{1} y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3} y_{1}-\left(x_{1} y_{3}+x_{2} y_{1}+x_{3} y_{2}\right)\right] \\&=\frac{1}{2}[(6+20+14)-(-4-10+42)] \\&=\frac{1}{2}(40-28)\end{aligned}$
=6 वर्ग मात्रक
Δ ADC का क्षे.
$=\frac{1}{2}[(-4-14+2k)-(14-4 k-2)] $
$=\frac{1}{2}[(2 k-18)-(12-4 k)] $
$=\frac{1}{2}(6 k-30) $
=3k-15
लेकिन चतुर्मुज ABCD का क्षे. =0 दिया है
∴ ΔABC का क्षे. +ΔACD का क्षे.=0
6+3 k-15=0
3k-9=0
k=3
उत्तर
प्रश्न 7.
उस आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो रेखाओं $x=0, y=0$ और $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1$ से घिरी है।
हल :
बिन्दु A के निर्देशांक $(0,3)$
बिन्दु $O$ के निर्देशांक $(0,0)$
बिन्दु $B$ के निर्देशांक $(2,0)$
$x_{1}=0, y_{1}=3$
$x_{2}=0, y_{2}=0$
$x_{3}=2, y_{3}=0$
ΔAOB का क्षेत्रफल
$\begin{aligned} &=\frac{1}{2} \left[x_{1}\left(y_{2}y_{3}\right)+x_{2}\left(\dot{y}_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right] \\&=\frac{1}{2}[0(0-0)+0(0-3)+2(3-0)] \\ &=\frac{1}{2}[0+0+6] \\&=\frac{1}{2} \times 6=3\end{aligned}$
त्रिभुज का अभीष्ट क्षेत्रफल $=3$ वर्ग मात्रक।
प्रश्न 8.
आप जानते हैं कि किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। उस त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ के लिए इस परिणाम का सत्यापन कीजिए जिसके शीर्ष $\mathrm{A}(4,-6), \mathrm{B}(3,-2)$ और $\mathrm{C}(5,2)$ है।
हल :
यहाँ $\triangle \mathrm{ABC}$ के पीर्षों के निर्देशांक इस प्रकार हैं :
$\mathrm{A}(4,-6), \mathrm{B}(3,-2) \text { और } \mathrm{C}(5,2)$
$\therefore \quad D$ के निर्देशांक हैं :
$\left\{\frac{3+5}{2}, \frac{-2+2}{2}\right\}$ या $(4,0)$
चूंकि रेखाखंड $\mathrm{AD}, \triangle \mathrm{ABC}$ को दो भागों $\triangle \mathrm{ABD}$ और $\triangle \mathrm{ACD}$ में विभाजित करता है।
क्षे. ΔABD
$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}[4\{(-2)-0\}+3(0+6)+4(-6+2)] \\ &=\frac{1}{2}[(-8)+18+(-16)] \\ &=\frac{1}{2}(-6) \end{aligned}$
=-3 वर्ग इकाई =3 वर्ग इकाई ...........(i)
क्षे. Δ ACD
$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}[4(0-2)+4(2+6)+5(-6-0)] \\ &=\frac{1}{2}[-8+32-30]=\frac{1}{2}[-6] \end{aligned}$
=-3 वर्ग इकाई =3 वर्ग इकाई ..........(ii)
समी (i) और (ii) से,
क्षे. Δ ABD = क्षे.Δ ACD
अर्थात्, माध्यिका एक त्रिभुज को दो समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में बांटती है।
प्रश्न 9.
शीर्षों $(0,-1),(2,1)$ और $(0,3)$ वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :
माना Δ के शीर्ष $\mathrm{A}(0,-1), \mathrm{B}(2,1)$ और $\mathrm{C}(0,3)$ हैं।
माना $\mathrm{D}, \mathrm{E}$ और $\mathrm{F}$ क्रमशः $\triangle \mathrm{ABC}$ की भुजाओं $\mathrm{BC}, \mathrm{CA}$ और $\mathrm{AB}$ के मध्य बिंदु हैं।
$D$ के निर्देश, $5=\left(\frac{2+}{2}, \frac{1+3}{2}\right)=\left(\frac{2}{4}, \frac{1}{2}\right)=(1,2)$
$\mathrm{E}$ के निर्देशांक $=\left(\frac{0+0}{2}, \frac{3+(-1)}{2}\right)=(0,1)$
$\mathrm{F}$ के निर्देशांक $=\left(\frac{2+0}{2}, \frac{1+(-1)}{2}\right)=(1,0)$
ΔABC का क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}[0(1-3)+2\{3-(-1)\}+0(-1-1)] \\&=\frac{1}{2}[0(-2)+8+0(-2)] \\&=\frac{1}{2}[0+8+0]=\frac{1}{2} \times 8\end{aligned}$
=4 वर्ग इकाई
ΔDEF का क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}[1(1-0)+0(0-2)+1(2-1)] \\&=\frac{1}{2}[1(1)+0+1(1)] \\&=\frac{1}{2}[1+0+1]=\frac{1}{2} \times 2\end{aligned}$
=1 वर्ग इकाई
=क्षे. ΔDEF / क्षे. ΔABC$=\frac{1}{4}$
अतः :क्षे. $(\triangle \mathrm{DEF}):$ क्षे. $(\triangle \mathrm{ABC})=1: 4$.
प्रश्न 10.
$\triangle \mathrm{ABC}$ के शीर्ष $\mathrm{A}(3,0), \mathrm{B}(0,6)$ और $\mathrm{C}(6,9)$ हैं। रेखा $\mathrm{DE} ;$ भुजा $\mathrm{AB}$ और $\mathrm{AC}$ को अनुपात $1: 2$ में बाँटती है। सिद्ध कीजिए
$\triangle \mathrm{ABC}$ का क्षेत्रफल $=9 \times \triangle \mathrm{ADE}$ का क्षेत्रफल
हल :
बिन्दु $D$ के निर्दिशंक्रि $=\left(\begin{array}{cc}1 \times 0+2 \times 3 & 1 \times 6+2 \times 0 \\ 1+2 & , & 1+2\end{array}\right)=(2,2)$
बिन्दु $E$ के निर्देशांक $=\left(\frac{1 \times 6+2 \times 3 \quad 1 \times 9+2 \times 0}{1+2 \quad 1+2}\right)=(4,3)$
$\Delta \mathrm{ADE}$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}[3(2-3)+2(3-0)+4(0-2)]$
$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}[-3+6-8]\end{aligned}$
$=\frac{5}{2}$ वर्ग इकाई
$\triangle \mathrm{ABC}$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}[3(6-9)+0(9-0)+6(0-6)]$
$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}[-9-36] \\&=\frac{45}{2} \end{aligned}$
$\triangle \mathrm{ABC}$ का क्षेत्रफल $=9 \times \triangle \mathrm{ADE}$ का क्षेत्रफल
प्रश्न 11.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्षों के निर्देशांक $\left(a t_{1}, \frac{a}{t_{1}}\right),\left(a t_{2}, \frac{a}{t_{2}}\right)$ और $\left(a t_{3}, \frac{a}{t_{3}}\right)$ हैं।
हल :
यहाँ $x_{1}=a t_{1}, x_{2}=a t_{2}, x_{3}=a t_{3}$
$y_{1}=\frac{a}{t_{1}}, y_{2}=\frac{a}{t_{2}}, y_{3}=\frac{a}{t_{3}}$
त्रिभुज का क्षेत्रफल
$\begin{aligned} &=\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right] \\ &=\frac{1}{2}\left[a t_{1}\left(\frac{a}{t_{2}}-\frac{a}{t_{3}}\right)+a t_{2}\left(\frac{a}{t_{3}}-\frac{a}{t_{1}}\right)+a t_{3}\left(\frac{a}{t_{1}}-\frac{a}{t_{2}}\right)\right] \\ &=\frac{1}{2}\left[a^{2} t_{1} \frac{\left(t_{3}-t_{2}\right)}{t_{2} t_{3}}+a^{2} t_{2} \frac{\left(t_{1}-t_{3}\right)}{t_{3} t_{1}}+a^{2} t_{3} \frac{\left(t_{2}-t_{1}\right)}{t_{1} t_{2}}\right] \\ &=\frac{a^{2}}{2 t_{1} t_{2} t_{3}}\left[t_{1}^{2}\left(t_{3}-t_{2}\right)+t_{2}^{2}\left(t_{1}-t_{3}\right)+t_{3}^{2}\left(t_{2}-t_{1}\right)\right] \\ &=\frac{a^{2}}{2 t_{1} t_{2} t_{3}}\left[t_{1}^{2}\left(t_{3}-t_{2}\right)+t_{2}^{2} t_{1}-t_{2}^{2} t_{3}+t_{3}^{2} t_{2}-t_{3}^{2} t_{1}\right] \\ &=\frac{a^{2}}{2 t_{1} t_{2} t_{3}}\left[t_{1}^{2}\left(t_{3}-t_{2}\right)+t_{2}^{2} t_{1}-t_{3}^{2} t_{1}-t_{2}^{2} t_{3}+t_{3}^{2} t_{2}\right] \end{aligned}$
$=\frac{a^{2}}{2 t_{1} t_{2} t_{3}}\left[-t_{1}^{2}\left(t_{2}-t_{3}\right)+t_{1}\left(t_{2}^{2}-t_{3}^{2}\right)-t_{2} t_{3}\left(t_{2}-t_{3}\right)\right]$
$=\frac{a^{2}}{2 t_{1} t_{2} t_{3}}\left[-t_{1}^{2}\left(t_{2}-t_{3}\right)+t_{1}\left(t_{2}-t_{3}\right)\left(t_{2}+t_{3}\right)-t_{2} t_{3}\left(t_{2}-t_{3}\right)\right]$
$=\frac{a^{2}}{2 t_{1} t_{2} t_{3}}\left(t_{2}-t_{3}\right)\left[-t_{1}^{2}+t_{1} t_{2}+t_{1} t_{3}-t_{2} t_{3}\right]$
$=\frac{a^{2}}{2 t_{1} t_{2} t_{3}}\left(t_{2}-t_{3}\right)\left[-t_{1}\left(t_{1}-t_{2}\right)+t_{3}\left(t_{1}-t_{2}\right)\right]$
$=\frac{a^{2}}{2 t_{1} t_{2} t_{3}}\left(t_{2}-t_{3}\right)\left(t_{1}-t_{2}\right)\left(-t_{1}+t_{3}\right)$
$=\frac{a^{2}}{2 t_{1} t_{2} t_{3}}\left(t_{2}-t_{3}\right)\left(t_{3}-t_{1}\right)\left(t_{1}-t_{2}\right) .$
प्रश्न 12.
उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। जिसके शीषों के fिदेशांक क्रमशः (-3,2),(5,4), (7,-6) तथां (-5,-4) हैं।
हल :
माना $\mathrm{A}(-3,2), \mathrm{B}(5,4), \mathrm{C}(7,-6)$ तथा $\mathrm{D}(-5,-4)$ चतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$ के शीर्ष हैं।
ΔABC का क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}\left[\left(x_{1} y_{2}+x_{2} y_{3}+x_{3} y_{1}\right)-\left(x_{1} y_{3}+x_{2} y_{1}+x_{3} y_{2}\right)\right] \\ &=\frac{1}{2}[(-12-30+14)-(18+10+28)] \\ &=\frac{1}{2}[-28-56] \end{aligned}$
=42 वर्ग मात्रक
$\triangle \mathrm{ACD}$ में शीर्षों के निर्देशांक क्रमशः $\mathrm{A}(-3,2), \mathrm{C}(7,-6)$ तथा $\mathrm{D}(-5,-4)$ हैं।
ΔACD का क्षेत्रफल
$\begin{aligned} &=\frac{1}{2}[(18-28-10)-(12+14+30)] \\&=\frac{1}{2}[-20-56]\end{aligned}$
=38 वर्ग मात्रक
चतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$ का क्षेत्रफल $=\triangle \mathrm{ABC}$ का क्षे. $+\triangle \mathrm{ACD}$ का क्षे. =(42+38) वर्ग मात्रक
=80 वर्ग मात्रक।
प्रश्न 13.
एक त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ के शीर्ष $\mathrm{A}(4,6), \mathrm{B}(1,5)$ और $\mathrm{C}(7,2)$ हैं। भुजाओं $\mathrm{AB}$ और $\mathrm{AC}$ को क्रमशः $\mathrm{D}$ और $\mathrm{E}$ पर प्रतिच्छेद करते हुए एक रेखा इस प्रकार खींची गई है कि $\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}=\frac{1}{4}$ है। $\triangle A D E$ का क्षेत्रफल परिकलित कीजिए और इसकी तुलना $\triangle A B C$ के क्षेत्रफल से कीजिए।
हल :
दिया है :
$\begin{aligned} \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}} &=\frac{1}{4} \\ \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}} &=\frac{4}{1} \\ \frac{\mathrm{AD}+\mathrm{DB}}{\mathrm{AD}} &=\frac{4}{1} \\ \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AD}}+\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{AD}} &=\frac{4}{1}=1+\frac{3}{1} \\ 1+\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{AD}} &=1+\frac{3}{1} \\ \frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{AD}} &=\frac{3}{1} . \\ \mathrm{AD}: \mathrm{DB} &=1: 3 \end{aligned}$
इस प्रकार, बिन्दु D रेखाखण्ड AB को 1: 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
$\therefore$ बिन्दु D के निर्देशांक हैं :
$\left[\frac{(1 \times 1)+(3 \times 4)}{1+3}, \frac{(1 \times 5)+(3 \times 6)}{1+3}\right]$
या $\left[\begin{array}{cc}1+12 & 5+18 \\ 4 & 4\end{array}\right]$ या $\left(\frac{13}{4}, \frac{23}{4}\right)$
इसी प्रकार, AE : EC =1: 3
अतः बिन्दु E रेखाखण्ड AC को 1: 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
$\Rightarrow \mathrm{E}$ के निर्देशांक' हैं :
$\left[\frac{(1 \times 7)+(3 \times 4)}{1+3},(1 \times 2)+(3 \times 6)\right]$
या $\left[\frac{7+12}{4}, \frac{2+18}{4}\right]$ या $\left[\frac{19}{4}, 5\right]$ अब, क्षे. Δ ADE
$=\left[\frac{1}{2}\left[4\left(\frac{23}{4}-5\right)+\frac{13}{4}(5-6)+\frac{19}{4}\left(6-\frac{23}{4}\right)\right]\right.$
$=\frac{1}{2}\left[(23-20)-\frac{13}{4}(1)+\frac{19}{4}\left(\frac{24-23}{4}\right)\right]$
$=\frac{1}{2}\left(3-\frac{13}{4}+\frac{19}{16}\right)$
$=\frac{1}{2}\left[\frac{48-52+19}{16}\right]=\frac{15}{32}$ वर्ग इकाई
क्षे. Δ ABC
$=\frac{1}{2}[4(5-2)+1(2-6)+7(6-5)]$
$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}[(4 \times 3)+1 \times(-4)+7 \times 1] \\&=\frac{1}{2}[12+(-4)+7]=\frac{1}{2}(15)\end{aligned}$
$=\frac{15}{2}$ वर्ग इकाई
=क्षे. ΔADE / क्षे.Δ ABC
$=\frac{\frac{15}{32}}{\frac{15}{2}}=\frac{15}{32} \times \frac{2}{15}=\frac{1}{16}$
क्षे. Δ ADE : क्षे. ΔABC=1 : 16
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