प्रश्नावली 7 (A)
प्रश्न 1
निम्नलिखित बिन्दु युग्मों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए :
(i) (4,3) और (2,5)
(ii) (2,0) और (-1,4)
(iii) (2a, a) और (-a,-3a)
(iv) (4,-6) और (-6,4)
(v) (2,3) और (4,1)
(vi) (-5,7) और (-1,3)
(vii) (a, b) और (-a,-b)
(viii) (0,0) और (36,15)
हल : (i)
अभीष्ट दूरी
$\begin{aligned}&=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \\&=\sqrt{(2-4)^{2}+(5-3)^{2}}\end{aligned}$
$=\sqrt{(-2)^{2}+(2)^{2}}$
$=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}$
$=2 \sqrt{2}$ इकाई।
(ii)
अभीष्ट दूरी
$\begin{aligned} &=\sqrt{(-1-2)^{2}+(4-0)^{2}} \\ &=\sqrt{(-3)^{2}+(4)^{2}} \\ &=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}\end{aligned}$
=5 इकाई।
(iii)
अभीष्ट दूरी
$\begin{aligned} &=\sqrt{(-a-2 a)^{2}+(-3 a-a)^{2}} \\ &=\sqrt{(-3 a)^{2}+(-4 a)^{2}} \\ &=\sqrt{9 a^{2}+16 a^{2}}=\sqrt{25 a^{2}}\end{aligned}$
=5 a इकाई।
(iv)
अभीष्ट दूरी
$\begin{aligned} &=\sqrt{(-6-4)^{2}+(4+6)^{2}} \\ &=\sqrt{100+100} \\ &=\sqrt{200} \end{aligned}$
$=10 \sqrt{2}$ इकाई।
(v)
अभीष्ट दूरी
$\begin{aligned} &=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \\ &=\sqrt{(4-2)^{2}+(1-3)^{2}} \\ &=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}} \\ &=\sqrt{4+4}=\sqrt{8} \end{aligned}$
$=\sqrt{2 \times 4}=2 \sqrt{2}$ इकाई।
(vi)
अभीष्ट दूरी
$\begin{aligned} &=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \\ &=\sqrt{[-1-(-5)]^{2}+(3-7)^{2}} \\ &=\sqrt{(-1+5)^{2}+(-4)^{2}} \\ &=\sqrt{(4)^{2}+(-4)^{2}} \\ &=\sqrt{16+16} \end{aligned}$
$=\sqrt{32}=\sqrt{2 \times 16}=4 \sqrt{2}$ इकाई।
(vii)
अभीष्ट दूरी
$\begin{aligned} &=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \\ &=\sqrt{(-a-a)^{2}+(-b-b)^{2}} \\ &=\sqrt{(-2 a)^{2}+(-2 b)^{2}} \\ &=\sqrt{4 a^{2}+4 b^{2}} \end{aligned}$
$=\sqrt{4\left(a^{2}+b^{2}\right)}=2 \sqrt{\left(a^{2}+b^{2}\right)}$ इकाई।
(viii)
अभीष्ट दूरी
$\begin{aligned}&=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \\ &=\sqrt{(36-0)^{2}+(15-0)^{2}} \\ &=\sqrt{(36)^{2}+(15)^{2}} \\ &=\sqrt{1296+225} \\ &=\sqrt{1521}=\sqrt{39^{2}}\end{aligned}$
=39 इकाई।
प्रश्न 2
x-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो (2,-5) और (-2,9) से समदूरस्थ है।
हल :
माना x-अक्ष पर स्थित बिन्दु $\mathrm{P}$ के निर्देशांक $(x, 0)$ हैं तथा दिए गये बिन्दु $\mathrm{A}(2,-5)$ और $\mathrm{B}(-2,9)$ से
,$\therefore\mathrm{PA}=\sqrt{(x-2)^{2}+[0-(-5)]^{2}}$
$=\sqrt{(x-2)^{2}+5^{2}}$
$=\sqrt{x^{2}-4 x+4+25}$
$=\sqrt{x^{2}-4 x+29}$
$\mathrm{PB}=\sqrt{\left[x-(-2)^{2}\right]+(0-9)^{2}}$
$=\sqrt{(x+2)^{2}+(-9)^{2}}$
$=\sqrt{x^{2}+4 x+4+81}$
$=\sqrt{x^{2}+4 x+85}$
$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}$
$\sqrt{x^{2}-4 x+29}=\sqrt{x^{2}+4 x+85}$
$x^{2}-4 x+29=x^{2}+4 x+85$
$x^{2}-4 x-x^{2}-4 x=85-29$ या $-8 x=56$
$x=\frac{56}{-8}=-7$
इस प्रकार अभीष्ट बिन्दु (-7 ,0) है।उत्तर
प्रश्न 3.
यदि बिन्दु $(x, y)$ बिन्दुओं $(a+b, b-a)$ और $(a-b, a+b)$ से समान दूरी पर हों, तो दिखाइए कि $b x=a y$
माना बिन्दु $\mathrm{P}(x, y)$ तथा $\mathrm{A}(a+b, b-a), \mathrm{B}(a-b, a+b)$ हैं, तब प्रश्नानुसार
$\begin{aligned}\mathrm{PA} &=\mathrm{PB} \\\mathrm{PA}^{2}&=\mathrm{PB}^{2}\end{aligned}$
$[x-(a+b)]^{2}+[y-(b-a)]^{2}=[x-(a-b)]^{2}+[y-(a+b)]^{2} $
$\begin{aligned} \\ x^{2}+(a+b)^{2}-2(a+b) x+y^{2}+(b-a)^{2} &-2(b-a) y \\ &=x^{2}+(a-b)^{2}-2(a-b) x+y^{2}+(a+b)^{2}-2(a+b) y \\ 2(a-b) x-2(a+b) x &=2(b-a) y-2(a+b) y \\ x[a-b-a-b] &=y(b-a-a-b) \\-2 b x &=-2 a y \\ b x &=a y \end{aligned}$
प्रश्न 4
निम्नलिखित' बिन्दु युग्मों के बीच की दूरियाँ ज्ञात कीजिए :
(i) $(a \sin \theta, a \cos \theta)$ और $(a \cos \theta,-a \sin \theta)$
(ii) $\left(a m_{1}{ }^{2}, 2 a m_{1}\right)$ और $\left(a m_{2}{ }^{2}, 2 a m_{2}\right)$.
हल :
(i) बिन्दुओं $(a \sin \theta ; a \cos \theta)$ और $(a \cos \theta,-a \sin \theta)$ के बीच की दूरी
$\begin{aligned}&=\sqrt{\left[(a \cos \theta-a \sin \theta)^{2}+(-a \sin \theta-a \cos \theta)^{2}\right]} \\&=\sqrt{\left[a^{2}(\cos \theta-\sin \theta)^{2}+(-a)^{2}(\sin \theta+\cos \theta)^{2}\right]} \\&=\sqrt{\left[a^{2}\left(\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta-2 \sin \theta \cos \theta\right)+a^{2}\left(\sin^{2} \theta+\cos ^{2} \theta+2 \sin \theta \cos \theta\right)\right]} \\&=\sqrt{\left[a^{2}\left(2 \sin ^{2} \theta+2 \cos ^{2} \theta\right)\right]} \\&=\sqrt{2 a^{2}\left(\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta\right)} \\&=\sqrt{\left(2 a^{2} \times 1\right)}=\sqrt{\left(2 a^{2}\right)}\end{aligned}$
$=a \sqrt{2}$ इकाई।
(ii) बिन्दुओं $\left(a m_{1}^{2}, 2 a m_{1}\right)$ और $\left(a m_{2}^{2}, 2 a m_{2}\right)$ के बीच की दूरी
$\begin{aligned}&=\sqrt{\left[\left(a m_{2}^{2}-a m_{1}^{2}\right)^{2}+\left(2 a m_{2}-2 a m_{1}\right)^{2}\right]}\\&=\sqrt{\left[a^{2}\left(m_{2}^{2}-m_{1}^{2}\right)^{2}+(2 a)^{2}\left(m_{2}m_{1}\right)^{2}\right]} \\&=\sqrt{\left[a^{2}\left(m_{2}-m_{1}\right)^{2}\left(m_{2}+m_{1}\right)^{2}+4 a^{2}\left(m_{2}m_{1}\right)^{2}\right]} \end{aligned}$
$=a\left(m_{2}-m_{1}\right) \sqrt{\left[\left(m_{2}+m_{1}\right)^{2}+4\right]} $ इकाई।
प्रश्न 5.
y का वह मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए बिंदु $\mathrm{P}(2,-3)$ और $\mathrm{Q}(10, y)$ के बीच की दूरी 10 मात्रक है।
हल :
दिए गये बिन्दु हैं : $\mathrm{P}(2,-3)$ और $\mathrm{Q}(10, y)$
$\begin{aligned} \mathrm{PQ} &=\sqrt{(10-2)^{2}+[y-(-3)]^{2}} \\ &=\sqrt{8^{2}+(y+3)^{2}} \\ &=\sqrt{64+y^{2}+6 y+9} \\ &=\sqrt{y^{2}+6 y+73} \\ \mathrm{PQ} &=10 \\ \sqrt{y^{2}+6 y+73} &=10 \end{aligned}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
$y^{2}+6 y+73=100$
$y^{2}+6 y-27=0$
$y^{2}-3 y+9 y-27=0$
$\begin{aligned}(y-3)(y+9) &=0 \\ y-3 &=0 \\ y &=3 \\ y+9 &=0 \\ y &=-9 \end{aligned}$
अतः y का मान 3 या (-9) है।
प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि बिन्दु $(2,-2),(8,4),(5,7)$ और $(-1,1)$ एक आयत के शीर्ष हैं।
हल :
मान लो आयत के शीर्ष $\mathrm{A}(2,-2), \mathrm{B}(8,4), \mathrm{C}(5,7)$ तथा $\mathrm{D}(-1,1)$ हैं।
$\begin{aligned} \mathrm{AB} &=\sqrt{\left[(2-8)^{2}+(-2-4)^{2}\right]} \\ &=\sqrt{\left[(-6)^{2}+(-6)^{2}\right]} \\ &=\sqrt{36+36} \\ &=\sqrt{72}=6 \sqrt{2} \\ \mathrm{BC} &=\sqrt{\left[(8-5)^{2}+(4-7)^{2}\right]} \\ &=\sqrt{\left[(3)^{2}+(-3)^{2}\right]} \\ &=\sqrt{9+9} \\ &=\sqrt{18}=3 \sqrt{2} \\ \mathrm{CD} &=\sqrt{\{5-(-1)\}^{2}+(7-1)^{2}} \\ &=\sqrt{6^{2}+6^{2}} \\ &=\sqrt{36+36} \\ &=\sqrt{72}=6 \sqrt{2} \\ \mathrm{DA} &=\sqrt{(-1-2)^{2}+[1-(-2)]^{2}} \\ &=\sqrt{(-3)^{2}+(-3)^{2}} \\ &=\sqrt{9+9} \\ &=\sqrt{18}=3 \sqrt{2} \\ &=\sqrt{\left[(2-5)^{2}+(-2-7)^{2}\right]} \\ &=\sqrt{90}=3 \sqrt{10} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mathrm{BD} &=\sqrt{\left[\left\{8-(-1)^{2}\right\}+(4-1)^{2}\right]} \\ &=\sqrt{\left(9^{2}+3^{2}\right)} \\ &=\sqrt{81+9} \\ &=\sqrt{90} \\ &=3 \sqrt{10} \end{aligned}$
$\because$ सम्मुख भुजाएँ $\mathrm{AB}=\mathrm{CD}$ और $\mathrm{BC}=\mathrm{AD}$ तथा विकर्ण $\mathrm{AC}=\mathrm{BD}$ है। अतः चारों बिन्दु एक आयत के शीर्ष हैं। इति सिद्धम्।
प्रश्न 7.
दर्शाइए कि बिन्दु $(1,7),(4,2),(-1,-1)$ और $(-4,4)$ एक वर्ग के शीर्ष हैं। हल : मान लीजिए कि बिन्दु $\mathrm{A}(1,7), \mathrm{B}(4,2), \mathrm{C}(-1,-1)$ और $\mathrm{D}(-4,4)$ हों, तब
$\begin{array}{r}A B=\sqrt{(1-4)^{2}+(7-2)^{2}}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34} \\B C=\sqrt{(4+1)^{2}+(2+1)^{2}}=\sqrt{25: 9}=\sqrt{34} \\C D=\sqrt{(-1+4)^{2}+(-1-4)^{2}}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}\end{array}$
$\mathrm{DA}=\sqrt{(1+4)^{2}+(7-4)^{2}}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$
$\mathrm{AC}=\sqrt{(1+1)^{2}+(7+1)^{2}}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}$
$\mathrm{BD}=\sqrt{(4+4)^{2}+(2-4)^{2}}=\sqrt{64+4}=\sqrt{68}$
उपरोक्त' ज्ञात भुजाएँ $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}, \mathrm{CD}$ और $\mathrm{DA}$ आपस में बराबर हैं तथा विकर्ण $\mathrm{AC}=\mathrm{BD}$ है। अतः इससे स्पष्ट है कि दिए गए बिन्दु एक वर्ग के शीर्ष हैं, क्योंकि वर्ग की चारों भुजाएँ तथा दोनों विकर्ण बराबर होते हैं।
प्रश्न 8.
एक त्रिभुज के शीर्ष क्रमश: $(-5,6),(3,0)$ तथा $(9,8)$ हैं। सिद्ध कीजिए कि यह समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है।
हल :
मानलो $\Delta$ के शीर्ष $\mathrm{A}(-5,6), \mathrm{B}(3,0)$ तथा $\mathrm{C}(9,8)$ हैं।
$\begin{aligned}\mathrm{AB} &=\sqrt{\left[(-5-3)^{2}+(6-0)^{2}\right]} \\&=\sqrt{64+36}=10 \\\mathrm{BC} &=\sqrt{\left[(3-9)^{2}+(0-8)^{2}\right]} \\&=\sqrt{(36+64)}=10 \\\mathrm{AC} &=\sqrt{\left[(-5-9)^{2}+(6-8)^{2}\right]} \\&=\sqrt{196+4}=\sqrt{200} \\&=10 \sqrt{2}\end{aligned}$
$\begin{aligned} \mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2} &=10^{2}+10^{2} \\ &=100+100 \\ &=200 \\ \mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2} &=\mathrm{AC}^{2} \\ \mathrm{AB} &=\mathrm{BC} . \end{aligned}$
प्रश्न 9.
जाँच कीजिए कि क्या बिंदु $(5,-2),(6,4)$ और $(7,-2)$ एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं। हल : माना $\mathrm{A}(5,-2), \mathrm{B}(6,4)$ और $\mathrm{C}(7,-2)$ हों, तब
$\begin{aligned} A B &=\sqrt{(6-5)^{2}+[4-(-2)]^{2}} \\ &=\sqrt{(1)^{2}+(6)^{2}}=\sqrt{1+36}=\sqrt{37} \\ B C &=\sqrt{(7-6)^{2}+(-2-4)^{2}} \\ &=\sqrt{(1)^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{1+36}=\sqrt{37} \\ A C &=\sqrt{(5-7)^{2}+(-2-(-2))^{2}} \\ &=\sqrt{(-2)^{2}+(0)^{2}}=\sqrt{4+0}=2 \\ A B &=B C=\sqrt{37} \text { and } A C=2 \\ A B &=B C \neq A C \end{aligned}$
अतः $\triangle \mathrm{ABC}$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है। इति सिद्धम्।
प्रश्न 10.
यदि $\mathrm{Q}(0,1)$ बिंदुओं $\mathrm{P}(5,-3)$ और $\mathrm{R}(x, 6)$ से समदूरस्थ है, तो $x$ के मान ज्ञात कीजिए। दूरियाँ $Q R$ और $P R$ भी ज्ञात कीजिए।
$\begin{aligned} \mathrm{QP} &=\sqrt{(5-0)^{2}+[(-3)-1]^{2}} \\ &=\sqrt{5^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41} \\ \mathrm{QR} &=\sqrt{(x-0)^{2}+(6-1)^{2}} \\ &=\sqrt{x^{2}+5^{2}}=\sqrt{x^{2}+25} \\ \mathrm{QP} &=\mathrm{QR} \\ \sqrt{41} &=\sqrt{x^{2}+25} \end{aligned}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
$\begin{aligned} x^{2}+25 &=41 \\ x^{2}+25-41 &=0 \end{aligned}$
$\begin{aligned} x^{2}-16 &=0 \\ x &=\pm 4 \end{aligned}$
इस प्रकार, बिन्दु R के निर्देशांक हैं : (4,6) या (-4,6)
अब, $Q R=\sqrt{[(\pm 4)-(0)]^{2}+(6-1)^{2}}$
$\begin{aligned} &=\sqrt{16+25}=\sqrt{41} \\ \mathrm{PR} &=\sqrt{(\pm 4-5)^{2}+(6+3)^{2}} \\ \mathrm{PR} &=\sqrt{(4-5)^{2}+(6+3)^{2}} \text { or } \sqrt{(-4-5)^{2}+(6+3)^{2}} \\ \mathrm{PR} &=\sqrt{1+81} \text { or } \sqrt{(-9)^{2}+9^{2}} \\ &=\sqrt{82} \text { or } \sqrt{2 \times 9^{2}} \\ &=\sqrt{82} \text { or } 9 \sqrt{2} \end{aligned}$
प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि बिन्दु $(-2,5),(3,-4),(7,10)$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
हल :
मान लीजिए दिये हुए तीनों बिन्दु क्रमानुसार $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ हैं अर्थात् $\mathrm{A}$ के निर्देशांक $(-2,5), \mathrm{B}$ के $(3,-4)$ 1ौर $C$ के निर्देशांक $(7,10)$ हैं, तो
$\mathrm{AB}^{2}=(-2-3)^{2}+(5+4)^{2}=106$
$\mathrm{BC}^{2}=(3-7)^{2}+(-4-10)^{2}=212$
$\mathrm{AC}^{2}=(-2-7)^{2}+(5-10)^{2}=106$
$\begin{aligned} \mathrm{AB} &=\sqrt{106}=\mathrm{AC} \\ \mathrm{BC}^{2} &=212=106+106 \\ &=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2} \end{aligned}$
अतः $\mathrm{ABC}$ समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जिसका कोण $\mathrm{A}$ समकोण है।
प्रश्न 12.
निम्नलिखित बिन्दुओं द्वारा बनने वाले चतुर्भुज का प्रकार (यदि कोई है, तो) बताइए तथा अपने उत्तर के लिए कारण भी दीजिए।
(i) $(-1,-2),(1,0),(-1,2),(-3,0)$
(ii) $(-3,5),(3,1),(0,3),(-1,-4)$
(iii) $(4,5),(7,6),(4,3),(1,2)$
हल :
(i) मान लीजिए दिए गये बिन्दु हैं :
$\begin{aligned} \mathrm{A}(-1,-2), \mathrm{B}(1,&0), \mathrm{C}(-1,2) \text { और } \mathrm{D}(-3,0) \\ \mathrm{AB} &=\sqrt{(1+1)^{2}+(0+2)^{2}} \\ &=\sqrt{(2)^{2}+(2)^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8} \\ \mathrm{BC} &=\sqrt{(-1-1)^{2}+(2-0)^{2}} \\ &=\sqrt{4+4}=\sqrt{8} \\ \mathrm{CD} &=\sqrt{(-3+1)^{2}+(0-2)^{2}} \\ &=\sqrt{4+4}=\sqrt{8} \\ \mathrm{DA} &=\sqrt{(-1+3)^{2}+(-2-0)^{2}} \\ &=\sqrt{4+4}=\sqrt{8} \\ \mathrm{AC} &=\sqrt{(-1+1)^{2}+(-2-2)^{2}} \\ &=\sqrt{0+16}=4 \\ \mathrm{BD} &=\sqrt{(-3-1)^{2}+(0-0)^{2}} \\ &=\sqrt{(-4)^{2}}=4 \\ \mathrm{AB} &=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{AD} \end{aligned}$
अर्थात् सभी भुजाएँ समान हैं, और विकर्ण $\mathrm{AC}$ और विकर्ण $\mathrm{BD}$ भी समान है। अतः $\mathrm{ABCD}$ एक वर्ग है।
(ii) मान लीजिए दिए गये बिन्दु हैं :
$\mathrm{A}(-3,5), \mathrm{B}(3,1), \mathrm{C}(0,3)$ और $\mathrm{D}(-1,-4)$
$\begin{aligned}\mathrm{AB} &=\sqrt{[3-(-3)]^{2}+(1-5)^{2}} \\&=\sqrt{6^{2}+(-4)^{2}} \\&=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2 \sqrt{13}\end{aligned}$
$\begin{aligned} \mathrm{BC} &=\sqrt{(0-3)^{2}+(3-1)^{2}} \\ &=\sqrt{9+4}=\sqrt{13} \\ \mathrm{CD} &=\sqrt{(-1-0)^{2}+(-4-3)^{2}} \\ &=\sqrt{(-1)^{2}+(-7)^{2}}=\sqrt{1+49}=\sqrt{50} \\ \mathrm{DA} &=\sqrt{[-3-(-1)]^{2}+[5-(-4)]^{2}} \\ &=\sqrt{(-2)^{2}+(9)^{2}}=\sqrt{4+81}=\sqrt{85} \\ \mathrm{AC} &=\sqrt{[0-(-3)]^{2}+(3-5)^{2}} \\ &=\sqrt{(3)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13} \\ \mathrm{BD} &=\sqrt{(-1-3)^{2}+(-4-1)^{2}} \\ &=\sqrt{(-4)^{2}+(-5)^{2}} \\ &=\sqrt{16+25}=\sqrt{41} \end{aligned}$
उपरोक्त परिणामों से,
BC+AC अर्थात्
$\begin{aligned}\sqrt{13}+\sqrt{13} &=2 \sqrt{13} \\\mathrm{AC}+\mathrm{BC} &=\mathrm{AB}\end{aligned}$
$\Rightarrow \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ और $\mathrm{D}$ संरेखी हैं। इस प्रकार, ABCD एक चतुर्भुज नहीं है।
(iii) मान लीजिए दिए गये बिन्दु हैं :
$\mathrm{A}(4,5), \mathrm{B}(7,6), \mathrm{C}(4,3)$ और $\mathrm{D}(1,2)$
$\begin{aligned} \mathrm{AB} &=\sqrt{(7-4)^{2}+(6-5)^{2}} \\ &=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10} \\ \mathrm{BC} &=\sqrt{(4-7)^{2}+(3-6)^{2}} \\ &=\sqrt{(-3)^{2}+(-3)^{2}} \\ &=\sqrt{9+9}=\sqrt{18} \\ \mathrm{CD} &=\sqrt{(1-4)^{2}+(2-3)^{2}} \\ &=\sqrt{(-3)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{10} \\ \mathrm{DA} &=\sqrt{(4-1)^{2}+(5-2)^{2}} \end{aligned}$
$\begin{aligned} &=\sqrt{9+9}=\sqrt{18} \\ \mathrm{AC} &=\sqrt{(4-4)^{2}+(3-5)^{2}} \\ &=\sqrt{0+(-2)^{2}}=2 \\ \mathrm{BD} &=\sqrt{(1-7)^{2}+(2-6)^{2}} \\ &=\sqrt{36+16}=\sqrt{52} \end{aligned}$
उपरोक्त परिणामों से,
$\mathrm{AB}=\mathrm{CD} \text { तथा } \mathrm{BC}=\mathrm{DA}$
अर्थात् चतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$ की सम्मुख भुजाएँ समान हैं।
परन्तु $\mathrm{AC} \neq \mathrm{BD}$ अर्थात् विकर्ण समान नहीं है।
अतः $\mathrm{ABCD}$ एक समान्तर चतुर्भुज है।
प्रश्न 13.
उस त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष $(0,4),(4,0)$ और $(2,-2)$ एक समकी त्रिभुज के शीर्ष हैं।
हल :
माना $\triangle \mathrm{ABC}$ के शीर्ष $\mathrm{A}(0,4), \mathrm{B}(4,0)$ तथा $\mathrm{C}(2,-2)$ हैं।
$\begin{aligned} \mathrm{AB} &=\sqrt{(0-4)^{2}+(4-0)^{2}} \\ &=\sqrt{16+16} \\ &=\sqrt{32} \text { मात्रक } \\ \mathrm{BC} &=\sqrt{(4-2)^{2}+(0+2)^{2}} \\ &=\sqrt{4+4}=\sqrt{8} \\ \mathrm{CA} &=\sqrt{(2-0)^{2}+(-2-4)^{2}} \\ &=\sqrt{4+36} \\ &=\sqrt{40} \text { मात्रक } \\ \mathrm{CA}^{2} &=40 \\ \mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2} &=32+8=40 \end{aligned}$
अतः $\triangle \mathrm{ABC}$ समकोण त्रिभुज है।
परिमाप
$\begin{aligned} &=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA} \\&=\sqrt{32}+\sqrt{8}+\sqrt{40} \\&=4 \sqrt{2}+2 \sqrt{2}+2 \sqrt{10} \\&=6 \sqrt{2}+2 \sqrt{10}\end{aligned}$
$=2(3 \sqrt{2}+\sqrt{10}) $ मात्रक।
प्रश्न 14.
निर्धारित' कीजिए कि क्या बिंदु $(1,5),(2,3)$ और $(-2,-11)$ संरेखी हैं ?
दिए गये बिंदु $\mathrm{A}(1,5), \mathrm{B}(2,3)$ और $\mathrm{C}(-2,-11)$ हैं यदि $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ और $\mathrm{C}$ संरेखी हैं तो
$\begin{aligned}\mathrm{AB} &=\sqrt{(2-1)^{2}+(3-5)^{2}} \\&=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\end{aligned}$
$\begin{aligned}\mathrm{BC} &=\sqrt{(-2-2)^{2}+(-11-3)^{2}} \\&=\sqrt{(-4)^{2}+(-14)^{2}} \\&=\sqrt{16+196}=\sqrt{212}\end{aligned}$
$A C=\sqrt{(-2-1)^{2}+(-11-5)^{2}}$
$=\sqrt{(-3)^{2}+(-16)^{2}}$
$=\sqrt{9+256}$
$=\sqrt{265}$
अतः बिन्दु $A, B$ और $C$ संरेखी नहीं हैं।
प्रश्न 15.
x और y में एक ऐसा संबंध ज्ञात कीजिए कि बिंदु $(x, y)$ बिंदुओं $(3,6)$ और $(-3,4)$ से समदू रस्थ हो।
हल :
माना $\mathrm{A}(x, y), \mathrm{B}(3,6)$ और $\mathrm{C}(-3,4)$
$\therefore\mathrm{AB}=\sqrt{(3-x)^{2}+(6-y)^{2}}$
$\mathrm{AC}=\sqrt{[(-3)-x]^{2}+(4-y)^{2}}$
चूंकि, बिन्दु $(x, y)$ बिन्दुओं $(3,6)$ और $(-3,4)$ से समदूरस्थ हैं, $\therefore$
$A B=A C$
$\sqrt{(3-x)^{2}+(6-y)^{2}}=\sqrt{(-3-x)^{2}+(4-y)^{2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
$(3-x)^{2}+\left(6^{\circ}-y\right)^{2}=(-3-x)^{2}+(4-y)^{2}$
$\begin{array}{rlr}\left(9+x^{2}-6 x\right)+\left(36+y^{2}-12 y\right) & =.\left(9+x^{2}+6 x\right)+\left(16+y^{2}-8y\right) \\9+x^{2}-6 x+36+y^{2}-12 y-9-x^{2}-6 x-16-y^{2}+8 y & =0 \\-6 x-6 x+36-12 y-16+8 y & =0 \\-12 x-4 y+20 & =0 \end{array} $
3x+y-5 =0 [-4 से विभाजित करने पर]
3x+y-5 =0 जो कि x और y में अभीष्ट संबंध है।
प्रश्न 16.
किसी कक्षा में, चार मित्र बिंदुओं $A, B, C$ और $D$ पर बैंठे हुए हैं, जैसाकि आकृति में दर्शाया गया है। चंपा और चमेली कक्षा के अंदर आती हैं और कुछ मिनट तक देखने के बाद, चंपा चमेली से पूछती है, 'क्या तुम नहीं सोचती हो कि $\mathrm{ABCD}$ एक वर्ग है?' चमेली इससे सहमत नहीं है। दूरी सूत्र का प्रयोग करके बताइए कि इनमें कौन सही है।
हल :
माना चित्र में स्तंभों की संख्या $x$-अक्ष पर और पंक्तियों की संख्या $y$-अक्ष पर व्यक्त की गयी हों तथा दिए गए चार बिन्दु हैं :
$\mathrm{A}(3,4), \mathrm{B}(6,7), \mathrm{C}(9,4) \text { और } \mathrm{D}(6,1)$
$\begin{aligned} A B &=\sqrt{(6-3)^{2}+(7-4)^{2}} \\ &=\sqrt{(3)^{2}+(3)^{2}} \\ &=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2} \\ B C &=\sqrt{(9-6)^{2}+(4-7)^{2}} \\ &=\sqrt{3^{2}+(-3)^{2}} \\ &=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2} \\ C D &=\sqrt{(6-9)^{2}+(1-4)^{2}} \\ &=\sqrt{(-3)^{2}+(-3)^{2}} \\ &=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2} \\ A D &=\sqrt{(6-3)^{2}+(1-4)^{2}} \\ &=\sqrt{(3)^{2}+(-3)^{2}} \\ &=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2} \end{aligned}$
$\mathrm{AB} \cdot=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{AD}$
अर्थात् सभी चारों भुजाएँ समान हैं।
तथा विकर्ण
$\begin{aligned} \mathrm{AC} &=\sqrt{(9-3)^{2}+(4-4)^{2}} \\ &=\sqrt{(6)^{2}+(0)^{2}}=6 \\ \mathrm{BD} &=\sqrt{(6-6)^{2}+(1-7)^{2}} \\ &=\sqrt{(0)^{2}+(-6)^{2}}=6 \\ \mathrm{BD} &=\mathrm{AC} \end{aligned}$
$\Rightarrow$ दोनों विकर्ण भी समान हैं।
∴ ABCD एक वर्ग है। अर्थात् चंपा सही है।
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