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Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 7 निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry) प्रश्नावली - 7 (B)

 प्रश्नावली - 7 (B)

प्रश्न 1  

बिन्दुओं (3,4) और (3,4) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के मध्य बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। 
हल : 
(x1,y1) तथा (x2,y2) बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड के मध्य किन्दु के निर्दिपमंक (x1+x22,y1+y22) होते हैं।




प्रश्नानुसार, x1=3 , x2=3
y1=4 , y2=4

∴मध्य बिन्दु के निर्देशांक =(3+32,442)
=(0,0)


प्रश्न 2  

यदि बिन्दु (1,2) , (4,y),(x,6) और (3,5) इसी क्रम में लेने पर, एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हों तो x और y ज्ञात कीजिए।
हल :
माना ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, जिसके शीर्ष
A(1,2),  B(4, y),  C(x, 6)  और D(3,5)












चूंकि समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर बिन्दु P पर समद्विभाजित होते हैं।
∴ P  के निर्देशांक हैं : X=x+12=3+42
x+1=7x=6Y=5+y2=6+225+y=8 or y=3
इस प्रकार x और y के अभीष्ट मान हैं : x=6, y=3


प्रश्न 3.

उस बिन्दु के निर्देशांक बताइये जो निम्न बिन्दुओं से खींचे जाने वाले रेखाखण्ड' को दिए हुए अनुपात में बाह्यतः विभाजित करता है :
(i) (3,4) तथा (6,2); अनुपात 3:2,
(ii) (2,5) तथा (6,4); अनुपात 1:2.
हल : 
(i) (3, 4) तथा (6,2); अनुपात 3:2
x1=3,x2=6
y1=4,y2=2
m1=3,m2=2
बाह्यतः विभाजित करने वाले बिन्दु के निर्देशांक
=(3×(6)2×33×22×432)=(1861,681)=(24,2)

(ii) (2,5) तथा (6,4); अनुपात 1:2
माना
x1=2,y1=5x2=6,y2=4m1=1,m2=2
बाह्यतः विभाजित करने वाले बिन्दु के निर्देशांक
=(m1x2m2x1m1m2,m1y2m2y1m1m2)
=(1×62×(2)1×42×512)
=(6+41,4101)=(10,6)

प्रश्न 4.

उस बिंदु के निर्देशांक' ज्ञात कीजिए, जो बिंदुओं (1,7) और (4,3) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2:3 के अनुपात में विभाजित करता है।
हल : 
माना वांछित बिन्दु P(x,y) है।
यहाँ रेखाखण्ड के अन्तः बिन्दु (1,7) और (4,3) हैं।
चूंकि अनुपात =2:3=m1:m2
x=m1x2+m2x1m1+m2=(2×4)+3×(1)2+3=835=55=1
y=m1y2+m2y1m1+m2=2×(3)+(3×7)2+3=6+215=155=3
इस प्रकार अभीष्ट बिन्दु (1,3) हैं।
उत्तर

प्रश्न 5. 

बिन्दुओं (4,1) और (2,3) को जोड़ने वाले रेखाखंड को सम-त्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल : 
माना दिए गये बिन्दु हैं : A(4,1) और B(2,3)
माना रेखाखण्ड AB को बिन्दु P और Q समत्रिभाजित करते हैं।
अर्थात AP=PQ=QB





बिन्दु P रेखाखण्ड AB को 1:2 के अनुपात में विभाजित करता है। इसी प्रकार बिन्दु Q रेखाखण्ड AB को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। माना बिन्दु P के निर्देशांक (x,y) हैं
=m1x2+m2x1m1+m2=1(2)+2(4)1+2=2+83=2
=m1y2+m2y1m1+m2=1(3)+2×(1)1+2=323=53
बिन्दु \mathrm{P} के अभीष्ट निर्देशांक \left(2,-\frac{5}{3}\right) हैं। 
माना \mathrm{Q} के निर्देशांक (\mathrm{X}, \mathrm{Y}) हैं।
=\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{2(-2)+1(4)}{2+1}=\frac{-4+4}{3}=0
=\frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{2(-3)+1(-1)}{2+1}=\frac{-6-1}{3}=\frac{-7}{3}
अतः \mathrm{Q} के \left(\therefore \frac{-7}{3}\right)   हैं। 

प्रश्न 6. 

एक रेखाखण्ड का एक अंत्यबिन्दु (13,19) है। यदि उसका मध्य बिन्दु (-9,30) हो,तो दूसरे अंत्यबिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल : 
माना दूसरा अन्त्य बिन्दु (x, y) है।
(x, y) तथा (13,19) को मिलाने वाली रेखा का मध्य बिन्दु (-9,30) है।
\begin{aligned}\frac{x+13}{2} &=-9 \\x+13 &=-18 \\x &=-18-13=-31 \\\frac{y+19}{2} &=30 \Rightarrow y+19=60 \\y &=60-19=41\end{aligned}
दूसरे अंत्य बिन्दु के निर्देशांक =(-31,41)

प्रश्न 7. 

बिन्दु \mathrm{A}(-4,-3) और \mathrm{B}(5,2) से खींचा जाने वाला रेखाखण्ड x-अक्ष को किस अनुपात में विभाजित करता है?
हल :
x-अक्ष के लिए : x-अक्ष पर किसी बिन्दु के निर्देशांक (x, 0) हैं।





मान लीजिए अभीष्ट अनुपात m_{1}: m_{2} है।
 हम जानते हैं कि y=\frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}
\begin{aligned} y &=0, y_{1}=-3, y_{2}=2 \\ 0 &=\frac{m_{1}(2)+m_{2}(-3)}{m_{1}+m_{2}}=2 m_{1}-3 m_{2}=0 \\ \frac{m_{1}}{m_{2}} &=\frac{3}{2} \end{aligned}
अतः अभीष्ट अनुपात =3: 2 है।
उत्तर

प्रश्न 8. 

बिंदुओं (-3,10) और (6,-8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को बिंदु (-1,6) किस अनुपात में विभाजित करता है ?
हल : 
मान लीजिए दिए गए बिन्दुओं के निर्देशांक \mathrm{A}(-3,10) और \mathrm{B}(6,-8) हैं। माना बिन्दु \mathrm{P}(-1,6) रेखाखण्ड \mathrm{AB} को m_{1}: m_{2} के अनुपात में विभाजित करता है, तब विभाजन सूत्र से,
(-1,6)=\left(\frac{x_{2} m_{1}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)
\begin{aligned}(-1,6) &=\left(\frac{\left(m_{1} \times 6\right)+\left[m_{2} \times(-3)\right]\left[m_{1}(-8)\right]+\left(m_{2} \times 10\right)}{m_{1}+m_{2}}\right) \\(-1,6) &\left.=\left(\frac{6 m_{1}+\left(-3 m_{2}\right)-8 m_{1}+10 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right) \quad m_{1}+m_{2}\right) \\-1 &=\frac{6 m_{1}-3 m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \text { और } 6=\frac{-8 m_{1}+10 m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \\-1\left(m_{1}+m_{2}\right) &=6 m_{1}-3 m_{2} \text { और } 6\left(m_{1}+m_{2}\right)=-8 m_{1}+10 m_{2} \\-m_{1}-m_{2}-6 m_{1}+3 m_{2} &=0 \\-7 m_{1}+2 m_{2} &=0 \\ 7 m_{1}-2 m_{2} &=0 \\ \frac{m_{1}}{m_{1}}+6 m_{2}+8 m_{1}-10 m_{2} &=0 \\ 14 m_{1}-4 m_{2} &=0 \\ 2 m_{2} &=7 m_{1} \text { and } 7 m_{1}=2 m_{2} \\ m_{1} &=2: 7 \text { and } m_{1}: m_{2}=2: 7 \end{aligned}

प्रश्न 9.

यदि \mathrm{A} और \mathrm{B} क्रमश: (-2,-2) और (2,-4) हो तो बिंदु \mathrm{P} के निर्देशांक' ज्ञात कीजिए ताकि \mathrm{AP}=\frac{3}{7} \mathrm{AB} हो और \mathrm{P} रेखाखंड' \mathrm{AB} पर स्थित हो।
हल ः 




यहाँ दिए गये बिन्दु हैं: \mathrm{A}(-2,-2) और \mathrm{B}(2,-4) माना रेखाखण्ड \mathrm{AB} को बिन्दु \mathrm{P} इस प्रकार विभाजित करता है कि:
\because\mathrm{AP}=\frac{3}{7} \mathrm{AB} \therefore \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AB}}=\frac{3}{7}
\begin{aligned} \mathrm{AB} &=\mathrm{AP}+\mathrm{BP} \\ \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AB}} &=\frac{3}{7} \\ \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AP}+\mathrm{PB}} &=\frac{3}{7} \end{aligned}
\begin{aligned} \frac{\mathrm{AP}+\mathrm{PB}}{\mathrm{AP}} &=\frac{7}{3} \\ \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AP}}+\frac{\mathrm{PB}}{\mathrm{AP}} &=\frac{7}{3} \\ 1+\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}} &=\frac{7}{3} \\ \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}} &=\frac{7}{3}-1=\frac{7-3}{3}=\frac{4}{3} \\ \mathrm{AP}: \mathrm{PB} &=3: 4 \end{aligned}
अर्थात् \mathrm{P}(x, y), \mathrm{AB} को 3: 4 के अनुपात में विभाजित करता है।
\therefore=\frac{3 \times 2+4 \times(-2)}{3+4}=\frac{6-8}{7}=\frac{-2}{7}
\begin{aligned} y &=\frac{3 \times(-4)+4 \times(-2)}{3+4} \\ &=\frac{-12-8}{7}=\frac{-20}{7} \end{aligned}
इस. प्रकार, P के निर्देशांक हैं : \left(\frac{-2}{7}, \frac{-20}{7}\right).

प्रश्न 10. 

रेखाखण्ड \mathrm{AB} को एक बिन्दु \mathrm{P} बाह्यतः 3: 2 के अनुपात में बाँटता है। यदि बिन्दुओं \mathrm{A} और \mathrm{B} के निर्देशांक क्रमशः (4,3) और (2,1) हैं, तो \mathrm{P} के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल : 
दिया है
\begin{aligned}&\mathrm{A}(4,3) \Rightarrow x_{1}=4, y_{1}=3 \\&\mathrm{~B}(2,1) \Rightarrow x_{2}=2, y_{2}=1\end{aligned}
अनुपात m_{1}=3, m_{2}=2

बाहतः बिन्दु के निर्देशांक
\begin{aligned}&=\left(\frac{m_{1} x_{2}-m_{2} x_{1}}{m_{1}-m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}-m_{2} y_{1}}{m_{1}-m_{2}}\right) \\ &=\left(\frac{3 \times 2-2 \times 43 \times 1-2 \times 3}{3-2}\right) \\ &=\left(\frac{6-83-6}{1}, \frac{1}{3}\right) \\ &=(-2,-3) . \end{aligned}

प्रश्न 11. 

वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिंदुओं A(1,-5) और B(-4,5) को मिलाने वाला रेखाखंड x-अक्ष से विभाजित होता है। इस विभाजन बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल : 
ज्ञात बिंदु A(1,-5) और B(-4,5) हैं।
माना बिन्दु \mathrm{P}(x, y) \mathrm{AB} को k: 1 के अनुपात में विभाजित करता है। भाग-I:
भाग-I :
\because \mathrm{P}, x-अक्ष पर स्थित हो,' तब 
\therefore y-निर्देशांक 0 है
\begin{aligned} x &=\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+\mid m_{2}} \text { और } y=\frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}} \\ x &=\frac{k(-4)+1(1)}{k+1} \text { और } 0=\frac{5 k-5}{k+1} \\ x &=\frac{-4 k+1}{k+1} \text { और } 0=\frac{5 k-5}{k+1} \\ x(k+1) &=-4 k+1 \text { और } 5 k-5=0 \\ k &=1 \end{aligned}

भाग-II : निर्देशांक ज्ञात करना
x(k+1)=-4 k+1
x(1+1)=-4+1 \quad[\because k=1]
\begin{aligned} 2 x &=-3 \\ x &=\frac{-3}{2} \end{aligned}
\therefore अभीष्ट अनुपात k: 1=1: 1, अभीष्ट निर्देशांक \mathrm{P}(x, 0)=\mathrm{P}\left(\frac{-3}{2}, 0\right).

प्रश्न 12.

त्रिभुज \mathrm{ABC} के शीर्षो के निर्देशांक क्रमशः (-1,3),(-3,-2) एवं (5,-1) हैं, तो शीर्ष \mathrm{A}\mathrm{B} से खींची गयी माध्यिकाओं की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल : 
मानलो शीर्ष \mathrm{A} एवं \mathrm{B} से खींची गयी माध्यिकाएँ क्रमशः \mathrm{AP} और \mathrm{BQ} हैं।
BC कें मध्य बिन्दु P  के निर्देशांक 
\begin{aligned} &=\left(\frac{-3+5}{2}, \frac{-21}{2}\right) \\&=\left(\frac{2}{2}, \frac{-3}{2}\right)=\left(1,-\frac{3}{2}\right)\end{aligned}
और \mathrm{CA} के मध्य बिन्दु \mathrm{Q} के निर्देशांक =\left(\frac{5-1}{2}, \frac{-1+3}{2}\right)
=\left(\frac{4}{2}, \frac{2}{2}\right)=(2,1)












माध्यिका AP की लम्बाई = बिन्दु \mathrm{A}(-1,3) और बिन्दु \mathrm{P}\left(1,-\frac{3}{2}\right) के बीच की दूरी
\begin{aligned}&=\sqrt{\{1+1\}^{2}+\left\{-\frac{3}{2}-3\right\}^{2}} \\&=\sqrt{\left[(2)^{2}+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}\right]} \\&=\sqrt{\left[4+\frac{81}{4}\right]}=\sqrt{\left(\frac{97}{4}\right)}\end{aligned}

माध्यिका BQ की लम्बाई = बिन्दु B(-3,-2) और बिन्दु Q(2,1) के बीच की दूरी
\begin{aligned}&=\sqrt{\left[\{2-(-3)\}^{2}+\{1-(-2)\}^{2}\right]} \\&=\sqrt{(2+3)^{2}+(1+2)^{2}} \\&=\sqrt{(5)^{2}+(3)^{2}} \\&=\sqrt{25+9} \\&=\sqrt{34}\end{aligned}

प्रश्न 13. 

बिंदुओं \mathrm{A}(-2,2) और \mathrm{B}(2,8) को जोड़ने वाले रेखाखंड \mathrm{AB} को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल :



यहाँ, दिए गये बिन्दु हैं: \mathrm{A}(-2,2) और \mathrm{B}(2,8)
माना \mathrm{P}_{1}, \mathrm{P}_{2} और \mathrm{P}_{3} रेखाखंण्ड \mathrm{AB} को चार समान भागों में विभाजित करते हैं।
\therefore\mathrm{AP}_{1}=\mathrm{P}_{1}\mathrm{P}_{2}=\mathrm{P}_{2}\mathrm{P}_{3}=\mathrm{P}_{3} \mathrm{~B}

स्पष्ट है कि \mathrm{P}_{2} रेखाखण्ड \mathrm{AB} का मध्यबिन्दु है। 
\therefore \quad \mathrm{P}_{2} के निर्देशांक हैं :
\left(\frac{-2+2}{2}, \frac{2+8}{2}\right) या (0,5)

पुनः \mathrm{P}_{1} रेखाखण्ड \mathrm{AP}_{2} का मध्यबिन्दु है। \therefore \quad \mathrm{P}_{1} के निर्देशांक हैं :
\left(\frac{-2+0}{2}, \frac{2+5}{2}\right) \text { या }\left(-1, \frac{7}{2}\right)
और \mathrm{P}_{3} रेखाखण्ड \mathrm{P}_{2} \mathrm{~B} का मध्य बिन्दु है। 
\therefore \quad \mathrm{P}_{3} के निर्देशांक हैं :
\left(\frac{0+2}{2}, \frac{5+8}{2}\right) या, \left(1,-\frac{13}{2}\right)
इस प्रकार \mathrm{P}_{1}, \mathrm{P}_{2} और \mathrm{P}_{3} के निर्देशांक क्रमशः हैं :
(0,5),\left(-1, \frac{7}{2}\right) \text { और }\left(1,-\frac{13}{2}\right)

प्रश्न 14. 

एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (3,0),(4,5),(-1,4) और (-2,-1) हैं।
संकेत : समचतुर्भुज का क्षेत्रफल =\frac{1}{2} (उसके विकर्णों का गुणनफल)
हल : 
माना दिए गये समचतुर्भुज के शीर्ष निम्नांकित हैं-
\mathrm{A}(3,0), \mathrm{B}(4,5), \mathrm{C}(-1,4) और \mathrm{D}(-2,-1)













चूंकि, \mathrm{AC} और \mathrm{BD} समचतुर्भुज \mathrm{ABCD} के विकर्ण हैं। और
विकर्ण \mathrm{AC}=\sqrt{(-1-3)^{2}+(4-0)^{2}}
\begin{aligned} &=\sqrt{(-4)^{2}+(4)^{2}} \\ &=\sqrt{16+16}=4 \sqrt{2} \end{aligned}


 विकर्ण \begin{aligned}\mathrm{BD} &=\sqrt{(-2-4)^{2}+(-1-5)^{2}} \\ &=\sqrt{(-6)^{2}+(-6)^{2}} \\ &=\sqrt{36+36}=6 \sqrt{2} \end{aligned}

अतः समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 
=\frac{1}{2} विकर्णों का गुणनफल) 
=\frac{1}{2}(\mathrm{AC} \times \mathrm{BD})
=\frac{1}{2} \times 4 \sqrt{2} \times 6 \sqrt{2} वर्ग इकाई
=\frac{1}{2} \times 2 \times 4 \times 6 वर्ग इकाई
=4 \times 6 वर्ग इकाई
=24 वर्ग इकाई।

प्रश्न 15.

बिंदु \mathrm{A} के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ \mathrm{AB} एक वृत्त का व्यास है जिसका केन्द्र (2,-3) है तथा B के निर्देशांक' (1,4) हैं।
हल : 
चूँकि, वृत्त का केन्द्र O(2,-3) है।










इसीलिए, वृत्त का केन्द्र इसके व्यास को समद्विभाजित करता है।
\therefore2=\frac{x+1}{2}
\begin{aligned} x+1 &=4 \text { or } x=3 \\-3 &=\frac{y+4}{2} \\ y+4 &=-6 \text { or } y=-10 \end{aligned}
अतः \mathrm{A} के निर्देशांक (3,-10) हैं। उत्तर

प्रश्न 16.

उस बिन्दु के निर्देशांक' ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (-3,-4) और (2,1) से खींचे गये' रेखाखण्ड' को 3: 2 के अनुपात में बाह्यतः विभाजित करता है।
हल : 
माना x_{1}=-3, y_{1}=-4
x_{2}=2, y_{2}=1
m_{1}=3, m_{2}=2
बाह्यतः विभाजित करने वाले बिन्दु के निर्देशांक
\begin{aligned}&=\left(\frac{m_{1} x_{2}-m_{2} x_{1}}{m_{1}-m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}-m_{2} y_{1}}{m_{1}-m_{2}}\right) \\&=\left(\frac{3 \times 2-2 \times(-3)}{3-2}, 3 \times 1-2 \times(-4)\right) \\&=\left(\frac{6+6}{1}, \frac{3+8}{1}\right) \\&=(12,11)\end{aligned}

प्रश्न 17.

बिन्दुओं A (2,-2) और B (-7,4) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को समत्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल : 
मान लीजिए \mathrm{AB} एक रेखाखण्ड है, जो \mathrm{P} तथा \mathrm{Q} बिन्दुओं पर सम-त्रिभाजित करती है।





यहाँ \mathrm{AP}=\mathrm{PQ}=\mathrm{BQ} है।
\therefore बिन्दु \mathrm{P}, \mathrm{AQ} को आन्तरिक रूप से 1: 2 के अनुपात में विभाजित करता है।
\therefore \quad \mathrm{P} के निर्देशांक- \left(\frac{1 \times-7+2 \times 2,1 \times 4+2 \times-2}{1+2,1+2}\right)
=(-1,0)
अब \mathrm{Q}, \mathrm{AB} को अन्तरिक रूप से 2: 1 के अनुपात में विभाजित करता है।
\begin{aligned}\mathrm{Q} \text { के निर्देशंक } &=\left(\frac{2 \times-7+1 \times 2}{2+1}, 2 \times 4+1 \times2\right) \\&=(-4,2)\end{aligned}
अतः (-1,0) तथा (-4,2) बिन्दुओं \mathrm{P} तथा \mathrm{Q} के निर्देशांक हैं।

प्रश्न 18. 

बिंदुओं \mathrm{A}(2,-2) और \mathrm{B}(3,7) को जोड़ने वाले रेखाखंड' को रेखा 2 x+y-4=0 जिस अनुपात में विभाजित करती है, उसे ज्ञात कीजिए।
हल : 
माना दिए गये बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखण्ड \mathrm{AB} को रेखा 2 x+y-4=0 बिन्दु \mathrm{C} पर k: 1 के अनुपात में विभाजित करती है।

\therefore \quad \mathrm{C} के निर्दिशतंक हैं : \left(\frac{3 k+2}{k+1}, \frac{7 k-2}{k+1}\right) चूंकि बिन्दु \mathrm{C} रेखा 2 x+y-4=0 पर स्थित है,
\therefore \quad 2\left(\frac{3 k+2}{k+1}\right)+\left(\frac{7 k-2}{k+1}\right)-4=0
\begin{aligned}2[3 k+2]+[7 k-2] &=4 \times(k+1) \\6 k+4+7 k-2-4 k-4 &=0 \\(6+7-4) k+(4-2-4) &=0 \\9 k+(-2) &=0 \\9 k-2 &=0 \\k &=\frac{2}{9}\end{aligned}
अभीष्ट अनुपात =k: 1=\frac{2}{9}: 1=2: 9

प्रश्न 19. 

किसी वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (-1,2) और (3,2) हैं। वर्ग के अन्य दोनों शीर्ष ज्ञात कीजिए।
 हल : 
माना वर्ग \mathrm{ABCD} में \mathrm{A}(-1,2) और \mathrm{C}(3,2) सम्मुख शीर्ष हैं। माना अज्ञात शीर्ष \mathrm{B} के निर्देशांक (x, y) हैं।











चूंकि एक वर्ग की सभी भुजाएँ समान होती हैं।
\therefore\mathrm{AB}=\mathrm{BC} \text { या } \mathrm{AB}^{2}=\mathrm{BC}^{2}
या (x+1)^{2}+(y-2)^{2}=(x-3)^{2}+(y-2)^{2}
या 2 x+1=-6 x+9
\begin{aligned} 8 x &=8 \\ x &=1 \end{aligned}.........(i)
चूंकि एक वर्ग का प्रत्येक कोण 90^{\circ} होता है,
\therefore \quad \triangle \mathrm{ABC} एक समकोण \Delta है।
\therefore पाइथागोरस प्रमेय से, हमें प्राप्त है :
\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{AC}^{2}
या \left[(x+1)^{2}+(y-2)^{2}\right]+\left[(x-3)^{2}+(y-2)^{2}\right]=\left[(3+1)^{2}+(2-2)^{2}\right]
या 2 x^{2}+2 y^{2}+2 x-4 y-6 x-4 y+1+4+9+4=16
या 2 x^{2}+2 y^{2}-4 x-8 y+2=0
या x^{2}+y^{2}-2 x-4 y+1=0
x का मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
1+y^{2}-2-4 y+1=0
y^{2}-4 y+2-2=0
y^{2}-4 y=0
y(y-4)=0
y=0
y=4
अतः अन्य दो शीर्ष (1,0) और (1,4) हैं।

प्रश्न 20. 

बिंदुओं A(-1,-1), B(-1,4), C(5,4) और D(5,-1) से एक आयत A B C D बनता है। \mathbf{P}, \mathbf{Q}, \mathbf{R} और \mathbf{S} क्रमश : भुजाओं \mathbf{A B}, \mathbf{B C}, \mathbf{C D} और \mathbf{D A} के मध्य बिंदु हैं। क्या चतुर्भुज \mathbf{P Q R S} एक वर्ग है? क्या यह एक आयत है? क्या यह एक समचतुर्भुज है? सकारण' उत्तर दीजिए।
हल : 
दिया है कि एक चतुर्भुज जिसके शीर्ष हैं :
\mathrm{A}(-1,-1), \mathrm{B}(-1,4), \mathrm{C}(5,4), \quad \mathrm{D}(5,-1)
चूंकि \mathrm{AB} का मध्य बिन्दु \mathrm{P} है।











\therefore \quad P के निर्देशांक हैं : \left[\frac{-1-1}{2}, \frac{-1+4}{2}\right] या \left(-1, \frac{3}{2}\right) इसी प्रकार \mathrm{Q} के निर्देशांक हैं : \left[\frac{-1+5}{2}, \frac{4+4}{2}\right] या (2,4) तथा \mathrm{R} के निर्देशांक हैं : \left(\frac{5+5}{2}, \frac{-1+4}{2}\right) या \left(5, \frac{3}{2}\right) और \mathrm{S} के निर्देशांक हैं : \left(\frac{-1+5}{2}, \frac{1-}{2}\right) या (2,-1)
\begin{aligned} \mathrm{PQ} &=\sqrt{(2+1)^{2}+\left(4-\frac{3}{2}\right)^{2}} \\ &=\sqrt{9+\frac{25}{4}}=\frac{\sqrt{61}}{2} \\ \mathrm{QR} &=\sqrt{(5-2)^{2}+\left(\frac{3}{2}-4\right)^{2}} \\ &=\sqrt{9+\frac{25}{4}}=\frac{\sqrt{61}}{2} \\ \mathrm{RS} &=\sqrt{(2-5)^{2}+\left\{-1+\left(-\frac{3}{2}\right)\right\}^{2}} \\ &=\sqrt{9+\frac{25}{4}}=\frac{\sqrt{61}}{2} \\ \mathrm{SP} &=\sqrt{(2+1)^{2}+\left(-1-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9+\frac{25}{4}}=\frac{\sqrt{61}}{2} \\ &=\sqrt{(5+1)^{2}+\left(\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{6^{2}+0}=6 \\ &=\sqrt{0+5^{2}}=5 \end{aligned}
उक्त से स्पष्ट है कि \mathrm{PQ}=\mathrm{QR}=\mathrm{RS}=\mathrm{SP} अर्थात् चतुर्भुज \mathrm{PQRS} की सभी भुजाएँ समान हैं। \therefore यह एक वर्ग या एक समचतुर्भुज हो सकता है।
चूंकि \mathrm{PR} \neq \mathrm{QS}
अर्थात् \mathrm{PQRS} के विकर्ण समान नहीं हैं।
\therefore \quad PQRS एक समचतुर्भुज है।

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