प्रश्नावली - 7 (B)
प्रश्न 1
बिन्दुओं $(-3,4)$ और $(3,-4)$ को मिलाने वाले रेखाखण्ड के मध्य बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल :
$\left(x_{1}, y_{1}\right)$ तथा $\left(x_{2}, y_{2}\right)$ बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड के मध्य किन्दु के निर्दिपमंक $\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$ होते हैं।
$y_1=4~ ,~y_2=-4$
∴मध्य बिन्दु के निर्देशांक $=\left(\frac{-3+3}{2},\frac{4-4}{2}\right)$
=(0,0)
प्रश्न 2
यदि बिन्दु (1,2) , (4,y),(x,6) और (3,5) इसी क्रम में लेने पर, एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हों तो x और y ज्ञात कीजिए।
हल :
माना ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, जिसके शीर्ष
A(1,2), B(4, y), C(x, 6) और D(3,5)
चूंकि समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर बिन्दु $\mathrm{P}$ पर समद्विभाजित होते हैं।
∴ P के निर्देशांक हैं : $\mathrm{X}=\frac{x+1}{2}=\frac{3+4}{2}$
$\begin{aligned} x+1 &=7 \\ x &=6 \\ Y &=\frac{5+y}{2}=\frac{6+2}{2} \\ 5+y &=8 \text { or } y=3 \end{aligned}$
इस प्रकार x और y के अभीष्ट मान हैं : x=6, y=3
प्रश्न 3.
उस बिन्दु के निर्देशांक बताइये जो निम्न बिन्दुओं से खींचे जाने वाले रेखाखण्ड' को दिए हुए अनुपात में बाह्यतः विभाजित करता है :
(i) $(3,4)$ तथा $(-6,2)$; अनुपात $3: 2$,
(ii) $(-2,5)$ तथा $(6,4)$; अनुपात $1: 2$.
हल :
(i) (3, 4) तथा $(-6,2)$; अनुपात $3: 2$
$x_{1}=3, x_{2}=-6$
$y_{1}=4, y_{2}=2$
$m_{1}=3, m_{2}=2$
बाह्यतः विभाजित करने वाले बिन्दु के निर्देशांक
$\begin{aligned}&=\left(\frac{3 \times(-6)-2 \times 3 \quad 3 \times 2-2 \times 4}{3-2}\right) \\&=\left(\frac{-18-6}{1}, \frac{6-8}{1}\right)=(-24,-2)\end{aligned}$
(ii) $(-2,5)$ तथा $(6,4)$; अनुपात $1: 2$
माना
$\begin{aligned}&x_{1}=-2, y_{1}=5 \\&x_{2}=6, y_{2}=4 \\&m_{1}=1, m_{2}=2\end{aligned}$
बाह्यतः विभाजित करने वाले बिन्दु के निर्देशांक
$=\left(\frac{m_{1} x_{2}-m_{2} x_{1}}{m_{1}-m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}-m_{2} y_{1}}{m_{1}-m_{2}}\right)$
$=\left(\frac{1 \times 6-2 \times(-2) 1 \times 4-2 \times 5}{1-2}\right)$
$=\left(\frac{6+4}{-1}, \frac{4-10}{-1}\right)=(-10,6)$
प्रश्न 4.
उस बिंदु के निर्देशांक' ज्ञात कीजिए, जो बिंदुओं $(-1,7)$ और $(4,-3)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को $2: 3$ के अनुपात में विभाजित करता है।
हल :
माना वांछित बिन्दु $\mathrm{P}(x, y)$ है।
यहाँ रेखाखण्ड के अन्तः बिन्दु $(-1,7)$ और $(4,-3)$ हैं।
चूंकि अनुपात $=2: 3=m_{1}: m_{2}$
$x=\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{(2 \times 4)+3 \times(-1)}{2+3}=\frac{8-3}{5}=\frac{5}{5}=1$
$y=\frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{2 \times(-3)+(3 \times 7)}{2+3}=\frac{-6+21}{5}=\frac{15}{5}=3$
इस प्रकार अभीष्ट बिन्दु $(1,3)$ हैं।
उत्तर
प्रश्न 5.
बिन्दुओं $(4,-1)$ और $(-2,-3)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को सम-त्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल :
माना दिए गये बिन्दु हैं : $\mathrm{A}(4,-1)$ और $\mathrm{B}(-2,-3)$
माना रेखाखण्ड $\mathrm{AB}$ को बिन्दु $\mathrm{P}$ और $\mathrm{Q}$ समत्रिभाजित करते हैं।
अर्थात $\mathrm{AP}=\mathrm{PQ}=\mathrm{QB}$
$\Rightarrow$ बिन्दु $\mathrm{P}$ रेखाखण्ड $\mathrm{AB}$ को $1: 2$ के अनुपात में विभाजित करता है। इसी प्रकार बिन्दु $\mathrm{Q}$ रेखाखण्ड $\mathrm{AB}$ को $2: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है। माना बिन्दु P के निर्देशांक $(x, y)$ हैं
$=\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{1(-2)+2(4)}{1+2}=\frac{-2+8}{3}=2$
$=\frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{1(-3)+2 \times(-1)}{1+2}=\frac{-3-2}{3}=\frac{-5}{3}$
$\therefore$ बिन्दु $\mathrm{P}$ के अभीष्ट निर्देशांक $\left(2,-\frac{5}{3}\right)$ हैं।
माना $\mathrm{Q}$ के निर्देशांक $(\mathrm{X}, \mathrm{Y})$ हैं।
$=\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{2(-2)+1(4)}{2+1}=\frac{-4+4}{3}=0$
$=\frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{2(-3)+1(-1)}{2+1}=\frac{-6-1}{3}=\frac{-7}{3}$
अतः $\mathrm{Q}$ के $\left(\therefore \frac{-7}{3}\right) $ हैं।
प्रश्न 6.
एक रेखाखण्ड का एक अंत्यबिन्दु $(13,19)$ है। यदि उसका मध्य बिन्दु $(-9,30)$ हो,तो दूसरे अंत्यबिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल :
माना दूसरा अन्त्य बिन्दु $(x, y)$ है।
$(x, y)$ तथा $(13,19)$ को मिलाने वाली रेखा का मध्य बिन्दु $(-9,30)$ है।
$\begin{aligned}\frac{x+13}{2} &=-9 \\x+13 &=-18 \\x &=-18-13=-31 \\\frac{y+19}{2} &=30 \Rightarrow y+19=60 \\y &=60-19=41\end{aligned}$
दूसरे अंत्य बिन्दु के निर्देशांक $=(-31,41)$
प्रश्न 7.
बिन्दु $\mathrm{A}(-4,-3)$ और $\mathrm{B}(5,2)$ से खींचा जाने वाला रेखाखण्ड $x$-अक्ष को किस अनुपात में विभाजित करता है?
हल :
x-अक्ष के लिए : x-अक्ष पर किसी बिन्दु के निर्देशांक (x, 0) हैं।
मान लीजिए अभीष्ट अनुपात $m_{1}: m_{2}$ है।
हम जानते हैं कि $y=\frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}$
$\begin{aligned} y &=0, y_{1}=-3, y_{2}=2 \\ 0 &=\frac{m_{1}(2)+m_{2}(-3)}{m_{1}+m_{2}}=2 m_{1}-3 m_{2}=0 \\ \frac{m_{1}}{m_{2}} &=\frac{3}{2} \end{aligned}$
अतः अभीष्ट अनुपात $=3: 2$ है।
उत्तर
प्रश्न 8.
बिंदुओं $(-3,10)$ और $(6,-8)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को बिंदु $(-1,6)$ किस अनुपात में विभाजित करता है ?
हल :
मान लीजिए दिए गए बिन्दुओं के निर्देशांक $\mathrm{A}(-3,10)$ और $\mathrm{B}(6,-8)$ हैं। माना बिन्दु $\mathrm{P}(-1,6)$ रेखाखण्ड $\mathrm{AB}$ को $m_{1}: m_{2}$ के अनुपात में विभाजित करता है, तब विभाजन सूत्र से,
$(-1,6)=\left(\frac{x_{2} m_{1}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)$
$\begin{aligned}(-1,6) &=\left(\frac{\left(m_{1} \times 6\right)+\left[m_{2} \times(-3)\right]\left[m_{1}(-8)\right]+\left(m_{2} \times 10\right)}{m_{1}+m_{2}}\right) \\(-1,6) &\left.=\left(\frac{6 m_{1}+\left(-3 m_{2}\right)-8 m_{1}+10 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right) \quad m_{1}+m_{2}\right) \\-1 &=\frac{6 m_{1}-3 m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \text { और } 6=\frac{-8 m_{1}+10 m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \\-1\left(m_{1}+m_{2}\right) &=6 m_{1}-3 m_{2} \text { और } 6\left(m_{1}+m_{2}\right)=-8 m_{1}+10 m_{2} \\-m_{1}-m_{2}-6 m_{1}+3 m_{2} &=0 \\-7 m_{1}+2 m_{2} &=0 \\ 7 m_{1}-2 m_{2} &=0 \\ \frac{m_{1}}{m_{1}}+6 m_{2}+8 m_{1}-10 m_{2} &=0 \\ 14 m_{1}-4 m_{2} &=0 \\ 2 m_{2} &=7 m_{1} \text { and } 7 m_{1}=2 m_{2} \\ m_{1} &=2: 7 \text { and } m_{1}: m_{2}=2: 7 \end{aligned}$
प्रश्न 9.
यदि $\mathrm{A}$ और $\mathrm{B}$ क्रमश: $(-2,-2)$ और $(2,-4)$ हो तो बिंदु $\mathrm{P}$ के निर्देशांक' ज्ञात कीजिए ताकि $\mathrm{AP}=\frac{3}{7} \mathrm{AB}$ हो और $\mathrm{P}$ रेखाखंड' $\mathrm{AB}$ पर स्थित हो।
हल ः
यहाँ दिए गये बिन्दु हैं: $\mathrm{A}(-2,-2)$ और $\mathrm{B}(2,-4)$ माना रेखाखण्ड $\mathrm{AB}$ को बिन्दु $\mathrm{P}$ इस प्रकार विभाजित करता है कि:
$\because\mathrm{AP}=\frac{3}{7} \mathrm{AB} \therefore \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AB}}=\frac{3}{7}$
$\begin{aligned} \mathrm{AB} &=\mathrm{AP}+\mathrm{BP} \\ \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AB}} &=\frac{3}{7} \\ \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AP}+\mathrm{PB}} &=\frac{3}{7} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \frac{\mathrm{AP}+\mathrm{PB}}{\mathrm{AP}} &=\frac{7}{3} \\ \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AP}}+\frac{\mathrm{PB}}{\mathrm{AP}} &=\frac{7}{3} \\ 1+\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}} &=\frac{7}{3} \\ \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}} &=\frac{7}{3}-1=\frac{7-3}{3}=\frac{4}{3} \\ \mathrm{AP}: \mathrm{PB} &=3: 4 \end{aligned}$
अर्थात् $\mathrm{P}(x, y), \mathrm{AB}$ को $3: 4$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$\therefore=\frac{3 \times 2+4 \times(-2)}{3+4}=\frac{6-8}{7}=\frac{-2}{7}$
$\begin{aligned} y &=\frac{3 \times(-4)+4 \times(-2)}{3+4} \\ &=\frac{-12-8}{7}=\frac{-20}{7} \end{aligned}$
इस. प्रकार, P के निर्देशांक हैं : $\left(\frac{-2}{7}, \frac{-20}{7}\right)$.
प्रश्न 10.
रेखाखण्ड $\mathrm{AB}$ को एक बिन्दु $\mathrm{P}$ बाह्यतः $3: 2$ के अनुपात में बाँटता है। यदि बिन्दुओं $\mathrm{A}$ और $\mathrm{B}$ के निर्देशांक क्रमशः $(4,3)$ और $(2,1)$ हैं, तो $\mathrm{P}$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है
$\begin{aligned}&\mathrm{A}(4,3) \Rightarrow x_{1}=4, y_{1}=3 \\&\mathrm{~B}(2,1) \Rightarrow x_{2}=2, y_{2}=1\end{aligned}$
अनुपात $m_{1}=3, m_{2}=2$
बाहतः बिन्दु के निर्देशांक
$\begin{aligned}&=\left(\frac{m_{1} x_{2}-m_{2} x_{1}}{m_{1}-m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}-m_{2} y_{1}}{m_{1}-m_{2}}\right) \\ &=\left(\frac{3 \times 2-2 \times 43 \times 1-2 \times 3}{3-2}\right) \\ &=\left(\frac{6-83-6}{1}, \frac{1}{3}\right) \\ &=(-2,-3) . \end{aligned}$
प्रश्न 11.
वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिंदुओं $A(1,-5)$ और $B(-4,5)$ को मिलाने वाला रेखाखंड $x$-अक्ष से विभाजित होता है। इस विभाजन बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल :
ज्ञात बिंदु $A(1,-5)$ और $B(-4,5)$ हैं।
माना बिन्दु $\mathrm{P}(x, y) \mathrm{AB}$ को $k: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है। भाग-I:
भाग-I :
$\because \mathrm{P}, x$-अक्ष पर स्थित हो,' तब
$\therefore y$-निर्देशांक 0 है
$\begin{aligned} x &=\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+\mid m_{2}} \text { और } y=\frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}} \\ x &=\frac{k(-4)+1(1)}{k+1} \text { और } 0=\frac{5 k-5}{k+1} \\ x &=\frac{-4 k+1}{k+1} \text { और } 0=\frac{5 k-5}{k+1} \\ x(k+1) &=-4 k+1 \text { और } 5 k-5=0 \\ k &=1 \end{aligned}$
भाग-II : निर्देशांक ज्ञात करना
$x(k+1)=-4 k+1$
$x(1+1)=-4+1 \quad[\because k=1]$
$\begin{aligned} 2 x &=-3 \\ x &=\frac{-3}{2} \end{aligned}$
$\therefore$ अभीष्ट अनुपात $k: 1=1: 1$, अभीष्ट निर्देशांक $\mathrm{P}(x, 0)=\mathrm{P}\left(\frac{-3}{2}, 0\right)$.
प्रश्न 12.
त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ के शीर्षो के निर्देशांक क्रमशः $(-1,3),(-3,-2)$ एवं $(5,-1)$ हैं, तो शीर्ष $\mathrm{A}$ व $\mathrm{B}$ से खींची गयी माध्यिकाओं की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :
मानलो शीर्ष $\mathrm{A}$ एवं $\mathrm{B}$ से खींची गयी माध्यिकाएँ क्रमशः $\mathrm{AP}$ और $\mathrm{BQ}$ हैं।
BC कें मध्य बिन्दु P के निर्देशांक
$\begin{aligned} &=\left(\frac{-3+5}{2}, \frac{-21}{2}\right) \\&=\left(\frac{2}{2}, \frac{-3}{2}\right)=\left(1,-\frac{3}{2}\right)\end{aligned}$
और $\mathrm{CA}$ के मध्य बिन्दु $\mathrm{Q}$ के निर्देशांक $=\left(\frac{5-1}{2}, \frac{-1+3}{2}\right)$
$=\left(\frac{4}{2}, \frac{2}{2}\right)=(2,1)$
माध्यिका AP की लम्बाई $=$ बिन्दु $\mathrm{A}(-1,3)$ और बिन्दु $\mathrm{P}\left(1,-\frac{3}{2}\right)$ के बीच की दूरी
$\begin{aligned}&=\sqrt{\{1+1\}^{2}+\left\{-\frac{3}{2}-3\right\}^{2}} \\&=\sqrt{\left[(2)^{2}+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}\right]} \\&=\sqrt{\left[4+\frac{81}{4}\right]}=\sqrt{\left(\frac{97}{4}\right)}\end{aligned}$
माध्यिका BQ की लम्बाई $=$ बिन्दु $B(-3,-2)$ और बिन्दु $Q(2,1)$ के बीच की दूरी
$\begin{aligned}&=\sqrt{\left[\{2-(-3)\}^{2}+\{1-(-2)\}^{2}\right]} \\&=\sqrt{(2+3)^{2}+(1+2)^{2}} \\&=\sqrt{(5)^{2}+(3)^{2}} \\&=\sqrt{25+9} \\&=\sqrt{34}\end{aligned}$
प्रश्न 13.
बिंदुओं $\mathrm{A}(-2,2)$ और $\mathrm{B}(2,8)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड $\mathrm{AB}$ को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ, दिए गये बिन्दु हैं: $\mathrm{A}(-2,2)$ और $\mathrm{B}(2,8)$
माना $\mathrm{P}_{1}, \mathrm{P}_{2}$ और $\mathrm{P}_{3}$ रेखाखंण्ड $\mathrm{AB}$ को चार समान भागों में विभाजित करते हैं।
$\therefore\mathrm{AP}_{1}=\mathrm{P}_{1}\mathrm{P}_{2}=\mathrm{P}_{2}\mathrm{P}_{3}=\mathrm{P}_{3} \mathrm{~B}$
स्पष्ट है कि $\mathrm{P}_{2}$ रेखाखण्ड $\mathrm{AB}$ का मध्यबिन्दु है।
$\therefore \quad \mathrm{P}_{2}$ के निर्देशांक हैं :
$\left(\frac{-2+2}{2}, \frac{2+8}{2}\right)$ या $(0,5)$
पुनः $\mathrm{P}_{1}$ रेखाखण्ड $\mathrm{AP}_{2}$ का मध्यबिन्दु है। $\therefore \quad \mathrm{P}_{1}$ के निर्देशांक हैं :
$\left(\frac{-2+0}{2}, \frac{2+5}{2}\right) \text { या }\left(-1, \frac{7}{2}\right)$
और $\mathrm{P}_{3}$ रेखाखण्ड $\mathrm{P}_{2} \mathrm{~B}$ का मध्य बिन्दु है।
$\therefore \quad \mathrm{P}_{3}$ के निर्देशांक हैं :
$\left(\frac{0+2}{2}, \frac{5+8}{2}\right)$ या, $\left(1,-\frac{13}{2}\right)$
इस प्रकार $\mathrm{P}_{1}, \mathrm{P}_{2}$ और $\mathrm{P}_{3}$ के निर्देशांक क्रमशः हैं :
$(0,5),\left(-1, \frac{7}{2}\right) \text { और }\left(1,-\frac{13}{2}\right)$
प्रश्न 14.
एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, $(3,0),(4,5),(-1,4)$ और $(-2,-1)$ हैं।
संकेत : समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}$ (उसके विकर्णों का गुणनफल)
हल :
माना दिए गये समचतुर्भुज के शीर्ष निम्नांकित हैं-
$\mathrm{A}(3,0), \mathrm{B}(4,5), \mathrm{C}(-1,4)$ और $\mathrm{D}(-2,-1)$
चूंकि, $\mathrm{AC}$ और $\mathrm{BD}$ समचतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$ के विकर्ण हैं। और
विकर्ण $\mathrm{AC}=\sqrt{(-1-3)^{2}+(4-0)^{2}}$
$\begin{aligned} &=\sqrt{(-4)^{2}+(4)^{2}} \\ &=\sqrt{16+16}=4 \sqrt{2} \end{aligned}$
विकर्ण $\begin{aligned}\mathrm{BD} &=\sqrt{(-2-4)^{2}+(-1-5)^{2}} \\ &=\sqrt{(-6)^{2}+(-6)^{2}} \\ &=\sqrt{36+36}=6 \sqrt{2} \end{aligned}$
अतः समचतुर्भुज का क्षेत्रफल
$=\frac{1}{2}$ विकर्णों का गुणनफल)
$=\frac{1}{2}(\mathrm{AC} \times \mathrm{BD})$
$=\frac{1}{2} \times 4 \sqrt{2} \times 6 \sqrt{2}$ वर्ग इकाई
$=\frac{1}{2} \times 2 \times 4 \times 6$ वर्ग इकाई
$=4 \times 6$ वर्ग इकाई
$=24$ वर्ग इकाई।
प्रश्न 15.
बिंदु $\mathrm{A}$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ $\mathrm{AB}$ एक वृत्त का व्यास है जिसका केन्द्र $(2,-3)$ है तथा $B$ के निर्देशांक' $(1,4)$ हैं।
हल :
चूँकि, वृत्त का केन्द्र $O(2,-3)$ है।
इसीलिए, वृत्त का केन्द्र इसके व्यास को समद्विभाजित करता है।
$\therefore2=\frac{x+1}{2}$
$\begin{aligned} x+1 &=4 \text { or } x=3 \\-3 &=\frac{y+4}{2} \\ y+4 &=-6 \text { or } y=-10 \end{aligned}$
अतः $\mathrm{A}$ के निर्देशांक $(3,-10)$ हैं। उत्तर
प्रश्न 16.
उस बिन्दु के निर्देशांक' ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं $(-3,-4)$ और $(2,1)$ से खींचे गये' रेखाखण्ड' को $3: 2$ के अनुपात में बाह्यतः विभाजित करता है।
हल :
माना $x_{1}=-3, y_{1}=-4$
$x_{2}=2, y_{2}=1$
$m_{1}=3, m_{2}=2$
बाह्यतः विभाजित करने वाले बिन्दु के निर्देशांक
$\begin{aligned}&=\left(\frac{m_{1} x_{2}-m_{2} x_{1}}{m_{1}-m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}-m_{2} y_{1}}{m_{1}-m_{2}}\right) \\&=\left(\frac{3 \times 2-2 \times(-3)}{3-2}, 3 \times 1-2 \times(-4)\right) \\&=\left(\frac{6+6}{1}, \frac{3+8}{1}\right) \\&=(12,11)\end{aligned}$
प्रश्न 17.
बिन्दुओं A $(2,-2)$ और B $(-7,4)$ को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को समत्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए $\mathrm{AB}$ एक रेखाखण्ड है, जो $\mathrm{P}$ तथा $\mathrm{Q}$ बिन्दुओं पर सम-त्रिभाजित करती है।
यहाँ $\mathrm{AP}=\mathrm{PQ}=\mathrm{BQ}$ है।
$\therefore$ बिन्दु $\mathrm{P}, \mathrm{AQ}$ को आन्तरिक रूप से $1: 2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$\therefore \quad \mathrm{P}$ के निर्देशांक- $\left(\frac{1 \times-7+2 \times 2,1 \times 4+2 \times-2}{1+2,1+2}\right)$
=(-1,0)
अब $\mathrm{Q}, \mathrm{AB}$ को अन्तरिक रूप से $2: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$\begin{aligned}\mathrm{Q} \text { के निर्देशंक } &=\left(\frac{2 \times-7+1 \times 2}{2+1}, 2 \times 4+1 \times2\right) \\&=(-4,2)\end{aligned}$
अतः $(-1,0)$ तथा $(-4,2)$ बिन्दुओं $\mathrm{P}$ तथा $\mathrm{Q}$ के निर्देशांक हैं।
प्रश्न 18.
बिंदुओं $\mathrm{A}(2,-2)$ और $\mathrm{B}(3,7)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड' को रेखा $2 x+y-4=0$ जिस अनुपात में विभाजित करती है, उसे ज्ञात कीजिए।
हल :
माना दिए गये बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखण्ड $\mathrm{AB}$ को रेखा $2 x+y-4=0$ बिन्दु $\mathrm{C}$ पर $k: 1$ के अनुपात में विभाजित करती है।
$\therefore \quad \mathrm{C}$ के निर्दिशतंक हैं : $\left(\frac{3 k+2}{k+1}, \frac{7 k-2}{k+1}\right)$ चूंकि बिन्दु $\mathrm{C}$ रेखा $2 x+y-4=0$ पर स्थित है,
$\therefore \quad 2\left(\frac{3 k+2}{k+1}\right)+\left(\frac{7 k-2}{k+1}\right)-4=0$
$\begin{aligned}2[3 k+2]+[7 k-2] &=4 \times(k+1) \\6 k+4+7 k-2-4 k-4 &=0 \\(6+7-4) k+(4-2-4) &=0 \\9 k+(-2) &=0 \\9 k-2 &=0 \\k &=\frac{2}{9}\end{aligned}$
अभीष्ट अनुपात $=k: 1=\frac{2}{9}: 1=2: 9$
प्रश्न 19.
किसी वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष $(-1,2)$ और $(3,2)$ हैं। वर्ग के अन्य दोनों शीर्ष ज्ञात कीजिए।
हल :
माना वर्ग $\mathrm{ABCD}$ में $\mathrm{A}(-1,2)$ और $\mathrm{C}(3,2)$ सम्मुख शीर्ष हैं। माना अज्ञात शीर्ष $\mathrm{B}$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
चूंकि एक वर्ग की सभी भुजाएँ समान होती हैं।
$\therefore\mathrm{AB}=\mathrm{BC} \text { या } \mathrm{AB}^{2}=\mathrm{BC}^{2}$
या $(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=(x-3)^{2}+(y-2)^{2}$
या $2 x+1=-6 x+9$
$\begin{aligned} 8 x &=8 \\ x &=1 \end{aligned}$.........(i)
चूंकि एक वर्ग का प्रत्येक कोण $90^{\circ}$ होता है,
$\therefore \quad \triangle \mathrm{ABC}$ एक समकोण $\Delta$ है।
$\therefore$ पाइथागोरस प्रमेय से, हमें प्राप्त है :
$\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{AC}^{2}$
या $\left[(x+1)^{2}+(y-2)^{2}\right]+\left[(x-3)^{2}+(y-2)^{2}\right]=\left[(3+1)^{2}+(2-2)^{2}\right]$
या $2 x^{2}+2 y^{2}+2 x-4 y-6 x-4 y+1+4+9+4=16$
या $2 x^{2}+2 y^{2}-4 x-8 y+2=0$
या $x^{2}+y^{2}-2 x-4 y+1=0$
$x$ का मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
$1+y^{2}-2-4 y+1=0$
$y^{2}-4 y+2-2=0$
$y^{2}-4 y=0$
$y(y-4)=0$
$y=0$
$y=4$
अतः अन्य दो शीर्ष $(1,0)$ और $(1,4)$ हैं।
प्रश्न 20.
बिंदुओं $A(-1,-1), B(-1,4), C(5,4)$ और $D(5,-1)$ से एक आयत $A B C D$ बनता है। $\mathbf{P}, \mathbf{Q}, \mathbf{R}$ और $\mathbf{S}$ क्रमश : भुजाओं $\mathbf{A B}, \mathbf{B C}, \mathbf{C D}$ और $\mathbf{D A}$ के मध्य बिंदु हैं। क्या चतुर्भुज $\mathbf{P Q R S}$ एक वर्ग है? क्या यह एक आयत है? क्या यह एक समचतुर्भुज है? सकारण' उत्तर दीजिए।
हल :
दिया है कि एक चतुर्भुज जिसके शीर्ष हैं :
$\mathrm{A}(-1,-1), \mathrm{B}(-1,4), \mathrm{C}(5,4), \quad \mathrm{D}(5,-1)$
चूंकि $\mathrm{AB}$ का मध्य बिन्दु $\mathrm{P}$ है।
$\therefore \quad P$ के निर्देशांक हैं : $\left[\frac{-1-1}{2}, \frac{-1+4}{2}\right]$ या $\left(-1, \frac{3}{2}\right)$ इसी प्रकार $\mathrm{Q}$ के निर्देशांक हैं : $\left[\frac{-1+5}{2}, \frac{4+4}{2}\right]$ या $(2,4)$ तथा $\mathrm{R}$ के निर्देशांक हैं : $\left(\frac{5+5}{2}, \frac{-1+4}{2}\right)$ या $\left(5, \frac{3}{2}\right)$ और $\mathrm{S}$ के निर्देशांक हैं : $\left(\frac{-1+5}{2}, \frac{1-}{2}\right)$ या $(2,-1)$
$\begin{aligned} \mathrm{PQ} &=\sqrt{(2+1)^{2}+\left(4-\frac{3}{2}\right)^{2}} \\ &=\sqrt{9+\frac{25}{4}}=\frac{\sqrt{61}}{2} \\ \mathrm{QR} &=\sqrt{(5-2)^{2}+\left(\frac{3}{2}-4\right)^{2}} \\ &=\sqrt{9+\frac{25}{4}}=\frac{\sqrt{61}}{2} \\ \mathrm{RS} &=\sqrt{(2-5)^{2}+\left\{-1+\left(-\frac{3}{2}\right)\right\}^{2}} \\ &=\sqrt{9+\frac{25}{4}}=\frac{\sqrt{61}}{2} \\ \mathrm{SP} &=\sqrt{(2+1)^{2}+\left(-1-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9+\frac{25}{4}}=\frac{\sqrt{61}}{2} \\ &=\sqrt{(5+1)^{2}+\left(\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{6^{2}+0}=6 \\ &=\sqrt{0+5^{2}}=5 \end{aligned}$
उक्त से स्पष्ट है कि $\mathrm{PQ}=\mathrm{QR}=\mathrm{RS}=\mathrm{SP}$ अर्थात् चतुर्भुज $\mathrm{PQRS}$ की सभी भुजाएँ समान हैं। $\therefore$ यह एक वर्ग या एक समचतुर्भुज हो सकता है।
चूंकि $\mathrm{PR} \neq \mathrm{QS}$
अर्थात् $\mathrm{PQRS}$ के विकर्ण समान नहीं हैं।
$\therefore \quad$ PQRS एक समचतुर्भुज है।
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