Dr Manohar Re Solution CLASS 9 CHAPTER 14 सांख्यिकी [STATISTICS] प्रश्नावली 14 (H)

 प्रश्नावली 14 (H)

प्रश्न 1

5,9,2,5,4,5,2 का बहुलक ज्ञात कीजिए।

हल : 

दिये गए आँकड़ों को आरोही क्रम में लिखने पर

2,2,4,5,5,5,9

इसमें अंक 5 तीन बार आया है।

अतः बहुलक =5.

प्रश्न 2. 

निम्नलिखित आँकड़ों का बहुलक बताइये :

(i) 13,14,10,12,11,12,13,20,18,12,10,12

(ii) 3,5,6,4,5,4,5,5,6 और 9

हल : 

(i) $13,14,10,12,11,12,13,20,18,12,10,12$

आरोही क्रम में रखने पर

10,10,11,12,12,12,12,13,13,14,18,20

यहाँ 12 अधिकतम चार बार आया है।

अतः

बहुलक =12

(ii) अंक 5 , अधिकतम 4 बार आया है।

अत : बहुलक =5

प्रश्न 3

निम्नलिखित बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए :

पद	18	22	26	30	34	38
बारम्बारता	3	5	11	3	9	2

हल : 

यहाँ सबसे अधिक बारम्बारता 11 वाला पद 26 है।

अतः बहुलक =26 उत्तर

प्रश्न 4

50 परिवारों का सर्वेक्षण करने पर प्रत्येक परिवार के पास रहने के कमरों के निम्नांकित आँकड़े प्राप्त हुए । बहुलक ज्ञात कीजिए :

कमरों की संख्य	1	2	3	4
परिवारों की संख्या	12	24	8	6

हल : 

यहाँ परिवारों की सबसे अधिक संख्या 24 है।

अतः इसका बहुलक 2 है।

प्रश्न 5

निम्नलिखित बारम्बारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए :

पद	21	22	23	24	25
बारम्बारता	2	3	5	1	2

हल : 

यहाँ बारम्बारता सबसे अधिक 5 वाला पद 23 है।

अतः बहुलक 23 है।

प्रश्न 6

निम्नलिखित आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए :

(i) 1,3,5,5,5,4,6

(ii) 2,4,6,3,4,3,4,4,7,2

(iii) 5,7,9,8,7,9,7,7,3,5,2

हल: 

(i) 1,3,5,5,5,4,6

आरोही क्रम में रखने पर

1,3,4,5,5,5,6

यहाँ अंक 5 अधिक बार आया है।

बहुलक =5

(ii) 2,4,6,3,4,3,4,4,7,2

आरोही क्रम में लिखने पर

2,2,3,3,4,4,4,4,6,7

यहाँ अंक 4 अधिक चार बार आया है।

अतः

बहुलक का मान =4

(iii) 5,7,9,8,7,9,7,7,3,5,2

आरोही क्रम में रखने पर

2,3,5,5,7,7,7,7,8,9,9

यहाँ अंक 7 अधिक 4 बार आया है।

अतः

बहुलक का मान =7

प्रश्न 7

निम्नलिखित प्राप्तांकों से बारम्बारता सारणी बनाकर बहुलक ज्ञात कीजिए :

4,7,9,3,45,3,6,7,6,8,6,7,6,5,6,8,6,5 और 4

हल : 

प्राप्तांकों को आरोही क्रम में रखने पर

3,3,4,4,4,5,5,5,6,6,6,6,6,6,7,7,7,8,8,9

पद	बारम्बारता
3	2
4	3
5	3
6	6
7	3
8	2
9	1

यहाँ सबसे अधिक बारम्बारता 6 है।

अतः इसके बहुलक का मान 6 है।

प्रश्न 8

33,37,34,33,38,31,32,33,34 का बहुलक ज्ञात कीजिए।

हल : 

आरोही क्रम में रखने पर

31,32,33,33,33,34,34,37,38

यहाँ अंक 33 तीन बार आया है।

अतः बहुलक =33

प्रश्न 9

18,38,25,36,38,25,18,38,25,19 और 25 का बहुलक ज्ञात कीजिए।

हल : 

आरोही क्रम में रखने पर,

18,18,19,25,25,25,25,36,38,38,38 यहाँ अंक 25 की बारम्बारता 4 है, जो सबसे अधिक है।

अतः

बहुलक =25

प्रश्न 10

निम्नलिखित आँकड़ों की बारम्बारता सारणी में क्रमबद्ध कर बहुलक ज्ञात कीजिए :

3,6,8,2,3,4,2,5,6,5,7,5,6,5,4,5,7,5,4 और  3 

हल : 

आरोही क्रम में रखने पर

2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,5,5,5,5,6,6,6,7,7,8

पद	2	3	4	5	6	7	8
बारम्बारता संरणा	2	3	3	6	3	2	1

यहाँ सबसे अधिक बारम्बारता का मान 6 है।

अतः बहुलक का मान =5उत्तर

प्रश्न 11

एक कक्षा के कुछ छात्रों ने मासिक परीक्षा में निम्न अंक प्राप्त किये हैं। इन प्राप्तांकों का बहुलक ज्ञात कीजिए :

प्राप्तांक	5	7	3	4	6	2	1
छात्रों की संख्या	12	6	14	16	10	8	11

हल : यहाँ सबसे अधिक छात्रों की संख्या =16 है। 

अतः इसका बहुलक =4 है।

प्रश्न 12. 

एक टीम ने फुटबाल के 10 मैचों में निम्नलिखित गोल किए :

2,3,4,5,0,1,3,3,4,3

इन गोलों के माध्य, माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए।

हल : माध्य,

$\begin{aligned}&\bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}}{10} \\&\bar{x}=\frac{2+3+4+5+0+1+3+3+4+3}{10}=\frac{28}{10}=2.8\end{aligned}$

उत्तर

माध्यिका ज्ञात करने के लिए दिये गये आँकड़ों को आरोही क्रम में लिखेंगे :

$0,1,2,3,3,3,3,4,4,5$

यहाँ कुल 10 पद हैं। अतः यहाँ दो मध्य पद होंगे अर्थात् $\left(\frac{10}{2}\right)$ और $\left(\frac{10}{2}+1\right)$ अर्थात् 5 वाँ और 6 वाँ पद। अत: 5 वें और 6 वें पद का माध्य ही माध्यिका होगी।

अर्थात् माध्यिका $=\frac{3+3}{2}=3$.उत्तर

पुनं: 3 का आँकड़ा सबसे अधिक बार आया है अर्थात् 4 बार। अतः बहुलक $=3$.उत्तर

प्रश्न 13. 

गणित की परीक्षा में 15 विद्यार्थियों ने (100 में से) निम्नलिखित अंक प्राप्त किए : $41,39,48,52,46,62,54,40,96,52,98,40,42,52,60$

इन आँकड़ों से माध्य, माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए।

हल : माध्य,

$\begin{aligned}\bar{x} &=\frac{x_{1}+x_{2}+\ldots . .+x_{15}}{15} \\& 41+39+48+52+46+62+54+40+96+52+98 \\\bar{x} &=-\frac{1}{15}+40+42+52+60 \\=& \frac{822}{15}=54.8 .\end{aligned}$

माध्यक ज्ञात करने के लिए दिये आँकड़ों को आरोही क्रम में लिखेंगे :

39,40,40,41,42,46,48,52,52,52,54,60,62,96,98

यहाँ $N=15$. पद है, जोकि विषम है।

माध्यक $=\frac{N+1}{2}$ वाँ पद $=\frac{15+1}{2}$ वाँ पद $=8$ वाँ पद

माध्यक $=8$ वाँ पद $=52$.

सबसे अधिक बारम्बारता 3 है इसके संगत प्राप्तांक 52 है।

बहुलक $=52$.

प्रश्न 14. 

आँकड़ों 14,25,14,28,18,17,18,14,23,22,14,18 का बहुलक ज्ञात कीजिए।

हल : 

आँकड़ों को बढ़ते हुये क्रम में लिखने पर,

14,14,14,14,17,18,18,22,23,25,28 सबसे अधिक बारम्बारता 4 है। इसके संगत चर का मान 14 है। 

अतः बहुलक =14

Dr Manohar Re Solution CLASS 9 CHAPTER 14 सांख्यिकी [STATISTICS] प्रश्नावली 14 (G)

 प्रश्नावली 14 (G)

प्रश्न 1

आँकड़ों 10,15,19,16,12,14 और 11 की माध्यिका ज्ञात कीजिए ।

हल : 

आँकड़ों को आरोही क्रम में लिखने पर

10,11,12,14,15,16,19

कुल आँकड़े n=7, जो कि विषम संख्या है।

माध्यिका

$=\frac{n+1}{2}=\frac{7+1}{2}=\frac{8}{2}=4$

वें पद का मान=14

अतः माध्यिका = 14

प्रश्न 2

निम्न आँकड़ों की माध्यिका ज्ञात कीजिए :

83,37,70,29,45,63,41,70,30,54

हल : 

आँकड़ों को आरोही क्रम में रखने पर

29,30,37,41,45,54,63,70,70,83

आँकड़ों की कुल संख्या n=10 (जो कि सम है)

माध्यिका 

$\begin{aligned}&=\frac{\left(\frac{n}{2}\right)+\left(\frac{n}{2}+1\right)}{2} \\&=\frac{5+6 }{2} \\&=\frac{45+54}{2} \\&=\frac{99}{2}=49.5\end{aligned}$

प्रश्न 3

एक चर के मान 25,21,17,16,19,23,18,25,15,22 और 27 हैं । इनकी माध्यिका ज्ञात कीजिए ।

हल : 

चर मानों को आरोही क्रम में लिखने पर

15,16,17,18,19,21,22,23,25,25,27

N=11

माधिका $=\frac{11+1}{2}$ वें पद का माध्य

=6 वें पद का माध्य

अब 6 वें पद का मान =21

अतः माध्यिका =21

प्रश्न 4

17, 8, 10, 18, 4, 9, 16, 9, 13 और 5 की माध्यिका ज्ञात कीजिए ।

हल :

आँकड़ों को आरोही क्रम में लिखने पर

4,5,8,9,9,10,13,16,17,18

आँकड़ों की कुल संख्या n=10 (जो कि सम है)

माध्यिका

$\begin{aligned}&=\frac{\frac{n}{2}+\frac{n+2}{2}}{2} \\&=\frac{5+6}{2} \\&=\frac{9+10}{2}=\frac{19}{2}=9.5\end{aligned}$

अतः माध्यिका =9.5

प्रश्न 5

10 छात्रों ने गणित विषय की परीक्षा में निम्नलिखित अंक प्राप्त किए :

41,16,20,7,19,36,47,14,34 और 14

प्राप्तांकों की माध्यिका ज्ञात कीजिए ।

हल : 

दिए गए आँकड़ों को आरोही क्रम में लिखने पर

7,14,14,16,19,20,34,36,41,4

आँकड़ों की कुज संख्या (n)=10 (जो कि सम है)

माध्यिका

$\begin{aligned}&=\frac{\frac{n}{2} \text { th term }+\frac{n+2}{2} \text { th term}}{2} \\&=\frac{5 \text { th term }+6 \text { th term }}{2} \\&=\frac{19+20}{2}=\frac{39}{2}=19.5\end{aligned}$

माध्यिका =19.5

प्रश्न 6

निम्नलिखित सारणी से माध्यिका ज्ञात कीजिए :

चर	16	20	17	19	18
बारम्बारता	10	5	8	15	12

हल :

सारणी : 

चर	बारम्बारता (f)	संचयी बारम्बारतों  (c.f)
16	10	10
17	8	18
18	12	30
19	15	45
20	5	50

माध्यिका

$\begin{aligned}&=\frac{\frac{n}{2}+\frac{n+2}{2} }{2} \\ &=\frac{\frac{50}{2}+\frac{50+2}{2} }{2} \\ &=\frac{25 +26}{2} \\ &=\frac{18+18}{2} \\ &=18\end{aligned}$

अतः माध्यिका =18 

प्रश्न 7

निम्नलिखित सारणी से माध्यिका ज्ञात कीजिए :

पद	20	25	30	35	40	50
आवृत्ति	3	5	12	6	4	1

हल : 

पद	आवृत्ति	संचयी बारंबारता
20	3	3
25	5	8
30	12	20
35	6	26
40	4	30
50	1	31
योग	31

माध्यिका$=\frac{n+1}{2}$ वें पद का मान

$\begin{aligned}&=\frac{31+1}{2} \\ &=\frac{32}{2} \end{aligned}$

=16 वें पद का मान=30

माध्यिका=30 

प्रश्न 8

निम्नलिखित तालिका में भिन्न-भिन्न विषयों की छात्रों की संख्या तथा उत्तीर्ण होने की प्रतिशत दी है, उनका भार-माध्य ज्ञात करो :

विषय	उत्तीर्ण (प्रतिशत)	विद्यार्थियों की संख्या
गणित	80	40
हिन्दी	75	23
अंग्रेजी	60	40
संस्कृत	6	26
सामाजिक विज्ञान	4	30
विज्ञान	70	38

हल : 

भार माध्य के लिए सारणों :

विषय	उत्तीर्ण (प्रतिशत) x	विद्यार्थियों की संख्या (w)	w×x
गणित	80	40	3200
हिन्दी	75	23	1725
अंग्रेजी	60	40	2400
संस्कृत	100	17	1700
सामाजिक विज्ञान	71	40	2840
विज्ञान	70	38	2660
योग		198	14525

भारित माध्य

$\begin{aligned}&=\frac{\Sigma w x}{\Sigma w} \\&=\frac{14,525}{198} \\&=73.358=73.36\end{aligned}$

अतः अभीष्ट भारित-माध्य =73.36

प्रश्न 9

निम्नलिखित आँकड़ों, जो आरोही क्रम में हैं, की माध्यिका 25 है, x का मान ज्ञात कीजिए :

11,13,15,19, x+2, x+4,30,35,39,46

हल : 

आँकड़े आरोही क्रम में

$\begin{aligned}& 11,13,15,19, x+2, x+4,30,35,39,46 \\n=& 10\end{aligned}$

∴ माध्यिका $=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{10}{2}\right)\right.$ वें $+\left(\frac{10}{2}+1\right)$ वें आँकड़ों का माध्य $=\frac{1}{2}$ [5वें तथा $+6$ वें आँकड़ों का माध्य]

$=\frac{(x+2)+(x+4)}{2}=x+3$

परन्तु  माध्यिका =25, (दिया है)

∴x+3=25

⇒x=22

प्रश्न 10

निम्नलिखित प्रेक्षणों को आरोही क्रम में व्यवस्थित किया गया है । यदि आँकड़ों माध्यक 63 हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए:

29,32,48,50, x, x+2,72,78,84,95

हल : 

यहाँ x=10, (सम संख्या)

$\frac{10}{2}$ वाँ तथा $\left(\frac{10}{2}+1\right)$ वाँ पद अर्थात् 5 वाँ तथा 6 वाँ पद का माध्य

5 वाँ तथा 6 वाँ पद का माध्य $=63=\frac{x+x+2}{2}$

$\Rightarrow$$\begin{aligned}2 x+2 &=126 \\2 x &=126-2=124 \\x &=\frac{124}{2}=62\end{aligned}$

उत्तर

Dr Manohar Re Solution CLASS 9 CHAPTER 14 सांख्यिकी [STATISTICS] प्रश्नावली 14 (F)

 प्रश्नावली 14 (F)

प्रश्न 1

किसी कक्षा में 120 दिनों की अवधि में अनुपस्थित विद्यार्थियों की संख्या निम्नलिखित सारणी में दी गई है

दिनों की संख्या	अनुपस्थित विद्यार्थियों की संख्या
2	0
3	1
10	2
52	3
32	4
15	5
4	6
2	7

प्रतिदिन अनुपस्थित विद्यार्थियों की औसत संख्या ज्ञात कीजिए ।

हल :

$x_i$	$f_i$	$f_i x_i$
2	0	0
3	1	3
10	2	20
52	3	156
32	4	128
15	5	75
4	6	24
2	7	14
योग	28	420

प्रतिदिन अनुपस्थित विद्यार्थियों की औसत संख्या$=\frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}$

$=\frac{420}{28}=15$

 प्रश्न 2

60 परीक्षार्थियों के किसी विषय. में प्राप्त अंक निम्नलिखित सारणी में दिए हैं :

प्राप्तांक (x)	परीक्षार्थियों की संख्या (f)	f×x
1	2	2
3	5	15
4	7	28
5	12	60
6	13	78
7	10	70
9	7	63
10	4	40
	∑ f=N=60	∑ f(x)=356

इन परीक्षार्थियों के प्राप्तांक का माध्य ज्ञात कीजिए।

हल : 

समान्तर माध्य के लिए सारणी

$=\frac{\sum f(x)}{N}=\frac{356}{60}$=5.93

प्रश्न 3

निम्नलिखित सारणी में एक कक्षा के 15 विद्यार्थियों के गणित और विज्ञान के प्राप्तांक दिये हुए हैं :

क्र. सं.	प्राप्तांक (गणित)	प्राप्तांक (विज्ञान)	क्र. सं.	प्राप्तांक (गणित)	प्राप्तांक (विज्ञान)
1	63	65	9	58	44
2	64	61	10	82	57
3	42	58	11	43	70
4	40	59	12	74	34
5	70	37	13	90	80
6	56	82	14	84	70
7	38	53	15	76	80
8	35	60

उपर्युक्त सांख्यिकी की गणना द्वारा ज्ञात कीजिए कि किस विषय की परीक्षा में विद्यार्थियों की उपलब्यि अधिक अच्छी रही ?

क्रम संख्या	प्राप्तांक (गणित) $x_i$	प्राप्तांक (विज्ञान) $x_2$
1	63	65
2	64	61
3	42	58
4	40	59
5	70	37
6	56	82
7	38	53
8	35	60
9	58	44
10	82	57
11	43	70
12	74	34
13	90	80
14	84	70
15	76	80
योग	$\sum x_1=915$	$\sum x_2=910$

गणित में कुल प्राप्तांकों का योग $\Sigma x_{1}=915$

विज्ञान में कुल प्राप्तांकों का योग $\Sigma x_{2}=900$

गणित में प्राप्तांकों का माध्य $=\frac{\Sigma x_{1}}{N}=\frac{915}{15}=61$

विज्ञान में प्राप्तांकों का माध्य $=\frac{\Sigma x_{2}}{N}=\frac{910}{15}=60.6$

अतः गणित की परीक्षा में विद्यार्थियों की उपलब्धि अधिक है ।

प्रश्न 4

निम्नलिखित बारंबारता बंटन से ऊँचाई का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए :

ऊँचाई ( सेमी में )	150	160	158	155	164	168
आदमियों की संख्या	10	14	8	15	7	16

हल : 

समान्तर माध्य के लिए सारणी :

ऊँचाई (x)	आदमियों की संख्या (f)	f×x
150	10	1500
160	14	2240
158	8	1264
155	15	2325
164	7	1148
168	16	2688
योग	$\sum f=70$	$\sum f \times x=11165$

∵समान्तर माध्य 

$=\frac{\sum f \times x}{\Sigma f}=\frac{11165}{70}=159.5$

प्रश्न 5

अज्ञात चर a का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित बंटन का माध्य 31.87 है :

x	12	20	27	33	a	54
f	8	16	48	90	30	8

हल : 

समान्तर माध्य के लिए सारणी : 

x	f	f×x
12	8	96
20	16	320
27	48	1296
33	90	2970
a	30	30a
54	8	432
योग	Σ f=200	Σ f×x=5114+30a

समान्तर माध्य$=\frac{\Sigma f x}{\Sigma f} $

$31.87=\frac{5114+30 a}{200}$

5114+30a=31.87×200=6374

30a=6374-5114

30a=1260

$a=\frac{1260}{30}$

a=42

प्रश्न 6

निम्नलिखित आँकड़ों का माध्य 21 है, P का मान ज्ञात कीजिए:

x	10	15	20	25	35
f	6	10	p	10	8

हल : 

समान्तर माध्य के लिए सारणी :

x	f	f×x
10	6	60
15	10	150
20	p	20p
25	10	250
35	8	280
योग	∑ f=34+p	∑ fx=740+20p

समान्तर माध्य=21

∑ f=34+p

∑ fx=740+20p

समान्तर माध्य$=\frac{\Sigma f x}{\Sigma f}$

$21 =\frac{740+20 p}{34+p}$

(34+p)21=740+20p

34×21+21p=740+20p

21p-20p=740-34×21

अतः p=740-714=26

प्रश्न 7

निम्नलिखित आँकड़ों में बालकों की उम्र दी है। माध्य,उम्न ज्ञात कीजिए :

उम्र (वर्षों में)	27	29	30	33	36	40
बालकों की संख्या	35	26	50	63	42	22

हल :

समान्तर माध्य

$\begin{aligned}&=\frac{\Sigma f x}{\Sigma f} \\&=\frac{7670^{\circ}}{238}=32 \cdot 2\end{aligned}$

अतः माध्य उम्र =32.2 वर्ष ।

प्रश्न 8

निम्न सारणी से एक फैक्टरी में काम कर रहे 60 कर्मचारियों का माध्य वेतन ज्ञात कीजिए :

वेतन (रुपयों में)	कर्मचारियों की संख्या
3000	16
4000	12
5000	10
6000	8
7000	6
8000	4
9000	3
10000	1
कुल योग	60

हल :

वेतन (रुपयों में) x	बारम्बारता  f	fx
3000	16	48000
4000	12	48000
5000	10	50000
6000	8	48000
7000	6	42000
8000	4	32000
9000	3	27000
10000	1	10000
योग	60	305000

माध्य $=\frac{\Sigma f x}{\Sigma x}=\frac{3,05,000}{60}$

=5083.33 रु

Dr Manohar Re Solution CLASS 9 CHAPTER 14 सांख्यिकी [STATISTICS] प्रश्नावली 14 (E)

 प्रश्नावली 14 (E)

प्रश्न 1. 

1 से 10 तक की धनात्मक पूर्ण सम-संख्याओं का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए ।

हल : 

1 से 10 तक की धनात्मक पूर्ण सम संख्याएँ =2,4,6,8,10

समान्तर माध्य 

$\begin{aligned}&=\frac{\Sigma x}{N} \\&=\frac{2+4+6+8+10}{5} \\&=\frac{30}{5}=6\end{aligned}$

अतः समान्तर माध्य $=6$.

प्रश्न 2. 

एक मजदूर की 10 दिनों की मजदूरी 70 रु., 60 रु., 75 रु., 50 रु., 60 रु., 75 रु., 65 रु., 55 रु., 70 रु. और 80 रु. है। उसकी औसत मजदूरी ज्ञात कीजिए।

हल : 

मजदूर की औसत मजदूरी $=\frac{\sum x}{N}$

$\begin{aligned}&=\frac{70+60+75+50+60+75+65+55+70+80}{10} \\&=\frac{660}{10} =66 \end{aligned}$

अत: मजदूर की औसत मजदूरी =66 रु.  उत्तर

प्रश्न 3

8 संख्याओं का समान्तर माध्य 15 है । प्रत्येक संख्या को 3 से गुणा करने पर समान्तर माध्य क्या होगा ?

हल : 

सूत्र समान्तर माध्य $=\frac{\sum x}{8}=15$ (दिया है)

प्रत्येक संख्या को 3 से गुणा करने पर

समान्तर माध्य 

$\begin{aligned}&=\frac{3 \Sigma x}{8} \\ &=3 \times 15 \\ &=45 . \end{aligned}$

प्रश्न 4. 

यदि संख्याओं $2,3,6$ और 5 एवं $x$ का समान्तर माध्य 4 है, तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल :

समान्तर माध्य 

$=\frac{2+3+6+5+x}{5}=4$

$\begin{aligned}\frac{16+x}{5} &=4 \\16+x &=20 \\x &=4 .\end{aligned}$

उत्तर

प्रश्न 5. 

एक क्षेत्र में 35 दिन तक के दैनिक निम्नतम तापमान $\left({ }^{\circ} \mathrm{F}\right.$ में) निम्नलिखित हैं । डिग्री फारेनहाइट में माध्य निम्नतम तापमान ज्ञात कीजिए :

$\begin{array}{lllllllll}66 & 60 & 73 & 80 & 75 & 65 & 69 & 77 & 66 \\ 58 & 69 & 67 & 66 & 69 & 60 & 66 & 72 & 76 \\ 57 & 64 & 72 & 66 & 58 & 69 & 63 & 68 & 74 \\ 70 & 57 & 71 & 71 & 56 & 58 & 60 & 67 & \end{array}$

हल : 

हम जानते हैं कि $\quad \bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}$

यहाँ पर n =35

$\sum_{i=1}^{35} x_{i}$

=66+60+73+80+75+65+69+77+66+58+69+67+66+69+60+66+72+76+57+64+72+66+58+69+63+68+74+70+57+71+71+56+58+60+67=2335

अत:

$\begin{aligned}\bar{x} &=\frac{2335}{35} \\&=\frac{467}{7}=66.71^{\circ} \mathrm{F}\end{aligned}$ (लगभग )

प्रश्न 6

5 संख्याओं का समान्तर माध्य 27 है । यदि एक संख्या भूल से छूटने पर समान्तर माध्य 25 प्राप्त हुआ । छूटी हुई संख्या ज्ञात कीजिए ।

हल : 

$\because$

समान्तर माध्यं $=27, N=5$

तब  समान्तर माध्य $=\frac{\Sigma x}{N}$

या

$\begin{aligned}27 &=\frac{\Sigma x}{5} \\\Sigma x &=27 \times 5 \\&=135\end{aligned}$

लेकिन यह मान $\Sigma x=135$ गलत है, क्योंकि एक संख्या छूट गई है । माना छूटी संख्या $x_{1}$ है तब N=4

∴ समान्तर माध्य $\begin{aligned} &=\frac{\Sigma x-x_{1}}{N} \\ 25 &=\frac{135-x_{1}}{4}\end{aligned}$

या

$\begin{aligned}100 &=135-x_{1} \\x_{1} &=135-100 \\&=35\end{aligned}$

प्रश्न 7. 

संख्याओं $5,10,15,22,20,35$ तथा 40 का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।

हल : 

संख्याएँ 5,10,15,22,20,35,40

समान्तर माध्य 

$\begin{aligned}&=\frac{5+10+15+22+20+35+40}{7} \\&=\frac{147}{7} \\&=21\end{aligned}$

अतः समान्तर माध्य =21.

प्रश्न 8. 

बोर्ड परीक्षा की परीक्षा में $X A$ के 25 विद्यार्थियों का समान्तर माध्य 67 है । $X$ B के 30 विद्यार्थियों का समान्तर माध्य 75 है, तब 55 विद्यार्थियों का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।

हल : 

X A के 25 विद्यार्थियों का समान्तर माध्य $=67$.

तब.$67=\frac{\Sigma X A}{25}$

या $\Sigma \dot{X A}=67 \times 25$

तथा $\mathrm{X} \mathrm{B}$ के 30 विद्यार्थियों का समान्तर माध्य =75

तब

$75=\frac{\Sigma X B}{30}$

या $\Sigma X B=75 \times 30$

∴ 55 विद्यार्थियों का समान्तर माध्य 

$\begin{aligned} &=\frac{67 \times 25+75 \times 30}{55} \\&=\frac{25(67+90)}{55} \\&=\frac{25 \times 157}{55} \\&=\frac{785}{11}\end{aligned}$

=71.4 (लगभग) 

उत्तर

प्रश्न 9. 

यदि संख्याओं $27,23,(x-4), 15,3,(x+4)$ तथा 7 का समान्तर माध्य 15 हो तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल :

समान्तर माध्य

$\begin{aligned} &=\frac{27+23+(x-4)+15+3+(x+4)+7}{7} \\15 &=\frac{75+2 x}{7}\\ 2 x+75 &=105 \\2 x &=105-75 \\2 x &=30 \\x &=15\end{aligned}$

उत्तर

प्रश्न 10. 

कक्षा X A के 25 विद्यार्थियों के प्राप्तांकों का समान्तर माध्य 47 है, $\mathrm{XB}$ के 35 विद्यार्थियों के प्राप्तांकों का समान्तर माध्य 51 है तथा $\mathrm{X} \mathrm{C}$ के 30 विद्यार्थियों के प्राप्तांकों का समान्तर माध्य 53 है । कक्षा $\mathrm{X}$ के तीनों सेक्सनों के विद्यार्थियों के प्राप्तांक का सम्मिलित समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।

हल : 

XA के 25 विद्यार्थियों का प्राप्तांकों का समान्तर माध्य =47

तब 25 विद्यार्थियों के प्राप्तांकों का योग $=47 \times 25=1175$............(1)

$\mathrm{XB}$ के 35 विद्यार्थियों के प्राप्तांकों का समान्तर माध्य $=51$

$\mathrm{X} \mathrm{B}$ के 35 विद्यार्थियों के प्राप्तांकों का समान्तर माध्य $=51$

35 विद्याधियों के प्राप्तांकों का योग  = 35×51=1785..(2)

$\mathrm{XC}$ के 30 विद्यार्थियों के प्राप्तांकों का समान्तर माध्य $=53$

तब 30 विद्यार्थियों के प्राप्तांकों का योग $=30 \times 53=1590$,.............(3)

प्राप्तांकों का योग=1175+1785+1590

=4550

कुल छात्र=25+35+30=90

तीनों सेक्सनों के विद्यार्थियों का सम्मिलित समान्तर माध्य $=\frac{4550}{90}=50.56$.

Dr Manohar Re Solution CLASS 9 CHAPTER 14 सांख्यिकी [STATISTICS] प्रश्नावली 14 (D)

 प्रश्नावली 14 (D)

प्रश्न 1

एक संगठन ने पूरे विश्व में 15-44 (वर्षों में) की आयु वाली महिलाओं में बीमारी और मृत्यु के कारणों का पता लगाने के लिए किए गए सर्वेक्षण से निम्नलिखित आँकड़े (% में) प्राप्त किए :

क्र.सं.	कारण	महिला मृत्यु दर(%)
1	जनन स्वास्थय अवस्था	31.8
2	तंत्रिका मनोविकारी अवस्था	25.4
3	क्षति	12.4
4	हृदय वाहिका अवस्था	4.3
5	श्वसन अवस्था	4.1
6	अन्य कारण	22.0

(i) उपर दी गई सूचनाओं को आलेखीय रूप में निरूपित कीजिए।

(ii) कौन-सी अवस्था पूरी विश्व की महिलाओं के खराब स्वास्थ्य और मृत्यु का बड़ां कारण है?

(iii) अपनी अध्यापिका की सहायता से ऐसे दो कारणों का पता लगाने का प्रयास कीजिए जिनकी ऊपर (ii) में मुख्य भूमिका रही हो।

हल : 

(i) वांछित ग्राफ निम्न प्रकार है :

(i) x-अक्ष पर 15-44 वर्षों की महिलाओं के बीमारी और मृत्यु के कारण तथा y-अक्ष पर महिला मृत्यु दर के रूप में व्यक्त किया गया है

(ii) सारे संसार में महिलाओं की बीमारी और मृत्यु का मुख्य कारण जनन स्वास्थ अवस्था है।

(iii) द्वितीय स्थिति में अन्य मुख्य कारक क्षति व अन्य कारण हैं।

प्रश्न 2

भारतीय समाज के विभिन्न क्षेत्रों में प्रति हजार लड़कों व लड़कियों की (निकटतम दस तक की) संख्या के आँकडे नीचे दिए गए हैं :

क्षेत्र	प्रति हजार लड़कों पर लड़कियों की संख्या
अनुसूचित जाति	940
अनुसूचित जनजाति	970
गैर-अनुसूचित जाति/जनजाति	920
पिछड़े जिले	950
गैर पिछड़े जिले	920
ग्रामीण	930
शहरी	910

(i) ऊपर दी गई सूचनाओं को एक दंड आलेख द्वारा निरूपित कीजिए।

(ii) कक्षा में चर्चा करके बताइए कि आप इस आलेख से कौन-कौन से निष्कर्ष निकाल सकते हैं।

हल :

(i) वांकित दंड आलेख निम्न है :

(ii) उपरोक्त आलेख से निष्कर्ष प्राप्त होता है कि हमारे देश में लड़कियों की संख्या प्रति हजार लड़कों पर कम है।

प्रश्न 3

एक राज्य के विधानसभा के चुनाव में विभिन्न राजनीतिक पार्टियों द्वारा जीती गई सीटों के परिणाम नीचे दिए गए हैं :

राजनीतिक पार्टियाँ	A	B	C	D	E	F
जीती गई सीटैं	75	55	37	29	10	37

(i) मतदान के परिणामों को निरूपित करने वाला एक दण्ड आलेख खींचिए।

(ii) किस राजनैतिक पार्टी ने अधिकतम सीटें जीती हैं?

हल : 

(i) हम दी गई सूचना का दण्ड आलेख निम्न प्रकार से निरुपित करते हैं :

विधानसभा के चुनावों में विभिन्न राजनीतिक पार्टियों द्वारा जीती गई सीटों के परिणाम।

चुना गया पैमाना : y-अक्ष : 1 बड़ा खण्ड 

अर्थात् 1 cm=10 सीटें

(ii) राजनीतिक पार्टी A ने अधिकतम सीटें जीती।

उत्तर

प्रश्न 4

एक पौधे की 40 पत्तियों की लम्बाइयाँ एक मिलीमीटर तक शुद्ध मापी गई हैं और प्राप्त आँकड़ों को निम्नलिखित सारणी में निरूपित किया गया है :

लम्बाई (मिलीमीटर में)	पत्तियों की संख्या
118-126	3
127-135	5
136-144	9
145-153	12
154-162	5
163-171	4
172-180	2

(i) दिए हुए आँकड़ों को निरूपित करने वाला एक आयतचित्र खींचिए।

[संकेत : पहले वर्ग अन्तरालों को संतत बनाइए।

(ii) क्या इन्हीं आंकड़ों को निरूपित करने वाला कोई अन्य उपयुक्त आलेख है?

(iii) क्या यह सही निष्कर्ष है कि 153 मिलीमीटर लम्बाई वाली पत्तियों की संख्या सबसे अधिक है? क्यों?

हल : 

(i) सर्वप्रथम बारम्बारता बंटन को सतत बारम्बारता बंटन में बदलेंगे। एक वर्ग की निम्न सीमा और उससे पहले वर्ग की उच्च सीमा का आधा ज्ञात करने पर

$\frac{1}{2}(127-126)=\frac{1}{2} \times 1=0.5$

अब प्रत्येक वर्ग में बंटन को सतत बनाएँगे। प्रत्येक निम्न सीमा में से 0.5 घटाएँगे और प्रत्येक उच्च सीमा में $0.5$ जोड़ेंगे।

लम्बाई (मिलीमीटर में)	पत्तियों की संख्या
117.5-126.5	3
126.5-135.5	5
135.5-144.5	9
144.5-153.5	12
153.5-162.5	5
162.5-171.5	4
171.5-180-5	2

(ii) हाँ, इन्हीं आँकड़ों को निरूपित करने की एक अन्य उपयुक्त विधि बारम्बारता बहुभुज है।

बारंबारता बहुभुज : सर्वप्रथम हम वर्ग चिह्नों और संगत पत्तियों की संख्या के संगत एक सारणी बनातेहैं।

लम्बाई (मिलीमीटर में)	वर्ग चिह्न	पत्तियों की संख्या
117.5-126.5	122	3
126.5-135.5	131	5
135.5-144.5	140	9
144.5-153.5	149	12
153.5-162.5	158	5
162.5-171.5	167	4
171.5-180-5	176	2

हम क्रमित युग्मों (122,3),(131,5),(140,9), ....(176,2) को बिन्दुओं द्वारा आलेखित करते हैं। इनसे हमें एक बारम्बारता बहुभुज प्राप्त होता है।

(iii) हाँ, यंह सही निष्कर्ष है। क्योंकि वर्ग अन्तराल 145-153 (144.5-153.5) में पत्तियों की संख्या 12 है जो सबसे अधिक है।

प्रश्न 5

नीचे की सारणी में 400 नियॉन लैम्पों के जीवन काल दिए गए हैं:

जीवनकाल (घण्टों में)	लैम्पों की संख्या
300-400	14
400-500	56
500-600	60
600-700	86
700-800	74
800-900	62
900-1000	48

(i) एक आयतचित्र की सहायता से दी हुई सूचनाओं को निरूपित कीजिए।

(ii) कितने लैम्पों के जीवन काल 700 घण्टों से अधिक हैं?

हल : 

(i) प्रश्न में दी गई सूचना को निम्नानुसार आयत चित्र में निरूपित करते हैं :

(ii) 700 घण्टों से अधिक जीवन काल वाले लैम्पों की संख्या

=74+62+48=184 उत्तर

प्रश्न 6

नीचे की दो सारणियों में प्राप्त किए गए अंकों के अनुसार दो सेक्शनों के विद्यार्थियों का बंटन दिया गया है :

सेक्शन A अंक बारम्बारता 0-10 3 10-20 9 20-30 17 30-40 12 40-50 9

सेक्शन B अंक बारम्बारता 0-10 5 10-20 19 20-30 15 30-40 10 40-50 1

दो बारम्बारता बहुभुजों की सहायता से एक ही आलेख पर दोनों सेकशनों के विद्यार्थियों के प्राप्तांक निरूपित कीजिए। दोनों बहुभुजों का अध्ययन करके दोनों सेक्शनों के निष्यादनों की तुलना कीजिए।

हल : 

प्रश्न में दी गई सूचना को बारम्बारता बहुभुज के रूप में निरूपित करेंगे। अतः हम वर्ग-चित्न और संगत सेक्शन A और B की बारम्बारताओं की सारणी बनाते हैं।

अंक	वर्ग-चिह्न	सेक्शन बारम्बारता	सेक्शनबारम्बारता
0-10	5	3	5
10-20	15	9	19
20-30	25	17	15
30-40	35	12	10
40-50	45	9	1

सेकशन A को बारम्बारता बहुभुज के लिए हम क्रमित युग्मों (5,3),(15,9),(25,17),(35,12) और (45,9) को बिन्दुओं द्वारा आलेखित करते हैं।

बिन्दुओं को रेखाखण्डों द्वारा मिलाने पर हमें सेक्शन A का बारम्बारता बहुभुज प्राप्त होता है। 

हम क्रमित युग्म (5,5),(15,19),(25,15),(35,10) और (45,1) को आलेखित करते हैं।

इनको रेखाखण्डों से जोड़ने पर हमें सेक्शन B का बारम्बारता बहुभुज प्राप्त होता है।

 प्रश्न 7

एक क्रिकेट मैच में दो टीमों A और B द्वारा प्रथम 60 गेंदों में बनाए गए रन नीचे दिए गए हैं-

गेंदों की संख्या	टीम A	टीम B
1-6	2	5
7-12	1	6
13-18	8	2
19-24	9	10
25-30	4	5
31-36	5	6
37-42	6	3
43-48	10	4
49-54	6	8
55-60	2	10

बारम्बारता बहुभुजों की सहायता से एक ही आलेख पर दोनों टीमों के आंकड़े निरूपित कीजिए। (संकेत : पहले वर्ग अन्तरालों को संतत बनाइए)

हल :

प्रश्न में दी गई सूचना को बारम्बारता बहुभुज के रूप में निरूपित करने के लिए वर्ग-चिह्न और संगत टीमें A और B के रनों की सारणी बनाते है।

गेदों की संख्या	वर्ग-चिह्न	टीम A द्वारा बनाए रन	टीम B द्वारा बनाए रन
0-6	3	2	5
6-12	9	1	6
12-18	15	8	2
18-24	21	9	10
24-30	27	4	5
30-36	33	5	6
36-42	39	6	3
42-48	45	10	4
48-54	51	6	8
54-60	57	2	10

हम क्रमित युग्मों (3,2),(9,1),(15,8), .....(57,2) को आलेखित करते हैं।

इनको रेखाखण्डों में मिलाने पर हम टीम A के लिए बारम्बारता बहुभुज प्राप्त करते हैं।

हम क्रमित युग्मों (3,5),(9,6).....(57,10) को आलेखित करते हैं, उनको रेखाखण्डों द्वारा मिलाने पर टीम B के लिए बारम्बारता बहुभुज प्राप्त होता है।

प्रश्न 8

एक पार्क में खेल रहे विभिन आयु वर्गों के बच्चों की संख्या का एक यादुच्छिक सर्वेक्षण (random survey) करने पर निम्नलिखित आँकडे प्राप्त हुए :

आयु (वर्षों में)	बच्चों की संख्या
1-2	5
2-3	3
3-5	6
5-7	12
7-10	9
10-15	10
15-17	4

ऊपर दिए आँकड़ों को निरूपित करने वाला एक आयत चित्र खींचिए।

हल : 

वर्ग के आकार बराबर नहीं हैं। हम न्यूनतम वर्ग आकार का वर्ग चुनते हैं। यहाँ न्यूनतम वर्ग आकार 1 है। 

इस वर्ग आकार से अनुसार समायोजित बारम्बारता (आयतों की ऊँचाइयों) की निम्न सारणी प्राप्त होती है

आयु (वर्षों में	बारम्बारता	चौड़ाई	आयत की लम्बाई
1-2	5	1	$\frac{5}{1} \times 1=5$
2-3	3	1	$\frac{3}{1} \times 1=3$
3-5	6	2	$\frac{6}{2} \times 1=3$
5-7	12	2	$\frac{12}{2} \times 1=6$
7-10	9	3	$\frac{9}{3} \times 1=3$
10-15	10	5	$\frac{10}{5} \times 1=2$
15-17	4	2	$\frac{4}{2} \times 1=2$

अब उपरोक्त सारणी का प्रयोग करके आयतचित्र बनाते हैं।

प्रश्न 9

एक स्थानीय टेलीफोन निर्देशिका से 100 कुलनाम (surname) यदुच्छया लिए गए और उनसे अंग्रेजी वर्णमला के अक्षरों की संख्या का निम्न बारम्बारता बंटन प्राप्त किया गया :

वर्णमाला के अक्षरों की संख्या	कुलनामों की संख्या
1-4	6
4-6	30
6-8	44
8-12	16
12-20	4

(i) दी हुई सूचनाओं को निरूपित करने वाला एक आयत चित्र खींचिए।

(ii) वह वर्ग अन्तराल बताइए जिसमें अधिकतम संख्या में कुल नाम हैं।

हल : 

यहाँ वर्ग के आकार बराबर नहीं हैं। हम न्यूनतम वर्ग आकार का वर्ग चुनते हैं। यहाँ न्यूनतम वर्ग आकार 2 है।

इस वर्ग आकार के अनुसार समायोजित बारम्बारता (आयतों की ऊँचाइयाँ) की निम्न सारणी प्राप्त होती है :

वर्णमाला के अक्षरों	बारम्बारता	अन्तराल की चौड़ाई	आयत की लम्बाई
1-4	6	3	$\frac{6}{3} \times 2=4$
4-6	30	2	$\frac{30}{2} \times 2=30$
6-8	44	2	$\frac{44}{2} \times 2=44$
8-12	16	4	$\frac{16}{4} \times 2=8$
12-20	4	8	$\frac{4}{8} \times 2=1$

अब उपरोक्त सारणी का प्रयोग करके आयतचित्र बनाते हैं :

 प्रश्न 10

25 विद्यार्थियों के द्वारा एक प्रश्न को हल करने में लगे समय का विवरण निम्नवत् है :

समय ( सेकण्डों में )	विद्यार्थियों की संख्या
10-20	1
20-30	5
30-40	4
40-50	8
50-60	5
60-70	2
योग	25

ऊपर दिये आँकड़ों के लिए बारम्बारता आयत चित्र बनाइये ।

 हल : 

बारम्बारता:आयत चित्र :

प्रश्न 11

निम्नलिखित आँकड़ों से आयत चित्र एवं बारम्बारता बहुभुज बनाइये :

वर्ग अन्तराल	बारम्बारता
250-260	1
260-270	3
270-280	6
280-290	4
290-300	1

हल : 

आयत चित्र एवं 'बारम्बारता बहुभुज :

प्रश्न 12

मैडीकल प्रवेश परीक्षा में 230 परीक्षार्थियों द्वारा प्राप्त अंकों का बारंबारता वितरण नीचे दिया है : }

अंक (अन्तराल)	बारंबारता
400-450	20
450-500	35
500-550	40
550-600	32
600-650	24
650-700	27
700-750	18
750-800	34
योग	230

इन आँकड़ों को प्रदर्शित करने के लिए एक बारंबारता बहुभुज बनाइए । 

हल : 

बारंबारता बहुभुज :

प्रश्न 13

नीचे दिये हुये आँकड़ों के लिए आयत चित्र एवं बारंबारता बहुभुज खींचिए :

वर्ग अन्तराल	बारंबारता
0-10	10
10-20	10
20-30	5
30-40	15
40-50	5
50-60	10
60-70	20
70-80	5
80-90	15
90-100	5

हल : बारम्बारता बहुभुज :

प्रश्न 14

निम्न तालिका में 240 मजदूरों की मासिक मजदूरी का बारम्बारता बंटन दिया गया है । आयत चित्र बनाइये :

मासिक मजदूरी	मजदूरों की संख्या
325-350	30
350-375	40
375-400	75
400-425	60
425-450	35

हल : 

आयत चित्र :

Dr Manohar Re Solution CLASS 9 CHAPTER 14 सांख्यिकी [STATISTICS] प्रश्नावली 14 (C)

 प्रश्नावली 14 (C)

प्रश्न 1

आठर्वीं कक्षा के 30 विद्यार्थियों के रक्त समूह ये हैं :

A, B, O, O, A B, O, A, O, B, A, O, B, A, O, O,

A, A B, O, A, A, O, O, A B, A, O, B, A, B, O

इन आँकड़ों को एक बारंबारता बंटन सारणी के रूप में प्रस्तुत कीजिए। बताइए कि इन विद्यार्थियों में कौन-सा रक्त समूह अधिक सामान्य है और कौन-सा रक्त समूह विरलत़म रक्त समूह है।

हल : 

बारंबारता सारणी निम्न प्रकार है :

रक्त समूह	विद्यार्थियों की संख्या
A	9
B	6
O	12
AB	3
योग	30

स्पष्ट है कि सबसे अधिक $=O$, सबसे कम $=A B$.

उत्तर

प्रश्न 2

40 इंजीनियरों की उनके आवास से कार्य-स्थल की (किलोमीटर में) दूरियाँ निम्न हैं :

5	3	10	20	25	11	13	7	12	31
19	10	12	17	18	11	32	17	16	2
7	9	7	8	3	5	12	15	18	3
12	4	2	9	6	15	7	6	12

0 - 5 को (जिसमें 5 सम्मिलित नहीं है) पहला अंतराल लेकर कपर दिए गए आँकड़ों से वर्ग-माप 5 वाली एक

वर्गीकृत बारबारता बंटन सारणी बनाइए। इस सारणीबद्ध निरूपण में आपको कौन-से मुख्य लक्षण देखने को मिलते हैं?

हल : 

इन आँकड़ों में न्यूनतम तथा अधिकतम किमी क्रमश: 2 और 32 हैं। यह दिया है कि $0-5$ एक वर्ग अंतराल है और वर्ग विस्तार समान है। अतः वर्ग समान आकार के हैं।

0-5,5-10,10-15,15-20,20-25,25-30 और 30-35

अतः बारंबारता बंटन सारणी निम्नवत् है :

दूरी (किमी में)	मिलान चिन्ह	बारंबारता
0-5	$\require{cancel} \bcancel{||||}$	5
5-10	$\require{cancel} \bcancel{||||} \bcancel{||||}$|	11
10-15	$\require{cancel} \bcancel{||||} \bcancel{||||}$|	11
15-20	$\require{cancel} \bcancel{||||}$ ||||	9
20-25	|	1
25-30	|	1
30-35	||	2
	योग	40

इसमें उच्चतम सीमा इस वर्ग में शामिल नहीं है। 

अतः 0-5 किमी वर्ग में अपने काम पर जाने के लिए 5 किमी. चली दूरी इस वर्ग में नहीं आयेगी। वह अपने वर्ग 5-10 में आयेगी।

यह निष्कर्ष निकला कि 40 में 27 इंजीनियरों का कार्यस्थल उनके घर से 15 किमी से अधिक नहीं है। उत्तर 

प्रश्न 3

30 दिन वाले महीने में एक नगर की सापेक्ष आर्द्रता (\% में) यह रही है :

98.1	98.6	99.2	90.3	86.5	95.3	95.3	92.6	94.2	95.1
89.2	92.3	97.1	93.5	92.7	95.1	97.2	93.3	95.2	97.3
96.2	92.1	84.9	90.2	95.7	98.3	97.3	96.1	92.1	89

(i) वर्ग 84-86, 86-88 आदि लेकर एक वर्गीकृत बारंबारता बंटन बनाइए।

(ii) क्या आप बता सकते हैं कि ये आँकड़े किस महीने या ऋतु से संबधित हैं?

(iii) इन आँकड़ों का परिसर क्या है?

हल :

(i) इन आँकड़ों में न्यूनतम और अधिकतम सापेक्षिक आर्द्रता (% में) 84.9 और 99.2 है और वर्ग 84-86, 86-88 .... समान आकार के हैं। 

 अतः बारम्बारता सारणी है :

सापेक्षिक आर्द्रता (% में)	बारम्बारता
84-86	1
86-88	1
88-90	2
90-92	2
92-94	7
94-96	6
96-98	7
98-100	4
योग	30

(ii) सापेक्षिक आर्द्रता अधिक है। अतः ये आँकड़े वर्षा ऋतु के हैं।  उत्तर

(iii) परिसर = अधिकतम आर्द्रता—न्यूनतम सापेक्ष आर्द्रता =99.2-84.9=14.3 उत्तर

प्रश्न 4

निकटतम सेंटी मीटरों में मापी गई 50 विद्यार्थियों की लंबाइयाँ ये हैं :

161	150	154	165	168	161	154	162	150	151
162	164	171	165	158	154	156	172	160	170
153	159	161	170	162	165	166	168	165	164
154	152	153	156	158	162	160	161	173	166
161	159	162	167	168	159	158	153	154	159

(i) 160-165, 165-170 आदि का वर्ग अंतराले लेकर ऊपर दिए गए आँकड़ों को एक वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी के रूप में निरूपित कीजिए।

(ii) इस सारणी की सहायता से आप विद्यार्थियों की लंबाइयों के संबंध में क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं?

हल : 

(i) इन आँकड़ों में अधिकतम और न्यूनतम लम्बाई क्रमशः 150 सेमी और 173 सेमी हैं। $160-165$ का एक वर्ग अन्तराल दिया है और वर्गमाप समान है।

अतः समान आकार के वर्ग 150-155, 155-160 ....170-175 हैं।

अतः बारंबारता सारणी है :

लम्बाई (सेमी में)	बारंबारता
150-155	12
155-160	9
160-165	14
165-170	10
170-175	5
योग	50

(ii) इस सारणी से यह निष्कर्ष निकलता है कि 50 % से अधिक छत्र 165 सेंमी से छोटे हैं।  उत्तर

प्रश्न 5

एक नगर के वायु में सल्फर डाइ-अक्साइड का संत्र्ण भाग प्रति मिलियन [Parts per million (ppm)] ज्ञात करने के लिए एक अध्ययन किया गया। 30 दिनों क प्राप्त किए गए आँकड़े ये हैं :

0.03	0.08	0.08	0.09	0.04	0.17
0.16	0.05	0.02	0.06	0.18	0.20
0.11	0.08	0.12	0.13	0.22	0.07
0.08	0.01	0.10	0.06	0.09	0.18
0.11	0.07	0.05	0.07	0.01	0.04

(i) 0.00-0.04 , 0.04-0.08 आदि का वर्ग अंतराल लेकर इन आँकड़ों की एक वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी बनाइए।

(ii) सल्फर डाइ-ऑक्साइड की संद्रता कितने दिन 0.11 भाग प्रति मिलियन से अधिक रही?

हल : 

(i) बारम्बारता वितरण सारणी

सल्फर डाइ-आँक्साइ़ड की सान्द्रता	मिलान चिन्ह	बारम्बारता
0.00-0.04	$\require{cancel} \bcancel{||||}$	4
0.04-0.08	$\require{cancel} \bcancel{||||}$ ||||	9
0.08-0.12	$\require{cancel} \bcancel{||||}$ |||	8
0.12-0.16	||	2
0.16-0.20	||||	4
0.20-0.24	||	2
योग		30

(ii) 8 दिन के लिये सल्फर-डाइ-ऑक्साइड की मात्रा 0.11 ppm से अधिक है।

प्रश्न 6

तीन सिक्कों को एक साथ 30 बार उछाला गया। प्रत्येक बार चित (Head) आने की संख्या निम्न है :

0	1	2	2	1	2	3	1	3	0
1	3	1	1	2	2	0	1	2	1
3	0	0	1	1	2	3	2	2	0

ऊपर दिए गए आँकड़ों के लिए एक बारम्बारता बंटन सारणी बनाइए। 

दिए गए आँकड़ों के आधार पर बारम्बारता सारणी निम्नानुसार है :

क्र.सं.	चित आने की संख्या	मिलान चिह्न	बारम्बारता
1	0	$\require{cancel} \bcancel{||||}$ |	6
2	1	$\require{cancel} \bcancel{||||} \bcancel{||||}$	10
3	2	$\require{cancel} \bcancel{||||}$ ||||	9
4	3	$\require{cancel} \bcancel{||||}$	5
			30

प्रश्न 7

50 दशमल स्थान तक शुद्ध π का मान नीचे दिया गया है :

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510

(i) दशमलव बिन्दु के बाद आने वाले 0 से 9 तक के अंकों का एक बारम्बारता बंटन बनाइए।

(ii) सबसे अधिक बार और सबसे कम बार आने वाले अंक कौन-कौन से हैं ?

हल : 

(i) दशमलव बिन्दु के बाद आने वाले 0 से 9 तक के अंकों का बारम्बारता बंटन निम्नानुसार है :

क्र.सं.	अंक	मिलान चिह्न	बारम्बारता
1	0	||	2
2	1	$\require{cancel} \bcancel{||||}$	5
3	2	$\require{cancel} \bcancel{||||}$	5
4	3	$\require{cancel} \bcancel{||||}$ |||	8
5	4	||||	4
6	5	$\require{cancel} \bcancel{||||}$	5
7	6	||||	4
8	7	||||	4
9	8	$\require{cancel} \bcancel{||||}$	5
10	9	$\require{cancel} \bcancel{||||}$ |||	8
Total			50

(ii) सबसे अधिक बारम्बारता 8 है जो 3 व 9 अंक की है तथा सबसे कम बार आने वाला अंक 0 है जो 2 बार आया है।             उत्तर

प्रश्न 8

तीस बच्चों से यह पूंछा गया कि पिछले सप्ताह उन्होंने कितने घण्टों तक टी.वी. के प्रोग्राम देखे। प्राप्त परिणाम' ये रहे हैं :

1	6	2	3	5	12	5	8	4	8
10	3	4	12	2	8	15	1	17	6
3	2	8	5	9	6	8	7	14	12

(i) वर्ग-चौड़ाई 5 लेकर और एक वर्ग अन्तराल को 5-10 लेकर इन अंकड़ों की एक वर्गीकृत बारम्बारता बंटन सारणी बनाइए।

(ii) कितने बच्चों ने सप्ताह में 15 या अधिक घण्टों तक टेलीविजन देखा?

हल : 

(i) वर्ग-चौड़ाई 5 को लेकर बनी बारम्बारता सारणी निम्नानुसार है :

क्र.सं.	अंक	मिलान चिह्न	बारम्बारता
1	0-5	$\require{cancel} \bcancel{||||}\bcancel{||||}$	10
2	5-10	$\require{cancel} \bcancel{||||} \bcancel{||||}$ |||	13
3	10-15	$\require{cancel} \bcancel{||||}$	5
4	15-20	||	2
			30

(ii) बारम्बारता सारणी के अनुसार वर्ग अन्तराल 15-20 में बच्चों की संख्या 2 है। अतः 2 बच्चों ने सप्ताह में 15

या अधिक घण्टों तक टेलीविजन देखा। उत्तर

प्रश्न 9

एक कम्पनी एक विशेष प्रकार की कार-बैट्री बनाती है। इस प्रकार की 40 बैट्रियों के जीवन-काल (वर्षों में) ये रहे हैं :

2.6	3.0	3.7	3.2	2.2	4.1	3.5	3.7
3.5	2.3	3.2	3.4	3.8	3.2	4.6	3.7
2.5	4.4	3.4	3.3	2.9	3.0	4.3	2.8
4.6	3.8	3.2	2.6	3.5	4.2	2.9	3.6

0.5 माप के वर्ग अन्तराल लेकर तथा अन्तराल 2-2.5 से प्रारम्भ करके इन आँकड़ों की एक वर्गीकृत बारम्बारता बंटन सारणी बनाइए।

हल :

दिए गए आँकड़ों के आधार पर वर्गीकृत बारम्बारता बंटन सारणी निम्नानुसार है-

क्र.सं.	अंक	मिलान चिह्न	बारम्बारता
1	2.0-2.5	||	2
2	2.5-3.0	$\require{cancel} \bcancel{||||}$ |	6
3	3.0-3.5	$\require{cancel} \bcancel{||||}\bcancel{||||}$ ||||	14
4	3.5-4.0	$\require{cancel} \bcancel{||||}\bcancel{||||}$ |	11
5	4.0-4.5	||||	4
6	4.5-5.0	|||	3
			40

प्रश्न 10

दिये हुए बारम्बारता बंटन के लिए संचयी बारम्बारता सारणी बनाइये :

वर्ग अन्तराल	बारम्बारता
0-10	7
10-20	10
20-30	23
30-40	51
40-50	6
50-60	3

हल : संचयी बारम्बारता सारणी 

वर्ग अन्तराल	बारम्बारता	संचयी बारम्बारता
0-10	7	7
10-20	10	17
20-30	23	40
30-40	51	91
40-50	6	97
50-60	3	100

प्रश्न 11

उत्तर प्रदेश के प्राथमिक स्कूल के अध्यापकों की आयु ( वर्षों में ) बंटन निम्न है :

आयु (वर्षों में)	अध्यापकों की संख्या
16-20	11
21-25	32
26-30	51
31-35	49
36-40	27
41-45	6
46-50	4

तब निम्न का मान बताइये :

(i) पहले वर्ग अन्तराल की निम्नतम सीमा लिखिए ।

(ii) चौथे वर्ग अन्तराल की सीमाएँ लिखिए ।

(iii) साँतवें वर्ग अन्तराल का वर्ग चिन्ह लिखिए ।

(iv) वर्ग आमाप लिखिए ।

हल : 

(i) पहले वर्ग अन्तराल की निम्नतम सीमा =16

(ii) चौथे वर्ग अन्तराल की निम्न सीमा =31, उच्च सीमा =35

(iii) साँतवें वर्ग अन्तराल का वर्ग चिन्ह $=\frac{46+50}{2}=\frac{96}{2}=48$.

(iv) वर्ग आमाप =5

प्रश्न 12

निम्नलिखित संचयी बारंबारता सारणी से बारंबारता सारणी तैयार कीजिए :

वर्ग अन्तराल	0-4	4-8	8-12	12-16
संचयी बारंबारता	3	11	18	20

हल : 

बारम्बारता सारणी : 

वर्ग अन्तराल	संचयी बारंबारता	बारंबारता
0-4	3	3
4-8	11	11-3=8
8-12	18	18-3-8=7
12-16	20	20-3-8-7=2

प्रश्न 13

एक टोकरी में से यादृच्छिक (random) रूप से चुने गये 40 आमों के भार (ग्रामों ) में नीचे दिये गये हैं :

45	55	30	110	75	100	40	60
65	40	100	75	70	60	70	95
85	80	35	45	40	50	60	65
55	45	30	90	85	75	85	75
70	110	100	80	70	55	30	70

संचयी बारम्बारता सारणी बनाइए ।

हल : 

संचयी बारम्बारता सारणी :

भार (ग्राम में)	टैली चिन्ह	बारम्बारता	संचया बारम्बारता
30-45	$\require{cancel} \bcancel{||||}$ ||	7	7
45-60	$\require{cancel} \bcancel{||||}$ ||	7	14
60-75	$\require{cancel} \bcancel{||||}\bcancel{||||}$	10	24
75-90	$\require{cancel} \bcancel{||||}$ ||||	9	33
90-105	$\require{cancel} \bcancel{||||}$	5	38
105-120	||	2	40

प्रश्न 14

निम्नलिखित से एक सरल बारम्बारता सारणी बनाइये :

प्राप्तांक	परीक्षार्थियों की संख्या
0 से अधिक	100
10 से अधिक	85
20 से अधिक	71
30 से अधिक	39
40 से अधिक	11
50 से अधिक	0

हल :

सरल बारम्बारता सारणी :

प्राप्तांक का अन्तराल	बारम्बारता
0-10	15
10-20	14
20-30	32
30-40	28
40-50	11

प्रश्न 15

निम्न संचयी बारम्बारता सारणी से बारम्बारता सारणी बनाइये :

अंक	संचयी बारम्बारता
5 से कम	2
10 से कम	7
15 से कम	14
20 से कम	21
25 से कम	26
30 से कम	27

हल : 

बारम्बारता सारणी : 

अंक	संचयी बारम्बारता	बारम्बारता
0-5	2	2
5-10	7	5
10-15	14	7
15-20	21	7
20-25	26	5
25-30	27	1