Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 9 त्रिकोणमिति के कुछ अजुप्रयोग (Some Applications of Trigonometry) प्रश्नावली 9 (B)

 प्रश्नावली 9 (B)

बहुविकल्पीय प्रश्न

निम्नलिखित प्रश्नों में सही, विकल्प का चयन कर अपनी अभ्यास पुस्तिका में लिखिए।

प्रश्न 1.

 एक ऊध्र्वाधर खम्भे की परछाई, खम्भे की ऊँचाई के बराबर है। सूर्य का उन्नयन कोण होगा :

(i) $45^{\circ}$

(ii) $30^{\circ}$

(iii) $60^{\circ}$

(iv) $50^{\circ}$.

हल : 

 tan (उन्नयन कोण) = खम्भे की ऊँचाई / खम्भे की परछाई

$=\frac{x}{x}=1=\tan 45^{\circ}$

उन्नयन कोण $=45^{\circ}$

अतः विकल्प (i) $45^{\circ}$.

प्रश्न 2. 

किसी स्तम्म के शिखर के उन्नयन कोण की tangent उसकी छाया के शीर्ष बिन्दु पर $\frac{3}{4}$ है, तो स्तम्म की ऊँचाई और छाया की लम्बाई में अनुपात है ?

(i) $3: 4$

(ii) $2: 3$

(iii) $1: 2$

(iv) $4: 5 .$

हल : 

दिया है : $\tan \theta=\frac{3}{4}$

माना स्तम्भ की ऊँचाई $=\mathrm{AB}=h$

छाया की लम्बाई $=\mathrm{BC}=x$

$\begin{aligned}&\tan \theta=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{CB}} \Rightarrow \frac{h}{x}=\frac{3}{4} \\&h: x=3: 4\end{aligned}$

अतः विकल्प (i) $3: 4$.

प्रश्न 3. 

50 मीटर ऊँची एक मीनार के शिखर से पृथ्वी पर एक बिन्दु का अवनमन' कोण $30^{\circ}$ है। बिन्दु की मीनार के पाद से दूरी होगी :

(i) $\frac{50}{\sqrt{3}}$ मीटर

(ii) $50 \sqrt{3}$ मीटर

(iii) 25 मीटर

(iv) $25 \sqrt{2}$ मीटर।

हल : 

माना बिन्दु की मीनार के पाद से दूरी

CB=x मीटर

मीनार की ऊँचाई =AB=50 मीटर 

$\angle \mathrm{ACB}=30^{\circ}$

$\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\begin{aligned}\tan 30^{\circ} &=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{CB}}=\frac{50}{x} \\\frac{1}{\sqrt{3}} &=\frac{50}{x}\end{aligned}$

$x=50 \sqrt{3}$

अतः विकल्प (ii) $50 \sqrt{3}$ मीटर।

प्रश्न 4.

आँधी के कारण किसी वृक्ष का ऊपरी भाग टूटकर क्षैतिज तल पर 45° का कोण बनाता है । यदि वृक्ष का शिखर क्षैतिज तल पर जड़ से 10 मीटर की दूरी पर मिलता हो, तो वृक्ष की ऊँचाई थीः

(i) 10 मीटर 

(ii) 10√2 मीटर 

(iii) $10(\sqrt{2}+1)$ मीटर 

(iv) $10(\sqrt{2}-1)$ मीटर 

हल :

 

माना AC वृक्ष हैं, जो B से टूट गया हैं । इसका AB भाग पृथ्वी के बिन्दु D से लगा हैं।

DC=10 मीटर 

समकोण ΔBCD में,

$cos 45^{\circ}=\frac{CD}{BD}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{10}{BD}$...(1)

∵BD=10√2

∴∠B=180°-(45°+90°)

∠B=45°

∴∠CBD=∠CDB

अतः CD=BC

∴BC=10

तथा BD=10√2

अतः वृक्ष AC की ऊँचाई=AB+BC=x+y

=(10+10√2)

=10(1+√2) मीटर।

अतः विकल्प (iii) 10(1+√2)

प्रश्न 5.

एक झण्डे के लट्ठे के पाद से 50 मीटर की दूरी पर एक बिन्दु A है। यदि ∠PAB=60° तो झण्डे की ऊँचाई हैः

(i) 50√3 मीटर

(ii) 25 मीटर

(iii) 60 मीटर

(iv) 50√2 मीटर

हलः 

माना झण्डे की ऊँचाई=PB=h

∠PAB=60° , AB=50 मीटर

ΔPAB में , tan 60°$=\frac{h}{50}$=√3

h=50√3

अतः विकल्प (i) 50√3 मीटर

प्रश्न 6. 

समुद्र के किनारे स्थित किसी पहाड़ी से देखने पर एक नाव का, जो पहाड़ी की ओर जा रही है अवनमन कोण $30^{\circ}$ का है। 4 मिनट बाद उसका अवनमन कोण $60^{\circ}$ हो जाता है। उसे किनारे तक पहुँचने में कुल लगा समय होगा :

(i) 3 मिनट

(ii) 2 मिनट

(iii) 12 मिनट

(iv) 8 मिनट।

हल: 

$\begin{aligned} \angle \mathrm{LAB} &=30^{\circ} \\ \angle \mathrm{ALB} &=30^{\circ} \\ \angle \mathrm{BLN} &=\left\{180^{\circ}-\left(60^{\circ}+90^{\circ}\right)\right\} \\ &=30^{\circ} \end{aligned}$

समकोण $\Delta \mathrm{LNB}$ में, $\frac{\mathrm{BN}}{\mathrm{LB}}=\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}$

$\mathrm{BN}=\frac{1}{2} \times \mathrm{LB}=\frac{1}{2} \mathrm{AB} \quad[\because \angle \mathrm{LAB}=\angle \mathrm{ALB} ; \mathrm{AB}=\mathrm{LB}]$

अर्थात् $\mathrm{BN}$ दूरी $\mathrm{AB}$ की आधी है।

नाव को किनारे तक पहुँचने में समय $\frac{4}{2}=2$ मिनट और लगेगा।

 अतः विक (ii) 2 मिनट।

प्रश्न 7.

एक 80 मी. चौड़ी सड़क के दोनों और आमने-सामने समान लंबाई वाले दो खंभे लगे हुए हैं। इन दोनों खंभों के बीच सड़क के एक बिंदु से खंमों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः $60^{\circ}$ और $30^{\circ}$ है। खंभों की ऊँचाई और खंभों से बिंदु की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना $\mathrm{AB}$ तथा $\mathrm{CD}$ दो खंभे हैं।

$\mathrm{AB}=h$ मीटर

$\mathrm{CD}=h$ मीटर

माना सड़क पर एक बिन्दु P इस प्रकार लिया है कि :

$\begin{aligned}&\mathrm{AP}=x \text { मी. } \\&\mathrm{CP}=(80-x) \text { मी. }\end{aligned}$

अब समकोण $\triangle \mathrm{APB}$ में,

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AP}} &=\tan 30^{\circ} \\ \frac{h}{x} &=\sqrt{3} \text { or } h=x \sqrt{3} \end{aligned}$.........(1)

पुनः समकोण $\triangle \mathrm{CPD}$ में हमें प्राप्त है :

$\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{CP}}=\tan 30^{\circ}$

$\begin{aligned} \frac{h}{(80-x)} &=\frac{1}{\sqrt{3}} \\ h &=\frac{80-x}{\sqrt{3}} \end{aligned}$......(2)

संमींकरण' (1) और (2) से,

$\begin{aligned} \sqrt{3} x &=\frac{80-x}{\sqrt{3}} \\ \sqrt{3} \times \sqrt{3} \times x &=80-x \\ 3 x &=80-x \\ 3 x+x &=80 \\ 4 x &=80 \\ x &=\frac{80}{4}=20 \\ 80-x &=80 \div 20=60 \end{aligned}$

अब, समीकरण (1) से हमें प्राप्त होता है,

$h=\sqrt{3} \times 20=20 \sqrt{3} \text { मी. }$

अतः अभीष्ट बिन्दु की स्थिति पहले खंभे से 20 मीटर और दूसरे खंभे से 60 मीटर की दूरी पर तथा प्रत्येक खंभे की ऊँचाई $=20 \sqrt{3}$ मीटर है। उत्तर

प्रश्न 8. 

एक नहर के एक तट पर एक टीवी टॉवर ऊर्ध्वाघरतः खड़ा है। टॉवर के ठीक सामने दूसरे तट के एक अन्य बिंदु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण $60^{\circ}$ है। इसी तट पर इस बिंदु से 20 मी. दूर और इस बिंदु को मीनार के पाद से मिलाने वाली रेखा पर स्थित एक अन्य बिंदु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण $30^{\circ}$ है। (देखिए आकृति में) टॉवर की ऊँचाई और नहर की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना T. V. टावर की ऊँचाई $\mathrm{AB}=h$ मीटर माना दो बिन्दु $C$ और $D$ इस प्रकार हैं कि :

$\mathrm{BC}=x$ $\mathrm{CD}=20$

अब, समकोण' $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}} &=\tan 60^{\circ} \\ \frac{h}{x} &=\sqrt{3} \\ h &=\sqrt{3} \times x \end{aligned}$..........(1)

पुनः समकोण' $\triangle \mathrm{ABD}$ में,

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BD}}=\tan 30^{\circ}$

$\because \mathrm{AB}=h$ और $\mathrm{BD}=x+20$ हो, तब

$\begin{aligned} \frac{h \cdot}{x+20} &=\frac{1}{\sqrt{3}} \\ h &=\frac{x+20}{\sqrt{3}} \end{aligned}$..........(2)

समीकरण (1) और (2) से हमें प्राप्त होता है :

$\begin{aligned} \sqrt{3} x &=\frac{x+20}{\sqrt{3}} \\ 3 x &=x+20 \text { or } 3 x-x=20 \\ 2 x &=20 \text { or } x=\frac{20}{2}\end{aligned}$

=10  मी.  

अब समीकरण (i) से हमें प्राप्त होता है। 

$h=\sqrt{3} \times 10$

$=10 \sqrt{3}$

मीनार की ऊँचाई $=10 \sqrt{3}$ मी.

नहर की चौड़ाई $=10$ मी.।

प्रश्न 9.

1.2 मी. लंबी एक लड़की भूमि से $88.2$ मी. की ऊँचाई पर एक क्षैतिज रेखा में हवा में उड़ रहे गुब्बारे को देखती है। किसी भी क्षण लड़की की आँख से गुबारे का उन्नयन कोण $60^{\circ}$ है। कुछ समय बाद उन्नयन कोण घटकर $30^{\circ}$ हो जाता है।(देखिए आकृति में) इस अंतराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना बिन्द्ध ट प्रेक्षक (लडकी) की स्थिति को दर्शाता है।

$\mathrm{A}$ और $\mathrm{P}$ गुब्बारे की दो स्थितियाँ है।

 यहाँ, $\mathrm{PD}=\mathrm{AB}=\mathrm{PF}-\mathrm{DF}$

$=88.2$ मी. $-1.2$ मी $=87$ मी.

अब, समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\tan 60^{\circ}$

$\frac{87}{\mathrm{BC}}=\sqrt{3}$ या $\mathrm{BC}=\frac{87}{\sqrt{3}}$ मी.

समकोण' $\triangle$ PDC में,

$\frac{P D}{C D}=\tan 30^{\circ}$

$\frac{87}{\mathrm{CD}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ या $\mathrm{CD}=87 \sqrt{3}$

$\begin{aligned} \mathrm{BD} &=\mathrm{CD}-\mathrm{BC}=87 \sqrt{3}-\frac{87}{\sqrt{3}} \\ &=87\left[\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right] \\ &=87 \times\left(\frac{3-1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{2 \times 87}{\sqrt{3}} \cdot \text { मी. } \\ &=\frac{2 \times 87}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ &=\frac{2 \times 87 \times \sqrt{3}}{3} \end{aligned}$

$=2 \times 29 \times \sqrt{3}$ मी.

इस प्रकार गुब्बारे की दोनों स्थितियों की अभीष्ट दूरी $=58 \sqrt{3}$ मी.।

प्रश्न 10. 

एक सीधा राजमार्ग एक मीनार के पाद तक जाता है। मीनार के शिखरं पर खड़ा एक आदमी एक कार को $30^{\circ}$ के अवनमन कोण पर देखता है जो कि मीनार के पाद की और एक समान चाल से जाता है। छ: सेकेंड बाद कार का अवनमन कोण $60^{\circ}$ हो गया। इस बिंदु से मीनार के पाद तक पहुँचने में कार द्वारा लिया गया समय ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना $\mathrm{AB}$, मीनार की ऊँचाई को व्यक्त करता है। $\mathrm{C}$ और $\mathrm{D}$ कार की दो स्थितियों को दर्शाते है। समकोण $\triangle \mathrm{ABD}$ में,

$\begin{aligned} \frac{A B}{A D} &=\tan 60^{\circ} \\ \frac{A B}{A D} &=\sqrt{3} \\ A B &=\sqrt{3} \cdot A D \ldots(1) \end{aligned}$

समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\tan 30^{\circ}$

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ या $\mathrm{AB}=\frac{\mathrm{AC}}{\sqrt{3}}$..........(2)

समीकरण (1) और (2) से,

$\begin{aligned} \sqrt{3} \mathrm{AD} &=\frac{\mathrm{AC}}{\sqrt{3}} \\ \mathrm{AC} &=\sqrt{3} \times \sqrt{3} \times \mathrm{AD}=3 \mathrm{AD} \\ \mathrm{CD} &=\mathrm{AC}-\mathrm{AD} \\ &=3 \mathrm{AD}-\mathrm{AD}=2 \mathrm{AD} \end{aligned}$

$\therefore$ दूरी 2AD को तय करने में लगा समय =6 सेकण्ड

$\therefore$ दूरी AD को तय करने में लगा समय $=\frac{6}{2}$ सेकण्ड $=3$ सेकण्ड अतः कार को D से मीनार तक पहुँचने में लगा अभीष्ट समय $=3$ सेकण्ड।

Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 9 त्रिकोणमिति के कुछ अजुप्रयोग (Some Applications of Trigonometry) प्रश्नावली 9 (A)

 प्रश्नावली 9 (A)

प्रश्न 1. 

भूमि के एक बिंदु से, जो मीनार के पाद - बिंदु से 30 मी. की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण $30^{\circ}$ है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ की भुजा $\mathrm{AB}=$ मीनार की ऊँचाई $=h$. बिन्दु $\mathrm{C}$ की मीनार से दूरी $=30$ मी.

$\therefore$

$\mathrm{AC}=30$ मी.

अब समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}} &=\tan 30^{\circ} \\ \frac{h}{30} &=\frac{1}{\sqrt{3}} \\ h &=\frac{30}{\sqrt{3}}=\frac{30}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=10 \sqrt{3} \quad\left[\because \tan 30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}\right] \end{aligned}$

अतः मीनार की अभीष्ट ऊँचाई $=10 \sqrt{3}$ मी.।

प्रश्न 2. 

आँधी आने से एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाता है। पेड़ के पाद-बिंदु की दूरी, जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छुता है, 8 मी. है। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना पेड़ की कुल ऊँचाई = OP

माना यह बिन्दु $\mathrm{A}$ से टूटता है और इसका शिखर जमीन को $\mathrm{B}$ पर छूता है।

अब, समकोण' $\triangle \mathrm{AOB}$ में,

$\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{OB}}=\tan 30^{\circ}$

$\begin{aligned} \tan 30^{\circ} &=\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{OB}} &=\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{\mathrm{AO}}{8}=\frac{1}{\sqrt{3}} & \text { or} \mathrm{AO}=\frac{8}{\sqrt{3}} \\ \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{OB}} &=\sec 30^{\circ} \\ \frac{\mathrm{AB}}{8} &=\frac{2}{\sqrt{3}} \\ \mathrm{AB} &=\frac{2 \times 8}{\sqrt{3}}=\frac{16}{\sqrt{3}} \end{aligned}$

अब पेड़ की ऊँचाई 

$O P=O A+A P=O A+A B$

$=\frac{8}{\sqrt{3}}+\frac{16}{\sqrt{3}} \quad[\because \mathrm{AB}=\mathrm{AP}]$

$=\frac{24}{\sqrt{3}}=\frac{24}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ मी $=8 \sqrt{3}$ मी.

अतः पेड़ की अभीष्ट ऊँचाई $=8 \sqrt{3}$ मी.।

प्रश्न 3

एक मकान के आधार से एक मीनार के शीर्ष के उन्नयन कोण की माप $60^{\circ}$ तथा उसी मकान के शीर्ष से उसी मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण $45^{\circ}$ है। मकान तथा मीनार के बीच की दूरी 20 मीटर है। मकान तथा मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना मकान की ऊँचाई

AB=x मी. 

तथा मीनार की ऊँचाई CD=H  मी.

∠CBD=60° , ∠CAE=45°

BD=AE=20 मी.

$\triangle \mathrm{CBD}$ से,$\tan 60^{\circ}=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{H}}{20}$

$\begin{aligned}\sqrt{3} &=\frac{\mathrm{H}}{20} \\\mathrm{H} &=20 \sqrt{3}=20 \times 1.732 \\&=34.640\end{aligned}$

मीनार की ऊँचाई =34.64 मीटर

$\triangle \mathrm{CAE}$ से, $\tan 45^{\circ}=\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{AE}}=\frac{\mathrm{H}-x}{20}$

$\begin{aligned}1 &=\frac{34.64-x}{20} \\20 &=34.64-x \\x&=34.64-20 \end{aligned}$

x=14.64 मीटर

मकान की ऊँचाई =14.64 मीट़र

मीनार की ऊँचाई =34.64 मीटर।

प्रश्न 4.

 जिस समय सूर्य का उन्नयन कोण $30^{\circ}$ था एक स्तम्भ की परछाई 20 मीटर नापी गई। स्तम्म की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना स्तम्भ की ऊँचाई $\mathrm{AB}=h$ मीटर

स्तम्भ की परछाई $=\mathrm{BC}=20$ मीटर

अब समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\tan 30^{\circ}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{h}{20}$

$\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{3}} &=\frac{h}{20} \\h &=\frac{20}{\sqrt{3}} \\&=\frac{20 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}\end{aligned}$

$=\frac{20 \sqrt{3}}{3}$ मीटर

स्तम्भ की ऊँचाई $=\frac{20 \sqrt{3}}{3}$ मीटर।

प्रश्न 5.

 यदि एक मीनार की छाया उसकी लम्बाई की $\sqrt{3}$ गुनी है, तो सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए।

माना  मीनार की लम्बाई =AB तथा छाया=BC 

 तथा प्रश्नानुसार, $\mathrm{BC}=\sqrt{3} \mathrm{AB} $

माना उन्नयन कोण θ हैं । 

तब $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\tan \theta=\frac{A B}{B C}=\frac{A B}{\sqrt{3} A B}$

$\begin{aligned} \tan \theta &=\frac{1}{\sqrt{3}}=\tan 30^{\circ} \\ \theta &=30^{\circ} \end{aligned}$

प्रश्न 6. 

सूर्य के प्रकाश में 45 मीटर ऊँची ऊंर्ध्वाधर मीनार की छाया $45 \sqrt{3}$ मीटर की है। सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना  उर्ध्वाधर मीनार की ऊँचाई=AB=45 मीटर

छाया=BC$=45 \sqrt{3}$ मीटर

 

माना सूर्य का उन्नयन कोण

$\angle \mathrm{ACB}=\theta$

अब समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\tan \theta=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{45}{45 \sqrt{3}}$

$\begin{aligned}\tan \theta &=\frac{1}{\sqrt{3}}=\tan 30^{\circ} \\\theta &=30^{\circ}\end{aligned}$

सुर्य का उन्नयन कोण $=30^{\circ}$.

प्रश्न 7.

सर्कस का एक कलाकार एक 20 मी. लंबी डोर पर चढ़ रहा है जो अच्छी तरह से तनी हुई है और भूमि पर सीधे लगे खंभे के शिखर से बंधा हुआ है। यदि भूमि स्तर के साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण $30^{\circ}$ का हो तो खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति में )।

हल : 

आकृति में $\mathrm{AC}=20$ मीटर वह डोर है जिस पर सर्कस का कलाकार चढ़ता है। समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में, हमें प्राप्त है कि

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}} &=\sin 30^{\circ} \\ \sin 30^{\circ} &=\frac{1}{2} \\ \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}} &=\frac{1}{2} \text { or } \frac{\mathrm{AB}}{20}=\frac{1}{2} \end{aligned}$ $[\because \mathrm{AC}=20$ मी.]

$\mathrm{AB}=20 \times \frac{1}{2}=10$ मी.

अतः खंभे की अभीष्ट ऊँचाई 10 मी. है।

प्रश्न 8. 

एक ठेकेदार बच्चों को खेलने के लिए एक पार्क में दो फिसलनपट्टी लगाना चाहती है। 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए वह एक ऐसी फिसलनपट्टी लगाना चाहती है जिसका शिखर $1.5$ मी. की ऊँचाई पर हो और भूमि के साथ $30^{\circ}$ के कोण पर झुका हुआ हो, जबकि इससे अधिक उम्र के बच्चों के लिए वह 3 मी. की ऊँचाई पर एक अधिक ढाल की फिसलनपट्टी लगाना चाहती है, जो भूमि के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाती हो। प्रत्येक स्थिति में फिसलनपट्टी की लंबाई क्या होनी चाहिए?

हल : 

माना छोटे बच्चों के लिए फिसलनपट्टी DE और बड़े बच्चों के लिए फिसलनपट्टी AC हो, तब समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\mathrm{AB}=3$ मी.

$\mathrm{AC}=$ फिसलन पट्टी

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\sin 60^{\circ}$

$\frac{3}{\mathrm{AC}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\mathrm{AC}=\frac{2 \times 3}{\sqrt{3}}=2 \sqrt{3}$ मी.

पुन : समकोण $\Delta \mathrm{BDE}$ में,

$\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{BD}}=\operatorname{cosec} 30^{\circ}$

$\begin{aligned}&\frac{\mathrm{DE}}{1.5}=2 \\&\mathrm{D} \mathrm{E}=2 \times\end{aligned}$

D $\mathrm{E}=2 \times 1.5$ मी या $\mathrm{DE}=3$ मी.

अतः फिसलन पटिटयों की लम्बाई 3 मी. और $2 \sqrt{3}$ मी. है।

प्रश्न 9. 

60 मीटर ऊँची किसी पहाड़ की चोटी से किसी मीनार की चोटी और आघार के अवनमन कोण क्रमशः $30^{\circ}$ और $60^{\circ}$ है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना $\quad$ पहाड़ की ऊँचाई $=\mathrm{AB}=60$ मीटर

तथा मीनार की ऊँचाई $=\mathrm{PQ}=h$

मीनार की चोटी और आधार के कोण, $\angle \mathrm{APC}=30^{\circ}$ तथा $\angle \mathrm{AQB}=60^{\circ}$

माना $\mathrm{QB}=x$ मीटर

अब $\triangle \mathrm{AQB}$ में, $\tan 60^{\circ}=\frac{\dddot A B}{\mathrm{QB}}=\frac{60}{x}$

$\begin{aligned} \sqrt{3} &=\frac{60}{x} \\ x=\frac{60}{\sqrt{3}} &=\frac{60}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \end{aligned}$

$=20 \sqrt{3} $ मीटर 

पुन : $\triangle \mathrm{APC}$ में, $\tan 30^{\circ}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{PC}}=\frac{60-h}{20 \sqrt{3}}$

$\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{3}} &=\frac{60-h}{20 \sqrt{3}} \\ 1 &=\frac{60-h}{20} \\ 20 &=60-h \\ h &=60-20  \end{aligned}$

=40 मीटर 

अतः : मीनार की ऊँचाई $=40$ मीटर।

प्रश्न 10.

 भूमि से 60 मी. की ऊँचाई पर एक पतंग उड़ रही है। पतंग में लगी डोरी को अस्थायी रूप से भूमि के एक बिंदु से बांघ दिया गया है। भूमि के साथ डोरी का झुकाव $60^{\circ}$ है। यह मानकर कि डोरी में कोई ढील नहीं है, डोरी की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना, समकोण ΔAOB में,

OB=डोरी की लम्बाई

AB=60 मी. 

पतंग की ऊँचाई

$\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{AB}}=\operatorname{cosec} 60^{\circ}$

$\frac{\mathrm{OB}}{60}=\frac{2}{\sqrt{3}}$

$\mathrm{OB}=\frac{2 \times 60}{\sqrt{3}}$

$\mathrm{OB}=\frac{120 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}=40 \sqrt{3}$

इस प्रकार डोरी की अमीष्ट लम्बाई $40 \sqrt{3}$ मी. है।

प्रश्न 11. 

एक हवाई जहाज से किसी सड़क पर एक ही ओर स्थित दो गाँवों के अवनमन' कोण $45^{\circ}$ और $60^{\circ}$ देखे गए। यदि गाँवों के बीच की दूरी 2 किमी हो, तो हवाई जहाज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना हवाई जहाज की ऊँचाई

AB=h  किमी

DC=2 किमी

∠ADB=45° , ∠ACB=60° 

CB=x किमी

$\triangle \mathrm{ADB}$ में,

$\tan 45^{\circ}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DB}}=\frac{h}{2+x}$

$\begin{aligned} 1 &=\frac{h}{2+x} \\ 2+x &=h \end{aligned}$.........(1)

$\begin{aligned} \tan 60^{\circ} &=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{CB}}=\frac{h}{x} \\ \sqrt{3} &=\frac{h}{x} \text { or } x=\frac{h}{\sqrt{3}} \end{aligned}$..........(2)

समीकरण (1) तथा (2) से,

$\begin{aligned} 2+\frac{h}{\sqrt{3}} &=h \\ 2 &=h-\frac{h}{\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{3}-1) h}{\sqrt{3}} \\ h &=\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} \\ &-\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} \\ &=\frac{2(3+\sqrt{3})}{3-1} \end{aligned}$

$\begin{aligned}h &=\frac{2(3+1.732)}{2} \\&=4.732\end{aligned}$

अतः हवाई जहाज की ऊँचाई $=4.73$ किमी।

प्रश्न 12

. 1.5 मी. लंबा एक लड़का 30 मी. ऊँचे एक भवन से कुछ दूरी पर खड़ा है। जब वह ऊँचे भवन की ओर जाता है तब उसकी आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण $30^{\circ}$ से $60^{\circ}$ हो जाता है। बताइए कि वह भवन की ओर कितनी दूरी तक चलकर गया है।

हल : 

माना भवन की ऊँचाई $=\mathrm{OA}$

यहाँ $\mathrm{BE}$ एक लड़का है, अर्थात् $\mathrm{BE}=\mathrm{OD}$

दिया है : $\mathrm{AO}=30$ मीटर, तब

$\begin{aligned}\mathrm{AD} &=\mathrm{AO}-\mathrm{OD} \\&=(30-1.5)\end{aligned}$

=28.5 मीटर 

अब, समकोण $\triangle \mathrm{ABD}$ में,

$\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}}=\tan 30^{\circ}$

$\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\mathrm{BD}=\mathrm{AD} \sqrt{3}=28.5 \sqrt{3}$

पुनः समकोण $\Delta \mathrm{ACD}$ में,

$\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{CD}}=\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}$

$\begin{aligned} \mathrm{CD} &=\frac{\mathrm{AD}}{\sqrt{3}}=\frac{28.5}{\sqrt{3}} \\ \mathrm{BC} &=\mathrm{BD}-\mathrm{CD}=28.5 \sqrt{3}-\frac{28.5}{\sqrt{3}} \\ \mathrm{BC} &=28.5\left[\begin{array}{ll}\sqrt[1]{3}-\frac{1}{\sqrt{3}} & \\ & =28.5\left[\frac{3-1}{\sqrt{3}}\right]\end{array}\right.\end{aligned}$

$=28.5 \times \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$=\frac{28.5 \times 2 \times \sqrt{3}}{3}$

$=9.5 \times 2 \times \sqrt{3}=19 \sqrt{3}$

अतः भवन की ओर लड़के द्वारा चली गई दूरी $=19 \sqrt{3}$ मी.।

प्रश्न 13.

 एक अपूर्ण मन्दिर के आधार से 30 मीटर दूर स्थित किसी बिन्दु से उसके शिखर का उन्नयन

कोण $30^{\circ}$ है। मन्दिर कितना ऊँचा और बनाया जाय कि उसी बिन्दु पर उन्नयन कोण $45^{\circ}$ हो जाय? (दिया है, $\sqrt{3}=1.732)$

हल : 

$\mathrm{AB}$ मन्दिर है। $\mathrm{PB}=30$ मीटर, मन्दिर $\mathrm{AB}$ के शिखर का उन्नयन कोण $\mathrm{APB}=30^{\circ}$, मानलो मन्दिर $x$ मीटर ऊँचा और बनाया जाता है (जहाँ $\mathrm{AC}=x$ ) जिससे उसी बिन्दु $\mathrm{P}$ पर उन्नयन कोण $\mathrm{CPB}=45^{\circ}$ हो जाता है।

समकोण $\triangle \mathrm{APB}$ में, $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PB}}=\tan 30^{\circ}$

$\begin{aligned} \frac{A B}{30} &=\frac{1}{\sqrt{3}} \\ A B &=\frac{30}{\sqrt{3}} \\ &=10 \sqrt{3} \text { मीटर } \end{aligned}$.........(1)

अब समकोण $\Delta \mathrm{CBP}$ में,

$\tan 45^{\circ}=\frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{PB}}=\frac{x+\mathrm{AB}}{30}$

$x+A B=30$.....(2)

समीकरण' (2) में (1) से $\mathrm{AB}$ का मान रखने पर

$x+10 \sqrt{3}=30$

$\begin{aligned} x &=30-10 \sqrt{3} \\ &=30-10 \times 1.732 \\ &=30-17.32  \end{aligned}$

=12.6 मीटर 

प्रश्न 14.

7 मी. ऊँचे भवन के शिखर से एक केवल टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण $60^{\circ}$ है और इसके पाद का अवनमन' कोण $45^{\circ}$ है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना केवल टॉवर CD है

माना भवन CE की ऊँचाई =7 मी.

अब, समकोण $\triangle \mathrm{DAE}$ में,

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{EA}} &=\tan 60^{\circ} \text { or } \frac{h}{x}=\sqrt{3} \\ h &=\sqrt{3} \cdot x \end{aligned}$...........(1)

पुनः समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\tan 45^{\circ}$

$\frac{7}{x}=1$ या $x=7$..........(2)

समीकरण (1) और (2) से,

$\begin{aligned} h &=7 \sqrt{3}=\mathrm{DE} \\ \mathrm{CD} &=\mathrm{CE}+\mathrm{ED} \\ &=7+7 \sqrt{3}=7(1+\sqrt{3})  \end{aligned}$

अतः केवल टॉवर की ऊँचाई $7(\sqrt{3}+1)$ मी. है।

प्रश्न 15. 

एक नाव से नदी के किनारे की किसी इमारत के एक प्रकाश स्रोत का उन्नयन कोण $30^{\circ}$ देखा गया। 4 मिनट पश्चात् उसी नाव से प्रकाश स्रोत का उन्नयन कोण $60^{\circ}$ हो गया। ज्ञात कीजिए कि नाव को इमारत के पास किनारे तक पहुँचने में कितना समय लगेगा?

हल : 

मानलो नदी के किनारे की किसी इमारत का प्रकाश स्रोत $\mathrm{L}$ है। नाव $\mathrm{A}$ से प्रकाश स्रोत L का उन्नयन कोण $30^{\circ}$ है। 4 मिनट पश्चात् उसी नाव $\mathrm{B}$ से $\mathrm{L}$ का उन्नयन कोण $60^{\circ}$ है। अतः

$\begin{aligned} \angle \mathrm{LAN} &=30^{\circ} \\ \angle \mathrm{LBN} &=60^{\circ} \end{aligned}$

$\therefore \triangle \mathrm{ALB}$ का

$\angle \mathrm{ALB}=30^{\circ}$

जिससे $\mathrm{LB}=\mathrm{AB}$

अब' समकोण $\triangle \mathrm{LBN}$ में,

$\angle \mathrm{BLN}=180^{\circ}-\left(90^{\circ}+60^{\circ}\right)=30^{\circ}$

अब समकोण $\Delta \mathrm{LNB}$ में,$\frac{\mathrm{BN}}{\mathrm{LB}_{n}}=\sin \angle \mathrm{BLN}$

$=\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}$

$\mathrm{BN}=\frac{1}{2} \mathrm{LB}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}$

अर्थात् $\mathrm{BN}$ दूरी $\mathrm{AB}$ की आधी है।

अतः नाव को $\mathrm{B}$ से किनारे तक पहुँचने में $\frac{4}{2}=2$ मिनट का समय और लगेगा।

प्रश्न 16.

भूमि के एक बिंदु से एक 20 मी. ऊँचे भवन के शिखर पर लगी एक संचार मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः $45^{\circ}$ और $60^{\circ}$ हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना   भवन की ऊँचाई $\mathrm{BC}=20$ मी.

माना संचार मीनार की ऊँचाई, $\quad \mathrm{CD}=x$ मी.

और माना मीनार के तल से बिन्दु $\mathrm{A}$ की दूरी अर्थात् $\mathrm{AB}=y$ मी.

अब, समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}} &=\tan 45^{\circ}=1 \text { or } \frac{20}{y}=1 \end{aligned}$

y =20 मी. अर्थात् AB=20 मी

$\Rightarrow$ अब, समकोण $\triangle \mathrm{ABD}$ में,

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AB}} &=\tan 60^{\circ} \\ \frac{\mathrm{BD}}{20} &=\sqrt{3} \\ \frac{20+x}{20} &=\sqrt{3} \Rightarrow 20+x=20 \sqrt{3} \\ x &=20 \sqrt{3}-20=20[\sqrt{3}-1] \end{aligned}$

अतः संचार मीनार की अभीष्ट ऊँचाई $=20(\sqrt{3}-1)$ मी.।

प्रश्न 17.

 समुद्र-तल से 75 मी. ऊँची लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण $30^{\circ}$ और $45^{\circ}$ हैं। यदि लाइट हाउस के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो तो दो जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना AB लाइट-हाउस है।

AB=75 मी.

माना $\mathrm{C}$ और $\mathrm{D}$ दो जहाज इस प्रकार हैं कि $\mathrm{B}$ से उनके अवनमन कोण क्रमशः $45^{\circ}$ और $30^{\circ}$ हैं।

अब, समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\tan 45^{\circ}$

$\frac{75}{\mathrm{AC}}=1$ या $\mathrm{AC}=75$...........(1)

पुनः समकोण $\triangle \mathrm{ABD}$ में,

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}=\tan 30^{\circ}$

$\frac{75}{\mathrm{AD}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ या $\mathrm{AD}=75 \sqrt{3}$........(2)

चूंकिं, दोनों जहाजों के बीच की दूरी $=C D$

$\begin{aligned}&=\mathrm{AD}-\mathrm{AC}=75 \sqrt{3}-75 \\&=75(\sqrt{3}-1)\end{aligned}$

अतः दोनों जहाजों के बीच की अभीष्ट दूरी $=75(\sqrt{3}-1)$ मी.।

प्रश्न 18. 

एक पेडस्टल के शिखर पर एक $1.6$ मी. ऊँची मूर्ति लगी है। भूमि के एक बिंदु से मूर्ति के शिखर का उन्नयन कोण $60^{\circ}$ है और उसी बिंदु से पेडेस्टल के शिखर का उन्नयन कोण $45^{\circ}$ है। पेडस्टल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना DC मूर्ति और BC पेडस्टल है।

अब समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\cot 45^{\circ}=1$

या $\frac{\mathrm{AB}}{h}=1$ $\mathrm{AB}=h$ मीटर

अब, समकोण $\triangle \mathrm{ABD}$ में,

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AB}} &=\tan 60^{\circ}=\sqrt{3} \\ \mathrm{BD} &=\sqrt{3} \times \mathrm{AB}=\sqrt{3} \times h \\ h+1.6 &=\sqrt{3} h \\ h \sqrt{3}-h &=1.6 \text { या } h(\sqrt{3}-1)=1.6 \\ h &=\frac{1.6}{\sqrt{3}-1}=\frac{1.6}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} \\ h &=\frac{1.6}{3-1} \times(\sqrt{3}+1) \end{aligned}$

$\begin{aligned}&=\frac{1.6}{2} \times \sqrt{3}+1 \\&=0.8(\sqrt{3}+1) \text {.मी. }\end{aligned}$

इस प्रकार, पेडस्टल की ऊँचाई $0.8(\sqrt{3}+1)$ मी. है।

प्रश्न 19.

 एक हवाई जहाज जो कि 1000 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रहा है, पर स्थित मनुष्य उत्तर की ओर एक शत्रु की पनडुब्बी को $30^{\circ}$ के अवनमन' कोण पर तथा दक्षिण की ओर एक युब्दपोत को $45^{\circ}$ के अवनमन कोण पर देखता है। पनडुबी और युद्धपोत के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना हवाई जहाज की ऊँचाई

उत्तर की ओर बना कोण $=\angle A B D=30^{\circ}$ 

दक्षिण की ओर बना कोण $=\angle \mathrm{ACD}=45^{\circ}$

$\mathrm{CD}=x_{1}$ तथा $\mathrm{DB}=x_{2}$

अब $\triangle \mathrm{ACD}$ में, Z$\cot 45^{\circ}=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{AD}}=\frac{x_{1}}{1000}=1$

$x_{1}=1000$ मीटर..........(1)

पुनः $\triangle \mathrm{ABD}$ में z$\cot 30^{\circ}=\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{AD}}=\frac{x_{2}}{1000}=\sqrt{3}$

या $x_{2}=1000 \sqrt{3}$..................(2)

समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर,

$\begin{aligned} x_{1}+x_{2} &=1000+1000 \sqrt{3} \\ &=1000(1+\sqrt{3}) \\ &=1000\left(1+1.73^{\prime} 2\right) \\ &=1000(2.732) \\ &=2732 \text { मीटर } \end{aligned}$

अतः पनडुब्यी' तथा युद्धपोत के बीच की दूरी $=2732$ मीटर।

प्रश्न 20.

 मीनार के आधार से और एक सरल रेखा में 4 मी. और 9 मी. की दूरी पर स्थित दो बिंदुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण पूरक कोण हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई 6 मी: है।

हल : 

माना $\mathrm{BC}$ मीनार को व्यक्त करता है जिसकी ऊँचाई $=h$ मीटर

$\therefore$ समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\begin{aligned} \frac{B C}{A C} &=\tan \theta \\ \frac{h}{9} &=\tan \theta \end{aligned}$.......(1)

समकोण $\triangle \mathrm{BDC}$ में,

$\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{DC}}=\tan \left(90^{\circ}-\theta\right)=\cot \theta$......(2)

संमीकरण' (1) और (2) का गुणन करने पर,

$\frac{h}{9} \times \frac{h}{4}=\tan \theta \times \cot \theta=1$ $[\because \tan \theta \times \cot \theta=1]$

 $\begin{aligned} \frac{h^{2}}{36} &=1 \\ h^{2} &=36 \end{aligned}$ 

या h=± 6 मी.  

h =6 मी.

$[\because$ ऊँचाई.धनात्मक होती है]

अतः मीनार की ऊँचाई 6 मी. है।

प्रश्न 21. 

एक मीनार के पाद-बिंदु से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण $30^{\circ}$ है और भवन के. पाद-बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण $60^{\circ}$ है। यदि मीनार 50 मी. ऊँची हो, तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना भवन की ऊँचाई =AB=h मी.

और मीनार की ऊँचाई $=C D=50$ मी.

अब, समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में

$\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\cot 30^{\circ}=\sqrt{3}$

$\frac{\mathrm{AC}}{h}=\sqrt{3}$ या $\mathrm{AC}=\dot{h} \sqrt{3}$...........(1)

पुनः समकोण' $\Delta \mathrm{DCA}$ में,

$\frac{\mathrm{DC}}{\mathrm{AC}}=\tan 60^{\circ}$

$\frac{50}{\mathrm{AC}}=\sqrt{3}$ या $\mathrm{AC}=\frac{50}{\sqrt{3}}$..........(2)

समीकरण' (1) और (2) से,

$\sqrt{3} h=\frac{50}{\sqrt{3}}$

$h=\frac{50}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{50}{3}=16 \frac{2}{3}$

इस प्रकार, भवन की ऊँचाई $=16 \frac{2}{3}$ मी.।

Dr Manohar Re CLASS 9 CHAPTER 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल (Maths Objective Answers)

 प्रश्न 1  चित्र में $A B C D$ तथा $B C E F$ दो समांतर चतुर्भुज है, तो निम्नलिखित में कौन सत्य है?

(a) $\operatorname{ar}(\mathrm{ABCE})=\operatorname{ar}(\mathrm{ABCD})$

(b) $\operatorname{ar}(\mathrm{BCEF})=\operatorname{ar}(\mathrm{ABCE})$

(c) $\operatorname{ar}(\mathrm{ABCD})=\operatorname{ar}(\mathrm{BCEF})$

(d) इनमें से कोई नहीं

उत्तर:

(c) $\operatorname{ar}(\mathrm{ABCD})=\operatorname{ar}(\mathrm{BCEF})$

प्रश्न 2. चित्र में $A B C D$ एक समांतर चतुर्भुज है, तो निम्नलिखित में कौन सत्य है?

(a) $\operatorname{ar}(\mathrm{ABCD})=\operatorname{ar}(\mathrm{PDC})$

(b) $\operatorname{ar}(\mathrm{ABCD})=2 \operatorname{ar}(\mathrm{PDC})$

(c) $2 \operatorname{ar}(\mathrm{ABCD})=\operatorname{ar}(\mathrm{PDC})$

(d) इनमें से कोई नहीं

उत्तर:

(b) $\operatorname{ar}(\mathrm{ABCD})=2 \operatorname{ar}(\mathrm{PDC})$

प्रश्न 3 चित्र में समांतर चतुर्भुज $A B C D$ और आयत $A B E F$ है, तो $\operatorname{ar}(A B C D)$ बराबर है :

(a) $24 \mathrm{~cm}^{2}$

(b) $48 \mathrm{~cm}^{2}$

(c) $72 \mathrm{~cm}^{2}$

(d) $90 \mathrm{~cm}^{2}$

उत्तर:

(b) $48 \mathrm{~cm}^{2}$

प्रश्न 4 . चित्र में $A B\|C D, A D\| B C, A E \perp B C$ । यदि $A E=4 \mathrm{~cm}, A D=8 \mathrm{~cm}$, तो $\operatorname{ar}(\mathrm{ABCD})$ बराबर है:

(a) $12 \mathrm{~cm}^{2}$

(b) $16 \mathrm{~cm}^{2}$

(c) $24 \mathrm{~cm}^{2}$

(d) $32 \mathrm{~cm}^{2}$

उत्तर:

(d) $32 \mathrm{~cm}^{2}$

प्रश्न 5.

समांतर चतुर्भुज $A B C D$ में $A L \perp B C, \operatorname{ar}(A B C D)=36 \mathrm{~cm}^{2}$ । यदि $A D=9$ $\mathrm{cm}$, तो $\mathrm{AL}$ का मान है:

(a) $4 \mathrm{~cm}$

(b) $6 \mathrm{~cm}$

(c) $8 \mathrm{~cm}$

(d) $27 \mathrm{~cm}$

उत्तर:

(a) $4 \mathrm{~cm}$

प्रश्न 6.

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल $42 \mathrm{~cm}^{2}$ तथा आधार की लंबाई $12 \mathrm{~cm}$ है, तो संगत शीर्षलंब की लंबाई बराबर है :

(a) $3.5 \mathrm{~cm}$

(b) $5 \mathrm{~cm}$

(c) $7 \mathrm{~cm}$

(d) $10.5 \mathrm{~cm}$

उत्तर:

(c) $7 \mathrm{~cm}$

प्रश्न $7 .$

चित्र में $\mathrm{ABCD}$ एक समांतर चतुर्भुज है तथा $A C$ विकर्ण है। यदि $\operatorname{ar}(\mathrm{ABC})=125$ $\mathrm{cm}^{2}$, तो $\operatorname{ar}(\mathrm{ABCD})$ बराबर है :

(a) $125 \mathrm{~cm}^{2}$

(b) $250 \mathrm{~cm}^{2}$

(c) $275 \mathrm{~cm}^{2}$

(d) $500 \mathrm{~cm}^{2}$

उत्तर:

(b) $250 \mathrm{~cm}^{2}$

प्रश्न 8 .

चित्र में $A B C D$ एक समांतर चतुर्भुज है। यदि $\operatorname{ar}(C O D)=125 \mathrm{~cm}^{2}$, तो $\operatorname{ar}(\mathrm{ABCD})$ बराबर है:

(a) $250 \mathrm{~cm}$

(b) $500 \mathrm{~cm}$

(c) $625 \mathrm{~cm}$

(d) $1000 \mathrm{~cm}$

उत्तर:

(b) $500 \mathrm{~cm}$

प्रश्न 9 .

$\triangle \mathrm{ABC}$ में $\mathrm{BC}$ का मध्य-बिंदु $\mathrm{D}$ है। यदि $\operatorname{ar}(\mathrm{ABD})=63 \mathrm{~cm}^{2}$, तो $\operatorname{ar}(\mathrm{ADC})$ बराबर है:

(a) $63 \mathrm{~cm}^{2}$

(b) $126 \mathrm{~cm}^{2}$

(c) $31.5 \mathrm{~cm}^{2}$

(d) $180 \mathrm{~cm}^{2}$

उत्तर:

(a) $63 \mathrm{~cm}^{2}$

प्रश्न 10 .

प्रश्न 9 के लिए $\operatorname{ar}(\mathrm{ABC})$ बराबर है:

(a) $63 \mathrm{~cm}^{2}$

(b) $126 \mathrm{~cm}^{2}$

(c) $180 \mathrm{~cm}^{2}$

(d) $252 \mathrm{~cm}^{2}$

उत्तर:

(b) $126 \mathrm{~cm}^{2}$

प्रश्न 11 .

सर्वांगसम त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान होते हैं। यह कौन-सा अभिगृहीत है?

(a) क्षेत्रफल एकदिष्ट अभिगृहीत

(b) सर्वांगसम क्षेत्रफल अभिगृहीत

(c) क्षेत्रफल योग अभिगृहीत

(d) इनमें से कोई नहीं,

उत्तर:

(b) सर्वांगसम क्षेत्रफल अभिगृहीत

प्रश्न 12 .

किसी समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके एक भुजा तथा संगत शीर्षलंब के:

(a) योग के बराबर होता है।

(b) अंतर के बराबर होता है

(c) गुणनफल के बराबर होता है

(d) इनमें से कोई नहीं

उत्तर:

(c) गुणनफल के बराबर होता है

प्रश्न $13 .$

समलंब चतुभुज का क्षेत्रफल, उसके शीषलम्ब और समांतर भुजाओं के योगफल के गुणनफल :

(a) के बराबर होता है

(b) का दुगुना होता है

(c) का आधा होता है,

(d) इनमें से कोई नहीं,

उत्तर:

(c) का आधा होता है

प्रश्न 14 .

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल, उसके विकर्णों के गुणनफल :

(a) का आधा होता है

(b) का दुगुना होता है

(c) के बराबर होता है

(d) इनमें से कोई नहीं

उत्तर:

(a) का आधा होता है

प्रश्न 15 .

यदि दो बहुभुज प्रदेश $R_{1}$ और $R_{2}$ में $R_{1}, R_{2}$ का एकखण्ड हो, तब :

(a) क्षेत्रफल $R_{1}=$ क्षेत्रफल $R_{2}$

(b) क्षेत्रफल $R_{1}>$ क्षेत्रफल $R_{2}$

(c) क्षेत्रफल $R_{1}<$ क्षेत्रफल $R_{2}$

(d) इनमें से कोई नहीं

उत्तर:

(c) क्षेत्रफल $R_{1}<$ क्षेत्रफल $R_{2}$

प्रश्न 16 .

किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी किसी एक भुजा एवं संगत शीर्षलम्ब के गुणनफल :

(a) का आधा होता है

(b) का दुगुना होता है

(c) के बराबर होता है

(d) इनमें से कोई नहीं

उत्तर:

(a) का आधा होता है

प्रश्न $17 .$

त्रिभुज की माध्यिका त्रिभुज को दो :

(a) सर्वागसम त्रिभुओं में बाँटता है

(b) समकोण त्रिभुजों में बाँटता है।

(c) समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में बाँटता है

(d) इनमें से कोई नहीं

उत्तर:

(c) समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में बाँटता है

प्रश्न $18 .$

चतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$ का एक विकर्ण $\mathrm{AC}$ चतुर्भुज को दो समान क्षेत्रफल वाले भाग में बाँटता है। $\mathrm{ABCD}$ इनमें से क्या है?

(a) एक समांतर चतुर्भुज

(b) एक आयत

(c) एक विषम कोण समचतुर्भुज

(d) इनमें सभी

उत्तर:

(d) इनमें सभी

प्रश्न 19,

किसी त्रिभुज $A B C$ के भुजाओं के मध्य बिन्दओं एवं कोई एक शीर्ष से बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल इनमें से किसके बराबर होगा?

(a) क्षेत्रफल $\triangle A B C$

(b) क्षेत्रफल $\triangle A B C$ का आधा

(c) क्षेत्रफल $\triangle \mathrm{ABC}$ का एक चौथाई

(d) इनमें से कोई नहीं

उत्तर;

(b) क्षेत्रफल $\triangle A B C$ का आधा

प्रश्न 20,

दो समांतर चतुर्भुज समान आधार तथा एक ही समांतर भुजाओं के बीच है। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात :

(a) $1: 2$

(b) $3: 1$

(c) $1: 1$

(d) इनमें से कोई नहीं

उत्तर:

(c) $1: 1$

प्रश्न $21 .$

$8 \mathrm{~cm}$ तथा $6 \mathrm{~cm}$ भुजा वाले आयत के आसन्न भुजाओं के मध्य बिंदुओं को

मिलाने से प्राप्त चतुर्भुज :

(a) एक विषमकोण समचतुर्भुज जिसका क्षेत्रफल $24 \mathrm{~cm}^{2}$ है

(b) एक आयत है जिसका क्षेत्रफल $24 \mathrm{~cm}^{2}$ है

(c) एक वर्ग है जिसका क्षेत्रफल $26 \mathrm{~cm}^{2}$ है

(d) एक समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल $14 \mathrm{~cm}^{2}$ है

उत्तर:

(a) एक विषमकोण समचतुर्भुज जिसका क्षेत्रफल $24 \mathrm{~cm}^{2}$ है

प्रश्र 22 .

चित्र में दिए गए चतुर्भुज का क्षेत्रफल :

(a) $13 \mathrm{~cm}^{2}$

(b) $21 \mathrm{~cm}^{2}$

(c) $42 \mathrm{~cm}^{2}$

(d) इनमें से कोई नहीं

उत्तर:

(c) $42 \mathrm{~cm}^{2}$

प्रश्न $23 .$

दिए गए चित्र में $A D \| B C$ तब वह त्रिभुज कौन होगा जिसका क्षेत्रफल $\triangle C O D$ के क्षेत्रफल के बराबर होगा?

(a) $\triangle \mathrm{AOD}$

(b) $\triangle C O B$

(c) $\triangle \mathrm{BOA}$

(d) इनमें से कोई नहीं

उत्तर:

(c) $\triangle \mathrm{BOA}$

प्रश्न 24

$\mathrm{ABCD}$ एक समलंब चतुर्भुज है, जिसमें $\mathrm{AB} \| \mathrm{DC}$ यदि क्षेत्रफल $(\triangle \mathrm{ABD})=24$

$\mathrm{cm}^{2}$ तथा $\mathrm{AB}=8 \mathrm{~cm}$ तब $\triangle \mathrm{ABC}$ की ऊँचाई क्या होगी?

(a) $3 \mathrm{~cm}$

(b) $4 \mathrm{~cm}$

(c) $6 \mathrm{~cm}$

(d) इनमें से कोई नहीं

उत्तर:

(c) $6 \mathrm{~cm}$

प्रश्न 25

समलंब चतुर्भुज $A B C D$ की समांतर भुजाएँ $A B$ तथा $C D$ में $A B=a c m, D C=$ b $\mathrm{cm}, \mathrm{E}$ तथा $\mathrm{F}$ क्रमशःDA एवं $\mathrm{CB}$ के मध्य बिन्द हैं। क्षेत्रफल (ABFE) : क्षेत्रफल (EFCD) =

(a) $(a+3 b):(3 a+b)$

(b) $(3 a+b):(a+3 b)$

(c) $(2 a+b):(3 a+b)$

(d) इनमें से कोई नहीं

उत्तर:

(b) $(3 a+b):(a+3 b)$

प्रश्न 26 .

$\mathrm{ABC}$ तथा $\mathrm{BDE}$ दो समबाहु त्रिभुज है जिसमें $\mathrm{D}$ भुजा $\mathrm{BC}$ का मध्यबिन्द है। तब, क्षेत्रफल $(\triangle B D E)=$

(a) $\frac{1}{2}$ क्षेत्रफल $(\triangle \mathrm{ABC})$

(b) क्षेत्रफल ( $\triangle \mathrm{ABC})$

(C) $\frac{1}{4}$ क्षेत्रफल $(\triangle \mathrm{ABC})$

(d) इनमें से कोई नहीं

उत्तर:

(c) $\frac{1}{4}$ क्षेत्रफल $(\triangle \mathrm{ABC})$

प्रश्र $27 .$

विषमकोण समचतुर्भुज के आसन्न भुजाओं के मध्य बिन्दओं को मिलाने से प्राप्त चतुर्भुज का क्षेत्रफल क्या होगा, यदि समचतुर्भुज के विकर्ण $16 \mathrm{~cm}$ तथा $12 \mathrm{~cm}$ हों?

(a) $24 \mathrm{~cm}^{2}$

(b) $28 \mathrm{~cm}^{2}$

(c) $48 \mathrm{~cm}^{2}$

(d) इनमें से कोई नहीं

उत्तर:

(c) $48 \mathrm{~cm}^{2}$

प्रश्न 28 .

आधार $x$ तथा ऊँचाई $y=8 \mathrm{~cm}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $88 \mathrm{~cm}^{2}$ है। $x$, का मान इनमें से कौन होगा?

(a) $13 \mathrm{~cm}$

(b) $11 \mathrm{~cm}$

(c) $10 \mathrm{~cm}$

(d) इनमें से कोई नहीं

उत्तर:

(b) $11 \mathrm{~cm}$

प्रश्न $29 .$

$A B C D$ एक समांतर चतुर्भुज है तथा $C D$ पर $P$ एक बिन्द है। यदि क्षेत्रफल $(\triangle \mathrm{DPA})=15 \mathrm{~cm}^{2}$ तथा क्षेत्रफल $(\triangle \mathrm{APC})=20 \mathrm{~cm}^{2}$ तब क्षेत्रफल $(\triangle \mathrm{APB})=$

(a) $20 \mathrm{~cm}^{2}$

(b) $30 \mathrm{~cm}^{2}$

(c) $35 \mathrm{~cm}^{2}$

(d) इनमें से कोई नहीं

उत्तर:

(c) $35 \mathrm{~cm}^{2}$

प्रश्न 30 .

यदि दो त्रिभुज सर्वांगसम है, तब उनके क्षेत्रफल :

(a) समान होंगे

(b) असमान होंगे

(c) उनमें कोई संबंध नहीं होगा

(d) इनमें से कोई नहीं

उत्तर:

(a) समान होंगे

प्रश्न $31 .$

एक समचतुर्भुज का एक विकर्ण $10 \mathrm{~cm}$ तथा क्षेत्रफल 80 वर्ग सेमी. दूसरे विकर्ण की लम्बाई :

(a) $8 \mathrm{~cm}$

(b) $10 \mathrm{~cm}$

(c) $16 \mathrm{~cm}$

(d) इनमें से कोई नहीं

उत्तर:

(c) $16 \mathrm{~cm}$

Dr Manohar Re Solution CLASS 9 CHAPTER 9 समान्तर चतुंभुजों और त्रिभुजों के क्षेत्भफल (AREA OF PARALLELOGRAMS AND TRIANGLES) प्रश्नावली 9 (D)

 प्रश्नावली 9 (D)

प्रत्येक प्रश्न के चार उत्तर दिये हैं । सही उत्तर छाँटकर लिखिए :

प्रश्न 1. 

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल $6 \sqrt{3}$ सेमी $^{2}$ है और आधार की लम्बाई 3 सेमी है । त्रिभुज की ऊँचाई होगी :

(i) $2 \sqrt{3}$ सेमी

(ii) $4 \sqrt{3}$ सेमी

(iii) $4 \sqrt{3}$ सेमी $^{2}$

(iv) $2 \sqrt{3}$ सेमी $^{2}$ ।

उत्तर : 

विकल्प (ii) $4 \sqrt{3}$ सेमी ।

त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}$ आंधार $\times$ ऊँचाई

$6 \sqrt{3}=\frac{1}{2} \times 3 \times$ ऊँचाई ऊँचाई $=\frac{2 \times 6 \sqrt{3}}{3}$

ऊँचाई $=4 \sqrt{3}$ सेमी । 

प्रश्न 2. 

एक समलम्ब की समान्तर भुजाएँ 2 सेमी और 5 सेमी हैं, उनके बीच की दूरी 4 सेमी है । समलम्ब का क्षेत्रफल होगा :

(i) 28 सेमी $^{2}$

(ii) 35 सेमी $^{2}$

(iii) 11 सेमी $^{2}$

(iv) 14 सेमी $^{2}$ ।

उत्तर : विकल्प (iv) 14 सेमी $^{2}$ ।

हल :

समलम्ब का क्षेत्रफल$=\frac{1}{2}$ [समान्तर भुजाओं का योग ] × बीच की दूरी 

$=\frac{1}{2}[2+5] \times 4$

=7×2

=14 सेमी  $^{2}$

प्रश्न 3. 

त्रिभुज की कोई माध्यिका उसे दो भागों में बाँटती है, तो उनके क्षेत्रफल होते हैं :

(i) असमान

(ii) बराबर

(iii) एक-दूसरे का दुगुना

(iv) एक-दूसरे से दो अधिक ।

उत्तर : विकल्प (ii) बराबर ।

प्रश्न 4. 

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल, उसके विकर्णों के गुणनफल का होता है :

(i) तिहाई

(ii) चौथाई

(iii) आधा

(iv) बराबर ।

उत्तर : विकल्प (iii) आधा ।

प्रश्न 5. 

किसी समान्तर चतुर्भुज का एक विकर्ण उसे बाँटता है :

(i) दो बराबर भागों में

(ii) दो असमान भागों में

(iii) चार बराबर भागों में'

(iv) चार असमान भागों में ।

उत्तर : विकल्प (i) दो बराबर भागों में।

प्रश्न 6.

 समांतर चतुर्भुज $A B C D$ और आयत $A B E F$ एक ही आधार पर स्थित हैं और उनके क्षेत्रफल बराबर हैं। दर्शाइए कि समांतर चतुर्भुज का परिमाप आयत के परिमाप से अधिक है।

हल : 

दिया है : समान्तर चतुर्भुज ABCD तथा आयत ABEF एक ही आधार AB पर स्थित हैं तथा ar(ABCD)=ar(ABEF).

सिद्ध करना है : समान्तर चतुर्भुज की परिमाप > आयत की परिमाप'

अर्थात्      $A B+B C+C D+D A>A B+B E+E F+A F$

उपपत्ति : $\triangle A F D, \angle \mathrm{F}=90^{\circ}$

$D A>F A$..............(I)

 $\triangle B C E$ में, $\angle C E B=90^{\circ}$

$B C>B E$..............(ii)

$A B=E F$ (आयत की सम्मुख भुजायें) ......(iii)

$C D=A B$.....(iv)

          (समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा)

समीकरण (i), (ii), (iii) तथा (iv) से,

$D A+B C+A B+C D>F A+B E+E F+A B$ $A B+B C+C D+D A,>A B+B E+E F+F A$

प्रश्न 7. 

आकृति में, भुजा $B C$ पर दो बिन्दु $D$ और $E$ इस प्रकार स्थित हैं कि $B D=D E=E C$ है। दर्शाइए कि ar $(A B D)=\operatorname{ar}(A D E)=\operatorname{ar}(A E C)$ है।

हल : 

दिया है : $\triangle A B C$ में, $B C$ पर दो बिन्दु $D$ तथा $E$ इस प्रकार हैं कि 

$B D=D E=E C$

सिद्ध करना है : $\operatorname{ar}(A B D)=\operatorname{ar}(A D E)=\operatorname{ar}(A E C)$

रचना : $A M \perp B C$ खींचा।

क्षेत्रफल $(A B D)=\frac{1}{2} \times B D \times A M$

क्षेत्रफल $(A D \dot{E})=\frac{1}{2} \times D E \times A M$

क्षेत्रफल $(A E C)=\frac{1}{2} \times E C \times A M$

$B D=D E=E C$

$\operatorname{ar}(A B D)=\operatorname{ar}(A D E)=\operatorname{ar}(A F C)$

प्रश्न 8. 

आकृति में, $A B C D, D C F E$ और $A B F E$ समांतर चतुर्भुज हैं। दर्शाइए कि $\operatorname{ar}(A D E)=\operatorname{ar}(B C F)$ है।

हल : 

दिया है : तीन समान्तर चतुर्भुज $A B C D, D C F E$ तथा $A B F E$ दिए हैं। सिद्ध करना है : $\operatorname{ar}(A D E)=\operatorname{ar}(B C F)$

उपपत्ति : $\triangle A D E$ तथा $\triangle B C F$ में,

$\left.\begin{array}{l}A E=B F \\ A D=B C \\ D E=C F\end{array}\right\}$ (समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)

$\Delta A D E \cong \triangle B C F$, (SSS)

हम जानते हैं समरूप त्रिभुज क्षेत्रफल में समान होते हैं। 

अत: $\operatorname{ar}(A D E)=\operatorname{ar}(B C F)$

प्रश्न 9. 

आकृति में, $A B C D$ एक समांतर चतुर्भुज है और $B C$ को एक बिन्दु $Q$ तकं इस प्रकार बढ़ाया गया है कि $A D=C Q$ है। यदि $A Q$ भुजा $D C$ को $P$ पर प्रतिच्छेद करती है, तो दर्शाइए कि $\operatorname{ar}(B P C)=\operatorname{ar}(D P Q)$ है। (संकेत : $A C$ को मिलाइए I)

हल : 

दिया है : $A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है तथा $B C$ को एक बिन्दु $Q$ तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि $A D$ $=C Q$ तथा $A Q$ भुजा $D C$ को $P$ पर प्रतिच्छेदित करती है।

सिद्ध करना है : ar $B P C=\operatorname{ar}(D P Q)$.

रचना : $A C$ तथा $P B$ को मिलाय़ा।

$\because \triangle A P C$ और $\triangle B P C$ एक ही आधार $P C$ पर तथा समान समान्तर रेखाओं $P C$ तथा $A B$ के बीच स्थित हैं।

ar(APC)=ar(BPC).......(i)

AD=CQ (दिया है)

AD||B C

AD||CQ 

: चतुर्भुज ADQC में, सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समान्तर है। 

$\because A D Q C$ एक समान्तर चतुर्भुज है

$\Rightarrow A P=P Q$ तथा $C P=P D$

$\triangle A P C$ तथा $\triangle D P Q$ में,

AP=PQ (सिद्ध कर चुके)

∠APC=∠DPQ  ( शोर्षाभिमुख कोण)

PC=PD (सिद्ध कर चुके)

ΔAPC⩭ΔDPQ [SAS प्रगुण द्वारा] ar(A P C)ar(DPQ) [∵ ar(APC)=ar(BPC)]

ar(BPC)=ar(DPQ)

प्रश्न 10. 

आकृति में, $A B C$ और $B D E$ दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि $D$ भुजा $B C$ का मध्य-बिन्दु है। यदि $A E$ भुजा $B C$ को $F$ पर प्रतिच्छेद करती है, तो दर्शाइए कि

(i) $\operatorname{ar}(B D E)=\frac{1}{4} \operatorname{ar}(A B C)$

(ii) $\operatorname{ar}(B D E)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(B A E)$

(iii) $\operatorname{ar}(A B C)=2 \operatorname{ar}(B E C)$

(iv) $\operatorname{ar}(B F E)=\operatorname{ar}(A F D)$

(v) $\operatorname{ar}(B F E)=2 \operatorname{ar}(F E D)$

(vi) $\operatorname{ar}(F E D)=\frac{1}{8} \operatorname{ar}(A F C)$

हल : 

चित्रानुसार $E C$ और $A D$ को मिलाया। चूँकि $\triangle A B C$ एक समबाहु त्रिभुज है। 

अतः

$\angle A=\angle B=\angle C=60^{\circ}$

तथा $\triangle B D E$ भी एक समबाहु त्रिभुज है अतः

$\angle B=\angle D=\angle E=60^{\circ}$

यदि ह यह मान लें कि $A C$ तथा $B E$ दो रेखाएँ हैं तथा $B C$ एक तिर्यक रेखा इन्हें काटती है तो

$\angle B=\angle C=60^{\circ}$

(एकान्तर कोण)

अर्थात्

$B E \| A C$

क्योंकि यदि एकान्तर कोण बराबर होते हैं तो रेखाएँ समान्तर होती हैं।

इसी प्रकार यदि $A B$ तथा $D E$ दो रेखाएँ हैं तथा $B F$ एक तिर्यक रेखा इन्हें काटती है तो $\angle B=\angle D=60^{\circ}$

अतः $A B \| D E$

(i) समबाहु $\triangle B D E$ का क्षेत्रफल $=\frac{\sqrt{3}}{4}(B D)^{2}$.............(i)

                                            [क्योंकि समबाहु $\Delta$ का क्षेत्रफल $=\frac{\sqrt{3}}{4}$ ( भुजा)$^{2}$ ]

इसी प्रकार समबाहु $.AB C$ का क्षेत्रफल $=\frac{\sqrt{3}}{4}(B C)^{2}$ 

समीकरण (i) को (ii) से भाग देने पर

$\begin{aligned} \frac{\operatorname{ar}(\Delta B D E)}{\operatorname{ar}(\Delta A B C)} &=\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}(B D)^{2}}{\frac{\sqrt{3}}{4}(B C)^{2}} \\ &=\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}(B D)^{2}}{\frac{\sqrt{3}}{4}(2 B D)^{2}}=\frac{B D^{2}}{4 B D^{2}} \end{aligned}$

                                                 [क्योंकि $D$, बिन्दु $B C$ का मध्य-बिन्दु है]

$\begin{aligned} \frac{\operatorname{ar}(\Delta B D E)}{\operatorname{ar}(\dot{\Delta A B C})} &=\frac{1}{4} \\ B D &=D C \\ B C &=B D+D C \\ &=B D+B D \\ &=2 B D \\ \operatorname{ar}(\Delta B D E) &=\frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta A B C) \end{aligned}$

(ii) $\triangle B E C$ में $E D$ एक माधिका है। 

$\operatorname{ar}(\triangle B D E)=\frac{1}{2}$ ar $(\triangle B E C)$............(iii)

क्योंकि माध्यिका त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

$\therefore$

$B E \| A C$

अतः $\triangle B E C$ और $\triangle B A E$ एक ही आधार $B E$ तथा एक ही समान रेखाओं $B E$ तथा $A C$ के बीच स्थित हैं।

$\therefore$$\operatorname{ar}(\Delta B E C)=\operatorname{ar}(\Delta B A E)$..........(iv)

समीकरण (iv) का मान 'समीकरण (iii) में रखने पर

$\operatorname{ar}(\triangle B D E)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle B A E) .$

(iii) पुन: क्योंकि $E D$ रेखा $\triangle B E C$ की एक माध्यिका है। 

$\operatorname{ar}(\Delta B D E)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta B E C)$

भाग (i) से $\operatorname{ar}(\Delta B D E)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle A B C)$

$\frac{1}{4}$ ar $(\triangle A B C)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle B E C)$

ar $(\triangle A B C)=4 \times \frac{1}{2}$ ar $(\Delta B E C)$

$\operatorname{ar}(\triangle A B C)=2 \operatorname{ar}(\triangle B E C)$.

(iv) $\because \angle B D E=\angle A B D=60^{\circ}$ (दिया है)

अब $\triangle B D E$ और $\triangle A D E$ एक ही आधार $D E$ तथा एक ही समान्तर रेखाओं $A B$ और $D E$ के बीच स्थित हैं अतः ar $(\Delta B D E)=\operatorname{ar}(\triangle A D E)$

दोनों पक्षों में से $\operatorname{ar}(\triangle F E D)$ घटाने पर

$\begin{aligned} \operatorname{ar}(\Delta B D E)-\operatorname{ar}(\Delta F E D) &=\operatorname{ar}(\Delta A D E)-\operatorname{ar}(\Delta F E D) \\ \operatorname{ar}(\Delta B F E) &=\operatorname{ar}(\Delta A F D) \end{aligned}$

(v) $\triangle B D E$ तथा $\triangle A E D$ एक की आधार $D E$ तथा एक ही समान्तर रेखाओं $A B$ तथा $E D$ के बीच स्थित हैं अतः

$\operatorname{ar}(\Delta B D E)=\operatorname{ar}(\Delta A E D)$

दोनों पक्षों में से $\operatorname{ar}(\triangle F E D)$ को घटाने पर

$\operatorname{ar}(\Delta B D E)-\operatorname{ar}(\Delta F E D)=\operatorname{ar}(\Delta A E D)\operatorname{ar}(\Delta F E D)$

या$\operatorname{ar}(\Delta B F E)=\operatorname{ar}(\triangle A F D)$.............(v)

एक समबाहु त्रिभुज में खींची गई माध्यिका भुजा पर लम्ब होती है। अतः $A D \perp B C$ क्योंकि $A D$ भुजा $\triangle A B C$ की माध्यिका है।

अत:

$\text { ar }(\triangle A F D)=\frac{1}{2} \times F D \times A D$.........(vi)

अब $B C$ भुजा पर $E$ बिन्दु से एक लम्ब रेखा $E G$ खींची अर्थात् $E G \perp B C$

$\operatorname{ar}(\Delta F E D)=\frac{1}{2} \times F D \times E G$..........(vii)

समीकरण (vi) में 'समीकरण' (vii) का भाग देने पर

$\begin{aligned}\frac{\operatorname{ar}(\Delta A F D)}{\operatorname{ar}(\Delta F E D)}&=\frac{\frac{1}{2} \times F D \times A D}{\frac{1}{2} \times F D \times E G} \\\frac{\operatorname{ar}(\Delta A F D)}{\operatorname{ar}(\Delta F E D)} &=\frac{A D}{E G} \\&=\frac{\frac{\sqrt{3}}{4} B C}{\frac{\sqrt{3}}{4} B D}\end{aligned}$

                                       [क्योंकि समबाहु त्रिभुज के शीर्ष लम्ब $=\frac{\sqrt{3}}{4} \times$ भुजा]

 या (क्योंकि भुजा $B C$ का मध्य-बिन्दु $D$ है),

या $\frac{\operatorname{ar}(\Delta A F D)}{\operatorname{ar}(\Delta F E D)}=2$

ar $(\triangle A F D)=2 \operatorname{ar}(\Delta F E D)$............(viii)

अब 'समीकंरण' (v) व (viii) से $\operatorname{ar}(\Delta B F E)=2 \operatorname{ar}(\Delta F E D) .$

(vi)

$\begin{aligned}\operatorname{ar}(\Delta A F C) &=\operatorname{ar}(\Delta A FD)+\operatorname{ar}(\triangle A D C) \\&=2 \operatorname{ar}(\Delta F E D)+\frac{1}{2}\operatorname{ar}(\triangle A B C)\end{aligned}$

                         [समीकरण (viii) का प्रयोग करने पर]

हम यह भी जानते हैं. कि माधिका त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। अतः

$\operatorname{ar}(\Delta A F C)=2 \operatorname{ar}(\Delta F E D)+\frac{1}{2}[4 \operatorname{ar}(\Delta B D E)]$

[भाग (i) के परिणाम से]

$\begin{aligned}&=2 \operatorname{ar}(\Delta F E D)+2 \text { ar }(\Delta B D E) \\&=2 \text { ar }(\Delta F E D)+2 \text { ar }(\triangle A E D)\end{aligned}$

क्योंकि $\triangle B D E$ तथा $\triangle A E D$ एक ही आधार $E D$ तथा एक ही समान्तर रेखाओं $A B$ तथा $D E$ के बीच स्थित हैं $]$

$=2 \operatorname{ar}(\Delta F E D)+2[\operatorname{ar}(\Delta A F D)+\operatorname{ar}(\Delta F E D)]$

$=2 \operatorname{ar}(\Delta F E D)+2 \operatorname{ar}(\Delta A F D)+2 \operatorname{ar}(\Delta F E D)$

=4ar(ΔFED)+2[2ar(ΔFED)] [समीकरण (viii) से]

=4ar(ΔFED)+4ar(ΔFED)

ar(ΔAFC)=8ar(ΔFED)

8ar(ΔFED)=ar(ΔAFC) 

ar(Δ FED)$=\frac{1}{8}$ ar(ΔAFC) इति सिद्धम् 

प्रश्न 11. 

चतुर्भुज $A B C D$ के विकर्ण $A C$ और $B D$ परस्पर बिन्दु $P$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि ar $(A P B) \times \operatorname{ar}(C P D)=\operatorname{ar}(A P D) \times \operatorname{ar}(B P C)$ है।

[संकेत : $A$ और $C$ से $B D$ पर लम्ब खींचिए।]

हल : 

दिया है : एक चतुर्भुज $A B C D$ है जिसमें विकर्ण क्रमशः $A C$ तथा $B D$ परस्पर $P$ बिन्दु पर प्रतिच्छेदित करते हैं।

सिद्ध करना है : ar $(\triangle A P B) \times \operatorname{ar}(\Delta C P D)=$ ar $(\triangle A P D) \times \operatorname{ar}(B P C)$.

रचना : चित्रानुसार बिन्दु $A$ से $A M \perp B D$ तथा बिन्दु $C$ से $C N \perp B D$ खींची।

उपपत्ति :

$\operatorname{ar}(\Delta A B P)=\frac{1}{2} \times B P \times A M$..........(i)

$\operatorname{ar}(\Delta A P D)=\frac{1}{2} \times D P \times A M$........(ii)

समीकरण (ii) में (i) से भाग देने पर

$\frac{\operatorname{ar}(\Delta A P D)}{\operatorname{ar}(\Delta A B P)}=\frac{\frac{1}{2} \times \dot{D} P \times A M}{\frac{1}{2} \times B P \times A M}$...........(iii)

$\frac{\operatorname{ar}(\Delta C D P)}{\operatorname{ar}(\Delta B P C)}=\frac{\frac{1}{2} \times D P \times C N}{\frac{1}{2} \times B P \times C N}$

$\frac{\operatorname{ar}(\Delta C D P)}{\operatorname{ar}(\Delta B P C)}=\frac{D P}{B P}$.........(iv)

समी'करण (iii) व (iv) के अनुसार

$\frac{\operatorname{ar}(\Delta A P D)}{\operatorname{ar}(\Delta A B P)}=\frac{\operatorname{ar}(\Delta C D P)}{\operatorname{ar}(\Delta B P C)}$ $\operatorname{ar}(\Delta A P D) \times \operatorname{ar}(\Delta B P C)=\operatorname{ar}(\Delta A B P) \times \operatorname{ar}(\Delta C D P)$  इति सिद्धम्।

प्रश्न 12

.P और $Q$ क्रमशः त्रिभुज $A B C$ की भुजाओं $A B$ और $B C$ के मध्य-बिन्दु हैं तथा $R$ रेखाखण्ड $A P$ का मध्य-बिन्दु है। दर्शाइए कि :

(i) ar $(P R Q)=\frac{1}{2}$ ar $(A R C)$

(ii) $\operatorname{ar}(R Q C)=\frac{3}{8} \operatorname{ar}(A B C)$

(iii) ar $(P B Q)=\operatorname{ar}(A R C)$

हल : 

(i) प्रशनानुसार $\triangle A B C$ में बिन्दु $P$ तथा $Q$ क्रमशः भुजाओं $A B$ और $B C$ के मध्य-बिन्दु हैं। $A Q$ तथा $P C$ को मिलाइए। $\triangle A B Q$ की माधिका $Q R$ है।

B $\operatorname{ar}(\Delta P R Q)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta A P Q)$ ...........(i)

पुन: $\triangle A B Q$ की माधिया $Q P$ है अतः

$\operatorname{ar}(\Delta A P Q)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta A B Q)$....(ii)

तथा $\triangle A B C$ की माध्यिका $A Q$ है। अतः

$\operatorname{ar}(\Delta A B Q)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta A B C)$.......(iii)

समीकरण (i) व (ii) से

$\begin{aligned}\operatorname{ar}(\Delta P R Q) &=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle A P Q) \\&=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle A B Q) \end{aligned}$........(iv)

$=\frac{1}{4}$ ar(ΔABQ)

$=\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} $ ar(ΔABC) [समीकरण (iii) से]

∴ ar(ΔPRQ)$=\frac{1}{8}$ ar(ΔABC)........(iv)

चूँकि ΔAPCकी माध्यिका CR है अतः

ar(ΔARC)$=\frac{1}{2}$ ar(ΔAPC)

$=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} $ arΔABC)

$=\frac{1}{4}$ ar(ΔABC) (क्योंकि ΔABC कीमाध्यिका CP है) 

ar(ΔABC)=4ar(ΔARC).........(v)

समीकरण (iv) व (v) से

$\operatorname{ar}(\Delta P R Q)=\frac{1}{8} \times 4 \operatorname{ar}(\Delta A R C)$ [ समीकरण (v) से]

ar $(\Delta P R Q)=\frac{1}{2}$ ar $(\triangle A R C)$ 

(ii) $ar(\triangle R Q C)=\operatorname{ar}(\triangle R Q A)+\operatorname{ar}(\triangle A Q C)-\operatorname{ar}(\Delta A R C)$.....(vi)

$\because \triangle P Q A$ की माध्यिका $R Q$ है अतः

$\begin{aligned}\operatorname{ar}(\triangle R Q A) &=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta P Q A) \\&=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle A Q B)\end{aligned}$ [समीकरण (ii) से]

$=\frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta A Q B)$

$=\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle A B C)$ [समीकरण (iii) से]

$=\frac{1}{8} \operatorname{ar}(\Delta A B C)$...........(vii)

चूँकि $\triangle A B C$ की माध्यिका $A Q$ है, अत:

$\operatorname{ar}(\Delta A Q C)=\frac{1}{2} \text { ar }(\Delta A B C)$..........(viii)

चूँकि $\triangle A P C$ की माध्यिका $C R$ है, अतः

$\begin{aligned}\operatorname{ar}(\Delta A R C) &=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta A P C) \\&=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle A B C)\end{aligned}$

                   (क्योंकि $\triangle A B C$ की माध्यिका $C P$ है)

$=\frac{1}{4} \operatorname{ar}(\triangle A B C)$..........(ix)

अब समीकरण (vi), (vii), (viii) व (ix) से

$\operatorname{ar}(\triangle R Q C)=\frac{1}{8} \operatorname{ar}(\Delta A B C)+\frac{1}{2}$ $\operatorname{ar}(\Delta A B C)-\frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta A B C)$

$=\left[\frac{1}{8}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right] \operatorname{ar}(\Delta A B C)$

$=\frac{3}{8} \operatorname{ar}(\triangle A B C)$

(iii) चूँकि $\triangle A B Q$ की माध्यिका $P Q$ है, अत:

$\begin{aligned}\operatorname{ar}(\Delta P B Q) &=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta A B Q) \\&=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle A B C)\end{aligned}$

                          (क्योंकि $\triangle A B C$ की माध्यिका $A Q$ है)

$=\frac{1}{4} \operatorname{ar}(\triangle A B C)$..............(x)

समीकरण (ix) व $(\mathrm{x})$ के अनुसार 

$\operatorname{ar}(\Delta P B Q)=\operatorname{ar}(\triangle A R C)$

प्रश्न 13. 

आकृति में, $A B C$ एक 'समकोण त्रिभुज है जिसका कोण $A$ समकोण है। $B C E D, A C F G$ और $A B M N$ क्रमशः भुजाओं $B C, C A$ और $A B$ पर बने वर्ग हैं। रेखाखण्ड $A X \perp D E$ भुजा $B C$ को बिन्दु $Y$ पर' मिलता है। दर्शाइए कि :

(i) $\triangle M B C \cong \triangle A B D$

(ii) $\operatorname{ar}(B Y X D)=2 \operatorname{ar}(M B C)$

(iii) $\operatorname{ar}(B Y X D)=\operatorname{ar}(A B M N)$

(iv) $\Delta F C B \cong \Delta A C E$

(v) $\operatorname{ar}(C Y X E)=2 \operatorname{ar}(F C B)$

(vi) $\operatorname{ar}(C Y X E)=\operatorname{ar}(A C F G)$

(vii) $\operatorname{ar}(B C E D)=\operatorname{ar}(A B M N)+\operatorname{ar}(A C F G)$

'

हल : 

(i) प्रश्नानुसार दिए गए चित्र में

$\triangle M B C$ और $\triangle A B D$ में,

BC=BD [वर्ग BCED की भुजाएँ 

∠MBC=∠ABD (क्योंकि प्रत्येक 90°+∠ABC

MB=AB [वर्ग ABMN की भुजाएँ 

ΔMBC⩭ΔABD सर्वांगसमता के नियम SAS के अनुसार

(ii) अब $\triangle A B D$ और वर्ग $B Y X D$ एक ही आधार $B D$ और एक ही समान्तर रेखाओं $B D$ और $A X$ के बीच स्थित है। अतः

$\operatorname{ar}(\Delta A D B)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(B Y X D)$

$\begin{aligned} \Delta M B C & \cong \triangle A B D \\ \text { ar }(\Delta M B C) &=\operatorname{ar}(\Delta A B D) \end{aligned}$

ar $(\Delta M B C)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(B Y X D)$…(i)

$\operatorname{ar}(B Y X D)=2 \operatorname{ar}(\triangle M B C)$

इति सिद्धम्।

(iii) अब $\triangle M B C$ और वर्ग $A B M N$ एक ही आधार $M B$ और एक हीं समान्तर रेखाओं $M B$ तथा $N A$ के बीच स्थित हैं। अत:

$\text { ar }(\Delta M B C)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(A B M N)$..........(ii)

समीकरण (i) व (ii) से

$\operatorname{ar}(B Y X D)=\operatorname{ar}(A B M N)$

(iv) अब $\triangle F C B$ तथा $\triangle A C E$ में,

$C B=C E$[वर्ग $B C E D$ की भुजाएँ।

$\angle F C B=\angle A C E \quad$ (क्योंकि प्रत्येक कोण $\left.90^{\circ}+\angle B C A\right)$

$F C=A C$ [वर्ग $A C F G$ की भुजाएँ

$\triangle F C B \cong \triangle A C E$(सर्वांगसमता के नियम $S A S$ के अनुसार)

(v) चित्रानुसार $\triangle A C E$ और वर्ग $C Y X E$ एक ही आधार $C E$ और एक ही समान्तर रेखाओं $C E$ तथा $A X$ के बीच स्थित हैं अत:

$\begin{aligned} \operatorname{ar}(A C E) &=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(C Y X E) \\ \frac{1}{2} \operatorname{ar}(C Y X E) &=\operatorname{ar}(\Delta F C B) \\ \operatorname{ar}(C Y X E) &=2 \operatorname{ar}(\Delta F C B) \end{aligned}$  [भाग (iii) के अनुसार] इति सिद्धम्।

(vi) वर्ग $A C F G$ और $\triangle B C F$ एक ही आधार $C F$ और एक ही समान्तर रेखाओं $C F$ और $B G$ के बीच स्थित हैं 

अतः

$\operatorname{ar}(\triangle B C F)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(A C F G)$

$\operatorname{ar}(\Delta F C B)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(C Y X E)$

$\frac{1}{2} \operatorname{ar}(C Y X E)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(A C F G)$

(vii)

$\begin{aligned} \operatorname{ar}(C Y X E)=& \operatorname{ar}(A C F G) . \\ \operatorname{ar}(B C E D)=& \operatorname{ar}(B Y X D)+\operatorname{ar}(C Y X E) \\=& \operatorname{ar}(A B M N)+\operatorname{ar}(A C F G) \\ &\left[\begin{array}{rl}\text { [भाग (iii) तथ }\end{array}\right.\end{aligned}$

[भाग (iii) तथा भाग (vi) से] इति सिद्धम।