प्रश्नावली 9 (D)
प्रत्येक प्रश्न के चार उत्तर दिये हैं । सही उत्तर छाँटकर लिखिए :
प्रश्न 1.
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल $6 \sqrt{3}$ सेमी $^{2}$ है और आधार की लम्बाई 3 सेमी है । त्रिभुज की ऊँचाई होगी :
(i) $2 \sqrt{3}$ सेमी
(ii) $4 \sqrt{3}$ सेमी
(iii) $4 \sqrt{3}$ सेमी $^{2}$
(iv) $2 \sqrt{3}$ सेमी $^{2}$ ।
उत्तर :
विकल्प (ii) $4 \sqrt{3}$ सेमी ।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}$ आंधार $\times$ ऊँचाई
$6 \sqrt{3}=\frac{1}{2} \times 3 \times$ ऊँचाई ऊँचाई $=\frac{2 \times 6 \sqrt{3}}{3}$
ऊँचाई $=4 \sqrt{3}$ सेमी ।
प्रश्न 2.
एक समलम्ब की समान्तर भुजाएँ 2 सेमी और 5 सेमी हैं, उनके बीच की दूरी 4 सेमी है । समलम्ब का क्षेत्रफल होगा :
(i) 28 सेमी $^{2}$
(ii) 35 सेमी $^{2}$
(iii) 11 सेमी $^{2}$
(iv) 14 सेमी $^{2}$ ।
उत्तर : विकल्प (iv) 14 सेमी $^{2}$ ।
हल :
समलम्ब का क्षेत्रफल$=\frac{1}{2}$ [समान्तर भुजाओं का योग ] × बीच की दूरी
$=\frac{1}{2}[2+5] \times 4$
=7×2
=14 सेमी $^{2}$
प्रश्न 3.
त्रिभुज की कोई माध्यिका उसे दो भागों में बाँटती है, तो उनके क्षेत्रफल होते हैं :
(i) असमान
(ii) बराबर
(iii) एक-दूसरे का दुगुना
(iv) एक-दूसरे से दो अधिक ।
उत्तर : विकल्प (ii) बराबर ।
प्रश्न 4.
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल, उसके विकर्णों के गुणनफल का होता है :
(i) तिहाई
(ii) चौथाई
(iii) आधा
(iv) बराबर ।
उत्तर : विकल्प (iii) आधा ।
प्रश्न 5.
किसी समान्तर चतुर्भुज का एक विकर्ण उसे बाँटता है :
(i) दो बराबर भागों में
(ii) दो असमान भागों में
(iii) चार बराबर भागों में'
(iv) चार असमान भागों में ।
उत्तर : विकल्प (i) दो बराबर भागों में।
प्रश्न 6.
समांतर चतुर्भुज $A B C D$ और आयत $A B E F$ एक ही आधार पर स्थित हैं और उनके क्षेत्रफल बराबर हैं। दर्शाइए कि समांतर चतुर्भुज का परिमाप आयत के परिमाप से अधिक है।
हल :
दिया है : समान्तर चतुर्भुज ABCD तथा आयत ABEF एक ही आधार AB पर स्थित हैं तथा ar(ABCD)=ar(ABEF).
सिद्ध करना है : समान्तर चतुर्भुज की परिमाप > आयत की परिमाप'
अर्थात् $A B+B C+C D+D A>A B+B E+E F+A F$
उपपत्ति : $\triangle A F D, \angle \mathrm{F}=90^{\circ}$
$D A>F A$..............(I)
$\triangle B C E$ में, $\angle C E B=90^{\circ}$
$B C>B E$..............(ii)
$A B=E F$ (आयत की सम्मुख भुजायें) ......(iii)
$C D=A B$.....(iv)
(समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा)
समीकरण (i), (ii), (iii) तथा (iv) से,
$D A+B C+A B+C D>F A+B E+E F+A B$ $A B+B C+C D+D A,>A B+B E+E F+F A$
प्रश्न 7.
आकृति में, भुजा $B C$ पर दो बिन्दु $D$ और $E$ इस प्रकार स्थित हैं कि $B D=D E=E C$ है। दर्शाइए कि ar $(A B D)=\operatorname{ar}(A D E)=\operatorname{ar}(A E C)$ है।
हल :
दिया है : $\triangle A B C$ में, $B C$ पर दो बिन्दु $D$ तथा $E$ इस प्रकार हैं कि
$B D=D E=E C$
सिद्ध करना है : $\operatorname{ar}(A B D)=\operatorname{ar}(A D E)=\operatorname{ar}(A E C)$
रचना : $A M \perp B C$ खींचा।
क्षेत्रफल $(A B D)=\frac{1}{2} \times B D \times A M$
क्षेत्रफल $(A D \dot{E})=\frac{1}{2} \times D E \times A M$
क्षेत्रफल $(A E C)=\frac{1}{2} \times E C \times A M$
$B D=D E=E C$
$\operatorname{ar}(A B D)=\operatorname{ar}(A D E)=\operatorname{ar}(A F C)$
प्रश्न 8.
आकृति में, $A B C D, D C F E$ और $A B F E$ समांतर चतुर्भुज हैं। दर्शाइए कि $\operatorname{ar}(A D E)=\operatorname{ar}(B C F)$ है।
हल :
दिया है : तीन समान्तर चतुर्भुज $A B C D, D C F E$ तथा $A B F E$ दिए हैं। सिद्ध करना है : $\operatorname{ar}(A D E)=\operatorname{ar}(B C F)$
उपपत्ति : $\triangle A D E$ तथा $\triangle B C F$ में,
$\left.\begin{array}{l}A E=B F \\ A D=B C \\ D E=C F\end{array}\right\}$ (समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)
$\Delta A D E \cong \triangle B C F$, (SSS)
हम जानते हैं समरूप त्रिभुज क्षेत्रफल में समान होते हैं।
अत: $\operatorname{ar}(A D E)=\operatorname{ar}(B C F)$
प्रश्न 9.
आकृति में, $A B C D$ एक समांतर चतुर्भुज है और $B C$ को एक बिन्दु $Q$ तकं इस प्रकार बढ़ाया गया है कि $A D=C Q$ है। यदि $A Q$ भुजा $D C$ को $P$ पर प्रतिच्छेद करती है, तो दर्शाइए कि $\operatorname{ar}(B P C)=\operatorname{ar}(D P Q)$ है। (संकेत : $A C$ को मिलाइए I)
हल :
दिया है : $A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है तथा $B C$ को एक बिन्दु $Q$ तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि $A D$ $=C Q$ तथा $A Q$ भुजा $D C$ को $P$ पर प्रतिच्छेदित करती है।
सिद्ध करना है : ar $B P C=\operatorname{ar}(D P Q)$.
रचना : $A C$ तथा $P B$ को मिलाय़ा।
$\because \triangle A P C$ और $\triangle B P C$ एक ही आधार $P C$ पर तथा समान समान्तर रेखाओं $P C$ तथा $A B$ के बीच स्थित हैं।
ar(APC)=ar(BPC).......(i)
AD=CQ (दिया है)
AD||B C
AD||CQ
: चतुर्भुज ADQC में, सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समान्तर है।
$\because A D Q C$ एक समान्तर चतुर्भुज है
$\Rightarrow A P=P Q$ तथा $C P=P D$
$\triangle A P C$ तथा $\triangle D P Q$ में,
AP=PQ (सिद्ध कर चुके)
∠APC=∠DPQ ( शोर्षाभिमुख कोण)
PC=PD (सिद्ध कर चुके)
ΔAPC⩭ΔDPQ [SAS प्रगुण द्वारा] ar(A P C)ar(DPQ) [∵ ar(APC)=ar(BPC)]
ar(BPC)=ar(DPQ)
प्रश्न 10.
आकृति में, $A B C$ और $B D E$ दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि $D$ भुजा $B C$ का मध्य-बिन्दु है। यदि $A E$ भुजा $B C$ को $F$ पर प्रतिच्छेद करती है, तो दर्शाइए कि
(i) $\operatorname{ar}(B D E)=\frac{1}{4} \operatorname{ar}(A B C)$
(ii) $\operatorname{ar}(B D E)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(B A E)$
(iii) $\operatorname{ar}(A B C)=2 \operatorname{ar}(B E C)$
(iv) $\operatorname{ar}(B F E)=\operatorname{ar}(A F D)$
(v) $\operatorname{ar}(B F E)=2 \operatorname{ar}(F E D)$
(vi) $\operatorname{ar}(F E D)=\frac{1}{8} \operatorname{ar}(A F C)$
हल :
चित्रानुसार $E C$ और $A D$ को मिलाया। चूँकि $\triangle A B C$ एक समबाहु त्रिभुज है।
अतः
$\angle A=\angle B=\angle C=60^{\circ}$
तथा $\triangle B D E$ भी एक समबाहु त्रिभुज है अतः
$\angle B=\angle D=\angle E=60^{\circ}$
यदि ह यह मान लें कि $A C$ तथा $B E$ दो रेखाएँ हैं तथा $B C$ एक तिर्यक रेखा इन्हें काटती है तो
$\angle B=\angle C=60^{\circ}$
(एकान्तर कोण)
अर्थात्
$B E \| A C$
क्योंकि यदि एकान्तर कोण बराबर होते हैं तो रेखाएँ समान्तर होती हैं।
इसी प्रकार यदि $A B$ तथा $D E$ दो रेखाएँ हैं तथा $B F$ एक तिर्यक रेखा इन्हें काटती है तो $\angle B=\angle D=60^{\circ}$
अतः $A B \| D E$
(i) समबाहु $\triangle B D E$ का क्षेत्रफल $=\frac{\sqrt{3}}{4}(B D)^{2}$.............(i)
[क्योंकि समबाहु $\Delta$ का क्षेत्रफल $=\frac{\sqrt{3}}{4}$ ( भुजा)$^{2}$ ]
इसी प्रकार समबाहु $.AB C$ का क्षेत्रफल $=\frac{\sqrt{3}}{4}(B C)^{2}$
समीकरण (i) को (ii) से भाग देने पर
$\begin{aligned} \frac{\operatorname{ar}(\Delta B D E)}{\operatorname{ar}(\Delta A B C)} &=\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}(B D)^{2}}{\frac{\sqrt{3}}{4}(B C)^{2}} \\ &=\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}(B D)^{2}}{\frac{\sqrt{3}}{4}(2 B D)^{2}}=\frac{B D^{2}}{4 B D^{2}} \end{aligned}$
[क्योंकि $D$, बिन्दु $B C$ का मध्य-बिन्दु है]
$\begin{aligned} \frac{\operatorname{ar}(\Delta B D E)}{\operatorname{ar}(\dot{\Delta A B C})} &=\frac{1}{4} \\ B D &=D C \\ B C &=B D+D C \\ &=B D+B D \\ &=2 B D \\ \operatorname{ar}(\Delta B D E) &=\frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta A B C) \end{aligned}$
(ii) $\triangle B E C$ में $E D$ एक माधिका है।
$\operatorname{ar}(\triangle B D E)=\frac{1}{2}$ ar $(\triangle B E C)$............(iii)
क्योंकि माध्यिका त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
$\therefore$
$B E \| A C$
अतः $\triangle B E C$ और $\triangle B A E$ एक ही आधार $B E$ तथा एक ही समान रेखाओं $B E$ तथा $A C$ के बीच स्थित हैं।
$\therefore$$\operatorname{ar}(\Delta B E C)=\operatorname{ar}(\Delta B A E)$..........(iv)
समीकरण (iv) का मान 'समीकरण (iii) में रखने पर
$\operatorname{ar}(\triangle B D E)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle B A E) .$
(iii) पुन: क्योंकि $E D$ रेखा $\triangle B E C$ की एक माध्यिका है।
$\operatorname{ar}(\Delta B D E)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta B E C)$
भाग (i) से $\operatorname{ar}(\Delta B D E)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle A B C)$
$\frac{1}{4}$ ar $(\triangle A B C)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle B E C)$
ar $(\triangle A B C)=4 \times \frac{1}{2}$ ar $(\Delta B E C)$
$\operatorname{ar}(\triangle A B C)=2 \operatorname{ar}(\triangle B E C)$.
(iv) $\because \angle B D E=\angle A B D=60^{\circ}$ (दिया है)
अब $\triangle B D E$ और $\triangle A D E$ एक ही आधार $D E$ तथा एक ही समान्तर रेखाओं $A B$ और $D E$ के बीच स्थित हैं अतः ar $(\Delta B D E)=\operatorname{ar}(\triangle A D E)$
दोनों पक्षों में से $\operatorname{ar}(\triangle F E D)$ घटाने पर
$\begin{aligned} \operatorname{ar}(\Delta B D E)-\operatorname{ar}(\Delta F E D) &=\operatorname{ar}(\Delta A D E)-\operatorname{ar}(\Delta F E D) \\ \operatorname{ar}(\Delta B F E) &=\operatorname{ar}(\Delta A F D) \end{aligned}$
(v) $\triangle B D E$ तथा $\triangle A E D$ एक की आधार $D E$ तथा एक ही समान्तर रेखाओं $A B$ तथा $E D$ के बीच स्थित हैं अतः
$\operatorname{ar}(\Delta B D E)=\operatorname{ar}(\Delta A E D)$
दोनों पक्षों में से $\operatorname{ar}(\triangle F E D)$ को घटाने पर
$\operatorname{ar}(\Delta B D E)-\operatorname{ar}(\Delta F E D)=\operatorname{ar}(\Delta A E D)\operatorname{ar}(\Delta F E D)$
या$\operatorname{ar}(\Delta B F E)=\operatorname{ar}(\triangle A F D)$.............(v)
एक समबाहु त्रिभुज में खींची गई माध्यिका भुजा पर लम्ब होती है। अतः $A D \perp B C$ क्योंकि $A D$ भुजा $\triangle A B C$ की माध्यिका है।
अत:
$\text { ar }(\triangle A F D)=\frac{1}{2} \times F D \times A D$.........(vi)
अब $B C$ भुजा पर $E$ बिन्दु से एक लम्ब रेखा $E G$ खींची अर्थात् $E G \perp B C$
$\operatorname{ar}(\Delta F E D)=\frac{1}{2} \times F D \times E G$..........(vii)
समीकरण (vi) में 'समीकरण' (vii) का भाग देने पर
$\begin{aligned}\frac{\operatorname{ar}(\Delta A F D)}{\operatorname{ar}(\Delta F E D)}&=\frac{\frac{1}{2} \times F D \times A D}{\frac{1}{2} \times F D \times E G} \\\frac{\operatorname{ar}(\Delta A F D)}{\operatorname{ar}(\Delta F E D)} &=\frac{A D}{E G} \\&=\frac{\frac{\sqrt{3}}{4} B C}{\frac{\sqrt{3}}{4} B D}\end{aligned}$
[क्योंकि समबाहु त्रिभुज के शीर्ष लम्ब $=\frac{\sqrt{3}}{4} \times$ भुजा]
या (क्योंकि भुजा $B C$ का मध्य-बिन्दु $D$ है),
या $\frac{\operatorname{ar}(\Delta A F D)}{\operatorname{ar}(\Delta F E D)}=2$
ar $(\triangle A F D)=2 \operatorname{ar}(\Delta F E D)$............(viii)
अब 'समीकंरण' (v) व (viii) से $\operatorname{ar}(\Delta B F E)=2 \operatorname{ar}(\Delta F E D) .$
(vi)
$\begin{aligned}\operatorname{ar}(\Delta A F C) &=\operatorname{ar}(\Delta A FD)+\operatorname{ar}(\triangle A D C) \\&=2 \operatorname{ar}(\Delta F E D)+\frac{1}{2}\operatorname{ar}(\triangle A B C)\end{aligned}$
[समीकरण (viii) का प्रयोग करने पर]
हम यह भी जानते हैं. कि माधिका त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। अतः
$\operatorname{ar}(\Delta A F C)=2 \operatorname{ar}(\Delta F E D)+\frac{1}{2}[4 \operatorname{ar}(\Delta B D E)]$
[भाग (i) के परिणाम से]
$\begin{aligned}&=2 \operatorname{ar}(\Delta F E D)+2 \text { ar }(\Delta B D E) \\&=2 \text { ar }(\Delta F E D)+2 \text { ar }(\triangle A E D)\end{aligned}$
क्योंकि $\triangle B D E$ तथा $\triangle A E D$ एक ही आधार $E D$ तथा एक ही समान्तर रेखाओं $A B$ तथा $D E$ के बीच स्थित हैं $]$
$=2 \operatorname{ar}(\Delta F E D)+2[\operatorname{ar}(\Delta A F D)+\operatorname{ar}(\Delta F E D)]$
$=2 \operatorname{ar}(\Delta F E D)+2 \operatorname{ar}(\Delta A F D)+2 \operatorname{ar}(\Delta F E D)$
=4ar(ΔFED)+2[2ar(ΔFED)] [समीकरण (viii) से]
=4ar(ΔFED)+4ar(ΔFED)
ar(ΔAFC)=8ar(ΔFED)
8ar(ΔFED)=ar(ΔAFC)
ar(Δ FED)$=\frac{1}{8}$ ar(ΔAFC) इति सिद्धम्
प्रश्न 11.
चतुर्भुज $A B C D$ के विकर्ण $A C$ और $B D$ परस्पर बिन्दु $P$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि ar $(A P B) \times \operatorname{ar}(C P D)=\operatorname{ar}(A P D) \times \operatorname{ar}(B P C)$ है।
[संकेत : $A$ और $C$ से $B D$ पर लम्ब खींचिए।]
हल :
दिया है : एक चतुर्भुज $A B C D$ है जिसमें विकर्ण क्रमशः $A C$ तथा $B D$ परस्पर $P$ बिन्दु पर प्रतिच्छेदित करते हैं।
सिद्ध करना है : ar $(\triangle A P B) \times \operatorname{ar}(\Delta C P D)=$ ar $(\triangle A P D) \times \operatorname{ar}(B P C)$.
रचना : चित्रानुसार बिन्दु $A$ से $A M \perp B D$ तथा बिन्दु $C$ से $C N \perp B D$ खींची।
उपपत्ति :
$\operatorname{ar}(\Delta A B P)=\frac{1}{2} \times B P \times A M$..........(i)
$\operatorname{ar}(\Delta A P D)=\frac{1}{2} \times D P \times A M$........(ii)
समीकरण (ii) में (i) से भाग देने पर
$\frac{\operatorname{ar}(\Delta A P D)}{\operatorname{ar}(\Delta A B P)}=\frac{\frac{1}{2} \times \dot{D} P \times A M}{\frac{1}{2} \times B P \times A M}$...........(iii)
$\frac{\operatorname{ar}(\Delta C D P)}{\operatorname{ar}(\Delta B P C)}=\frac{\frac{1}{2} \times D P \times C N}{\frac{1}{2} \times B P \times C N}$
$\frac{\operatorname{ar}(\Delta C D P)}{\operatorname{ar}(\Delta B P C)}=\frac{D P}{B P}$.........(iv)
समी'करण (iii) व (iv) के अनुसार
$\frac{\operatorname{ar}(\Delta A P D)}{\operatorname{ar}(\Delta A B P)}=\frac{\operatorname{ar}(\Delta C D P)}{\operatorname{ar}(\Delta B P C)}$ $\operatorname{ar}(\Delta A P D) \times \operatorname{ar}(\Delta B P C)=\operatorname{ar}(\Delta A B P) \times \operatorname{ar}(\Delta C D P)$ इति सिद्धम्।
प्रश्न 12
.P और $Q$ क्रमशः त्रिभुज $A B C$ की भुजाओं $A B$ और $B C$ के मध्य-बिन्दु हैं तथा $R$ रेखाखण्ड $A P$ का मध्य-बिन्दु है। दर्शाइए कि :
(i) ar $(P R Q)=\frac{1}{2}$ ar $(A R C)$
(ii) $\operatorname{ar}(R Q C)=\frac{3}{8} \operatorname{ar}(A B C)$
(iii) ar $(P B Q)=\operatorname{ar}(A R C)$
हल :
(i) प्रशनानुसार $\triangle A B C$ में बिन्दु $P$ तथा $Q$ क्रमशः भुजाओं $A B$ और $B C$ के मध्य-बिन्दु हैं। $A Q$ तथा $P C$ को मिलाइए। $\triangle A B Q$ की माधिका $Q R$ है।
B $\operatorname{ar}(\Delta P R Q)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta A P Q)$ ...........(i)
पुन: $\triangle A B Q$ की माधिया $Q P$ है अतः
$\operatorname{ar}(\Delta A P Q)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta A B Q)$....(ii)
तथा $\triangle A B C$ की माध्यिका $A Q$ है। अतः
$\operatorname{ar}(\Delta A B Q)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta A B C)$.......(iii)
समीकरण (i) व (ii) से
$\begin{aligned}\operatorname{ar}(\Delta P R Q) &=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle A P Q) \\&=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle A B Q) \end{aligned}$........(iv)
$=\frac{1}{4}$ ar(ΔABQ)
$=\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} $ ar(ΔABC) [समीकरण (iii) से]
∴ ar(ΔPRQ)$=\frac{1}{8}$ ar(ΔABC)........(iv)
चूँकि ΔAPCकी माध्यिका CR है अतः
ar(ΔARC)$=\frac{1}{2}$ ar(ΔAPC)
$=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} $ arΔABC)
$=\frac{1}{4}$ ar(ΔABC) (क्योंकि ΔABC कीमाध्यिका CP है)
ar(ΔABC)=4ar(ΔARC).........(v)
समीकरण (iv) व (v) से
$\operatorname{ar}(\Delta P R Q)=\frac{1}{8} \times 4 \operatorname{ar}(\Delta A R C)$ [ समीकरण (v) से]
ar $(\Delta P R Q)=\frac{1}{2}$ ar $(\triangle A R C)$
(ii) $ar(\triangle R Q C)=\operatorname{ar}(\triangle R Q A)+\operatorname{ar}(\triangle A Q C)-\operatorname{ar}(\Delta A R C)$.....(vi)
$\because \triangle P Q A$ की माध्यिका $R Q$ है अतः
$\begin{aligned}\operatorname{ar}(\triangle R Q A) &=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta P Q A) \\&=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle A Q B)\end{aligned}$ [समीकरण (ii) से]
$=\frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta A Q B)$
$=\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle A B C)$ [समीकरण (iii) से]
$=\frac{1}{8} \operatorname{ar}(\Delta A B C)$...........(vii)
चूँकि $\triangle A B C$ की माध्यिका $A Q$ है, अत:
$\operatorname{ar}(\Delta A Q C)=\frac{1}{2} \text { ar }(\Delta A B C)$..........(viii)
चूँकि $\triangle A P C$ की माध्यिका $C R$ है, अतः
$\begin{aligned}\operatorname{ar}(\Delta A R C) &=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta A P C) \\&=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle A B C)\end{aligned}$
(क्योंकि $\triangle A B C$ की माध्यिका $C P$ है)
$=\frac{1}{4} \operatorname{ar}(\triangle A B C)$..........(ix)
अब समीकरण (vi), (vii), (viii) व (ix) से
$\operatorname{ar}(\triangle R Q C)=\frac{1}{8} \operatorname{ar}(\Delta A B C)+\frac{1}{2}$ $\operatorname{ar}(\Delta A B C)-\frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta A B C)$
$=\left[\frac{1}{8}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right] \operatorname{ar}(\Delta A B C)$
$=\frac{3}{8} \operatorname{ar}(\triangle A B C)$
(iii) चूँकि $\triangle A B Q$ की माध्यिका $P Q$ है, अत:
$\begin{aligned}\operatorname{ar}(\Delta P B Q) &=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta A B Q) \\&=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle A B C)\end{aligned}$
(क्योंकि $\triangle A B C$ की माध्यिका $A Q$ है)
$=\frac{1}{4} \operatorname{ar}(\triangle A B C)$..............(x)
समीकरण (ix) व $(\mathrm{x})$ के अनुसार
$\operatorname{ar}(\Delta P B Q)=\operatorname{ar}(\triangle A R C)$
प्रश्न 13.
आकृति में, $A B C$ एक 'समकोण त्रिभुज है जिसका कोण $A$ समकोण है। $B C E D, A C F G$ और $A B M N$ क्रमशः भुजाओं $B C, C A$ और $A B$ पर बने वर्ग हैं। रेखाखण्ड $A X \perp D E$ भुजा $B C$ को बिन्दु $Y$ पर' मिलता है। दर्शाइए कि :
(i) $\triangle M B C \cong \triangle A B D$
(ii) $\operatorname{ar}(B Y X D)=2 \operatorname{ar}(M B C)$
(iii) $\operatorname{ar}(B Y X D)=\operatorname{ar}(A B M N)$
(iv) $\Delta F C B \cong \Delta A C E$
(v) $\operatorname{ar}(C Y X E)=2 \operatorname{ar}(F C B)$
(vi) $\operatorname{ar}(C Y X E)=\operatorname{ar}(A C F G)$
(vii) $\operatorname{ar}(B C E D)=\operatorname{ar}(A B M N)+\operatorname{ar}(A C F G)$
'
हल :
(i) प्रश्नानुसार दिए गए चित्र में
$\triangle M B C$ और $\triangle A B D$ में,
BC=BD [वर्ग BCED की भुजाएँ
∠MBC=∠ABD (क्योंकि प्रत्येक 90°+∠ABC
MB=AB [वर्ग ABMN की भुजाएँ
ΔMBC⩭ΔABD सर्वांगसमता के नियम SAS के अनुसार
(ii) अब $\triangle A B D$ और वर्ग $B Y X D$ एक ही आधार $B D$ और एक ही समान्तर रेखाओं $B D$ और $A X$ के बीच स्थित है। अतः
$\operatorname{ar}(\Delta A D B)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(B Y X D)$
$\begin{aligned} \Delta M B C & \cong \triangle A B D \\ \text { ar }(\Delta M B C) &=\operatorname{ar}(\Delta A B D) \end{aligned}$
ar $(\Delta M B C)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(B Y X D)$…(i)
$\operatorname{ar}(B Y X D)=2 \operatorname{ar}(\triangle M B C)$
इति सिद्धम्।
(iii) अब $\triangle M B C$ और वर्ग $A B M N$ एक ही आधार $M B$ और एक हीं समान्तर रेखाओं $M B$ तथा $N A$ के बीच स्थित हैं। अत:
$\text { ar }(\Delta M B C)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(A B M N)$..........(ii)
समीकरण (i) व (ii) से
$\operatorname{ar}(B Y X D)=\operatorname{ar}(A B M N)$
(iv) अब $\triangle F C B$ तथा $\triangle A C E$ में,
$C B=C E$[वर्ग $B C E D$ की भुजाएँ।
$\angle F C B=\angle A C E \quad$ (क्योंकि प्रत्येक कोण $\left.90^{\circ}+\angle B C A\right)$
$F C=A C$ [वर्ग $A C F G$ की भुजाएँ
$\triangle F C B \cong \triangle A C E$(सर्वांगसमता के नियम $S A S$ के अनुसार)
(v) चित्रानुसार $\triangle A C E$ और वर्ग $C Y X E$ एक ही आधार $C E$ और एक ही समान्तर रेखाओं $C E$ तथा $A X$ के बीच स्थित हैं अत:
$\begin{aligned} \operatorname{ar}(A C E) &=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(C Y X E) \\ \frac{1}{2} \operatorname{ar}(C Y X E) &=\operatorname{ar}(\Delta F C B) \\ \operatorname{ar}(C Y X E) &=2 \operatorname{ar}(\Delta F C B) \end{aligned}$ [भाग (iii) के अनुसार] इति सिद्धम्।
(vi) वर्ग $A C F G$ और $\triangle B C F$ एक ही आधार $C F$ और एक ही समान्तर रेखाओं $C F$ और $B G$ के बीच स्थित हैं
अतः
$\operatorname{ar}(\triangle B C F)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(A C F G)$
$\operatorname{ar}(\Delta F C B)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(C Y X E)$
$\frac{1}{2} \operatorname{ar}(C Y X E)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(A C F G)$
(vii)
$\begin{aligned} \operatorname{ar}(C Y X E)=& \operatorname{ar}(A C F G) . \\ \operatorname{ar}(B C E D)=& \operatorname{ar}(B Y X D)+\operatorname{ar}(C Y X E) \\=& \operatorname{ar}(A B M N)+\operatorname{ar}(A C F G) \\ &\left[\begin{array}{rl}\text { [भाग (iii) तथ }\end{array}\right.\end{aligned}$
[भाग (iii) तथा भाग (vi) से] इति सिद्धम।
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