प्रश्नावली 9 (B)
बहुविकल्पीय प्रश्न
निम्नलिखित प्रश्नों में सही, विकल्प का चयन कर अपनी अभ्यास पुस्तिका में लिखिए।
प्रश्न 1.
एक ऊध्र्वाधर खम्भे की परछाई, खम्भे की ऊँचाई के बराबर है। सूर्य का उन्नयन कोण होगा :
(i) $45^{\circ}$
(ii) $30^{\circ}$
(iii) $60^{\circ}$
(iv) $50^{\circ}$.
हल :
tan (उन्नयन कोण) = खम्भे की ऊँचाई / खम्भे की परछाई
$=\frac{x}{x}=1=\tan 45^{\circ}$
उन्नयन कोण $=45^{\circ}$
अतः विकल्प (i) $45^{\circ}$.
प्रश्न 2.
किसी स्तम्म के शिखर के उन्नयन कोण की tangent उसकी छाया के शीर्ष बिन्दु पर $\frac{3}{4}$ है, तो स्तम्म की ऊँचाई और छाया की लम्बाई में अनुपात है ?
(i) $3: 4$
(ii) $2: 3$
(iii) $1: 2$
(iv) $4: 5 .$
हल :
दिया है : $\tan \theta=\frac{3}{4}$
माना स्तम्भ की ऊँचाई $=\mathrm{AB}=h$
छाया की लम्बाई $=\mathrm{BC}=x$
$\begin{aligned}&\tan \theta=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{CB}} \Rightarrow \frac{h}{x}=\frac{3}{4} \\&h: x=3: 4\end{aligned}$
अतः विकल्प (i) $3: 4$.
प्रश्न 3.
50 मीटर ऊँची एक मीनार के शिखर से पृथ्वी पर एक बिन्दु का अवनमन' कोण $30^{\circ}$ है। बिन्दु की मीनार के पाद से दूरी होगी :
(i) $\frac{50}{\sqrt{3}}$ मीटर
(ii) $50 \sqrt{3}$ मीटर
(iii) 25 मीटर
(iv) $25 \sqrt{2}$ मीटर।
हल :
माना बिन्दु की मीनार के पाद से दूरी
CB=x मीटर
मीनार की ऊँचाई =AB=50 मीटर
$\angle \mathrm{ACB}=30^{\circ}$
$\triangle \mathrm{ABC}$ में,
$\begin{aligned}\tan 30^{\circ} &=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{CB}}=\frac{50}{x} \\\frac{1}{\sqrt{3}} &=\frac{50}{x}\end{aligned}$
$x=50 \sqrt{3}$
अतः विकल्प (ii) $50 \sqrt{3}$ मीटर।
प्रश्न 4.
आँधी के कारण किसी वृक्ष का ऊपरी भाग टूटकर क्षैतिज तल पर 45° का कोण बनाता है । यदि वृक्ष का शिखर क्षैतिज तल पर जड़ से 10 मीटर की दूरी पर मिलता हो, तो वृक्ष की ऊँचाई थीः
(i) 10 मीटर
(ii) 10√2 मीटर
(iii) $10(\sqrt{2}+1)$ मीटर
(iv) $10(\sqrt{2}-1)$ मीटर
हल :
माना AC वृक्ष हैं, जो B से टूट गया हैं । इसका AB भाग पृथ्वी के बिन्दु D से लगा हैं।
DC=10 मीटर
समकोण ΔBCD में,
$cos 45^{\circ}=\frac{CD}{BD}$
$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{10}{BD}$...(1)
∵BD=10√2
∴∠B=180°-(45°+90°)
∠B=45°
∴∠CBD=∠CDB
अतः CD=BC
∴BC=10
तथा BD=10√2
अतः वृक्ष AC की ऊँचाई=AB+BC=x+y
=(10+10√2)
=10(1+√2) मीटर।
अतः विकल्प (iii) 10(1+√2)
प्रश्न 5.
एक झण्डे के लट्ठे के पाद से 50 मीटर की दूरी पर एक बिन्दु A है। यदि ∠PAB=60° तो झण्डे की ऊँचाई हैः
(i) 50√3 मीटर
(ii) 25 मीटर
(iii) 60 मीटर
(iv) 50√2 मीटर
हलः
माना झण्डे की ऊँचाई=PB=h
∠PAB=60° , AB=50 मीटर
ΔPAB में , tan 60°$=\frac{h}{50}$=√3
h=50√3
अतः विकल्प (i) 50√3 मीटर
प्रश्न 6.
समुद्र के किनारे स्थित किसी पहाड़ी से देखने पर एक नाव का, जो पहाड़ी की ओर जा रही है अवनमन कोण $30^{\circ}$ का है। 4 मिनट बाद उसका अवनमन कोण $60^{\circ}$ हो जाता है। उसे किनारे तक पहुँचने में कुल लगा समय होगा :
(i) 3 मिनट
(ii) 2 मिनट
(iii) 12 मिनट
(iv) 8 मिनट।
हल:
$\begin{aligned} \angle \mathrm{LAB} &=30^{\circ} \\ \angle \mathrm{ALB} &=30^{\circ} \\ \angle \mathrm{BLN} &=\left\{180^{\circ}-\left(60^{\circ}+90^{\circ}\right)\right\} \\ &=30^{\circ} \end{aligned}$
समकोण $\Delta \mathrm{LNB}$ में, $\frac{\mathrm{BN}}{\mathrm{LB}}=\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}$
$\mathrm{BN}=\frac{1}{2} \times \mathrm{LB}=\frac{1}{2} \mathrm{AB} \quad[\because \angle \mathrm{LAB}=\angle \mathrm{ALB} ; \mathrm{AB}=\mathrm{LB}]$
अर्थात् $\mathrm{BN}$ दूरी $\mathrm{AB}$ की आधी है।
नाव को किनारे तक पहुँचने में समय $\frac{4}{2}=2$ मिनट और लगेगा।
अतः विक (ii) 2 मिनट।
प्रश्न 7.
एक 80 मी. चौड़ी सड़क के दोनों और आमने-सामने समान लंबाई वाले दो खंभे लगे हुए हैं। इन दोनों खंभों के बीच सड़क के एक बिंदु से खंमों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः $60^{\circ}$ और $30^{\circ}$ है। खंभों की ऊँचाई और खंभों से बिंदु की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :
माना $\mathrm{AB}$ तथा $\mathrm{CD}$ दो खंभे हैं।
$\mathrm{AB}=h$ मीटर
$\mathrm{CD}=h$ मीटर
माना सड़क पर एक बिन्दु P इस प्रकार लिया है कि :
$\begin{aligned}&\mathrm{AP}=x \text { मी. } \\&\mathrm{CP}=(80-x) \text { मी. }\end{aligned}$
अब समकोण $\triangle \mathrm{APB}$ में,
$\begin{aligned} \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AP}} &=\tan 30^{\circ} \\ \frac{h}{x} &=\sqrt{3} \text { or } h=x \sqrt{3} \end{aligned}$.........(1)
पुनः समकोण $\triangle \mathrm{CPD}$ में हमें प्राप्त है :
$\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{CP}}=\tan 30^{\circ}$
$\begin{aligned} \frac{h}{(80-x)} &=\frac{1}{\sqrt{3}} \\ h &=\frac{80-x}{\sqrt{3}} \end{aligned}$......(2)
संमींकरण' (1) और (2) से,
$\begin{aligned} \sqrt{3} x &=\frac{80-x}{\sqrt{3}} \\ \sqrt{3} \times \sqrt{3} \times x &=80-x \\ 3 x &=80-x \\ 3 x+x &=80 \\ 4 x &=80 \\ x &=\frac{80}{4}=20 \\ 80-x &=80 \div 20=60 \end{aligned}$
अब, समीकरण (1) से हमें प्राप्त होता है,
$h=\sqrt{3} \times 20=20 \sqrt{3} \text { मी. }$
अतः अभीष्ट बिन्दु की स्थिति पहले खंभे से 20 मीटर और दूसरे खंभे से 60 मीटर की दूरी पर तथा प्रत्येक खंभे की ऊँचाई $=20 \sqrt{3}$ मीटर है। उत्तर
प्रश्न 8.
एक नहर के एक तट पर एक टीवी टॉवर ऊर्ध्वाघरतः खड़ा है। टॉवर के ठीक सामने दूसरे तट के एक अन्य बिंदु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण $60^{\circ}$ है। इसी तट पर इस बिंदु से 20 मी. दूर और इस बिंदु को मीनार के पाद से मिलाने वाली रेखा पर स्थित एक अन्य बिंदु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण $30^{\circ}$ है। (देखिए आकृति में) टॉवर की ऊँचाई और नहर की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल :
माना T. V. टावर की ऊँचाई $\mathrm{AB}=h$ मीटर माना दो बिन्दु $C$ और $D$ इस प्रकार हैं कि :
$\mathrm{BC}=x$ $\mathrm{CD}=20$
अब, समकोण' $\triangle \mathrm{ABC}$ में,
$\begin{aligned} \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}} &=\tan 60^{\circ} \\ \frac{h}{x} &=\sqrt{3} \\ h &=\sqrt{3} \times x \end{aligned}$..........(1)
पुनः समकोण' $\triangle \mathrm{ABD}$ में,
$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BD}}=\tan 30^{\circ}$
$\because \mathrm{AB}=h$ और $\mathrm{BD}=x+20$ हो, तब
$\begin{aligned} \frac{h \cdot}{x+20} &=\frac{1}{\sqrt{3}} \\ h &=\frac{x+20}{\sqrt{3}} \end{aligned}$..........(2)
समीकरण (1) और (2) से हमें प्राप्त होता है :
$\begin{aligned} \sqrt{3} x &=\frac{x+20}{\sqrt{3}} \\ 3 x &=x+20 \text { or } 3 x-x=20 \\ 2 x &=20 \text { or } x=\frac{20}{2}\end{aligned}$
=10 मी.
अब समीकरण (i) से हमें प्राप्त होता है।
$h=\sqrt{3} \times 10$
$=10 \sqrt{3}$
मीनार की ऊँचाई $=10 \sqrt{3}$ मी.
नहर की चौड़ाई $=10$ मी.।
प्रश्न 9.
1.2 मी. लंबी एक लड़की भूमि से $88.2$ मी. की ऊँचाई पर एक क्षैतिज रेखा में हवा में उड़ रहे गुब्बारे को देखती है। किसी भी क्षण लड़की की आँख से गुबारे का उन्नयन कोण $60^{\circ}$ है। कुछ समय बाद उन्नयन कोण घटकर $30^{\circ}$ हो जाता है।(देखिए आकृति में) इस अंतराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :
माना बिन्द्ध ट प्रेक्षक (लडकी) की स्थिति को दर्शाता है।
$\mathrm{A}$ और $\mathrm{P}$ गुब्बारे की दो स्थितियाँ है।
यहाँ, $\mathrm{PD}=\mathrm{AB}=\mathrm{PF}-\mathrm{DF}$
$=88.2$ मी. $-1.2$ मी $=87$ मी.
अब, समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में,
$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\tan 60^{\circ}$
$\frac{87}{\mathrm{BC}}=\sqrt{3}$ या $\mathrm{BC}=\frac{87}{\sqrt{3}}$ मी.
समकोण' $\triangle$ PDC में,
$\frac{P D}{C D}=\tan 30^{\circ}$
$\frac{87}{\mathrm{CD}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ या $\mathrm{CD}=87 \sqrt{3}$
$\begin{aligned} \mathrm{BD} &=\mathrm{CD}-\mathrm{BC}=87 \sqrt{3}-\frac{87}{\sqrt{3}} \\ &=87\left[\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right] \\ &=87 \times\left(\frac{3-1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{2 \times 87}{\sqrt{3}} \cdot \text { मी. } \\ &=\frac{2 \times 87}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ &=\frac{2 \times 87 \times \sqrt{3}}{3} \end{aligned}$
$=2 \times 29 \times \sqrt{3}$ मी.
इस प्रकार गुब्बारे की दोनों स्थितियों की अभीष्ट दूरी $=58 \sqrt{3}$ मी.।
प्रश्न 10.
एक सीधा राजमार्ग एक मीनार के पाद तक जाता है। मीनार के शिखरं पर खड़ा एक आदमी एक कार को $30^{\circ}$ के अवनमन कोण पर देखता है जो कि मीनार के पाद की और एक समान चाल से जाता है। छ: सेकेंड बाद कार का अवनमन कोण $60^{\circ}$ हो गया। इस बिंदु से मीनार के पाद तक पहुँचने में कार द्वारा लिया गया समय ज्ञात कीजिए।
हल :
माना $\mathrm{AB}$, मीनार की ऊँचाई को व्यक्त करता है। $\mathrm{C}$ और $\mathrm{D}$ कार की दो स्थितियों को दर्शाते है। समकोण $\triangle \mathrm{ABD}$ में,
$\begin{aligned} \frac{A B}{A D} &=\tan 60^{\circ} \\ \frac{A B}{A D} &=\sqrt{3} \\ A B &=\sqrt{3} \cdot A D \ldots(1) \end{aligned}$
समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में,
$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\tan 30^{\circ}$
$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ या $\mathrm{AB}=\frac{\mathrm{AC}}{\sqrt{3}}$..........(2)
समीकरण (1) और (2) से,
$\begin{aligned} \sqrt{3} \mathrm{AD} &=\frac{\mathrm{AC}}{\sqrt{3}} \\ \mathrm{AC} &=\sqrt{3} \times \sqrt{3} \times \mathrm{AD}=3 \mathrm{AD} \\ \mathrm{CD} &=\mathrm{AC}-\mathrm{AD} \\ &=3 \mathrm{AD}-\mathrm{AD}=2 \mathrm{AD} \end{aligned}$
$\therefore$ दूरी 2AD को तय करने में लगा समय =6 सेकण्ड
$\therefore$ दूरी AD को तय करने में लगा समय $=\frac{6}{2}$ सेकण्ड $=3$ सेकण्ड अतः कार को D से मीनार तक पहुँचने में लगा अभीष्ट समय $=3$ सेकण्ड।
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