Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 9 त्रिकोणमिति के कुछ अजुप्रयोग (Some Applications of Trigonometry) प्रश्नावली 9 (A)

 प्रश्नावली 9 (A)

प्रश्न 1. 

भूमि के एक बिंदु से, जो मीनार के पाद - बिंदु से 30 मी. की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण $30^{\circ}$ है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ की भुजा $\mathrm{AB}=$ मीनार की ऊँचाई $=h$. बिन्दु $\mathrm{C}$ की मीनार से दूरी $=30$ मी.

$\therefore$

$\mathrm{AC}=30$ मी.

अब समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}} &=\tan 30^{\circ} \\ \frac{h}{30} &=\frac{1}{\sqrt{3}} \\ h &=\frac{30}{\sqrt{3}}=\frac{30}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=10 \sqrt{3} \quad\left[\because \tan 30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}\right] \end{aligned}$

अतः मीनार की अभीष्ट ऊँचाई $=10 \sqrt{3}$ मी.।

प्रश्न 2. 

आँधी आने से एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाता है। पेड़ के पाद-बिंदु की दूरी, जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छुता है, 8 मी. है। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना पेड़ की कुल ऊँचाई = OP

माना यह बिन्दु $\mathrm{A}$ से टूटता है और इसका शिखर जमीन को $\mathrm{B}$ पर छूता है।

अब, समकोण' $\triangle \mathrm{AOB}$ में,

$\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{OB}}=\tan 30^{\circ}$

$\begin{aligned} \tan 30^{\circ} &=\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{OB}} &=\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{\mathrm{AO}}{8}=\frac{1}{\sqrt{3}} & \text { or} \mathrm{AO}=\frac{8}{\sqrt{3}} \\ \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{OB}} &=\sec 30^{\circ} \\ \frac{\mathrm{AB}}{8} &=\frac{2}{\sqrt{3}} \\ \mathrm{AB} &=\frac{2 \times 8}{\sqrt{3}}=\frac{16}{\sqrt{3}} \end{aligned}$

अब पेड़ की ऊँचाई 

$O P=O A+A P=O A+A B$

$=\frac{8}{\sqrt{3}}+\frac{16}{\sqrt{3}} \quad[\because \mathrm{AB}=\mathrm{AP}]$

$=\frac{24}{\sqrt{3}}=\frac{24}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ मी $=8 \sqrt{3}$ मी.

अतः पेड़ की अभीष्ट ऊँचाई $=8 \sqrt{3}$ मी.।

प्रश्न 3

एक मकान के आधार से एक मीनार के शीर्ष के उन्नयन कोण की माप $60^{\circ}$ तथा उसी मकान के शीर्ष से उसी मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण $45^{\circ}$ है। मकान तथा मीनार के बीच की दूरी 20 मीटर है। मकान तथा मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना मकान की ऊँचाई

AB=x मी. 

तथा मीनार की ऊँचाई CD=H  मी.

∠CBD=60° , ∠CAE=45°

BD=AE=20 मी.

$\triangle \mathrm{CBD}$ से,$\tan 60^{\circ}=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{H}}{20}$

$\begin{aligned}\sqrt{3} &=\frac{\mathrm{H}}{20} \\\mathrm{H} &=20 \sqrt{3}=20 \times 1.732 \\&=34.640\end{aligned}$

मीनार की ऊँचाई =34.64 मीटर

$\triangle \mathrm{CAE}$ से, $\tan 45^{\circ}=\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{AE}}=\frac{\mathrm{H}-x}{20}$

$\begin{aligned}1 &=\frac{34.64-x}{20} \\20 &=34.64-x \\x&=34.64-20 \end{aligned}$

x=14.64 मीटर

मकान की ऊँचाई =14.64 मीट़र

मीनार की ऊँचाई =34.64 मीटर।

प्रश्न 4.

 जिस समय सूर्य का उन्नयन कोण $30^{\circ}$ था एक स्तम्भ की परछाई 20 मीटर नापी गई। स्तम्म की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना स्तम्भ की ऊँचाई $\mathrm{AB}=h$ मीटर

स्तम्भ की परछाई $=\mathrm{BC}=20$ मीटर

अब समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\tan 30^{\circ}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{h}{20}$

$\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{3}} &=\frac{h}{20} \\h &=\frac{20}{\sqrt{3}} \\&=\frac{20 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}\end{aligned}$

$=\frac{20 \sqrt{3}}{3}$ मीटर

स्तम्भ की ऊँचाई $=\frac{20 \sqrt{3}}{3}$ मीटर।

प्रश्न 5.

 यदि एक मीनार की छाया उसकी लम्बाई की $\sqrt{3}$ गुनी है, तो सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए।

माना  मीनार की लम्बाई =AB तथा छाया=BC 

 तथा प्रश्नानुसार, $\mathrm{BC}=\sqrt{3} \mathrm{AB}$

माना उन्नयन कोण θ हैं । 

तब $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\tan \theta=\frac{A B}{B C}=\frac{A B}{\sqrt{3} A B}$

$\begin{aligned} \tan \theta &=\frac{1}{\sqrt{3}}=\tan 30^{\circ} \\ \theta &=30^{\circ} \end{aligned}$

प्रश्न 6. 

सूर्य के प्रकाश में 45 मीटर ऊँची ऊंर्ध्वाधर मीनार की छाया $45 \sqrt{3}$ मीटर की है। सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना  उर्ध्वाधर मीनार की ऊँचाई=AB=45 मीटर

छाया=BC$=45 \sqrt{3}$ मीटर

 

माना सूर्य का उन्नयन कोण

$\angle \mathrm{ACB}=\theta$

अब समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\tan \theta=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{45}{45 \sqrt{3}}$

$\begin{aligned}\tan \theta &=\frac{1}{\sqrt{3}}=\tan 30^{\circ} \\\theta &=30^{\circ}\end{aligned}$

सुर्य का उन्नयन कोण $=30^{\circ}$.

प्रश्न 7.

सर्कस का एक कलाकार एक 20 मी. लंबी डोर पर चढ़ रहा है जो अच्छी तरह से तनी हुई है और भूमि पर सीधे लगे खंभे के शिखर से बंधा हुआ है। यदि भूमि स्तर के साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण $30^{\circ}$ का हो तो खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति में )।

हल : 

आकृति में $\mathrm{AC}=20$ मीटर वह डोर है जिस पर सर्कस का कलाकार चढ़ता है। समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में, हमें प्राप्त है कि

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}} &=\sin 30^{\circ} \\ \sin 30^{\circ} &=\frac{1}{2} \\ \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}} &=\frac{1}{2} \text { or } \frac{\mathrm{AB}}{20}=\frac{1}{2} \end{aligned}$ $[\because \mathrm{AC}=20$ मी.]

$\mathrm{AB}=20 \times \frac{1}{2}=10$ मी.

अतः खंभे की अभीष्ट ऊँचाई 10 मी. है।

प्रश्न 8. 

एक ठेकेदार बच्चों को खेलने के लिए एक पार्क में दो फिसलनपट्टी लगाना चाहती है। 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए वह एक ऐसी फिसलनपट्टी लगाना चाहती है जिसका शिखर $1.5$ मी. की ऊँचाई पर हो और भूमि के साथ $30^{\circ}$ के कोण पर झुका हुआ हो, जबकि इससे अधिक उम्र के बच्चों के लिए वह 3 मी. की ऊँचाई पर एक अधिक ढाल की फिसलनपट्टी लगाना चाहती है, जो भूमि के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाती हो। प्रत्येक स्थिति में फिसलनपट्टी की लंबाई क्या होनी चाहिए?

हल : 

माना छोटे बच्चों के लिए फिसलनपट्टी DE और बड़े बच्चों के लिए फिसलनपट्टी AC हो, तब समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\mathrm{AB}=3$ मी.

$\mathrm{AC}=$ फिसलन पट्टी

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\sin 60^{\circ}$

$\frac{3}{\mathrm{AC}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\mathrm{AC}=\frac{2 \times 3}{\sqrt{3}}=2 \sqrt{3}$ मी.

पुन : समकोण $\Delta \mathrm{BDE}$ में,

$\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{BD}}=\operatorname{cosec} 30^{\circ}$

$\begin{aligned}&\frac{\mathrm{DE}}{1.5}=2 \\&\mathrm{D} \mathrm{E}=2 \times\end{aligned}$

D $\mathrm{E}=2 \times 1.5$ मी या $\mathrm{DE}=3$ मी.

अतः फिसलन पटिटयों की लम्बाई 3 मी. और $2 \sqrt{3}$ मी. है।

प्रश्न 9. 

60 मीटर ऊँची किसी पहाड़ की चोटी से किसी मीनार की चोटी और आघार के अवनमन कोण क्रमशः $30^{\circ}$ और $60^{\circ}$ है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना $\quad$ पहाड़ की ऊँचाई $=\mathrm{AB}=60$ मीटर

तथा मीनार की ऊँचाई $=\mathrm{PQ}=h$

मीनार की चोटी और आधार के कोण, $\angle \mathrm{APC}=30^{\circ}$ तथा $\angle \mathrm{AQB}=60^{\circ}$

माना $\mathrm{QB}=x$ मीटर

अब $\triangle \mathrm{AQB}$ में, $\tan 60^{\circ}=\frac{\dddot A B}{\mathrm{QB}}=\frac{60}{x}$

$\begin{aligned} \sqrt{3} &=\frac{60}{x} \\ x=\frac{60}{\sqrt{3}} &=\frac{60}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \end{aligned}$

$=20 \sqrt{3}$ मीटर 

पुन : $\triangle \mathrm{APC}$ में, $\tan 30^{\circ}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{PC}}=\frac{60-h}{20 \sqrt{3}}$

$\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{3}} &=\frac{60-h}{20 \sqrt{3}} \\ 1 &=\frac{60-h}{20} \\ 20 &=60-h \\ h &=60-20  \end{aligned}$

=40 मीटर 

अतः : मीनार की ऊँचाई $=40$ मीटर।

प्रश्न 10.

 भूमि से 60 मी. की ऊँचाई पर एक पतंग उड़ रही है। पतंग में लगी डोरी को अस्थायी रूप से भूमि के एक बिंदु से बांघ दिया गया है। भूमि के साथ डोरी का झुकाव $60^{\circ}$ है। यह मानकर कि डोरी में कोई ढील नहीं है, डोरी की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना, समकोण ΔAOB में,

OB=डोरी की लम्बाई

AB=60 मी. 

पतंग की ऊँचाई

$\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{AB}}=\operatorname{cosec} 60^{\circ}$

$\frac{\mathrm{OB}}{60}=\frac{2}{\sqrt{3}}$

$\mathrm{OB}=\frac{2 \times 60}{\sqrt{3}}$

$\mathrm{OB}=\frac{120 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}=40 \sqrt{3}$

इस प्रकार डोरी की अमीष्ट लम्बाई $40 \sqrt{3}$ मी. है।

प्रश्न 11. 

एक हवाई जहाज से किसी सड़क पर एक ही ओर स्थित दो गाँवों के अवनमन' कोण $45^{\circ}$ और $60^{\circ}$ देखे गए। यदि गाँवों के बीच की दूरी 2 किमी हो, तो हवाई जहाज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना हवाई जहाज की ऊँचाई

AB=h  किमी

DC=2 किमी

∠ADB=45° , ∠ACB=60° 

CB=x किमी

$\triangle \mathrm{ADB}$ में,

$\tan 45^{\circ}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DB}}=\frac{h}{2+x}$

$\begin{aligned} 1 &=\frac{h}{2+x} \\ 2+x &=h \end{aligned}$.........(1)

$\begin{aligned} \tan 60^{\circ} &=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{CB}}=\frac{h}{x} \\ \sqrt{3} &=\frac{h}{x} \text { or } x=\frac{h}{\sqrt{3}} \end{aligned}$..........(2)

समीकरण (1) तथा (2) से,

$\begin{aligned} 2+\frac{h}{\sqrt{3}} &=h \\ 2 &=h-\frac{h}{\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{3}-1) h}{\sqrt{3}} \\ h &=\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} \\ &-\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} \\ &=\frac{2(3+\sqrt{3})}{3-1} \end{aligned}$

$\begin{aligned}h &=\frac{2(3+1.732)}{2} \\&=4.732\end{aligned}$

अतः हवाई जहाज की ऊँचाई $=4.73$ किमी।

प्रश्न 12

. 1.5 मी. लंबा एक लड़का 30 मी. ऊँचे एक भवन से कुछ दूरी पर खड़ा है। जब वह ऊँचे भवन की ओर जाता है तब उसकी आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण $30^{\circ}$ से $60^{\circ}$ हो जाता है। बताइए कि वह भवन की ओर कितनी दूरी तक चलकर गया है।

हल : 

माना भवन की ऊँचाई $=\mathrm{OA}$

यहाँ $\mathrm{BE}$ एक लड़का है, अर्थात् $\mathrm{BE}=\mathrm{OD}$

दिया है : $\mathrm{AO}=30$ मीटर, तब

$\begin{aligned}\mathrm{AD} &=\mathrm{AO}-\mathrm{OD} \\&=(30-1.5)\end{aligned}$

=28.5 मीटर 

अब, समकोण $\triangle \mathrm{ABD}$ में,

$\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}}=\tan 30^{\circ}$

$\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\mathrm{BD}=\mathrm{AD} \sqrt{3}=28.5 \sqrt{3}$

पुनः समकोण $\Delta \mathrm{ACD}$ में,

$\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{CD}}=\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}$

$\begin{aligned} \mathrm{CD} &=\frac{\mathrm{AD}}{\sqrt{3}}=\frac{28.5}{\sqrt{3}} \\ \mathrm{BC} &=\mathrm{BD}-\mathrm{CD}=28.5 \sqrt{3}-\frac{28.5}{\sqrt{3}} \\ \mathrm{BC} &=28.5\left[\begin{array}{ll}\sqrt[1]{3}-\frac{1}{\sqrt{3}} & \\ & =28.5\left[\frac{3-1}{\sqrt{3}}\right]\end{array}\right.\end{aligned}$

$=28.5 \times \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$=\frac{28.5 \times 2 \times \sqrt{3}}{3}$

$=9.5 \times 2 \times \sqrt{3}=19 \sqrt{3}$

अतः भवन की ओर लड़के द्वारा चली गई दूरी $=19 \sqrt{3}$ मी.।

प्रश्न 13.

 एक अपूर्ण मन्दिर के आधार से 30 मीटर दूर स्थित किसी बिन्दु से उसके शिखर का उन्नयन

कोण $30^{\circ}$ है। मन्दिर कितना ऊँचा और बनाया जाय कि उसी बिन्दु पर उन्नयन कोण $45^{\circ}$ हो जाय? (दिया है, $\sqrt{3}=1.732)$

हल : 

$\mathrm{AB}$ मन्दिर है। $\mathrm{PB}=30$ मीटर, मन्दिर $\mathrm{AB}$ के शिखर का उन्नयन कोण $\mathrm{APB}=30^{\circ}$, मानलो मन्दिर $x$ मीटर ऊँचा और बनाया जाता है (जहाँ $\mathrm{AC}=x$ ) जिससे उसी बिन्दु $\mathrm{P}$ पर उन्नयन कोण $\mathrm{CPB}=45^{\circ}$ हो जाता है।

समकोण $\triangle \mathrm{APB}$ में, $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PB}}=\tan 30^{\circ}$

$\begin{aligned} \frac{A B}{30} &=\frac{1}{\sqrt{3}} \\ A B &=\frac{30}{\sqrt{3}} \\ &=10 \sqrt{3} \text { मीटर } \end{aligned}$.........(1)

अब समकोण $\Delta \mathrm{CBP}$ में,

$\tan 45^{\circ}=\frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{PB}}=\frac{x+\mathrm{AB}}{30}$

$x+A B=30$.....(2)

समीकरण' (2) में (1) से $\mathrm{AB}$ का मान रखने पर

$x+10 \sqrt{3}=30$

$\begin{aligned} x &=30-10 \sqrt{3} \\ &=30-10 \times 1.732 \\ &=30-17.32  \end{aligned}$

=12.6 मीटर 

प्रश्न 14.

7 मी. ऊँचे भवन के शिखर से एक केवल टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण $60^{\circ}$ है और इसके पाद का अवनमन' कोण $45^{\circ}$ है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना केवल टॉवर CD है

माना भवन CE की ऊँचाई =7 मी.

अब, समकोण $\triangle \mathrm{DAE}$ में,

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{EA}} &=\tan 60^{\circ} \text { or } \frac{h}{x}=\sqrt{3} \\ h &=\sqrt{3} \cdot x \end{aligned}$...........(1)

पुनः समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\tan 45^{\circ}$

$\frac{7}{x}=1$ या $x=7$..........(2)

समीकरण (1) और (2) से,

$\begin{aligned} h &=7 \sqrt{3}=\mathrm{DE} \\ \mathrm{CD} &=\mathrm{CE}+\mathrm{ED} \\ &=7+7 \sqrt{3}=7(1+\sqrt{3})  \end{aligned}$

अतः केवल टॉवर की ऊँचाई $7(\sqrt{3}+1)$ मी. है।

प्रश्न 15. 

एक नाव से नदी के किनारे की किसी इमारत के एक प्रकाश स्रोत का उन्नयन कोण $30^{\circ}$ देखा गया। 4 मिनट पश्चात् उसी नाव से प्रकाश स्रोत का उन्नयन कोण $60^{\circ}$ हो गया। ज्ञात कीजिए कि नाव को इमारत के पास किनारे तक पहुँचने में कितना समय लगेगा?

हल : 

मानलो नदी के किनारे की किसी इमारत का प्रकाश स्रोत $\mathrm{L}$ है। नाव $\mathrm{A}$ से प्रकाश स्रोत L का उन्नयन कोण $30^{\circ}$ है। 4 मिनट पश्चात् उसी नाव $\mathrm{B}$ से $\mathrm{L}$ का उन्नयन कोण $60^{\circ}$ है। अतः

$\begin{aligned} \angle \mathrm{LAN} &=30^{\circ} \\ \angle \mathrm{LBN} &=60^{\circ} \end{aligned}$

$\therefore \triangle \mathrm{ALB}$ का

$\angle \mathrm{ALB}=30^{\circ}$

जिससे $\mathrm{LB}=\mathrm{AB}$

अब' समकोण $\triangle \mathrm{LBN}$ में,

$\angle \mathrm{BLN}=180^{\circ}-\left(90^{\circ}+60^{\circ}\right)=30^{\circ}$

अब समकोण $\Delta \mathrm{LNB}$ में,$\frac{\mathrm{BN}}{\mathrm{LB}_{n}}=\sin \angle \mathrm{BLN}$

$=\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}$

$\mathrm{BN}=\frac{1}{2} \mathrm{LB}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}$

अर्थात् $\mathrm{BN}$ दूरी $\mathrm{AB}$ की आधी है।

अतः नाव को $\mathrm{B}$ से किनारे तक पहुँचने में $\frac{4}{2}=2$ मिनट का समय और लगेगा।

प्रश्न 16.

भूमि के एक बिंदु से एक 20 मी. ऊँचे भवन के शिखर पर लगी एक संचार मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः $45^{\circ}$ और $60^{\circ}$ हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना   भवन की ऊँचाई $\mathrm{BC}=20$ मी.

माना संचार मीनार की ऊँचाई, $\quad \mathrm{CD}=x$ मी.

और माना मीनार के तल से बिन्दु $\mathrm{A}$ की दूरी अर्थात् $\mathrm{AB}=y$ मी.

अब, समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}} &=\tan 45^{\circ}=1 \text { or } \frac{20}{y}=1 \end{aligned}$

y =20 मी. अर्थात् AB=20 मी

$\Rightarrow$ अब, समकोण $\triangle \mathrm{ABD}$ में,

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AB}} &=\tan 60^{\circ} \\ \frac{\mathrm{BD}}{20} &=\sqrt{3} \\ \frac{20+x}{20} &=\sqrt{3} \Rightarrow 20+x=20 \sqrt{3} \\ x &=20 \sqrt{3}-20=20[\sqrt{3}-1] \end{aligned}$

अतः संचार मीनार की अभीष्ट ऊँचाई $=20(\sqrt{3}-1)$ मी.।

प्रश्न 17.

 समुद्र-तल से 75 मी. ऊँची लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण $30^{\circ}$ और $45^{\circ}$ हैं। यदि लाइट हाउस के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो तो दो जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना AB लाइट-हाउस है।

AB=75 मी.

माना $\mathrm{C}$ और $\mathrm{D}$ दो जहाज इस प्रकार हैं कि $\mathrm{B}$ से उनके अवनमन कोण क्रमशः $45^{\circ}$ और $30^{\circ}$ हैं।

अब, समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\tan 45^{\circ}$

$\frac{75}{\mathrm{AC}}=1$ या $\mathrm{AC}=75$...........(1)

पुनः समकोण $\triangle \mathrm{ABD}$ में,

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}=\tan 30^{\circ}$

$\frac{75}{\mathrm{AD}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ या $\mathrm{AD}=75 \sqrt{3}$........(2)

चूंकिं, दोनों जहाजों के बीच की दूरी $=C D$

$\begin{aligned}&=\mathrm{AD}-\mathrm{AC}=75 \sqrt{3}-75 \\&=75(\sqrt{3}-1)\end{aligned}$

अतः दोनों जहाजों के बीच की अभीष्ट दूरी $=75(\sqrt{3}-1)$ मी.।

प्रश्न 18. 

एक पेडस्टल के शिखर पर एक $1.6$ मी. ऊँची मूर्ति लगी है। भूमि के एक बिंदु से मूर्ति के शिखर का उन्नयन कोण $60^{\circ}$ है और उसी बिंदु से पेडेस्टल के शिखर का उन्नयन कोण $45^{\circ}$ है। पेडस्टल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना DC मूर्ति और BC पेडस्टल है।

अब समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\cot 45^{\circ}=1$

या $\frac{\mathrm{AB}}{h}=1$ $\mathrm{AB}=h$ मीटर

अब, समकोण $\triangle \mathrm{ABD}$ में,

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AB}} &=\tan 60^{\circ}=\sqrt{3} \\ \mathrm{BD} &=\sqrt{3} \times \mathrm{AB}=\sqrt{3} \times h \\ h+1.6 &=\sqrt{3} h \\ h \sqrt{3}-h &=1.6 \text { या } h(\sqrt{3}-1)=1.6 \\ h &=\frac{1.6}{\sqrt{3}-1}=\frac{1.6}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} \\ h &=\frac{1.6}{3-1} \times(\sqrt{3}+1) \end{aligned}$

$\begin{aligned}&=\frac{1.6}{2} \times \sqrt{3}+1 \\&=0.8(\sqrt{3}+1) \text {.मी. }\end{aligned}$

इस प्रकार, पेडस्टल की ऊँचाई $0.8(\sqrt{3}+1)$ मी. है।

प्रश्न 19.

 एक हवाई जहाज जो कि 1000 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रहा है, पर स्थित मनुष्य उत्तर की ओर एक शत्रु की पनडुब्बी को $30^{\circ}$ के अवनमन' कोण पर तथा दक्षिण की ओर एक युब्दपोत को $45^{\circ}$ के अवनमन कोण पर देखता है। पनडुबी और युद्धपोत के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना हवाई जहाज की ऊँचाई

उत्तर की ओर बना कोण $=\angle A B D=30^{\circ}$ 

दक्षिण की ओर बना कोण $=\angle \mathrm{ACD}=45^{\circ}$

$\mathrm{CD}=x_{1}$ तथा $\mathrm{DB}=x_{2}$

अब $\triangle \mathrm{ACD}$ में, Z$\cot 45^{\circ}=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{AD}}=\frac{x_{1}}{1000}=1$

$x_{1}=1000$ मीटर..........(1)

पुनः $\triangle \mathrm{ABD}$ में z$\cot 30^{\circ}=\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{AD}}=\frac{x_{2}}{1000}=\sqrt{3}$

या $x_{2}=1000 \sqrt{3}$..................(2)

समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर,

$\begin{aligned} x_{1}+x_{2} &=1000+1000 \sqrt{3} \\ &=1000(1+\sqrt{3}) \\ &=1000\left(1+1.73^{\prime} 2\right) \\ &=1000(2.732) \\ &=2732 \text { मीटर } \end{aligned}$

अतः पनडुब्यी' तथा युद्धपोत के बीच की दूरी $=2732$ मीटर।

प्रश्न 20.

 मीनार के आधार से और एक सरल रेखा में 4 मी. और 9 मी. की दूरी पर स्थित दो बिंदुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण पूरक कोण हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई 6 मी: है।

हल : 

माना $\mathrm{BC}$ मीनार को व्यक्त करता है जिसकी ऊँचाई $=h$ मीटर

$\therefore$ समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\begin{aligned} \frac{B C}{A C} &=\tan \theta \\ \frac{h}{9} &=\tan \theta \end{aligned}$.......(1)

समकोण $\triangle \mathrm{BDC}$ में,

$\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{DC}}=\tan \left(90^{\circ}-\theta\right)=\cot \theta$......(2)

संमीकरण' (1) और (2) का गुणन करने पर,

$\frac{h}{9} \times \frac{h}{4}=\tan \theta \times \cot \theta=1$ $[\because \tan \theta \times \cot \theta=1]$

 $\begin{aligned} \frac{h^{2}}{36} &=1 \\ h^{2} &=36 \end{aligned}$ 

या h=± 6 मी.  

h =6 मी.

$[\because$ ऊँचाई.धनात्मक होती है]

अतः मीनार की ऊँचाई 6 मी. है।

प्रश्न 21. 

एक मीनार के पाद-बिंदु से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण $30^{\circ}$ है और भवन के. पाद-बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण $60^{\circ}$ है। यदि मीनार 50 मी. ऊँची हो, तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना भवन की ऊँचाई =AB=h मी.

और मीनार की ऊँचाई $=C D=50$ मी.

अब, समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में

$\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\cot 30^{\circ}=\sqrt{3}$

$\frac{\mathrm{AC}}{h}=\sqrt{3}$ या $\mathrm{AC}=\dot{h} \sqrt{3}$...........(1)

पुनः समकोण' $\Delta \mathrm{DCA}$ में,

$\frac{\mathrm{DC}}{\mathrm{AC}}=\tan 60^{\circ}$

$\frac{50}{\mathrm{AC}}=\sqrt{3}$ या $\mathrm{AC}=\frac{50}{\sqrt{3}}$..........(2)

समीकरण' (1) और (2) से,

$\sqrt{3} h=\frac{50}{\sqrt{3}}$

$h=\frac{50}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{50}{3}=16 \frac{2}{3}$

इस प्रकार, भवन की ऊँचाई $=16 \frac{2}{3}$ मी.।