Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 14 सांख्यिकी (Statistics) प्रश्नाबलीं 14 (D)

 प्रश्नाबलीं 14 (D) 

प्रश्न 1. 

निम्नलिखित सारणी किसी अस्पताल में एक विशेष वर्ष में भर्ती हुए रोगियों की आयु को दर्शाती है :

आयु (वर्षों में)	5-15	15-25	25-35	35-45	45-55	55-65
रोगियों की संख्या	6	11	21	23	14	5

उपर्युक्त आँकड़ों के बहुलक श्ञात कीजिए।

हल : 

सर्वप्रथम बहुलक के लिए सारणी

आयु (वर्षों में)	रोगियों की संख्या (बारम्बारता $f_i$)
5-15	6
15-25	11
25-35	21 $(f_i)$
35-45	23(f)
45-55	14($f_2$)
55-65	5
योग	$\sum f_i=80$

यहाँ पर अधिकतम बारम्बारता वाला पद,

f=23

अधिकतम बारम्बारता वाले पद की वर्ग सीमा=35-45

अतः $l_{1}=35$ तथा $l_{2}=45$

अधिकतम बारम्बारता के ठीक ऊपर तथा ठीक नीचे की बारम्बारताएँ

क्रमशः $f_{1}=21$ तथा  $f_{2}=14$

और $h=l_{2}-l_{1}=45-35=10$

 बहुलक=

$\begin{aligned}\begin{aligned}&=l_{1}+\left(\frac{f-f_{1}}{2 f-f_{1}-f_{2}}\right) \times h \\&=35+\left(\frac{23-21}{2 \times 23-21-14}\right) \times 10 \\&=35+\left(\frac{2 \times 10}{46-35}\right) \\&=35+\frac{20}{11}=35+1.8=36.8 .\end{aligned}\end{aligned}$

प्रश्न 2.

निम्नलिखित बंटन भारत के उच्चतर माध्यमिक स्कूलों में राज्यों के अनुसार, शिक्षक-विद्यार्थी अनुपात को दर्शाता है। इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।

प्रति शिक्षक विद्यार्थियों की संख्या	राज्य/संघीय क्षेत्रों की संख्या
15-20	3
20-25	8
25-30	9
30-35	10
35-40	3
40-45	0
45-50	0
50-55	2

हल : 

प्रति शिक्षक विद्यार्थियों की संख्या	राज्य/संघीय क्षेत्रों की संख्या
15-20	3
20-25	8
25-30	9 ($f_1$)
30-35	10(f)
35-40	3($f_2$)
40-45	0
45-50	0
50-55	2
योग	35

बहुलक ज्ञात करने हेतु $f=10, f_{1}=9$ तथा $f_{2}=3$

अधिकतम बारम्बारता वाला वर्ग 30 - 35 है।

अर्थात्  ${1}=30$ तथा $l_{2}=35$

∴$h=l_{2}-l_{1}=35-30=5$

बहुलक=

$\begin{aligned}&=l_{1}+\left(\frac{f-f_{1}}{2 f-f_{1}-f_{2}}\right) \times h \\&=30+\left(\frac{10-9}{2 \times 10-9-3}\right) \times 5 \\&=30+\frac{1 \times 5}{20-12} \\&=30+\frac{5}{8}=30+0.625=30.625\end{aligned}$

प्रश्न 3.

निम्नलिखित आँकड़े, 225 बिजली उपकरणों के प्रेक्षित जीवन काल (घष्टों में) की सूचना देते हैं:

जीवन काल (घण्टों में)	0-20	20-40	40-60	60-80	80-100	100-120
बारम्बारता	10	35	52	61	38	29

उपकरणों का बहलक जीवनकाल ज्ञात कीजिए।

हल :

दी गयी सारणी 

जीवन काल (घण्टों में)	बारम्बारता
0-20	10
20-40	35
40-60	52 ($f_1$)
60-80	61(f)
80-100	38($f_2$)
100-120	29

दी गयी सारणी में अधिकतम बारम्बारता $f=61, f_{1}=52, f_{2}=38$

$\because$ अधिकतम बारम्बारता वाला वर्ग 60-80 है।

$\therefore \quad l_{1}=60$ तथा $l_{2}=80$

$h =l_{2}-l_{1} =80-60=20$

बहुलक=

$\begin{aligned}&=l_{1}+\left(\frac{f-f_{1}}{2 f-f_{1}-f_{2}}\right) \times h \\ &=60+\left(\frac{61-52}{2 \times 61-52-38}\right) \times 20 \\ &=60+\frac{9 \times 20}{122-90} \\ &=65.625 \end{aligned}$

अतः उपकरणों का बहुलक जीवनकाल $65.625$ घण्टे होगा। उत्तर

प्रश्न 4.

 दिया हुआ बंटन विश्व के कुछ श्रेष्तम बल्लेबाजों द्वारा एकविवसीय अंतरोष्ट्रीय क्रेकेट मेचां में बनाए गए रनों को दर्शाता है :

बनाए गए रन	बल्लेबाजों की संख्या
3000-4000	4
4000-5000	18
5000-6000	9
6000-7000	7
7000-8000	6
8000-9000	3
9000-10000	1
10000-11000	1

इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए। 

 हल :

बनाए गए रन	बल्लेबाजों की संख्या
3000-4000	4 ($f_1$)
4000-5000	18 (f)
5000-6000	9 ($f_2$)
6000-7000	7
7000-8000	6
8000-9000	3
9000-10000	1
10000-11000	1

सबसे अधिक बारम्बारता f=18 , $f_1=4$ तथा $f_2=9$

∴ अधिकतम बारम्बारता वाला वर्ग 4000-5000 है।

∴$l_1=4000$ तथा $l_2=5000$

अतः $h=l_2-l_1=5000-4000=1000$

बहुलक =

$\begin{aligned}&=l_{1}+\left(\frac{f-f_{1}}{2 f-f_{1}-f_{2}}\right) \times h \\&=4000+\left(\frac{18-4}{2 \times 18-4-9}\right) \times 1000 \\&=4000+\frac{14 \times 1000}{36-13} \\&=4000+\frac{14000}{23} \\&=4000+608.7=4608.7\end{aligned}$

अतः बहुलक =4608.7 रन है।

प्रश्न 5. 

निम्नलिखित आँकड़े किसी गाँव के 200 परिवारों के कुल मासिक घरेलू व्यय के बंटन को दर्शाते हैं। इन परिवारों का बहुलक मासिक व्यय ज्ञात कीजिए।

व्यय (रुपयों में)	परिवारों की संख्या
1000-1500	24
1500-2000	40
2000-2500	33
2500-3000	28
3000-3500	30
3500-4000	12
4000-4500	16
4500-5000	7

हल : 

बहुलक के लिए उपयुक्त सारणी

व्यय (रुपयों में)	परिवारों की संख्या
1000-1500	24 $(f_1)$
1500-2000	40 (f)
2000-2500	33 $(f_2)$
2500-3000	28
3000-3500	30
3500-4000	12
4000-4500	16
4500-5000	7
योग	200

यहाँ अधिकतम बारम्बारता वाला पद $f=40, f_{1}=24$ तथा $f_{2}=33$ अधिकतम बारम्बारता वाला वर्ग 1500-2000 है।

$\therefore$ $l_{1}=1500$ तथा $l_{2}=2000$

तब$h=l_{2}-l_{1}=2000-1500=500$

अब

बहुलक =

$\begin{aligned}&=l_{1}+\left(\frac{f-f_{1}}{2 f-f_{1}-f_{2}}\right) \times h \\&=1500+\left(\frac{40-24}{2 \times 40-24-33}\right) \times 500\end{aligned}$

$=1500+\frac{16 \times 500}{80-57}$

$=1500+\frac{8000}{23}$

=1500+347.83=₹ 1,847.83 .

प्रश्न 6. 

एक विद्यार्थी ने एक सड़क के किसी स्थान से होकर जाती हुई कारों की संख्याएँ नोट कीं और उ नीचे दी हुई सारणी के रूप में व्यक्त किया। सारणी में दिया प्रत्येक प्रेक्षण 3 मिनट के अन्तराल में उस स्था से होकर जाने वाली कारों की संख्याओं से सम्बन्धित ' है। ऐसे 100 अन्तरालों पर प्रेक्षण लिए गए। इन आँका का बहुलक ज्ञात कीजिए।

कारों की संख्या	बारम्बारता
0-10	7
10-20	14
20-30	13
30-40	12
40-50	20
50-60	11
60-70	15
70-80	8

हल :

कारों की संख्या	बारम्बारता
0-10	7
10-20	14
20-30	13
30-40	12($f_1$)
40-50	20(f)
50-60	11 $(f_2)$
60-70	15
70-80	8

सबसे अधिक बारम्बारता $f=20, f_{1}=12$ तथा $f_{2}=11$ अधिकतम बारम्बारता वाला वर्ग 40-50 है।

∴ $l_{1}=40$ तथा $l_{2}=50$

$h=l_{2}-l_{1}=50-40=10$

अतः

बहुलक$=l_{1}+\left(\frac{f-f_{1}}{2 f-f_{1}-f_{2}}\right) \times h$ 

$=40+\left(\frac{20-12}{2 \times 20-12-11}\right) \times 10$

$=40+\frac{8 \times 10}{40-23}$

$=40+\frac{80}{17}=40+4.7=44.7$

अतः आँकड़ों का बहुलक 44.7 होगा।

प्रश्न 7. 

नीचे दी सारणी 280 व्यक्तियों के वेतन दर्शाती है :

वेतन (हजार रुपये में)	व्यक्तियों की संख्या
5-10	49
10-15	133
15-20	63
20-25	15
25-30	6
30-35	7
35-40	4
40-45	2
45-50	1

इन आँकड़ों का माध्यक और बहुसक ज्ञात कीजिए।

 हल :

वेतन (हजार रुपये में)	व्यक्तियों की संख्या (f)	संचयी बारम्बारता
5-10	49	49
10-15	133	182
15-20	63	245
20-25	15	260
25-30	6	266
30-35	7	273
35-40	4	277
40-45	2	279
45-50	1	280
	280

$=\frac{n}{2}$ वें पद का मान, जहाँ n= बारंबारताओं का योग

 $=\frac{280}{2}$ वें अर्थात् 140 वें पद का मान जो वर्ग अंतराल  (10-15) में स्थित है, अर्थात् माध्यिका वर्ग (10-15) है।

$\therefore$ माध्यक,$\mathrm{M}=\mathrm{L}_{1}+\left(\frac{\mathrm{L}_{2}-\mathrm{L}_{1}}{f}\right)\left(\frac{n}{2}-\mathrm{F}\right)$

$\because L_{1}=10, L_{2}=15, f=133, \frac{n}{2}=140, \mathrm{~F}=49$

$\begin{aligned} M &=10+\left(\frac{15-10}{133}\right)(140-49) \\ &=10+\frac{5}{133} \times 91 \\ &=10+\frac{455}{133} \\ &=10+3.42 \\ &=13.42 \text { या } ₹ 13.42 \times 1000 \\ &=₹ 13420 \end{aligned}$

बहुलक हेतु :

उपरोक्त' सारणी में अधिकतम बारंबारता वाला पद 133 है, जिसका वर्ग अंतराल 10 - 15 है, तब बहुलक वर्ग=10-15

वर्ग माप,$h=5, f_{1}=133, f_{0}=49, f_{2}=63$

$h=5, f_{1}=133, f_{0}=49, f_{2}=63$

बहुलक=

$\begin{aligned} &=l+\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right) \times h \\ &=10+\left(\frac{133-49}{2 \times 133-49-63}\right) \times 5 \\ &=10+\left(\frac{84 \times 5}{266-112}\right) \\ &=10+\frac{420}{154} \\ &=10+2.73 \\ &=12.73 \text { or₹ } 12.73 \times 1000 \\ &=₹ 12730 . \end{aligned}$