प्रश्नाबलीं 14 (D)
प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणी किसी अस्पताल में एक विशेष वर्ष में भर्ती हुए रोगियों की
आयु को दर्शाती है :
| आयु (वर्षों में) | 5-15 | 15-25 | 25-35 | 35-45 | 45-55 | 55-65 |
| रोगियों की संख्या | 6 | 11 | 21 | 23 | 14 | 5 |
उपर्युक्त आँकड़ों के बहुलक श्ञात कीजिए।
हल :
सर्वप्रथम बहुलक के लिए सारणी
| आयु (वर्षों में) | रोगियों की संख्या (बारम्बारता $f_i$) |
| 5-15 | 6 |
| 15-25 | 11 |
| 25-35 | 21 $(f_i)$ |
| 35-45 | 23(f) |
| 45-55 | 14($f_2$) |
| 55-65 | 5 |
| योग | $\sum f_i=80$ |
यहाँ पर अधिकतम बारम्बारता वाला पद,
f=23
अधिकतम बारम्बारता वाले पद की वर्ग सीमा=35-45
अतः $l_{1}=35$ तथा $l_{2}=45$
अधिकतम बारम्बारता के ठीक ऊपर तथा ठीक नीचे की बारम्बारताएँ
क्रमशः $f_{1}=21$ तथा $f_{2}=14$
और $h=l_{2}-l_{1}=45-35=10$
बहुलक=
$\begin{aligned}\begin{aligned}&=l_{1}+\left(\frac{f-f_{1}}{2 f-f_{1}-f_{2}}\right) \times h
\\&=35+\left(\frac{23-21}{2 \times 23-21-14}\right) \times 10
\\&=35+\left(\frac{2 \times 10}{46-35}\right)
\\&=35+\frac{20}{11}=35+1.8=36.8 .\end{aligned}\end{aligned}$
प्रश्न 2.
निम्नलिखित बंटन भारत के उच्चतर माध्यमिक स्कूलों में राज्यों के अनुसार,
शिक्षक-विद्यार्थी अनुपात को दर्शाता है। इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
| प्रति शिक्षक विद्यार्थियों की संख्या | राज्य/संघीय क्षेत्रों की संख्या |
| 15-20 | 3 |
| 20-25 | 8 |
| 25-30 | 9 |
| 30-35 | 10 |
| 35-40 | 3 |
| 40-45 | 0 |
| 45-50 | 0 |
| 50-55 | 2 |
हल :
| प्रति शिक्षक विद्यार्थियों की संख्या | राज्य/संघीय क्षेत्रों की संख्या |
| 15-20 | 3 |
| 20-25 | 8 |
| 25-30 | 9 ($f_1$) |
| 30-35 | 10(f) |
| 35-40 | 3($f_2$) |
| 40-45 | 0 |
| 45-50 | 0 |
| 50-55 | 2 |
| योग | 35 |
बहुलक ज्ञात करने हेतु $f=10, f_{1}=9$ तथा $f_{2}=3$
अधिकतम बारम्बारता वाला वर्ग 30 - 35 है।
अर्थात् ${1}=30$ तथा $l_{2}=35$
∴$h=l_{2}-l_{1}=35-30=5$
बहुलक=
$\begin{aligned}&=l_{1}+\left(\frac{f-f_{1}}{2
f-f_{1}-f_{2}}\right) \times h \\&=30+\left(\frac{10-9}{2 \times
10-9-3}\right) \times 5 \\&=30+\frac{1 \times 5}{20-12}
\\&=30+\frac{5}{8}=30+0.625=30.625\end{aligned}$
प्रश्न 3.
निम्नलिखित आँकड़े, 225 बिजली उपकरणों के प्रेक्षित जीवन काल (घष्टों में)
की सूचना देते हैं:
| जीवन काल (घण्टों में) | 0-20 | 20-40 | 40-60 | 60-80 | 80-100 | 100-120 |
| बारम्बारता | 10 | 35 | 52 | 61 | 38 | 29 |
उपकरणों का बहलक जीवनकाल ज्ञात कीजिए।
हल :
दी गयी सारणी
| जीवन काल (घण्टों में) | बारम्बारता |
| 0-20 | 10 |
| 20-40 | 35 |
| 40-60 | 52 ($f_1$) |
| 60-80 | 61(f) |
| 80-100 | 38($f_2$) |
| 100-120 | 29 |
दी गयी सारणी में अधिकतम बारम्बारता $f=61, f_{1}=52, f_{2}=38$
$\because$ अधिकतम बारम्बारता वाला वर्ग 60-80 है।
$\therefore \quad l_{1}=60$ तथा $l_{2}=80$
$ h =l_{2}-l_{1} =80-60=20$
बहुलक=
$\begin{aligned}&=l_{1}+\left(\frac{f-f_{1}}{2 f-f_{1}-f_{2}}\right) \times h \\
&=60+\left(\frac{61-52}{2 \times 61-52-38}\right) \times 20 \\
&=60+\frac{9 \times 20}{122-90} \\ &=65.625 \end{aligned}$
अतः उपकरणों का बहुलक जीवनकाल $65.625$ घण्टे होगा। उत्तर
प्रश्न 4.
दिया हुआ बंटन विश्व के कुछ श्रेष्तम बल्लेबाजों द्वारा एकविवसीय
अंतरोष्ट्रीय क्रेकेट मेचां में बनाए गए रनों को दर्शाता है :
| बनाए गए रन | बल्लेबाजों की संख्या |
| 3000-4000 | 4 |
| 4000-5000 | 18 |
| 5000-6000 | 9 |
| 6000-7000 | 7 |
| 7000-8000 | 6 |
| 8000-9000 | 3 |
| 9000-10000 | 1 |
| 10000-11000 | 1 |
इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
हल :
| बनाए गए रन | बल्लेबाजों की संख्या |
| 3000-4000 | 4 ($f_1$) |
| 4000-5000 | 18 (f) |
| 5000-6000 | 9 ($f_2$) |
| 6000-7000 | 7 |
| 7000-8000 | 6 |
| 8000-9000 | 3 |
| 9000-10000 | 1 |
| 10000-11000 | 1 |
सबसे अधिक बारम्बारता f=18 , $f_1=4$ तथा $f_2=9$
∴ अधिकतम बारम्बारता वाला वर्ग 4000-5000 है।
∴$l_1=4000$ तथा $l_2=5000$
अतः $h=l_2-l_1=5000-4000=1000$
बहुलक =
$\begin{aligned}&=l_{1}+\left(\frac{f-f_{1}}{2
f-f_{1}-f_{2}}\right) \times h \\&=4000+\left(\frac{18-4}{2 \times
18-4-9}\right) \times 1000 \\&=4000+\frac{14 \times 1000}{36-13}
\\&=4000+\frac{14000}{23} \\&=4000+608.7=4608.7\end{aligned}$
अतः बहुलक =4608.7 रन है।
प्रश्न 5.
निम्नलिखित आँकड़े किसी गाँव के 200 परिवारों के कुल मासिक घरेलू व्यय के बंटन को
दर्शाते हैं। इन परिवारों का बहुलक मासिक व्यय ज्ञात कीजिए।
| व्यय (रुपयों में) | परिवारों की संख्या |
| 1000-1500 | 24 |
| 1500-2000 | 40 |
| 2000-2500 | 33 |
| 2500-3000 | 28 |
| 3000-3500 | 30 |
| 3500-4000 | 12 |
| 4000-4500 | 16 |
| 4500-5000 | 7 |
हल :
बहुलक के लिए उपयुक्त सारणी
| व्यय (रुपयों में) | परिवारों की संख्या |
| 1000-1500 | 24 $(f_1)$ |
| 1500-2000 | 40 (f) |
| 2000-2500 | 33 $(f_2)$ |
| 2500-3000 | 28 |
| 3000-3500 | 30 |
| 3500-4000 | 12 |
| 4000-4500 | 16 |
| 4500-5000 | 7 |
| योग | 200 |
यहाँ अधिकतम बारम्बारता वाला पद $f=40, f_{1}=24$ तथा $f_{2}=33$ अधिकतम
बारम्बारता वाला वर्ग 1500-2000 है।
$\therefore$ $l_{1}=1500$ तथा $l_{2}=2000$
तब$h=l_{2}-l_{1}=2000-1500=500$
अब
बहुलक =
$\begin{aligned}&=l_{1}+\left(\frac{f-f_{1}}{2
f-f_{1}-f_{2}}\right) \times h \\&=1500+\left(\frac{40-24}{2 \times
40-24-33}\right) \times 500\end{aligned}$
$=1500+\frac{16 \times 500}{80-57}$
$=1500+\frac{8000}{23}$
=1500+347.83=₹ 1,847.83 .
प्रश्न 6.
एक विद्यार्थी ने एक सड़क के किसी स्थान से होकर जाती हुई कारों की संख्याएँ नोट
कीं और उ नीचे दी हुई सारणी के रूप में व्यक्त किया। सारणी में दिया प्रत्येक
प्रेक्षण 3 मिनट के अन्तराल में उस स्था से होकर जाने वाली कारों की संख्याओं से
सम्बन्धित ' है। ऐसे 100 अन्तरालों पर प्रेक्षण लिए गए। इन आँका का बहुलक ज्ञात
कीजिए।
| कारों की संख्या | बारम्बारता |
| 0-10 | 7 |
| 10-20 | 14 |
| 20-30 | 13 |
| 30-40 | 12 |
| 40-50 | 20 |
| 50-60 | 11 |
| 60-70 | 15 |
| 70-80 | 8 |
हल :
| कारों की संख्या | बारम्बारता |
| 0-10 | 7 |
| 10-20 | 14 |
| 20-30 | 13 |
| 30-40 | 12($f_1$) |
| 40-50 | 20(f) |
| 50-60 | 11 $(f_2)$ |
| 60-70 | 15 |
| 70-80 | 8 |
सबसे अधिक बारम्बारता $f=20, f_{1}=12$ तथा $f_{2}=11$ अधिकतम बारम्बारता वाला
वर्ग 40-50 है।
∴ $l_{1}=40$ तथा $l_{2}=50 $
$h=l_{2}-l_{1}=50-40=10$
अतः
बहुलक$=l_{1}+\left(\frac{f-f_{1}}{2
f-f_{1}-f_{2}}\right) \times h$
$=40+\left(\frac{20-12}{2 \times 20-12-11}\right) \times 10$
$=40+\frac{8 \times 10}{40-23}$
$=40+\frac{80}{17}=40+4.7=44.7$
अतः आँकड़ों का बहुलक 44.7 होगा।
प्रश्न 7.
नीचे दी सारणी 280 व्यक्तियों के वेतन दर्शाती है :
| वेतन (हजार रुपये में) | व्यक्तियों की संख्या |
| 5-10 | 49 |
| 10-15 | 133 |
| 15-20 | 63 |
| 20-25 | 15 |
| 25-30 | 6 |
| 30-35 | 7 |
| 35-40 | 4 |
| 40-45 | 2 |
| 45-50 | 1 |
इन आँकड़ों का माध्यक और बहुसक ज्ञात कीजिए।
हल :
| वेतन (हजार रुपये में) | व्यक्तियों की संख्या (f) | संचयी बारम्बारता |
| 5-10 | 49 | 49 |
| 10-15 | 133 | 182 |
| 15-20 | 63 | 245 |
| 20-25 | 15 | 260 |
| 25-30 | 6 | 266 |
| 30-35 | 7 | 273 |
| 35-40 | 4 | 277 |
| 40-45 | 2 | 279 |
| 45-50 | 1 | 280 |
| 280 |
$=\frac{n}{2}$ वें पद का मान, जहाँ n= बारंबारताओं का योग
$=\frac{280}{2}$ वें अर्थात् 140 वें पद का मान जो वर्ग अंतराल (10-15) में स्थित है, अर्थात् माध्यिका वर्ग (10-15) है।
$\therefore$
माध्यक,$\mathrm{M}=\mathrm{L}_{1}+\left(\frac{\mathrm{L}_{2}-\mathrm{L}_{1}}{f}\right)\left(\frac{n}{2}-\mathrm{F}\right)$
$\because L_{1}=10, L_{2}=15, f=133, \frac{n}{2}=140, \mathrm{~F}=49$
$\begin{aligned} M &=10+\left(\frac{15-10}{133}\right)(140-49) \\
&=10+\frac{5}{133} \times 91 \\ &=10+\frac{455}{133} \\ &=10+3.42
\\ &=13.42 \text { या } ₹ 13.42 \times 1000 \\ &=₹ 13420
\end{aligned}$
बहुलक हेतु :
उपरोक्त' सारणी में अधिकतम बारंबारता वाला पद 133 है, जिसका वर्ग अंतराल 10 -
15 है, तब बहुलक वर्ग=10-15
वर्ग माप,$h=5, f_{1}=133, f_{0}=49, f_{2}=63$
$h=5, f_{1}=133, f_{0}=49, f_{2}=63 $
बहुलक=
$\begin{aligned} &=l+\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right)
\times h \\ &=10+\left(\frac{133-49}{2 \times 133-49-63}\right) \times 5
\\ &=10+\left(\frac{84 \times 5}{266-112}\right) \\
&=10+\frac{420}{154} \\ &=10+2.73 \\ &=12.73 \text { or₹ } 12.73
\times 1000 \\ &=₹ 12730 . \end{aligned}$
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