Dr Manohar re Solution Class 10 Chapter 2 बहुपद (Polynomials) प्रश्नावली 2 (E)

 प्रश्नावली 2 (E) 

निम्नलिखित प्रश्नों में दिए गए चार विंकल्पो

Question 1

यदि द्विघात बहुपद
(i) 3
(ii) -3
(iii) $\frac{2}{3}$
(iv) $-\frac{2}{3}$
Sol :

दिया है, बहुपद f(x) का एक शून्यक -3 है

तब  f(-3)=0

∴$(k-1)(-3)^{2}+k(-3)+1=0$

9(k-1)-3k+1=0

9k-9-3k+1=0

6k-8=0

∴$k=\frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

अत: विकल्प (i) सही है।

Question 2

शून्यक -3 और 4 वाला द्विघात बहुपद है :

(i) $x^{2}-x-12$

(ii) $x^{2}+x+12$

(iii) $\frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{2}-6$

(iv) $2 x^{2}+2 x-24$

Sol :

माना शून्यक $\alpha=-3$ और $\beta=4$

तब $\alpha+\beta=-3+4=1 ; \alpha \beta=(-3) \times 4=-12$

द्विघातीय बहुपद $=x^{2}$-(शून्यकों का योगफल) x+(शून्यकों का गुणनफल)

$=x^{2}-(1) x+(-12)=x^{2}-x-12$

अत: विकल्प (i) सही है।

Question 3

यदि द्विघात बहुपद $x^{2}+(a+1) x+b$ के शून्यक 2 और -3 हैं, तो :

(i) a=-7, b=-1

(ii) a=5, b=-1

(iii) a=2, b=-6

(iv) a=0 ; b=-6

Sol :

दिया है, द्विघातीय बहुपद $f(x)=x^{2}+(a+1) x+b$ के शून्यक 2 और -3 हैं।

तब f(2)=0 और f(-3)=0

$f(2)=(2)^{2}+(a+1) 2+b=0$

4+2a+2+b=0

2a+b=-6

$f(-3)=(-3)^{2}+(a+1)(-3)+b=0$

9-3a-3+b=0

-3a+b=-6

3a-b=6

समी (i) व (ii) को जोड़ने पर,

5a=0 या a=0

a का मान समी (i) में रखने पर,

$2 \times 0+b=-6$

b=-6

अत: विकल्प (iv) सही है।

Question 4

शून्यक - 2 और 5 वाले बहुपदों की संख्या है-
(i) 1
(ii) 2
(iii) 3
(iv) 3 से अधिक
Sol :

दिए गए बहुपद के शून्यक - 2 और 5 हैं।

∴ शून्यक -2 और 5 वाले बहुपदों की संख्या अनंत होगी।

जैसे:  p(x)=(x+2)(x-5), q(x)=(x+2)(x-5)x

$r(x)=(x+2)^{2}(x-5)^{2} \ldots . .$ आदि ।

अत : विकल्प (iv) सही है।

Question 5

त्रिघात बहुपद $a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ का एक शून्यक 0 दिया हुआ है, तो अन्य दो शून्यकों का गुणनफल है :

(i) $-\frac{c}{a}$

(ii) $\frac{c}{a}$

(iii) 0

(iv) $-\frac{b}{a}$

Sol :

मान लीजिए त्रिघीतीय बहुपद $a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ के शून्यक क्रमश $: \alpha, \beta$ और $\gamma$ हैं 

दिया है, $\alpha=0$

यहाँ $\quad \alpha+\beta+\gamma=\frac{b}{a}$

⇒$\beta+\gamma=-\frac{b}{a} \quad(\because \alpha=0)$...(i)

और $\quad \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=\frac{c}{a}$...(ii)

$\alpha=0$ समी (ii) में रखने पर,

$\beta \gamma=\frac{c}{a}$

अतः विकल्प (ii) सही है।

Question 6

यदि त्रिघात बहुपद $x^{3}+a x^{2}+b x+c$ का एक शून्यक -1 है, तो अन्य दोनों शून्यकों का गुणनफल हैः
(i) b-a+1
(ii) b-a-1
(iii) a-b+1
(iv) a-b-1
Sol :

दिया है, त्रिघोतीयं बहुपद $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ का एक शून्यक -1 है, इसलिए बहुपद f(x) का एक गुणनखण्ड (x+1) है।

अब, 

∴$x^{3}+a x^{2}+b x+c=(x+1)\left\{x^{2}+(a-1) x+(b-a+1)\right\}+(c-b+a-1)$

$x^{3}+a x^{2}+b x+(b-a+1)=(x+1)\left\{x^{2}+(a-1) x+(b-a+1)\right\}$

माना दिए गए बहुपद के अन्य दो शून्यक $\alpha$ व $\beta$ हैं। तब

शून्यकों का गुणनफल, (-1) 𝛼𝛽= -अचर पद / $x^{3}$ का गुणांक

$=-\frac{b-a+1}{1}$.

$\alpha \beta=\frac{b-a+1}{1}$

∴$\alpha \beta=b-a+1$

अत: विकल्प (i) सही है।

Question 7

द्विधात बहुपद $x^{2}+99 x+127$ के शून्यक हैं :

(i) दोनों धनात्मक

(ii) दोनों ऋणात्मक

(iii) एकं धनात्मक और एक ऋणात्मक

(iv) दोनों बराबर

Sol :

$f(x)=x^{2}+99 x+127$

धराचार्य सून से,

$x=\frac{-99 \pm \sqrt{(99)^{2}-4(1)(127)}}{2(1)}=\frac{-99 \pm \sqrt{9801-508}}{2}$

$=\frac{-99 \pm \sqrt{9293}}{2}=\frac{-99 \pm 96.40}{2}$

धनात्मक (+) चिह्न लेने पर,

$x=\frac{-99+96.4}{2}=\frac{-2.6}{2}=-1.3$

ऋणात्मक (-) चिह्व लेने पर,

$x=\frac{-99-96.40}{2}=\frac{-195.40}{2}=-97.7$

यहाँ दोतों शून्यक ऋणात्मक हें

अत : विकल्प (ii) सही है।

Question 8

द्विघात बहुपद $x^{2}+k x+k, k \neq 0$ के शून्यक है :

(i) दोनों धनात्मक नहीं हो सकते हैं

(ii) दोनों ऋणात्मक नहीं हो सकते

(iii) सदैव असमान है

(iv) सदैव बराबर हैं।

Sol :

दिया गया द्विघातीय बहुपद

$f(x)=x^{2}+k x+k ; k \neq 0$

धराचार्य के नियम से,

$x=\frac{-k \pm \sqrt{k^{2}-4 k}}{2}$

$=\frac{-k \pm \sqrt{(k-2)^{2}-4}}{2}$

यहाँ $k>\sqrt{(k-2)^{2}-4}$

दोनों शून्यक धनात्मक नहीं हो सकते हैं।

अत : दिकल्प (i) सही है।

Question 9

यदि द्विधात बहुपद $a x^{2}+b x+c, c \neq 0$ के शून्यक समान हैं, तब

(i) c और a के विपरीत चिन्ह हैं

(ii) c और b के विपरीत चिन्ह हैं

(iii) c और a के समान चिन्ह है

(iv) c और b के समान चिन्ह हैं।

Sol :

दिया है, द्विघातीय बहुपद $a x^{2}+b x+c, c \neq 0$ के शून्यक समान हें।

अर्थात् , विविक्तकर (D)=0

$b^{2}-4 a c=0$

जोकि केवल तभी सम्भव है जब a और c के समान चिह्न हों।

अतः विकल्प (iii) सही है।

Question 10

यदि $x^{2}+a x+b$ के रुप के एक द्विघात बहुपद का एक शून्यक दूसरे शून्यक का ऋरणत्मक हो,तब

(i) इसका कोई रैखिक पद नहीं होता और अचर पद ऋणात्मक होता है।

(ii) इसका कोई रैखिक पद नहीं होता और अचर पद धनात्मक होता है।

(iii) इसका रैखिक पद हो सकता होता है लेकिन अचर पद ऋणात्मक होता है।

(iv) इसका रैखिक पद हो सकता है लेकिन अचर पद धनात्मक होता है।

Sol :

माना  $f(x)=x^{2}+a x+b$

दिया है

द्विघातीय बहुपद के शून्यक $\alpha$ और $-\alpha$ हें।

∴शून्यकों कां योगंफल $=\alpha+(-\alpha)=\alpha-\alpha=0$

अर्थात् a=0

अतः $f(x)=x^{2}+b$, जोकि रैखिक नहीं हो सकता।

तथा $\quad$ शून्यकों का गुंण्निफ़ल $=\alpha \cdot(-\alpha)=b$

अर्थात $-\alpha^{2}=b$ जोकि सम्भव है जब $b<0$ हो।

इसलिए इसका रैखिक पद नहीं है और अचर पद ऋणात्मक है।

अतः विकल्य (i) सही है।

Question 11

निम्नलिखित में से कौन एक द्विघात बहपद का आलेख नहीं है?

Sol :

चूँकि विकल्म (iv) में, वक्न x-अक्ष के तीन बिन्दुओं से गुजर रहा है। इसलिए यह द्विघातीय बहुपद को व्यक्त नहीं करता।

अत : विकल्प (iv) सही है।

Dr Manohar re Solution Class 10 Chapter 2 बहुपद (Polynomials) प्रश्नावली 2 (D)

 प्रश्नावली 2 (D) 

निम्नलिखित प्रत्येक प्रश्न में बहुपद p को बहुपद g से भाग दीजिए और भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए।

Question 1

$p(x)=x+3 x^{2}-1$ तथा g(x)=1+x

Sol :

यहौँ भागफल 3x-2 तथा शेषफल 1 है।

अत: g, p का गुणनफल नर्ही है।

Question 2

$p(x)=x^{3}+3 x^{2}-12 x+4$

Sol :

g(x)=x-2

$\frac{p(x)}{g(x)}=\frac{x^{3}+3 x^{2}-12 x+4}{x-2}$

यहाँ   भागफल $=x^{2}+5 x-2$

तथा शेषफल =0

अतः g, p का गुण्नखण्ड है।

Question 3

$p(t)=t^{3}-3 t^{2}-t+3$ और $g(t)=t^{2}-4 t+3$

Sol :

यहाँ भागफल t+1 और शेषफल शून्य है। हम लिखते हैं :

$t^{3}-3 t^{2}-t+3=(t+1)\left(t^{2}-4 t+3\right)$

अतः g, p का गुणनखण्ड है।

Question 4

$p(x)=x^{4}+1$

Sol :

g(x)=x+1

$\frac{p(x)}{g(x)}=\frac{x^{4}+1}{x+1}$

यहाँ भागफल $=x^{3}-x^{2}+x-1$

तथा  शेषफल =2

अत: g, p का गुणनखण्ड नही है।

Question 5

$p(x)=x^{3}+x^{2}-2 x+1$ और g(x)=x+3

Sol :

$\frac{p(x)}{g(x)}=\frac{x^{3}+x^{2}-2 x+1}{x+3}$

यहाँ भागफल $x^{2}-2 x+4$ और शेषफल -11 है। तथा g, p का गुणनखण्ड नहीं है।

Question 6

$p(x)=7 x^{2}-2 \sqrt{8} x-6$ और $g(x)=x-\sqrt{2}$

Sol :

$\frac{p(x)}{g(x)}=\frac{7 x^{2}-2 \sqrt{8} x-6}{x-\sqrt{2}}$

यहाँ भागफल $7 x+3 \sqrt{2}$ और शेषफल शून्य है। अतः g, p का गुणनखण्ड है।

Question 7

विमाजन एलगरिथ्म का प्रयोग करके, निम्न में p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए :

(i) $p(x)=x^{3}-3 x^{2}+5 x-3, g(x)=x^{2}-2$

Sol :

अतः भागफल x-3 तथा शेषफल 7x-9

(ii) $p(x)=x^{4}-3 x^{2}+4 x+5, g(x)=x^{2}+1-x$

Sol :

(iii) $p(x)=x^{4}-5 x+6, g(x)=2-x^{2}$

Sol :

अत: भागफल $-x^{2}-2$ तथा शेषफल -5x+10

Question 8

पहले बहुपद से दूसरे बहुपद को भाग करके, जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखंण्ड है :

(i) $t^{2}-3,2 t^{4}+3 t^{3}-2 t^{2}-9 t-12$

Sol :

अतः जंब शेषफल शून्य हो, तब प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड होगा

(ii) $x^{2}+3 x+1,3 x^{4}+5 x^{3}-7 x^{2}+2 x+2$

Sol :

अतः जब शेषफल शून्य हो, तब प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड होगा।

(iii) $x^{3}-3 x+1, x^{5}-4 x^{3}+x^{2}+3 x+1$

Sol :

अतः शेषफल 2 हो, तब प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड नहीं होगा।

Question 9

यदि $x^{3}-3 x^{2}+x+2$ को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमश: $x-2$ और -2 x+4 हैं तो g(x) ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना

बहुपद $p(x)=x^{3}-3 x^{2}+x+2$

भाजक g(x)=?

भागफल q(x)=x-2

और शेषफल r(x)=-2x+4

चूँकि बहुपद p(x)= भाजक $g(x) \times$ भागफल q(x)+ शेषफल r(x) हो, तब

$x^{3}-3 x^{2}+x+2=g(x) \times(x-2)+(-2 x+4)$

या $g(x) \times(x-2)=x^{3}-3 x^{2}+x+2+2 x-4=x^{3}-3 x^{2}+3 x-2$

$g(x)=\frac{x^{3}-3 x^{2}+3 x-2}{x-2}$

अत: $g(x)=x^{2}-x+1$

Question 10

यदि बहुपद $x^{4}-6 x^{3}+16 x^{2}-25 x+10$ को एक अन्य बहुपद $x^{2}-2 x+k$ से भाग दिया जाए और शेषफल x+a आता हो, तो k तथा a ज्ञात कीजिए।

Sol :

शेषफल =(2 k-9) x-(8-k) k+10

परंतु दिया गया शेषफल =x+a

दोनों शेषफलों में x तथा a के पदों की तुलना करने पर

2k-9=1 या 2k=1+9

या $k=\frac{10}{2}$

∴k=5

और -(8-k) k+10=a

या a=(-8+k)k+10

a=(-8+5)5+10 (k=5 रखने पर)

$=-3 \times 5+10=-5$

अत: k=5 और a=-5

Question 11

$3 x^{4}+6 x^{3}-2 x^{2}-10 x-5$ के अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए, यदि इसके दो शून्यक $\sqrt{\frac{5}{3}}$ और $-\sqrt{\frac{5}{3}}$

Sol :

चूँकि कि $\sqrt{\frac{5}{3}}$ और $-\sqrt{\frac{5}{3}}$ दिए गए बहु़पद के दो शून्यक हों, तब इनके गुणनखण्ड $\left(x-\sqrt{\frac{5}{3}}\right)\left(x+\sqrt{\frac{5}{3}}\right)$ हैं

$\therefore \quad\left(x-\sqrt{\frac{5}{3}}\right)\left(x+\sqrt{\frac{5}{3}}\right)=(x)^{2}-\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\right)^{2}$

$=\left(x^{2}-\frac{5}{3}\right)$

इसलिए $\left(x^{2}-\frac{5}{3}\right)$ बहुपद का एक गुणनखण्ड होगा।

अत : 

अब भागफल $=3 x^{2}+6 x+3$ के गुणनखण्ड करने पर,

$3 x^{2}+6 x+3=3\left(x^{2}+2 x+1\right)$

$=3\left(x^{2}+x+x+1\right)$

=3[x(x+1)+1(x+1)]$

=3(x+1)(x+1)

अत: दिए गए बहुपद के अन्य शून्यक -1 और -1 हैं।

Question 12

यदि बहुपद $x^{4}-6 x^{3}-26 x^{2}+138 x-35$ के दो शून्यक $2 \pm \sqrt{3}$ हों, तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए।

Sol :

चूँकि दिया गया बहुपद $=x^{4}-6 x^{3}-26 x^{2}+138 x-35$

और मान लीजिए $x=2 \pm \sqrt{3}$

∴$x-2=\pm \sqrt{3}$

$(x-2)^{2}=(\pm \sqrt{3})^{2}$

$x^{2}+4-4 x=3$

$x^{2}-4 x+1=0$ दिए गए बहुपद का एक गुणनखण्ड है।

अतः भागफल $x^{2}-2 x-35$ है जो दिए गए बहुपद का एक गुणनखण्ड होगा।

अतः $x^{2}-2 x-35=x^{2}-7 x+5 x-35$

=x(x-7)+5(x-7)

=(x-7)(x+5)

अत : दिए गए बहुपद के अन्य शून्यक 7 और -5 हें।

Question 13

त्रिघातं बहुपद $x^{3}-3 \sqrt{5} x^{2}+13 x-3 \sqrt{5}$ का एक गुणनखण्ड' $x-\sqrt{5}$ दिया है। इस बहुपद के सभी शून्यक ज्ञात कीलिए।

Sol :

दिया गया बहुपद $=x^{3}-3 \sqrt{5} x^{2}+13 x-3 \sqrt{5}$

बहुपद का एक गुण्गंखण्ड' अर्थात् शून्यक $x-\sqrt{5}$ है।

अब विभाजन एल्गोरिथ्म से,

अब $x^{3}-3 \sqrt{5} x^{2}+13 x-3 \sqrt{5}=(x-\sqrt{5})\left(x^{2}-2 \sqrt{5} x+3\right)+0$

$=(x-\sqrt{5})\left(x^{2}-2 \sqrt{5} x+3\right)$

$x^{2}-2 \sqrt{5} x+3$ में $x$ को ज्ञात करने हेतु द्विधात सूत्र का प्रयोग करेंगे।

$x=\frac{-(-2 \sqrt{5}) \pm \sqrt{ \left(-2\sqrt{ 5}\right)^{2}-4 \times 1 \times 3}}{2 \times 1}$

$=\frac{2 \sqrt{5} \pm \sqrt{20-12}}{2}$

$=\frac{2 \sqrt{5} \pm \sqrt{8}}{2}=\frac{2 \sqrt{5} \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

$=\frac{2(\sqrt{5} \pm \sqrt{2})}{2}=\sqrt{5} \pm \sqrt{2}$

$=\sqrt{5}+\sqrt{2}, \sqrt{5}-\sqrt{2}$

अतः दिए गए बहुपद के शून्यक $\sqrt{5}+\sqrt{2}$ और $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ हैं।

Question 14

a और b के किन मानों के लिए $q(x)=x^{3}+2 x^{2}+a$ के शून्यक, बहुपद $p(x)=x^{5}-x^{4}-4 x^{3}+3 x^{2}+3 x+b$ के भी शून्यक होंगे? p(x) के कैन-से शून्यक q(x) के शून्यक नहीं हैँ ?

Sol :

यादे $\left(x^{3}+2 x^{2}+a\right)$, बहुपद $\left(x^{5}-x^{4}-4 x^{3}+3 x^{2}+3 x+b\right)$ का एक गुणनखण्ड है, तब शेषफल शून्य होना चाहिए।

अर्थात् $\quad-(1+a) x^{2}+(3+3 a) x+(b-2 a)=0 \cdot x^{2}+0 \cdot x+0$

दोनों पक्षों की तुलना करने पर,

a+1=0

a=-1

b-2a=0

b=2a

b=-2 (∵a=-1)

अतः a=-1 और b=-2 के लिए, q(x) के शून्यक, बहुपद p(x) के शून्यक भी हैं।

∴$q(x)=x^{3}+2 x^{2}-1$

और $p(x)=x^{5}-x^{4}-4 x^{3}+3 x^{2}+3 x-2$

अब, भाज्य = ( भाजंक $\times$ भागफल )+ शेषफल

$p(x)=\left(x^{3}+2 x^{2}-1\right)\left(x^{2}-3 x+2\right)+0$

$=\left(x^{3}+2 x^{2}-1\right)\left(x^{2}-2 x-x+2\right)$

$=\left(x^{3}+2 x^{2}-1\right)[x(x-2)-1(x-2)]$

$=\left(x^{3}+2 x^{2}-1\right)(x-2)(x-1)$

अतः p(x) के शून्यक 1 तथा 2, q(x) के शून्यक नहीं. हैं

Question 15

यदि $x^{3}+2 x^{2}+k x+3$ को x-3 से भाग देने पर शेशफल 21 प्राप्त होता है, तो k का मान और भागफल ज्ञात कीजिए। इसके बाद, त्रिघात बहुपद $x^{3}+2 x^{2}+k x-18$ के शून्यक ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना बहुपद $p(x)=x^{3}+2 x^{2}+k x+3$

शेषफल =21

जब बहुपद को x-3 से भाग देंगे, तब x=3

∴$p(3)=(3)^{3}+2(3)^{2}+3 k+3=21$

अर्थात् 27+18+3+3 k=21

3k=-27 या k=-9

अत:  भागफल $=x^{2}+5 x+6$

∴$x^{3}+2 x^{2}-9 x+3=(x-3)\left(x^{2}+5 x+6\right)+21$

या $x^{3}+2 x^{2}-9 x-18=(x-3)\left(x^{2}+5 x+6\right)$

$=(x-3)\left(x^{2}+2 x+3 x+6\right)$

=(x-3)[x(x+2)+3(x+2)]

=(x-3)(x+2)(x+3)

अत: $x^{3}+2 x^{2}+k x-18$ के शून्यक 3,-2 और -3 है

Dr Manohar re Solution Class 10 Chapter 2 बहुपद (Polynomials) प्रश्नावली 2 (C)

  प्रश्नावली 2 (C) 

Question 1

सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शून्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शूल्यकों और गुणांकों के बीच के सम्बन्ध को भी सत्यापित कीजिए :

(i) $2 x^{3}+x^{2}-5 x+2 ; \frac{1}{2}, 1,-2$

Sol :

मान लीजिए दिया गया बहपद

$p(x)=2 x^{3}+x^{2}-5 x+2$

$=2 \times \frac{1}{8}+\frac{1}{4}-\frac{5}{2}+2$

$=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{5}{2}+2$

$=\frac{1}{2}+2-\frac{5}{2}=\frac{5}{2}-\frac{5}{2}=0$

अतः $p(x)$ का एक शून्यक $\frac{1}{2}$ है।

अब x=1 रखने पर,

$p(1)=2(1)^{3}+(1)^{2}-5(1)+2$

=2+1-5+2=5-5=0

अतः p(x) का दूसरा शून्यक 1 है।

और अब x=-2 रखने पर,

$p(-2)=2(-2)^{3}+(-2)^{2}-5(-2)+2$

=-16+4+10+2

=-16+16=0

अतः p(x) का तीसरा शून्यक -2 है।

अत: दिए गए तीनों शून्यक इसी बहुपद के हैं।

शून्यांकों और गुणांकों के बीच के सम्बन्ध का सत्यापन :

माना कि $\alpha=\frac{1}{2}, \beta=1$ और $\gamma=-2$

शून्यको का योगफल,

$\alpha+\beta+\gamma=\frac{1}{2}+1-2$

$=\frac{3}{2}-2=-\frac{1}{2}$

=- $x^{2}$ का गुणांक / $x^{3}$ का गुणांक

और $\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=\frac{1}{2} \times 1-1 \times 2-2 \times \frac{1}{2}$

$=\frac{1}{2}-2-1$

$=\frac{-5}{2}$=x का गुणांक / $x^{3}$ का गुणांक

और $\alpha \beta \gamma=\frac{1}{2} \times 1 \times-2$

$=\frac{-2}{2}$=- अचर पद / $x^{3}$ का गुणाँक 

(ii) $x^{3}-4 x^{2}+5 x-2 ; 2,1,1$.

Sol :

मान लीजिए दिया गया बहुपद $p(x)=x^{3}-4 x^{2}+5 x-2$

∵ दिए गए शून्यक 2,1 तथा 1 हैं।

सर्वप्रथम x=2 रखने पर,

∴$p(2)=(2)^{3}-4(2)^{2}+5(2)-2$

=8-16+10-2=0

अतः p(x) का एक शून्यक 2 है।

x=1 रखने पर,

अब

$p(1)=(1)^{3}-4(1)^{2}+5(1)-2$

=1-4+5-2=0

अतः p(x) का एक और अन्य शून्यक 1 है।

अत: दिए गए शून्यक इसी बहुपद के हैं।

शूत्यांकों और गुणांकों के बीच के सम्बन्ध का सत्यापन :

माना कि $\alpha=2, \beta=1$ और $\gamma=1$

$\therefore \quad \alpha+\beta+\gamma=2+1+1$

$=4=\frac{4}{1}$=$x^{2}$ का गुणांक / $x^{3}$ का गुणांक

और $\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=2 \times 1+1 \times 1+1 \times 2$

=2+1+2

=5=\frac{5}{1}=x  का गुणांक / $x^{3}$ का गुणांक

और $\alpha \beta y=2 \times 1 \times 1$

$=2=\frac{2}{1}$=- अचर पद / $x^{3}$ का गुणांक

Question 2

एक त्रिघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योग, दो शून्यकों को एक साथ लेकर उनके गुणनफलो का योग तथा तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः 2,-7,-14 हों। 

Sol :

मान लीजिए एक त्रिघात बहुपद $a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ है तथा जिसके शून्यक $\alpha, \beta$ और $\gamma$ हैं।

$\therefore \quad \alpha+\beta+\gamma=2=\frac{-(-2)}{1}$

$=\frac{-b}{a}$

और $\quad \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=-7$

$=\frac{-7}{1}=\frac{c}{a}$

और $\quad \alpha \beta \gamma=-14$

$=\frac{-14}{1}=\frac{-d}{a}$

अतः a=1, b=-2, c=-7 और d=14

इसलिए $a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ में इन मानों को रखने पर $x^{3}-2 x^{2}-7 x+14$ जो कि त्रिघात बहुपद है।

वैकल्पिक विधि :

माना त्रिघात बहुपद के शून्यक $\alpha, \beta$ तथा $\gamma$ हों, तब

$\alpha+\beta+\gamma=2$

तथा $\quad \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=-7$

$\alpha \beta \gamma=-14$

∴त्रिघात बहुपद $=x^{3}-(\alpha+\beta+\gamma) x^{2}+(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha) x-\alpha \beta \gamma$

$=x^{2}-2 x^{2}-7 x+14$

Question 3

यदि बहुपद $x^{3}-3 x^{2}+x+1$ के शून्यक a-b, a, a+b हों, तो a और b ज्ञात कीजिए।

Sol :

चूँकि बहुपद $x^{3}-3 x^{2}+x+1$ तथा जिसके शून्यक a-b, a तथा a+b हों, तब

शून्यकों का योगफल =-$x^{2}$ का गुणांक / $x^{3}$ का गुणांक$

$a-b+a+a+b=\frac{-(-3)}{1}$

या 3a=3

∴ a=1

और (a-b) a+a(a+b)+(a+b)(a-b)=x का गुणांक / $x^{3}$ का गुणांक

a=1 रखने पर,

या  $(1-b) 1+1(1+b)+(1+b)(1-b)=\frac{1}{1}$

$1-b+1+b+1-b^{2}=1$

$3-b^{2}=1$

$-b^{2}=1-3=-2$

$b^{2}=2$

$b=\pm \sqrt{2}$

अत: a=1 तथा $b=\pm \sqrt{2}$.

Question 4

यदि बहुपद $x^{3}+9 x^{2}+20 x+12$ है, तो इसके शून्यकों को ज्ञात कीजिए।

Sol :

बहुपद के अचर पद 12 के गुणनखण्ड $=\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6$ तथा $\pm 12$ हैं।

पहले x=-1 व्यंजक में प्रतिस्यापित करने पर,

शेषफल $=(-1)^{3}+9(-1)^{2}+20(-1)+12$

=-1+9-20+12

=-21+21=0

∵x=-1 रखने से शेषफल 0( शून्य ) प्राप्त होता है।

अत: गुणनखणड प्रमेय से (x+1) दिये व्यंजक का एक गुणनखण्ड है।

∴$x^{3}+9 x^{2}+20 x+12=x^{3}+x^{2}+8 x^{2}+8 x+12 x+12$

$=x^{2}(x+1)+8 x(x+1)+12(x+1)$

$=(x+1)\left(x^{2}+8 x+12\right)$

$=(x+1)\left(x^{2}+2 x+6 x+12\right)$

=(x+1)[x(x+2)+6(x+2)]

=(x+1)(x+2)(x+6)

बहुपद के शून्यक हेतु बहुपद का मान शून्य होगा।

∴(x+1)(x+2)(x+6)=0

$\begin{array}{cl|l|l}\Rightarrow & x+1=0 & x+2=0 & x+6=0 \\\Rightarrow & x=-1 & x=-2 & x=-6\end{array}$

अतः बहुपद के शून्यक -1,-2 और - 6 हैं।

Question 5

यदि बहुपद $x^{3}-a x^{2}+x+3$ का एक शून्यक a है तो a का मान ज्ञात कीजिए।

Sol :

दिया गया बहुपद $=x^{3}-a x^{2}+x+3$, चूँकि बहुपद का शून्यक a है।

∴$(a)^{3}-a(a)^{2}+a+3=0$

$\Rightarrow \quad a^{3}-a^{3}+a+3=0$

⇒a+3=0

⇒a=-3

Question 6

यदि बहुपद $p(x)=x^{3}-5 x^{2}-2 x+24$ के दो शून्यकों का गुणनफल 12 हो, तो इसके शून्यकों को ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना $\alpha, \beta$ तथा $\gamma$ बहुपद p(x) के शून्यक हों, तब

$p(x)=x^{3}-5 x^{2}-2 x+24$

∴$\alpha+\beta+\gamma=-\left(-\frac{5}{1}\right)=5$...(i)

$\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=-\frac{2}{1}=-2$...(ii)

और $\alpha \beta \gamma=-\frac{24}{1}=-24$...(iii)

दिया है : $\alpha \beta=12$

समीकरण (iii) से,

12y=-24

$\gamma=-\frac{24}{12}=-2$

$\gamma$ का मान समीकरण (i) में रखने पर,

$\alpha+\beta-2=5$

$\alpha+\beta=7$

अब  $(\alpha-\beta)^{2}=(\alpha+\beta)^{2}-4 \alpha \beta$ से,

$=(7)^{2}-4 \times 12$

=49-48=1

अर्थात्  $\alpha-\beta=\pm 1$

अब $\alpha+\beta=7$ और $\alpha-\beta=1$ को हल करने पर, $\alpha=4$ तथा $\beta=3$

और $\alpha+\beta=7$ और $\alpha-\beta=-1$ को हल करने पर, $\alpha=3$ और $\beta=4$

अतः दिए गए बहुपद के शून्यक 3,4 और -2 हैं।

Dr Manohar re Solution Class 10 Chapter 2 बहुपद (Polynomials) प्रश्नावली 2 (B)

 प्रश्नावली 2 (B) 

Question 1

निम्न बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए :
(i) $x^{2}-2 x-8$
Sol :
(i) दिया है : $x^{2}-2 x-8$
$=x^{2}-4 x+2 x-8$

$=x(x-4)+2(x-4)$

$=(x-4)(x+2)$

शून्यकों के लिए ,$p(x)=x^{2}-2 x-8$ का मान प्रन्य है,

∴(x-4)(x+2)=0

जब x-4=0 या x=4 है।

और जब x+2=0 या x=-2 हो,

अतः $x^{2}-2 x-8$ के शून्यक 4 और -2 हैं।

सत्यता की जाँच

शून्यकों का योगफल = 4+(-2)

=4-2=2

-(x का गुणांक) / $x^{2}$ का गुणांक

$=\frac{-(-2)}{1}=\frac{2}{1}=2$

और शून्यकों का गुणनफल $=4 \times(-2)=-8$

अचर पद / $x^{2}$  का गुणांक 

$=\frac{-8}{1}=-8$

(ii) $4s^{2}-4 s+1$
Sol :

$=4 s^{2}-2 s-2 s+1$

=2s(2s-1)-1(2s-1)

=(2s-1)(2s-1)

शून्यकों के लिएं बहुपद $4 s^{2}-4 s+1$ का मान शून्य है

∴(2s-1)(2s-1)=0

जब 2x-1=0

या 2x-1=0

अर्थात् $s=\frac{1}{2}$ या $s=\frac{1}{2}$ हो

अत: $4 s^{2}-4 s+1$ के शून्यक $\frac{1}{2}$ और $\frac{1}{2}$ हैं

सत्यता की जाँच,

शून्यकों का योगफल $=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$

-(s का गुणांक ) / $s^{2}$ का गुणांक 

$=\frac{-(-4)}{4}=\frac{4}{4}=1$

शून्यकों का गुणनफल $=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

अचर पद / $s^{2}$ का गुणांक

$=\frac{1}{4}$.

(iii) $6x^{2}-3-7 x$
Sol :

$=6 x^{2}-9 x+2 x-3$

$=3 x(2 x-3)+1(2 x-3)$

$=(2 x-3)(3 x+1)$

शून्यकों के लिए बहुपद $6 x^{2}-7 x-3$ का मान शून्य है,

∴(2x-3)(3x+1)=0

जब 2x-3=0 या 3x+1=0 है।

अर्थात् जब $x=\frac{3}{2}$ या $x=-\frac{1}{3}$ हो,
तब $6 x^{2}-7 x-3$ के शून्यक $\frac{3}{2}$ और $-\frac{1}{3}$ हैं।

सत्यता की जाँच,
शून्यकों का योगफल $=\frac{3}{2}+\left(-\frac{1}{3}\right)$
$=\frac{3}{2}-\frac{1}{3}=\frac{7}{6}$

-(x का गुणांक) / $x^{2}$ का गुणांक

$=\frac{-(-7)}{6}=\frac{7}{6}$


शून्यकों का गुणनफल' $=\frac{3}{2} \times\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{1}{2}$

अचर पद / $x^{2}$ का गुणांक
$=\frac{-3}{6}=-\frac{1}{2}$

Question 2

निम्न द्विघात बहपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यको तथा गणांकों के बीच के सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए:

(i) $4 u^{2}+8 u$

Sol :

=4u(u+2)

शून्यकों के लिए बहुपद $4 u^{2}+8 u$ का मान शून्य है

∴4u(u+2)=0

जब 4u=0 या u+2=0

अर्थात्  u=0 तथा u=-2 है।

अतः $4 u^{2}+8 u$ के शून्यक 0 तथा -2 हैं।

सत्यता की जाँच,

शूल्यकों का योगफल =0+(-2)=-2

-(u का गुणांक ) / $u^{2}$ का गुणांक

$=\frac{-8}{4}=-2$

शून्यकों का गुणनफल $=0 \times(-2)=0$

अचर पद  / $u^{2}$ का गुणांक

$=\frac{0}{4}=0 .$

(ii) $t^{2}-15$

Sol :

$=(t)^{2}-(\sqrt{15})^{2}$

$=(t-\sqrt{15})(t+\sqrt{15})$

शून्यकों के लिए बहुपद $t^{2}-15$ का मान शून्य है,

∴$(t-\sqrt{15})(t+\sqrt{15})=0$

जब $t-\sqrt{15}=0$ या $t+\sqrt{15}=0$,

अर्थात् $t=\sqrt{15}$

या $t=-\sqrt{15}$

अतः $t^{2}-15$ के शून्यक $\sqrt{15}$ और $-\sqrt{15}$ हैं।

सत्यता की जाँच,

शून्यकों का योगफल $=\sqrt{15}+(-\sqrt{15})=0$

-(t का गुणांक) / $t^{2}$ का गुणांक

$=\frac{-0}{1}=0$

शून्यकों का गुणनफल $=\sqrt{15} \times(-\sqrt{15})=-15$

अचर पद  / $t^{2}$ का गुणांक

$=\frac{-15}{1}$

=-15

(iii) $3 x^{2}-x-4$

Sol :

$=3 x^{2}-4 x+3 x-4$

=x(3x-4)+1(3x-4)

=(3x-4)(x+1)

शून्यकों के लिए बहुपद $3 x^{2}-x-4$ का मान शून्य है
∴(3x-4)(x+1)=0

जब 3x-4=0 या x+1=0,

अर्थात् $x=\frac{4}{3}$ या $x=-1$
अत: $3 x^{2}-x-4$ के शून्यक $\frac{4}{3}$ और -1 है.

सत्यता की जाँच,
शूत्यकों का योगफल $=\frac{4}{3}+(-1)=\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}$

-(x का गुणांक) / $x^{2}$ का गुणांक 

$=\frac{-(-1)}{3}=\frac{1}{3}$

शून्यकों का गुणनफल $=\frac{4}{3} \times(-1)=\frac{-4}{3}$

अचर पद / $x^{2}$ का गुणांक

$=\frac{-4}{3}$

Question 3

यदि बहुपद $2 x^{2}+3 x+\lambda$ का एक शून्यक $\frac{1}{2}$ हो, तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना $p(x)=2 x^{2}+3 x+\lambda$

दिया है:  एक शूत्यक $=\frac{1}{2}$

अर्थात्  $p\left(\frac{1}{2}\right)=2\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+3 \times \frac{1}{2}+\lambda=0$

∴$2 \times \frac{1}{4}+\frac{3}{2}+\lambda=0$

$\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+\lambda=0$

$\frac{4}{2}+\lambda=0$

2+λ=0

λ=-2

Question 4

यदि बहुणद $x^{2}-4 \sqrt{3} x+3$ के शून्यक $\alpha$ तथा $\beta$ हों, तो $\alpha+\beta-\alpha \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

Sol :

दिया गया बहुपद $=x^{2}-4 \sqrt{3} x+3$,

$\alpha$ तथा $\beta$ शून्यक हों, तब

शून्यकों का योगफल, $\alpha+\beta$=- x का गुणांक  / $x^{2}$ का गुणांक

$=-\frac{(-4 \sqrt{3})}{1}$

$\alpha+\beta=4 \sqrt{3}$

और शून्यकों का गुणनफल, 𝛼𝛽=अचर पद / $x^{2}$ का गुणाँक 

$=\frac{3}{1}$

$\alpha \beta=3$

अब $\alpha+\beta-\alpha \beta=4 \sqrt{3}+3$

Question 5

यदि बहुपद $2 x^{2}-7 x+3$ के शून्यक p तथा q हों, तो $p^{2}+q^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

Sol :

दिया गया बहुपद $=2 x^{2}-7 x+3$,

p तथा q शून्यक हों, तब

p+q=-x का गुणांक / $x^{2}$ का गुणांक 

$=-\frac{(-7)}{2}=\frac{7}{2}$

तथा pq=अचर पद / $x^{2}$ का गुणांक

$=\frac{3}{2}$

अब $p^{2}+q^{2}=p^{2}+q^{2}+2 p q-2 p q$

$=(p+q)^{2}-2 p q$

$=\left(\frac{7}{2}\right)^{2}-2 \times \frac{3}{2}$

$=\frac{49}{4}-3=\frac{37}{4}$

Question 6

यदि बहुपद $3 x^{2}+11 x-4$ के शून्यक $m$ तथा $n$ हों, तो $\frac{m}{n}+\frac{n}{m}$ का मान ज्रात कीजिए।

Sol :

दिया गया बहुपद $=3 x^{2}+11 x-4$,

m तथा n शून्यक हों, तब

m+n=-x का गुणांक / $x^{2}$ का गुणांक

$=-\frac{11}{3}$

और mn=अचर पद  / $x^{2}$ का गुणांक 

$m n=\frac{-4}{3}$

अब $\frac{m}{n}+\frac{n}{m}=\frac{m^{2}+n^{2}}{m n}$

$=\frac{m^{2}+n^{2}+2 m n-2 m n}{m n}$

$=\frac{(m+n)^{2}-2 m n}{m n}$

$=\frac{\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}-2 \times\left(-\frac{4}{3}\right)}{\left(-\frac{4}{3}\right)}$

$=\frac{\frac{121}{9}+\frac{8}{3}}{-\frac{4}{3}}$

$=\frac{121+24}{9} \times\left(-\frac{3}{4}\right)$

$=\frac{145}{9} \times\left(-\frac{3}{4}\right)$

$=-\frac{145}{12}$

Question 7

बहुपद $x^{2}-3$ के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए।

Sol :

$x^{2}-3=x^{2}-(\sqrt{3})^{2}$

$=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$

∴ $x^{2}-3=0$, जब $x=\sqrt{3},-\sqrt{3}$

अतः: $x^{2}-3$ के शून्यक $\sqrt{3}$ तथा $-\sqrt{3}$ हैं।

अब शून्यकों का योगफल =x का गुणांक / $x^{2}$ का गुणांक

$\sqrt{3}+(-\sqrt{3})=-\frac{0}{\cdot 1}$

$\sqrt{3}-\sqrt{3}=0 .$

तथा शून्यकों का गुणनफल =$अचर पद / $x^{2}$ का गुणांक

$(\sqrt{3})(-\sqrt{3})=\frac{-3}{1}$

-3=3

Question 8

बहुपद $48+2 x-x^{2}$ के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए।

Sol :

बहुपद = $-x^{2}+2 x+48$

$=-x^{2}+8 x-6 x+48$

=x(8-x)-6(x-8)

=x(8-x)+6(8-x)

=(8-x)(x+6)

∴$-x^{2}+2 x+48=0$, जब 8-x=0 है या x+6=0 है।
अर्थात् बहुपद के शून्यक 8 तथा - 6 है

अब   शून्यकों का योगफल =x का गुणांक / $x^{2}$ का गुणाँक

$8+(-6)=-\frac{2}{(-1)}$

8-6=2

2=2

और   शून्यकों का गुणनफल = अचर पद  / $x^{2}$ का गुणांक 

$8(-6)=\frac{48}{(-1)}$

-48=-48

Question 9

यदि बहुपद $x^{2}+x+k$ का एक शून्यक 1 है, तो $k$ कां मान ज्ञात कीजिए।

Sol :

दिया गया बहुपद $x^{2}+x+k$ का शून्यक 1 है, अर्थात् x=1

∴$(1)^{2}+1+k=0$

1+1+k=0

2+k=0

k=-2

Question 10

एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिनके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्याएँ है।

(i) $\frac{1}{4},-1$

Sol :

मान लीजिए द्विधात बहुपद $a x^{2}+b x+c$ है तथा जिसके शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हैं।

∵ $\alpha+\beta=\frac{1}{4}$ (दिया है।)

∴ शून्यकों का योगफल $=\frac{-b}{a}$

∴ $\frac{-b}{a}=\frac{1}{4}$...(i)

∵ शून्यकों का गुणनफल, $\alpha \beta=-1$  (दिया है।)

∴ शूल्यकों का गुणनफल $=\frac{c}{a}$

∴ $\frac{c}{a}=-1$

या $\frac{c}{a}=\frac{-1 \times 4}{4}=\frac{-4}{4}$...(ii)

अब समीकरण (i) तथा (ii) से,

a=4, b=-1, c=-4

a, b तथा c के मान द्विघात बहुपद में रखने पर,

$=4 x^{2}-x-4$

अतः यही द्विघात बहुपद होगा।

वैकलिपक विधि :

माना बहुपद के शून्यक $\alpha$ तथा $\beta$ हों, तब

$\alpha+\beta=\frac{1}{4}$ (दिया है)

तथा $\alpha \beta=-1$

द्विघात बहुपद $=x^{2}-(\alpha+\beta) \lambda+\alpha \beta$

$=x^{2}-\frac{1}{4} x-1$

(ii) $\sqrt{2}, \frac{1}{3}$

Sol :

मान लीजिए द्विधात बहुपद $a x^{2}+b x+c$ है तथा जिसके शून्यक $\alpha$ तथा $\beta$ है।

∵$\alpha+\beta=\sqrt{2}$ (दिया है)

हम जानते है कि

शून्यकों का योगफल $=\frac{-b}{a}$

∴$\frac{-b}{a}=\sqrt{2}$

$\frac{-b}{a}=\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2} \times 3}{3}=\frac{3 \sqrt{2}}{3}$

$\frac{b}{a}=\frac{-3 \sqrt{2}}{3}$...(i)

∴$\alpha \beta=\frac{1}{3}$ (दिया है)

∴शून्यको का गुणनफल $=\frac{c}{a}$

∴$\frac{c}{a}=\frac{1}{3}$..(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से,

∴a=3, $b=-3 \sqrt{2}$, c=1

अब a, b तथा c के मान द्विघात बहुपद में रखने पर,

$=3 x^{2}-3 \sqrt{2} x+1$

अतः यही द्विघात बहुपद होगा। 

वैकल्यिक विधि :

माना बहुपद के शून्यक $\alpha$ तथा $\beta$ हों, तब

$\alpha+\beta=\sqrt{2} (दिया है)

तथा $\alpha \beta=\frac{1}{3}$

∴द्विघात बहुपद $=x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta$

$=x^{2}-\sqrt{2} x+\frac{1}{\sqrt{3}}$

(iii) $0, \sqrt{5}$

Sol :

मान लीजिए द्विधात बहुपद $a x^{2}+b x+c$ हैं तथा इसके शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हैं। 

∵ $\alpha+\beta=0$ (दिया है)

∴ शून्यकों का येगफल $=\frac{-b}{a}$

∵ $\frac{-b}{a}=0=\frac{0}{1}$..(i)

∴ $\alpha \beta=\sqrt{5}$ (दिया है)

या   शून्यकों का गुणनफल $=\frac{c}{a}$

∴$\frac{c}{a}=\sqrt{5}=\frac{\sqrt{5}}{1}$...(ii)

अब संमीकरण (i) व (ii) से, a=1, b=0, $c=\sqrt{5}$

अब a, b तथा c के मान द्विघात बहुपद में रखने पर,

$=x^{2}+0+\sqrt{5}$

$=x^{2}+\sqrt{5}$

अतः यही द्विघात बहुपद होगा।

वैकल्पिक विधि :

माना बहुपद के शून्यक $\alpha$ तथा $\beta$ हों, तब

$\alpha+\beta=0$ (दिया है)

तथा $\alpha \beta=\sqrt{5}$ (दिया है)

∴द्विघात बहुपद $=x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta$

$=x^{2}-0 x+\sqrt{5}$

$=x^{2}+\sqrt{5}$

Question 11

एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः: दी हुई संख्याएँ है:

(i) 1 , 1

Sol :

मान लीजिए द्विधात बहुपद $a x^{2}+b x+c$ है तथा जिसके शून्यक $\alpha$ तथा $\beta$ है

∵$\alpha+\beta=1$

∴शून्यकों का योगफल $=\frac{-b}{a}$

∵$\frac{-b}{a}=1=\frac{1}{1}$...(i)

∴$\alpha \beta=1$(दिया है)

शून्यको का गुणनफल$=\frac{c}{a}$

∴$\frac{c}{a}=1=\frac{1}{1}$..(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से,

a=1 , b=-1 , c=1

a , b तथा c के मान द्विघात बहुपद मे रखने पर,

$=x^{2}-x+1$

अत : यही द्विघात बहुपद होगा।

वैकल्पिक विधि :

माना बहुपद के शून्यक $\alpha$ तथा $\beta$ हों, तब

$\alpha+\beta=1$ (दिया है)

तथा $\alpha \beta=1$ (दिया है)

∴द्विघात बहुपद $=x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta$

$=x^{2}-1 x+1$

$=x^{2}-x+1$

(ii)  $-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}$

Sol :

मान लीजिए द्विधात बहुपद $a x^{2}+b x+c$ है तथा जिसके शून्यक $\alpha$ तथा $\beta$ है

$\alpha+\beta=-\frac{1}{4}$ (दिया है)

शून्यकों का योगफल $=\frac{-b}{a}$

∴$\frac{-b}{a}=-\frac{1}{4}$

या $\frac{b}{a}=\frac{1}{4}$

तथा $\alpha \beta=\frac{1}{4}$

शून्यकों का गुणनफल $=\frac{c}{a}$

∴$\frac{c}{a}=\frac{1}{4}$...(iii)

समीकरण (i) तथा (ii) से ,

a=4 , b=1, c=1

a, b तथा c के मान द्विघात बहुपद में रखने पर,

$=4 x^{2}+x+1$

अतः यही द्विघात बहुपद होगा।.

दैकल्पिक विधि :

माना बहुपद के शून्यक $\alpha$ तथा $\beta$ हों, तब

$\alpha+\beta =-\frac{1}{4}$ (दिया है)

तथा $\alpha \beta =-\frac{1}{4}$ (दिया है)

$=x^{2}+\frac{1}{4} x+\frac{1}{4}$

(iii) 4,1

Sol :

मान लीजिए द्विधात बहुपद $a x^{2}+b x+c$ है तथा जिसके शून्यक $\alpha$ तथा $\beta$ हैं

$\alpha+\beta=4$ (दिया है)

शून्यकों का योगफल $=\frac{-b}{a}$

∴$\frac{-b}{a}=4=\frac{4}{1}$...(i)

तथा $\alpha \beta=1$ (दिया है)

शून्यकों का गुणनफल $=\frac{c}{a}$

∴$\frac{c}{a}=1=\frac{1}{1}$...(ii)

∴समीकरण (i) तथा (ii) से,

a=1 , b=-4 , c=1

a, b तथा c के मान द्विघात बहुपद में रखने पर,

$=x^{2}-4 x+1$

अतः यही द्विघात बहुपद होगा।

वैकल्पिक विधि :

माना बहुपद के प्रत्यक $\alpha$ तथा $\beta$ हों, तब (दिया है)

तथा $\alpha+\beta=4$ (दिया है)

∴द्विघात बहुपद $=x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta$

$=x^{2}-4 x+1$

Question 12

यदि बहुपद $a x^{2}-5 x+c$ के शून्यकों का योगफल और गुणनफल प्रत्येक 10 के बराबर है, तो a और c के मान ज्ञात कीजिए।

Sol :

दिया गया बहुपद $=a x^{2}-5 x+c$

∴ शून्यकों का योगफल =-x का गुणांक/ $x^{2}$ का गुणांक

अर्थात् $-\frac{(-5)}{a}=10$ (दिया है)

या $\frac{5}{a}=10$

या 10a=5

या $a=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$

तथा शून्यकों का गुणनफल =अचर पद / $x^{2}$ का गुणांक

अर्थात् $\frac{c}{a}=10$

या 10a=c या $10 \times \frac{1}{2}=c$ (दिया है)

या 10a=c या $10 \times \frac{1}{2}=c$

या c=5

Question 13

बहुपद $x^{2}+\frac{1}{6} x-2$ के शून्यक ज्ञात कीजिए तथा इस बहुपद के गुणांकों और शून्यकों के बीच के सम्बन्धों का सत्यापन कीजिए।

Sol :

दिया गया बहुपद $=x^{2}+\frac{1}{6} x-2$

$=\frac{1}{6}\left[6 x^{2}+x-12\right]$

$=\frac{1}{6}\left[6 x^{2}+9 x-8 x-12\right]$

$=\frac{1}{6}[3 x(2 x+3)-4(2 x+3)]$

$=\frac{1}{6}[(2 x+3)(3 x-4)]$

शून्यक हेतु बहुपद का मान शून्य के बराबर लेनें पर,

∴(2 x+3)(3 x-4)=0

⇒2x+3=0 और 3x-4=0

⇒$x=-\frac{3}{2}$ और $\frac{4}{3}$

अत: बहुपद के शून्यक $-\frac{3}{2}$ और $\frac{4}{3}$ है

अब शून्यकों का योगफल $=-\frac{3}{2}+\frac{4}{3}$

$=\frac{-9+8}{6}=-\frac{1}{6}$ =-x का गुणांक / $x^{2}$ का गुणांक

तथा  शून्यको का गुणनफल $=-\frac{3}{2} \times \frac{4}{3}=-2$

=अचर पद / $x^{2}$ का गुणांक 

Question 14

गुणनखण्डन द्वारा बहुपद $7 y^{2}-\frac{11}{3} y-\frac{2}{3}$ के शून्यक ज्ञात कीजिए तथा इन बहुपदों के गुणांकों और शून्यकों के बीच सम्बन्ध सत्यापित कीजिए।

Sol :

दिया गया बहुपद $=7 y^{2}-\frac{11}{3} y-\frac{2}{3}$

$=\frac{1}{3}\left[21 y^{2}-11 y-2\right]$

$=\frac{1}{3}\left[21 y^{2}-14 y+3 y-2\right]$

$=\frac{1}{3}[7 y(3 y-2)+1(3 y-2)]$

$=\frac{1}{3}[(7 y+1)(3 y-2)]$

शून्यक हेतु बहुपद का मान शून्य होगा।

∴(7y+1)(3y-2)=0

⇒7y+1=0 और 3y-2=0

⇒$y=-\frac{1}{7}$ और $y=\frac{2}{3}$

अत : बहुपद के शून्यक $-\frac{1}{7}$ और $\frac{2}{3}$ है।

अब शून्यको का योगफल $=-\frac{1}{7}+\frac{2}{3}=\frac{-3+14}{21}$

$=\frac{11}{21}$=-y का गुणांक / $y^{2}$ का गुणांक

और शून्यकों का योगफल $=-\frac{1}{7} \times \frac{2}{3}=\frac{-2}{21}$

=अचर पद / $y^{2}$ का गुणांक

Question 15

वह द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों के योग और गुणनफल क्रमश: $\sqrt{2}$ तथा $-\frac{3}{2}$ है । इसके शून्यक भी ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना बहुपद के शून्यक $\alpha$ तथा $\beta$ हों, तब

$\alpha+\beta=\sqrt{2}$ (दिया है)

तथा $\alpha \beta=-\frac{3}{2}$ (दिया है)

द्विघात बहुपद $=x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta$

$=x^{2}-\sqrt{2} x+\left(-\frac{3}{2}\right)$

$=x^{2}-\sqrt{2} x-\frac{3}{2}$

$=\frac{1}{2}\left[2 x^{2}-2 \sqrt{2} x-3\right]$

$=\frac{1}{2}\left[2 x^{2}-3 \sqrt{2} x+\sqrt{2} x-3\right]$

$=\frac{1}{2}[\sqrt{2} x(\sqrt{2} x-3)+1(\sqrt{2} x-3)]$

$=\frac{1}{2}[(\sqrt{2} x-3)(\sqrt{2} x+1)]$

शून्यक हेतु बहुपद का मान शून्य होगा।

$(\sqrt{2} x-3)(\sqrt{2}x+1)=0$

$\Rightarrow \quad \sqrt{2} x-3=0$ और $\sqrt{2} x+1=0$

$\Rightarrow \quad x=\frac{3}{\sqrt{2}}$ और $-\frac{1}{\sqrt{2}}$

अतः बहुपद के शून्यक $\frac{3}{\sqrt{2}}$ और $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ है

Dr Manohar re Solution Class 10 Chapter 2 बहुपद (Polynomials) प्रश्नावली 2 (A)

प्रश्नावली 2 (A) 

Question 1

किसी बहुपद f(x) के लिए y=f(x) के ग्राफ दिये हैं। प्रत्येक ग्राफ में f(x) के शून्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए:

(i) 

Sol :

दिया गया ग्राफ x-अक्ष को एक स्थान पर प्रतिच्छेद करता है। अतः शून्यकों की संख्या 1 है।

(ii) 

Sol :

दिया गया ग्राफ x-अक्ष को एक भी स्थान पर प्रतिच्छेद नहीं कर रहा है। अतः शून्यकों की संख्या 0 होगी।

(iii) 

Sol :

दिया गया ग्राफ x-अक्ष को एक स्थान पर प्रतिच्छेद करता है। अतः शून्यकों की संख्या 1 होगी।

(iv) 

Sol :

दिया गया ग्राफ x-अक्ष को दो स्थानों पर प्रतिच्छेद करता है। अतः शून्यकों की संख्या दो होगी।

(v)

Sol :

दिया गया ग्राफ x-अक्ष को तीन स्थानों पर प्रतिच्छेद करता है। अतः शून्यकों की संख्यां तीन होगी।

(vi)

Sol :

दिया गया ग्राफ x-अक्ष को दो स्थानों पर प्रतिच्छेद करता है। अतः शून्यकों की संख्या दो होगी।

(vii)

Sol :

दिया गया ग्राफ x-अक्ष को चार स्थानों पर प्रतिच्छेद करता है। अतः शून्यकों की संख्या 4 होगी।

(viii)

Sol :

दिया गया ग्राफ x-अक्ष को दो स्थानों पर प्रतिच्छेद करता है। अतः शून्यकों की संख्या 2 होगी।

(ix)

Sol :

दिया गया ग्राफ x-अक्ष को चार स्थानों पर प्रतिच्छेद करता है। अतः शून्यकों की संख्या चार होगी।