Dr Manohar re Solution Class 10 Chapter 2 बहुपद (Polynomials) प्रश्नावली 2 (E)

 प्रश्नावली 2 (E) 

निम्नलिखित प्रश्नों में दिए गए चार विंकल्पो

Question 1

यदि द्विघात बहुपद
(i) 3
(ii) -3
(iii) $\frac{2}{3}$
(iv) $-\frac{2}{3}$
Sol :

दिया है, बहुपद f(x) का एक शून्यक -3 है

तब  f(-3)=0

∴$(k-1)(-3)^{2}+k(-3)+1=0$

9(k-1)-3k+1=0

9k-9-3k+1=0

6k-8=0

∴$k=\frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

अत: विकल्प (i) सही है।

Question 2

शून्यक -3 और 4 वाला द्विघात बहुपद है :

(i) $x^{2}-x-12$

(ii) $x^{2}+x+12$

(iii) $\frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{2}-6$

(iv) $2 x^{2}+2 x-24$

Sol :

माना शून्यक $\alpha=-3$ और $\beta=4$

तब $\alpha+\beta=-3+4=1 ; \alpha \beta=(-3) \times 4=-12$

द्विघातीय बहुपद $=x^{2}$-(शून्यकों का योगफल) x+(शून्यकों का गुणनफल)

$=x^{2}-(1) x+(-12)=x^{2}-x-12$

अत: विकल्प (i) सही है।

Question 3

यदि द्विघात बहुपद $x^{2}+(a+1) x+b$ के शून्यक 2 और -3 हैं, तो :

(i) a=-7, b=-1

(ii) a=5, b=-1

(iii) a=2, b=-6

(iv) a=0 ; b=-6

Sol :

दिया है, द्विघातीय बहुपद $f(x)=x^{2}+(a+1) x+b$ के शून्यक 2 और -3 हैं।

तब f(2)=0 और f(-3)=0

$f(2)=(2)^{2}+(a+1) 2+b=0$

4+2a+2+b=0

2a+b=-6

$f(-3)=(-3)^{2}+(a+1)(-3)+b=0$

9-3a-3+b=0

-3a+b=-6

3a-b=6

समी (i) व (ii) को जोड़ने पर,

5a=0 या a=0

a का मान समी (i) में रखने पर,

$2 \times 0+b=-6$

b=-6

अत: विकल्प (iv) सही है।

Question 4

शून्यक - 2 और 5 वाले बहुपदों की संख्या है-
(i) 1
(ii) 2
(iii) 3
(iv) 3 से अधिक
Sol :

दिए गए बहुपद के शून्यक - 2 और 5 हैं।

∴ शून्यक -2 और 5 वाले बहुपदों की संख्या अनंत होगी।

जैसे:  p(x)=(x+2)(x-5), q(x)=(x+2)(x-5)x

$r(x)=(x+2)^{2}(x-5)^{2} \ldots . .$ आदि ।

अत : विकल्प (iv) सही है।

Question 5

त्रिघात बहुपद $a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ का एक शून्यक 0 दिया हुआ है, तो अन्य दो शून्यकों का गुणनफल है :

(i) $-\frac{c}{a}$

(ii) $\frac{c}{a}$

(iii) 0

(iv) $-\frac{b}{a}$

Sol :

मान लीजिए त्रिघीतीय बहुपद $a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ के शून्यक क्रमश $: \alpha, \beta$ और $\gamma$ हैं 

दिया है, $\alpha=0$

यहाँ $\quad \alpha+\beta+\gamma=\frac{b}{a}$

⇒$\beta+\gamma=-\frac{b}{a} \quad(\because \alpha=0)$...(i)

और $\quad \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=\frac{c}{a}$...(ii)

$\alpha=0$ समी (ii) में रखने पर,

$\beta \gamma=\frac{c}{a}$

अतः विकल्प (ii) सही है।

Question 6

यदि त्रिघात बहुपद $x^{3}+a x^{2}+b x+c$ का एक शून्यक -1 है, तो अन्य दोनों शून्यकों का गुणनफल हैः
(i) b-a+1
(ii) b-a-1
(iii) a-b+1
(iv) a-b-1
Sol :

दिया है, त्रिघोतीयं बहुपद $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ का एक शून्यक -1 है, इसलिए बहुपद f(x) का एक गुणनखण्ड (x+1) है।

अब, 

∴$x^{3}+a x^{2}+b x+c=(x+1)\left\{x^{2}+(a-1) x+(b-a+1)\right\}+(c-b+a-1)$

$x^{3}+a x^{2}+b x+(b-a+1)=(x+1)\left\{x^{2}+(a-1) x+(b-a+1)\right\}$

माना दिए गए बहुपद के अन्य दो शून्यक $\alpha$ व $\beta$ हैं। तब

शून्यकों का गुणनफल, (-1) 𝛼𝛽= -अचर पद / $x^{3}$ का गुणांक

$=-\frac{b-a+1}{1}$.

$\alpha \beta=\frac{b-a+1}{1}$

∴$\alpha \beta=b-a+1$

अत: विकल्प (i) सही है।

Question 7

द्विधात बहुपद $x^{2}+99 x+127$ के शून्यक हैं :

(i) दोनों धनात्मक

(ii) दोनों ऋणात्मक

(iii) एकं धनात्मक और एक ऋणात्मक

(iv) दोनों बराबर

Sol :

$f(x)=x^{2}+99 x+127$

धराचार्य सून से,

$x=\frac{-99 \pm \sqrt{(99)^{2}-4(1)(127)}}{2(1)}=\frac{-99 \pm \sqrt{9801-508}}{2}$

$=\frac{-99 \pm \sqrt{9293}}{2}=\frac{-99 \pm 96.40}{2}$

धनात्मक (+) चिह्न लेने पर,

$x=\frac{-99+96.4}{2}=\frac{-2.6}{2}=-1.3$

ऋणात्मक (-) चिह्व लेने पर,

$x=\frac{-99-96.40}{2}=\frac{-195.40}{2}=-97.7$

यहाँ दोतों शून्यक ऋणात्मक हें

अत : विकल्प (ii) सही है।

Question 8

द्विघात बहुपद $x^{2}+k x+k, k \neq 0$ के शून्यक है :

(i) दोनों धनात्मक नहीं हो सकते हैं

(ii) दोनों ऋणात्मक नहीं हो सकते

(iii) सदैव असमान है

(iv) सदैव बराबर हैं।

Sol :

दिया गया द्विघातीय बहुपद

$f(x)=x^{2}+k x+k ; k \neq 0$

धराचार्य के नियम से,

$x=\frac{-k \pm \sqrt{k^{2}-4 k}}{2}$

$=\frac{-k \pm \sqrt{(k-2)^{2}-4}}{2}$

यहाँ $k>\sqrt{(k-2)^{2}-4}$

दोनों शून्यक धनात्मक नहीं हो सकते हैं।

अत : दिकल्प (i) सही है।

Question 9

यदि द्विधात बहुपद $a x^{2}+b x+c, c \neq 0$ के शून्यक समान हैं, तब

(i) c और a के विपरीत चिन्ह हैं

(ii) c और b के विपरीत चिन्ह हैं

(iii) c और a के समान चिन्ह है

(iv) c और b के समान चिन्ह हैं।

Sol :

दिया है, द्विघातीय बहुपद $a x^{2}+b x+c, c \neq 0$ के शून्यक समान हें।

अर्थात् , विविक्तकर (D)=0

$b^{2}-4 a c=0$

जोकि केवल तभी सम्भव है जब a और c के समान चिह्न हों।

अतः विकल्प (iii) सही है।

Question 10

यदि $x^{2}+a x+b$ के रुप के एक द्विघात बहुपद का एक शून्यक दूसरे शून्यक का ऋरणत्मक हो,तब

(i) इसका कोई रैखिक पद नहीं होता और अचर पद ऋणात्मक होता है।

(ii) इसका कोई रैखिक पद नहीं होता और अचर पद धनात्मक होता है।

(iii) इसका रैखिक पद हो सकता होता है लेकिन अचर पद ऋणात्मक होता है।

(iv) इसका रैखिक पद हो सकता है लेकिन अचर पद धनात्मक होता है।

Sol :

माना  $f(x)=x^{2}+a x+b$

दिया है

द्विघातीय बहुपद के शून्यक $\alpha$ और $-\alpha$ हें।

∴शून्यकों कां योगंफल $=\alpha+(-\alpha)=\alpha-\alpha=0$

अर्थात् a=0

अतः $f(x)=x^{2}+b$, जोकि रैखिक नहीं हो सकता।

तथा $\quad$ शून्यकों का गुंण्निफ़ल $=\alpha \cdot(-\alpha)=b$

अर्थात $-\alpha^{2}=b$ जोकि सम्भव है जब $b<0$ हो।

इसलिए इसका रैखिक पद नहीं है और अचर पद ऋणात्मक है।

अतः विकल्य (i) सही है।

Question 11

निम्नलिखित में से कौन एक द्विघात बहपद का आलेख नहीं है?

Sol :

चूँकि विकल्म (iv) में, वक्न x-अक्ष के तीन बिन्दुओं से गुजर रहा है। इसलिए यह द्विघातीय बहुपद को व्यक्त नहीं करता।

अत : विकल्प (iv) सही है।