Dr Manohar re Solution Class 10 Chapter 2 बहुपद (Polynomials) प्रश्नावली 2 (D)

 प्रश्नावली 2 (D) 

निम्नलिखित प्रत्येक प्रश्न में बहुपद p को बहुपद g से भाग दीजिए और भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए।

Question 1

$p(x)=x+3 x^{2}-1$ तथा g(x)=1+x

Sol :

यहौँ भागफल 3x-2 तथा शेषफल 1 है।

अत: g, p का गुणनफल नर्ही है।

Question 2

$p(x)=x^{3}+3 x^{2}-12 x+4$

Sol :

g(x)=x-2

$\frac{p(x)}{g(x)}=\frac{x^{3}+3 x^{2}-12 x+4}{x-2}$

यहाँ   भागफल $=x^{2}+5 x-2$

तथा शेषफल =0

अतः g, p का गुण्नखण्ड है।

Question 3

$p(t)=t^{3}-3 t^{2}-t+3$ और $g(t)=t^{2}-4 t+3$

Sol :

यहाँ भागफल t+1 और शेषफल शून्य है। हम लिखते हैं :

$t^{3}-3 t^{2}-t+3=(t+1)\left(t^{2}-4 t+3\right)$

अतः g, p का गुणनखण्ड है।

Question 4

$p(x)=x^{4}+1$

Sol :

g(x)=x+1

$\frac{p(x)}{g(x)}=\frac{x^{4}+1}{x+1}$

यहाँ भागफल $=x^{3}-x^{2}+x-1$

तथा  शेषफल =2

अत: g, p का गुणनखण्ड नही है।

Question 5

$p(x)=x^{3}+x^{2}-2 x+1$ और g(x)=x+3

Sol :

$\frac{p(x)}{g(x)}=\frac{x^{3}+x^{2}-2 x+1}{x+3}$

यहाँ भागफल $x^{2}-2 x+4$ और शेषफल -11 है। तथा g, p का गुणनखण्ड नहीं है।

Question 6

$p(x)=7 x^{2}-2 \sqrt{8} x-6$ और $g(x)=x-\sqrt{2}$

Sol :

$\frac{p(x)}{g(x)}=\frac{7 x^{2}-2 \sqrt{8} x-6}{x-\sqrt{2}}$

यहाँ भागफल $7 x+3 \sqrt{2}$ और शेषफल शून्य है। अतः g, p का गुणनखण्ड है।

Question 7

विमाजन एलगरिथ्म का प्रयोग करके, निम्न में p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए :

(i) $p(x)=x^{3}-3 x^{2}+5 x-3, g(x)=x^{2}-2$

Sol :

अतः भागफल x-3 तथा शेषफल 7x-9

(ii) $p(x)=x^{4}-3 x^{2}+4 x+5, g(x)=x^{2}+1-x$

Sol :

(iii) $p(x)=x^{4}-5 x+6, g(x)=2-x^{2}$

Sol :

अत: भागफल $-x^{2}-2$ तथा शेषफल -5x+10

Question 8

पहले बहुपद से दूसरे बहुपद को भाग करके, जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखंण्ड है :

(i) $t^{2}-3,2 t^{4}+3 t^{3}-2 t^{2}-9 t-12$

Sol :

अतः जंब शेषफल शून्य हो, तब प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड होगा

(ii) $x^{2}+3 x+1,3 x^{4}+5 x^{3}-7 x^{2}+2 x+2$

Sol :

अतः जब शेषफल शून्य हो, तब प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड होगा।

(iii) $x^{3}-3 x+1, x^{5}-4 x^{3}+x^{2}+3 x+1$

Sol :

अतः शेषफल 2 हो, तब प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड नहीं होगा।

Question 9

यदि $x^{3}-3 x^{2}+x+2$ को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमश: $x-2$ और -2 x+4 हैं तो g(x) ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना

बहुपद $p(x)=x^{3}-3 x^{2}+x+2$

भाजक g(x)=?

भागफल q(x)=x-2

और शेषफल r(x)=-2x+4

चूँकि बहुपद p(x)= भाजक $g(x) \times$ भागफल q(x)+ शेषफल r(x) हो, तब

$x^{3}-3 x^{2}+x+2=g(x) \times(x-2)+(-2 x+4)$

या $g(x) \times(x-2)=x^{3}-3 x^{2}+x+2+2 x-4=x^{3}-3 x^{2}+3 x-2$

$g(x)=\frac{x^{3}-3 x^{2}+3 x-2}{x-2}$

अत: $g(x)=x^{2}-x+1$

Question 10

यदि बहुपद $x^{4}-6 x^{3}+16 x^{2}-25 x+10$ को एक अन्य बहुपद $x^{2}-2 x+k$ से भाग दिया जाए और शेषफल x+a आता हो, तो k तथा a ज्ञात कीजिए।

Sol :

शेषफल =(2 k-9) x-(8-k) k+10

परंतु दिया गया शेषफल =x+a

दोनों शेषफलों में x तथा a के पदों की तुलना करने पर

2k-9=1 या 2k=1+9

या $k=\frac{10}{2}$

∴k=5

और -(8-k) k+10=a

या a=(-8+k)k+10

a=(-8+5)5+10 (k=5 रखने पर)

$=-3 \times 5+10=-5$

अत: k=5 और a=-5

Question 11

$3 x^{4}+6 x^{3}-2 x^{2}-10 x-5$ के अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए, यदि इसके दो शून्यक $\sqrt{\frac{5}{3}}$ और $-\sqrt{\frac{5}{3}}$

Sol :

चूँकि कि $\sqrt{\frac{5}{3}}$ और $-\sqrt{\frac{5}{3}}$ दिए गए बहु़पद के दो शून्यक हों, तब इनके गुणनखण्ड $\left(x-\sqrt{\frac{5}{3}}\right)\left(x+\sqrt{\frac{5}{3}}\right)$ हैं

$\therefore \quad\left(x-\sqrt{\frac{5}{3}}\right)\left(x+\sqrt{\frac{5}{3}}\right)=(x)^{2}-\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\right)^{2}$

$=\left(x^{2}-\frac{5}{3}\right)$

इसलिए $\left(x^{2}-\frac{5}{3}\right)$ बहुपद का एक गुणनखण्ड होगा।

अत : 

अब भागफल $=3 x^{2}+6 x+3$ के गुणनखण्ड करने पर,

$3 x^{2}+6 x+3=3\left(x^{2}+2 x+1\right)$

$=3\left(x^{2}+x+x+1\right)$

=3[x(x+1)+1(x+1)]$

=3(x+1)(x+1)

अत: दिए गए बहुपद के अन्य शून्यक -1 और -1 हैं।

Question 12

यदि बहुपद $x^{4}-6 x^{3}-26 x^{2}+138 x-35$ के दो शून्यक $2 \pm \sqrt{3}$ हों, तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए।

Sol :

चूँकि दिया गया बहुपद $=x^{4}-6 x^{3}-26 x^{2}+138 x-35$

और मान लीजिए $x=2 \pm \sqrt{3}$

∴$x-2=\pm \sqrt{3}$

$(x-2)^{2}=(\pm \sqrt{3})^{2}$

$x^{2}+4-4 x=3$

$x^{2}-4 x+1=0$ दिए गए बहुपद का एक गुणनखण्ड है।

अतः भागफल $x^{2}-2 x-35$ है जो दिए गए बहुपद का एक गुणनखण्ड होगा।

अतः $x^{2}-2 x-35=x^{2}-7 x+5 x-35$

=x(x-7)+5(x-7)

=(x-7)(x+5)

अत : दिए गए बहुपद के अन्य शून्यक 7 और -5 हें।

Question 13

त्रिघातं बहुपद $x^{3}-3 \sqrt{5} x^{2}+13 x-3 \sqrt{5}$ का एक गुणनखण्ड' $x-\sqrt{5}$ दिया है। इस बहुपद के सभी शून्यक ज्ञात कीलिए।

Sol :

दिया गया बहुपद $=x^{3}-3 \sqrt{5} x^{2}+13 x-3 \sqrt{5}$

बहुपद का एक गुण्गंखण्ड' अर्थात् शून्यक $x-\sqrt{5}$ है।

अब विभाजन एल्गोरिथ्म से,

अब $x^{3}-3 \sqrt{5} x^{2}+13 x-3 \sqrt{5}=(x-\sqrt{5})\left(x^{2}-2 \sqrt{5} x+3\right)+0$

$=(x-\sqrt{5})\left(x^{2}-2 \sqrt{5} x+3\right)$

$x^{2}-2 \sqrt{5} x+3$ में $x$ को ज्ञात करने हेतु द्विधात सूत्र का प्रयोग करेंगे।

$x=\frac{-(-2 \sqrt{5}) \pm \sqrt{ \left(-2\sqrt{ 5}\right)^{2}-4 \times 1 \times 3}}{2 \times 1}$

$=\frac{2 \sqrt{5} \pm \sqrt{20-12}}{2}$

$=\frac{2 \sqrt{5} \pm \sqrt{8}}{2}=\frac{2 \sqrt{5} \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

$=\frac{2(\sqrt{5} \pm \sqrt{2})}{2}=\sqrt{5} \pm \sqrt{2}$

$=\sqrt{5}+\sqrt{2}, \sqrt{5}-\sqrt{2}$

अतः दिए गए बहुपद के शून्यक $\sqrt{5}+\sqrt{2}$ और $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ हैं।

Question 14

a और b के किन मानों के लिए $q(x)=x^{3}+2 x^{2}+a$ के शून्यक, बहुपद $p(x)=x^{5}-x^{4}-4 x^{3}+3 x^{2}+3 x+b$ के भी शून्यक होंगे? p(x) के कैन-से शून्यक q(x) के शून्यक नहीं हैँ ?

Sol :

यादे $\left(x^{3}+2 x^{2}+a\right)$, बहुपद $\left(x^{5}-x^{4}-4 x^{3}+3 x^{2}+3 x+b\right)$ का एक गुणनखण्ड है, तब शेषफल शून्य होना चाहिए।

अर्थात् $\quad-(1+a) x^{2}+(3+3 a) x+(b-2 a)=0 \cdot x^{2}+0 \cdot x+0$

दोनों पक्षों की तुलना करने पर,

a+1=0

a=-1

b-2a=0

b=2a

b=-2 (∵a=-1)

अतः a=-1 और b=-2 के लिए, q(x) के शून्यक, बहुपद p(x) के शून्यक भी हैं।

∴$q(x)=x^{3}+2 x^{2}-1$

और $p(x)=x^{5}-x^{4}-4 x^{3}+3 x^{2}+3 x-2$

अब, भाज्य = ( भाजंक $\times$ भागफल )+ शेषफल

$p(x)=\left(x^{3}+2 x^{2}-1\right)\left(x^{2}-3 x+2\right)+0$

$=\left(x^{3}+2 x^{2}-1\right)\left(x^{2}-2 x-x+2\right)$

$=\left(x^{3}+2 x^{2}-1\right)[x(x-2)-1(x-2)]$

$=\left(x^{3}+2 x^{2}-1\right)(x-2)(x-1)$

अतः p(x) के शून्यक 1 तथा 2, q(x) के शून्यक नहीं. हैं

Question 15

यदि $x^{3}+2 x^{2}+k x+3$ को x-3 से भाग देने पर शेशफल 21 प्राप्त होता है, तो k का मान और भागफल ज्ञात कीजिए। इसके बाद, त्रिघात बहुपद $x^{3}+2 x^{2}+k x-18$ के शून्यक ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना बहुपद $p(x)=x^{3}+2 x^{2}+k x+3$

शेषफल =21

जब बहुपद को x-3 से भाग देंगे, तब x=3

∴$p(3)=(3)^{3}+2(3)^{2}+3 k+3=21$

अर्थात् 27+18+3+3 k=21

3k=-27 या k=-9

अत:  भागफल $=x^{2}+5 x+6$

∴$x^{3}+2 x^{2}-9 x+3=(x-3)\left(x^{2}+5 x+6\right)+21$

या $x^{3}+2 x^{2}-9 x-18=(x-3)\left(x^{2}+5 x+6\right)$

$=(x-3)\left(x^{2}+2 x+3 x+6\right)$

=(x-3)[x(x+2)+3(x+2)]

=(x-3)(x+2)(x+3)

अत: $x^{3}+2 x^{2}+k x-18$ के शून्यक 3,-2 और -3 है