Dr Manohar re Solution Class 10 Chapter 2 बहुपद (Polynomials) प्रश्नावली 2 (B)

 प्रश्नावली 2 (B) 

Question 1

निम्न बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए :
(i) $x^{2}-2 x-8$
Sol :
(i) दिया है : $x^{2}-2 x-8$
$=x^{2}-4 x+2 x-8$

$=x(x-4)+2(x-4)$

$=(x-4)(x+2)$

शून्यकों के लिए ,$p(x)=x^{2}-2 x-8$ का मान प्रन्य है,

∴(x-4)(x+2)=0

जब x-4=0 या x=4 है।

और जब x+2=0 या x=-2 हो,

अतः $x^{2}-2 x-8$ के शून्यक 4 और -2 हैं।

सत्यता की जाँच

शून्यकों का योगफल = 4+(-2)

=4-2=2

-(x का गुणांक) / $x^{2}$ का गुणांक

$=\frac{-(-2)}{1}=\frac{2}{1}=2$

और शून्यकों का गुणनफल $=4 \times(-2)=-8$

अचर पद / $x^{2}$  का गुणांक 

$=\frac{-8}{1}=-8$

(ii) $4s^{2}-4 s+1$
Sol :

$=4 s^{2}-2 s-2 s+1$

=2s(2s-1)-1(2s-1)

=(2s-1)(2s-1)

शून्यकों के लिएं बहुपद $4 s^{2}-4 s+1$ का मान शून्य है

∴(2s-1)(2s-1)=0

जब 2x-1=0

या 2x-1=0

अर्थात् $s=\frac{1}{2}$ या $s=\frac{1}{2}$ हो

अत: $4 s^{2}-4 s+1$ के शून्यक $\frac{1}{2}$ और $\frac{1}{2}$ हैं

सत्यता की जाँच,

शून्यकों का योगफल $=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$

-(s का गुणांक ) / $s^{2}$ का गुणांक 

$=\frac{-(-4)}{4}=\frac{4}{4}=1$

शून्यकों का गुणनफल $=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

अचर पद / $s^{2}$ का गुणांक

$=\frac{1}{4}$.

(iii) $6x^{2}-3-7 x$
Sol :

$=6 x^{2}-9 x+2 x-3$

$=3 x(2 x-3)+1(2 x-3)$

$=(2 x-3)(3 x+1)$

शून्यकों के लिए बहुपद $6 x^{2}-7 x-3$ का मान शून्य है,

∴(2x-3)(3x+1)=0

जब 2x-3=0 या 3x+1=0 है।

अर्थात् जब $x=\frac{3}{2}$ या $x=-\frac{1}{3}$ हो,
तब $6 x^{2}-7 x-3$ के शून्यक $\frac{3}{2}$ और $-\frac{1}{3}$ हैं।

सत्यता की जाँच,
शून्यकों का योगफल $=\frac{3}{2}+\left(-\frac{1}{3}\right)$
$=\frac{3}{2}-\frac{1}{3}=\frac{7}{6}$

-(x का गुणांक) / $x^{2}$ का गुणांक

$=\frac{-(-7)}{6}=\frac{7}{6}$


शून्यकों का गुणनफल' $=\frac{3}{2} \times\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{1}{2}$

अचर पद / $x^{2}$ का गुणांक
$=\frac{-3}{6}=-\frac{1}{2}$

Question 2

निम्न द्विघात बहपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यको तथा गणांकों के बीच के सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए:

(i) $4 u^{2}+8 u$

Sol :

=4u(u+2)

शून्यकों के लिए बहुपद $4 u^{2}+8 u$ का मान शून्य है

∴4u(u+2)=0

जब 4u=0 या u+2=0

अर्थात्  u=0 तथा u=-2 है।

अतः $4 u^{2}+8 u$ के शून्यक 0 तथा -2 हैं।

सत्यता की जाँच,

शूल्यकों का योगफल =0+(-2)=-2

-(u का गुणांक ) / $u^{2}$ का गुणांक

$=\frac{-8}{4}=-2$

शून्यकों का गुणनफल $=0 \times(-2)=0$

अचर पद  / $u^{2}$ का गुणांक

$=\frac{0}{4}=0 .$

(ii) $t^{2}-15$

Sol :

$=(t)^{2}-(\sqrt{15})^{2}$

$=(t-\sqrt{15})(t+\sqrt{15})$

शून्यकों के लिए बहुपद $t^{2}-15$ का मान शून्य है,

∴$(t-\sqrt{15})(t+\sqrt{15})=0$

जब $t-\sqrt{15}=0$ या $t+\sqrt{15}=0$,

अर्थात् $t=\sqrt{15}$

या $t=-\sqrt{15}$

अतः $t^{2}-15$ के शून्यक $\sqrt{15}$ और $-\sqrt{15}$ हैं।

सत्यता की जाँच,

शून्यकों का योगफल $=\sqrt{15}+(-\sqrt{15})=0$

-(t का गुणांक) / $t^{2}$ का गुणांक

$=\frac{-0}{1}=0$

शून्यकों का गुणनफल $=\sqrt{15} \times(-\sqrt{15})=-15$

अचर पद  / $t^{2}$ का गुणांक

$=\frac{-15}{1}$

=-15

(iii) $3 x^{2}-x-4$

Sol :

$=3 x^{2}-4 x+3 x-4$

=x(3x-4)+1(3x-4)

=(3x-4)(x+1)

शून्यकों के लिए बहुपद $3 x^{2}-x-4$ का मान शून्य है
∴(3x-4)(x+1)=0

जब 3x-4=0 या x+1=0,

अर्थात् $x=\frac{4}{3}$ या $x=-1$
अत: $3 x^{2}-x-4$ के शून्यक $\frac{4}{3}$ और -1 है.

सत्यता की जाँच,
शूत्यकों का योगफल $=\frac{4}{3}+(-1)=\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}$

-(x का गुणांक) / $x^{2}$ का गुणांक 

$=\frac{-(-1)}{3}=\frac{1}{3}$

शून्यकों का गुणनफल $=\frac{4}{3} \times(-1)=\frac{-4}{3}$

अचर पद / $x^{2}$ का गुणांक

$=\frac{-4}{3}$

Question 3

यदि बहुपद $2 x^{2}+3 x+\lambda$ का एक शून्यक $\frac{1}{2}$ हो, तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना $p(x)=2 x^{2}+3 x+\lambda$

दिया है:  एक शूत्यक $=\frac{1}{2}$

अर्थात्  $p\left(\frac{1}{2}\right)=2\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+3 \times \frac{1}{2}+\lambda=0$

∴$2 \times \frac{1}{4}+\frac{3}{2}+\lambda=0$

$\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+\lambda=0$

$\frac{4}{2}+\lambda=0$

2+λ=0

λ=-2

Question 4

यदि बहुणद $x^{2}-4 \sqrt{3} x+3$ के शून्यक $\alpha$ तथा $\beta$ हों, तो $\alpha+\beta-\alpha \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

Sol :

दिया गया बहुपद $=x^{2}-4 \sqrt{3} x+3$,

$\alpha$ तथा $\beta$ शून्यक हों, तब

शून्यकों का योगफल, $\alpha+\beta$=- x का गुणांक  / $x^{2}$ का गुणांक

$=-\frac{(-4 \sqrt{3})}{1}$

$\alpha+\beta=4 \sqrt{3}$

और शून्यकों का गुणनफल, 𝛼𝛽=अचर पद / $x^{2}$ का गुणाँक 

$=\frac{3}{1}$

$\alpha \beta=3$

अब $\alpha+\beta-\alpha \beta=4 \sqrt{3}+3$

Question 5

यदि बहुपद $2 x^{2}-7 x+3$ के शून्यक p तथा q हों, तो $p^{2}+q^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

Sol :

दिया गया बहुपद $=2 x^{2}-7 x+3$,

p तथा q शून्यक हों, तब

p+q=-x का गुणांक / $x^{2}$ का गुणांक 

$=-\frac{(-7)}{2}=\frac{7}{2}$

तथा pq=अचर पद / $x^{2}$ का गुणांक

$=\frac{3}{2}$

अब $p^{2}+q^{2}=p^{2}+q^{2}+2 p q-2 p q$

$=(p+q)^{2}-2 p q$

$=\left(\frac{7}{2}\right)^{2}-2 \times \frac{3}{2}$

$=\frac{49}{4}-3=\frac{37}{4}$

Question 6

यदि बहुपद $3 x^{2}+11 x-4$ के शून्यक $m$ तथा $n$ हों, तो $\frac{m}{n}+\frac{n}{m}$ का मान ज्रात कीजिए।

Sol :

दिया गया बहुपद $=3 x^{2}+11 x-4$,

m तथा n शून्यक हों, तब

m+n=-x का गुणांक / $x^{2}$ का गुणांक

$=-\frac{11}{3}$

और mn=अचर पद  / $x^{2}$ का गुणांक 

$m n=\frac{-4}{3}$

अब $\frac{m}{n}+\frac{n}{m}=\frac{m^{2}+n^{2}}{m n}$

$=\frac{m^{2}+n^{2}+2 m n-2 m n}{m n}$

$=\frac{(m+n)^{2}-2 m n}{m n}$

$=\frac{\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}-2 \times\left(-\frac{4}{3}\right)}{\left(-\frac{4}{3}\right)}$

$=\frac{\frac{121}{9}+\frac{8}{3}}{-\frac{4}{3}}$

$=\frac{121+24}{9} \times\left(-\frac{3}{4}\right)$

$=\frac{145}{9} \times\left(-\frac{3}{4}\right)$

$=-\frac{145}{12}$

Question 7

बहुपद $x^{2}-3$ के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए।

Sol :

$x^{2}-3=x^{2}-(\sqrt{3})^{2}$

$=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$

∴ $x^{2}-3=0$, जब $x=\sqrt{3},-\sqrt{3}$

अतः: $x^{2}-3$ के शून्यक $\sqrt{3}$ तथा $-\sqrt{3}$ हैं।

अब शून्यकों का योगफल =x का गुणांक / $x^{2}$ का गुणांक

$\sqrt{3}+(-\sqrt{3})=-\frac{0}{\cdot 1}$

$\sqrt{3}-\sqrt{3}=0 .$

तथा शून्यकों का गुणनफल =$अचर पद /$x^{2}$ का गुणांक

$(\sqrt{3})(-\sqrt{3})=\frac{-3}{1}$

-3=3

Question 8

बहुपद $48+2 x-x^{2}$ के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए।

Sol :

बहुपद = $-x^{2}+2 x+48$

$=-x^{2}+8 x-6 x+48$

=x(8-x)-6(x-8)

=x(8-x)+6(8-x)

=(8-x)(x+6)

∴$-x^{2}+2 x+48=0$, जब 8-x=0 है या x+6=0 है।
अर्थात् बहुपद के शून्यक 8 तथा - 6 है

अब   शून्यकों का योगफल =x का गुणांक / $x^{2}$ का गुणाँक

$8+(-6)=-\frac{2}{(-1)}$

8-6=2

2=2

और   शून्यकों का गुणनफल = अचर पद  / $x^{2}$ का गुणांक 

$8(-6)=\frac{48}{(-1)}$

-48=-48

Question 9

यदि बहुपद $x^{2}+x+k$ का एक शून्यक 1 है, तो $k$ कां मान ज्ञात कीजिए।

Sol :

दिया गया बहुपद $x^{2}+x+k$ का शून्यक 1 है, अर्थात् x=1

∴$(1)^{2}+1+k=0$

1+1+k=0

2+k=0

k=-2

Question 10

एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिनके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्याएँ है।

(i) $\frac{1}{4},-1$

Sol :

मान लीजिए द्विधात बहुपद $a x^{2}+b x+c$ है तथा जिसके शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हैं।

∵ $\alpha+\beta=\frac{1}{4}$ (दिया है।)

∴ शून्यकों का योगफल $=\frac{-b}{a}$

∴ $\frac{-b}{a}=\frac{1}{4}$...(i)

∵ शून्यकों का गुणनफल, $\alpha \beta=-1$  (दिया है।)

∴ शूल्यकों का गुणनफल $=\frac{c}{a}$

∴ $\frac{c}{a}=-1$

या $\frac{c}{a}=\frac{-1 \times 4}{4}=\frac{-4}{4}$...(ii)

अब समीकरण (i) तथा (ii) से,

a=4, b=-1, c=-4

a, b तथा c के मान द्विघात बहुपद में रखने पर,

$=4 x^{2}-x-4$

अतः यही द्विघात बहुपद होगा।

वैकलिपक विधि :

माना बहुपद के शून्यक $\alpha$ तथा $\beta$ हों, तब

$\alpha+\beta=\frac{1}{4}$ (दिया है)

तथा $\alpha \beta=-1$

द्विघात बहुपद $=x^{2}-(\alpha+\beta) \lambda+\alpha \beta$

$=x^{2}-\frac{1}{4} x-1$

(ii) $\sqrt{2}, \frac{1}{3}$

Sol :

मान लीजिए द्विधात बहुपद $a x^{2}+b x+c$ है तथा जिसके शून्यक $\alpha$ तथा $\beta$ है।

∵$\alpha+\beta=\sqrt{2}$ (दिया है)

हम जानते है कि

शून्यकों का योगफल $=\frac{-b}{a}$

∴$\frac{-b}{a}=\sqrt{2}$

$\frac{-b}{a}=\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2} \times 3}{3}=\frac{3 \sqrt{2}}{3}$

$\frac{b}{a}=\frac{-3 \sqrt{2}}{3}$...(i)

∴$\alpha \beta=\frac{1}{3}$ (दिया है)

∴शून्यको का गुणनफल $=\frac{c}{a}$

∴$\frac{c}{a}=\frac{1}{3}$..(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से,

∴a=3, $b=-3 \sqrt{2}$, c=1

अब a, b तथा c के मान द्विघात बहुपद में रखने पर,

$=3 x^{2}-3 \sqrt{2} x+1$

अतः यही द्विघात बहुपद होगा। 

वैकल्यिक विधि :

माना बहुपद के शून्यक $\alpha$ तथा $\beta$ हों, तब

$\alpha+\beta=\sqrt{2} (दिया है)

तथा $\alpha \beta=\frac{1}{3}$

∴द्विघात बहुपद $=x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta$

$=x^{2}-\sqrt{2} x+\frac{1}{\sqrt{3}}$

(iii) $0, \sqrt{5}$

Sol :

मान लीजिए द्विधात बहुपद $a x^{2}+b x+c$ हैं तथा इसके शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हैं। 

∵ $\alpha+\beta=0$ (दिया है)

∴ शून्यकों का येगफल $=\frac{-b}{a}$

∵ $\frac{-b}{a}=0=\frac{0}{1}$..(i)

∴ $\alpha \beta=\sqrt{5}$ (दिया है)

या   शून्यकों का गुणनफल $=\frac{c}{a}$

∴$\frac{c}{a}=\sqrt{5}=\frac{\sqrt{5}}{1}$...(ii)

अब संमीकरण (i) व (ii) से, a=1, b=0, $c=\sqrt{5}$

अब a, b तथा c के मान द्विघात बहुपद में रखने पर,

$=x^{2}+0+\sqrt{5}$

$=x^{2}+\sqrt{5}$

अतः यही द्विघात बहुपद होगा।

वैकल्पिक विधि :

माना बहुपद के शून्यक $\alpha$ तथा $\beta$ हों, तब

$\alpha+\beta=0$ (दिया है)

तथा $\alpha \beta=\sqrt{5}$ (दिया है)

∴द्विघात बहुपद $=x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta$

$=x^{2}-0 x+\sqrt{5}$

$=x^{2}+\sqrt{5}$

Question 11

एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः: दी हुई संख्याएँ है:

(i) 1 , 1

Sol :

मान लीजिए द्विधात बहुपद $a x^{2}+b x+c$ है तथा जिसके शून्यक $\alpha$ तथा $\beta$ है

∵$\alpha+\beta=1$

∴शून्यकों का योगफल $=\frac{-b}{a}$

∵$\frac{-b}{a}=1=\frac{1}{1}$...(i)

∴$\alpha \beta=1$(दिया है)

शून्यको का गुणनफल$=\frac{c}{a}$

∴$\frac{c}{a}=1=\frac{1}{1}$..(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से,

a=1 , b=-1 , c=1

a , b तथा c के मान द्विघात बहुपद मे रखने पर,

$=x^{2}-x+1$

अत : यही द्विघात बहुपद होगा।

वैकल्पिक विधि :

माना बहुपद के शून्यक $\alpha$ तथा $\beta$ हों, तब

$\alpha+\beta=1$ (दिया है)

तथा $\alpha \beta=1$ (दिया है)

∴द्विघात बहुपद $=x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta$

$=x^{2}-1 x+1$

$=x^{2}-x+1$

(ii)  $-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}$

Sol :

मान लीजिए द्विधात बहुपद $a x^{2}+b x+c$ है तथा जिसके शून्यक $\alpha$ तथा $\beta$ है

$\alpha+\beta=-\frac{1}{4}$ (दिया है)

शून्यकों का योगफल $=\frac{-b}{a}$

∴$\frac{-b}{a}=-\frac{1}{4}$

या $\frac{b}{a}=\frac{1}{4}$

तथा $\alpha \beta=\frac{1}{4}$

शून्यकों का गुणनफल $=\frac{c}{a}$

∴$\frac{c}{a}=\frac{1}{4}$...(iii)

समीकरण (i) तथा (ii) से ,

a=4 , b=1, c=1

a, b तथा c के मान द्विघात बहुपद में रखने पर,

$=4 x^{2}+x+1$

अतः यही द्विघात बहुपद होगा।.

दैकल्पिक विधि :

माना बहुपद के शून्यक $\alpha$ तथा $\beta$ हों, तब

$\alpha+\beta =-\frac{1}{4}$ (दिया है)

तथा $\alpha \beta =-\frac{1}{4}$ (दिया है)

$=x^{2}+\frac{1}{4} x+\frac{1}{4}$

(iii) 4,1

Sol :

मान लीजिए द्विधात बहुपद $a x^{2}+b x+c$ है तथा जिसके शून्यक $\alpha$ तथा $\beta$ हैं

$\alpha+\beta=4$ (दिया है)

शून्यकों का योगफल $=\frac{-b}{a}$

∴$\frac{-b}{a}=4=\frac{4}{1}$...(i)

तथा $\alpha \beta=1$ (दिया है)

शून्यकों का गुणनफल $=\frac{c}{a}$

∴$\frac{c}{a}=1=\frac{1}{1}$...(ii)

∴समीकरण (i) तथा (ii) से,

a=1 , b=-4 , c=1

a, b तथा c के मान द्विघात बहुपद में रखने पर,

$=x^{2}-4 x+1$

अतः यही द्विघात बहुपद होगा।

वैकल्पिक विधि :

माना बहुपद के प्रत्यक $\alpha$ तथा $\beta$ हों, तब (दिया है)

तथा $\alpha+\beta=4$ (दिया है)

∴द्विघात बहुपद $=x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta$

$=x^{2}-4 x+1$

Question 12

यदि बहुपद $a x^{2}-5 x+c$ के शून्यकों का योगफल और गुणनफल प्रत्येक 10 के बराबर है, तो a और c के मान ज्ञात कीजिए।

Sol :

दिया गया बहुपद $=a x^{2}-5 x+c$

∴ शून्यकों का योगफल =-x का गुणांक/ $x^{2}$ का गुणांक

अर्थात् $-\frac{(-5)}{a}=10$ (दिया है)

या $\frac{5}{a}=10$

या 10a=5

या $a=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$

तथा शून्यकों का गुणनफल =अचर पद / $x^{2}$ का गुणांक

अर्थात् $\frac{c}{a}=10$

या 10a=c या $10 \times \frac{1}{2}=c$ (दिया है)

या 10a=c या $10 \times \frac{1}{2}=c$

या c=5

Question 13

बहुपद $x^{2}+\frac{1}{6} x-2$ के शून्यक ज्ञात कीजिए तथा इस बहुपद के गुणांकों और शून्यकों के बीच के सम्बन्धों का सत्यापन कीजिए।

Sol :

दिया गया बहुपद $=x^{2}+\frac{1}{6} x-2$

$=\frac{1}{6}\left[6 x^{2}+x-12\right]$

$=\frac{1}{6}\left[6 x^{2}+9 x-8 x-12\right]$

$=\frac{1}{6}[3 x(2 x+3)-4(2 x+3)]$

$=\frac{1}{6}[(2 x+3)(3 x-4)]$

शून्यक हेतु बहुपद का मान शून्य के बराबर लेनें पर,

∴(2 x+3)(3 x-4)=0

⇒2x+3=0 और 3x-4=0

⇒$x=-\frac{3}{2}$ और $\frac{4}{3}$

अत: बहुपद के शून्यक $-\frac{3}{2}$ और $\frac{4}{3}$ है

अब शून्यकों का योगफल $=-\frac{3}{2}+\frac{4}{3}$

$=\frac{-9+8}{6}=-\frac{1}{6}$ =-x का गुणांक / $x^{2}$ का गुणांक

तथा  शून्यको का गुणनफल $=-\frac{3}{2} \times \frac{4}{3}=-2$

=अचर पद / $x^{2}$ का गुणांक 

Question 14

गुणनखण्डन द्वारा बहुपद $7 y^{2}-\frac{11}{3} y-\frac{2}{3}$ के शून्यक ज्ञात कीजिए तथा इन बहुपदों के गुणांकों और शून्यकों के बीच सम्बन्ध सत्यापित कीजिए।

Sol :

दिया गया बहुपद $=7 y^{2}-\frac{11}{3} y-\frac{2}{3}$

$=\frac{1}{3}\left[21 y^{2}-11 y-2\right]$

$=\frac{1}{3}\left[21 y^{2}-14 y+3 y-2\right]$

$=\frac{1}{3}[7 y(3 y-2)+1(3 y-2)]$

$=\frac{1}{3}[(7 y+1)(3 y-2)]$

शून्यक हेतु बहुपद का मान शून्य होगा।

∴(7y+1)(3y-2)=0

⇒7y+1=0 और 3y-2=0

⇒$y=-\frac{1}{7}$ और $y=\frac{2}{3}$

अत : बहुपद के शून्यक $-\frac{1}{7}$ और $\frac{2}{3}$ है।

अब शून्यको का योगफल $=-\frac{1}{7}+\frac{2}{3}=\frac{-3+14}{21}$

$=\frac{11}{21}$=-y का गुणांक / $y^{2}$ का गुणांक

और शून्यकों का योगफल $=-\frac{1}{7} \times \frac{2}{3}=\frac{-2}{21}$

=अचर पद / $y^{2}$ का गुणांक

Question 15

वह द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों के योग और गुणनफल क्रमश: $\sqrt{2}$ तथा $-\frac{3}{2}$ है । इसके शून्यक भी ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना बहुपद के शून्यक $\alpha$ तथा $\beta$ हों, तब

$\alpha+\beta=\sqrt{2}$ (दिया है)

तथा $\alpha \beta=-\frac{3}{2}$ (दिया है)

द्विघात बहुपद $=x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta$

$=x^{2}-\sqrt{2} x+\left(-\frac{3}{2}\right)$

$=x^{2}-\sqrt{2} x-\frac{3}{2}$

$=\frac{1}{2}\left[2 x^{2}-2 \sqrt{2} x-3\right]$

$=\frac{1}{2}\left[2 x^{2}-3 \sqrt{2} x+\sqrt{2} x-3\right]$

$=\frac{1}{2}[\sqrt{2} x(\sqrt{2} x-3)+1(\sqrt{2} x-3)]$

$=\frac{1}{2}[(\sqrt{2} x-3)(\sqrt{2} x+1)]$

शून्यक हेतु बहुपद का मान शून्य होगा।

$(\sqrt{2} x-3)(\sqrt{2}x+1)=0$

$\Rightarrow \quad \sqrt{2} x-3=0$ और $\sqrt{2} x+1=0$

$\Rightarrow \quad x=\frac{3}{\sqrt{2}}$ और $-\frac{1}{\sqrt{2}}$

अतः बहुपद के शून्यक $\frac{3}{\sqrt{2}}$ और $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ है