प्रश्नावली 2 (B)
Question 1
निम्न बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए :
(i) $x^{2}-2 x-8$
Sol :
(i) दिया है : $x^{2}-2 x-8$
$=x^{2}-4 x+2 x-8$
$=x(x-4)+2(x-4)$
$=(x-4)(x+2)$
शून्यकों के लिए ,$p(x)=x^{2}-2 x-8$ का मान प्रन्य है,
∴(x-4)(x+2)=0
जब x-4=0 या x=4 है।
और जब x+2=0 या x=-2 हो,
अतः $x^{2}-2 x-8$ के शून्यक 4 और -2 हैं।
सत्यता की जाँच
शून्यकों का योगफल = 4+(-2)
=4-2=2
-(x का गुणांक) / $x^{2}$ का गुणांक
$=\frac{-(-2)}{1}=\frac{2}{1}=2$
और शून्यकों का गुणनफल $=4 \times(-2)=-8$
अचर पद / $x^{2}$ का गुणांक
$=\frac{-8}{1}=-8$
(ii) $4s^{2}-4 s+1$
Sol :
$=4 s^{2}-2 s-2 s+1$
=2s(2s-1)-1(2s-1)
=(2s-1)(2s-1)
शून्यकों के लिएं बहुपद $4 s^{2}-4 s+1$ का मान शून्य है
∴(2s-1)(2s-1)=0
जब 2x-1=0
या 2x-1=0
अर्थात् $s=\frac{1}{2}$ या $s=\frac{1}{2}$ हो
अत: $4 s^{2}-4 s+1$ के शून्यक $\frac{1}{2}$ और $\frac{1}{2}$ हैं
सत्यता की जाँच,
शून्यकों का योगफल $=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$
-(s का गुणांक ) / $s^{2}$ का गुणांक
$=\frac{-(-4)}{4}=\frac{4}{4}=1$
शून्यकों का गुणनफल $=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
अचर पद / $s^{2}$ का गुणांक
$=\frac{1}{4}$.
(iii) $6x^{2}-3-7 x$
Sol :
$=6 x^{2}-9 x+2 x-3$
$=3 x(2 x-3)+1(2 x-3)$
$=(2 x-3)(3 x+1)$
शून्यकों के लिए बहुपद $6 x^{2}-7 x-3$ का मान शून्य है,
∴(2x-3)(3x+1)=0
जब 2x-3=0 या 3x+1=0 है।
अर्थात् जब $x=\frac{3}{2}$ या $x=-\frac{1}{3}$ हो,
तब $6 x^{2}-7 x-3$ के शून्यक $\frac{3}{2}$ और $-\frac{1}{3}$ हैं।
सत्यता की जाँच,
शून्यकों का योगफल $=\frac{3}{2}+\left(-\frac{1}{3}\right)$
$=\frac{3}{2}-\frac{1}{3}=\frac{7}{6}$
-(x का गुणांक) / $x^{2}$ का गुणांक
$=\frac{-(-7)}{6}=\frac{7}{6}$
शून्यकों का गुणनफल' $=\frac{3}{2} \times\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{1}{2}$
अचर पद / $x^{2}$ का गुणांक
$=\frac{-3}{6}=-\frac{1}{2}$
Question 2
निम्न द्विघात बहपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यको तथा गणांकों के बीच के सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए:
(i) $4 u^{2}+8 u$
Sol :
=4u(u+2)
शून्यकों के लिए बहुपद $4 u^{2}+8 u$ का मान शून्य है
∴4u(u+2)=0
जब 4u=0 या u+2=0
अर्थात् u=0 तथा u=-2 है।
अतः $4 u^{2}+8 u$ के शून्यक 0 तथा -2 हैं।
सत्यता की जाँच,
शूल्यकों का योगफल =0+(-2)=-2
-(u का गुणांक ) / $u^{2}$ का गुणांक
$=\frac{-8}{4}=-2$
शून्यकों का गुणनफल $=0 \times(-2)=0$
अचर पद / $u^{2}$ का गुणांक
$=\frac{0}{4}=0 .$
(ii) $t^{2}-15$
Sol :
$=(t)^{2}-(\sqrt{15})^{2}$
$=(t-\sqrt{15})(t+\sqrt{15})$
शून्यकों के लिए बहुपद $t^{2}-15$ का मान शून्य है,
∴$(t-\sqrt{15})(t+\sqrt{15})=0$
जब $t-\sqrt{15}=0$ या $t+\sqrt{15}=0$,
अर्थात् $t=\sqrt{15}$
या $t=-\sqrt{15}$
सत्यता की जाँच,
शून्यकों का योगफल $=\sqrt{15}+(-\sqrt{15})=0$
-(t का गुणांक) / $t^{2}$ का गुणांक
$=\frac{-0}{1}=0$
शून्यकों का गुणनफल $=\sqrt{15} \times(-\sqrt{15})=-15$
अचर पद / $t^{2}$ का गुणांक
$=\frac{-15}{1}$
=-15
(iii) $3 x^{2}-x-4$
Sol :
$=3 x^{2}-4 x+3 x-4$
=x(3x-4)+1(3x-4)
=(3x-4)(x+1)
शून्यकों के लिए बहुपद $3 x^{2}-x-4$ का मान शून्य है
∴(3x-4)(x+1)=0
जब 3x-4=0 या x+1=0,
अर्थात् $x=\frac{4}{3}$ या $x=-1$
अत: $3 x^{2}-x-4$ के शून्यक $\frac{4}{3}$ और -1 है.
सत्यता की जाँच,
शूत्यकों का योगफल $=\frac{4}{3}+(-1)=\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}$
-(x का गुणांक) / $x^{2}$ का गुणांक
$=\frac{-(-1)}{3}=\frac{1}{3}$
शून्यकों का गुणनफल $=\frac{4}{3} \times(-1)=\frac{-4}{3}$
अचर पद / $x^{2}$ का गुणांक
$=\frac{-4}{3}$
Question 3
यदि बहुपद $2 x^{2}+3 x+\lambda$ का एक शून्यक $\frac{1}{2}$ हो, तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना $p(x)=2 x^{2}+3 x+\lambda$
दिया है: एक शूत्यक $=\frac{1}{2}$
अर्थात् $p\left(\frac{1}{2}\right)=2\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+3 \times \frac{1}{2}+\lambda=0$
∴$2 \times \frac{1}{4}+\frac{3}{2}+\lambda=0$
$\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+\lambda=0$
$\frac{4}{2}+\lambda=0$
2+λ=0
λ=-2
Question 4
यदि बहुणद $x^{2}-4 \sqrt{3} x+3$ के शून्यक $\alpha$ तथा $\beta$ हों, तो $\alpha+\beta-\alpha \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।
Sol :
दिया गया बहुपद $=x^{2}-4 \sqrt{3} x+3$,
$\alpha$ तथा $\beta$ शून्यक हों, तब
शून्यकों का योगफल, $\alpha+\beta$=- x का गुणांक / $x^{2}$ का गुणांक
$=-\frac{(-4 \sqrt{3})}{1}$
$\alpha+\beta=4 \sqrt{3}$
और शून्यकों का गुणनफल, 𝛼𝛽=अचर पद / $x^{2}$ का गुणाँक
$=\frac{3}{1}$
$\alpha \beta=3$
अब $\alpha+\beta-\alpha \beta=4 \sqrt{3}+3$
Question 5
यदि बहुपद $2 x^{2}-7 x+3$ के शून्यक p तथा q हों, तो $p^{2}+q^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।
Sol :
दिया गया बहुपद $=2 x^{2}-7 x+3$,
p तथा q शून्यक हों, तब
p+q=-x का गुणांक / $x^{2}$ का गुणांक
$=-\frac{(-7)}{2}=\frac{7}{2}$
तथा pq=अचर पद / $x^{2}$ का गुणांक
$=\frac{3}{2}$
अब $p^{2}+q^{2}=p^{2}+q^{2}+2 p q-2 p q$
$=(p+q)^{2}-2 p q$
$=\left(\frac{7}{2}\right)^{2}-2 \times \frac{3}{2}$
$=\frac{49}{4}-3=\frac{37}{4}$
Question 6
यदि बहुपद $3 x^{2}+11 x-4$ के शून्यक $m$ तथा $n$ हों, तो $\frac{m}{n}+\frac{n}{m}$ का मान ज्रात कीजिए।
Sol :
दिया गया बहुपद $=3 x^{2}+11 x-4$,
m तथा n शून्यक हों, तब
m+n=-x का गुणांक / $x^{2}$ का गुणांक
$=-\frac{11}{3}$
और mn=अचर पद / $x^{2}$ का गुणांक
$m n=\frac{-4}{3}$
अब $\frac{m}{n}+\frac{n}{m}=\frac{m^{2}+n^{2}}{m n}$
$=\frac{m^{2}+n^{2}+2 m n-2 m n}{m n}$
$=\frac{(m+n)^{2}-2 m n}{m n}$
$=\frac{\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}-2 \times\left(-\frac{4}{3}\right)}{\left(-\frac{4}{3}\right)}$
$=\frac{\frac{121}{9}+\frac{8}{3}}{-\frac{4}{3}}$
$=\frac{121+24}{9} \times\left(-\frac{3}{4}\right)$
$=\frac{145}{9} \times\left(-\frac{3}{4}\right)$
$=-\frac{145}{12}$
Question 7
बहुपद $x^{2}-3$ के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए।
Sol :
$x^{2}-3=x^{2}-(\sqrt{3})^{2}$
$=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$
∴ $x^{2}-3=0$, जब $x=\sqrt{3},-\sqrt{3}$
अतः: $x^{2}-3$ के शून्यक $\sqrt{3}$ तथा $-\sqrt{3}$ हैं।
अब शून्यकों का योगफल =x का गुणांक / $x^{2}$ का गुणांक
$\sqrt{3}+(-\sqrt{3})=-\frac{0}{\cdot 1}$
$\sqrt{3}-\sqrt{3}=0 .$
तथा शून्यकों का गुणनफल =$अचर पद / $x^{2}$ का गुणांक
$(\sqrt{3})(-\sqrt{3})=\frac{-3}{1}$
-3=3
Question 8
बहुपद $48+2 x-x^{2}$ के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए।
Sol :
बहुपद = $-x^{2}+2 x+48$
$=-x^{2}+8 x-6 x+48$
=x(8-x)-6(x-8)
=x(8-x)+6(8-x)
=(8-x)(x+6)
∴$-x^{2}+2 x+48=0$, जब 8-x=0 है या x+6=0 है।
अर्थात् बहुपद के शून्यक 8 तथा - 6 है
अब शून्यकों का योगफल =x का गुणांक / $x^{2}$ का गुणाँक
$8+(-6)=-\frac{2}{(-1)}$
8-6=2
2=2
और शून्यकों का गुणनफल = अचर पद / $x^{2}$ का गुणांक
$8(-6)=\frac{48}{(-1)}$
-48=-48
Question 9
यदि बहुपद $x^{2}+x+k$ का एक शून्यक 1 है, तो $k$ कां मान ज्ञात कीजिए।
Sol :
दिया गया बहुपद $x^{2}+x+k$ का शून्यक 1 है, अर्थात् x=1
∴$(1)^{2}+1+k=0$
1+1+k=0
2+k=0
k=-2
Question 10
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिनके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्याएँ है।
(i) $\frac{1}{4},-1$
Sol :
मान लीजिए द्विधात बहुपद $a x^{2}+b x+c$ है तथा जिसके शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हैं।
∵ $\alpha+\beta=\frac{1}{4}$ (दिया है।)
∴ शून्यकों का योगफल $=\frac{-b}{a}$
∴ $\frac{-b}{a}=\frac{1}{4}$...(i)
∵ शून्यकों का गुणनफल, $\alpha \beta=-1$ (दिया है।)
∴ शूल्यकों का गुणनफल $=\frac{c}{a}$
∴ $\frac{c}{a}=-1$
या $\frac{c}{a}=\frac{-1 \times 4}{4}=\frac{-4}{4}$...(ii)
अब समीकरण (i) तथा (ii) से,
a=4, b=-1, c=-4
a, b तथा c के मान द्विघात बहुपद में रखने पर,
$=4 x^{2}-x-4$
अतः यही द्विघात बहुपद होगा।
वैकलिपक विधि :
माना बहुपद के शून्यक $\alpha$ तथा $\beta$ हों, तब
$\alpha+\beta=\frac{1}{4}$ (दिया है)
तथा $\alpha \beta=-1$
द्विघात बहुपद $=x^{2}-(\alpha+\beta) \lambda+\alpha \beta$
$=x^{2}-\frac{1}{4} x-1$
(ii) $\sqrt{2}, \frac{1}{3}$
Sol :
मान लीजिए द्विधात बहुपद $a x^{2}+b x+c$ है तथा जिसके शून्यक $\alpha$ तथा $\beta$ है।
∵$\alpha+\beta=\sqrt{2}$ (दिया है)
हम जानते है कि
शून्यकों का योगफल $=\frac{-b}{a}$
∴$\frac{-b}{a}=\sqrt{2}$
$\frac{-b}{a}=\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2} \times 3}{3}=\frac{3 \sqrt{2}}{3}$
$\frac{b}{a}=\frac{-3 \sqrt{2}}{3}$...(i)
∴$\alpha \beta=\frac{1}{3}$ (दिया है)
∴शून्यको का गुणनफल $=\frac{c}{a}$
∴$\frac{c}{a}=\frac{1}{3}$..(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) से,
∴a=3, $b=-3 \sqrt{2}$, c=1
अब a, b तथा c के मान द्विघात बहुपद में रखने पर,
$=3 x^{2}-3 \sqrt{2} x+1$
अतः यही द्विघात बहुपद होगा।
वैकल्यिक विधि :
माना बहुपद के शून्यक $\alpha$ तथा $\beta$ हों, तब
$\alpha+\beta=\sqrt{2} (दिया है)
तथा $\alpha \beta=\frac{1}{3}$
∴द्विघात बहुपद $=x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta$
$=x^{2}-\sqrt{2} x+\frac{1}{\sqrt{3}}$
(iii) $0, \sqrt{5}$
Sol :
मान लीजिए द्विधात बहुपद $a x^{2}+b x+c$ हैं तथा इसके शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हैं।
∵ $\alpha+\beta=0$ (दिया है)
∴ शून्यकों का येगफल $=\frac{-b}{a}$
∵ $\frac{-b}{a}=0=\frac{0}{1}$..(i)
∴ $\alpha \beta=\sqrt{5}$ (दिया है)
या शून्यकों का गुणनफल $=\frac{c}{a}$
∴$\frac{c}{a}=\sqrt{5}=\frac{\sqrt{5}}{1}$...(ii)
अब संमीकरण (i) व (ii) से, a=1, b=0, $c=\sqrt{5}$
अब a, b तथा c के मान द्विघात बहुपद में रखने पर,
$=x^{2}+0+\sqrt{5}$
$=x^{2}+\sqrt{5}$
अतः यही द्विघात बहुपद होगा।
वैकल्पिक विधि :
माना बहुपद के शून्यक $\alpha$ तथा $\beta$ हों, तब
$\alpha+\beta=0$ (दिया है)
तथा $\alpha \beta=\sqrt{5}$ (दिया है)
∴द्विघात बहुपद $=x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta$
$=x^{2}-0 x+\sqrt{5}$
$=x^{2}+\sqrt{5}$
Question 11
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः: दी हुई संख्याएँ है:
(i) 1 , 1
Sol :
मान लीजिए द्विधात बहुपद $a x^{2}+b x+c$ है तथा जिसके शून्यक $\alpha$ तथा $\beta$ है
∵$\alpha+\beta=1$
∴शून्यकों का योगफल $=\frac{-b}{a}$
∵$\frac{-b}{a}=1=\frac{1}{1}$...(i)
∴$\alpha \beta=1$(दिया है)
शून्यको का गुणनफल$=\frac{c}{a}$
∴$\frac{c}{a}=1=\frac{1}{1}$..(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) से,
a=1 , b=-1 , c=1
a , b तथा c के मान द्विघात बहुपद मे रखने पर,
$=x^{2}-x+1$
अत : यही द्विघात बहुपद होगा।
वैकल्पिक विधि :
माना बहुपद के शून्यक $\alpha$ तथा $\beta$ हों, तब
$\alpha+\beta=1$ (दिया है)
तथा $\alpha \beta=1$ (दिया है)
∴द्विघात बहुपद $=x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta$
$=x^{2}-1 x+1$
$=x^{2}-x+1$
(ii) $-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}$
Sol :
मान लीजिए द्विधात बहुपद $a x^{2}+b x+c$ है तथा जिसके शून्यक $\alpha$ तथा $\beta$ है
$\alpha+\beta=-\frac{1}{4}$ (दिया है)
शून्यकों का योगफल $=\frac{-b}{a}$
∴$\frac{-b}{a}=-\frac{1}{4}$
या $\frac{b}{a}=\frac{1}{4}$
तथा $\alpha \beta=\frac{1}{4}$
शून्यकों का गुणनफल $=\frac{c}{a}$
∴$\frac{c}{a}=\frac{1}{4}$...(iii)
समीकरण (i) तथा (ii) से ,
a=4 , b=1, c=1
a, b तथा c के मान द्विघात बहुपद में रखने पर,
$=4 x^{2}+x+1$
अतः यही द्विघात बहुपद होगा।.
दैकल्पिक विधि :
माना बहुपद के शून्यक $\alpha$ तथा $\beta$ हों, तब
$\alpha+\beta =-\frac{1}{4}$ (दिया है)
तथा $\alpha \beta =-\frac{1}{4}$ (दिया है)
$=x^{2}+\frac{1}{4} x+\frac{1}{4}$
(iii) 4,1
Sol :
मान लीजिए द्विधात बहुपद $a x^{2}+b x+c$ है तथा जिसके शून्यक $\alpha$ तथा $\beta$ हैं
$\alpha+\beta=4$ (दिया है)
शून्यकों का योगफल $=\frac{-b}{a}$
∴$\frac{-b}{a}=4=\frac{4}{1}$...(i)
तथा $\alpha \beta=1$ (दिया है)
शून्यकों का गुणनफल $=\frac{c}{a}$
∴$\frac{c}{a}=1=\frac{1}{1}$...(ii)
∴समीकरण (i) तथा (ii) से,
a=1 , b=-4 , c=1
a, b तथा c के मान द्विघात बहुपद में रखने पर,
$=x^{2}-4 x+1$
अतः यही द्विघात बहुपद होगा।
वैकल्पिक विधि :
माना बहुपद के प्रत्यक $\alpha$ तथा $\beta$ हों, तब (दिया है)
तथा $\alpha+\beta=4$ (दिया है)
∴द्विघात बहुपद $=x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta$
$=x^{2}-4 x+1$
Question 12
यदि बहुपद $a x^{2}-5 x+c$ के शून्यकों का योगफल और गुणनफल प्रत्येक 10 के बराबर है, तो a और c के मान ज्ञात कीजिए।
Sol :
दिया गया बहुपद $=a x^{2}-5 x+c$
∴ शून्यकों का योगफल =-x का गुणांक/ $x^{2}$ का गुणांक
अर्थात् $-\frac{(-5)}{a}=10$ (दिया है)
या $\frac{5}{a}=10$
या 10a=5
या $a=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$
तथा शून्यकों का गुणनफल =अचर पद / $x^{2}$ का गुणांक
अर्थात् $\frac{c}{a}=10$
या 10a=c या $10 \times \frac{1}{2}=c$ (दिया है)
या 10a=c या $10 \times \frac{1}{2}=c$
या c=5
Question 13
बहुपद $x^{2}+\frac{1}{6} x-2$ के शून्यक ज्ञात कीजिए तथा इस बहुपद के गुणांकों और शून्यकों के बीच के सम्बन्धों का सत्यापन कीजिए।
Sol :
दिया गया बहुपद $=x^{2}+\frac{1}{6} x-2$
$=\frac{1}{6}\left[6 x^{2}+x-12\right]$
$=\frac{1}{6}\left[6 x^{2}+9 x-8 x-12\right]$
$=\frac{1}{6}[3 x(2 x+3)-4(2 x+3)]$
$=\frac{1}{6}[(2 x+3)(3 x-4)]$
शून्यक हेतु बहुपद का मान शून्य के बराबर लेनें पर,
∴(2 x+3)(3 x-4)=0
⇒2x+3=0 और 3x-4=0
⇒$x=-\frac{3}{2}$ और $\frac{4}{3}$
अत: बहुपद के शून्यक $-\frac{3}{2}$ और $\frac{4}{3}$ है
अब शून्यकों का योगफल $=-\frac{3}{2}+\frac{4}{3}$
$=\frac{-9+8}{6}=-\frac{1}{6}$ =-x का गुणांक / $x^{2}$ का गुणांक
तथा शून्यको का गुणनफल $=-\frac{3}{2} \times \frac{4}{3}=-2$
=अचर पद / $x^{2}$ का गुणांक
Question 14
गुणनखण्डन द्वारा बहुपद $7 y^{2}-\frac{11}{3} y-\frac{2}{3}$ के शून्यक ज्ञात कीजिए तथा इन बहुपदों के गुणांकों और शून्यकों के बीच सम्बन्ध सत्यापित कीजिए।
Sol :
दिया गया बहुपद $=7 y^{2}-\frac{11}{3} y-\frac{2}{3}$
$=\frac{1}{3}\left[21 y^{2}-11 y-2\right]$
$=\frac{1}{3}\left[21 y^{2}-14 y+3 y-2\right]$
$=\frac{1}{3}[7 y(3 y-2)+1(3 y-2)]$
$=\frac{1}{3}[(7 y+1)(3 y-2)]$
शून्यक हेतु बहुपद का मान शून्य होगा।
∴(7y+1)(3y-2)=0
⇒7y+1=0 और 3y-2=0
⇒$y=-\frac{1}{7}$ और $y=\frac{2}{3}$
अत : बहुपद के शून्यक $-\frac{1}{7}$ और $\frac{2}{3}$ है।
अब शून्यको का योगफल $=-\frac{1}{7}+\frac{2}{3}=\frac{-3+14}{21}$
$=\frac{11}{21}$=-y का गुणांक / $y^{2}$ का गुणांक
और शून्यकों का योगफल $=-\frac{1}{7} \times \frac{2}{3}=\frac{-2}{21}$
=अचर पद / $y^{2}$ का गुणांक
Question 15
वह द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों के योग और गुणनफल क्रमश: $\sqrt{2}$ तथा $-\frac{3}{2}$ है । इसके शून्यक भी ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना बहुपद के शून्यक $\alpha$ तथा $\beta$ हों, तब
$\alpha+\beta=\sqrt{2}$ (दिया है)
तथा $\alpha \beta=-\frac{3}{2}$ (दिया है)
द्विघात बहुपद $=x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta$
$=x^{2}-\sqrt{2} x+\left(-\frac{3}{2}\right)$
$=x^{2}-\sqrt{2} x-\frac{3}{2}$
$=\frac{1}{2}\left[2 x^{2}-2 \sqrt{2} x-3\right]$
$=\frac{1}{2}\left[2 x^{2}-3 \sqrt{2} x+\sqrt{2} x-3\right]$
$=\frac{1}{2}[\sqrt{2} x(\sqrt{2} x-3)+1(\sqrt{2} x-3)]$
$=\frac{1}{2}[(\sqrt{2} x-3)(\sqrt{2} x+1)]$
शून्यक हेतु बहुपद का मान शून्य होगा।
$(\sqrt{2} x-3)(\sqrt{2}x+1)=0$
$\Rightarrow \quad \sqrt{2} x-3=0$ और $\sqrt{2} x+1=0$
$\Rightarrow \quad x=\frac{3}{\sqrt{2}}$ और $-\frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः बहुपद के शून्यक $\frac{3}{\sqrt{2}}$ और $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ है
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