Dr Manohar re Solution Class 10 Chapter 2 बहुपद (Polynomials) प्रश्नावली 2 (C)

  प्रश्नावली 2 (C) 

Question 1

सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शून्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शूल्यकों और गुणांकों के बीच के सम्बन्ध को भी सत्यापित कीजिए :

(i) $2 x^{3}+x^{2}-5 x+2 ; \frac{1}{2}, 1,-2$

Sol :

मान लीजिए दिया गया बहपद

$p(x)=2 x^{3}+x^{2}-5 x+2$

$=2 \times \frac{1}{8}+\frac{1}{4}-\frac{5}{2}+2$

$=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{5}{2}+2$

$=\frac{1}{2}+2-\frac{5}{2}=\frac{5}{2}-\frac{5}{2}=0$

अतः $p(x)$ का एक शून्यक $\frac{1}{2}$ है।

अब x=1 रखने पर,

$p(1)=2(1)^{3}+(1)^{2}-5(1)+2$

=2+1-5+2=5-5=0

अतः p(x) का दूसरा शून्यक 1 है।

और अब x=-2 रखने पर,

$p(-2)=2(-2)^{3}+(-2)^{2}-5(-2)+2$

=-16+4+10+2

=-16+16=0

अतः p(x) का तीसरा शून्यक -2 है।

अत: दिए गए तीनों शून्यक इसी बहुपद के हैं।

शून्यांकों और गुणांकों के बीच के सम्बन्ध का सत्यापन :

माना कि $\alpha=\frac{1}{2}, \beta=1$ और $\gamma=-2$

शून्यको का योगफल,

$\alpha+\beta+\gamma=\frac{1}{2}+1-2$

$=\frac{3}{2}-2=-\frac{1}{2}$

=- $x^{2}$ का गुणांक / $x^{3}$ का गुणांक

और $\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=\frac{1}{2} \times 1-1 \times 2-2 \times \frac{1}{2}$

$=\frac{1}{2}-2-1$

$=\frac{-5}{2}$=x का गुणांक / $x^{3}$ का गुणांक

और $\alpha \beta \gamma=\frac{1}{2} \times 1 \times-2$

$=\frac{-2}{2}$=- अचर पद / $x^{3}$ का गुणाँक 

(ii) $x^{3}-4 x^{2}+5 x-2 ; 2,1,1$.

Sol :

मान लीजिए दिया गया बहुपद $p(x)=x^{3}-4 x^{2}+5 x-2$

∵ दिए गए शून्यक 2,1 तथा 1 हैं।

सर्वप्रथम x=2 रखने पर,

∴$p(2)=(2)^{3}-4(2)^{2}+5(2)-2$

=8-16+10-2=0

अतः p(x) का एक शून्यक 2 है।

x=1 रखने पर,

अब

$p(1)=(1)^{3}-4(1)^{2}+5(1)-2$

=1-4+5-2=0

अतः p(x) का एक और अन्य शून्यक 1 है।

अत: दिए गए शून्यक इसी बहुपद के हैं।

शूत्यांकों और गुणांकों के बीच के सम्बन्ध का सत्यापन :

माना कि $\alpha=2, \beta=1$ और $\gamma=1$

$\therefore \quad \alpha+\beta+\gamma=2+1+1$

$=4=\frac{4}{1}$=$x^{2}$ का गुणांक / $x^{3}$ का गुणांक

और $\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=2 \times 1+1 \times 1+1 \times 2$

=2+1+2

=5=\frac{5}{1}=x  का गुणांक / $x^{3}$ का गुणांक

और $\alpha \beta y=2 \times 1 \times 1$

$=2=\frac{2}{1}$=- अचर पद / $x^{3}$ का गुणांक

Question 2

एक त्रिघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योग, दो शून्यकों को एक साथ लेकर उनके गुणनफलो का योग तथा तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः 2,-7,-14 हों। 

Sol :

मान लीजिए एक त्रिघात बहुपद $a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ है तथा जिसके शून्यक $\alpha, \beta$ और $\gamma$ हैं।

$\therefore \quad \alpha+\beta+\gamma=2=\frac{-(-2)}{1}$

$=\frac{-b}{a}$

और $\quad \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=-7$

$=\frac{-7}{1}=\frac{c}{a}$

और $\quad \alpha \beta \gamma=-14$

$=\frac{-14}{1}=\frac{-d}{a}$

अतः a=1, b=-2, c=-7 और d=14

इसलिए $a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ में इन मानों को रखने पर $x^{3}-2 x^{2}-7 x+14$ जो कि त्रिघात बहुपद है।

वैकल्पिक विधि :

माना त्रिघात बहुपद के शून्यक $\alpha, \beta$ तथा $\gamma$ हों, तब

$\alpha+\beta+\gamma=2$

तथा $\quad \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=-7$

$\alpha \beta \gamma=-14$

∴त्रिघात बहुपद $=x^{3}-(\alpha+\beta+\gamma) x^{2}+(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha) x-\alpha \beta \gamma$

$=x^{2}-2 x^{2}-7 x+14$

Question 3

यदि बहुपद $x^{3}-3 x^{2}+x+1$ के शून्यक a-b, a, a+b हों, तो a और b ज्ञात कीजिए।

Sol :

चूँकि बहुपद $x^{3}-3 x^{2}+x+1$ तथा जिसके शून्यक a-b, a तथा a+b हों, तब

शून्यकों का योगफल =-$x^{2}$ का गुणांक / $x^{3}$ का गुणांक$

$a-b+a+a+b=\frac{-(-3)}{1}$

या 3a=3

∴ a=1

और (a-b) a+a(a+b)+(a+b)(a-b)=x का गुणांक / $x^{3}$ का गुणांक

a=1 रखने पर,

या  $(1-b) 1+1(1+b)+(1+b)(1-b)=\frac{1}{1}$

$1-b+1+b+1-b^{2}=1$

$3-b^{2}=1$

$-b^{2}=1-3=-2$

$b^{2}=2$

$b=\pm \sqrt{2}$

अत: a=1 तथा $b=\pm \sqrt{2}$.

Question 4

यदि बहुपद $x^{3}+9 x^{2}+20 x+12$ है, तो इसके शून्यकों को ज्ञात कीजिए।

Sol :

बहुपद के अचर पद 12 के गुणनखण्ड $=\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6$ तथा $\pm 12$ हैं।

पहले x=-1 व्यंजक में प्रतिस्यापित करने पर,

शेषफल $=(-1)^{3}+9(-1)^{2}+20(-1)+12$

=-1+9-20+12

=-21+21=0

∵x=-1 रखने से शेषफल 0( शून्य ) प्राप्त होता है।

अत: गुणनखणड प्रमेय से (x+1) दिये व्यंजक का एक गुणनखण्ड है।

∴$x^{3}+9 x^{2}+20 x+12=x^{3}+x^{2}+8 x^{2}+8 x+12 x+12$

$=x^{2}(x+1)+8 x(x+1)+12(x+1)$

$=(x+1)\left(x^{2}+8 x+12\right)$

$=(x+1)\left(x^{2}+2 x+6 x+12\right)$

=(x+1)[x(x+2)+6(x+2)]

=(x+1)(x+2)(x+6)

बहुपद के शून्यक हेतु बहुपद का मान शून्य होगा।

∴(x+1)(x+2)(x+6)=0

$\begin{array}{cl|l|l}\Rightarrow & x+1=0 & x+2=0 & x+6=0 \\\Rightarrow & x=-1 & x=-2 & x=-6\end{array}$

अतः बहुपद के शून्यक -1,-2 और - 6 हैं।

Question 5

यदि बहुपद $x^{3}-a x^{2}+x+3$ का एक शून्यक a है तो a का मान ज्ञात कीजिए।

Sol :

दिया गया बहुपद $=x^{3}-a x^{2}+x+3$, चूँकि बहुपद का शून्यक a है।

∴$(a)^{3}-a(a)^{2}+a+3=0$

$\Rightarrow \quad a^{3}-a^{3}+a+3=0$

⇒a+3=0

⇒a=-3

Question 6

यदि बहुपद $p(x)=x^{3}-5 x^{2}-2 x+24$ के दो शून्यकों का गुणनफल 12 हो, तो इसके शून्यकों को ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना $\alpha, \beta$ तथा $\gamma$ बहुपद p(x) के शून्यक हों, तब

$p(x)=x^{3}-5 x^{2}-2 x+24$

∴$\alpha+\beta+\gamma=-\left(-\frac{5}{1}\right)=5$...(i)

$\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=-\frac{2}{1}=-2$...(ii)

और $\alpha \beta \gamma=-\frac{24}{1}=-24$...(iii)

दिया है : $\alpha \beta=12$

समीकरण (iii) से,

12y=-24

$\gamma=-\frac{24}{12}=-2$

$\gamma$ का मान समीकरण (i) में रखने पर,

$\alpha+\beta-2=5$

$\alpha+\beta=7$

अब  $(\alpha-\beta)^{2}=(\alpha+\beta)^{2}-4 \alpha \beta$ से,

$=(7)^{2}-4 \times 12$

=49-48=1

अर्थात्  $\alpha-\beta=\pm 1$

अब $\alpha+\beta=7$ और $\alpha-\beta=1$ को हल करने पर, $\alpha=4$ तथा $\beta=3$

और $\alpha+\beta=7$ और $\alpha-\beta=-1$ को हल करने पर, $\alpha=3$ और $\beta=4$

अतः दिए गए बहुपद के शून्यक 3,4 और -2 हैं।