प्रश्नावली 13 (E)
प्रश्न 1.
निम्न त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :
(i) 10.5 सेमी,
(ii) 5.6 समी,
(iii) 14 सेमी।
हल :
(i) माना
r=गोले की त्रिज्या=10.5 सेमी
पृष्ठीय क्षेत्रफल $=4 \pi r^{2}$.
$=\left(4 \times \frac{22}{7} \times 10 \cdot 5 \times 10.5\right) \quad$ सेमी $^{2}$
=1386 सेमी ${ }^{2}$ ।
(ii) माना
= गोले की त्रिज्या
=5.6 सेमी
पृष्ठीय क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=4 \pi r^{2} \\&=\left(4 \times \frac{22}{7} \times 5.6 \times 5.6\right) \end{aligned}$
=394.24 सेमी $^{2}$
(iii) माना
r=गोले की त्रिज्या
=14 सेमी
पृष्ठीय क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=\left(4 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14\right) \end{aligned}$
=2464 सेमी $^{2}$
प्रश्न 2.
क्रिकेट की गेंद का व्यास 14 सेमी है। उस गेंद का वक्रपृष्ठ तथा आयतन ज्ञात कीजिए। हल : माना क्रिकेट की गेंद की त्रिज्या,
r=व्यास / 2 $=\frac{14}{2}$=7 सेमी
तब,
गेंद का वक्रपृष्ठ
$\begin{aligned} &=4 \pi r^{2} \\&=4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \\&=88 \times 7\end{aligned}$
=616 वर्ग सेमी
तथा गेंद का आयतन
$\begin{aligned} &=\frac{4}{3} \pi r^{3} \\&=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 7\end{aligned}$
$\begin{aligned}&=\frac{88 \times 49}{3}=\frac{4312}{3} \end{aligned}$
$=1437 \frac{1}{3}$ घन सेमी
वक्रपृष्ट $=616$ वर्ग सेमी
आयतन $=1437$ घन सेमी।
प्रश्न 3.
निम्न व्यास वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :
(i) 14 सेमी,
(ii) 21 सेमी,
(iii) $3 \cdot 5$ सेमी।
हल :
(i) यहाँ, $r=\frac{14}{2}$ सेमी $=7$ सेमी
पृष्ठीय क्षेत्रफल
$\begin{aligned} &=4 \pi r^{2} \\&=\left(4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7\right) \end{aligned}$
=616 सेमी $^{2}$
(ii) यहाँ, $r=\frac{21}{2}$ सेमी $=10.5$ सेमी
∴पृष्ठीय क्षेत्रफल
$\begin{aligned} &=4 \pi r^{2} \\&=\left(4 \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5\right) \mathrm{i}\end{aligned}$
=1386 सेमी $^{2}$
(iii) यहाँ, $r=\frac{3.5}{2}$ सेमी =1.75 सेमी
∴पृष्ठीय क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=4 \pi r^{2} \\&=\left(4 \times \frac{22}{7} \times 1.75 \times 1.75\right) \end{aligned}$
=38.5 सेमी $^{2}$
प्रश्न 4.
10 सेमी त्रिज्या वाले एक अर्द्धगोले का पृष्ठ्वय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ( $\pi=3 \cdot 14$ लीजिए)
हल : यहाँ $r=10$ सेमी
अर्द्धगोले का कुल क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=3 \pi r^{2} \\&=(3 \times 3 \cdot 14 \times 10 \times 10)।\end{aligned}$
=942 सेमी $^{2}$
प्रश्न 5.
एक लोहे के ठोस गोले का अर्द्धव्यास 13 सेमी है । एक समतल गोले को केन्द्र से 5 सेमी की दूरी पर काटता है । समतल परिच्छेद का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
हल :
O केन्द्र का एक ठोस गोला है जिसकी त्रिज्या OA=13 सेमी, समतल $A B$ केन्द्र से OC=5 सेमी दूरी पर है । माना इस समतल परिच्छेद की त्रिज्या $r$ है, तब
समकोण $\triangle A C O$ में,
$\begin{aligned}O A^{2} &=O C^{2}+A C^{2} \\(13)^{2} &=(5)^{2}+r^{2}\end{aligned}$
समतल परिच्छेद का क्षेत्रफल
$=\pi(12)^{2}$
=144𝛑 वर्ग सेमी
समतल परिच्छेद का अभीष्ट क्षेत्रफल 144𝛑 वर्ग सेमी ।
प्रश्न 6.
एक अर्द्धगोलीय प्याले में कितना पानी आयेगा जिसका व्यास $6 \cdot 3$ सेमी है ?
हल :
माना अर्द्धगोलीय प्याले की त्रिज्या
$r=\frac{6 \cdot 3}{2}$ सेमी
कुल पानी की मात्रा = अर्द्धगोलीय प्याले का आयतन
$\begin{aligned}&=\frac{2}{3} \pi r^{3} \\&=\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{6 \cdot 3}{2} \times \frac{6 \cdot 3}{2} \times \frac{6\cdot 3}{2} \\&=\frac{11 \times 0.3 \times 6.3 \times 6.3}{2} \\&=\frac{130.997}{2} \\&=65.4885\end{aligned}$
=65.49 घन सेमी
प्रश्न 7.
एक ठोस 'गोलाकार' पिण्ड का 2 रुपये प्रति वर्ग मीटर की दर से रंगवाने का व्यय $308 \cdot 00$ रु. है । उसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना गोले की त्रिज्या r मीटर है, तब
वक्रतल $=4 \pi r^{2}$ वर्ग मीटर
2 रु. प्रति वर्ग मीटर की दर से $4 \pi r^{2}$ वक्रतल को रंगवाने का कुल खर्च
$\begin{aligned}&=4 \pi r^{2} \times 2 \\&=8 \pi r^{2}\end{aligned}$
$\begin{aligned}8 \times \frac{22}{7} r^{2} &=308 \\r^{2} &=\frac{7 \times 308}{8 \times 22}=\frac{7 \times 28}{8 \times 2}=\frac{7 \times 7}{4} \\r&=\frac{7}{2}\end{aligned}$
=3.5 मीटर
अभीष्ट त्रिज्या $=3.5$ मीटर ।
प्रश्न 8.
एक गोले का वक्रपृष्ठ $144 \pi$ वर्ग सेमी है । गोले का व्यास ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना गोले की त्रिज्या r सेमी है, तब
वक्रपृष्ठ
$\begin{aligned}&=4 \pi r^{2} \\4 \pi r^{2} &=144 \pi\end{aligned}$
$r^{2}=\frac{144}{4}=36$
या r=6 सेमी
गोले का व्यास $=2 \times$ त्रिज्या $=2 \times 6=12$ सेमी
अत अभीष्ट व्यास $=12$ सेमी ।
प्रश्न 9.
एक अर्द्धगोलीय गुम्बद का व्यास 12 मीटर है । उसके वक्रपृष्ठ के रंगवाने का व्यय $1 \cdot 75$ रु. प्रति वर्ग मीटर की दर से कितना होगा ?
हल :
माना अर्द्धोलीय गुम्बद की त्रिज्या
$r=\frac{12}{2}=6 $ मीटर
वक्रपृष्ठ
$\begin{aligned} &=2 \pi r^{2} \\ &=2 \times \frac{22}{7} \times(6)^{2}\end{aligned}$
$=\frac{2 \times 22 \times 36}{7}$ वर्ग मीटर
1.75 रु. प्रति वर्ग मीटर की दर से रंगवाने का कुल व्यय
$\begin{aligned}&=\frac{2 \times 22 \times 36}{7} \times 1.75 \\&=2 \times 22 \times 36 \times 0.25=396\end{aligned}$
अतः कुल व्यय =396 रु.
प्रश्न 10.
लोहे के एक गोले का व्यास $3.0$ सेमी है। जिसे पिघलाकर तीन गोलियाँ बनाई गई हैं। इनमें से दो गोलियों का व्यास $2.5$ सेमी तथा $1.5$ सेमी है, तो तीसरी गोली का व्यास ज्ञात कीजिए।
हल :
माना एक गोले की त्रिज्या
$r=\frac{3}{2}=1.5$ सेमी
पिघलाने के बाद एक गोली की त्रिज्या $r_{1}=\frac{2 \cdot 5}{2}$ सेमी
दूसरी गोली की त्रिज्या $r_{2}=\frac{1.5}{2}$ सेमी
माना तीसरी गोली की त्रिज्या $r_{3}$ है।
तब एक गोले का आयतन = पिघलाने के बाद बनी तीनों गोलियों के आयतन का योग
$\begin{aligned} \frac{4}{3} \pi r^{3} &=\frac{4}{3} \pi r_{1}^{3}+\frac{4}{3} \pi r_{2}^{3}+\frac{4}{3} \pi r_{3}^{3} \\ r^{3} &=r_{1}^{3}+r_{2}^{3}+r_{3}^{3} \\(1 \cdot 5)^{3} &=\left(\frac{2.5}{2}\right)^{3}+\left(\frac{1 \cdot 5}{2}\right)^{3}+r_{3}^{3} \\\left(\frac{15}{10}\right)^{3} &=\left(\frac{25}{2 \times 10}\right)^{3}+\left(\frac{15}{2 \times 10}\right)^{3}+r_{3}^{3} \\\left(\frac{3}{2}\right)^{3} &=\left(\frac{5}{4}\right)^{3}+\left(\frac{3}{4}\right)^{3}+r_{3}^{3} \\ \frac{27}{8} &=\frac{125}{64}+\frac{27}{64}+r_{3}^{3} \\ r_{3}^{3} &=\frac{27}{8}-\frac{125}{64}-\frac{27}{64} \\ &=\frac{216-125-27}{64} \end{aligned}$
व्यास$=2 r_{3}=2 \times 1=2$
प्रश्न 11.
एक गोलाकार गुब्बारे में हवा भरने पर उसकी त्रिज्या 7 सेमी से 14 सेमी हो जाती है। इन दोनों स्थितियों में, गुब्बारे के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :
पहले गुब्बारे की त्रिज्या $r=7$ सेमी
पृष्ठीय क्षेत्रफल $S_{1}=4 \pi r^{2}$
$\begin{aligned}&=4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \end{aligned}$
=88×7 सेमी $^{2}$
हवा भरने के बाद गुब्यारे की त्रिज्या $R=14$ सेमी
पृष्ठीय क्षेत्रफल $\mathrm{S}_{2}=4 \pi R^{2}$
$\begin{aligned}&=4 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14\\&=88 \times 28 \\\frac{S_{1}}{S_{2}} &=\frac{88 \times 7}{88 \times 28} .\end{aligned}$
$=\frac{1}{4}$ or 1: 4 सेमी $^{2}$
प्रश्न 12.
तीन धातु की गेंदें जिनकी त्रिज्याएँ क्रमशः 1 सेमी, 8 सेमी तथा 6 सेमी हैं। इनको पिघलाकर एक ठोस गेंद बनाई गई है। इसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल :
माना तीन धातु की गेंदों की त्रिज्याएँ $r_{1}=1$ सेमी, $r_{2}=8$ सेमी, $r_{3}=6$ सेमी हैं। इनको पिघलाकर बनी एक ठोस गेंद की त्रिज्या $r$ है, तब
बनी बड़ी गेंद का आयतन $=$ तीनों गेंदों के आयतनों का योग
$\begin{aligned}\frac{4}{3} \pi r^{3} &=\frac{4}{3} \pi r_{1}^{3}+\frac{4}{3} \pi r_{2}^{3}+\frac{4}{3} \pi r_{3}^{3} \\r^{3} &=(1)^{3}+(8)^{3}+(6)^{3} \\r^{3} &=1+512+216=729 \end{aligned}$
r=9 सेमी
पिघलाकर बनी गेंद की त्रिज्या $=9$ सेमी।
प्रश्न 13.
उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या निम्न है :
(i) 7 सेमी
(ii) $0.63$ सेमी
हल :
(i) यहाँ
r=7 सेमी
गोले का आयतन
$\begin{aligned}&=\frac{4}{3} \pi r^{3} \\ &=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 7 \text { सेमी }^{3} \end{aligned}$
$=\frac{88 \times 49}{3}$ सेमी $^{3}$
$=\frac{4312}{3}$ सेमी $^{3}=1437.3$ सेमी $^{3}$ ।
$r=0.63$ मी।
(ii)गोले का आयतन $=\frac{4}{3} \pi r^{3}$
$=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{63}{100} \times \frac{63}{100} \times \frac{63}{100}$ मी $^{3}$
$=1.047816$ मी $^{3}$
$=1.05 \mathrm{म}^{3} \mathrm{l}$
प्रश्न 14.
उस ठोस गोलाकार गेंद द्वारा हटाए गए (विस्थापित) पानी का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसका व्यास निम्न है :
(i) 28 सेमी,
(ii) $0.21$ मी ।
हल :
(i) गोले के लिये व्यास $=28$ सेमी, त्रिज्या, $r=14$ सेमी
ठोस गोलाकर गेंद द्वारा हटायी जाने वाली पानी की मात्रा= इसका आयतन
$\begin{aligned}&=\frac{4}{3} \pi r^{3} \\&=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 14 \\&=\frac{88 \times 392}{3} =\frac{34496}{3} \end{aligned}$
=11498.67 सेमी $^{3}$
व्यास =0.21 मी.
(ii)
त्रिज्या, $r=\frac{0.21}{2}=0.105$ मी.
'गोलाकार गेंद द्वारा हटाये पानी की मात्रा = इसका आयतन
$\begin{aligned}&=\frac{4}{3} \pi r^{3} \\&=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times(0.105)^{3} \end{aligned}$
=0.004851 मी $^{3}$
प्रश्न 15.
धातु की एक गेंद का व्यास $4.2$ सेमी है। यदि इस धातु का घनत्व $8.9$ ग्राम प्रति सेमी $^{3}$ है, तोइस गेंद का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।
हल :
गेंद का व्यास $=4.2$ सेमी
$\therefore \quad$ त्रिज्या $=\frac{4.2}{2}$ सेमी $=2.1$ सेमी
गेंद का आयतन
$\begin{aligned}&=\frac{4}{3} \pi r^{3} \\&=\left(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 2.1\right)\end{aligned}$
=38.808 सेम $^{3}$
धातु का घनत्व $8.9$ ग्राम प्रति घन सेमी है।
∴ गेंद का द्रव्यमान $=(38.808 \times 8.9)$ ग्राम
=345.3912 ग्राम।
प्रश्न 16.
चंद्रमा का व्यास पृथ्बी के व्यास का लगभग एक-चौथाई है। चंद्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की कौन-सी भिन्न है ?
हल :
माना पृथ्वी का व्यास $=8 x$
चन्द्रमा का व्यास $=\frac{1}{4} \times 8 x=2 x$
पृथ्वी की त्रिज्या $=4 x$
चन्द्रमा की त्रिज्या $=x$
चन्द्रमा का आयतन, $V_{1}=\frac{4}{3} \pi(x)^{3}$
पृथ्वी का आयतन, $V_{2}=\frac{4}{3} \pi(4 x)^{3}$
अभीष्ट अनुपात $=\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{4}{3} \pi(x)^{3}}{\frac{4}{3} \pi(4 x)^{3}}=\frac{1}{64}$ या $1: 64$.
प्रश्न 17.
व्यास 10-5 सेमी वाले एक अर्द्धगोलाकार कटोरे में कितने लीटर दूध आ सकता है?
हल :
अर्द्धगोलाकार कटोरे के लिये, व्यास $=10.5$ सेमी
त्रिज्या,$r=\frac{10.5}{2}$=5.25 सेमी
अर्द्धगोलाकार कटोरे का आयतन $=\frac{2}{3} \pi r^{3}$
$\begin{aligned}&=\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times(5.25)^{3}\\&=\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 5.25 \times 5.25 \times 5.25 \\&=\frac{6366.9375}{21} \end{aligned}$
=303.1875 सेमी $^{3}$
धारिता (लींटर में) $=\frac{303.1875}{1000}$ लीटर
=0.3031875 लीटर।
प्रश्न 18.
एक अर्द्धगोलाकार टंकी $1 \mathrm{~cm}$ मोटी एक लोहे की चादर (sheet) से बनी है। यदि इसकी आन्तरिक त्रिज्या $1 \mathrm{~m}$ है, तो इस टंकी के बनाने में लगे लोहे का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल :
अर्द्धगोलाकार टंकी की आन्तरिक त्रिज्या $(r)=1 \mathrm{~m}$
अर्थात् $r=100 \mathrm{~cm}$
चादर की मोटाई $=1 \mathrm{~cm}$
कटोरे की बाह्य त्रिज्या $(R)=100+1=101 \mathrm{~cm}$
टंकी को बनाने में प्रयुक्त लोहे का आयतन = बाह्य अर्द्धगोले का आयतन
- आन्तरिक अर्द्धगोले का आयतन $=\frac{2}{3} \times \pi R^{3}-\frac{2}{3} \pi r^{3}$ $=\frac{2}{3} \times \pi\left[R^{3}-r^{3}\right]$ $=\frac{2}{3} \times \frac{22}{7}\left[(101)^{3}-(100)^{3}\right]$ $=\frac{44}{21}[1030301-1000000] \mathrm{cm}^{3}$ $=\frac{44}{21} \times 30301 \mathrm{~cm}^{3}$ $=\frac{1333244}{21} \mathrm{~cm}^{3}$ $=63487.81 \mathrm{~cm}^{3}$
$\begin{aligned} 1 \mathrm{~cm}^{3} &=\frac{1}{1000000} \mathrm{~m}^{3} \\ &=\frac{63487.81}{1000000} \mathrm{~m}^{3} \\ &=0.06348 \mathrm{~m}^{3} \quad \text { (लगभग)। } \end{aligned}$
प्रश्न 19.
उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल $154 \mathrm{~cm}^{2}$ है।
हल :
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $=154 \mathrm{~cm}^{2}$
माना कि गोले की त्रिज्या $r$ है। अतः
$\begin{aligned} 4 \pi r^{2} &=154 \\ 4 \times \frac{22}{7} r^{2} &=154 \\ r^{2} &=\frac{154 \times 7}{4 \times 22} \mathrm{~cm}=\frac{49}{4} \mathrm{~cm} \\ r &=\sqrt{\frac{49}{4}}=\frac{7}{2} \mathrm{~cm} \end{aligned}$
अतः गोले का आयतन $=\frac{4}{3} \pi^{3}$
$\begin{aligned}&=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{2}\right)^{3} \mathrm{~cm}^{3} \\&=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\mathrm{~cm}^{3} \\&=\frac{1}{3} \times 11 \times 49 \mathrm{~cm}^{3} \\&=\frac{539}{3} \mathrm{~cm}^{3}=179 \frac{2}{3} \mathrm{~cm}^{3}\end{aligned}$
प्रश्न 20.
किसी भवन का गुम्बद एक अर्द्धगोले के आकार का है। अन्दर से, इसमें सफेदी कराने में $498.96$ रुपये व्यय हुए। यदि सफेदी कराने की दर 2 रुपये प्रति वर्ग मीटर है, तो ज्ञात कीजिए :
(i) गुम्बद का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) गुम्बद के अन्दर की हवा का आयतन।
हल :
(i) $\quad$ सफेदी कराने का कुल व्यय $=498.96$ रु.
सफेदी कराने की दर $=2.00$ रु. प्रति $\mathrm{m}^{2}$
$\therefore \quad$ सफेदी कराने योग कुल क्षेत्रफल = कुल व्यय / दर
$=\frac{498.96}{2}=249.48 \mathrm{~m}^{2}$
$\therefore$ गुम्बद का आन्तरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $=249.48 \mathrm{~m}^{2} .$
(ii) माना कि गुम्बद की आन्तरिक त्रिज्या $=r$
$2 \pi^{2}=249.48$
$\begin{aligned} 2 \times \frac{22}{7} \times r^{2} &=249: 48 \\ r^{2} &=\frac{249 \cdot 48 \times 7}{2 \times 22} \\ &=\frac{24948 \times 7}{2 \times 22 \times 100}-567 \times 7 \\ 100 \\ &=\frac{81 \times 7 \times 7}{100} \\ r &=\sqrt{\frac{81 \times 7 \times 7}{100}}=\frac{9 \times 7}{10} \\ r &=6.3 \mathrm{~m} \end{aligned}$
गुम्बद के अन्दर हवा का आयतन उस गोलार्द्ध गुम्बद का आयतन होगा
$\begin{aligned}&=\frac{2}{3} \pi r^{3} \\&=\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 6.3 \times 6.3 \times 6.3 \mathrm{~m}^{3} \\&=44 \times 2.1 \times 0.9 \times 6.3 \mathrm{~m}^{3}=523.9 \mathrm{~m}^{3} .\end{aligned}$
प्रश्न 21.
लोहे के सत्ताइस ठोस गोलों को पिघलाकर, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या $r$ है और पृष्ठीय क्षेत्रफल $S$ है, एक बड़ा गोला बनाया जाता है जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल $S^{\prime}$ हैं। ज्ञात कीजिए :
(i) नए गोले की त्रिज्या $r^{\prime}$
(ii) S और $S^{\prime}$ का अनुपात।
हल :
गोलों की संख्या $=27$
तथा प्रत्येक गोले की त्रिज्या $=r$
एक गोले का आयतन $=\frac{4}{3} \pi r^{3}$
तथा
27 गोलों का आयतन
$\begin{aligned} &=27 \times \frac{4}{3} \pi r^{3} \\ &=36 \pi r^{3} \end{aligned}$...........(i)
इस गोलों को पिघलाकर $r$ त्रिज्या का एक नया गोला बनाया गया है। अतः नए गोले का आयतन $=\frac{4}{3} \pi(r)^{3}$..........(ii)
समीकरण (i) व (ii) की तुलना करने पर
$\frac{4}{3} \pi r^{3}=36 \pi r^{3}$
$\begin{aligned} \frac{\pi r^{\prime 3}}{\pi r^{3}} &=36 \times \frac{3}{4} \\ \frac{r^{3}}{r^{3}} &=9 \times 3 \\ &=3 \times 3 \times 3 \\ &=(3)^{3} \\\left(\frac{r^{\prime 3}}{r^{3}}\right)^{3} &=(3)^{3} \\ \frac{r^{\prime}}{r} &=3 \\ r &=3 r \end{aligned}$
अर्थात्न ए गोले की त्रिज्या $=3 r$
दिए गए प्रश्नानुसार गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S$ तथा त्रिज्या $r$ है .
$\therefore$ $S=4 \pi r^{2}$.......(iii)
नए गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S^{\prime}$ तथा त्रिज्या $r^{\prime}$ है
$\begin{aligned}&S=4 \pi r^{\prime 2}=4 \pi(3 r)^{2} \\&S=4 \pi \times 3 r \times 3 r\end{aligned}$ $\left[\because r^{\prime}=3 r\right]$
$\begin{aligned} S^{\prime} &=4 \pi \times 3 r \times 3 r \\ &=36 \pi r^{2} \end{aligned}$..........(iv)
समीकरण (iii) व (iv) से
$\begin{aligned}\frac{S}{S} &=\frac{4 \pi r^{2}}{36 \pi r^{2}} \\&=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\end{aligned}$
अतः$ और S का अनुपात =1: 9.
प्रश्न 22.
दवाई का एक कैप्सूल (capsule) $3.5 \mathrm{~mm}$ व्यास का एक गोला (गोली) है। इस कैप्पूल को भरने के लिए कितनी दवाई $\left(\mathrm{mm}^{3}\right)$ की आवश्यक्ता होगी?
हल : माना कि दवाई के कैप्सूल की त्रिज्या $r$ हैं
व्यास $(2 r)=3.5 \mathrm{~mm}$
$r=\frac{3.5}{2} \mathrm{~mm}$
$r=\frac{35}{20} \mathrm{~mm}$
$r=\frac{7}{4} \mathrm{~mm}$
कैप्सूल को भरते समय आवश्यक दवाई की मात्रा उसके आयतन के बराबर होगी अर्थात्
$\begin{aligned}\text { आयतन } &=\frac{4}{3} \pi r^{3} \\&=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{4}\right)^{3} \mathrm{~mm}^{3} \\&=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4}\mathrm{~mm}^{3} \\&=\frac{11 \times 7 \times 7}{3 \times 2 \times 4} \mathrm{~mm}^{3} \\&=\frac{539}{24} \mathrm{~mm}^{3}=22.46 \mathrm{~mm}^{3} \text { (लगभग)। }\end{aligned}$
प्रश्न 23.
पीतल से बने एक अर्द्धगोलाकार कटोरे का आंतरिक व्यास $10.5$ सेमी है। 16 रु. प्रति 100 सेमी $^{2}$ की दर से इसके आंतरिक पृष्ठ पर कलई कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
हल :
कटोरे के लिये, आन्तरिक व्यास $=10.5$ सेमी
आन्तरिक त्रिज्या $=\frac{10.5}{2}$ सेमी
कटोरे का आन्तरिक वक्र पृष्ठ $=2 \pi r^{2}$
$\begin{aligned}&=2 \times \frac{22}{7} \times \frac{10.5}{2} \times \frac{10.5}{2} \end{aligned}$
=173.25 सेमी $^{2}$
कलई कराने की दर $=16$ रुपए प्रति सेमी $^{2}$
अतः कलई कराने की कीमत
$\begin{aligned}&=\left(\frac{16}{100} \times 173.25\right) \end{aligned}$
=27.72 रु.
उत्तर
प्रश्न 24.
उस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए, जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल $154 \mathrm{~cm}^{2}$ है। हल : प्रश्नानुसार गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $=154 \mathrm{~cm}^{2}$
अब माना कि गोले की त्रिज्या $r \mathrm{~cm}$ है, अतः
$4 \pi r^{2}=154$
$\begin{aligned} 4 \times \frac{22}{7} \times r^{2} &=154 \\ r^{2} &=\frac{154 \times 7}{4 \times 22}=\frac{7 \times 7}{4}=\frac{49}{4} \\ r &=\sqrt{\frac{49}{4}}=\frac{7}{2} \\ r &=3.5 \mathrm{~cm} \end{aligned}$
प्रश्न 25.
चन्द्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभाग एक-चौथाई है। इन दोनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :
माना कि पृथ्वी का व्यास $x$ है, तो चन्द्रमा का व्यास $\frac{1}{4} \times x=\frac{x}{4}$ होगा।
अब पृथ्वी की त्रिज्या $=\frac{x}{2}$
तथ चन्द्रमा की त्रिज्या $=\frac{1}{2} \times \frac{x}{4}=\frac{x}{8}$
अतः पृथ्वी का पृष्ठीय क्षेत्रफलं $=4 \pi r^{2}$
$=4 \pi \times \frac{x}{2} \times \frac{x}{2}$
$=\pi \times x^{2}$...........(i)
इसी प्रकार
चन्द्रमा का पृष्ठीय क्षेत्रफल $=4 \pi r^{2}$
$\begin{aligned}&=4 \times \pi \times \frac{x}{8} \times \frac{x}{8} \\&=\frac{\pi \times x^{2}}{16}\end{aligned}$............(ii)
इन दोनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात =चन्द्रमा का पृष्ठीय क्षेत्रफल / पृथ्वी का पृष्ठीय क्षेत्रफल
$\frac{\pi x^{2}}{=\frac{16}{\frac{\pi x^{2}}{1}}}=\frac{\pi x^{2}}{16} \times \frac{1}{\pi x^{2}}$
$\begin{aligned} &=\frac{1}{16} \end{aligned}$
अनुपात =1: 16
प्रश्न 26.
एक अर्द्धगोलाकार कटोरा 0.25 cm मोटी स्टील से बना है। इस कटोरे की आन्तरिक त्रिज्या $5 \mathrm{~cm}$ है। कटोरे का बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
प्रश्नानुसार, कटोरे की आन्तरिक त्रिज्या $(r)=5 \mathrm{~cm}$
स्टील की मोटाई $(x)=0.25 \mathrm{~cm}$
अत :
कटोरे की बाह्म त्रिज्या $(R)=r+x$
$\begin{aligned}&=5+0.25 \\&=5.25 \mathrm{~cm}\end{aligned}$
अतः कटोरे का बाह्य पृष्ठीय क्षेत्रफल $=2 \pi R^{2}$
$\begin{aligned}&=2 \times \frac{22}{7} \times 5.25 \times 5.25 \mathrm{~cm}^{2} \\&=2 \times \frac{22}{7} \times \frac{525}{100} \times \frac{525}{100} \mathrm{~cm}^{2} \\&=2 \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{4} \times \frac{21}{4} \mathrm{~cm}^{2} \\&=\frac{11 \times 3 \times 21}{4} \\&=\frac{693}{4} \\&=173.25 \mathrm{~cm}^{2}\end{aligned}$
उत्तर
प्रश्न 27.
एक लम्ब वृत्तीय बेलन की त्रिज्या $r$ वाले एक गोले को पूर्णतया घेरे हुए है (देखिए आकृति)। ज्ञात कीजिए :
(i) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(iii) उपर (i) और (ii) में प्राप्त क्षेत्रफलों का अनुपात।
हल :
(i) गोले की त्रिज्या $=r$
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $=4 \pi r^{2}$.
(ii) चूँकि गोला बेलन के अन्तर्गत है, अतः बेलन की ऊँचाई गोले के व्यास तथा बेलन की त्रिज्या गोले की त्रिज्या के समान होगी।
$\therefore \quad$ बेलन की त्रिज्या $=r$
बेलन की ऊँचाई $(h)=2 r$
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $=2 \pi r h$
$\begin{aligned}&=2 \times \pi \times r \times 2 r \\&=4 \pi r^{2}\end{aligned}$
(iii) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल
बेलन के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल
$=\frac{4 \pi r^{2}}{4 \pi r^{2}}=\frac{1}{1}$
अतःअनुपात =1: 1
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