Dr Manohar Re Solution CLASS 9 CHAPTER 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन [SURFACE AREAS AND VOLUMES] प्रश्नावली 13 (D)

 प्रश्नावली 13 (D)

प्रश्न 1. 

उस लंब वृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसकी :

(i) त्रिज्या 6 सेमी और ऊँचाई 7 सेमी है,

(ii) त्रिज्या $3.5$ सेमी और ऊँचाई 12 सेमी है।

हल : 

शंकु के लिये,

(i)

त्रिज्या =6 सेमी

ऊँचाई=7 सेमी

शंकु का आयतन

$\begin{aligned}  &=\frac{1}{3} \pi r^{2} h \\ &=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times(6)^{2} \cdot \times 7 \\ &=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 36 \times 7 \end{aligned}$

=264 सेमी $^{3}$

(ii) त्रिज्या $=3.5$ सेमी, ऊँचाई $=12$ सेमी

शंकु का आयतन

$\begin{aligned}&=\frac{1}{3} \pi r^{2} h \\&=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times(3.5)^{2} \times 12  \\&=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 12.25 \times 12  \\&=22 \times 1.75 \times 4  \end{aligned}$

=154 सेमी $^{3}$

प्रश्न 2. 

शंकु के आकार के अस बर्तन की लीटरों में धारिता ज्ञात कीजिए, जिसकी :

(i) त्रिज्या 7 सेमी और तिर्यक ऊँचाई 25 सेमी है।

(ii) ऊँचाई 12 सेमी और तिर्यक ऊँचाई 13 सेमी है।

हल :

 (i) त्रिज्या $r=7$ समी

तिरछी ऊँचाई, $l=25$ सेमी

अब समकोण $\triangle O A B$ से,

$\begin{aligned}h^{2}+7^{2} &=25^{2} \\h^{2} &=625-49=576 \\\Rightarrow \quad h &=\sqrt{576}\end{aligned}$

=24 सेमी 

आयतन 

 $\begin{aligned} &=\frac{1}{3} \pi r^{2} h \\&=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times(7)^{2} \times 24 \\&=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 49 \times 24\end{aligned}$

=1232 सेमी $^{3}$

धारिता $=\frac{1232}{1000}$ लीटर

=1.232 लीटर।

(ii) ऊँचाई, $h=12$ सेमी

 ऊँचाई, $l=13$ सेमी

समकोण $\triangle O A B$ से,

$\begin{aligned}r^{2}+12^{2} &=13^{2} \\r^{2} &=169-144 \\r^{2} &=25 \\r &=\sqrt{25} \end{aligned}$

=5 सेमी 

आयतन

 $\begin{aligned}  &=\frac{1}{3} \pi r^{2} h=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times(5)^{2} \times 12 \\ &=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 25 \times 12\end{aligned}$

$=\frac{2200}{7}$ सेमी $^{3}$ 

धारिता

$=\frac{2200}{7} \times \frac{1}{1000}$ लीटर

$=\frac{22}{70}=\frac{11}{35}$ लीटर। 

प्रश्न 3. 

एक शंकु की ऊँचाई 15 सेमी है। यदि इसका आयतन 1570 सेमी $^{3}$ है, तो इसके आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। ( $\pi=3.14$ प्रयोग कीजिए)

हल : 

यहाँ, $h=15$ सेमी और आयतन $=1570$ सेमी $^{3}$

माना शंकु के आधार की त्रिज्या $r$ सेमी है।

∴आयतन=1570 सेमी $^{3}$

$\frac{1}{3} \pi r^{2} h=1570$

$\frac{1}{3} \times 3.14 \times r^{2} \times 15=1570$

$r^{2} =\frac{1570}{3.14 \times 5}=100$

$r=\sqrt{100}=10$ सेमी

अतः शंकु के आधार की त्रिज्या 10 सेमी है।

उत्तर

प्रश्न 4. 

यदि 9 सेमी ऊँचाई वाले एक लंबवृत्तीय शंकु का आयतन $48 \pi$ सेमी $^{3}$ है, तो उसके आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।

हल : 

यहाँ, $h=9$ सेमी और आयतन $=48$ सेम् $^{3}$.

$\therefore \quad$ आयतन $=48 \pi$ सेमी $^{3}$

माना शंकु के आधार की त्रिज्या $r$ सेमी है।

$\begin{aligned}\frac{1}{3} \pi^{2} h &=48 \pi \\\frac{1}{3} \times r^{2} \times 9 &=48 \\3 r^{2} &=48 \\r^{2} &=\frac{48}{3}=16\end{aligned}$

r=4 सेमी

आधार का व्यास $=4 \times 2=8$ सेमी।

प्रश्न 5. 

उपरी व्यास $3.5 \mathrm{~m}$ वाले शंकु के आकार का एक गढढा $12 \mathrm{~m}$ गहरा है। इसकी धारिता किलोलीटरों में कितनी है?

हल : 

शंकु के आकार के गड्ढे का व्यास $=3.5 \mathrm{~m}$

$\therefore \quad$ गड्ढे की त्रिज्या $(r)=\frac{3.5}{2}=1.75 \mathrm{~m}$

गड्ढे की गहराई $(h)=12 \mathrm{~m}$

$\therefore \quad$ गड्ढे की धारिता $=\frac{1}{3} \pi r^{2} h$

$\begin{aligned}=& \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 1.75 \times 1.75 \times 12 \\=& \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{175}{100} \times \frac{175}{100} \times 12 \\=& \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4} \times 12 \\=& 22 \times \frac{7}{4}=11 \times \frac{7}{2}=\frac{77}{2} \mathrm{~m}^{3} \\=& 38.5 \mathrm{~m}^{3}=38.5 \mathrm{kl} . \\ &\left(\because 1 \mathrm{~m}^{3}=1000 l=1 \mathrm{kl}\right) \end{aligned}$

प्रश्न 6. 

एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन $9856 \mathrm{~cm}^{3}$ है। यदि इसके आधार का व्यास $28 \mathrm{~cm}$ है, तो ज्ञात कीजिए :

(i) शंकु की उँचाई

(ii) शंकु की तिर्यक ऊँचाई

(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।

हल : 

(i) शंकु का आयतन $=9856 \mathrm{~cm}^{3}$

शंकु के आधार का व्यास $(2 r)=28 \mathrm{~cm}$

माना कि शंकु की ऊँचाई $h$ है।

आधार की त्रिज्या $(r)=\frac{28}{2}=14 \mathrm{~cm}$

$\frac{1}{3} \pi^{2} h=9856$ [∵शंकु का आयतन $=\frac{1}{3} \pi r^{2} h$]

$\begin{aligned} \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times h &=9856 \\ \frac{1}{3} \times 22 \times 2 \times 14 \times h &=9856 \\ h &=-\frac{9856 \times 3}{22 \times 2 \times 14} \\ h &=48 \mathrm{~cm} \end{aligned}$

(ii) माना कि शंकु की तिर्यक ऊँचाई l है। अतः

$\begin{aligned}l^{2} &=r^{2}+h^{2} \\l^{2} &=(14)^{2}+(48)^{2} \\&=196+2304=2500 \\l &=\sqrt{2500}=50 \mathrm{~cm}\end{aligned}$

(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $=\pi r l$

$=\frac{22}{7} \times 14 \times 50=2200 \mathrm{~cm}^{2}$

प्रश्न 7. 

भुजाओं $5 \mathrm{~cm}, 12 \mathrm{~cm}$ और $13 \mathrm{~cm}$ वाले एक 'समकोण त्रिभुज $A B C$ को भुजा $12 \mathrm{~cm}$ के परितः घुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल : 

जब भुजाओं $5 \mathrm{~cm}, 12 \mathrm{~cm}$ तथा $13 \mathrm{~cm}$ वाले एक समकोण त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ को इसकी भुजा $12 \mathrm{~cm}$ वाली भुजा के परितः घुमाया जाता है तो एक ठोस शंक्वाकार आकृति प्राप्त होती है। इस प्रश्न के अनुसार $12 \mathrm{~cm}$ वाली भुजा शंकु की ऊँचाई तथा $5 \mathrm{~cm}$ भुजा शंकु के आधार की त्रिज्या होगी।

यहाँ

शंकु की त्रिज्या $(r)=5, \mathrm{~cm}$

शंकु की ऊँचाई $(h)=12 \mathrm{~cm}$

∴शंकु का आयतन

$\begin{aligned}&=\frac{1}{3} \pi r^{2} h \\ &=\frac{1}{3} \times \pi \times 5 \times 5 \times 12 \\ &=100 \pi \mathrm{cm}^{3} \end{aligned}$

प्रश्न 8. 

यदि प्रश्न 7 के त्रिभुज $A B C$ को यदि भुजा $5 \mathrm{~cm}$ के परितः घुमाया जाए, तो इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए। प्रश्नों 7 और 8 में प्राप्त किए गए दोनों ठोसों के आयतनों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।

हल : 

यदि समकोण त्रिभुज को $5 \mathrm{~cm}$ भुजा के परितः घुमाया जाता है, तो ठोस शंक्वाकार आकृति प्राप्त होती है। अब यहाँ $\mathrm{R}=12 \mathrm{~cm}$ शंकु की त्रिज्या तथा $\mathrm{H}=5 \mathrm{~cm}$ शंकु की ऊँचाई है।

शंकु का आयतन

$\begin{aligned}  &=\frac{1}{3} \pi R^{2} H=\frac{1}{3} \times \pi \times 12 \times 12 \times 5\\&=240 \pi \mathrm{cm}^{3}\end{aligned}$

प्रश्न सं 7  में बने शंकु का आयतन 

प्रश्न सं 8 में बने शंकु का आयतन 

$=\frac{100 \pi}{240 \pi}=\frac{5}{12}$

∴ वांछनीय अनुपात =5: 12

उत्तर

प्रश्न 9. 

गेहूँ की एक ढेरी 10.5 cm व्यास और उँचाई 3m वाले एक शंकु के आकार की है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए। इस ढेरी को वर्षा से बचाने के लिए केनवास से ढका जाना है। वाँछित केनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना कि गेहूँ की शंक्वाकार ढेरी के आधार की त्रिज्या $r$ है। अत:

व्यास $(2 r)=10.5 \mathrm{~m}$

या$r=\frac{10.5}{2} \mathrm{~m}=\frac{105}{20} \mathrm{~m}$

$r=\frac{21}{4} \mathrm{~m}$

'शंक्वाकार ढेरी की ऊँचाई $(h)=3 \mathrm{~m}$

इस गेहूँ की ढेरी का आयतन $=\frac{1}{3} \pi r^{2} h$

$\begin{aligned}&=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{21}{4}\right)^{2} \times 3 \mathrm{~m}^{3} \\&=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{4} \times \frac{21}{4} \times 3\mathrm{~m}^{3} \\&=\frac{11 \times 21 \times 3}{2 \times 4} \mathrm{~m}^{3}=\frac{693}{8} \mathrm{~m}^{3} \\&=86.658 \mathrm{~m}^{3}\end{aligned}$

अब माना कि शंकु के आकार की ढेरी की तिर्यक ऊँचाई $l \mathrm{~m}$ है। $\therefore$

$\begin{aligned}l^{2} &=r^{2}+h^{2} \\l^{2} &=\left(\frac{21}{4}\right)^{2}+(3)^{2} \\&=\frac{441}{16}+9=\frac{441+144}{16}\end{aligned}$

$\begin{aligned}l^{2} &=\frac{585}{16} \\&=36.5626 \mathrm{~m} \\l^{2} &=\sqrt{36.5626} \mathrm{~m}=6.046 \mathrm{~m}\end{aligned}$

वांछित केनवांस का क्षेत्रफल = शंकु के वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\pi r l=\frac{22}{7} \times \frac{21}{4} \times 6.046 \\&=99.75\mathrm{~m}^{2}\end{aligned}$ (लगभग)

प्रश्न 10. 

दिए चित्र में लम्बवृत्तीय शंकु के आधार की त्रिज्या $O B=6$ सेमी, ऊँचाई $O C=8$ सेमी है । उसकी तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।

हल :

प्रश्न में,OB=6 सेमी

           OC=8 सेमी

तब तिर्यक् ऊँचाई $B C$ ज्ञात करनी है ।

अब समकोण $\triangle C O B$ में,

$\begin{aligned}B C^{2} &=O C^{2}+O B^{2} \\&=(8)^{2}+(6)^{2} \\&=64+36 \\&=100\end{aligned}$

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,

$B C=10$ सेमी अत: अभीष्ट तिर्यक् ऊँचाई $=10$ सेमी ।

प्रश्न 11. 

निम्न शंकुओं का वक्रपृष्ठ एवं आयतन ज्ञात करो । मापें चित्रों में दी हुई हैं । ( मापों के मात्रक सेमी में हैं)

हल : 

(a) दिए चित्र में त्रिज्या $r=O B=5$ सेमी, ऊँचाई $h=O C=12$ सेमी ।

$\begin{aligned}&=\sqrt{O B^{2}+O C^{2}} \\&=\sqrt{(5)^{2}+(12)^{2}} \\&=\sqrt{25+144} \\&=\sqrt{169}\end{aligned}$

=13 सेमी 

अब वक्रपृष्ठ

$\begin{aligned} &=\pi r l \\&=\pi \times 5 \times 13 \end{aligned}$

=65𝛑 वर्ग सेमी

उत्तर

आयतन 

$\begin{aligned}&=\frac{1}{3} \pi r^{2} h \\ &=\frac{1}{3} \pi \times 25 \times 12  \end{aligned}$

=100𝛑 घन सेमी

हल : 

चित्र (b) में,

$\begin{aligned}O C &=h \\l &=A C=2 \sqrt{3}\end{aligned}$

माना    त्रिज्या $r=A O=\sqrt{3}$ सेमी

तब समकोण $\triangle C O A$ में,

$\begin{aligned} C O &=\sqrt{A C^{2}-O A^{2}} \\ &=\sqrt{12-3} \\ &=\sqrt{9} \end{aligned}$

h=3 सेमी

वक्रपृष्ठ 

$\begin{aligned}&=\pi r l \\ &=\pi \times \sqrt{3} \times 2 \sqrt{3} \end{aligned}$

=6𝛑 वर्ग सेमी

आयतन$\begin{aligned}&=\frac{1}{3} \pi r^{2} h \\ &=\frac{1}{3} \pi \times 3 \times 3  \end{aligned}$

=3𝛑  घन सेमी

हल :

चित्र (c) में,

शंकु की ऊँचाई $h=O C$

त्रिज्या $\vec{r}=O A=5$ सेमी

तिर्यक् ऊँचाई $l=5 \sqrt{2}$ सेमी

तब समकोण $\triangle C O A$ में,

$\begin{aligned}O C &=\sqrt{A C^{2}-O A^{2}} \\&=\sqrt{50-25} \\&=\sqrt{25}\end{aligned}$

=5 सेमी

 h=5 सेमी

वक्रपृष्ठ

$\begin{aligned} &=\pi r l \\ &=\pi \times 5 \times 5 \sqrt{2}  \end{aligned}$

$=25 \sqrt{2 \pi}$ वर्ग सेमी।

आयंतन

$\begin{aligned}&=\frac{1}{3} \pi r^{2} h \\ &=\frac{1}{3} \pi \times 25 \times 5 \end{aligned}$

$=\frac{125}{3} \pi$ घन सेमी 

प्रश्न 12. 

उस शंकु की तिरछी ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसके आधार की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 24 सेमी है ।

हल : 

माना शंकु की ऊँचाई

$h=24$ सेमी

तथा आधार की त्रिज्या

$r=7$ सेमी

माना तिरछी ऊँचाई $l$ है, तब

$\begin{aligned}l &=\sqrt{h^{2}+r^{2}} \\&=\sqrt{(24)^{2}+(7)^{2}} \\&=\sqrt{576+49} \\&=\sqrt{625}\end{aligned}$

=25 सेमी

अतःतिरछी ऊँचाई =25 सेमी ।   उत्तर

प्रश्न 13.

एक लम्बवृत्तीय शंकु के आधार का व्यास $3.5$ सेमी और ऊँचाई 6 सेमी है । शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठ ज्ञात कीजिए।

हल : 

शंकु के आधार की त्रिज्या

r= व्यास / 2

$=\frac{3.5}{2}=\frac{7}{4}$ सेमी

ऊँचाई $h=6$ सेमी

तिरछी ऊँचाई 

$\begin{aligned} l &=\sqrt{h^{2}+r^{2}} \\&=\sqrt{36+\frac{49}{16}} \\&=\sqrt{\frac{36 \times 16+49}{16}} \\&=\sqrt{\frac{625}{16}}\end{aligned}$

$=\frac{25}{4}$ सेमी

शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठ=वक्रपृष्ठ+आधार का क्षेत्रफल
$=\pi r l+\pi r^{2}$

$=\pi r(l+r)$

$=\pi \times \frac{7}{4}\left(\frac{25}{4}+\frac{7}{4}\right)$
$=\pi \times \frac{7}{4} \times 8$

$=14 \pi$
शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठ $=14 \pi$ वर्ग सेमी ।

प्रश्न 14. 

यदि किसी लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन 4620 घन सेमी, आधार की त्रिज्या 21 सेमी हो, तो उसकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।

हल : 

लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन $=4620$ घन सेमी

तथा माना आधार की त्रिज्या $r=21$ सेमी

तथा ऊँचाई $=h$ सेमी

आयतन $=\frac{1}{3} \pi r^{2} h$

$\begin{aligned}\frac{1}{3} \pi \times 21 \times 21 \times h &=4620 \\\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times h &=4620 \\22 \times 21 \times h &=4620 \\h &=\frac{4620}{22 \times 21} \end{aligned}$

=10 सेमी 

शंकु की अभीष्ट ऊँचाई =10 सेमी ।

प्रश्न 15. 

यदि किसी लम्बवृत्तीय' शंकु की तिर्यक् ऊँचाई 5 सेमी और उसकी त्रिज्या 3 सेमी है । शंकु की लम्ब ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना शंकु की तिर्यक् ऊँचाई $l=5$ सेमी तथा त्रिज्या $r=3$ सेमी ।

तथा शंकु की लम्ब ऊँचाई $=h$ सेमी

$\because$ सूत्र

$\begin{aligned}l^{2} &=h^{2}+r^{2} \\h &=\sqrt{l^{2}-r^{2}}=\sqrt{25-9} \end{aligned}$

$=\sqrt{16}=4$ सेमी

अतः शंकु की लम्ब ऊँचाई =4 सेमी । 

प्रश्न 16.

एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज में कर्ण 4 सेमी लम्बा है । यदि त्रिभुज के कर्ण को अक्ष मानकर उसके परित: घुमाया जाय, तो निर्मित आकृति का वक्रपृष्ठ और आयतन ज्ञात कीजिए ।

हल : 

4 सेमी कर्ण वाले 'समद्विबाहु समकोण त्रिभुज. $A B C$ को कर्ण के परितः घुमाने से एक उभयनिष्ठ आधार वाला द्विशंकु बनेगा । प्रत्येक शंकु की ऊँचाई कर्ण की आधी $\frac{4}{2}=2$ सेमी होगी । हम जानते हैं कि समकोण त्रिभुज में समकोण वाले शीर्ष को कर्ण के मध्य बिन्दु से मिलाने वाली रेखा की आधी होती है अर्थात् $\frac{4}{2}=2$ सेमी ।

$\therefore$ यह समकोण समद्धिबाहु त्रिभुज है ।

$\therefore$ यह रेखा कर्ण पर भी होगी । यह रेखा ही शंकु की त्रिज्या होगी ।

अतःत्रिज्या r=2 सेमी

$\begin{aligned} \therefore \quad l &=\sqrt{\left(2^{2}+2^{2}\right)}=\sqrt{8}\end{aligned}$

$=2 \sqrt{2}$ सेमी

∴वक्रपृष्ठ=2×एक शंकु का वक्रपृष्ठ

$=2 \pi r l

$=2 \pi \times 2 \times 2 \sqrt{2}$

$=8 \sqrt{2 \pi}$ वर्ग सेमी

तथा ठोस का आयतन = दोनों शंकुओं का आयतन 

=2×एक शंकु का आयतन 

$=2 \times \frac{1}{3} \pi \times 2 \times 2 \times 2$

$=\left(\frac{16}{3}\right) \pi$ घन सेमी

प्रश्न 17. 

एक शंकु के आधार का व्यास $10.5$ सेमी और इसकी तिर्यक ऊँचाई 10 मी. है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :

आधार का व्यास $=10.5$ सेमी

आधार की त्रिज्या $=\frac{10 \cdot 5}{2}$

$r=5.25$ सेमी

तिरछी ऊँचाई $l=10$ सेमी

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 

$\begin{aligned} &=\pi r l \\ &=\frac{22}{7} \times 5.25 \times 10  \end{aligned}$

=165 सेमी$^{2}$

प्रश्न 18. 

एक शंकु की त्रिज्या और ऊँचाई $3: 4$ के अनुपात में हैं । यदि इसका आयतन $301.44$ सेमी ${ }^{3}$ हो, तो उसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए । इसकी तिरछी ऊँचाई भी ज्ञात कीजिए । ( $\pi=3.14$ )

हल :

शंकु की त्रिज्या : ऊँचाई $=3: 4$

$\therefore \quad$ माना कि शंकु की त्रिज्या $(r)=3 x$ सेमी

शंकु की ऊँचाई $(h)=4 x$ सेमी

शंकु का आयतन $=301.44$ सेमी 3

$\frac{1}{3} \pi r^{2} h=301 \cdot 44$

$\begin{aligned}\frac{1}{3} \times 3-14 \times(3 x)^{2} \times 4 x &=30144 \\\frac{1}{3} \times 3.14 \times 9 \times 4 \times x^{3} &=301 \cdot 44 \\3 \cdot 14 \times 12 \times x^{3} &=301 \cdot 44 \\x^{3} &=\frac{301.44}{3 \cdot 14 \times 12}=8 \\x &=\sqrt[3]{8}=2\end{aligned}$

शंकु के आधार की त्रिज्या $(r)=3 \times 2$

$=6$ सेमी

शंकु की ऊँचाई $(h)=4 \times 2$

$=8$ सेमी

शंकु की तिरछी ऊँचाई $(l)=\sqrt{r^{2}+h^{2}}$

$\begin{aligned}&=\sqrt{6^{2}+8^{2}} \\&=\sqrt{36+64} \\&=\sqrt{100}\end{aligned}$

=10 सेमी । 

प्रश्न 19. 

एक लम्बवृत्तीय' शंकु का वक्रपृष्ठ $70 \pi$ सेमी $^{2}$ है । यदि इसके आधार का व्यास 14 सेमी हो, तो इसकी तिर्यक् ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।

हल : 

माना शंकु की ऊँचाई $h$ तथा तिर्यक् ऊँचाई $l$ है .। आधार की त्रिज्या $r$ है ।

2r=14

r=7 सेमी

शंकु का वक्रपृष्ठ $=\pi r l$

$\begin{aligned} 70 \pi &=\pi \times 7 \times i \\ l &=\frac{70 \pi}{\pi \times 7} \end{aligned}$

=10 सेमी 

अतःशंकु की तिर्यक् ऊँचाई $=10$ सेमी ।  उत्तर

प्रश्न 20. 

एक शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी तिर्यक ऊँचाई 21 मी है और आधार का व्यास 24 मी है।

हल :

तिरछी ऊँचाई $l=21$ सेमी

आधार का व्यास $=24$ मी

आधार की त्रिज्या, $r=12$ मी

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

$\begin{aligned} &=\pi r(l+r) \\ &=\frac{22}{7} \times 12(21+12) \mathrm{H}^{2} \\ &=\frac{22}{7} \times 12 \times(33)  \\ &=\frac{22 \times 12}{7}(33)  \end{aligned}$

=1244.57 मी$^{2}$

प्रश्न 21. 

एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 308 सेमी $^{2}$ और इसकी तिर्यक ऊँचाई 14 सेमी है। ज्ञात कीजिए :

(i) आधार की त्रिज्या,

(ii) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

हल : 

शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $=308$ सेमी $^{2}$

तिरछी ऊँचाई $l=14$ सेमी

(i) वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल $=\pi r l$

$\therefore \quad \pi r=308$

या   $\frac{22}{7} \times r \times 14=308$

या    $44 r=308$

या    $r=\frac{308}{44}=7$ सेमी

अतः  आधार की त्रिज्या $=7$ सेमी।  उत्तर

(ii) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $=\pi r(l+r)$.

$\begin{aligned}&=\frac{22}{7} \times 7(14+7) \\&=22 \times 21 \end{aligned}$

=462 सेमी $^{2}$

उत्तर

प्रश्न 22. 

शंकु के आकार का एक तंबू 10 मी. उँचा है और उसके आधार की त्रिज्या 24 मी. है। ज्ञात कीजिए :

(i) तंबू की तिर्यक ऊँचाई

(ii) तंबू में लगे केनवास (canvas) की लागत, यदि 1 मी. ${ }^{2}$ केनवास की लागत 70 रुपए है। हल : (i) यहाँ $r=24$ मी., $h=10$ मी.

माना शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l$ है, तब

$\begin{aligned} l^{2} &=h^{2}+r^{2} \\ l &=\sqrt{h^{2}+r^{2}} \\ l &=\sqrt{24^{2}+10^{2}} \\ &=\sqrt{576+100} \\ &=\sqrt{676}\end{aligned}$

=26  मी.।

(ii) शंक्वाकार तंबू बनाने के लिए आवश्यक केनवास= शंकु का वक्रीय पृष्ठ

$\begin{aligned}&=\pi r l=\left(\frac{22}{7} \times 24 \times 26\right)\end{aligned}$

$\because 1$ मी. ${ }^{2}$ केनवास की दर 70 रु. है।

∴केनवास का कुल मूल्य

$\begin{aligned}&=\left(\frac{22}{7} \times 24 \times 26 \times 70\right)\end{aligned}$

=137280 रु.

प्रश्न 23.

$8 \mathrm{~m}$ ऊँचाई और आधार की त्रिज्या $6 \mathrm{~m}$ वाले एक शंकु के आकार का तम्बू बनाने में $3 \mathrm{~m}$ चौड़े तिरपाल की कितनी लम्बाई लगेगी? यह मानकर चलिए कि इसकी सिलाई और कटाई में $20 \mathrm{~cm}$ तिरपाल अतिरिक्त लगेगा। $(\pi=3 \cdot 14$ का प्रयोग कीजिए।)

हल : 

प्रश्नानुसार तम्बू की ऊँचाई $(h)=8 \mathrm{~m}$

तम्बू के आधार की त्रिज्या $(r)=6 \mathrm{~m}$

" अतः तम्बू की तिर्यक ऊँचाई $(l)=\sqrt{r^{2}+h^{2}}$

$\begin{aligned}&=\sqrt{(6)^{2}+(8)^{2}} \\&=\sqrt{36+64} \\&=\sqrt{100} \\l &=10 \mathrm{~m}\end{aligned}$

तम्बू में लगी तिरपाल का क्षेत्रफल = तम्बू के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\pi r l \\&=3.14 \times 6 \times 10 \\&=188.4 \mathrm{~m}^{2}\end{aligned}$

माना कि तिरपाल की लम्बाई $(L)$ हो तथा प्रश्नानुसार तिरपाल की चौड़ाई $=3 \mathrm{~m}$ 

अतः तिरपाल का क्षेत्रफल = लम्बाई $\times$ चौड़ाई

$=L \times 3=3 L \mathrm{~m}$

$\begin{aligned} 3 L &=188.4 \quad\left(\because \text { क्षेत्रफल }=188.4 \mathrm{~m}^{2}\right) \\ L &=\frac{188.4}{3}=62.8 \mathrm{~m} \end{aligned}$

प्रश्नानुसार, सिलाई तथा कटाई में लगी तिरपाल की अतिरिक्त लम्बाई $=20 \mathrm{~cm}$

$=\frac{20}{100} \mathrm{~m}=0.2 \mathrm{~m}$

अतः  तम्बू बनाने में लगी तिरपाल की कुल लम्बाई $=62.8+0.2 \mathrm{~m}$ $=63 \mathrm{~m} .$

प्रश्न 24. 

शंकु के आकारं की एक गुम्बज की तिर्यक उँचाई और आधार व्यास क्रमश: $25 \mathrm{~m}$ और $14 \mathrm{~m}$ है। इसकी वक्र पृष्ठ पर 210 रुपये प्रति $100 \mathrm{~m}^{2}$ की दर से सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।

हल : 

प्रश्नानुसार शंकु के आकार की गुम्बज की तिर्यक ऊँचाई

$=l=25 \mathrm{~m}$

तथा आधार का व्यास $(2 r)=14 \mathrm{~m}$

∴ आधार की त्रिज्या $(r)=\frac{14}{2} \mathrm{~m}=7, \mathrm{~m}$.

अतः गुम्बज के वैक्रपपृष्ठ का क्षेत्रफल

$\begin{aligned} &=\pi r l \\ &=\frac{22}{7} \times 7 \times 25 \\ &=550 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned}$

$\because \quad 100 \mathrm{~m}^{2}$ पर सफेदी कराने का व्यय =210 रु.

$\therefore \quad 1 \mathrm{~m}^{2}$ पर सफेदी कराने का व्यय $=\frac{210}{100}$ रु.

∴ 550 $m^{2}$ पर सफेदी कराने का व्यय $=\frac{210}{100} \times 550$

=1155 रु. 

उत्तर

प्रश्न 25. 

एक लम्बवृत्तीय शंकु की ऊँचाई उसके आधार की त्रिज्या के बराबर है। यदि इसका आयतन $72 \pi$ सेमी $^{3}$ हो, तो शंकु की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

लम्बवृत्तीय शंकु के आधार की त्रिज्या $r$ है तब उसकी ऊँचाई $h=r$

∵ आयतन=72𝛑 सेमी $^{3}$

आयतन 

$\begin{aligned}&=\frac{1}{3} \pi r^{2} h \\72 \pi &=\frac{1}{3} \pi h^{2} h \\72 &=\frac{1}{3} h^{3} \\h^{3} &=3 \times 72=216\end{aligned}$

h=6 सेमी

अतः  शंकु की ऊँचाई $=6$ सेमी।

प्रश्न 26. 

एक 'शंक्वाकार' तम्बू में 528 घन मीटर हवा आ सकती है। यदि तम्बू की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई 14 मीटर है, तो तम्बू का वक्रपृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :

तम्बू का आयतन=तम्बू में हवा का आयतन 

=528 घन मीटर

माना  तम्बू की ऊँचाई h=14 मीटर

आयतन $=\frac{1}{3} \pi r^{2} h$

$\begin{aligned}528 &=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times r^{2} \times 14 \\528 &=\frac{22}{3} \times 2 r^{2}=\frac{44}{3} r^{2} \\r^{2} &=\frac{3 \times 528}{44}=36\end{aligned}$

r=6 सेमी 

तिर्यक ऊँचाई $l=\sqrt{h^{2}+r^{2}}$

$\begin{aligned}&=\sqrt{(14)^{2}+(6)^{2}} \\&=\sqrt{196+36}=\sqrt{232} \\&=2 \sqrt{58}\end{aligned}$

वक्रपृष्ठ

$\begin{aligned}&=\pi r l \\&=\frac{22}{7} \times 6 \times 2 \sqrt{58} \\&=\frac{264}{7} \sqrt{58} \end{aligned}$

=287: 19   वर्ग सेमी।

प्रश्न 27.

एक जोकर की टोपी एक शंकु के आकार की है, जिसके आधार की त्रिज्या $7 \mathrm{~cm}$ और उँचाई $24 \mathrm{~cm}$ है। इसी प्रकार की 10 टोपियाँ बनाने के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

प्रश्नानुसार शंक्वाकार टोपी के आधार की त्रिज्या $(r)=7 \mathrm{~cm}$

टोपी की ऊँचाई $(h)=24 \mathrm{~cm}$

अतः  टोपी का तिर्यक ऊँचाई

$\begin{aligned}(l) &=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{(7)^{2}+(24)^{2}} \\&=\sqrt{49+576} \\&=\sqrt{625}=25 \mathrm{~cm}\end{aligned}$

एक टोपी बनाने में लगे गत्ते का क्षेत्रफल = शंकु का वक्रं पृष्ठीय क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\pi r l=\frac{22}{7} \times 7 \times 25 \\&=550 \mathrm{~cm}^{2}\end{aligned}$

अत: 10 टोपियाँ बनाने में लगे गत्ते का क्षेत्रफल $=10 \times 550=5500 \mathrm{~cm}^{2}$.

प्रश्न 28. 

किसी बस स्टाप को पुराने गत्ते से बने 50 खोखले शंकुओं द्वारा सड़क से अलग किया हुआ है। प्रत्येक शंकु के आधार का व्यास $40 \mathrm{~cm}$ है और ऊँचाई $1 \mathrm{~m}$ है। यदि इन शंकुओं की बाहरी पृष्ठों को पेंट करवाना है और पेंट की दर 12 रुपये प्रति $\mathrm{m}^{2}$ है, तो इनको पेंट कराने में कितनी लागत आएगी ? ( $\pi=3.14$ और $\sqrt{1.04}$ $=1.02$ का प्रयोग कीजिए।

हल : 

माना कि वृत्ताकार आधार की त्रिज्या $r \mathrm{~cm}$ है।

'प्रश्नानुसार शंकु के आधार का व्यास $(2 r)=40 \mathrm{~cm}$

$r=\frac{40}{2}=20 \mathrm{~cm}$

$r=\frac{20}{100}=\frac{1}{5} \mathrm{~m}=0.2 \mathrm{~m}$

शंकु की ऊँचाई $(h)=1 \mathrm{~m}$

तिर्यक ऊँचाई $(l)=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{(0.2)^{2}+(1)^{2}}$ $$l=\sqrt{0.04+1}=\sqrt{1.04} \mathrm{~m}$$

शंकु के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल $\pi r l=3.14 \times 0.2 \times \sqrt{1.04}$

$\begin{aligned}&=3.14 \times 0.2 \times 1.02 \\&=0.64056 \mathrm{~m}^{2}\end{aligned}$

$1 \mathrm{~m}^{2}$ क्षेत्रफल को पेन्ट कराने की लागत =12 रु.

$0.64056 \mathrm{~m}^{2}$ क्षेत्रफल को पेन्ट कराने की लागत $=12 \times 0.64056=7.68672$ रु.

ऐसे ही 50 शंकुओं को पेन्ट कराने की लागत $=50 \times 7.68672$ रु.

=384.34 रु. (लगभग)।