प्रश्नावली 13 (C)
प्रश्न 1
निम्नलिखित सारणी में रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए : बेलन का :
| क्र.सं. | त्रिज्या | ऊँचाई | वक्रपृष्ठ | सम्पूर्ण पृष्ठ | आयतन |
|---|---|---|---|---|---|
| (A) | 15 सेमी | 660 वर्ग सेमी | |||
| (B) | 7 सेमी | 780 सेमी |
हल :
(A) माना
ऊँचाई h=15 सेमी
वक्रपृष्ठ=660 वर्ग सेमी
वक्रपृष्ठ=2𝛑rh=660
$\begin{aligned}2 \times \frac{22}{7} \times r \times 15 &=660 \\ r &=\frac{7 \times 660}{2 \times 22 \times 15}\end{aligned}$
=7 सेमी
सम्पूर्ण पृष्ठ
$\begin{aligned}&=2 \pi r(h+r) \\ &=2 \times \frac{22}{7} \times 7(15+7)\\ &=44 \times 22 \end{aligned}$
=968 वर्ग सेमी
आयतन
$\begin{aligned}&=\pi r^{2} h \\ &=\frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 15 \end{aligned}$
=2310 घन सेमी
त्रिज्या =7 सेमी
सम्पूर्ण पृष्ठ=968 वर्ग सेमी
आयतन=2310 घन सेमी
(B) माना त्रिज्या $r=7$ सेमी
सम्पूर्ण पृष्ठ $=748$ वर्ग सेमी
सम्पूर्ण पृष्ठ $=2 \pi r(h+r)$
$748=2 \times \frac{22}{7} \times 7(h+7)$
$h+7=\frac{748}{2 \times 22}=17$
$h=17-7=10$ सेमी
वक्रपृष्ठ $=2 \pi r h$
$=2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 10$
$=440$ वर्ग सेमी
आयतन $=\pi r^{2} h$
$=\frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 10$
$=1540$ घन सेमी
ऊँचाई $=10$ सेमी
वक्रपृष्ठ $=440$ वर्ग सेमी
आयतन $=1540$ घन सेमी ।
प्रश्न 2.
एक लम्बवृत्तीय' बेलन के आधार का क्षेत्रफल 154 . वर्ग सेमी है. । बेलन की ऊँचाई 10 सेमी है, तो आयतन ज्ञात कीजिए ।
हल :
बेलन के आधार का क्षेत्रफल =154 वर्ग सेमी
बेलन की ऊँचाई =10 सेमी
आयतन=आधार का क्षेत्रफल ×ऊँचाई
=154×10 =1540 घन सेमी
अभीष्ट आयतन =1540 घन सेमी ।
प्रश्न 3.
एक 'लम्बवृत्तीय' बेलन के आधार का क्षेत्रफल $81 \pi$ वर्ग सेमी है, यदि उसकी ऊँचाई 14 सेमी है, तो उसका वकपषष्ठ ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना बेलन की त्रिज्या r है, तब
आधार का क्षेत्रफल$=\pi r^{2}$
=81𝛑
$r^{2}=81$
r=9 सेमी
बेलन की ऊँचाई h=14 सेमी
वक्रपृष्ठ=2𝛑rh
$=2 \times \frac{22}{7} \times 9 \times 14$
$=2 \times 22 \times 9 \times 2$
=792 वर्ग सेमी
अभीष्ट वक्रपृष्ठ =792 वर्ग सेमी ।
प्रश्न 4.
दो समान ऊँचाई वाले लम्बवृत्तीय बेलनों के आधार की त्रिज्याएँ 2: 5 के अनुपात में हैं । इनके आयतनों का अनुपात ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना दो समान ऊँचाई $h$ वाले बेलनों के आधार की त्रिज्याएँ $r_{1}$ तथा $r_{2}$ हैं ।
$r_{1}: r_{2}=2: 5$, (दिया है)
माना बेलनों के आयतन $V_{1}$ तथा $V_{2}$ हैं।
अतः $V_{1}=\pi r_{1}^{2} h$ तथा $V_{2}=\pi r_{2}^{2} h$
$\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\pi r_{1}^{2} h}{\pi r_{2}^{2} h}=\frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}=\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2}$
$\frac{V_{1}}{V_{2}}=\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{4}{25}$ दिया है : $\frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{2}{5}$
आयतनों में अनुपात $=4: 25$.
प्रश्न 5.
यदि किसी बेलन का वक्रपृष्ठ 110 सेमी $^{2}$ तथा ऊँचाई 5 सेमी है, तो उस बेलन की त्रिज्या ज्ञात कीजिए ।
हल :
बेलन की ऊँचाई $h=5$ सेमी तथा वक्रपृष्ठ $=110$ सेमी $^{2}$
माना बेलन की त्रिज्या $=r$ सेमी है, तब
बेलन का वक्रपृष्ठ
$\begin{aligned} &=2 \pi r h \\110 &=2 \times \frac{22}{7} \times r \times 5\end{aligned}$
$\begin{aligned}r &=\frac{110 \times 7}{2} \times 22 \times \overline{5} \\&=\frac{7}{2}\end{aligned}$
=3.5 सेमी
अभीष्ट त्रिज्या =3.5 सेमी ।
प्रश्न 6.
यदि एक गैलर का व्यास 120 सेमी तथा ऊँचाई 84 सेमी है । एक चक्कर में वह कितनी जगह को समतल करेगा।
हल :
माना रौलर की त्रिज्या $=r$ सेमी है, तब
व्यास=2 r=120 सेमी
r=60 सेमी
बेलन की ऊँचाई $h=84$ सेमी
एक चक्कर में चली गई दूरी= रौलर का वक्रपृष्ठ
$=2 \pi r h$ $=2 \times \frac{22}{7} \times 60 \times 84$ वर्ग सेमी
$=31680$ वर्ग सेमी
एक चक्कर में चली गई दूरी $=31680$ वर्ग सेमी ।
प्रश्न 7.
सिद्ध करो कि बेलन के आयतन का दुगुना उसके वक्रपृष्ठ और आधार त्रिज्या के गुणनफल' के बराबर होता है ।
हल :
माना बेलन की त्रिज्या $=r$ तथा ऊँचाई $=h$ है, तब सिद्ध करना है कि
2×आयतन = वक्रपृष्ठ×त्रिज्या
बायाँ पक्ष =2×आयतन
$=2 \times \pi r^{2} h=2 \pi r^{2} h $
दायाँ पक्ष =वक्रपृष्ठ ×त्रिज्या
$=2 \pi r h \times r=2 \pi r^{2} h$
अत : बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष ।
प्रश्न 8.
यदि दो बेलनों की त्रिज्याओं में $2: 3$ का अनुपात है तथा उनकी'ऊँचाइयों में $5: 3$ का अनुपात है, तो उनके आयतनों का अनुपात ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना दो बेलनों की त्रिज्याएँ $r_{1}$ तथा $r_{2}$ और उनकी ऊँचाइयाँ $h_{1}$ तथा $h_{2}$ हैं, तब
$\frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{2}{3}$..........(1)
$\frac{h_{1}}{h_{2}}=\frac{5}{3}$..........(2)
उनके आयतनों में अनुपात =ननुपात
$\begin{aligned} &=\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\pi r_{1}^{2} h_{1}}{\pi r_{2}{ }^{2} h_{2}} \\&=\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2} \times\left(\frac{h_{1}}{h_{2}}\right) \\&=\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \times \frac{5}{3}\end{aligned}$
$=\frac{4}{9} \times \frac{5}{3}=\frac{20}{27}$
आयतनों में अनुपात $=20: 27$.
प्रश्न 9.
किसी बेलन का वकपृष्ठ 264 मी. $^{2}$ तथा आयतन 396 मी. 3 हैं। बेलन की ऊँचाई तथा बेलन के आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल :
बेलन का वक्रपृष्ठ,
$2 \pi r h=264$ मी. $^{2}$
बेलन का आयतन, $\pi r^{2} h=396$ मी. 3
$\begin{aligned}\frac{\pi r^{2} h}{2 \pi r h} &=\frac{396}{264} \\\frac{r}{2} &=\frac{3}{2} \\r &=3 \end{aligned}$
2𝝿rh=264 लेने पर,
$\begin{aligned}2 \times \frac{22}{7} \times 3 \times h &=264 \\h &=\frac{264 \times 7}{2 \times 22 \times 3}\end{aligned}$
=14 मी.
अतः बेलन की ऊँचाई तथा त्रिज्या 14 मी. तथा 3 मी. हैं।
उत्तर
प्रश्न 10.
44 सेमी लम्बे, 20 सेमी चौड़े आयताकार कागज को लम्बाई की ओर मोड़ने पर एक बेलन बनाया गया है । प्राप्त बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए । $\pi=\frac{22}{7}$ )
हल :
आयताकार कागज की लम्बाई 44 सेमी तथा चौड़ाई 20 सेमी है । लम्बाई की ओर मोड़ने पर बने बेलन की परिधि
44 सेमी तथा ऊँचाई 20 सेमी होगी, तब
परिधि
$\begin{aligned}&=2 \pi r=44 \\2 \times \frac{22}{7} \times r &=44 \\r &=\frac{7 \times 44}{2 \times 22}\end{aligned}$
=7 सेमी
आयतन$\begin{aligned}&=\pi r^{2} h \\&=\frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 20 \\&=22 \times 7 \times 20 \end{aligned}$
=3080 घन सेमी
अभीष्ट आयतन =3080 घन सेमी ।
प्रश्न 11.
ऊँचाई 14 सेमी वाले एक लम्बवृत्तीयं बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 88 सेमी है है। बेलन के आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्रीय पुष्ठ या वक्र पुष्ठीय क्षेत्रफल $=2 \pi m$
$\begin{aligned} 88 &=2 \times \frac{22}{7} \times r \times 14 \\ r &=\frac{88 \times 7}{2 \times 22 \times 14}=1 \end{aligned}$
प्रश्न 12.
धांतु की एक चादर से 1 मीटर ऊँची तथा 140 सेमी व्यास के आधार वाली एक बंद बेलनाकार' टंकी बनाई जानी है। इस कार्य के लिए कितने वर्ग मीटर चादर की आवश्यकता होगी ?
हल :
माना $r$ आधार की त्रिज्या और $h$ 'बेलनाकार टंकी की ऊँचाई है।
यहाँ $h=1$ मीटर, $r=\frac{140}{2}$ सेमी $=70$ सेमी $=0.70$ मीटर
बंद 'बेलनाकार टंकी के लिए आवश्यक धातु की चादर
= इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=2 \pi r(h+r) \\&=2 \times \frac{22}{7} \times 0.7(1+0 \cdot 70) \\&=2 \times 22 \times 0-1 \times 1.70\end{aligned}$
=7.48 मी $^{2}$
आवश्यक चादर =7.48 मी $^{2}$
प्रश्न 13.
धातु का एक पाइप 77 सेमी लम्बा है। इसकी एक अनुप्रस्थ काट का आंतरिक व्यास 4 सेमी है और बाहरी व्यास 4 .4 सेमी है (देखिए आकृति)। ज्ञात कीजिए।
(i) आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(iii) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
हल :
धात्यिक पाइप के लिये,
लम्बाई, $h=77$ सेमी
आन्तरिक व्यास $=4$ सेमी
बाहरी व्यास $=4.4$ सेमी
आन्तरिक त्रिज्या $r=2$ सेमी
बाह्य त्रिज्या $\mathrm{R}=2.2$ सेमी
(i)
आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
$\begin{aligned} &=2 \pi r h \\ &=2 \times \frac{122}{7} \times 2 \times 77 \end{aligned}$
=968 सेमी $^{2}$
(ii)
बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $=2 \pi R h$
$=2 \times \frac{22}{7} \times 2.2 \times 77 $
=1064.8 सेमी $^{2}$
(iii) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल +बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + दोनों किनारों का क्षेत्रफल
$\begin{aligned}=& 968+1064 \cdot 8+2 \pi\left(R^{2}-r^{2}\right) \\ &=\left[968+1064.8+2 \times \frac{22}{7}\left(2 \cdot 2^{2}-2^{2}\right)\right] \\ &=\left[968+1064 \cdot 8+2 \times \frac{22}{7}(4.84-4)\right] \\ &=(2032.8+5.28)\end{aligned}$
=2038.08 सेमी $^{2}$
प्रश्न 14.
एक रोलर (Roller) का व्यास 84 सेमी और लम्बाई 120 सेमी है। एक खेल के मैदान को एक बार समतल करने के लिए 500 चक्कर लगाने पड़ते हैं। खेल के मैदान का (मीटर ${ }^{2}$ में) क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
रोलर की लम्बाई 120 सेमी अर्थात् $h=1.2$ मीटर और बेलन (अर्थात् रोलर) की त्रिज्या $=\frac{84}{2}$ सेमी $=42$ सेमी $=0.42$ मीटर।
एक चक्कर में रोलर द्वारा तय की जाने वाली दूरी = इसका वक्रीय पृष्ठ
$\begin{aligned}&=2 \pi h \\&=\left(2 \times \frac{22}{7} \times 0.42 \times 1.2\right) \end{aligned}$
=3.168 मी $^{2}$
खेल के मैदान का क्षेत्रफंल =500 चक्करों में रोलर द्वारा तय की गई दूरी
$=(500 \times 3 \cdot 168)+h^{2}$
=1584 मी $^{2}$
प्रश्न 15.
किसी बेलनाकार स्तंभ का व्यास 50 सेमी है और ऊँचाई $3.5$ मी है। $12.50$ रुपए प्रति मी $^{2}$ की दर से इस स्तम्भ के वक्र पृष्ठ पर पेंट कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
हल :
माना आधार की त्रिज्या $r$ और स्तम्भ की ऊँचाई $h$ है।
$\therefore r=\frac{50}{2}$ सेमी $=25$ सेमी $=0.25$ मी और $h=3.5$ मी
वक्रीय पृष्ठ
$\begin{aligned} & =2 \pi r h \\& & =\left(2 \times \frac{22}{7} \times 0-25 \times 3.5\right)+A^{2}\end{aligned}$
=5.5 मी $^{2}$
12.50 रु. प्रति वर्ग मी की दर से वक्र पृष्ठ पर पेंट कराने का व्यय
$\begin{aligned}&=(5.5 \times 12.5) \\&=68.75\end{aligned}$
प्रश्न 16.
एक लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $4.4 \mathrm{~m}^{2}$ है। यदि बेलन के आधार की त्रिज्या $0.7 \mathrm{~m}$ है, तो असकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
प्रश्नानुसार लम्ब वृत्तीय बेलन के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल $=4.4 \mathrm{~m}^{2}$
तथा बेलन की त्रिज्या $(r)=0.7 \mathrm{~m}$
बेलन की ऊँचाई $(h)=?$
माना कि बेलन की ऊँचाई $=h$
$\therefore \quad 2 \pi h=4.4$
$\begin{aligned} 2 \times \frac{22}{7} \times 0.7 \times h &=4.4 \\ 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{10} \times h &=4.4 \\ \frac{44}{10} \times h &=4.4 \\ h &=\frac{4.4 \times 10}{44} \\ &=\frac{44}{10} \times \frac{10}{1} \times \frac{1}{44} \\ h &=1 \mathrm{~m} . \end{aligned}$
प्रश्न 17.
किसी वृत्ताकार ' कुएँ का आन्तरिक व्यास $3.5 \mathrm{~m}$ है और यह $10 \mathrm{~m}$ गहरा है। ज्ञात कीजिए
(i) आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
(ii) 40 रु. प्रति $\mathrm{m}^{2}$ की दर से इसके वक्र पृष्ठ पर प्लास्टर कराने का व्यय।
हल :
प्रश्नानुसार, वृत्ताकार कुएँ का आन्तरिक व्यास $=3.5 \mathrm{~m}$
$\therefore \quad$ कुएँ की त्रिज्या $(r)=\frac{3.5}{2}=1.75 \mathrm{~m}$
कुएँ की गहराई $(h)=10 \mathrm{~m}$
(i) चूँक कुआँ बेलनाकार है, अतः कुएँ का आन्तरिक वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=2 \pi r h \\&=2 \times \frac{22}{7} \times 1.75 \times 10 \mathrm{~m}^{2} \\&=2 \times \frac{22}{7} \times \frac{175}{100} \times 10 \mathrm{~m}^{2} \\&=110 \mathrm{~m}^{2}\end{aligned}$
(ii)$1 \mathrm{~m}^{2}$. क्षेत्रफल पर प्लास्टर कराने का व्यय =40 रु.
$110 \mathrm{~m}^{2}$ पर प्लास्टर कराने का व्यय
=40×110
=4400
प्रश्न 18.
गरम पानी द्वारा गरम रखने वाले एक संयंत्र में $28 \mathrm{~m}$ लम्बाई और $5 \mathrm{~cm}$ व्यास वाला एक बेलनाकार पाइप है। इस संयंत्र में गर्मी देने वाला कुल कितना पृष्ठ है?
हल :
माना कि बेलनाकार पाइप की लम्बाई (ऊँचाई) $=h$ है।
प्रश्नानुसार, $h=28 \mathrm{~m}$
तथा बेलनाकार पाइप की त्रिज्या $(r)=r$.
$2 r=5 \mathrm{~cm}$
दिया है : $r=\frac{5}{2} \mathrm{~cm}$
$\therefore$ गर्मी देने वाले बेलनाकार पाइप का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल $=2 \pi r$
$\begin{aligned}&=2 \times \frac{22}{7} \times \frac{5}{2} \times 2800 \\&=44000 \mathrm{~cm}^{2} \\&=\frac{44000}{10000} \mathrm{~m}^{2} \\&=4.4 \mathrm{~m}^{2}\end{aligned}$
उत्तर
प्रश्न 19.
ज्ञात कीजिए :
(i) एक बेलनाकार पेट्रोल की बन्द टंकी का पाश्व्व या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, जिसका व्यास $4.2 \mathrm{~m}$ है और ऊँचाई $4.5 \mathrm{~m}$ है।
(ii) इस टंकी को बनाने में कुल कितना इस्पात (steel) लगा होगा, यदि कुल इस्पात का $\frac{1}{12}$ भाग बनाने में नष्ट हो गया है?
हल :
(i) 'प्रश्नानुसार बेलनाकार पेट्रोल की टंकी का व्यास
$\begin{aligned} 2 r &=4.2 \mathrm{~m} \\ \text { त्रिज्या }(r) &=\frac{4.2}{2}=2.1 \mathrm{~m} \end{aligned}$
टंकी की ऊँचाई $(h)=4.5 \mathrm{~m}$
अतः पेट्रोल की टंकी का वक्र पृष्ठ्ठीय क्षेत्रफल $=2 \pi r h$
$\begin{aligned}&=2 \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 4.5 \mathrm{~m}^{2} \\&=59.4 \mathrm{~m}^{2}\end{aligned}$
(ii) माना कि इस टंकी को बनाने में लगा इस्पात $=x \mathrm{~m}^{2}$
प्रश्नानुसार क्योंकि टंकी को बनाने में कुल इस्पात का $\frac{1}{12}$ भाग नष्ट हो जाता है। अतः टंकी में लगे इस्पात का क्षेत्रफल $=x-\frac{1}{12} x=\frac{11}{12} x$
$\begin{aligned} \frac{11}{12} x &=59.4 \mathrm{~m}^{2} \\ 11 x &=12 \times 59.4 \\ x &=\frac{12 \times 59.4}{11} \\ x &=12 \times 5.4 \\ &=64.8 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned}$
प्रश्न 20.
दी गयी आकृति में, आप एक लैंपशेड का फ्रेम देख रहे हैं। इसे एक सजावटी कपड़े से ढका जाना है। इस फ्रेम के आधार का व्यास $20 \mathrm{~cm}$ है और ऊँचाई $30 \mathrm{~cm}$ है । फ्रेम के उपर और नीचे मोड़ने के लिए दोनों ओर $2.5 \mathrm{~cm}$ अतिरिक्त कपड़ा भी छोड़ा जाना है। ज्ञात कीजिए कि लैंपशेड को ढकने के लिए कुल कितने कपड़े की आवश्यकता होगी?
हल :
फ्रेम की ऊँचाई $(H)=30 \mathrm{~cm}$.
ऊपर व नीचे मोड़े जाने वाले प्रत्येक कपड़े की ऊँचाई $(h)=2.5 \mathrm{~cm}$
अब माना कि प्रत्येक भाग की त्रिज्या $(r)$ हो, तब
प्रश्नानुसार व्यास $(2 r)=20 \mathrm{~cm}$
या $r=\frac{20}{2} \mathrm{~cm}=10 \mathrm{~cm}$
लैंपशेड ढकने के लिए आवश्यक कपड़ा
=Ist बेलन के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल + IInd बेलन के वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल+ III बेलन के वक्र पृष्ठ क
$\begin{aligned}&=2 \pi r h+2 \pi r H+2 \pi r h \\&=2 \pi r(h+H+h) \\&=2 \pi r(2 h+H)\end{aligned}$
$\begin{aligned} &=2 \times \frac{22}{7} \times 10(30+2 \times 2.5) \mathrm{cm}^{2} \\ &=\frac{440}{7} \times 35=440 \times 5 \\ &=2200 \mathrm{~cm}^{2} . \end{aligned}$
प्रश्न 21.
किसी विद्यालय के विद्यार्थियों से एक आधार वाले बेलनाकार कलमदानों को गत्ते से बनाने और
सजाने की प्रतियोगिता में भाग लेने के लिए कहा गया। प्रत्येक कलमदान को 3 cm त्रिज्या और 10.5 ऊँचाई
का होना था विद्यालय को इसके लिए प्रतिभागियों को गत्ता देना था। यदि इसमें 35 प्रतिभागी थे, तो विद्यालय
को कितना गत्ता खरीदना पड़ा होगा?
Sol :
प्रश्नानुसार माना कि बेलनाकार कलमदानों की त्रिज्या r है तब r=3 cm है।
बेलनाकार कलमदानों की ऊँचाई=h=10.5 cm
कलमदान के लिए वांछित गत्ता=कलमदान का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल + वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल
=2𝝿rh+𝝿$r^2$
=𝝿r(2h+r)
$=\frac{22}{7} \times 3 (2 \times 10.5+3)$
$=\frac{22}{7} \times 3(21+3)$
$=\frac{22}{7} \times 3 \times 24$
=226.28 $cm^2$
अर्थात् प्रत्येक प्रतिभागी के लिए कलमदान बनाने के लिए वांछनीय गत्ते का क्षेत्रफल $=226.28 \mathrm{~cm}^{2}$
अतः 35 कलमदानों हेतु वांछित गत्ता
$\begin{aligned}&=(226.28 \times 35) \mathrm{cm}^{2} \\&=7919.8 \mathrm{~cm}^{2}\end{aligned}$
=7920 $\mathrm{~cm}^{2}$ (लगभग)
प्रश्न 22.
एक बेलनाकार बर्तन के आधार की परिधि $132 \mathrm{~cm}$ और उसकी ऊँचाई $25 \mathrm{~cm}$ है। इस बर्तन में कितने लीटर पानी आ सकता है? $\left(1000 \mathrm{~cm}^{3}=1\right.$.लीटर)
हल : -
बर्तन के आधार की परिधि $=132 \mathrm{~cm}$
माना जब आधार की त्रिज्या $r$ है तो परिधि $=2 \pi r$ '
$2 \pi r=132 \mathrm{~cm}$
$\begin{aligned}2 \times \frac{22}{7} \times r &=132 \\r &=132 \times \frac{1}{2} \times \frac{7}{22} \\r &=21 \mathrm{~cm}\end{aligned}$
बर्तन की ऊँचाई $(h)=25 \mathrm{~cm}$
बर्तन का आयतन = बेलन का आयतन
$\begin{aligned}&=\pi r^{2} h \\&=\frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 25 \mathrm{~cm}^{3} \\&=22 \times 3 \times 21 \times 25 \mathrm{~cm}^{3} \\&=34650 \mathrm{~cm}^{3}\end{aligned}$
$1000 \mathrm{~cm}^{3}=1$ लीटर अतः
$=\frac{34650}{1000}$ लीटर
=34.65 लीटर।
प्रश्न 23.
लकड़ी के एक बेल्नाकार पाइप का आन्तरिक व्यास $24 \mathrm{~cm}$ है और बाहरी व्यास $28 \mathrm{~cm}$ है। इस पाइप की लम्बाई $35 \mathrm{~cm}$ हैं। इस पोइप का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, यदि $1 \mathrm{~cm}^{3}$ लकड़ी का 'द्रव्यमान $0.6$ ग्राम है।
बाहरी त्रिज्या $=R=\frac{28}{2}=14$ सेमी
तथा r=भीतरी त्रिज्या $=\frac{24}{2}$ सेमी=12 सेमी
पाइप बनाने में प्रयुक्त लकड़ी का आयतन = बाहरी बेलन का आयतन - भीतरी बेलन का आयतन
$\begin{aligned}&=\pi R^{2} h-\pi r^{2} h=\pi\left(R^{2}-r^{2}\right) h \\&=\frac{22}{7} \times\left(14^{2}-12^{2}\right) \times 35\end{aligned}$
$\begin{aligned}&=\frac{22}{7} \times(14+12)(14-12) \times \\&=\frac{22}{7} \times 26 \times 2 \times 35\end{aligned}$
=5720 सेमी $^{3}$
1 सेमी $^{3}$ का द्रव्यमान =0.6 ग्राम
5720 सेमी $^{3}$ का द्रव्यमान $=(5720 \times 0.6)$
$=\left(\frac{5720 \times 0.6}{1000}\right)$
=3.432 किग्रा।
प्रश्न 24.
एक सोफ्ट ड्रिंक (Soft drink) दो प्रकार के पैकों में उपलब्ध है : (i) लंबाई 5 सेमी और चौड़ाई 4 सेमी वाले एक आयताकार' आधार का टिन का डिब्बा जिसकी ऊँचाई 15 सेमी है और (ii) व्यास 7 सेमी वाले वृत्तीय आधार और 10 सेमी ऊँचाई वाला एक प्लास्टिक का बेलनाकार डिब्बा। किस डिब्बे की धारिता अधिक है और कितनी अधिक है ?
हल :
(i) आयताकार पैक के लिये,
लम्बाई, $l=5$ सेमी
चौड़ाई, $b=4$ सेमी
ऊँचाई, $h=15$ सेमी
आयतन
$\begin{aligned}&=l \times b \times h=5 \times 4 \times 15 \end{aligned}$
=300 सेमी $^{3}$
(ii) बेलनाकार पैक के लिये,
व्यास =7 सेमी
त्रिज्या, $r=\frac{7}{2}$ सेमी
ऊँचाई, h=10 सेमी
आयतन
$\begin{aligned}&=\pi r^{2} h \\&=\frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{2}\right)^{2} \times 10 \\&=\frac{22}{7} \times \frac{49}{4} \times 10 \\&=\frac{1540}{4} \end{aligned}$
=385 सेमी $^{3}$
स्पष्ट है कि 'बेलनाकार डिब्बे की धारिता =385-300=85 घन सेमी अधिक है।
उत्तर
प्रश्न 25.
यदि एक बेलन का पाश्व्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $94.2$ सेमी $^{2}$ और उसकी ऊँचाई 5 सेमी है, तो ज्ञात कीजिए :
(i) आधार की त्रिज्या,
(ii) बेलन का आयतन, $(\pi=3.14$ लीजिए)।
हल :
बेलन के लिये,
ऊँचाई, $h=5$ सेमी
(i) $\therefore$
वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल =94.2 सेमी $^{2}$
2𝝿h=94.2
2×3.14×r×5=84.2
r$=\frac{94.2}{2 \times 3.14 \times 5}$
r$=\frac{94.2}{31.4} $
$=\frac{942}{314}$
=3 सेमी।
उत्तर
(ii)
बेलन का आयतन
$\begin{aligned}&=\pi r^{2} h \\&=3.14 \times(3)^{2} \times 5 \\&=3.14 \times 45 \end{aligned}$
=141.3 सेमी $^{3}$
उत्तर
प्रश्न 26.
$10 \mathrm{~m}$ गहरे एक बेलनाकार' बर्तन की आन्तरिक वक्र पृष्ठ को पेंट कराने का व्यय 2200 रुपये है। यदि पेंट कराने की दर 20 रुपये प्रति $\mathrm{m}^{2}$ है, तो ज्ञात कीजिए :
(i) बर्तन का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) आधार की त्रिज्या
(iii) बर्तन की धारिता।
हल :
बर्तन के आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल को पेन्ट कराने का व्यय
=2200 रु.
पेंट कराने की दर $=20$ रु. प्रति $\mathrm{m}^{2}$
(i) अतः बर्तन का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल =कुल व्यय / दरं
$=\frac{2200}{20}=110 \mathrm{~m}^{2}$............(i)
(ii) बर्तन की गहराई $(h)=10 \mathrm{~m}$
अब माना कि आधार की त्रिज्या =r है।
∴ बर्तन का आन्तरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=2 \pi r h \\&=2 \times \frac{22}{7} \times r \times 10\end{aligned}$..........(ii)
अब (i) व (ii) से
$2 \times \frac{22}{7} \times r \times 10=110$
या
$\begin{aligned}&r=110 \times \frac{1}{2} \times \frac{7}{22} \times \frac{1}{10} \\&r_{0}=1.75 \mathrm{~m} .\end{aligned}$
(iii) अब चूँकि $r=1.75 \mathrm{~m}$ तथा $h=10 \mathrm{~m}$.
बर्तन की धारिता =बेलन का आयतन
$\begin{aligned}&=\pi r^{2} h \\&=\frac{22}{7} \times 1.75 \times 1.75 \times 10 \\&=96.25 \mathrm{~m}^{3}\end{aligned}$
∵ हम जानते है कि $1 \mathrm{~m}^{3}=1$ किलोलीटर,
अतः 96.25 किलोलीटर।
प्रश्न 27.
ऊँचाई $1 \mathrm{~m}$ वाले एक बेलनाकार बर्तन की धारिता $15.4$ लीदर है। इसको बनाने के लिए कितने वर्ग मीटर धातु की शीट की आवश्यकता होगी?
हल :
बर्तन की ऊँचाई $(h)=1 \mathrm{~m}$
बर्तन की धारिता =15.4 लीटर
$\begin{aligned}&=\frac{15.4}{1000}=0.0154 \mathrm{~m}^{3}\end{aligned}$.........(i)
$\left[\because 1000\right.$ लटटर $\left.=1 \mathrm{~m}^{3}\right]$
अब माना कि बर्तन के आधार की त्रिज्या $r$ हैं
$\therefore$$\pi r^{2} h=0.0154$
$\begin{aligned} \frac{22}{7} \times r^{2} \times 1 &=0.0154 \\ r^{2} &=0.0154 \times \frac{7}{22} \\ &=0.0007 \times 7 \\ r^{2} &=0.0049 \\ r &=\sqrt{0.0049} \\ &=0.07 \mathrm{~m} \end{aligned}$
क्योंकि यह बेलनाकार बर्तन बन्द है।
अतः बर्तन बनाने में लगी धातु का क्षेत्रफल = बर्तन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल+ दो वृत्ताकार ढक्कनों का क्षेत्रफल
$=2 \pi r h+2 \pi r^{2}$
$=2 \pi r(h+r)$
$=2 \times \frac{22}{7} \times 0.07(1+0.07)$
$=\frac{44}{7} \times 0.07 \times 1.07$
$=44 \times 0.01 \times 1.07$
$=0.4708 \mathrm{~m}^{2}$
प्रश्न 28.
सीसे की एक पेसिल (lead pencil) लकड़ी के एक बेलन के अभ्यंतर में ग्रेफइट (graphite) से बने ठेस बेलन को डाल कर बनाई गई है। पैसिल का व्यास $7 \mathrm{~mm}$ है और ग्रेफाइट का व्यास $1 \mathrm{~mm}$ है। यदि पेंसिल की लम्बाई $14 \mathrm{~cm}$ है, तो लकड़ी का आयतन और ग्रेफाइट का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल :
माना कि पेंसिल में लगी ग्रेफांइट की त्रिज्या $r$ है।
$\therefore \quad$ व्यास $(2 r)=1$ मिमी.
$\begin{aligned}&r=\frac{1}{2} \mathrm{~mm}=\frac{1}{2} \times \frac{1}{10} \mathrm{~cm} \\&r=\frac{1}{20} \mathrm{~cm}\end{aligned}$
ग्रेफाइट की ऊँचाई $(h)=14 \mathrm{~cm}
ग्रेफाइट का आयतन
$=\pi r^{2} h$
$=\frac{22}{7} \times\left(\frac{1}{20}\right)^{2} \times 14 \mathrm{~cm}^{3}$
$=\frac{22}{7} \times \frac{1}{400} \times 14 \mathrm{~cm}^{3}$
$=\frac{11}{100} \mathrm{~cm}^{3}$
$=0.11 \mathrm{~cm}^{3}$
अब माना कि पेंसिल की त्रिज्या $R$ हैं।
अतः व्यास $(2 R)=7 \mathrm{~mm}$
$R=\frac{7}{2} \mathrm{~mm}=\frac{7}{2} \times \frac{1}{10} \mathrm{~cm}$
$R=\frac{7}{20} \mathrm{~cm}$
पेंसिल का आयतन $=\pi r^{2} h$
$\begin{aligned}&=\frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{20}\right)^{2} \times 14 \mathrm{~cm}^{3} \\&=\frac{22}{7} \times \frac{49}{400} \times 14 \mathrm{~cm}^{3} \\&=5.39 \mathrm{~cm}^{3}\end{aligned}$
लकड़ी का आयतन = पेंसिल का आयतन - ग्रेफाइट का आयतन
$\begin{aligned}&=(5.39-0.11) \mathrm{cm}^{3} \\&=5.28 \mathrm{~cm}^{3}\end{aligned}$
प्रश्न 29.
एक अस्पताल (hospital) के एक रोगी को प्रतिदिन $7 \mathrm{~cm}$ व्यास वाले एक बेलनांकार कटोरे में सूप (soup) दिया जाता है। यदि यह कटोरा सूप से $4 \mathrm{~cm}$ ऊँचाई तक भरा जाता है, तो इस अस्पताल में 250 रोगियों के लिए प्रतिदिन कितना सूप तैयार किया जाता है?
हल :
माना बेलनाकार कटोरे के वृत्तीय आधार की त्रिज्या $r$ है।
$\therefore \quad$ व्यास $(2 r)=7 \mathrm{~cm}$
$r=\frac{7}{2} \mathrm{~cm}$
कटोरे की ऊँचाई $(h)=4 \mathrm{~cm}$
बेलनाकार कटोरे का आयतन $=\pi r^{2} h$
$\begin{aligned}&=\frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{2}\right)^{2} \times 4 \\&=\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 4 \\&=22 \times 7=154 \mathrm{~cm}^{3}\end{aligned}$
चूँकि कटोरा पूरी तरह से सूप से भरा हुआ है। अतः एक कटोरे में भरे गए सूप की मांत्रा या आयतन $=154 \mathrm{~cm}^{3}$ अतः अस्ततल द्वारा तैयार किए गए 250 रोगियों होतु सूप की कुल मात्रा
$\begin{aligned}&=(250 \times 154) \mathrm{cm}^{3} \\&=38500 \mathrm{~cm}^{3}\end{aligned}$
$=\frac{38500}{1000}$ लीटर [1 लीटर$=1000 \mathrm{~cm}^{3}$]
=38.5 लीटर
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