Dr Manohar Re Solution CLASS 9 CHAPTER 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन [SURFACE AREAS AND VOLUMES] प्रश्नावली 13 (B)

 प्रश्नावली 13 (B)

प्रश्न 1.

1.5 मीटर लम्बा, $1 \cdot 25$ मीटर चौड़ा और 65 सेमी गहरा प्लांस्टिक का एक डिब्या बनाया जाना है। इसे ऊपर से खुला रखना है। प्लास्टिक शीट की मोटाई को नगण्य मानते हुए निर्धारित कीजिए :

(i) डिब्या बनाने के लिए आवश्यक प्लास्टिक शीट का क्षेत्रफल।

(ii) इस शीट का मूल्य, यदि 1 वर्ग मीटर शीट का मूल्य 20 रुपये है।

हल : 

प्लास्टिक डिब्या के लिए

लम्बाई $=1.5$ मी

चौड़ाई $=1.25$ मी

गहराई $=0.65$ मी

(i) चूँक डिब्या ऊपर से खुला है अतः अभीष्ट प्लास्टिक' शीट का क्षेत्रफल

$=2[l b+b h+h l]-l b$ 

$=2[1 \cdot 5 \times 1 \cdot 25+1 \cdot 25 \times 0 \cdot 65+0.65 \times 1.5)-1.5 \times 1 \cdot 25$ $=2[1 \cdot 875+0.8125+0.975]-1.875$

$=2 \times 3 \cdot 6625-1.875$ 

$=7.325-1 \cdot 875$ 

=5.45 मी $^{2}$

उत्तर

(ii)

शीट का कुल मूल्य $=(5.45 \times 20)$

=109  रु.

प्रश्न 2. 

एक कमरे की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 5 मी., 4 मी. और 3 मी. हैं। $7 \cdot 50$ रुपए प्रति मी $^{2}$ की दर से इस कमरे की दीवारों और छत पर सफेदी कराने का व्यय ज्ञांत कीजिए।

हल : 

माना l=5 मी., b=4 मी. और h=3 मी

चारों दीवारों सहित छ्छ का क्षेत्रफल 

$\begin{aligned} &=[2(l+b) \times h+l b] \\&=[2(5+4) \times 3+5 \times 4]  \\&=(2 \times 9 \times 3+20)  \\&=(54+20) \end{aligned}$

=74 मी $^{2}$

सफेदी कराने की प्रति वर्ग' मीटर दर =7.50 रु.

सफेदी कराने का कुल व्यय=74×7.50=555 रु

प्रश्न 3. 

किसी आयताकार हॉल के फर्श का परिमाप 250 मी. है। यंदि 10 रुपए प्रति मी $^{2}$ की दर से चारों दीवारों पर पेंट कराने की लागत 15000 रु. है, तो इस हॉल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

चारों दीवारों पर पेंट कराने की लागत =15000 रुपए

पेंट कराने की दर =10 रु. प्रति मी $^{2}$

∴ चारों दीवारों का क्षेत्रफल $=\left(\frac{15000}{10}\right)$ मी $^{2}$

=1500 मी $^{2}$

 2(l+b) h=1500 

परिमाप × ऊँचाई =1500

250× ऊँचाई =1500

ऊँचाई$=\frac{1500}{250}$

ऊँचाई=6 मी

प्रश्न 4. 

किसी डिब्बे में भरा हुआ पेंट, $9 \cdot 375$ मी $^{2}$ के क्षेत्रफल पर पेंट करने के लिए पर्याप्त है। इस डिब्बे के पेंट से $22 \cdot 5$ सेमी $\times 10$ सेमी $\times 7 \cdot 5$ सेमी विमाओं वाली कितनी ईटें पेंट की जा सकती हैं?

हल : 

एक ईंट का पृष्ठीय क्षेत्रफल $=2(b+b h+h l)$

$=2\left(\frac{22 \cdot 5}{100} \times \frac{10}{100}+\frac{10}{100} \times \frac{7.5}{100}+\frac{7.5}{100} \times \frac{22 \cdot 5}{100}\right)$ मी $^{2}$

$=2 \times \frac{1}{100} \times \frac{1}{100}(22 \cdot 5 \times 10+10 \times 7 \cdot 5+7.5 \times 22 \cdot 5)$ मी $^{2}$

$=\frac{1}{5000} \times(225+75+168 \cdot 75)$ मी $^{2}$

$=\frac{1}{5000} \times 468.75$ मी $^{2}$

$=0.09375$ मी $^{2}$

वह क्षेत्रफल जिसके लिए पेंट पर्याप्त है = $9.375$ मी $^{2}$

:उपलब्य पेंट से रंगी जा सकने वाली इंटों की संख्या $=\frac{9.375}{0.09375}=100$. उत्तर

प्रश्न 5. 

एक घनाकार डिब्बे का एक किनारा 10 सेमी लम्बाई का है तथा एक अन्य घनाभाकार डिब्बे की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः $12.5$ सेमी, 10 सेमी और 8 सेमी हैं।

(i) किस डिब्बे का पाश्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है और कितना अधिक है?

(ii) किस डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल कम है और कितना कम है?

हल : 

घनाकार डिब्ने के लिए भुजा, $a=10$ सेमी

पार्श्व पृष्ठ$=4 a^{2}$

$=4 \times(10)^{2}$

=400 सेमी $^{2}$

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $=6 a^{2}$

$=6 \times(10)^{2}$

=600 सेमी $^{2}$

घनाभाकार डिब्बे के लिए,

लम्बाई =12.5 सेमी

चौड़ाई =10 सेमी

ऊँचाई =8 सेमी

पृष्ठीय क्षेत्रफल=

$\begin{aligned}  &=2(l+b) \times h \\ &=2 \times 22.5 \times 8 \end{aligned}$

=360 सेमी $^{2}$

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल =2[l b+b h+h l]

$\begin{aligned}&=2[12 \cdot 5 \times 10+10 \times 8+8 \times 12.5]  \\&=2[125+80+100] \\&=2 \times 305\end{aligned}$

=610 सेमी $^{2}$

अत: घनाकार डिब्बे का पाश्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है।

$(400-360)$ सेमी $^{2}=40$ सेमी $^{2}$ अधिक है।

घनाभाकार डिब्ये का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल कम है

(610-600) सेमी $^{2}=10$ सेमी $^{2}$ कम है।

प्रश्न 6. 

एक छोटा पौधा घर (green house) सम्पूर्ण रूप से शीशे की पट्टियों 'से (आधार भी सम्मिलित है) घर के अन्दर ही बनाया गया है और शीशे की पट्टियों को टेप द्वारा चिपका कर रोका गया है। यह पौधा घर 30 सेमी लम्बा, 25 सेमी चौड़ा और 25 सेमी ऊँचा है।

(i) इसमें प्रयुक्त शीशे की पट्टियों का क्षेत्रफल क्या है ?

(ii) सभी 12 किनारों के लिए कितने टेप की अवश्यकता है?

हल :

 माना, l=30 सेमी, b=25 सेमी और h=25 सेमी.

(i). शीशे की पट्टियों का क्षेत्रफल = कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=2(lb+b h+h l) \\&=2(30 \times 25+25 \times 25+25 \times 30) \\&=2(750+625 \\&=(2 \times 2125)  \end{aligned}$

=4250 सेमी $^{2}$

(ii) सभी 12 किनारों के लिए आवश्यक टेप = सभी किनारों का योग

$\begin{aligned}&=4(l+b+h) \\&=4(30+25+25)  \\&=4 \times 80 \end{aligned}$

=320 सेमी.

उत्तर

प्रश्न 7. 

शान्ति स्वीट स्टाल अपनी मिठाइयों को पैक करने के लिए गत्ते के डिब्बे बनाने का ऑर्डर दे रहा था। दो मापों के डिब्बों की आवश्यकता थी। बड़े डिब्बों की माप $25 \mathrm{~cm} \times 20 \mathrm{~cm} \times 5 \mathrm{~cm}$ और छोटे डिब्बों की माप $15 \mathrm{~cm} \times 12 \mathrm{~cm} \times 5 \mathrm{~cm}$ थीं । सभी प्रकार की अतिव्यापिकता (overlaps) के लिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के $5 \%$ के बराबर अतिरिक्त गत्ता लगेगा। यदि गत्ते की लागत 4 रुपए प्रति $1000 \mathrm{~cm}^{2}$ है, तो प्रत्येक प्रकार के 250 डिब्बे बनवाने की कितनी लागत आएगी ?

हल : 

माना कि बड़े डिब्बे की लम्बाई $(l)=25 \mathrm{~cm}$

चौड़ाई $(b)=20 \mathrm{~cm}$

तथा ऊँचाई $(h)=5 \mathrm{~cm}$

बड़े डिब्बे का पृष्ठीय क्षेत्रफल

$\begin{aligned}  &=2(lb+b h+h l) \\ &=2(25 \times 20+20 \times 5+5 \times 25) \mathrm{cm}^{2} \\ &=2(500+100+125) \mathrm{cm}^{2} \\ &=2(725) \mathrm{cm}^{2} \\ &=1450 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned}$

सभी प्रकार की अति व्यापिकता के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के 5% के बराबर वांछनीय गत्ते का क्षेत्रफल

=1450 का 5%

$\begin{aligned}&=1450 \times \frac{5}{100} \\&=72 \cdot 5 \mathrm{~cm}^{2}\end{aligned}$

इस प्रकार कुल क्षेत्रफल $=(1450+72 \cdot 5) \mathrm{cm}^{2}$

$=1522.5 \mathrm{~cm}^{2}$

इसी क्षेत्रफल के 250 डिब्बों का सम्पूर्ण क्षेत्रफल $=(1522.5 \times 250) \mathrm{cm}^{2}$

$=380625 \mathrm{~cm}^{2}$

$\therefore \quad 1000 \mathrm{~cm}^{2}$ गत्ते की लागत $=4$ रु.

$\therefore \quad 1 \mathrm{~cm}^{2}$ हेतु गत्ते की लागत $=\frac{4}{1000}$ रु.

380625 $\mathrm{~cm}^{2}$ 

∴गत्ते की लागत 

$=\frac{4}{1000} \times 380625$

=1522.50 रु.

अब पुन: माना कि छोटे डिब्बे की लम्बाई $(l)=15 \mathrm{~cm}$

चौड़ाई $(b)=12 \mathrm{~cm}$

तथा ऊँचाई $(h)=5 \mathrm{~cm}$.

अतः छोटे डिब्ने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $=2(l b+b h+h l)$

$\begin{aligned}&=2(15 \times 12+12 \times 5+5 \times 15) \mathrm{cm}^{2} \\&=2(180+60+75) \mathrm{cm}^{2} \\&=2(315) \mathrm{cm}^{2} \\&=630 \mathrm{~cm}^{2}\end{aligned}$

सभी प्रकार की अतिव्यापिकता' के लिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रत्ल 5% के बराबर वांछनीय गत्ते का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=630 \text { का } 5 \% \\&=630 \times \frac{5}{100} \mathrm{~cm}^{2} \\&=31 \cdot 5 \mathrm{~cm}^{2}\end{aligned}$

प्रकार कुल क्षेत्रफल $=(630+31 \cdot 5) \mathrm{cm}^{2}$

$=661.5 \mathrm{~cm}^{2}$

इसी क्षेत्रफल के 250 डिब्बों का सम्पूर्ण क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=661 \cdot 50 \times 250 \mathrm{~cm}^{2} \\&=165375 \mathrm{~cm}^{2}\end{aligned}$

$\therefore \quad 1000 \mathrm{~cm}^{2}$ गत्ते की लागत $=4$ रु.

∴ 165375 $\mathrm{~cm}^{2}$ 

 गत्ते की लागत

$=\frac{4}{1000} \times 165375$

=661.5 रु. 

इस प्रकार प्रत्येक प्रकार के 250 गत्ते के डिब्यों कीं लागत

=1522.5+661.5 

=2184 रु

प्रश्न 8. 

परवीन अपनी कार खड़ी करने के लिए, एक सन्दूक के प्रकार के ढाँचे जैसा एक अस्थाई स्थान तिरपाल की सहायता से बनाना चाहती है, जो कार को चारों ओर से और ऊपर से ढक ले (सामने वाला फलक लटका हुआ होगा जिसे घुमाकर ऊपर किया जा सकता है)। यह मानते हुए कि सिलाई के समय लगा तिरपाल का अतिरिक्त कपड़ा नगण्य होगा, आधार विमाओं 4 मीटर $\times 3$ मीटर और ऊँचाई $2.5$ मीटर वाले इस ढाँचे को बनाने के लिए कितने तिरपाल की आवश्यकता होगी ?

हल : 

माना कि-सन्दूक के प्रकार वाले ढाँचे की लम्बाई $(l)=4 \mathrm{~cm}$

चौड़ाई $(b)=3 \mathrm{~cm}$

तथा ऊँचाई $(h)=2.5 \mathrm{~cm}$

कार खड़ी करने के लिए आवश्यक तिरपाल $=2(l+b) h+l b$

$\begin{aligned}&=2(4+3) \times 2.5+4 \times 3 \mathrm{~m}^{2} \\&=2 \times 7 \times 2.5+12 \mathrm{~m}^{2} \\&=35+12 \mathrm{~m}^{2} \\&.=47 \mathrm{~m}^{2}\end{aligned}$

प्रश्न 9

माचिस की डिब्बी की माप 4 सेमी $\times 2.5$ सेमी $\times 1.5$ सेमी हैं। ऐसी 12 डिब्बियों के एक पैकेट का आयतन क्या होगा?

हल :

लम्बाई =4 सेमी

माना कि माचिस की डिब्नी की लम्बाई $l$, चौड़ाई $b$ तथा ऊँचाई $h$ है। प्रश्नानुसार

$\begin{aligned}l &=4 \mathrm{~cm} \\b &=2.5 \mathrm{~cm} \\h &=1.5 \mathrm{~cm}\end{aligned}$

मांचिस की 1 डिब्बी का आयतन $=l \times b \times h$

$\begin{aligned}&=(4 \times 2.5 \times 1.5) \mathrm{cm}^{3} \\&=15 \mathrm{~cm}^{3}\end{aligned}$

ऐसी ही 12 माचिस की डिब्बियों का आयतन

$\begin{aligned} &=(12 \times 15) \mathrm{cm}^{3} \\ &=180 \mathrm{~cm}^{3} \end{aligned}$

प्रश्न 10. 

एक घनाथाकार पानी की टंकी 6 m लम्बी, $5 \mathrm{~m}$ चौड़ी और $4.5 \mathrm{~m}$ गहरी है। इसमें कितने लीटर पानी आ सकता है ? $\left(1 \mathrm{~m}^{3}=1000 l\right)$

हल : 

प्रश्नानुसार घनाभाकार टंकी में पानी का आयतन = लम्बाई $\times$ चौड़ाई $\times$ ऊँचाई

=6m×5m×4.5m  [∵आयतन=l×b×h]

$=135 \mathrm{~m}^{3}$ $\left[\because 1 \mathrm{~m}^{3}=1000 \right]$लीटर 

=135×1000

=135000 लीटर

प्रश्न 11. 

एक घनाभाकार बर्तन $10 \mathrm{~m}$ लम्बा और $8 \mathrm{~m}$ चौड़ा है। इसको कितना ऊँचा बनाया जाए कि इसमें 380 घन मीटर द्रव आ सके ?

हल : 

माना कि घनाभाकार बर्तन को $h$ मीटर ऊँचा बनाया जाए। घनाभाकार बर्तन में द्रव का आयतन =380 घनमीटर

l×b×h=380 घनमीटर

10×8×h=380

$h=\frac{380}{10 \times 8}$

h=4.75 m

प्रश्न 12.

$8 \mathrm{~m}$ लम्बा, $6 \mathrm{~m}$ चौड़ा और $3 \mathrm{~m}$ गहरा एक घनाभाकार गड्ढा खुदवाने में 30 रुपये प्रति $\mathrm{m}^{3}$ की दर से होने वाला व्यय ज्ञात कीजिए।

हल : 

प्रश्नानुसार

$\begin{aligned}  &=8 \mathrm{~m} \times 6 \mathrm{~m} \times 3 \mathrm{~m} \\ &=144 \mathrm{~m}^{3} \end{aligned}$

∴गडढ़ा खुदवाने का व्यय=144×30=4320 रु.

प्रश्न 13. 

एक घनाभाकार टंकी की धारिता 50000 लीटर पानी की है। यदि इस टंकी की लम्बाई और गहराई क्रमशः $2.5 \mathrm{~m}$ और $10 \mathrm{~m}$ हैं, तो इसकी चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना कि घनाभाकार टंकी की चौड़ाई $=b \mathrm{~m}$ है।

इस टंकी की धारिता $=50000$ लीटर

l×b×h=50000 लीटर 

2.5 m×b×10m=50000

2.5m×b×10m$=\frac{50000}{1000} m^3$  $\left[\because 1 \mathrm{~m}^{3}=1000 \right]$

25b=50

$b=\frac{50}{25}=2 \mathrm{~m}$

प्रश्न 14. 

एक गाँव जिसकी 'जनसंख्या 4000 है, को प्रतिदिन प्रति व्यक्ति 150 लीटर पानी की आवश्यकता' है। इस गाँव में $20 \mathrm{~m} \times 15 \mathrm{~m} \times 6 \mathrm{~m}$ मापों वाली एक टंकी बनी हुई है। इस टंकी का पानी वहाँ कितने दिन के लिए पर्याप्त होगां?

हल : 

गाँव में बनी हुई घनाभाकार टंकी की धारिता=l×b×h

=20m×15m×6m

=1800 $\mathrm{~m}^{3}$ $\left[\therefore 1 \mathrm{~m}^{3}=1000 \right.$लीटर ]

=1800×1000 लीटर

=1800000 लीटर 

प्रतिदिन 1 व्यक्ति को पानी की आवश्यकता =150 लीटर

अत: 4000 व्यक्तियों हेतु प्रतिदिन आवश्यक पानी $=150 \times 4000$ लीटर

=600000 लीटर

पानी की पर्याप्तता =टंकी की धारिता / प्रतिदिन आवश्यक पानी

$=\frac{1800000}{600000}$

=3 दिन।

प्रश्न 15. 

किसी गोदाम की माप $40 \mathrm{~m} \times 25 \mathrm{~m} \times 15 \mathrm{~m}$ हैं। इस गोदाम में $1.5 \mathrm{~m} \times 1.25 \mathrm{~m} \times 0.5 \mathrm{~m}$ की माप वाले लकड़ी के कितने अधिकतम क्रेट (crate) रखे जा सकते हैं?

हल : 

प्रश्नानुसार, घनाभाकार गोदाम का आयतन $=l \times b \times h$

$\begin{aligned}&=40 \mathrm{~m} \times 25 \mathrm{~m} \times 15 \mathrm{~m} \\&=15000 \mathrm{~m}^{3}\end{aligned}$

लकड़ी के क्रेट का आयतन

$\begin{aligned} &=l \times b \times h \\ &=1.5 \mathrm{~m} \times 1.25 \mathrm{~m} \times 0.5 \mathrm{~m} \\ &=0.9375 \mathrm{~m}^{3} \end{aligned}$

अत: गोदाम में रखे जा सकने वाले क्रेटों की संख्या =गोदाम / क्रेट का आयतन

कायतन 

$=\frac{15000}{0.9375}=16000$

प्रश्न 16.

$12 \mathrm{~cm}$ भुजा वाले एक ठोस घन को बराबर आयतन वाले 8 घनों में काटा जाता है। नए घन् की क्या भुजा होगी? साथ ही, इन दोनों घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।

हल :

ठोस घन का आयतन(भुजा)$^{3}$

$\begin{aligned}&=(12 \mathrm{~cm})^{3} \\&=12 \mathrm{~cm} \times 12 \mathrm{~cm} \times 12 \mathrm{~cm} \\&=1728 \mathrm{~cm}^{3}\end{aligned}$

प्रश्नानुसार ठोस घन को बराबर आयतन वाले 8 . घनों में काटा जाता है। अतः प्रत्येक बनने वाले नए घन का आयतन $=\frac{1}{8}$ (मूल घन का आयतन)

$\begin{aligned}&=\frac{1}{8} \times 1728 \mathrm{~cm}^{3} \\&=216 \mathrm{~cm}^{3}\end{aligned}$

नए घन की भुजा$=\sqrt[3]{}$ आयतन 

$\begin{aligned}&=\sqrt[3]{216} \\&=\sqrt[3]{6 \times 6 \times 6} \\&=6 \mathrm{~cm}\end{aligned}$

मूल ठोस घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल =6 भुजा $^{2}$

$\begin{aligned}&=6(12)^{2} \\&=6 \times 12 \times 12 \mathrm{~cm}^{2} \\&=864 \mathrm{~cm}^{2}\end{aligned}$

नए घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $=6$ ( भुजा) $^{2}$.

$\begin{aligned}&=6(6 \mathrm{~cm})^{2} \\&=6 \times 6 \times 6 . \mathrm{cm}^{2}=216 \mathrm{~cm}^{2}\end{aligned}$

प्रश्नानुसार=मूल घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल /  नए घन का पृष्ठीय क्षेत्रफंल 

$=\frac{864}{216}=\frac{4}{1}$

अतः मूल घन तथा नए घन के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात=4 : 1

प्रश्न 17

3 $\mathrm{m}$ गहरी और $40 \mathrm{~m}$ चौड़ी एक नदी $2 \mathrm{~km}$ प्रंति घण्टा की चाल से बह कर समुद्र में गिरती है। एक मिनट में समुद्र में कितना पानी गिरेगा?

हल : 

समुद्र में 1 घण्टे में 2 km लम्बी नदी का पानी गिरता हो, तब एक घण्टे में समुद्र में गिर रहे पानी का आयतन = घनाभ का आयतन

$\begin{aligned}&=l \times b \times h \\&=2000 \mathrm{~m} \times 40 \mathrm{~m} \times 3 \mathrm{~m}[\because 1\mathrm{~km}=1000 \mathrm{~m}] \\&=240000 \mathrm{~m}^{3}\end{aligned}$

यह आयतन 60 मिनट में समुद्र में गिरने वाले पानी का आयतन है। अतः 1 मिनट में समुद्र में गिरने वाले पानी का आयतन

$\begin{aligned}&=\frac{240000}{60} \\&=4000 \mathrm{~m}^{3}\end{aligned}$

उत्तर

प्रश्न 18. 

एक घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई का अनुपात $5: 3: 2$ है। यदि घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 558 सेमी $^{2}$ हो, तो उसकी कोरों का नाप ज्ञात कीजिए।

हल : 

घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई में अनुपात $=5: 3: 2$

माना

घनाभ की लम्बाई $=5 x$

चौड़ाई $=3 x$

ऊँचाई $=2 x$

घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $=558$ सेमी $^{2}$

2[लम्बाई×चौड़ाई+चौड़ाई×ऊँचाई + ऊँचाई×लम्बाई]=558

$\begin{aligned}&2(5 x \times 3 x+3 x \times 2 x+2 x \times 5 x)=558 \\&2\left(15 x^{2}+6 x^{2}+10 x^{2}\right)=558 \\&31 x^{2}=279 \\&x^{2}=9 \\&x=3 \end{aligned}

लम्बाई=5 × 3=15 सेमी

चौड़ाई=3 × 3=9 सेमी 

ऊँचाई=2 × 3=6 सेमी। 

प्रश्न 19. 

एक घनाभ 12 सेमी लम्बा, 9 सेमी चौड़ा और 5 सेमी ऊँचा है। घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन ज्ञात कीजिए।

हल :

घनाभ की लम्बाई =12 सेमी

चौड़ाई $=9$ सेमी

ऊँचाई $=5$ सेमी

और

घनाभ का सम्पूर्ण पृष्टीय क्षेत्रफल=2[लम्बाई×चौड़ाई+चौड़ाई×ऊँचाई + ऊँचाई×लम्बाई]

$\begin{aligned}&=2(12 \times 9+9 \times 5+5 \times 12) \\ &=2(108+45+60) \\ &=2 \times 213 \end{aligned}$

=426 वर्ग सेमी।

घनाभ का आयतन=ल.×चौ.×ऊँ

=12×9×5

=540 घन सेमी।

प्रश्न 20. 

6 मीटर भुजा के वर्गाकार फर्श के कमरे में 180 घन मीटर हवा है। कमरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। हल :

वर्गाकार फर्श की भुजा $=6$ मीटर

वर्गाकार कमरे का क्षेत्रफल $=$ (भुजा) $^{2}$

$=(6)^{2}$

=36 वर्ग मी.

वर्गाकार कमरे में हवा का आयतन =180 घन मी

कमरे की ऊँचाई = आयतन / क्षेत्रफल 

$=\frac{180}{36}$

=5 सेमी।

प्रश्न 21. 

किसी आयता कार वस्तु का आयतन 10368 डेमी $^{3}$ है, इसकी विमाओं में $3: 2: 1$ का अनुपात है। इसकी विमाएँ ज्ञात कीजिए।

हल :

आयताकार वस्तु का आयतन $=10368$ डेसीमीटर $3^{3}$

इसकी विमाएँ $3: 2: 1$ के अनुपात में है, तब

मानालम्बाई $l=3 x$

चैड़ाई $b=2 x$

ऊँचाई $h=x$

$\begin{aligned} \text { आयतन } &=10368 \\ l \times b \times h &=10368 \\ 3 x \times 2 x \times x &=10368 \\ 6 x^{3} &=10368 \end{aligned}$

$x^{3}=\frac{10368}{6}=1728$

$x=12$ डेसीमीदर

$x=12$ डेसीमीटर

लम्बाई $=3 x=3 \times 12=36$ डेसीमीटर

चौड़ाई $=2 x=2 \times 12=24$ डेसीमीटर

ऊँचाई = $x=12$ डेसीमीटर

अतः अभीष्ट विमाएँ 36 डेसीमीटर, 24 डेसीमीटर तथा 12 डेसीमीटर हैं।

उत्तर

प्रश्न 22. 

किसी आयताकार बक्से की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई $1: 2: 3$ के अनुपात में हैं, बक्से का

आयतन ज्ञात कीजिए। यदि सम्पूर्ण पृष्ठ 1078 डेसीमीटर $^{2}$ है।

हल : 

माना आयताकर बक्से की लम्बाई $=x$ डेसीमी

चौड़ाई $=2 x$ डेसीमी

तथा  ऊँचाई $=3 x$ डेसीमी

अब  बक्से का सम्पूर्ण पृष्ठ $=1078$ डेसीमी $^{2}$

2[ल.×चौ.+चौ.×ऊँ.+ऊँ.×ल.]=1078

 2(x \times 2 x+2 x \times 3 x+3 x \times x) &=1078

$2 x^{2}+6 x^{2}+3 x^{2}=539$

$11 x^{2}=539$

$x^{2}=49$

x=7 लम्बाई

=7 डेसीमी

चौड़ाई $=2 \times 7=14$ डेसीमी

ऊँचाई $=3 \times 7=21$ डेसीमी

बक्से का आयतन = ल. $\times$ चौ. $\times$ ऊँ.

$=7 \times 14 \times 21$

=2058 घन सेमी।

प्रश्न 23. 

एक ईंट की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 18 सेमी, 12 सेमी तथा 10 सेमी हैं । 12 मीटर लम्बी, 6 डेसीमीटर' चौड़ी तथा $4.5$ मीटर ऊँची दीवार में ऐसी कितनी इटें लगेंगी, यदि दीवार का $\frac{1}{10}$ भाग मसाले से भरा हो ?

हल :

दीवार का आयतन 

$=\frac{12 \times 6 \times 45}{10 \times 10}$ घन मीटर

$=\frac{162}{5}$ घन मीटर

मसाले के द्वारा घिरा आयतन $=\frac{162}{5} \times \frac{1}{10}$

$=\frac{81}{25}$ घन मीटर

केवल ईटों द्वारा घिरा आयतन $=\left(\frac{162}{5}-\frac{81}{25}\right)$ घन मीटर

$=\frac{729}{25}$ घन मीटर

ईट का आयतन $=18 \times 12 \times 10$ घन सेमी

$=\frac{2160}{1000000}$ घन मीटर

कुल ईंटों की संख्या $=\frac{729 \times 1000000}{25 \times 2160}$ 

=13500

कुल प्रयुक्त इटें =13500

उत्तर

प्रश्न 24.

25 मीटर लम्बे तथा $13.5$ मीटर चौड़े एक मैदान के केन्द्र में एक तालाब 5 मी. $\times 4.5$ मी. $\times 2 \cdot 1$ मी. विमाओं का खोदा गया है । इससे निकली मिद्टी को मैदान के शेष भाग पर समान रूप में फैला दिया ग़या है, बताइए मैदान कितना ऊँचा उठ जायगा ?

हल :

तालाब का आयतन $=5 \times 4.5 \times 2.1$ घन मीटर

=47.25 घन मींटर

खोदी गई मिट्टी का आयतन =47.25 घन मीटरं

मैदान का क्षेत्रफल

=25×13.5=337.5 वर्ग मीटर

तालाब के आधार का क्षेत्रफल $=5 \times 4.5$

=22.5 वर्ग मीटर

शेष मैदान का क्षेत्रफल =337.5-22.5

=315 वर्ग मीटर

मैदान में फैलाई गई मिट्टी की ऊँचाई =खोदी गई मिद्टी का आयतन / शेष मैदान का क्षेत्रफल

$=\frac{47.25}{315}$=15

=15 सेमी 

अभीष्ट मिट्टी की ऊँचाई =15 सेमी ।

प्रश्न 25. 

किसी घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठ 846 वर्ग सेमी है । यदि इसकी लम्बाई, चौड़ाई तथा ऊँचाई का अनुपात $5: 4 .: 3$ है, तो घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई तथा ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।

हल : 

माना घनाभ की लम्बाई $=l$, चौड़ाई $=b$, तथा ऊँचाई $=h$ है, तब

$\begin{aligned}l: b: h &=5: 4: 3 \\l &=5 x \\b &=4 x \\h &=3 x\end{aligned}$

घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठ $=2[l b+b h+h]]=846$

$\begin{aligned} 2[5 x \times 4 x+4 x \times 3 x+3 x \times 5 x] &=846 \\ 20 x^{2}+12 x^{2}+15 x^{2} &=\frac{846}{2}=423 \\ 47 x^{2} &=423 \\ x^{2} &=\frac{423}{47}=9 \end{aligned}$

x=3 

लम्बाई=5x=5×3=15 सेमी

चौड़ाई $=4 x=4 \times 3=12$ सेमी

ऊँचाई $=3 x=3 \times 3=9$ सेमी

अत: अभीष्ट लम्बाई, चौड़ाई तथा ऊँचाई 15 सेमी, 12 सेमी तथा 9 सेमी हैं ।