Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 12 वृत्तो से सम्बन्धित क्षेत्रफल (Area Related to the Circles) प्रश्नावली 12 (D)

 प्रश्नावली 12 (D)

बहुविकल्पिय प्रश्न

प्रत्येक प्रश्न के चार उत्तर दिये हैं। सही उत्तर छाँटकर लिखिए।

प्रश्न 1. 

एक वृत्ताकार मार्ग के बाहरी और भीतरी व्यास क्रमशः 8 मीटर हैं। उसके दोनों तरफ तार खींचा जायं तो उसकी लम्बाई होगी :

(A) $28 \pi$ मीटर

(B) $14 \pi$ मीटर

(C) $12 \pi$ मीटर

(D) $4 \pi$ मीटर

हल : 

वृत्ताकार मार्ग का बाहरी व्यास $=8$ मीटर

बाहरी त्रिज्या $=4$ मीटर

और भीतरी त्रिज्या $=3$ मीटर

बाहरी तरफ खींचे गये तार की लम्बाई $=2 \pi \times 4$

$=8 \pi$ मीटर

और भीतरी तरफ खींचे गये तार की लम्बाई $=2 \pi \times 3$

$=6 \pi$ मीटर

अब दोनों तरफ खींचे गये तार की कुल लम्बाई $=8 \pi+6 \pi$

$=14 \pi$ मीटर

अतः विकल्प (B) सही है। उत्तर

प्रश्न 2. 

एक वृत्ताकार ट्रे का व्यास 16 सेमी है, तो बताइए वह मेज पर जगह घेरेगी:

(A) $64 \pi$ वर्ग सेमी

(B) $256 \pi$ वर्ग सेमी

(C) $16 \pi$ वर्ग सेमी

(D) $8 \pi$ वर्ग सेमी

हल :

एक वृत्ताकार ट्रे का व्यास $=16$ सेमी

- त्रिज्या, $r=\frac{16}{2}=8$ सेमी

मेज पर द्रे द्वारा घेरा गया स्थान $=4 \pi r^{2}$

$=256 \pi$ वर्ग सेमी

अतः विकल्प (B) सही है।

उत्तर

प्रश्न 3. 

दो संकेन्द्रीय' वृत्तों के व्यास क्रमशः 8 सेमी और 10 सेमी हैं। उनके बीच के भाग का क्षेत्रफल होगा-

(A) $\pi\left(5^{2}-4^{2}\right)$ वर्ग सेमी

(B) $\pi\left(10^{2}-8^{2}\right)$ वर्ग सेमी

(C) $\pi\left(20^{2}-16^{2}\right)$ वर्ग सेमी

(D) $\pi(\mathbf{1 0 - 8})$ वर्ग सेमी

हल :

माना बड़े वृत्त की त्रिज्या, $r_{1}=\frac{10}{2}$ सेमी

$=5$ सेमी

तथा छोटे वाले वृत्त की त्रिज्या, $r_{2}=\frac{8}{2}$ सेमी

$=4$ सेमी

$\therefore \quad$ दोनों वृत्तों के बीच के भाग का क्षेत्रफल $=\pi\left(r_{1}{ }^{2}-r_{2}{ }^{2}\right)$

$=\pi\left(5^{2}-4^{2}\right)$ वर्ग सेमी

अतः विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 4. 

पार्श्व के चित्र में दिये हुए आकार $\mathrm{OAB}$ को कहते हैं :

(A) त्रिभुज

(B) त्रिज्यखण्ड

(C) जीवा

(D) चाप

उत्तर-

दिए गए चित्र में आकार $\mathrm{OAB}$ को त्रिज्यखण्ड कहते हैं। अतः विकल्प (B) सही है। 

प्रश्न 5. 

एक वृत्त का क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी है, उसकी त्रिज्या होगी :

(A) 14 सेमी

(B) 7 सेमी

(C) $154.4$ सेमी

(D) 11 सेमी।

हल : 

दिए गए वृत्त का क्षेत्रफल $=154$ वर्ग सेमी

अर्थात्

$\begin{aligned}\pi r^{2} &=154 \\r^{2} &=\frac{154 \times 7}{22}\end{aligned}$

r=7 सेमी 

अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 6. 

यदि वृत्त की त्रिज्या $100 \%$ बढ़ा दी जाये तो इसका क्षेत्रफल पहले क्षेत्रफल से होगा-

(A) दुगुना

(B) बराबर

(C) चौगुना

(D) तिगुना .

हल : 

माना वृत्त की त्रिज्या $=r$ हो, तब

वृत्त का क्षेत्रफल $=\pi r^{2}$

वृद्धि करने के बाद त्रिज्या 

$\begin{aligned} &=r+\frac{100}{100} r \\ &=2 r \end{aligned}$

$\therefore $जब त्रिज्या $2 r$ हो, तब क्षेत्रफल $=\pi(2 r)^{2}$

$=4 \pi r^{2}$

$=4 \times$ वृत्त का क्षेत्रफल

अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 7. 

यदि वृत्त की त्रिज्या $100 \%$ बढ़ा दी जाये तो इसके क्षेत्रफल में वृद्धि होगी :

(A) $400 \%$

(B) $300 \%$

(C) $200 \%$

(D) $100 \%$

हल : 

प्रश्न 6 के हल की भाँति,

वृत्त के क्षेत्रफल में वृद्धि $=\frac{4 \pi r^{2}-\pi r^{2}}{\pi r^{2}} \times 100 \%$

$\begin{aligned}&=\frac{3 \pi r^{2}}{\pi r^{2}} \times 100 \% \\&=300 \%\end{aligned}$

अतः विकल्प (B) सही है। उत्तर

प्रश्न 8. 

यदि वृत्त की त्रिज्या $50 \%$ कम कर दी जाये तो इसके क्षेत्रफल में कमी होगी-

(A) $75 \%$

(B) $25 \%$

(C) $\mathbf{5 0 \%}$

(D) $100 \%$.

हल : 

माना वृत्त की त्रिज्या $=r$ हो, तब

वृत्त का क्षेत्रफल $=\pi r^{2}$

नवीन त्रिज्या $=r-\frac{50}{100} r=\frac{r}{2}$,

नवीन वृत्त का क्षेत्रफल $=\pi\left(\frac{r}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4} \pi r^{2}$

 क्षेत्रफल में कमी

$\begin{aligned}  &=\frac{\pi r^{2}-\frac{1}{4} \pi r^{2}}{\pi r^{2}} \times 100 \% \\ &=\frac{3 \pi r^{2}}{4 \pi r^{2}} \times 100 \%=75 \% \end{aligned}$

अतः विकल्प (A) सही है। उत्तर

प्रश्न 9.

 एक वृत्त की परिधि $50 \%$ कम कर दी जाये तो इसके क्षेत्रफल में कमी होगी-

(A) $\mathbf{5 0 \%}$

(B) $\mathbf{7 5 \%}$

(C) $25 \%$

(D) बिल्कुल नहीं

हल :

माना वृत्त की त्रिज्या =r हो, तब वृत्त की परिधि $=2 \pi r$

कमी के बाद परिधि 

$\begin{aligned}&=2 \pi r-\frac{50}{100} 2 \pi r \\&=\frac{1}{2} \times 2 \pi r=\pi r\end{aligned}$

या नवीन त्रिज्या $=\frac{C}{\pi}$

क्षेत्रफल में कमी $=\frac{\pi\left(\frac{\mathrm{C}}{\pi}\right)^{2}-\pi\left(\frac{\mathrm{C}}{2 \pi}\right)^{2}}{\pi\left(\frac{\mathrm{C}}{\pi}\right)^{2}} \times 100 \%$

$\begin{aligned}=& \frac{\frac{C^{2}}{\pi^{2}}-\frac{C^{2}}{4 \pi^{2}}}{\frac{C^{2}}{\pi^{2}}} \times 100 \% \\=& \frac{\frac{C^{2}}{\pi^{2}}\left[1-\frac{1}{4}\right]}{\frac{C^{2}}{\pi^{2}}} \times 100 \% \\=& \frac{3}{4} \times 100 \% \\=& 75 \% \end{aligned}$

अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 10. 

यदि वृत्त की त्रिज्या $a$ है, तो वृत्त की परिधि होगी-

(A) $\pi a$

(B) $2 \pi a$

(C) $\frac{\pi a}{2}$

(D) $2 \pi^{2}$

हल :

वृत्त की त्रिज्या $=a$

$\therefore$ वृत्त की परिधि $=2 \pi a$

अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 11. 

वृत्त का व्यास R सेमी हो तो उसका क्षेत्रफल होगा-

(A) $\pi R^{2}$ वर्ग सेमी

(B) $\frac{1}{2} \pi R^{2}$ वर्ग सेमी

(C) $\frac{1}{4} \pi R^{2}$ वर्ग सेमी

(D) $2 \pi \mathrm{R}^{2}$ वर्ग सेमी

हल : 

दिया है :वृत्त का व्यास $=\mathrm{R}$ सेमी

त्रिज्या $=\frac{\mathrm{R}}{2}$ सेमी

∴वृत्त का क्षेत्रफल

$\begin{aligned} &=\pi\left(\frac{\mathrm{R}}{2}\right)^{2} \\ &=\frac{1}{4} \pi \mathrm{R}^{2} \end{aligned}$

अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 12. 

एक वृत्ताकार खेल के मैदान की त्रिज्या 7 मीटर है तो खेल के मैदान के 10 चक्कर लगाने में दूरी तय करनी होगी।

(A) $70 \pi$ मीटर

(B) 220 मीटर

(C) 700 मीटर

(D) 440 मीटर

हल : 

वृत्ताकार खेल के मैदान की त्रिज्या $=7$ मीटर

$\because \quad 1$ चक्कर में तय की गयी दूरी $=2 \pi \times 7$

$\therefore \quad 10$ चक्कर में तय की गयी दूरी $=2 \pi \times 7 \times 10$

$=2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 10$

$=440$ मीटर

अतः विकल्प (D) सही है।उत्तर

प्रश्न 13. 

उस वृत्त की परिधि, जिसकी त्रिज्या 14 सेमी है, होगी :

(A) 22 सेमी

(B) 44 सेमी

(C) 88 सेमी

(D) 132 सेमी

हल : 

दिया है :

वृत्त की त्रिज्या $=14$ सेमी

$\therefore$  वृत्त की परिधि  =2𝛑त्रिज्या 

$=2 \times \frac{22}{7} \times 14$

=88  सेमी 

अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 14. 

एक गाय मैदान में रस्सी द्वारा खूँटी से बँधी है। यदि रस्सी की लम्बाई 14 मीटर हो तो वह जिस हिस्से की घास चर सकती है, उसका क्षेत्रफल होगा-

(A) 44 वर्ग मीटर

(B) 88 वर्ग मीटर

(C) 308 वर्ग मीटर

(D) 616 वर्ग मीटर।

हल : 

रस्सी की लम्बाई, अर्थात् त्रिज्या $=14$ मीटर

रस्सी द्वारा घास चरने वाले स्थान का क्षेत्रफल=𝛑 त्रिज्या $^{2}$

$=\frac{22}{7} \times 14 \times 14$

=616 वर्ग मी।

अतः विकल्प (D) सही है। उत्तर

प्रश्न 15. 

आकृति में, एक चतुर्थांश $O P B Q$ के अन्तर्गत एक वर्ग $O A B C$ बना हुआ है। यदि $O A=20$ सेमी है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए $(\pi=3.14$ लीजिए। $)$

हल : 

$\because \mathrm{OABC}$ एक वर्ग है जिसकी जिसकी प्रत्येक भुजा 20 सेमी. है। यदि वर्ग का विकर्ण $O B$ हो, तो समकोण $\triangle O A B$ में,

$\mathrm{OB}^{2}=\mathrm{OA}^{2}+\mathrm{AB}^{2}$ (पाइथागोरस प्रमेय से)

$\begin{aligned} &=(20)^{2}+(20)^{2}=400+400 \\ \mathrm{OB}^{2} &=800  \end{aligned}$

OB$=20 \sqrt{2}$ सेमी.

वर्ग के विकर्ण OB की लम्बाई चतुर्थांश $\mathrm{OPBQ}$ की त्रिज्या, r के बराबर होगी, अर्थात् $r=20 \sqrt{2}$ सेमी. अब

चतुर्थांश OPBQ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{4} \pi r^{2}$

$=\frac{1}{4} \times 3.14 \times 800 $

=3.14 ×200

=628 वर्ग सेमी.

वर्ग OABC का क्षेत्रफल वर्ग की भुजा $^{2}=(20)^{2}$

=400 वर्ग सेमी.

छायांकित भाग का क्षेत्रफल =(628-400) वर्ग सेमी.

=228 वर्ग सेमी.।

प्रश्न 16. 

आकृति में, ABC त्रिज्या 14 सेमी. वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है तथा BC को व्यास मानकर एक अर्ब्बवृत्त खींचा गया है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :

दिए गए चित्र में चतुर्थांश ABC की त्रिज्या, $r=14$ सेमी.

$\therefore$  चतुर्थाश ABC का क्षेत्रफल  

$\begin{aligned}&=\frac{1}{4} \pi r^{2} \\&=\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14  \end{aligned}$

=154 वर्ग सेमी.

समंकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times$ लम्ब $\times$ आधार

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2} \times 14 \times 14\end{aligned}$

=98 वर्ग सेमी.

समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

AB=AC=14  सेमी.

$\begin{aligned} \angle \mathrm{BAC} &=90^{\circ} \\ \mathrm{BC}^{2} &=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2} \end{aligned}$ (पाइथागोरस प्रमेय से)

$\begin{aligned}&=(14)^{2}+(14)^{2} \\&=196+196 \\\mathrm{BC}^{2} &=392 \\\mathrm{BC} &=14 \sqrt{2}\\&=14 \sqrt{2}\end{aligned}$

BC अर्द्धवृत्त की त्रिज्या  $=\frac{14 \sqrt{2}}{2}$ 

$=7 \sqrt{2}$ सेमी.

अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 7 \sqrt{2} \times 7 \sqrt{2}$ 

=154 वर्ग सेमी.

अतः छायांकित भाग का क्षेत्रफल 98 वर्ग सेमी. है।

प्रश्न 17. 

आकृति में, छायांकित डिजाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जो 8 सेमी. त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों के चतुर्थाशों के बीच उभयनिष्ठ है।

हल : 

माना दो चतुर्थांश $\mathrm{ABMD}$ तथा $\mathrm{BNDC}$ हैं जिसकी त्रिज्या 8 सेमी. है।

दोनों चतुर्थांशों के क्षेत्रफल $=2 \times \frac{1}{4} \pi r^{2}$

$=\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 8 \times 8$

$=\frac{704}{7}$ वर्ग सेमी.

वर्ग ABCD का क्षेत्रफल =भुजा $^{2}$

=8×8=64 वर्ग सेमी.

छायांकित डिजाइन का क्षेत्रफल = दोनों चतुर्थांशों के क्षेत्रफल - वर्ग $\mathrm{ABCD}$ का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\left(\frac{704}{7}-64\right)  \\&=\left(\frac{704-448}{7}\right) \end{aligned}$

$=\frac{256}{7}$ वर्ग सेमी.

उत्तर

Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 12 वृत्तो से सम्बन्धित क्षेत्रफल (Area Related to the Circles) प्रश्नावली 12 (C)

प्रश्नावली 12 (C)

 प्रश्न 1. 

आकृति में, छयांकित' भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि PQ=24 सेमी., PR=7 सेमी. तथा 0 वृत्त का केन्द्र है।

हल : 

दिया है :

PQ=24 सेमी.

PR=7 सेमी.

$\because$ हम जानते हैं कि अर्द्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है अर्थात्  

$\therefore \quad \angle \mathrm{RPQ}=90^{\circ}$

समकोण $\triangle \mathrm{RPQ}$ में, 

$\mathrm{QR}^{2}=\mathrm{PR}^{2}+\mathrm{PQ}^{2}$ (पाइथागोरस प्रमेय से)

$\begin{aligned}&=(7)^{2}+(24)^{2}=49+576 \\\mathrm{QR}^{2} &=625\end{aligned}$

QR व्यास =25 सेमी.

वृत्त की त्रिज्या =OR=OQ$=\frac{25}{2}$ सेमी.

$\therefore$ अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल

$=\frac{1}{2} \times$ वृत्त का क्षेत्रफल

$=\frac{1}{2} \times \pi r^{2}$

$=\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times \frac{25}{2} \times \frac{25}{2}=\frac{6875}{28} \cdot$ वर्ग सेमी.

और $\mathrm{PQR}$ समकोण का क्षेत्रफल

$=\frac{1}{2} \times$ लम्ब $\times$ आधार

$=\frac{1}{2} \times 24 \times 7=84$ वर्ग सेमी.

अतः छायांकित भाग का क्षेत्रफल

$=$ अर्द्ध वृत्त का क्षेत्रफल - संमकोणं $\triangle \mathrm{PQR}$ का क्षेत्रफल

$=\frac{6875}{28}-84$

$=\frac{6875-2352}{28}=\frac{4523}{28} .$ वर्ग सेमी.

प्रश्न 2. 

आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जहाँ भुजा 12 सेमी. वाले एक समबाहु त्रिभुज $\mathrm{OAB}$ के शीर्ष $\mathrm{O}$ को केन्द्र मानकर 6 सेमी. त्रिज्या वाला एक वृत्तीय चाप खींचा गया है।

हल : 

समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा $=12$ सेमी.

$\because$ समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ तथा कोण समान होते हैं।

इसलिए समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण $=60^{\circ}$

$\therefore$ समबाहु त्रिभुज $\mathrm{OAB}$ का क्षेत्रफल $=\frac{\sqrt{3}}{4}$×भुजा $^{2}$

$=\frac{\sqrt{3}}{4} \times 12 \times 12$

$=36 \sqrt{3}$ वर्ग सेमी.

समबाहु त्रिभुज के शीर्ष O को केन्द्र मानकर एक वृत्त खींचा गया है जिसकी त्रिज्या,

r=6 सेमी. 

तथा दीर्घ त्रिज्यखण्ड का कोण $=360^{\circ}-60^{\circ}=300^{\circ}$

दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\frac{\theta}{360^{\circ}} \pi r^{2} \\ &=\frac{300^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 6 \times 6 \end{aligned}$

$=\frac{660}{7}$ वर्ग सेमी. 

अब छयांकित' भाग का क्षेत्रफल = समबाहु $\triangle \mathrm{AOB}$ का क्षेत्रफल + दीर्घ त्रिज्यखण्ड' का क्षेत्रफल 

$=\left(36 \sqrt{3}+\frac{660}{7}\right) $ वर्ग सेमी

प्रश्न 3. 

दी गयी आकृति एक दौड़ने का पथ दर्शाती है, जिसके बायें और दायें सिरे अर्ब्दवृत्ताकार हैं। दोनों आन्तरिक समान्तर रेखाखण्डों के बीच की दूरी 60 मी. है तथा इनमें से प्रत्येक रेखाखण्ड' 106 मी. लम्बा है। यदि यह पथ 10 मी. चौड़ा है, तो ज्ञात कीजिए :

(i) पथ के आन्तरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में चली गयी दूरी।

(ii) पथ का क्षेत्रफल।

हल : 

माना OB=O'C=30 मी.

AB=CD=10 मा.

OA=OD=(30+10) मी. =40 मी.

(i) पथ के आन्तरिक किनारों के अनुदिश 1 चक्कर की दूरी

=BC+EH+2×अर्द्धवृत्त की परिधि 

$\begin{aligned}&=106+106+2 \times \frac{1}{2} \times 2 \pi \times 30 \\&=212+2 \times \frac{22}{7} \times 30 \\&=212+\frac{1320}{7} \\&=\frac{1484+1320}{7}\end{aligned}$

$=\frac{2804}{7} $ मीटर 

(ii) ∵ वृत्ताकार भागों की आन्तरिक त्रिज्या  OB=30 मी.

और पथ की चौड़ाई =10 मी.

वृत्ताकार पथ भागों की बाह्य त्रिज्या

=(30+10)  मी. =40 मी. 

∴ दोनों वृत्ताकार भागों का क्षेत्रफल=𝝅[बाह्य त्रिज्या$^{2}$-आन्तरिक त्रिज्या$^{2}$]

$\begin{aligned}&=\pi\left[(40)^{2}-(30)^{2}\right] \\&=\pi(40+30)(40-30) \end{aligned}$

=2200 वर्ग सेमी

वृत्ताकार भागों के अतिरिक्त पथ का क्षेत्रफल

=2×(लम्बाई × पथ की चौड़ाई)

$=2 \times 106 \times 10^{\circ}$

=2120 वर्ग मी. 

∴पथ का कुल क्षेत्रफल =(2200+2120) वर्ग मी. 

=4320 वर्ग मी.।

प्रश्न 4.

 एक समबाहु त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ का क्षेत्रफल $17320.5$ वर्ग सेमी. है। इस त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष को केन्द्र मानकर त्रिभुज की भुजा के आधे के बराबर की त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचा जाता है (देखिए आकृति में)। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। $(\pi=3.14$ और $\sqrt{3}=1.73205$ लीजिए D)

हल : 

∵ABC एक समबाहु त्रिभुज है।

∵समबाहु त्रिभुज की आधी भुजा को त्रिज्या माना है

माना त्रिज्या r हो तो समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा=AB=r+r=2r

$\because$ समबाहु $\Delta$ का क्षेत्रफल

=17320.5 वर्ग सेमी.

$\frac{\sqrt{3}}{4} \times$ भुजा $^{2}=17320.5

$\begin{aligned}(2 r)^{2} &=\frac{17320.5 \times 4}{\sqrt{3}} \\ 4 r^{2} &=\frac{17320.5 \times 4}{1.73205} \\ r^{2} &=\frac{40000}{4} \\ r &=\sqrt{10000} \end{aligned}$

=100 सेमी.

$\because$ समबाहु $\Delta$ में प्रत्येक का कोण बनता है अर्थात् प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का कोण, $\theta=60^{\circ}$ और त्रिज्या, r=100 सेमी.

तीन वृत्त दिए गए हैं।

तीनों वृत्तों के त्रिज्यखण्डों का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=3 \times \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 3.14 \times 100 \times 100 \\&=3.14 \times 50 \times 100\end{aligned}$

=15700 वर्ग सेमी.

अब छायांकित भाग का क्षेत्रफल

= समबाहु $\triangle \mathrm{ABC}$ का क्षेत्रफल - तीनों त्रिज्यखण्डों का क्षेत्रफल 

=17320.50-15700 

=1620.5 वर्ग सेमी.। उत्तर

प्रश्न 5. 

आकृति में, OACB केन्द्र O और त्रिज्या 3.5 सेमी. वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है। यदि OD=2 सेमी. है, तो निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :

(i) चतुर्थांश OACB,

(ii) छायांकित भाग।

हल : 

∵ दिए गए चतुर्थांश BOA की त्रिज्या, r=3.5 सेमी.

r=3.5 सेमी.

(i) अतः चतुर्थाश OACB का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\frac{1}{4} \pi r^{2} \\&=\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \\&=\frac{11}{14} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\end{aligned}$

$=\frac{77}{8}$ वर्ग सेमी.

उत्तर

(ii) $\therefore \Delta \mathrm{OBD}$ का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2} \times O B \times O D \\&=\frac{1}{2} \times r \times 2 \\&=\frac{1}{2} \times 3.5 \times 2\end{aligned}$

$=\frac{7}{2} $ वर्ग सेमी. 

अब छायांकित भाग = चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल $-\triangle \mathrm{OBD}$ का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\left(\frac{77}{8}-\frac{7}{2}\right) \\&=\left(\frac{77-28}{8}\right)  \end{aligned}$

$=\frac{49}{8}$ वर्ग सेमी.

उत्तर

प्रश्न 6. 

AB और CD केन्द्र O तथा त्रिज्याओं 21 सेमी. और 7 सेमी. वाले दो संकेन्द्रीय वृत्तों के क्रमशः दो चाप हैं (देखिए आकृति में)। यदि $\angle \mathrm{AOB}=30^{\circ}$ है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

मान लीजिए दोनों त्रिज्यखण्डों के क्षेत्रफल क्रमशः OAB तथा OCD हैं, तो त्रिज्यखण्ड OAB के लिए $\theta=30^{\circ}$

तथा त्रिज्या, r=21 सेमी.

∴ त्रिज्यखण्ड OAB का क्षेत्रफल $=\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$

$\begin{aligned}&=\frac{30^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \end{aligned}$

$=\frac{231}{2}$ वर्ग सेमी.

त्रिज्यखण्ड' OCD के लिए $\theta=30^{\circ}$

त्रिज्या, r=7 सेमी.

त्रिज्यखण्ड OCD का क्षेत्रफल $=\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$

$\begin{aligned}&=\frac{30^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \end{aligned}$

$=\frac{77}{6} $ वर्ग सेमी.

अब छायांकित' भाग का क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड OAB का क्षेत्रफल - त्रिज्यखण्ड' OCD का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\left(\frac{231}{2}-\frac{77}{6}\right)  \\&=\left(\frac{693-77}{6}\right)\\&=\frac{616}{6}\end{aligned}$

$ =\frac{308}{3}$ वर्ग सेमी.

प्रश्न 7.

 एक वृत्ताकार मे जपोश', जिसकी त्रिज्या 32 सेमी. है, में बीच में एक समबाहु त्रिभुज ABC छोड़ते हुए एक डिजाइन बना हुआ है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। इस डिजाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

दिया है : ABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसका प्रत्येक कोण

$\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}=60^{\circ}$

OB, OC तथा OA वृत्ताकार मेजपोश की त्रिज्याएँ हैं अर्थात्

OB=OC=OA=32 सेमी.  

$\triangle \mathrm{OBD}$ में,

$\begin{aligned} \sin 60^{\circ} &=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{OB}} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} &=\frac{\mathrm{BD}}{32}  \end{aligned}$

BD$=16 \sqrt{3}$ सेमी

$\begin{aligned} \cos 60^{\circ} &=\frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{OB}} \text { or } \frac{1}{2}=\frac{\mathrm{OD}}{32} \\ \mathrm{OD} &=16 \\ \mathrm{BC} &=2 \times \mathrm{BD}=2 \times 16 \sqrt{3}=32 \sqrt{3} \end{aligned}$

अर्थात् समबाहु त्रिभुज की भुजा

$=32 \sqrt{3}$ सेमी 

अब समबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल

$=\frac{\sqrt{3}}{4}$ ×  भुजा $^{2}$

$=\frac{\sqrt{3}}{4} \times(32 \sqrt{3})^{2}$

$=\frac{32 \times 32 \times 3 \sqrt{3}}{4}=768 \sqrt{3}$ वर्ग सेमी.

वृत्ताकार मेजप्पेश' का क्षेत्रफल $=\pi r^{2}$

$=\frac{22}{7} \times 32 \times 32$

$=\frac{22528}{7}$ वर्ग सेमी.

छायांकित भाग का क्षेत्रफल =मे जपोश का क्षेत्रफल -  समबाहु Δ का क्षेत्रफल

$=\left(\frac{22528}{7}-768 \sqrt{3}\right) $ वर्ग सेमी.। 

प्रश्न 8

एक वर्गाकार लोहे की चद्दर की भुजा 7 मीटर है। इसमें से बड़े से बड़ा वृत्ताकार टुकड़ा काट लिया गया है। इस टुकड़े का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए और यह भी बताइए कि लोहे का कितना क्षेत्रफल शेष रह गया ?

हल : 

वर्गाकार लोहे की चद्दर की भुजा =7 मी

वर्गाकार लोहे की चद्दर का क्षेत्रफल =भुजा$^{2}$

$=(7)^{2}=49$ वर्ग मीटर

वृत्त की त्रिज्या $=\frac{7}{2}$ मीटर

∴  वृत्ताकार टुकड़े का क्षेत्रफल =𝛑×त्रिज्या  $^{2}$

$\begin{aligned} &=\pi \times\left(\frac{7}{2}\right)^{2} \\ &=\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \\ &=\frac{77}{2}\end{aligned}$

=38.5 वर्ग मीटर

अब सम्मूर्ण वर्ग में शेष बचे भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल - वृत्ताकार टुकड़े का क्षेत्रफल

=49-38.5=10.5 वर्ग मीटर।

प्रश्न 9. 

एक आयत तथा ऊपर की ओर उसकी चौड़ाई वाली भुजा पर बने हुए अर्द्धवृत्त की आकार में हमारे स्कूल का मुख्य दरवाजा है। दरवाजे की चौड़ाई 4 डेसीमी और सबसे अधिक ऊँचाई 10 डेसीमी है। दरवाजे का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

दरवाजे की चौड़ाई  = अर्द्धवृत्ताकार भाग का व्यास =4 डेसीमी

अर्थात् अर्द्धवृत्ताकार भाग की त्रिज्या =2 डेसीमी

∴ अर्द्ध वृत्ताकार भाग का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \pi \times(2)^{2}$

$=\frac{44}{7}$ वर्ग डेसीमी

अब आयताकार भाग की लम्बाई =10-2=8 डेसीमी.

और चौड़ाई =4 डेसीमी.

आयताकार भाग़ का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

=8×4=32 वर्ग डेसीमी

अतः दरवाजे का क्षेत्रफल = अर्द्धवृत्ताकार भाग का क्षेत्रफल + आयताकार भाग का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\frac{44}{7}+32 \\&=6.29+32\end{aligned}$

=38.29 वर्ग डेसीमी.।

प्रश्न 10. 

गुलाब के पौधे की एक क्यारी दिये हुए चित्र के समान है। चित्र में एक वर्ग की प्रत्येक भुजा पर एक अर्द्धवृत्त बना हुआ है। वर्ग की भुजा 21 मीटर है। यदि प्रत्येक गुलाब के पौधे के लिए 6 वर्ग मीटर स्थान की आवश्यकता' हो, तो पौधों की संख्या बताइए।

हल : 

वर्ग की भुजा =अर्द्धवृत्त का व्यास

=21 मीटर 

अर्द्धवृत्त की त्रिज्या $=\frac{21}{2}$ मीटर

=10.5 मीटर

एक अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5$

=173.25 वर्ग मीटर

इसलिए चार अर्द्धवृतों के क्षेत्रफल $=4 \times 173.25$ वर्ग मी. =693 वर्ग मीटर

वर्ग का क्षेत्रफल =भुजा ^{2}=(21)^{2}=441$ वर्ग मीटर

पूरी क्यारी का क्षेत्रफल =(693+441) वर्ग मी =1134 वर्ग मीटर

पौधों की संख्या $=\frac{1134}{6}=189$.

प्रश्न 11.

 चाँदी की चादर 5 सेमी लम्बी और 2 सेमी चौड़ी है। इसमें $0.5$ सेमी व्यास के वृत्त जैसे टुकड़े के बटन बनाने के लिए काटे गए है। बताइए कुल कितने बटन बनाए जा सकते हैं ?

हल : 

चाँदी की चादर की लम्बाई $=5$ सेमी 

और चौड़ाई =2 सेमी

बटन के प्रत्येक टुकड़े का व्यास $=0.5$ सेमी

पंक्ति में लम्बाई के सापेक्ष बटनों की संख्या $=\frac{5}{0.5}=10$

स्तम्भ में चौड़ाई के सापेक्ष बटनों की संख्या $=\frac{2}{0.5}=4$

चादर में कुल बटनों की संख्या $10 \times 4=40$.

प्रश्न 12.

 निम्नलिखित' चित्र में छायादार भाग में एवं बीच में दो वृत्तों से बने सफेद भाग में घास लगायी गई है। घास लगाने का व्यय 0.35 रु. प्रति वर्ग मीटर की दर से ज्ञात कीजिए।

हल : 

चूँकि छायादार भाग अर्द्धवृत्ताकार है, जिसकी त्रिज्या $=3$ मी

$\therefore \quad$ छायादार भाग का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 9$

छायादार भाग में घास लगवाने का व्यय $=\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 9 \times 0.35$

=4.95

चूँकि एक आयत् दिया गया है, जिसकी लम्बाई =3+3=6 मी तथा चौड़ाई =3 मी.

आयत में दिए गए छायादार भाग का क्षेत्रफल = आयत का क्षेत्रफल - दो चतुर्थाशों में क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=18-\frac{2}{4} \times \frac{22}{7} \times 9=18-\frac{99}{7}\end{aligned}$ $=\frac{27}{7}$ वर्ग मी 

आयत वाले भाग का व्यय $=\frac{27}{7} \times 0.35$=1.35

कुल व्यय =4.95+ 135= 6.30

प्रश्न 13. 

आकृति में, 56 मीटर भुजा वाले एक वर्गाकार लॉन ABCD के दो ओर बनी हुई दो वृत्ताकार फूलों की क्यारियाँ दर्शाई गई हैं। यदि प्रत्येक वृत्ताकार क्यारी का केन्न्र लॉन के विकर्णों का प्रतिच्छेद बिन्दु $\mathbf{O}$ है, तो वर्गाकार लॉन तथा फूलों की क्यारियों के क्षेत्रफलों का योग ज्ञात कीजिए।

$\left(\pi=\frac{22}{7}\right.$ का प्रयोग कीजिए।

हल : 

वर्गाकार लॉन ABCD का क्षेत्रफल $=56 \times 56$ वर्ग मीटर

 माना $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=x$ मीटर

अतः $x^{2}+x^{2}=56^{2}$

या  $2 x^{2}=56 \times 56$

या  $x^{2}=28 \times 56$

अब त्रिज्यखण्ड $\mathrm{OAB}$ का क्षेत्रफल $=\frac{90}{360} \times \pi x^{2}=\frac{1}{4} \times \pi x^{2}$

$=\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 28 \times 56 \text { वर्ग मीटर }$

साथ ही $\triangle \mathrm{OAB}$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{4} \times 56 \times 56$ वर्ग मीटर (जहाँ $\angle \mathrm{AOB}=90^{\circ}$ )

इसलिए क्यारी AB का क्षेत्रफल 

$=\left(\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 28 \times56-\frac{1}{4} \times 56 \times 56\right) $  वर्ग मीटर

$\begin{aligned}&=\frac{1}{4} \times 28 \times 56\left(\frac{22}{7}-2\right) \\&=\frac{1}{4} \times 28 \times 56 \times \frac{8}{7}\end{aligned}$

इसी प्रकार, दूसरी क्यारी का क्षेत्रण्न $=\frac{1}{4} \times 28 \times 56 \times \frac{8}{7}$ वर्ग मीटर

अतः सम्पूर्ण क्षेत्रफल 

$\begin{aligned}  &=\left(56 \times 56+\frac{1}{4} \times 28 \times 56 \times \frac{8}{7}+\frac{1}{4} \times 28 \times 56 \times \frac{8}{7}\right) \\ &=28 \times 56\left(2+\frac{2}{7}+\frac{2}{7}\right) \\ &=28 \times 56 \times \frac{18}{7} \mathrm{~m}^{2} \end{aligned}$

=4032 वर्ग मीटर 

प्रश्न 14.

आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि केन्द्र $\mathrm{O}$ वाले दोनों संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ' क्रमशः 7 सेमी. तथा 14 सेमी. हैं तथा $\angle \mathrm{AOC}=40^{\circ}$ है।

हल : 

केन्द्र O वाले दोनों संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः

OA=14 सेमी.

तथा OB=7 सेमी.

त्रिज्यखण्ड का कोण $=40^{\circ}$

$\therefore$ छायांकित भाग का क्षेत्रफ

=त्रिज्यखण्ड AOC का क्षेत्रफल - त्रिज्यखण्ड BOD का क्षेत्रफल

$=\frac{40^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14-\frac{40^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7$

$=\frac{1}{9} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14-\frac{1}{9} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7$

$=\frac{1}{9} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7[2 \times 2-1]$

$=\frac{154}{9} \times 3=\frac{154}{3}$=51.33 वर्ग सेमी.

प्रश्न 15. 

आकृति में, ABCD भुजा 14 सेमी. वाला एक वर्ग है। $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ और D को केन्द्र मानकर, चार वृत्त इस प्रकार खींचे गए हैं कि प्रत्येक वृत्त तीन शेष वृत्तों में से दो वृत्तों को बाह्य रूप से स्पर्श करता है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

$\because$ ABCD एक वर्ग निर्मित है जिसकी प्रत्येक भुजा =14सेमी.

वर्ग ABCD का क्षेत्रफल =भुजा $^{2}$

=(14)$^{2}$

=196 वर्ग सेमी.

अब

चारों चतुर्थांशों का कुल क्षेत्रफल 

$\begin{aligned}&=\frac{1}{4} \times 4 \pi r^{2} \\&=\frac{22}{7} \times 7 \times 7\end{aligned}$

=154 वर्ग सेमी.

छायांकित' भाग का क्षेत्रफल = वर्ग ABCD का क्षेत्रफल - चारों चतुर्थांश का क्षेत्रफल

=196-154=42 वर्ग सेमी.

अतः छायांकित भाग का क्षेत्रफल 42 वर्ग सेमी. है। उत्तर

प्रश्न 16. 

एक वर्गाकार रूमाल पर, नौ वृत्ताकार डिजाइन' बने हैं, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या 7 सेमी. है। (देखिए आकृति में)। रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

$\because$ दिया गया वर्गाकार जिसकी एक भुजा $\mathrm{AB}$ है। भुजा $\mathrm{AB}$ पर तीन वृत्त एक साथ दिए हैं।

$\because \quad$ एक वृत्त का व्यास $=7 \times 2=14$ सेमी.

$\therefore \quad$ तीनों वृत्तों के व्यास $=14 \times 3=42$ सेमी.

अतः : भुजा, $\mathrm{AB}=42$ सेमी.

अब ABCD वर्ग का क्षेत्रफल $=42 \times 42=1764$ वर्ग सेमी.

रूमाल में 9 वृत्त हों, तब

 9 वृत्तों का क्षेत्रफल 

$\begin{aligned} &=9 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \\ &=9 \times 154 \end{aligned}$

=1386 वर्ग सेमी. 

रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल

=(1764-1380) वर्ग सेमी.

=378 वर्ग सेमी.।

Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 12 वृत्तो से सम्बन्धित क्षेत्रफल (Area Related to the Circles) प्रश्नावली 12 (B)

 प्रश्नावली 12 (B)

प्रश्न 1. 

एक घड़ी की मिनट की सुई 7 सेमी लम्बी है। 3 बजकर 10 मिनट से 3 बजकर 20 मिनट के बीच इस सुई द्वारा घड़ी पर बनाए गए त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

स्पष्ट रूप से दिया है घड़ी की मिनट वाली सुई की लम्बाई =7 सेमी

अर्थात्

वृत्त की त्रिज्या, r=7 सेमी

घड़ी में 3 बजकर 10 मिनट से 3 बजकर 20 मिनट का समय दर्शाया गया है।

इसलिए

कुल मिनटों की संख्या =10

∵ 60 मिनट में सुई द्वारा लगे कुल चक्करों की संख्या $=1$

∴ 10 मिनटे में सुई द्वारा लगे कुल चक्करों की संख्या $=\frac{10}{60}$

अर्थात् 10 मिनट में सुई द्वारा बना कोण $=\frac{10}{60} \times 360^{\circ}=60^{\circ}$

अब सुई द्वारा 10 मिनट में बने त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल $=\frac{\pi r^{2} \theta}{360^{\circ}}$

$=60 \times(7)^{2} \times \frac{22}{7}$

=25.67 वर्ग सेमी। उत्तर

प्रश्न 2. 

एक घड़ी की मिनट की सुई जिसकी लम्बाई 14 सेमी. है। इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

स्पष्टतः घड़ी की मिनट वाली सुई की लम्बाई $=14$ सेमी. अर्थात्

वृत्त की त्रिज्या $r=14$ सेमी.

$\because 60$ मिनट में सुई द्वारा लगे कुल चक्करों की संख्या $=1$

$\therefore \quad 1$ मिनट में लगे चक्करों की संख्या $=\frac{1}{60}$

$\therefore \quad 5$ मिनट में कुल चक्करों की संख्या $=\frac{5}{60}$

अर्थात् 5 मिनट में सुई द्वारा बना कोण $=\frac{5}{60^{\circ}} \times 360^{\circ}=30^{\circ}$

अब सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल

$=\frac{\pi r^{2} 6}{360^{\circ}}$

$=\frac{30^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14$

$=\frac{154}{3}$ वर्ग सेमी.

अतः सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल $\frac{154}{3}$ वर्ग सेमी. होगा ।

प्रश्न 3.

एक वृत्ताकार पहिया जब लुढ़काया जाता है, तो एक चक्कर में $5.5$ मी आगे बढ़ जाता है। उसका त्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

∵ एक चक्कर में चली गयी दूरी =5.5 मी

अर्थात $2 \pi=5.5$

$\begin{aligned} r &=\frac{5.5 \times 7}{2 \times 22}\end{aligned}$

$=\frac{7}{8}$ मी 

अतः वृत्ताकार पहिए द्वारा घेरे गए स्थान का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\pi \times \frac{7}{8} \times \frac{7}{8} \\&=\frac{22}{7} \times \frac{7}{8} \times \frac{7}{8} \\&=\frac{77}{32}\end{aligned}$

$=2 \frac{13}{32}$ वर्ग मीटर

प्रश्न 4.

 6 सेमी. त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण $60^{\circ}$ है।

हल : 

माना एक वृत्त की त्रिज्या, $r=6$ सेमी.

और त्रिज्यखण्ड का कोण, $\theta=60^{\circ}$

निज्याखण्ड का क्षेत्रफल $=\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi^{2}$

$\begin{aligned}&=\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 6 \times 6 \end{aligned}$

$=\frac{132}{7}$  वर्ग सेमी. 

अतः त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल $\frac{132}{7}$ वर्ग सेमी. होगा।

प्रश्न 5. 

t त्रिज्या वाले वृत्त के वृत्तीय खण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात़ करें जो केन्द्र परे $120^{\circ}$ का कोण अन्तरित करता है।

हल : 

मान लीजिए वृत्त की त्रिज्या, OA या OB=r

तथा $\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ}$

$\therefore \quad$ वृत्तखण्ड' $\mathrm{ACB}$ का क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड $\mathrm{OACB}$ का क्षेत्रफल $-\triangle \mathrm{AOB}$ का क्षेत्रफल

$=\frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}-\frac{1}{2} r^{2} \sin 120^{\circ}$

$=\frac{1}{3} \pi r^{2}-\frac{1}{2} r^{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$=\frac{1}{12} r^{2}(4 \pi-3 \sqrt{3})$ वर्ग मात्रक।

प्रश्न 6.

 चित्र में, वृत्त $(O, r)$ के लघु चाप $P Q$ की अंश माप $=100^{\circ}$ है। दीर्घ चाप का मान रडियन में ज्ञात कीजिए।

हल : 

दीर्घ चाप का मान $=360^{\circ}-100^{\circ}$

$\begin{aligned}&=260^{\circ} \\&=\frac{260^{\circ}}{180^{\circ}} \pi\end{aligned}$

 $=\frac{13 \pi}{9} $ रेडियन

प्रश्न 7.

15 सेमी. त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर $60^{\circ}$ का कोण अन्तरित' करती है। संगत लघु और दीर्घ वृत्तखण्डों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ( $\pi=3.14$ तथा $\sqrt{3}=1.73$ का प्रयोग कीजिए।)

हल : 

दिया है : वृत्त की त्रिज्या, $r=15$ सेमी.

जीवा द्वारा केन्द्र पर बना कोण, $\theta=60^{\circ}$

∴ संगत लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल 

$\begin{aligned}&=\frac{\pi r^{2} \theta}{360^{\circ}}\frac{1}{2} r^{2} \sin \theta \\&=r^{2}\left[\frac{\pi \theta}{360^{\circ}}-\frac{1}{2} \sin \theta\right] \\&=(15)^{2}\left[\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 3.14-\frac{1}{2} \sin 60^{\circ}\right] \\&=225\left[\frac{3.14}{6}-\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}\right] \\&=225\left[\frac{3.14}{6}-\frac{1.73}{4}\right] \\&=225\left[\frac{6.28-5.19}{12}\right] \\&=\frac{225 \times 1.09}{12}=\frac{245.25}{12}\end{aligned}$

=20.4375  वर्ग सेमी. 

अतः संगत लघु वृत्तख ण्ड' का क्षेत्रफल $20.4375$ वर्ग सेमी. है।

$\begin{aligned}&=\pi r^{2}-20.4375 \\&=3.14 \times 225-20.4375 \\&=706.5-20.4375\end{aligned}$

=686.0625 वर्ग सेमी.

अतः : दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल 686.0625 वर्ग सेमी. है।

प्रश्न 8. 

एक वृत्त का व्यास 16 सेमी है। इसकी एक जीवा $P Q$ केन्द्र पर $60^{\circ}$ का कोण बनाती है। इस प्रकार निर्मित दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

त्रिज्यखण्ड' OPXQ का क्षेत्रफल

$=\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi \times 8^{2}$

$\doteq \frac{32}{3} \pi$ सेमी

 समबाहु ΔOPQ का क्षेत्रफल

$=\frac{\sqrt{3}}{4} \times 8^{2} $

$=16 \sqrt{3}$ सेमी

लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड PQXQ का क्षेत्रफल- समबाहु ΔOPQ का क्षेत्रफल

$=\frac{32}{3}-16 \sqrt{3}$

$=\frac{16}{3}(2 \pi-3 \sqrt{3})$ सेमी $^{2}$

दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल

= वृत्त का क्षेत्रफल - लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल

$=\pi \times 8^{2}-\frac{16}{3}(2 \pi-3 \sqrt{3})$

$=64 \pi-\frac{32 \pi}{3}+16 \sqrt{3}$

$=\frac{160 \pi}{3}+16 \sqrt{3}$

$=\frac{16}{3}[10 \pi+3 \sqrt{3}]$ सेमी ${ }^{2} 1$

प्रश्न 9.

52 सेमी त्रिज्या के वृत्त के किसी त्रिज्यखण्ड' का परिमाप 16.4 सेमी है। वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

त्रिज्या OP=OQ=5.2 सेमी

वृत्तखण्ड की लम्बाई = वृत्तखण्ड OPQ का परिमाप-OP-OQ

$\begin{aligned} l &=16.4-5.2-5.2 \\ &=16.4-10.4 \end{aligned}$

l=6 सेमी

अब वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} l \times r$

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2} \times 6 \times 5.2 \\&=3 \times 5.2 \end{aligned}$

=15.6 सेमी 

प्रश्न 10.

 एक वृत्ताकार ब्रूच (brooch) को चाँदी के तार से बनाया जाना है जिसका व्यास 35 मिमी. है। तार को वृत्त के 5 व्यासों को बनाने में भी प्रयुक्त किया गया है जो उसे 10 बराबर त्रिज्यखण्डों में विभाजित' करता है जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है, तो ज्ञात कीजिए :

(i) कुल वांछित चाँदी के तार की लम्बाई,

(ii) ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल।

हल : 

(i) दिए गए वृत्ताकार ब्रूच का व्यास d=35 मिमी

तब त्रिज्या,

$r=\frac{35}{2}$ मिमी

वांछित चाँदी के तार की लम्बाई =परिधि $=\pi d$

$=\frac{22}{7} \times 35=110$ मिमी 

अब 5 व्यासों की कुल लम्बाई $=35 \times 5=175$ मिमी.

अतः कुल वांछित चाँदी के तार की लम्बाई

=110+175

=285 मिमी.

(ii) यहाँ प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का कोण $=\frac{360^{\circ}}{10}=36^{\circ}$

 प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल 

$\begin{aligned} &=\frac{\pi r^{2} \theta}{360^{\circ}} \\&=\frac{22}{7} \times \frac{35}{2} \times \frac{35}{2} \times \frac{36^{\circ}}{360^{\circ}} \\&=\frac{22 \times 35}{2 \times 2 \times 2}\end{aligned}$

$=\frac{385}{4}$ वर्ग मिमी. 

प्रश्न 11.

14 सेमी त्रिज्या के वृत्त की एक जीवां केन्द्र पर समकोण अन्तरित करती है। निम्न के मान ज्ञात कीजिए :

(i) लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल

(ii) दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल।

हल : 

(i) त्रिज्यखण्ड OPXQ का क्षेत्रफल

$\begin{aligned} &=\frac{\theta}{360^{\circ}} \pi r^{2} \\ &=\frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi \times 14 \times 14 \\ &=\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14  \end{aligned}$

=154 सेमी 

समद्विबाहु ΔOPQ का क्षेत्रफल

$=\frac{1}{2} \times O P \times O Q$

$=\frac{1}{2} \times 14 \times 14$

=98 सेमी $^{2}$

तब लघु वृत्तखण्ड' का क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड OPXQ का क्षेत्रफल- समद्विबाहु ΔOPQ का क्षेत्रफल

=154-98=56 सेमी

(ii) दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल=वृत्त का क्षेत्रफल - लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\pi r^{2}-56 \\&=\frac{22}{7} \times 14 \times 14-56 .\end{aligned}$

$=22 \times 28-56$

=616-56=560 सेमी $^{2}$

अतः (i) लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल =56 सेमी $^{2}$

(ii) दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल =560 सेमी

प्रश्न 12. 

आकृति में दो संकेन्द्रीय वृत्तों जिनकी त्रिज्याएँ 7 सेमी तथा 4 सेमी हैं, के त्रिज्यखण्ड विखाए गए हैं। छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। $\left(\pi=\frac{22}{7}\right.$ प्रयोग करें $)$

हल : 

छयांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड OAB का क्षेत्रफल - त्रिज्यखण्ड OPQ का

$=\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi \times(7)^{2}-\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi \times(4)^{2}$

$=\frac{1}{6} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7-\frac{1}{6} \times \frac{22}{7} \times 16$

$=\frac{77}{3}-\frac{176}{21}$

$=\frac{539-176}{21}$

$=\frac{363}{21}=\frac{121}{.7}$

$=17.28$ सेमी $^{2}$

अतः छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल =17.28 सेमी 

प्रश्न 13. 

एक वृत्त के चतुर्थांश (quadrant) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी परिधि 22 सेमी. है।

हल : 

$\because$ वृत्त की परिधि, $2 \pi r=22$ सेमी.

$2 \times \frac{22}{7} \times r=22$

$r=\frac{22 \times 7}{2 \times 22}=\frac{7}{2}$ सेमी.

$\therefore \quad$ वृत्त के चतुर्यांश का क्षेत्रफल $=\frac{1}{4} \pi r^{2}$ $\left[\theta=\frac{90^{\circ}}{360^{\circ}}\right]$

$=\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}$ $=\frac{77}{8} \cdot$ वर्ग सेमी.

अतः वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल. $-\frac{77}{8}$ वर्ग सेमी. होगा।

प्रश्न 14.

 त्रिज्या 21 सेमी. वाले वृत्त का एक चाप केन्द्र पर $60^{\circ}$ का कोण अन्तरित करता है। ज्ञात कीजिए :

(i) चाप की लम्बाई

(ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

(iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल।

हल : 

∵ वृत्त की त्रिज्या, r=21 सेमी.

चाप द्वारा केन्द्र पर बना कोण, $\theta=60^{\circ}$

(i) चाप की लम्बाई, $l=\frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2 \pi r$

$\begin{aligned}&=\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \\&=\frac{1}{3} \times 22 \times 3=22 \text { सेमी. }\end{aligned}$

अतः चाप की लम्बाई 22 सेमी है।

(ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} \\&=\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \\&=11 \times 21=231 \text { वर्ग सेमी. }\end{aligned}$

अतः चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखण्ड' का क्षेत्रफल 231 वर्ग सेमी. है

(iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल $=\frac{\pi r^{2} \theta}{360^{\circ}}-\frac{1}{2} r^{2} \sin \theta$

$=r^{2}\left[\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi-\frac{1}{2} \sin \theta\right]$

$=(21)^{2}\left[\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7}-\frac{1}{2} \sin 60^{\circ}\right]$

$=441\left[\frac{11}{21}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right]$

$=\left(231-\frac{441 \sqrt{3}}{4}\right)$ वर्ग सेमी.

त्रिज्या 12 सेमी. वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर $120^{\circ}$ का कोण अन्तरित करती है। संगत

वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। $(\pi=3.14$ तथा $\sqrt{3}=1.73$ का प्रयोग कीजिए।

हल : दिया है :वृत्त की त्रिज्या, $r=12$ सेमी.

जीवा द्वारा केन्द्र पर बना कोण, $\theta=120^{\circ}$

$\therefore \quad$ संगत लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल $=\frac{\pi r^{2} \theta}{360^{\circ}}-\frac{1}{2} r^{2} \sin \theta$

$=r^{2}\left[\frac{\pi \theta}{360^{\circ}}-\frac{1}{2} \sin \theta\right]$

$=(12)^{2}\left[\frac{3.14 \times 120^{\circ}}{360^{\circ}}-\frac{1}{2} \sin 120^{\circ}\right]$

$=144\left[\frac{3.14}{3}-\frac{1}{2} \sin 60^{\circ}\right]$

$=144\left[\frac{3.14}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right]$

$=144\left[\frac{3.14}{3}-\frac{1.73}{4}\right]$

$=444\left[\frac{12.56-5.19}{12}\right]$

$=\frac{144 \times 7.37}{12}$

$=12 \times 7.37=88.44$ वर्ग सेमी.

प्रश्न 16. 

15 सेमी. भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूँटे से एक घोड़े को 5 मी. लम्बी रस्सी से बाँध दिया गया है (देखिए आकृति में)। ज्ञात कीजिए :

(i) मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा घास चर सकता है।

(ii) चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि, यदि घोड़े को 5 मी. लम्बी रस्सी के स्थान पर 10 मी. लम्बी रस्सी से बाँध दिया जाए। $(\pi=3.14$ का प्रयोग कीजिए।

हल : 

$\because$ वर्गाकार मैदान की भुजा =15 मी.

$\because$ रस्सी की माप वृत्त की त्रिज्या के बराबर होगी।

$\therefore$ वृत्त की त्रिज्या, $r=5$ मी.

(i) $\because$ मैदान वर्गाकार है, इसलिए जीवा द्वारा बना कोण $=90^{\circ}$

$\because$ जहाँ घोड़ा घास चर सकता है, उस मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} \\&=\frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times 3.14 \times 25 \\&=\frac{78.5}{4}\end{aligned}$

=19.625 वर्ग सेमी

(ii) यदि रस्सी की माप 5 मी. के स्थान पर 10 मी. कर दी जाए, तब वृत्त की त्रिज्या, $r=10$ मी.

10 मी. वाले मैदान जहॉँ घोड़ा घास चर सकता है, उस भाग का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} \\&=\frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times 3.14 \times 100 \\&=3.14 \times 25=78.50\end{aligned}$

$\therefore$ चरे जा सकने वाले दोनों क्षेत्रफलों की तुलना

=78.5-19.625=58.875 वर्ग मी. 

प्रश्न 17. 

एक छतरी में आठ ताने हैं, जो बराबर दूरी पर लगे हुए हैं (देखिए आकृति में) छतरी को 45 सेमी त्रिज्या वाला एक सपाट वृत्त मानते-हुए, इसकी दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

चूँकि छ्सरी के तान की माप छ्तरी की त्रिज्या के बराबर होगी।

अर्थात्  छतरी की त्रिज्या, r=45 सेमी.

$\because$ दो तानों के बीच एक त्रिज्यखण्ड बनेगा तथा त्रिज्यखण्ड का प्रत्येक कोण

$=\frac{360^{\circ}}{8}=45^{\circ}$

दो तानों के बीच बनने वाले त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल $=\frac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$

$\begin{aligned}&=\frac{45^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 45 \times 45 \\&=\frac{22 \times 2025}{56}=\frac{22275}{28}\end{aligned}$

अतः दो तानों के बीच का क्षेत्रफल $\frac{22275}{28}$ वर्ग सेमी।

प्रश्न 18.

 किसी कार के दो वाइपर (wipers) हैं, परस्पर कभी आच्छादित नहीं होते हैं। प्रत्येक वाइपर की पत्ती की लम्बाई 25 सेमी. है और $115^{\circ}$ के कोण तक घूम कर सफाई कर सकता है। पत्तियों की प्रत्येक बुहार के साथ जितना क्षेत्रफल साफ हो जाता है, वह ज्ञात कीजिए।

हल : 

चूँकि कार के वाइपर की पत्ती की लम्बाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है। 

अंर्था  त्वृत्त की त्रिज्या, r=25 सेमी.

कार के वाइपर की पत्ती का घूमने वाली धुरी पर कोण

$=115^{\circ}$

अब दोनों पत्तियों की प्रत्येक बुहार के साथ साफ हुआ क्षेत्रफल

=2 × एक पत्ती द्वारा साफ किया गया क्षे. 

$\begin{aligned}&=2 \times \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} \\&=2 \times \frac{115^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 25 \times 25 \\&=\frac{23 \times 11 \times 625}{18 \times 7} \end{aligned}$

$=\frac{158125}{126}$ वर्ग सेमी.

प्रश्न 19. 

जहाजों को समुद्र में जलस्तर के नीचे स्थित चट्टानों को चेतावनी देने के लिए, एक लाइट हाउस (light house) $80^{\circ}$ कोण वाले एक त्रिज्यखण्ड में $16.5$ किमी. की दूरी तक लाल रंग का प्रकाश फैलाता है। समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें जहाजों को चेतावनी दी जा सके। $(\pi=3.14$ का प्रयोग कीजिए।

हल : 

त्रिज्यखण्ड का कोण, $\theta=80^{\circ}$

लाल रंग के प्रकाश फैलने की दूरी = त्रिज्यखण्ड' की त्रिज्या

अर्थात् त्रिज्यखण्ड की त्रिज्या, r=16.5 किमी

त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} \\&=\frac{80^{\circ}}{360^{\circ}} \times 3.14 \times 16.5 \times 16.5 \\&=\frac{1709.73}{9}\end{aligned}$

=189.97 वर्ग किमी।

उत्तर

प्रश्न 20. 

एक गोल मेजपोश पर छः समान डिजाइन बने हुए हैं जैसाकि आकृति में दर्शाया गया है। यदि मेजपोश की त्रिज्या 28 सेमी है, तो ई $0.35$ प्रति वर्ग सेमी की दर से इन डिजाइनों को बनाने की लागत ज्ञात कीजिए। ( $\sqrt{3}=1.7$ का प्रयोग कीजिए।

हल : 

दिए गए मेजपोश की त्रिज्या,

r=28 सेमी.

$\because$ मेजपोशन कुल छः समान डिजाइनों से निर्मित है। 

$\therefore$ जीवाओं द्वारा केन्द्र पर बना प्रत्येक कोण

$=\frac{360^{\circ}}{6}=60^{\circ}$

6 वृत्तखण्डों के क्षेत्रफल

$\begin{aligned} &=6\left[\frac{\pi^{2} \theta}{360^{\circ}}-\frac{1}{2} r^{2} \sin \theta\right]=6 \times r^{2}\left[\frac{\theta \pi}{360^{\circ}}-\frac{1}{2} \sin \theta\right] . \\ &=6 \times(28)^{2}\left[\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7}-\frac{1}{2} \sin 60^{\circ}\right] \\ &=6 \times 28 \times 28\left[\frac{11}{21}-\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right] \\ &=6 \times 28 \times 28\left[\frac{11}{21}-\frac{1.7}{4}\right] \\ &=6 \times 28 \times 28[44-35.7] \\ &=\frac{6 \times 28 \times 28 \times 8.3}{84} \end{aligned}$

=56×8.3=464.8 वर्ग सेमी.

1 वर्ग सेमी. की लागत = ई 0.35

464.8 वर्ग सेमी की लागत =0.35×464.8= ई 162.68

Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 12 वृत्तो से सम्बन्धित क्षेत्रफल (Area Related to the Circles) प्रश्नावली 12 (A)

 प्रश्नावली 12 (A)

प्रश्न 1.

 दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 8 सेमी. तथा 6 सेमी. हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।

हल : 

∵ पहले वृत्त की त्रिज्या, r=8 सेमी. हो तब

∴ पहले वृत्त का क्षेत्रफल $\left(A_{1}\right)=\pi r^{2}$

$=\pi \times(8)^{2}=64 \pi$ वर्ग सेमी.

∵ और दूसरे वृत्त की त्रिज्या R=6 सेमी.

∴ दूसरे वृत्त का क्षेत्रफल $\left(A_{2}\right)=\pi R^{2}$

$=\pi \times(6)^{2}=36 \pi$ वर्ग सेमी.

नए वृत्त का क्षेत्रफल = दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों का योग(दिया है)

𝛑×त्रिज्या $^{2}$=64𝛑+36𝛑

𝛑×त्रिज्या $^{2}$=𝛑(100)

त्रिज्या $^{2}$=(100)

त्रिज्या =10

अतः नए वृत्त की त्रिज्या 10 सेमी. होगी।

प्रश्न 2. 

दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 19 सेमी. तथा 9 सेमी. हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि इन दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर है।

हल :

दिए गए पहले वृत्त की त्रिज्या, $r_{1}=19$ सेमी. हो, तब

$\therefore$ पहले वृत्त की परिधि,

$\begin{aligned}&\begin{aligned}C_{1} &=2 \pi r_{1} \\&=2 \pi \times 19\end{aligned}\end{aligned}$

=38𝛑  सेमी. 

∵ और जब दूसरे वृत्त की त्रिज्या, $r_{2}=9$ सेमी. हो, तब

$\therefore$ दूसरे वृत्त की परिधि, $\mathrm{C}_{2}=2 \pi r_{2}$

$=2 \times 9 \times \pi=18 \pi$ सेमी.

बने नए वृत्त की परिधि = दोनों वृत्तों की परिधियों का योगफल (दिया है)

$\begin{aligned}2 \pi r &=\mathrm{C}_{1}+\mathrm{C}_{2} \\2 \pi r &=38 \pi+18 \pi \\2 \pi r &=\pi(38+18) \\2 r &=56 \end{aligned}$

r=28 सेमी. 

अतः बने नए वृत्त की त्रिज्या 28 सेमी होगी।

प्रश्न 3.

 किसी कार के प्रत्येक पहिए का व्यास 80 सेमी है। यदि यह कार 66 किमी प्रति घप्टे की चाल से इल रही है, तो 10 मिनट में प्रत्येक पहिया कितने चक्कर लगाता है ?

हल : 

∵ कार के एक पहिए का व्यास $d_{1}=80$ सेमी.

पहिए द्वारा 1 चक्कर में चली दूरी अर्थात् परिधि

=𝛑×व्यास

$=\frac{22}{7} \times 80$

$=\frac{1760}{7}$ सेमी. 

∵  कार की चाल =66 किमी/घण्टा

$=\frac{66 \times 100000}{60}$ सेमी./मिनट  $[\because 1$ किमी $=100000$ सेमी $]$

=110000 सेमी./मिनट

∵  कार के द्वारा 1 मिनट में तय की गयी दूरी =110000 सेमी.

∴  कार के द्वारा 10 मिनट में तय की गयी दूरी $=110000 \times 10=1100000$ सेमी.

∴ पहिए द्वारा कुल चक्करों की संख्या

= 10 मिनट में तय की गयी दूरी / पहिए द्वारा  1 चक्कर में चली दूरी

$=\frac{1100000}{1760 / 7}=\frac{1100000 \times 7}{1760}$

$=\frac{7700000}{1760}=4375$

अतः 10 मिनट में प्रत्येक पहिया 4375 चक्कर लगाएगा।

प्रश्न 4.

 एक वृत्ताकार खेत है। इस खेत के चारों और तार लगाना है। र 12 प्रति मीटर की दर से पूरा तार लगाने में ई 5280 की लागत आयेगी और खेत को र $0.50$ प्रति मीटर $^{2}$ की दर से जोतता है। बताइए कि खेत को जोतने मे कुल कितनी लागत आयेगी।

$\pi=\frac{22}{7} $ लीजिए 

हल :

तार की लम्बाई =कुल व्यय /  दर 

$=\frac{5280}{12}=440$ मीटर

माना जब खेत की त्रिज्या r हो, तब तार की कुल लम्बाई अर्थात् खेत की परिधि $=2 \pi r$ 

$\therefore2 \pi r=440$

$r=\frac{440 \times 7}{2 \times 22}=70$ मी

इसलिए जोतने वाले खेत का क्षेत्रफल $=\pi r^{2}$

$\begin{aligned}&=\frac{22}{7} \times 70 \times 70 \end{aligned}$

=15400  वर्ग मी

1 वर्ग मी की जुताई पर व्यय =0.50

15400 वर्ग मीटर की जुताई पर व्यय =ई $0.50 \times 15400=$ ई 7700 .

प्रश्न 5. 

एक दौड़ने का मार्ग वलयाकार है जिसकी अन्तः परिधि 440 मीटर है और बाहरी परिधि 506 मीटर है। मार्ग की चौड़ाई ज्ञात कीजिए और उसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए। (जहाँ $\pi=\frac{22}{7}$ )

हल :

बाहरी वृत्त की परिधि, $2 \pi r_{1}=506$ मी.

$r_{1}=\frac{506}{2 \pi}$

अन्तः वृत्त की.परिधि, $2 \pi r_{2}=440$ मी.

$r_{2} =\frac{440}{2 \pi} $ वृत्ताकार मार्ग की चौड़ाई $=r_{1}-r_{2}$

$=\frac{506}{2 \pi}-\frac{440}{2 \pi}$

$\begin{aligned}&=\frac{66}{2 \pi}=\frac{66 \times 7}{2 \times 22} \\&=\frac{21}{2}\end{aligned}$

=10.5 मीटर

अब वृत्ताकार मार्ग का क्षेत्रफल $=\pi\left(\frac{506}{2 \pi}\right)^{2}-\pi\left(\frac{440}{2\pi}\right)^{2}$

$=\pi\left[\left(\frac{506}{2 \pi}+\frac{440}{2 \pi}\right)\left(\frac{506}{2 \pi}-\frac{440}{2\pi}\right)\right]$

$\begin{aligned}&=\pi \times \frac{946}{2 \pi} \times 10.5 \\&=473 \times 10.5\end{aligned}$

$=4966.5$ वर्ग मीटर।

प्रश्न 6. 

एक वृत्ताकार पार्क के चारों ओर एक $2.1$ मीटर चौड़ा रास्ता बना है। पार्क का अर्द्ध व्यास 14 मीटर है। रास्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :

रास्ते का क्षेत्रफल

$\begin{aligned} &=\pi(14+2.1)^{2}-\pi(14)^{2} \\ &=\pi(16.1)^{2}-\pi(14)^{2} \end{aligned}$

$=\pi(16.1+14)(16.1-14)$

$=\pi \times 30.1 \times 2.1$

$=\frac{22}{7} \times 2.1 \times 30.1$

$=6.6 \times 30.1$

=198.66 वर्ग मीटर।

प्रश्न 7.

एक वृत्ताकार मार्ग की भीतरी परिधि 132 मीटर है तथा मार्ग प्रत्येक स्थान से 7 मीटर चौड़ा है। इस मार्ग को समतल करवाने का व्यय 32 पैसे प्रति वर्ग मीटर की दर से ज्ञात कीजिए।

हल :

वृत्ताकार मार्ग की भीतरी परिधि,

$\begin{aligned}2 \pi &=132 \\r &=\frac{132 \times 7}{2 \times 22} \end{aligned}$

=21 मीटर 

वृत्ताकार मैदान का क्षेत्रफल $=\pi \times(21)^{2}$

$\begin{aligned}&=\frac{22}{7} \times 21 \times 21 \\&=1386 \text { वर्ग मीटर }\end{aligned}$

रास्ता सहित वृत्ताकार मैदान की त्रिज्या $=(21+7)$ मी $=28$ मीटर

मैदान और रास्ते दोनों का क्षेत्रफल $=\pi \times(28)^{2}$

$\begin{aligned}&=\frac{22}{7} \times 28 \times 28\end{aligned}$

=2464 वर्ग मीटर

मार्ग का क्षेत्रफल =(2464-1380) वर्ग मीटर =1078 वर्ग मीटर

मार्ग समतल कराने का व्यय $=$ ई $1078 \times 0.32$ $=$ Rs $344.96$

प्रश्न 8. 

एक वृत्ताकार खेत की परिधि और वर्गाकार खेत की परिमाप बराबर है। यदि वर्गाकार खेत का क्षेत्रफल 2500 वर्ग मीटर हो, तो वृत्ताकार खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :

वर्गाकार खेत का क्षेत्रफल =2500 वर्ग मी

भुजा$^{2}$=2500

भुजा $=\sqrt{2500}$=50 मीटर

दिया है ;

वृत्ताकार खेत की परिधि = खेत का परिमाप

2𝛑=4 ×भुजा=4×50

$\begin{aligned}r &=\frac{4 \times 50}{2 \pi}=\frac{100}{\pi}\end{aligned}$

वृत्ताकार खेत का क्षेत्रफल $=\pi(r)^{2}$

$\begin{aligned}&=\pi\left(\frac{100}{\pi}\right)^{2} \\&=\pi \times \frac{10000}{\pi^{2}}=\frac{10000 \times 7}{22} \\&=\frac{70000}{22} \end{aligned}$

$=3181 \frac{9}{11}$ वर्ग मीटर

प्रश्न 9. 

दी गयी आकृति एक तीरंदाजी लक्ष्य को दर्शाती है, जिसमें केन्द्र से बाहर की ओर पाँच क्षेत्र GOLD, RED, BLUE, BLACK और WHITE चिहिनतहैं। जिनसे अंक अर्जित किए जा सकते हैं। GOLD अंक वाले क्षेत्र का व्यास 21 सेमी है तथा प्रत्येक अन्य पट्टी 10.5 सेमी. चौड़ी है। अंक प्राप्त कराने वाले इन पाँच क्षेत्रों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

∵ GOLD वाले वृत्त का व्यास =21 सेमी.

∴ GOLD वाले वृत्त की त्रिज्या $(r)=\frac{1}{2} \times 21=10.5$ सेमी.

∴ GOLD वाले वृत्त का क्षेत्रफल $=\pi r^{2}$

$=\frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5$

$=22 \times 15.75=346.5$ वर्ग सेमी.

RED वाला वृत्त,

∵ प्रत्येक पट्टी की चौड़ाई =10.5 सेमी.

∴ RED वाले वृत्त की त्रिज्या =(10.5+10.5) सेमी =21 सेमी.

∵  RED वाला वृत्त वलय रूप में है।

∴ RED वाले वृत्त का क्षेत्रफल $=\pi\left(R^{2}-r^{2}\right)$,

जहौं $\mathrm{R}=$ वलय की वाहय त्रिज्या और r= आंतरिक त्रिज्या

$=\frac{22}{7} \times(21 \times 21-10.5 \times 10.5)$

$=\frac{22}{7} \times\left[(21)^{2}-(10.5)^{2}\right]$

$=\frac{22}{7} \times(441-110.25)$

$=\frac{22}{7} \times 330.75$

=1039.5 वर्ग सेमी.

BLUE वाला वृत्त,

प्रत्येक पट्टी की चौड़ाई =10.5 सेमी.

∴ BLUE वाले वृत्त की त्रिज्या

=(21+10.5) सेमी =31.5 सेमी.

BLUE वाले वृत्त का क्षेत्रफल $=\frac{22}{7}\left(\mathrm{R}^{2}-r^{2}\right)$

R=31.5 सेमी तथा r=21 सेमी 

$\begin{aligned}  &=\frac{22}{7}\left[(31.5)^{2}-(21)^{2}\right] \\ &=\frac{22}{7}(992.25-441) \\ &=\frac{22}{7} \times 551.25  \end{aligned}$

=1732.5 वर्ग सेमी.

BLACK वाला वृत्त,

प्रत्येक पट्टी की चौड़ाई =10.5 सेमी.

∴ BLACK वाले वृत्त की त्रिज्या

=(31.5+10.5) सेमी.=42 सेमी. 

BLACK वाले वृत्त का क्षेत्रफल 

$=\pi\left(\mathrm{R}^{2}-r^{2}\right) $

R=42 सेमी और  r=31.5  सेमी.

R=42 सेमी और r=31.5  सेमी. 

$\begin{aligned}&=\frac{22}{7}\left[(42)^{2}-(31.5)^{2}\right] \\&=\frac{22}{7}(1764-992.25) \\&=\frac{22}{7} \times 771.75\end{aligned}$

=2425.5 वर्ग सेमी.

WHITE वाला वृत्त,

∵  प्रत्येक पट्टी की चौड़ाई =10.5 सेमी.

∴ WHITE वाले वृत्त की त्रिज्या =(42+10.5) सेमी =52.5 सेमी.

∴ WHITE वाले वृत्त का क्षेत्रफल $=\pi\left(R^{2}-r^{2}\right)$

R=52.5 सेमी तथा r=42 सेमी

$\begin{aligned}&\doteq \frac{22}{7}\left[(52.5)^{2}-(42)^{2}\right] \\&=\frac{22}{7}(2756.25-1764) \\&=\frac{22}{7} \times 992.25\end{aligned}$

=3118.5 वर्ग सेमी.

प्रश्न 10.

एक मोटर साइकिल के पहिए की त्रिज्या 35 सेमी है। यदि मोटर साइकिल की चाल 66 किमी/घंटा हो, तो पहिया एक मिनट में कितने चक्कर लगाएगा?

हल : 

दिया है, , पहिया की त्रिज्या, $r=35$ सेमी

$\therefore$ पहिए द्वारा 1 चक्कर में चली दूरी = पहिए की परिधि $=2 \pi r$

$=2 \times \frac{22}{7} \times 35=220$  सेमी

परन्तु मोटर साइकिल के पहिए की चाल $=66$ किमी/घंटा

$=\frac{66 \times 1000}{60}=1100 $ मी/मिनट

=1100 ×100 सेमी / मिनट =110000 सेमी / मिनट

∵  पहिए द्वारा 1 मिनट में चली दूरी =110000 सेमी

$\therefore \quad$ प्रति मिनट चक्करों की संख्या $=\frac{110000}{220}=500$ चक्कर। उत्तर

प्रश्न 11. 

एक ट्रैक्टर के अगले और पिछ्ले पहियों के व्यास क्रमशः 80 सेमी और 2 मी हैं। ज्ञात कीजिए कि पिछ्ले पहिए द्वारा उतनी दूरी तय करने में कितने चक्कर लगाने होंगे, जितनी दूरी अगला पहिया 1400 चक्कर लगाने में तय करता है?

हल : 

माना ट्रैक्टर के अगले पहिए का व्यास, $d_{1}=80$ सेमी

त्रिज्या, $r_{1}=40$ सेमी

पिछले पहिए का व्यास, $d_{2}=2$ मी $=200$ सेमी

त्रिज़्या, $r_{2}=\frac{200}{2}=100$ सेमी

अलगे पहिए द्वारा एक चक्कर में तय की गई दूरी $=$ अगले पहिए की परिधि

$\begin{aligned}&=2 \pi r_{1} \\&=2 \times \frac{22}{7} \times 40=\frac{1760}{7} \end{aligned}$

$\therefore$ अगले पहिए द्वारा 1400 चक्करों में तय की दूरी $=1400 \times \frac{1760}{7}$

=352000 सेमी

अब, पिछले पहिए की परिधि $=2 \pi r_{2}=2 \times \frac{22}{7} \times 100=\frac{4400}{7}$ सेमी

∴ पिछ्छले पहिए के चक्करों की संख्या $=\frac{352000 \times 7}{4400}=560$ चक्कर।

उत्तर

प्रश्न 12. 

उस वृत्त का व्यास ज्ञात कीजिए, जिसका क्षेत्रफल 20 सेमी और 48 सेमी व्यास वाले दो वृतों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।

हल : यहाँ पहले वृत्त की त्रिज्या $r_{1}=\frac{20}{2}$ सेमी $=10$ सेमी

तथा दूसरे वृत्त की त्रिज्या $r_{2}=\frac{48}{2}$ सेमी $=24$ सेमी

अतः इनके क्षेत्रफलों का योग $=\pi r_{1}{ }^{2}+\pi r_{2}{ }^{2}=\pi(10)^{2}+\pi(24)^{2}=\pi \times 676$..........(i)

मान लीजिए नये वृत्त की त्रिज्या $r$ सेमी है। अतः इसका क्षेत्रफल $=\pi r^{2}$...(ii)

समीकरण' (i) और (ii) से,

$\begin{aligned}\pi r^{2} &=\pi \times 676 \\r^{2} &=676 \\r &=26\end{aligned}$

नये वृत्त की त्रिज्या $=26$ सेमी

नये वृत्त का व्यास $=2 \times 26$ सेमी $=52$ सेमी।

Dr Manohar Re Solution CLASS 9 CHAPTER 12 हीरोन का सूत्र (Heron's Formula) प्रश्नावली 12B

   प्रश्नावली 12B

प्रश्न 1. 

एक पार्क चत्रतुर्भुज $A B C D$ के आकार का है, जिसमें $\angle C=90^{\circ}, A B=9$ मीटर, $B C=12$ मीटर, $C D=5$ मीटर और $A D=8$ मीटर है। इस पार्क का कितना क्षेत्रफल है ?

हल : 

चित्र से, $B C D$ एक समकोण $\Delta$ है।

$B D^{2}=C B^{2}+C D^{2}$ (पाइथागोरस प्रमेय से)

$\begin{aligned}B D &=\sqrt{C B^{2}+C D^{2}} \\B D &=\sqrt{12^{2}+5^{2}} \\&=\sqrt{169} \end{aligned}$

=13 मीटर 

$\triangle A B D$ के क्षेत्रफल के लिए, माना $a=13$ मीटर, $b=9$ मीटर, $c=8$ मीटर

$s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{13+9+8}{2}$

$=\frac{30}{2}$=15  मीटर

ΔABD  का क्षेत्रफल 

$\begin{aligned} &=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\&=\sqrt{15(15-13)(15-9)(15-8)}  \\&=\sqrt{15 \times 2 \times 6 \times 7} \\&=\sqrt{3 \times 5 \times 2 \times 2 \times 3 \times 7}\\&=2 \times 3 \sqrt{35}   \\&=6 \times 5.9  \end{aligned}$

=35.4 मीटर $^{2}$

$\Delta B C D$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}$ आधार $\times$ ऊँचाई

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2} \times 12 \times 5  \end{aligned}$

=30 मीटर $^{2}$

अत: चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल $=\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{ABD})+\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{BCD})$

=(35.4+30)=65.4 मीटर$^{2}$

प्रश्न 2. 

एक चतुर्भुज $A B C D$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसमें $A B=3$ सेमी, $B C=4$ सेमी, $C D=4$ सेमी, $D A=5$ सेमी और $A C=5$ सेमी है।

हल : 

$\triangle A B C$ के लिए,

$\begin{aligned}s &=\frac{3+4+5}{2} \\&=\frac{12}{2}\end{aligned}$

=6 सेमी 

हीरोन सूत्र से, $\triangle A B C$ का क्षेत्रफल $=\sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)}$ सेमी $^{2}$

$\begin{aligned}&=\sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} \\&=\sqrt{36}\end{aligned}$

=6 सेमी $^{2}$

$\triangle A C D$ में,

$s=\frac{5+5+4}{2}=\frac{14}{2}$

=7 सेमी 

Δ ACD का क्षेत्रफल 

$\begin{aligned} &=\sqrt{7(7-5)(7-4)(7-5)}  \\&=\sqrt{7 \times 2 \times 3 \times 2} \end{aligned}$

$=2 \sqrt{21}$ सेमी $^{2}$

=2×4.6 वर्ग सेमी

=9.2 वर्ग सेमी 

$\therefore$ चतुर्भुज $A B C D$ का क्षेत्रफल $=(\Delta \mathrm{ABC})$ का क्षेत्रफल $+(\triangle \mathrm{ACD})$ का क्षेत्रफल 

=6+9.2

=15.2 सेमी $^{2}$

प्रश्न 3. 

राधा ने रंगीन कागज से एक हवाई जहाज का चित्र बनाया, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। प्रयोग किए गए कागज का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :

क्षेत्रफल (भाग IV ) =क्षेत्रफल (भाग V )

$=\frac{1}{2} \times 6 \times 1.5$

=4.5 सेमी $^{2}$

क्षेत्रफल (भाग II) 

=6.5×1 सेमी $^{2}$

=6.5 सेमी $^{2}$

भाग I के लिए,

माना $a=5$ सेमी, $b=5$ सेमी, $c=1$ सेमी

$\begin{aligned} s &=\frac{a+b+c}{2} \\ &=\frac{5+5+1}{2}=\frac{11}{2} \end{aligned}$

=5.5 सेमी

क्षेत्रफंल $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ सेमी $^{2}$

या

$\begin{aligned}&=\sqrt{55(55-5)(5 \cdot 5-5)(5 \cdot 5-1)} \\&=\sqrt{5.5 \times 0.5 \times 0.5 \times 4.5} \\&=\sqrt{11 \times 0.5 \times 0.5 \times 0 \cdot 5 \times 0.5 \times 9} \\&=0: 5 \times 0.5 \times 3 \times 3.31 \end{aligned}$

=2.48 सेमी $^{2}$=2.5 सेमी $^{2}$

भाग III के लिए

यहाँ $\triangle D E C$ एक समबाहु त्रिभुज बन रहा है।

∴ΔDEC$=\frac{\sqrt{3}}{4}$×भुजा $^{2}$

$=\frac{\sqrt{3}}{4} \times(1)^{2}$

$=\frac{\sqrt{3}}{4}$ वर्ग इकाई। 

$\frac{1}{2} \times$ आधार $\times$ ऊँचाई $=\frac{\sqrt{3}}{4}$

$\begin{aligned}\frac{1}{2} \times 1 \times h &=\frac{\sqrt{3}}{4} \end{aligned}$

$h=\frac{\sqrt{3}}{2}$ सेमी 

भाग, III का क्षेत्रपफल  $=\frac{1}{2}(A D+B C) \times h$

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}(2+1) \times \frac{\sqrt{3}}{2}  \\&=1.5 \times \frac{1.732}{2} \\&=1.5 \times 0.866  \end{aligned}$

=1.3 सेमी $^{2}$

कुल क्षेत्रफल $=(2.5+6.5+1.3+4.5+4.5)$ सेमी $^{2}$ 

$=19.3$ सेमी $^{2}$ ।

प्रश्न 4. 

एक त्रिभुज और एक समान्तर चतुर्भुज का एक ही आधार है और क्षेत्रफल भी एक ही है। यदि त्रिभुज की भुजाएँ 26 सेमी, 28 सेमी और 30 सेमी हैं तथा समान्तर चतुर्भुज 28 सेमी के आधार पर स्थित है, तो उसकी संगत ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

$\triangle A B C$ के लिए,

a=26 सेमी

b=28 सेमी

c=30 सेमी 

$s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{26+28+30}{2}=\frac{84}{2}$

=42 सेमी 

ΔABC का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\sqrt{42(42-26)(42-28)(42-30)} \\&=\sqrt{42 \times 16 \times 14 \times 12} \\&=\sqrt{7 \times 2 \times 3 \times 4 \times 4 \times 7 \times 2 \times 3 \times 2 \times 2}  \\&=7 \times 4 \times 2 \times 2 \times 3\end{aligned}$

=336 सेमी $^{2}$

समान्तर चतुर्भुज $A C D E$ के लिए,

क्षेत्रफल $=\triangle A B C$ का क्षेत्रफल, (दिया है)

$\therefore \quad A C D E$ का क्षेत्रफल $=336$ सेमी $^{2}$

समान्तर चतुर्भुज की ऊँचाई =क्षेत्रफल / आधार 

$=\frac{336}{28}$

=12 सेमी।

प्रश्न 5. 

एक समचतुर्भुजाकार' घास के खेत में 18 गायों के चरने के लिए घास है। यदि इस समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा 30 मीटर है और बड़ा विकर्ण 48 मीटर है, तो प्रत्येक गाय को चरने के लिए इस घास के खेत का कितना क्षेत्रफल प्राप्त. होगा?

हल :

$\triangle A B C$ त्रिभुज के लिए,

a=30 मीटर , b=30 मीटर , c=48 मीटर

$\begin{aligned} s &=\frac{a+b+c}{2} \\ a &=\frac{30+30+48}{2}=\frac{108}{2} \end{aligned}$

=54 मी 

Δ ABC का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\&=\sqrt{54(54-30)(54-30)(54-48)}  \\&=\sqrt{54 \times 24 \times 24 \times 6}  \\&=\sqrt{9 \times 6 \times 24 \times 24 \times 6} \\&=3 \times 6 \times 24 \end{aligned}$

=432 मीटर $^{2}$

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $=2 \times a r(\triangle A B C)$

$=2 \times 432$

 =864 मीटर $^{2}$

: एक गाय के चरने के लिए क्षेत्रफल $=\frac{864}{18}$ मीटर $^{2}$

=48 मीटर $^{2}$

प्रश्न 6. 

दो विभिन्न रंगों के कपड़ों के 10 त्रिभुजाकार टुकड़ों को सींकर एक छाता बनाया गया है (देखिए आकृति) । प्रत्येक टुकड़े की माप 20 सेमी, 50 सेमी और 50 सेमी है। छाते में प्रत्येक रंग का कितना कपड़ा लगा है?

हल :

त्रिभुज के एक टुकड़े के लिए,

माना $a=20$ सेमी, $b=50$ सेमी, $c=50$ सेमी

$s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{20+50+50}{2}$

=60 सेमी 

एक त्रिभुजकार टुकड़ें का क्षेत्रफल $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$\begin{aligned}&=\sqrt{60(60-20)(60-50)(60-50)}  \\&=\sqrt{60 \times 40 \times 10 \times 10} \\&=\sqrt{6 \times 10 \times 10 \times 4 \times 10 \times 10} \end{aligned}$

$=200 \sqrt{6} $  सेमी $^{2}$

एक ही रंग के पाँच त्रिभुजाकार टुकड़ों का क्षेत्रफल $=(5 \times 200 \sqrt{6})$ सेमी $^{2}$.

$=1000 \sqrt{6}$  सेमी $^{2}$

दूसरे रंग के पाँच त्रिभुजाकार टुकड़ों का क्षेत्रफल $=1000 \sqrt{6}$ सेमी $^{2}$ ।

प्रश्न 7

एक पतंग तीन भिन्न-भिन्न शेडों (shades) के कागजों से बनी है। इन्हें आकृति में I, II और III से दर्शाया गया है। पतंग का ऊपरी भाग 32 सेमी विकर्ण का एक वर्ग है और निचला भाग 6 सेमी, 6 सेमी, 8 सेमी भुजाओं का एक समद्विबाहु त्रिभुज है। ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक शेड का कितना कागज प्रयुक्त किया गया है।

हल :

ABCD एक वर्ग है, जहाँ AC=BD=32 सेमी है और AEF एक समद्विबाहु $\Delta$ हैं, जिसमें $A E=A F$, $=6$ सेमी

छायांकित भाग I तथा II के क्षेत्रफल के लिए चित्र से,

भाग I का क्षेत्रफल $=$ भाग $\mathrm{II}$ का क्षेत्रफल $=\Delta C D B$ का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2} \times D B \times^{\prime}(A C / 2) \\&=\frac{1}{2} \times 32 \times 16\end{aligned}$

=256 सेमी $^{2}$

भाग III का क्षेत्रफल (अर्थात् $\triangle A E F$ का क्षेत्रफल)

$E L^{\prime}=L F=\frac{1}{2} E F$

$=\frac{1}{2} \times 8=4 $

AE=6 सेमी, (दिया है) 

$A L=\sqrt{A E^{2}-E L^{2}}$

$=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2 \sqrt{5}$ सेमी

भाग III का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times E F \times A L$

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2} \times 8 \times 2 \sqrt{5} \\&=8 \sqrt{5} \\&=8 \times 2.24 \end{aligned}$

=17.92 वर्ग सेमी (लगभग)।

प्रश्न 8. 

फर्श पर एक फूलों का डिजाइन 16 त्रिभुजाकार टाइलों से बनाया गया है, जिनमें से प्रत्येक की भुजाएँ 9 सेमी, 28 सेमी और 35 सेमी हैं (देखिए आकृति)। इन टाइलों को 50 पैसे प्रति सेमी $^{2}$ की दर से पालिश कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।

हल : 

एक त्रिभुजाकार टाइल के लिए

$a=28$ सेमी, $b=.9$ सेमी, $c=35$ सेमी

$s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{28+9+35}{2}$=36 सेमी

टाइल का क्षेत्रफल 

$\begin{aligned}&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\&=\sqrt{36(36-28)(36-9)(36-35)}  \\&=\sqrt{36 \times 8 \times 27 \times 1}   \\&=\sqrt{6 \times 6 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3}  \\&=6 \times 2 \times 3 \sqrt{6}  \\&=36 \sqrt{6}  \\&=36 \times 2.45  \end{aligned}$

=88.2 सेमी $^{2}$

16 टाइलों का ' क्षेत्रफल $=(88.2 \times 16)$ सेमी $^{2}$

=411.25 सेमी $^{2}$

पॉलिश का व्यय $=1411.25 \times \frac{1}{2}$

=705.60 रु. (लगभग)।

प्रश्न 9. 

एक खेत समलम्ब के आकार का है जिसकी समान्तर भुजाएँ $25 \mathrm{~m}$ और $10 \mathrm{~m}$ हैं। इसकी अस मान्तर भुजाएँ $14 \mathrm{~m}$ और $13 \mathrm{~m}$ हैं। इस खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।

हल : 

प्रश्नानुसार माना कि $P Q R S$ एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसमें $P Q \| S R$ तथा $S R=10 \mathrm{~m}, P Q=25$ $\mathrm{m}, S P=13 \mathrm{~m}, R Q=14 \mathrm{~m}$

अब $R T \| S P$ खींची।

$\begin{aligned}& R T \| S P \text { and } S R \| P Q \\\therefore \quad R T=S P=13 \mathrm{~m}\end{aligned}$

क्योंकि समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं। तब

$T Q=25 \mathrm{~m}-10 \mathrm{~m}=15 \mathrm{~m}$

अब $R U \perp T Q$ खीची।

$\triangle R T Q$ की भ़जाएँ क्रमशः $15 \mathrm{~m}, .14 \mathrm{~m}$ तथा $13 \mathrm{~m}$ हैं।

अर्द्ध-परिमाप $(s)=\frac{15+14+13}{2}=\frac{42}{2}=21 \mathrm{~m}$

हीरोन के सूत्र के अनुसार क्षेत्रफल $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$\begin{aligned}&=\sqrt{21(21-15)(21-14)(21-13)} \mathrm{m}^{2} \\&=\sqrt{21 \times 6 \times 7 \times 8} \mathrm{~m}^{2} \\&=\sqrt{7 \times 3 \times 3 \times 2 \times 7 \times 2 \times 2 \times 2} \mathrm{~m}^{2} \\&=2 \times 2 \times 3 \times 7 \mathrm{~m}^{2} \\&=84 \mathrm{~m}^{2}\end{aligned}$

$R U=\frac{2 \times 84}{15} \mathrm{~m}=\frac{56}{5} \mathrm{~m}$

$\left[\right.$ क्योंकि $\Delta$ का शीर्षलम्ब =2×क्षेत्रफल / आधार 

समलम्ब PQRS का क्षेत्रफल = समान्तर चतुर्भुज $S P T R$ का क्षेत्रफल $+\triangle R T Q$ का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\left[10 \times \frac{56}{5}+84\right] \mathrm{m}^{2} \\&=(112+84) \mathrm{m}^{2} \\&=196 \mathrm{~m}^{2}\end{aligned}$

प्रश्न 10. 

चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएँ क्रमशः $A B=3$ सेमी, $B C=4$ सेमी, $C D=$ 6 सेमी एवं $D A=5$ सेमी हैं तथा विकर्ण $A C=5$ सेमी है।

हल : 

सर्वप्रथम $\triangle A B C$ लेंगे, जिसमें $a=3$ सेमी, $b=4$ सेमी तथा $c=5$ सेमी

$s=\frac{3+4+5}{2}=\frac{12}{2}$=6 सेमी 

$\therefore$ $\begin{aligned} \triangle A B C \text { का क्षेत्रफल } &=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ &=\sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)} \\ &=\sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} \\ &=\sqrt{6 \times 6}\end{aligned}$

=6 वर्ग सेमी 

अतः $\triangle A C D$ लेंगे, जिसमें $a=5$ सेमी, $b=5$ सेमी तथा $c=6$ सेमी

$s=\frac{5+5+6}{2}=\frac{16}{2}$

=8 सेमी 

ΔACD का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\&=\sqrt{8(8-5)(8 \mid-5)(8-6)} \\&=\sqrt{8 \times 3 \times 3 \times 2} \\&=3 \times 4\end{aligned}$

=12 वर्ग सेमी

चतुर्भुज $A B C D$ का क्षेत्रफल $=(\triangle A B C+\triangle A C D)$ का क्षेत्रफल

=(6+12) =18 वर्ग सेमी। 

प्रश्न 11.

$A B C D$ चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएँ $A B, B C, C D$ और $D A$ क्रमशः 4 सेमी, 5 सेमी, 7 सेमी तथा 10 सेमी और विकर्ण $B D=8$ सेमी है।

हल : 

$A B C D$ चतुभुर्ज में,

AB=4 सेमी, B C=5 सेमी ,CD=7 सेमी, AD=10 सेमी

विकर्ण BD=8 सेमी

चतुर्भुज $A B C D$ का क्षेत्रफल $=\triangle B C D$ का क्षेत्रफल $+\triangle A B D$ का क्षेत्रफल

अब $\triangle B C D$ के लिए माना 

$a=5$ सेमी, $b=7$ सेमी, $c=8$ सेमी

ΔBCD का क्षेत्रफल 

$\begin{aligned}&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ &=\sqrt{10(10-5)(10-7)(10-8)} \\ &=\sqrt{10 \times 5 \times 3 \times 2} \\ &=10 \sqrt{3} \end{aligned}$

=17.31 वर्म सेमी 

पुन: $\triangle A B D$ के लिए

a=4 सेमी,  b=8  सेमी,  c=10 सेमी 

$s =\frac{a+b+c}{2}=\frac{4+8+10}{2}=\frac{22}{2}$=11 सेमी 

ΔABD का क्षेत्रफल 

$\begin{aligned}&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\&=\sqrt{11(11-4)(11-8)(11-10)}\end{aligned}$

$\begin{aligned}&=\sqrt{11 \times 7 \times 3 \times 1} \\&=\sqrt{231}\end{aligned}$

=15.2 वर्ग सेमी 

चतुर्भुज $A B C D$ का क्षेत्रफल $=\triangle B C D$ का क्षेत्रफल $+\triangle A B D$ का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=17 \cdot 31+15 \cdot 2 \end{aligned}$

=32.51  वर्ग सेमी 

चतुर्भुज $A B C D$ का क्षेत्रफल $=32.51$ वर्ग सेमी।

प्रश्न 12. 

एक समचतुर्भुज का परिमाप 40 मीटर हो तथा उसके विकर्ण की लम्बाई 12 मीटर हो, तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल: 

समचतुर्भुज का परिमाप $=40$ मीटर

$\therefore \quad$ " समचतुर्भुज की भुजा $=\frac{40}{4}$=10 मीटर

D=12 मीटर 

$BO=\frac{12}{2}$=6  मीटर

$\begin{aligned} \\ A O &=\sqrt{A B^{2}-B O^{2}}=\sqrt{(10)^{2}-(6)^{2}} \\ &=\sqrt{100-36}=\sqrt{64} \end{aligned}$

=8 मीटर

दिया है, विकर्ण की लम्बाई, $B D=12$ मीटर

तब $B O=\frac{12}{2}=6$ मीटर

समकोण $\triangle A O B$ में,

दूसरा विकर्ण, $A C=2 \times 8=16$ मीटर

समचतुर्भुज $A B C D$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times A C \times B D$

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2} \times 16 \times 12 \end{aligned}$

=96 वर्ग मीटर।

उत्तर

प्रश्न 13. 

एक समचतुर्भुज की एक भुजा और एक विकर्ण क्रमशः 50 मीटर और 96 मीटर लम्बे हैं। उसका क्षेत्रफल बताइए।

हल : 

समचतुर्भुज $A B C D$ में भुजा $A B=50$ मींटर तथा विकर्ण $B D=96$ मीटर

तब $B O=\frac{B D}{2}=\frac{96}{2}=48$ मीटर

तब समकोण $\triangle A O B$ में,

$\begin{aligned}A O &=\sqrt{A B^{2}-B O^{2}} \\&=\sqrt{(50)^{2}-(48)^{2}} \\&=\sqrt{2500-2304} \\&=\sqrt{196}\end{aligned}$

=14 मीटर 

दूसरा विकर्ण=A C=2 × 14

=28 मीटर

समचतुर्भुज $A B C D$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times A C \times B D$

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2} \times 28 \times 96 \\&=14 \times 96 \end{aligned}$

=1344 वर्ग मीटर 

अभीष्ट क्षेत्रफल =1344 वर्ग मीटर 

प्रश्न 14. 

चित्र में $A B C D$ एक चतुर्भुज है और $B D$ इसका एक विकर्ण है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

$\because A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है।

$\therefore \quad A B C D$ का क्षेत्रफल $=$ आधार $\times$ ऊँचाई

$=A B \times B D$

$=3 \times 4$

$=12$ वर्ग सेमी।

प्रश्न 15. 

एक समांतर चतुर्भुज की आसन भुजाएँ क्रमशः 10 सेमी और 8 सेमी हैं। यदि इन भुजाओं को मिलाने वाला विकर्ण 12 सेमी हो, तो समांतर चतुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करो।

हल : 

$:$ समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं।

इसलिए समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $=2 \times \triangle A B C$ का क्षेत्रफ़ल् $\therefore \triangle A B C$ में,

$\begin{aligned}&a=10, b=8, c=12 \\&s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{10+8+12}{2}=\frac{30}{2}\end{aligned}$

=15 सेमी 

Δ ABC का क्षेत्रफल 

$\begin{aligned}&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\&=\sqrt{15(15-10)(15-8)(15-12)} \\&=\sqrt{15 \times 5 \times 7 \times 3} \\&=15 \sqrt{7}\end{aligned}$

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $=2 \times 15 \sqrt{7}$ वर्ग सेमी

 $=30 \sqrt{7}$ वर्ग सेमी।

प्रश्न 16. 

किसी समचतुर्भुज का परिमाप 40 सेमी है। यदि इसके एक विकर्ण की लम्बाई 12 सेमी हो, तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

प्रश्न 12 का हल देखिए।

प्रश्न 17. 

एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो आसन भुजाएँ क्रमशः 51 सेमी और 37 सेमी हों तथा एक विकर्ण 20 सेमी हो।

हल : 

यहाँ $A B C D$ एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें,

AB=CD=51 सेमी

BC=AD=37 सेमी

AC=20 सेमी

$\triangle A B C$ में,  $s=\frac{51+37+20}{2}=\frac{108}{2}$

=54 सेमी

ΔABC का क्षेत्रफल 

$\begin{aligned}&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\&=\sqrt{54(54-51)(54-37)(54-20)} \\&=\sqrt{54 \times 3 \times 17 \times 34} \\&=\sqrt{9 \times 6 \times 3 \times 17 \times 17 \times 2} \\&=3 \times 6 \times 17 \end{aligned}$

=306 वर्ग सेमी

$A B C D^{\prime}$ कीं क्षेत्रफल $=2 \times \Delta A B C$ का क्षेत्रफल

$=2 \times 306$ वर्ग सेमी

$=612$ वर्ग सेमी।

प्रश्न 18. 

एक समांतर चतुर्भुज आकाह के भूखण्ड पर श 50 प्रति वर्ग मीटर की दर से मिट्टी डलवाने का व्यय ज्ञात कीजिए। इस भूखण्ड की आसन मुजाएँ 39 मीटर एवं 25 मीटर हैं तथा विकर्ण 56 मीटर है।

हल : 

यहाँ भूखण्ड ABCD के आकार का है, जो समांतर चतुर्भुज के रूप में है।

AB=DC=39 मी

BC=AD=25 मी

$\triangle A B C$ में,

$\begin{aligned}s &=\frac{39+25+56}{2} \\&=\frac{120}{2}\end{aligned}$

=60 मी 

$=\sqrt{60 \times 21 \times 35 \times 4}$

$=\sqrt{5} \times 3 \times 4 \times 4 \times 3 \times 7 \times 5 \times 7$

$=5 \times 3 \times 4 \times 7$

$=420$ वर्ग मी

पूरे भूखण्ड का केक्रफल $=2 \times \triangle A B C$ का क्षेत्रफल

=2 ×420 =840 वर्ग मी

भूखंण्ड पर 1 वर्ग मीटर में मिए्टी डलवाने का व्यय $=$ ३ 50

$\therefore$ भूखण्ड पर 840 वर्ग मीटर में मिट्टी डलवाने का व्यय $=\mp 50 \times 840=$ २ 42000 .