Dr Manohar Re Solution CLASS 9 CHAPTER 12 हीरोन का सूत्र (Heron's Formula) प्रश्नावली 12B

   प्रश्नावली 12B

प्रश्न 1. 

एक पार्क चत्रतुर्भुज $A B C D$ के आकार का है, जिसमें $\angle C=90^{\circ}, A B=9$ मीटर, $B C=12$ मीटर, $C D=5$ मीटर और $A D=8$ मीटर है। इस पार्क का कितना क्षेत्रफल है ?

हल : 

चित्र से, $B C D$ एक समकोण $\Delta$ है।

$B D^{2}=C B^{2}+C D^{2}$ (पाइथागोरस प्रमेय से)

$\begin{aligned}B D &=\sqrt{C B^{2}+C D^{2}} \\B D &=\sqrt{12^{2}+5^{2}} \\&=\sqrt{169} \end{aligned}$

=13 मीटर 

$\triangle A B D$ के क्षेत्रफल के लिए, माना $a=13$ मीटर, $b=9$ मीटर, $c=8$ मीटर

$s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{13+9+8}{2}$

$=\frac{30}{2}$=15  मीटर

ΔABD  का क्षेत्रफल 

$\begin{aligned} &=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\&=\sqrt{15(15-13)(15-9)(15-8)}  \\&=\sqrt{15 \times 2 \times 6 \times 7} \\&=\sqrt{3 \times 5 \times 2 \times 2 \times 3 \times 7}\\&=2 \times 3 \sqrt{35}   \\&=6 \times 5.9  \end{aligned}$

=35.4 मीटर $^{2}$

$\Delta B C D$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}$ आधार $\times$ ऊँचाई

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2} \times 12 \times 5  \end{aligned}$

=30 मीटर $^{2}$

अत: चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल $=\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{ABD})+\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{BCD})$

=(35.4+30)=65.4 मीटर$^{2}$

प्रश्न 2. 

एक चतुर्भुज $A B C D$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसमें $A B=3$ सेमी, $B C=4$ सेमी, $C D=4$ सेमी, $D A=5$ सेमी और $A C=5$ सेमी है।

हल : 

$\triangle A B C$ के लिए,

$\begin{aligned}s &=\frac{3+4+5}{2} \\&=\frac{12}{2}\end{aligned}$

=6 सेमी 

हीरोन सूत्र से, $\triangle A B C$ का क्षेत्रफल $=\sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)}$ सेमी $^{2}$

$\begin{aligned}&=\sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} \\&=\sqrt{36}\end{aligned}$

=6 सेमी $^{2}$

$\triangle A C D$ में,

$s=\frac{5+5+4}{2}=\frac{14}{2}$

=7 सेमी 

Δ ACD का क्षेत्रफल 

$\begin{aligned} &=\sqrt{7(7-5)(7-4)(7-5)}  \\&=\sqrt{7 \times 2 \times 3 \times 2} \end{aligned}$

$=2 \sqrt{21}$ सेमी $^{2}$

=2×4.6 वर्ग सेमी

=9.2 वर्ग सेमी 

$\therefore$ चतुर्भुज $A B C D$ का क्षेत्रफल $=(\Delta \mathrm{ABC})$ का क्षेत्रफल $+(\triangle \mathrm{ACD})$ का क्षेत्रफल 

=6+9.2

=15.2 सेमी $^{2}$

प्रश्न 3. 

राधा ने रंगीन कागज से एक हवाई जहाज का चित्र बनाया, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। प्रयोग किए गए कागज का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :

क्षेत्रफल (भाग IV ) =क्षेत्रफल (भाग V )

$=\frac{1}{2} \times 6 \times 1.5$

=4.5 सेमी $^{2}$

क्षेत्रफल (भाग II) 

=6.5×1 सेमी $^{2}$

=6.5 सेमी $^{2}$

भाग I के लिए,

माना $a=5$ सेमी, $b=5$ सेमी, $c=1$ सेमी

$\begin{aligned} s &=\frac{a+b+c}{2} \\ &=\frac{5+5+1}{2}=\frac{11}{2} \end{aligned}$

=5.5 सेमी

क्षेत्रफंल $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ सेमी $^{2}$

या

$\begin{aligned}&=\sqrt{55(55-5)(5 \cdot 5-5)(5 \cdot 5-1)} \\&=\sqrt{5.5 \times 0.5 \times 0.5 \times 4.5} \\&=\sqrt{11 \times 0.5 \times 0.5 \times 0 \cdot 5 \times 0.5 \times 9} \\&=0: 5 \times 0.5 \times 3 \times 3.31 \end{aligned}$

=2.48 सेमी $^{2}$=2.5 सेमी $^{2}$

भाग III के लिए

यहाँ $\triangle D E C$ एक समबाहु त्रिभुज बन रहा है।

∴ΔDEC$=\frac{\sqrt{3}}{4}$×भुजा $^{2}$

$=\frac{\sqrt{3}}{4} \times(1)^{2}$

$=\frac{\sqrt{3}}{4}$ वर्ग इकाई। 

$\frac{1}{2} \times$ आधार $\times$ ऊँचाई $=\frac{\sqrt{3}}{4}$

$\begin{aligned}\frac{1}{2} \times 1 \times h &=\frac{\sqrt{3}}{4} \end{aligned}$

$h=\frac{\sqrt{3}}{2}$ सेमी 

भाग, III का क्षेत्रपफल  $=\frac{1}{2}(A D+B C) \times h$

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}(2+1) \times \frac{\sqrt{3}}{2}  \\&=1.5 \times \frac{1.732}{2} \\&=1.5 \times 0.866  \end{aligned}$

=1.3 सेमी $^{2}$

कुल क्षेत्रफल $=(2.5+6.5+1.3+4.5+4.5)$ सेमी $^{2}$ 

$=19.3$ सेमी $^{2}$ ।

प्रश्न 4. 

एक त्रिभुज और एक समान्तर चतुर्भुज का एक ही आधार है और क्षेत्रफल भी एक ही है। यदि त्रिभुज की भुजाएँ 26 सेमी, 28 सेमी और 30 सेमी हैं तथा समान्तर चतुर्भुज 28 सेमी के आधार पर स्थित है, तो उसकी संगत ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

$\triangle A B C$ के लिए,

a=26 सेमी

b=28 सेमी

c=30 सेमी 

$s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{26+28+30}{2}=\frac{84}{2}$

=42 सेमी 

ΔABC का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\sqrt{42(42-26)(42-28)(42-30)} \\&=\sqrt{42 \times 16 \times 14 \times 12} \\&=\sqrt{7 \times 2 \times 3 \times 4 \times 4 \times 7 \times 2 \times 3 \times 2 \times 2}  \\&=7 \times 4 \times 2 \times 2 \times 3\end{aligned}$

=336 सेमी $^{2}$

समान्तर चतुर्भुज $A C D E$ के लिए,

क्षेत्रफल $=\triangle A B C$ का क्षेत्रफल, (दिया है)

$\therefore \quad A C D E$ का क्षेत्रफल $=336$ सेमी $^{2}$

समान्तर चतुर्भुज की ऊँचाई =क्षेत्रफल / आधार 

$=\frac{336}{28}$

=12 सेमी।

प्रश्न 5. 

एक समचतुर्भुजाकार' घास के खेत में 18 गायों के चरने के लिए घास है। यदि इस समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा 30 मीटर है और बड़ा विकर्ण 48 मीटर है, तो प्रत्येक गाय को चरने के लिए इस घास के खेत का कितना क्षेत्रफल प्राप्त. होगा?

हल :

$\triangle A B C$ त्रिभुज के लिए,

a=30 मीटर , b=30 मीटर , c=48 मीटर

$\begin{aligned} s &=\frac{a+b+c}{2} \\ a &=\frac{30+30+48}{2}=\frac{108}{2} \end{aligned}$

=54 मी 

Δ ABC का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\&=\sqrt{54(54-30)(54-30)(54-48)}  \\&=\sqrt{54 \times 24 \times 24 \times 6}  \\&=\sqrt{9 \times 6 \times 24 \times 24 \times 6} \\&=3 \times 6 \times 24 \end{aligned}$

=432 मीटर $^{2}$

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $=2 \times a r(\triangle A B C)$

$=2 \times 432$

 =864 मीटर $^{2}$

: एक गाय के चरने के लिए क्षेत्रफल $=\frac{864}{18}$ मीटर $^{2}$

=48 मीटर $^{2}$

प्रश्न 6. 

दो विभिन्न रंगों के कपड़ों के 10 त्रिभुजाकार टुकड़ों को सींकर एक छाता बनाया गया है (देखिए आकृति) । प्रत्येक टुकड़े की माप 20 सेमी, 50 सेमी और 50 सेमी है। छाते में प्रत्येक रंग का कितना कपड़ा लगा है?

हल :

त्रिभुज के एक टुकड़े के लिए,

माना $a=20$ सेमी, $b=50$ सेमी, $c=50$ सेमी

$s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{20+50+50}{2}$

=60 सेमी 

एक त्रिभुजकार टुकड़ें का क्षेत्रफल $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$\begin{aligned}&=\sqrt{60(60-20)(60-50)(60-50)}  \\&=\sqrt{60 \times 40 \times 10 \times 10} \\&=\sqrt{6 \times 10 \times 10 \times 4 \times 10 \times 10} \end{aligned}$

$=200 \sqrt{6}$  सेमी $^{2}$

एक ही रंग के पाँच त्रिभुजाकार टुकड़ों का क्षेत्रफल $=(5 \times 200 \sqrt{6})$ सेमी $^{2}$.

$=1000 \sqrt{6}$  सेमी $^{2}$

दूसरे रंग के पाँच त्रिभुजाकार टुकड़ों का क्षेत्रफल $=1000 \sqrt{6}$ सेमी $^{2}$ ।

प्रश्न 7

एक पतंग तीन भिन्न-भिन्न शेडों (shades) के कागजों से बनी है। इन्हें आकृति में I, II और III से दर्शाया गया है। पतंग का ऊपरी भाग 32 सेमी विकर्ण का एक वर्ग है और निचला भाग 6 सेमी, 6 सेमी, 8 सेमी भुजाओं का एक समद्विबाहु त्रिभुज है। ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक शेड का कितना कागज प्रयुक्त किया गया है।

हल :

ABCD एक वर्ग है, जहाँ AC=BD=32 सेमी है और AEF एक समद्विबाहु $\Delta$ हैं, जिसमें $A E=A F$, $=6$ सेमी

छायांकित भाग I तथा II के क्षेत्रफल के लिए चित्र से,

भाग I का क्षेत्रफल $=$ भाग $\mathrm{II}$ का क्षेत्रफल $=\Delta C D B$ का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2} \times D B \times^{\prime}(A C / 2) \\&=\frac{1}{2} \times 32 \times 16\end{aligned}$

=256 सेमी $^{2}$

भाग III का क्षेत्रफल (अर्थात् $\triangle A E F$ का क्षेत्रफल)

$E L^{\prime}=L F=\frac{1}{2} E F$

$=\frac{1}{2} \times 8=4$

AE=6 सेमी, (दिया है) 

$A L=\sqrt{A E^{2}-E L^{2}}$

$=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2 \sqrt{5}$ सेमी

भाग III का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times E F \times A L$

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2} \times 8 \times 2 \sqrt{5} \\&=8 \sqrt{5} \\&=8 \times 2.24 \end{aligned}$

=17.92 वर्ग सेमी (लगभग)।

प्रश्न 8. 

फर्श पर एक फूलों का डिजाइन 16 त्रिभुजाकार टाइलों से बनाया गया है, जिनमें से प्रत्येक की भुजाएँ 9 सेमी, 28 सेमी और 35 सेमी हैं (देखिए आकृति)। इन टाइलों को 50 पैसे प्रति सेमी $^{2}$ की दर से पालिश कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।

हल : 

एक त्रिभुजाकार टाइल के लिए

$a=28$ सेमी, $b=.9$ सेमी, $c=35$ सेमी

$s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{28+9+35}{2}$=36 सेमी

टाइल का क्षेत्रफल 

$\begin{aligned}&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\&=\sqrt{36(36-28)(36-9)(36-35)}  \\&=\sqrt{36 \times 8 \times 27 \times 1}   \\&=\sqrt{6 \times 6 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3}  \\&=6 \times 2 \times 3 \sqrt{6}  \\&=36 \sqrt{6}  \\&=36 \times 2.45  \end{aligned}$

=88.2 सेमी $^{2}$

16 टाइलों का ' क्षेत्रफल $=(88.2 \times 16)$ सेमी $^{2}$

=411.25 सेमी $^{2}$

पॉलिश का व्यय $=1411.25 \times \frac{1}{2}$

=705.60 रु. (लगभग)।

प्रश्न 9. 

एक खेत समलम्ब के आकार का है जिसकी समान्तर भुजाएँ $25 \mathrm{~m}$ और $10 \mathrm{~m}$ हैं। इसकी अस मान्तर भुजाएँ $14 \mathrm{~m}$ और $13 \mathrm{~m}$ हैं। इस खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।

हल : 

प्रश्नानुसार माना कि $P Q R S$ एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसमें $P Q \| S R$ तथा $S R=10 \mathrm{~m}, P Q=25$ $\mathrm{m}, S P=13 \mathrm{~m}, R Q=14 \mathrm{~m}$

अब $R T \| S P$ खींची।

$\begin{aligned}& R T \| S P \text { and } S R \| P Q \\\therefore \quad R T=S P=13 \mathrm{~m}\end{aligned}$

क्योंकि समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं। तब

$T Q=25 \mathrm{~m}-10 \mathrm{~m}=15 \mathrm{~m}$

अब $R U \perp T Q$ खीची।

$\triangle R T Q$ की भ़जाएँ क्रमशः $15 \mathrm{~m}, .14 \mathrm{~m}$ तथा $13 \mathrm{~m}$ हैं।

अर्द्ध-परिमाप $(s)=\frac{15+14+13}{2}=\frac{42}{2}=21 \mathrm{~m}$

हीरोन के सूत्र के अनुसार क्षेत्रफल $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$\begin{aligned}&=\sqrt{21(21-15)(21-14)(21-13)} \mathrm{m}^{2} \\&=\sqrt{21 \times 6 \times 7 \times 8} \mathrm{~m}^{2} \\&=\sqrt{7 \times 3 \times 3 \times 2 \times 7 \times 2 \times 2 \times 2} \mathrm{~m}^{2} \\&=2 \times 2 \times 3 \times 7 \mathrm{~m}^{2} \\&=84 \mathrm{~m}^{2}\end{aligned}$

$R U=\frac{2 \times 84}{15} \mathrm{~m}=\frac{56}{5} \mathrm{~m}$

$\left[\right.$ क्योंकि $\Delta$ का शीर्षलम्ब =2×क्षेत्रफल / आधार 

समलम्ब PQRS का क्षेत्रफल = समान्तर चतुर्भुज $S P T R$ का क्षेत्रफल $+\triangle R T Q$ का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\left[10 \times \frac{56}{5}+84\right] \mathrm{m}^{2} \\&=(112+84) \mathrm{m}^{2} \\&=196 \mathrm{~m}^{2}\end{aligned}$

प्रश्न 10. 

चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएँ क्रमशः $A B=3$ सेमी, $B C=4$ सेमी, $C D=$ 6 सेमी एवं $D A=5$ सेमी हैं तथा विकर्ण $A C=5$ सेमी है।

हल : 

सर्वप्रथम $\triangle A B C$ लेंगे, जिसमें $a=3$ सेमी, $b=4$ सेमी तथा $c=5$ सेमी

$s=\frac{3+4+5}{2}=\frac{12}{2}$=6 सेमी 

$\therefore$ $\begin{aligned} \triangle A B C \text { का क्षेत्रफल } &=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ &=\sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)} \\ &=\sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} \\ &=\sqrt{6 \times 6}\end{aligned}$

=6 वर्ग सेमी 

अतः $\triangle A C D$ लेंगे, जिसमें $a=5$ सेमी, $b=5$ सेमी तथा $c=6$ सेमी

$s=\frac{5+5+6}{2}=\frac{16}{2}$

=8 सेमी 

ΔACD का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\&=\sqrt{8(8-5)(8 \mid-5)(8-6)} \\&=\sqrt{8 \times 3 \times 3 \times 2} \\&=3 \times 4\end{aligned}$

=12 वर्ग सेमी

चतुर्भुज $A B C D$ का क्षेत्रफल $=(\triangle A B C+\triangle A C D)$ का क्षेत्रफल

=(6+12) =18 वर्ग सेमी। 

प्रश्न 11.

$A B C D$ चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएँ $A B, B C, C D$ और $D A$ क्रमशः 4 सेमी, 5 सेमी, 7 सेमी तथा 10 सेमी और विकर्ण $B D=8$ सेमी है।

हल : 

$A B C D$ चतुभुर्ज में,

AB=4 सेमी, B C=5 सेमी ,CD=7 सेमी, AD=10 सेमी

विकर्ण BD=8 सेमी

चतुर्भुज $A B C D$ का क्षेत्रफल $=\triangle B C D$ का क्षेत्रफल $+\triangle A B D$ का क्षेत्रफल

अब $\triangle B C D$ के लिए माना 

$a=5$ सेमी, $b=7$ सेमी, $c=8$ सेमी

ΔBCD का क्षेत्रफल 

$\begin{aligned}&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ &=\sqrt{10(10-5)(10-7)(10-8)} \\ &=\sqrt{10 \times 5 \times 3 \times 2} \\ &=10 \sqrt{3} \end{aligned}$

=17.31 वर्म सेमी 

पुन: $\triangle A B D$ के लिए

a=4 सेमी,  b=8  सेमी,  c=10 सेमी 

$s =\frac{a+b+c}{2}=\frac{4+8+10}{2}=\frac{22}{2}$=11 सेमी 

ΔABD का क्षेत्रफल 

$\begin{aligned}&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\&=\sqrt{11(11-4)(11-8)(11-10)}\end{aligned}$

$\begin{aligned}&=\sqrt{11 \times 7 \times 3 \times 1} \\&=\sqrt{231}\end{aligned}$

=15.2 वर्ग सेमी 

चतुर्भुज $A B C D$ का क्षेत्रफल $=\triangle B C D$ का क्षेत्रफल $+\triangle A B D$ का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=17 \cdot 31+15 \cdot 2 \end{aligned}$

=32.51  वर्ग सेमी 

चतुर्भुज $A B C D$ का क्षेत्रफल $=32.51$ वर्ग सेमी।

प्रश्न 12. 

एक समचतुर्भुज का परिमाप 40 मीटर हो तथा उसके विकर्ण की लम्बाई 12 मीटर हो, तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल: 

समचतुर्भुज का परिमाप $=40$ मीटर

$\therefore \quad$ " समचतुर्भुज की भुजा $=\frac{40}{4}$=10 मीटर

D=12 मीटर 

$BO=\frac{12}{2}$=6  मीटर

$\begin{aligned} \\ A O &=\sqrt{A B^{2}-B O^{2}}=\sqrt{(10)^{2}-(6)^{2}} \\ &=\sqrt{100-36}=\sqrt{64} \end{aligned}$

=8 मीटर

दिया है, विकर्ण की लम्बाई, $B D=12$ मीटर

तब $B O=\frac{12}{2}=6$ मीटर

समकोण $\triangle A O B$ में,

दूसरा विकर्ण, $A C=2 \times 8=16$ मीटर

समचतुर्भुज $A B C D$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times A C \times B D$

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2} \times 16 \times 12 \end{aligned}$

=96 वर्ग मीटर।

उत्तर

प्रश्न 13. 

एक समचतुर्भुज की एक भुजा और एक विकर्ण क्रमशः 50 मीटर और 96 मीटर लम्बे हैं। उसका क्षेत्रफल बताइए।

हल : 

समचतुर्भुज $A B C D$ में भुजा $A B=50$ मींटर तथा विकर्ण $B D=96$ मीटर

तब $B O=\frac{B D}{2}=\frac{96}{2}=48$ मीटर

तब समकोण $\triangle A O B$ में,

$\begin{aligned}A O &=\sqrt{A B^{2}-B O^{2}} \\&=\sqrt{(50)^{2}-(48)^{2}} \\&=\sqrt{2500-2304} \\&=\sqrt{196}\end{aligned}$

=14 मीटर 

दूसरा विकर्ण=A C=2 × 14

=28 मीटर

समचतुर्भुज $A B C D$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times A C \times B D$

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2} \times 28 \times 96 \\&=14 \times 96 \end{aligned}$

=1344 वर्ग मीटर 

अभीष्ट क्षेत्रफल =1344 वर्ग मीटर 

प्रश्न 14. 

चित्र में $A B C D$ एक चतुर्भुज है और $B D$ इसका एक विकर्ण है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

$\because A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है।

$\therefore \quad A B C D$ का क्षेत्रफल $=$ आधार $\times$ ऊँचाई

$=A B \times B D$

$=3 \times 4$

$=12$ वर्ग सेमी।

प्रश्न 15. 

एक समांतर चतुर्भुज की आसन भुजाएँ क्रमशः 10 सेमी और 8 सेमी हैं। यदि इन भुजाओं को मिलाने वाला विकर्ण 12 सेमी हो, तो समांतर चतुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करो।

हल : 

$:$ समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं।

इसलिए समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $=2 \times \triangle A B C$ का क्षेत्रफ़ल् $\therefore \triangle A B C$ में,

$\begin{aligned}&a=10, b=8, c=12 \\&s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{10+8+12}{2}=\frac{30}{2}\end{aligned}$

=15 सेमी 

Δ ABC का क्षेत्रफल 

$\begin{aligned}&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\&=\sqrt{15(15-10)(15-8)(15-12)} \\&=\sqrt{15 \times 5 \times 7 \times 3} \\&=15 \sqrt{7}\end{aligned}$

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $=2 \times 15 \sqrt{7}$ वर्ग सेमी

 $=30 \sqrt{7}$ वर्ग सेमी।

प्रश्न 16. 

किसी समचतुर्भुज का परिमाप 40 सेमी है। यदि इसके एक विकर्ण की लम्बाई 12 सेमी हो, तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

प्रश्न 12 का हल देखिए।

प्रश्न 17. 

एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो आसन भुजाएँ क्रमशः 51 सेमी और 37 सेमी हों तथा एक विकर्ण 20 सेमी हो।

हल : 

यहाँ $A B C D$ एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें,

AB=CD=51 सेमी

BC=AD=37 सेमी

AC=20 सेमी

$\triangle A B C$ में,  $s=\frac{51+37+20}{2}=\frac{108}{2}$

=54 सेमी

ΔABC का क्षेत्रफल 

$\begin{aligned}&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\&=\sqrt{54(54-51)(54-37)(54-20)} \\&=\sqrt{54 \times 3 \times 17 \times 34} \\&=\sqrt{9 \times 6 \times 3 \times 17 \times 17 \times 2} \\&=3 \times 6 \times 17 \end{aligned}$

=306 वर्ग सेमी

$A B C D^{\prime}$ कीं क्षेत्रफल $=2 \times \Delta A B C$ का क्षेत्रफल

$=2 \times 306$ वर्ग सेमी

$=612$ वर्ग सेमी।

प्रश्न 18. 

एक समांतर चतुर्भुज आकाह के भूखण्ड पर श 50 प्रति वर्ग मीटर की दर से मिट्टी डलवाने का व्यय ज्ञात कीजिए। इस भूखण्ड की आसन मुजाएँ 39 मीटर एवं 25 मीटर हैं तथा विकर्ण 56 मीटर है।

हल : 

यहाँ भूखण्ड ABCD के आकार का है, जो समांतर चतुर्भुज के रूप में है।

AB=DC=39 मी

BC=AD=25 मी

$\triangle A B C$ में,

$\begin{aligned}s &=\frac{39+25+56}{2} \\&=\frac{120}{2}\end{aligned}$

=60 मी 

$=\sqrt{60 \times 21 \times 35 \times 4}$

$=\sqrt{5} \times 3 \times 4 \times 4 \times 3 \times 7 \times 5 \times 7$

$=5 \times 3 \times 4 \times 7$

$=420$ वर्ग मी

पूरे भूखण्ड का केक्रफल $=2 \times \triangle A B C$ का क्षेत्रफल

=2 ×420 =840 वर्ग मी

भूखंण्ड पर 1 वर्ग मीटर में मिए्टी डलवाने का व्यय $=$ ३ 50

$\therefore$ भूखण्ड पर 840 वर्ग मीटर में मिट्टी डलवाने का व्यय $=\mp 50 \times 840=$ २ 42000 .