Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 12 वृत्तो से सम्बन्धित क्षेत्रफल (Area Related to the Circles) प्रश्नावली 12 (B)

 प्रश्नावली 12 (B)

प्रश्न 1. 

एक घड़ी की मिनट की सुई 7 सेमी लम्बी है। 3 बजकर 10 मिनट से 3 बजकर 20 मिनट के बीच इस सुई द्वारा घड़ी पर बनाए गए त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

स्पष्ट रूप से दिया है घड़ी की मिनट वाली सुई की लम्बाई =7 सेमी

अर्थात्

वृत्त की त्रिज्या, r=7 सेमी

घड़ी में 3 बजकर 10 मिनट से 3 बजकर 20 मिनट का समय दर्शाया गया है।

इसलिए

कुल मिनटों की संख्या =10

∵ 60 मिनट में सुई द्वारा लगे कुल चक्करों की संख्या $=1$

∴ 10 मिनटे में सुई द्वारा लगे कुल चक्करों की संख्या $=\frac{10}{60}$

अर्थात् 10 मिनट में सुई द्वारा बना कोण $=\frac{10}{60} \times 360^{\circ}=60^{\circ}$

अब सुई द्वारा 10 मिनट में बने त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल $=\frac{\pi r^{2} \theta}{360^{\circ}}$

$=60 \times(7)^{2} \times \frac{22}{7}$

=25.67 वर्ग सेमी। उत्तर

प्रश्न 2. 

एक घड़ी की मिनट की सुई जिसकी लम्बाई 14 सेमी. है। इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

स्पष्टतः घड़ी की मिनट वाली सुई की लम्बाई $=14$ सेमी. अर्थात्

वृत्त की त्रिज्या $r=14$ सेमी.

$\because 60$ मिनट में सुई द्वारा लगे कुल चक्करों की संख्या $=1$

$\therefore \quad 1$ मिनट में लगे चक्करों की संख्या $=\frac{1}{60}$

$\therefore \quad 5$ मिनट में कुल चक्करों की संख्या $=\frac{5}{60}$

अर्थात् 5 मिनट में सुई द्वारा बना कोण $=\frac{5}{60^{\circ}} \times 360^{\circ}=30^{\circ}$

अब सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल

$=\frac{\pi r^{2} 6}{360^{\circ}}$

$=\frac{30^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14$

$=\frac{154}{3}$ वर्ग सेमी.

अतः सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल $\frac{154}{3}$ वर्ग सेमी. होगा ।

प्रश्न 3.

एक वृत्ताकार पहिया जब लुढ़काया जाता है, तो एक चक्कर में $5.5$ मी आगे बढ़ जाता है। उसका त्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

∵ एक चक्कर में चली गयी दूरी =5.5 मी

अर्थात $2 \pi=5.5$

$\begin{aligned} r &=\frac{5.5 \times 7}{2 \times 22}\end{aligned}$

$=\frac{7}{8}$ मी 

अतः वृत्ताकार पहिए द्वारा घेरे गए स्थान का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\pi \times \frac{7}{8} \times \frac{7}{8} \\&=\frac{22}{7} \times \frac{7}{8} \times \frac{7}{8} \\&=\frac{77}{32}\end{aligned}$

$=2 \frac{13}{32}$ वर्ग मीटर

प्रश्न 4.

 6 सेमी. त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण $60^{\circ}$ है।

हल : 

माना एक वृत्त की त्रिज्या, $r=6$ सेमी.

और त्रिज्यखण्ड का कोण, $\theta=60^{\circ}$

निज्याखण्ड का क्षेत्रफल $=\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi^{2}$

$\begin{aligned}&=\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 6 \times 6 \end{aligned}$

$=\frac{132}{7}$  वर्ग सेमी. 

अतः त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल $\frac{132}{7}$ वर्ग सेमी. होगा।

प्रश्न 5. 

t त्रिज्या वाले वृत्त के वृत्तीय खण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात़ करें जो केन्द्र परे $120^{\circ}$ का कोण अन्तरित करता है।

हल : 

मान लीजिए वृत्त की त्रिज्या, OA या OB=r

तथा $\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ}$

$\therefore \quad$ वृत्तखण्ड' $\mathrm{ACB}$ का क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड $\mathrm{OACB}$ का क्षेत्रफल $-\triangle \mathrm{AOB}$ का क्षेत्रफल

$=\frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}-\frac{1}{2} r^{2} \sin 120^{\circ}$

$=\frac{1}{3} \pi r^{2}-\frac{1}{2} r^{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$=\frac{1}{12} r^{2}(4 \pi-3 \sqrt{3})$ वर्ग मात्रक।

प्रश्न 6.

 चित्र में, वृत्त $(O, r)$ के लघु चाप $P Q$ की अंश माप $=100^{\circ}$ है। दीर्घ चाप का मान रडियन में ज्ञात कीजिए।

हल : 

दीर्घ चाप का मान $=360^{\circ}-100^{\circ}$

$\begin{aligned}&=260^{\circ} \\&=\frac{260^{\circ}}{180^{\circ}} \pi\end{aligned}$

 $=\frac{13 \pi}{9}$ रेडियन

प्रश्न 7.

15 सेमी. त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर $60^{\circ}$ का कोण अन्तरित' करती है। संगत लघु और दीर्घ वृत्तखण्डों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ( $\pi=3.14$ तथा $\sqrt{3}=1.73$ का प्रयोग कीजिए।)

हल : 

दिया है : वृत्त की त्रिज्या, $r=15$ सेमी.

जीवा द्वारा केन्द्र पर बना कोण, $\theta=60^{\circ}$

∴ संगत लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल 

$\begin{aligned}&=\frac{\pi r^{2} \theta}{360^{\circ}}\frac{1}{2} r^{2} \sin \theta \\&=r^{2}\left[\frac{\pi \theta}{360^{\circ}}-\frac{1}{2} \sin \theta\right] \\&=(15)^{2}\left[\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 3.14-\frac{1}{2} \sin 60^{\circ}\right] \\&=225\left[\frac{3.14}{6}-\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}\right] \\&=225\left[\frac{3.14}{6}-\frac{1.73}{4}\right] \\&=225\left[\frac{6.28-5.19}{12}\right] \\&=\frac{225 \times 1.09}{12}=\frac{245.25}{12}\end{aligned}$

=20.4375  वर्ग सेमी. 

अतः संगत लघु वृत्तख ण्ड' का क्षेत्रफल $20.4375$ वर्ग सेमी. है।

$\begin{aligned}&=\pi r^{2}-20.4375 \\&=3.14 \times 225-20.4375 \\&=706.5-20.4375\end{aligned}$

=686.0625 वर्ग सेमी.

अतः : दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल 686.0625 वर्ग सेमी. है।

प्रश्न 8. 

एक वृत्त का व्यास 16 सेमी है। इसकी एक जीवा $P Q$ केन्द्र पर $60^{\circ}$ का कोण बनाती है। इस प्रकार निर्मित दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

त्रिज्यखण्ड' OPXQ का क्षेत्रफल

$=\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi \times 8^{2}$

$\doteq \frac{32}{3} \pi$ सेमी

 समबाहु ΔOPQ का क्षेत्रफल

$=\frac{\sqrt{3}}{4} \times 8^{2}$

$=16 \sqrt{3}$ सेमी

लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड PQXQ का क्षेत्रफल- समबाहु ΔOPQ का क्षेत्रफल

$=\frac{32}{3}-16 \sqrt{3}$

$=\frac{16}{3}(2 \pi-3 \sqrt{3})$ सेमी $^{2}$

दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल

= वृत्त का क्षेत्रफल - लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल

$=\pi \times 8^{2}-\frac{16}{3}(2 \pi-3 \sqrt{3})$

$=64 \pi-\frac{32 \pi}{3}+16 \sqrt{3}$

$=\frac{160 \pi}{3}+16 \sqrt{3}$

$=\frac{16}{3}[10 \pi+3 \sqrt{3}]$ सेमी ${ }^{2} 1$

प्रश्न 9.

52 सेमी त्रिज्या के वृत्त के किसी त्रिज्यखण्ड' का परिमाप 16.4 सेमी है। वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

त्रिज्या OP=OQ=5.2 सेमी

वृत्तखण्ड की लम्बाई = वृत्तखण्ड OPQ का परिमाप-OP-OQ

$\begin{aligned} l &=16.4-5.2-5.2 \\ &=16.4-10.4 \end{aligned}$

l=6 सेमी

अब वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} l \times r$

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2} \times 6 \times 5.2 \\&=3 \times 5.2 \end{aligned}$

=15.6 सेमी 

प्रश्न 10.

 एक वृत्ताकार ब्रूच (brooch) को चाँदी के तार से बनाया जाना है जिसका व्यास 35 मिमी. है। तार को वृत्त के 5 व्यासों को बनाने में भी प्रयुक्त किया गया है जो उसे 10 बराबर त्रिज्यखण्डों में विभाजित' करता है जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है, तो ज्ञात कीजिए :

(i) कुल वांछित चाँदी के तार की लम्बाई,

(ii) ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल।

हल : 

(i) दिए गए वृत्ताकार ब्रूच का व्यास d=35 मिमी

तब त्रिज्या,

$r=\frac{35}{2}$ मिमी

वांछित चाँदी के तार की लम्बाई =परिधि $=\pi d$

$=\frac{22}{7} \times 35=110$ मिमी 

अब 5 व्यासों की कुल लम्बाई $=35 \times 5=175$ मिमी.

अतः कुल वांछित चाँदी के तार की लम्बाई

=110+175

=285 मिमी.

(ii) यहाँ प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का कोण $=\frac{360^{\circ}}{10}=36^{\circ}$

 प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल 

$\begin{aligned} &=\frac{\pi r^{2} \theta}{360^{\circ}} \\&=\frac{22}{7} \times \frac{35}{2} \times \frac{35}{2} \times \frac{36^{\circ}}{360^{\circ}} \\&=\frac{22 \times 35}{2 \times 2 \times 2}\end{aligned}$

$=\frac{385}{4}$ वर्ग मिमी. 

प्रश्न 11.

14 सेमी त्रिज्या के वृत्त की एक जीवां केन्द्र पर समकोण अन्तरित करती है। निम्न के मान ज्ञात कीजिए :

(i) लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल

(ii) दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल।

हल : 

(i) त्रिज्यखण्ड OPXQ का क्षेत्रफल

$\begin{aligned} &=\frac{\theta}{360^{\circ}} \pi r^{2} \\ &=\frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi \times 14 \times 14 \\ &=\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14  \end{aligned}$

=154 सेमी 

समद्विबाहु ΔOPQ का क्षेत्रफल

$=\frac{1}{2} \times O P \times O Q$

$=\frac{1}{2} \times 14 \times 14$

=98 सेमी $^{2}$

तब लघु वृत्तखण्ड' का क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड OPXQ का क्षेत्रफल- समद्विबाहु ΔOPQ का क्षेत्रफल

=154-98=56 सेमी

(ii) दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल=वृत्त का क्षेत्रफल - लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\pi r^{2}-56 \\&=\frac{22}{7} \times 14 \times 14-56 .\end{aligned}$

$=22 \times 28-56$

=616-56=560 सेमी $^{2}$

अतः (i) लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल =56 सेमी $^{2}$

(ii) दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल =560 सेमी

प्रश्न 12. 

आकृति में दो संकेन्द्रीय वृत्तों जिनकी त्रिज्याएँ 7 सेमी तथा 4 सेमी हैं, के त्रिज्यखण्ड विखाए गए हैं। छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। $\left(\pi=\frac{22}{7}\right.$ प्रयोग करें $)$

हल : 

छयांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड OAB का क्षेत्रफल - त्रिज्यखण्ड OPQ का

$=\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi \times(7)^{2}-\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi \times(4)^{2}$

$=\frac{1}{6} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7-\frac{1}{6} \times \frac{22}{7} \times 16$

$=\frac{77}{3}-\frac{176}{21}$

$=\frac{539-176}{21}$

$=\frac{363}{21}=\frac{121}{.7}$

$=17.28$ सेमी $^{2}$

अतः छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल =17.28 सेमी 

प्रश्न 13. 

एक वृत्त के चतुर्थांश (quadrant) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी परिधि 22 सेमी. है।

हल : 

$\because$ वृत्त की परिधि, $2 \pi r=22$ सेमी.

$2 \times \frac{22}{7} \times r=22$

$r=\frac{22 \times 7}{2 \times 22}=\frac{7}{2}$ सेमी.

$\therefore \quad$ वृत्त के चतुर्यांश का क्षेत्रफल $=\frac{1}{4} \pi r^{2}$ $\left[\theta=\frac{90^{\circ}}{360^{\circ}}\right]$

$=\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}$ $=\frac{77}{8} \cdot$ वर्ग सेमी.

अतः वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल. $-\frac{77}{8}$ वर्ग सेमी. होगा।

प्रश्न 14.

 त्रिज्या 21 सेमी. वाले वृत्त का एक चाप केन्द्र पर $60^{\circ}$ का कोण अन्तरित करता है। ज्ञात कीजिए :

(i) चाप की लम्बाई

(ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

(iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल।

हल : 

∵ वृत्त की त्रिज्या, r=21 सेमी.

चाप द्वारा केन्द्र पर बना कोण, $\theta=60^{\circ}$

(i) चाप की लम्बाई, $l=\frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2 \pi r$

$\begin{aligned}&=\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \\&=\frac{1}{3} \times 22 \times 3=22 \text { सेमी. }\end{aligned}$

अतः चाप की लम्बाई 22 सेमी है।

(ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} \\&=\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \\&=11 \times 21=231 \text { वर्ग सेमी. }\end{aligned}$

अतः चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखण्ड' का क्षेत्रफल 231 वर्ग सेमी. है

(iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल $=\frac{\pi r^{2} \theta}{360^{\circ}}-\frac{1}{2} r^{2} \sin \theta$

$=r^{2}\left[\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi-\frac{1}{2} \sin \theta\right]$

$=(21)^{2}\left[\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7}-\frac{1}{2} \sin 60^{\circ}\right]$

$=441\left[\frac{11}{21}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right]$

$=\left(231-\frac{441 \sqrt{3}}{4}\right)$ वर्ग सेमी.

त्रिज्या 12 सेमी. वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर $120^{\circ}$ का कोण अन्तरित करती है। संगत

वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। $(\pi=3.14$ तथा $\sqrt{3}=1.73$ का प्रयोग कीजिए।

हल : दिया है :वृत्त की त्रिज्या, $r=12$ सेमी.

जीवा द्वारा केन्द्र पर बना कोण, $\theta=120^{\circ}$

$\therefore \quad$ संगत लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल $=\frac{\pi r^{2} \theta}{360^{\circ}}-\frac{1}{2} r^{2} \sin \theta$

$=r^{2}\left[\frac{\pi \theta}{360^{\circ}}-\frac{1}{2} \sin \theta\right]$

$=(12)^{2}\left[\frac{3.14 \times 120^{\circ}}{360^{\circ}}-\frac{1}{2} \sin 120^{\circ}\right]$

$=144\left[\frac{3.14}{3}-\frac{1}{2} \sin 60^{\circ}\right]$

$=144\left[\frac{3.14}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right]$

$=144\left[\frac{3.14}{3}-\frac{1.73}{4}\right]$

$=444\left[\frac{12.56-5.19}{12}\right]$

$=\frac{144 \times 7.37}{12}$

$=12 \times 7.37=88.44$ वर्ग सेमी.

प्रश्न 16. 

15 सेमी. भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूँटे से एक घोड़े को 5 मी. लम्बी रस्सी से बाँध दिया गया है (देखिए आकृति में)। ज्ञात कीजिए :

(i) मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा घास चर सकता है।

(ii) चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि, यदि घोड़े को 5 मी. लम्बी रस्सी के स्थान पर 10 मी. लम्बी रस्सी से बाँध दिया जाए। $(\pi=3.14$ का प्रयोग कीजिए।

हल : 

$\because$ वर्गाकार मैदान की भुजा =15 मी.

$\because$ रस्सी की माप वृत्त की त्रिज्या के बराबर होगी।

$\therefore$ वृत्त की त्रिज्या, $r=5$ मी.

(i) $\because$ मैदान वर्गाकार है, इसलिए जीवा द्वारा बना कोण $=90^{\circ}$

$\because$ जहाँ घोड़ा घास चर सकता है, उस मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} \\&=\frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times 3.14 \times 25 \\&=\frac{78.5}{4}\end{aligned}$

=19.625 वर्ग सेमी

(ii) यदि रस्सी की माप 5 मी. के स्थान पर 10 मी. कर दी जाए, तब वृत्त की त्रिज्या, $r=10$ मी.

10 मी. वाले मैदान जहॉँ घोड़ा घास चर सकता है, उस भाग का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} \\&=\frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times 3.14 \times 100 \\&=3.14 \times 25=78.50\end{aligned}$

$\therefore$ चरे जा सकने वाले दोनों क्षेत्रफलों की तुलना

=78.5-19.625=58.875 वर्ग मी. 

प्रश्न 17. 

एक छतरी में आठ ताने हैं, जो बराबर दूरी पर लगे हुए हैं (देखिए आकृति में) छतरी को 45 सेमी त्रिज्या वाला एक सपाट वृत्त मानते-हुए, इसकी दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

चूँकि छ्सरी के तान की माप छ्तरी की त्रिज्या के बराबर होगी।

अर्थात्  छतरी की त्रिज्या, r=45 सेमी.

$\because$ दो तानों के बीच एक त्रिज्यखण्ड बनेगा तथा त्रिज्यखण्ड का प्रत्येक कोण

$=\frac{360^{\circ}}{8}=45^{\circ}$

दो तानों के बीच बनने वाले त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल $=\frac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$

$\begin{aligned}&=\frac{45^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 45 \times 45 \\&=\frac{22 \times 2025}{56}=\frac{22275}{28}\end{aligned}$

अतः दो तानों के बीच का क्षेत्रफल $\frac{22275}{28}$ वर्ग सेमी।

प्रश्न 18.

 किसी कार के दो वाइपर (wipers) हैं, परस्पर कभी आच्छादित नहीं होते हैं। प्रत्येक वाइपर की पत्ती की लम्बाई 25 सेमी. है और $115^{\circ}$ के कोण तक घूम कर सफाई कर सकता है। पत्तियों की प्रत्येक बुहार के साथ जितना क्षेत्रफल साफ हो जाता है, वह ज्ञात कीजिए।

हल : 

चूँकि कार के वाइपर की पत्ती की लम्बाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है। 

अंर्था  त्वृत्त की त्रिज्या, r=25 सेमी.

कार के वाइपर की पत्ती का घूमने वाली धुरी पर कोण

$=115^{\circ}$

अब दोनों पत्तियों की प्रत्येक बुहार के साथ साफ हुआ क्षेत्रफल

=2 × एक पत्ती द्वारा साफ किया गया क्षे. 

$\begin{aligned}&=2 \times \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} \\&=2 \times \frac{115^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 25 \times 25 \\&=\frac{23 \times 11 \times 625}{18 \times 7} \end{aligned}$

$=\frac{158125}{126}$ वर्ग सेमी.

प्रश्न 19. 

जहाजों को समुद्र में जलस्तर के नीचे स्थित चट्टानों को चेतावनी देने के लिए, एक लाइट हाउस (light house) $80^{\circ}$ कोण वाले एक त्रिज्यखण्ड में $16.5$ किमी. की दूरी तक लाल रंग का प्रकाश फैलाता है। समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें जहाजों को चेतावनी दी जा सके। $(\pi=3.14$ का प्रयोग कीजिए।

हल : 

त्रिज्यखण्ड का कोण, $\theta=80^{\circ}$

लाल रंग के प्रकाश फैलने की दूरी = त्रिज्यखण्ड' की त्रिज्या

अर्थात् त्रिज्यखण्ड की त्रिज्या, r=16.5 किमी

त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} \\&=\frac{80^{\circ}}{360^{\circ}} \times 3.14 \times 16.5 \times 16.5 \\&=\frac{1709.73}{9}\end{aligned}$

=189.97 वर्ग किमी।

उत्तर

प्रश्न 20. 

एक गोल मेजपोश पर छः समान डिजाइन बने हुए हैं जैसाकि आकृति में दर्शाया गया है। यदि मेजपोश की त्रिज्या 28 सेमी है, तो ई $0.35$ प्रति वर्ग सेमी की दर से इन डिजाइनों को बनाने की लागत ज्ञात कीजिए। ( $\sqrt{3}=1.7$ का प्रयोग कीजिए।

हल : 

दिए गए मेजपोश की त्रिज्या,

r=28 सेमी.

$\because$ मेजपोशन कुल छः समान डिजाइनों से निर्मित है। 

$\therefore$ जीवाओं द्वारा केन्द्र पर बना प्रत्येक कोण

$=\frac{360^{\circ}}{6}=60^{\circ}$

6 वृत्तखण्डों के क्षेत्रफल

$\begin{aligned} &=6\left[\frac{\pi^{2} \theta}{360^{\circ}}-\frac{1}{2} r^{2} \sin \theta\right]=6 \times r^{2}\left[\frac{\theta \pi}{360^{\circ}}-\frac{1}{2} \sin \theta\right] . \\ &=6 \times(28)^{2}\left[\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7}-\frac{1}{2} \sin 60^{\circ}\right] \\ &=6 \times 28 \times 28\left[\frac{11}{21}-\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right] \\ &=6 \times 28 \times 28\left[\frac{11}{21}-\frac{1.7}{4}\right] \\ &=6 \times 28 \times 28[44-35.7] \\ &=\frac{6 \times 28 \times 28 \times 8.3}{84} \end{aligned}$

=56×8.3=464.8 वर्ग सेमी.

1 वर्ग सेमी. की लागत = ई 0.35

464.8 वर्ग सेमी की लागत =0.35×464.8= ई 162.68