प्रश्नावली 12 (D)
बहुविकल्पिय प्रश्न
प्रत्येक प्रश्न के चार उत्तर दिये हैं। सही उत्तर छाँटकर लिखिए।
प्रश्न 1.
एक वृत्ताकार मार्ग के बाहरी और भीतरी व्यास क्रमशः 8 मीटर हैं। उसके दोनों तरफ तार खींचा जायं तो उसकी लम्बाई होगी :
(A) $28 \pi$ मीटर
(B) $14 \pi$ मीटर
(C) $12 \pi$ मीटर
(D) $4 \pi$ मीटर
हल :
वृत्ताकार मार्ग का बाहरी व्यास $=8$ मीटर
बाहरी त्रिज्या $=4$ मीटर
और भीतरी त्रिज्या $=3$ मीटर
बाहरी तरफ खींचे गये तार की लम्बाई $=2 \pi \times 4$
$=8 \pi$ मीटर
और भीतरी तरफ खींचे गये तार की लम्बाई $=2 \pi \times 3$
$=6 \pi$ मीटर
अब दोनों तरफ खींचे गये तार की कुल लम्बाई $=8 \pi+6 \pi$
$=14 \pi$ मीटर
अतः विकल्प (B) सही है। उत्तर
प्रश्न 2.
एक वृत्ताकार ट्रे का व्यास 16 सेमी है, तो बताइए वह मेज पर जगह घेरेगी:
(A) $64 \pi$ वर्ग सेमी
(B) $256 \pi$ वर्ग सेमी
(C) $16 \pi$ वर्ग सेमी
(D) $8 \pi$ वर्ग सेमी
हल :
एक वृत्ताकार ट्रे का व्यास $=16$ सेमी
- त्रिज्या, $r=\frac{16}{2}=8$ सेमी
मेज पर द्रे द्वारा घेरा गया स्थान $=4 \pi r^{2}$
$=256 \pi$ वर्ग सेमी
अतः विकल्प (B) सही है।
उत्तर
प्रश्न 3.
दो संकेन्द्रीय' वृत्तों के व्यास क्रमशः 8 सेमी और 10 सेमी हैं। उनके बीच के भाग का क्षेत्रफल होगा-
(A) $\pi\left(5^{2}-4^{2}\right)$ वर्ग सेमी
(B) $\pi\left(10^{2}-8^{2}\right)$ वर्ग सेमी
(C) $\pi\left(20^{2}-16^{2}\right)$ वर्ग सेमी
(D) $\pi(\mathbf{1 0 - 8})$ वर्ग सेमी
हल :
माना बड़े वृत्त की त्रिज्या, $r_{1}=\frac{10}{2}$ सेमी
$=5$ सेमी
तथा छोटे वाले वृत्त की त्रिज्या, $r_{2}=\frac{8}{2}$ सेमी
$=4$ सेमी
$\therefore \quad$ दोनों वृत्तों के बीच के भाग का क्षेत्रफल $=\pi\left(r_{1}{ }^{2}-r_{2}{ }^{2}\right)$
$=\pi\left(5^{2}-4^{2}\right)$ वर्ग सेमी
अतः विकल्प (A) सही है।
प्रश्न 4.
पार्श्व के चित्र में दिये हुए आकार $\mathrm{OAB}$ को कहते हैं :
(A) त्रिभुज
(B) त्रिज्यखण्ड
(C) जीवा
(D) चाप
उत्तर-
दिए गए चित्र में आकार $\mathrm{OAB}$ को त्रिज्यखण्ड कहते हैं। अतः विकल्प (B) सही है।
प्रश्न 5.
एक वृत्त का क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी है, उसकी त्रिज्या होगी :
(A) 14 सेमी
(B) 7 सेमी
(C) $154.4$ सेमी
(D) 11 सेमी।
हल :
दिए गए वृत्त का क्षेत्रफल $=154$ वर्ग सेमी
अर्थात्
$\begin{aligned}\pi r^{2} &=154 \\r^{2} &=\frac{154 \times 7}{22}\end{aligned}$
r=7 सेमी
अतः विकल्प (B) सही है।
प्रश्न 6.
यदि वृत्त की त्रिज्या $100 \%$ बढ़ा दी जाये तो इसका क्षेत्रफल पहले क्षेत्रफल से होगा-
(A) दुगुना
(B) बराबर
(C) चौगुना
(D) तिगुना .
हल :
माना वृत्त की त्रिज्या $=r$ हो, तब
वृत्त का क्षेत्रफल $=\pi r^{2}$
वृद्धि करने के बाद त्रिज्या
$\begin{aligned} &=r+\frac{100}{100} r \\ &=2 r \end{aligned}$
$\therefore $जब त्रिज्या $2 r$ हो, तब क्षेत्रफल $=\pi(2 r)^{2}$
$=4 \pi r^{2}$
$=4 \times$ वृत्त का क्षेत्रफल
अतः विकल्प (C) सही है।
प्रश्न 7.
यदि वृत्त की त्रिज्या $100 \%$ बढ़ा दी जाये तो इसके क्षेत्रफल में वृद्धि होगी :
(A) $400 \%$
(B) $300 \%$
(C) $200 \%$
(D) $100 \%$
हल :
प्रश्न 6 के हल की भाँति,
वृत्त के क्षेत्रफल में वृद्धि $=\frac{4 \pi r^{2}-\pi r^{2}}{\pi r^{2}} \times 100 \%$
$\begin{aligned}&=\frac{3 \pi r^{2}}{\pi r^{2}} \times 100 \% \\&=300 \%\end{aligned}$
अतः विकल्प (B) सही है। उत्तर
प्रश्न 8.
यदि वृत्त की त्रिज्या $50 \%$ कम कर दी जाये तो इसके क्षेत्रफल में कमी होगी-
(A) $75 \%$
(B) $25 \%$
(C) $\mathbf{5 0 \%}$
(D) $100 \%$.
हल :
माना वृत्त की त्रिज्या $=r$ हो, तब
वृत्त का क्षेत्रफल $=\pi r^{2}$
नवीन त्रिज्या $=r-\frac{50}{100} r=\frac{r}{2}$,
नवीन वृत्त का क्षेत्रफल $=\pi\left(\frac{r}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4} \pi r^{2}$
क्षेत्रफल में कमी
$\begin{aligned} &=\frac{\pi r^{2}-\frac{1}{4} \pi r^{2}}{\pi r^{2}} \times 100 \% \\ &=\frac{3 \pi r^{2}}{4 \pi r^{2}} \times 100 \%=75 \% \end{aligned}$
अतः विकल्प (A) सही है। उत्तर
प्रश्न 9.
एक वृत्त की परिधि $50 \%$ कम कर दी जाये तो इसके क्षेत्रफल में कमी होगी-
(A) $\mathbf{5 0 \%}$
(B) $\mathbf{7 5 \%}$
(C) $25 \%$
(D) बिल्कुल नहीं
हल :
माना वृत्त की त्रिज्या =r हो, तब वृत्त की परिधि $=2 \pi r$
कमी के बाद परिधि
$\begin{aligned}&=2 \pi r-\frac{50}{100} 2 \pi r \\&=\frac{1}{2} \times 2 \pi r=\pi r\end{aligned}$
या नवीन त्रिज्या $=\frac{C}{\pi}$
क्षेत्रफल में कमी $=\frac{\pi\left(\frac{\mathrm{C}}{\pi}\right)^{2}-\pi\left(\frac{\mathrm{C}}{2 \pi}\right)^{2}}{\pi\left(\frac{\mathrm{C}}{\pi}\right)^{2}} \times 100 \%$
$\begin{aligned}=& \frac{\frac{C^{2}}{\pi^{2}}-\frac{C^{2}}{4 \pi^{2}}}{\frac{C^{2}}{\pi^{2}}} \times 100 \% \\=& \frac{\frac{C^{2}}{\pi^{2}}\left[1-\frac{1}{4}\right]}{\frac{C^{2}}{\pi^{2}}} \times 100 \% \\=& \frac{3}{4} \times 100 \% \\=& 75 \% \end{aligned}$
अतः विकल्प (B) सही है।
प्रश्न 10.
यदि वृत्त की त्रिज्या $a$ है, तो वृत्त की परिधि होगी-
(A) $\pi a$
(B) $2 \pi a$
(C) $\frac{\pi a}{2}$
(D) $2 \pi^{2}$
हल :
वृत्त की त्रिज्या $=a$
$\therefore$ वृत्त की परिधि $=2 \pi a$
अतः विकल्प (B) सही है।
प्रश्न 11.
वृत्त का व्यास R सेमी हो तो उसका क्षेत्रफल होगा-
(A) $\pi R^{2}$ वर्ग सेमी
(B) $\frac{1}{2} \pi R^{2}$ वर्ग सेमी
(C) $\frac{1}{4} \pi R^{2}$ वर्ग सेमी
(D) $2 \pi \mathrm{R}^{2}$ वर्ग सेमी
हल :
दिया है :वृत्त का व्यास $=\mathrm{R}$ सेमी
त्रिज्या $=\frac{\mathrm{R}}{2}$ सेमी
∴वृत्त का क्षेत्रफल
$\begin{aligned} &=\pi\left(\frac{\mathrm{R}}{2}\right)^{2} \\ &=\frac{1}{4} \pi \mathrm{R}^{2} \end{aligned}$
अतः विकल्प (C) सही है।
प्रश्न 12.
एक वृत्ताकार खेल के मैदान की त्रिज्या 7 मीटर है तो खेल के मैदान के 10 चक्कर लगाने में दूरी तय करनी होगी।
(A) $70 \pi$ मीटर
(B) 220 मीटर
(C) 700 मीटर
(D) 440 मीटर
हल :
वृत्ताकार खेल के मैदान की त्रिज्या $=7$ मीटर
$\because \quad 1$ चक्कर में तय की गयी दूरी $=2 \pi \times 7$
$\therefore \quad 10$ चक्कर में तय की गयी दूरी $=2 \pi \times 7 \times 10$
$=2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 10$
$=440$ मीटर
अतः विकल्प (D) सही है।उत्तर
प्रश्न 13.
उस वृत्त की परिधि, जिसकी त्रिज्या 14 सेमी है, होगी :
(A) 22 सेमी
(B) 44 सेमी
(C) 88 सेमी
(D) 132 सेमी
हल :
दिया है :
वृत्त की त्रिज्या $=14$ सेमी
$\therefore$ वृत्त की परिधि =2𝛑त्रिज्या
$=2 \times \frac{22}{7} \times 14$
=88 सेमी
अतः विकल्प (C) सही है।
प्रश्न 14.
एक गाय मैदान में रस्सी द्वारा खूँटी से बँधी है। यदि रस्सी की लम्बाई 14 मीटर हो तो वह जिस हिस्से की घास चर सकती है, उसका क्षेत्रफल होगा-
(A) 44 वर्ग मीटर
(B) 88 वर्ग मीटर
(C) 308 वर्ग मीटर
(D) 616 वर्ग मीटर।
हल :
रस्सी की लम्बाई, अर्थात् त्रिज्या $=14$ मीटर
रस्सी द्वारा घास चरने वाले स्थान का क्षेत्रफल=𝛑 त्रिज्या $^{2}$
$=\frac{22}{7} \times 14 \times 14$
=616 वर्ग मी।
अतः विकल्प (D) सही है। उत्तर
प्रश्न 15.
आकृति में, एक चतुर्थांश $O P B Q$ के अन्तर्गत एक वर्ग $O A B C$ बना हुआ है। यदि $O A=20$ सेमी है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए $(\pi=3.14$ लीजिए। $)$
हल :
$\because \mathrm{OABC}$ एक वर्ग है जिसकी जिसकी प्रत्येक भुजा 20 सेमी. है। यदि वर्ग का विकर्ण $O B$ हो, तो समकोण $\triangle O A B$ में,
$\mathrm{OB}^{2}=\mathrm{OA}^{2}+\mathrm{AB}^{2}$ (पाइथागोरस प्रमेय से)
$\begin{aligned} &=(20)^{2}+(20)^{2}=400+400 \\ \mathrm{OB}^{2} &=800 \end{aligned}$
OB$=20 \sqrt{2}$ सेमी.
वर्ग के विकर्ण OB की लम्बाई चतुर्थांश $\mathrm{OPBQ}$ की त्रिज्या, r के बराबर होगी, अर्थात् $r=20 \sqrt{2}$ सेमी. अब
चतुर्थांश OPBQ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{4} \pi r^{2}$
$=\frac{1}{4} \times 3.14 \times 800 $
=3.14 ×200
=628 वर्ग सेमी.
वर्ग OABC का क्षेत्रफल वर्ग की भुजा $^{2}=(20)^{2}$
=400 वर्ग सेमी.
छायांकित भाग का क्षेत्रफल =(628-400) वर्ग सेमी.
=228 वर्ग सेमी.।
प्रश्न 16.
आकृति में, ABC त्रिज्या 14 सेमी. वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है तथा BC को व्यास मानकर एक अर्ब्बवृत्त खींचा गया है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
दिए गए चित्र में चतुर्थांश ABC की त्रिज्या, $r=14$ सेमी.
$\therefore$ चतुर्थाश ABC का क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=\frac{1}{4} \pi r^{2} \\&=\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \end{aligned}$
=154 वर्ग सेमी.
समंकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times$ लम्ब $\times$ आधार
$\begin{aligned}&=\frac{1}{2} \times 14 \times 14\end{aligned}$
=98 वर्ग सेमी.
समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में,
AB=AC=14 सेमी.
$\begin{aligned} \angle \mathrm{BAC} &=90^{\circ} \\ \mathrm{BC}^{2} &=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2} \end{aligned}$ (पाइथागोरस प्रमेय से)
$\begin{aligned}&=(14)^{2}+(14)^{2} \\&=196+196 \\\mathrm{BC}^{2} &=392 \\\mathrm{BC} &=14 \sqrt{2}\\&=14 \sqrt{2}\end{aligned}$
BC अर्द्धवृत्त की त्रिज्या $=\frac{14 \sqrt{2}}{2}$
$=7 \sqrt{2}$ सेमी.
अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 7 \sqrt{2} \times 7 \sqrt{2}$
=154 वर्ग सेमी.
अतः छायांकित भाग का क्षेत्रफल 98 वर्ग सेमी. है।
प्रश्न 17.
आकृति में, छायांकित डिजाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जो 8 सेमी. त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों के चतुर्थाशों के बीच उभयनिष्ठ है।
हल :
माना दो चतुर्थांश $\mathrm{ABMD}$ तथा $\mathrm{BNDC}$ हैं जिसकी त्रिज्या 8 सेमी. है।
दोनों चतुर्थांशों के क्षेत्रफल $=2 \times \frac{1}{4} \pi r^{2}$
$=\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 8 \times 8$
$=\frac{704}{7}$ वर्ग सेमी.
वर्ग ABCD का क्षेत्रफल =भुजा $^{2}$
=8×8=64 वर्ग सेमी.
छायांकित डिजाइन का क्षेत्रफल = दोनों चतुर्थांशों के क्षेत्रफल - वर्ग $\mathrm{ABCD}$ का क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=\left(\frac{704}{7}-64\right) \\&=\left(\frac{704-448}{7}\right) \end{aligned}$
$=\frac{256}{7}$ वर्ग सेमी.
उत्तर
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