Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 6 त्रिभुज (Triangles) प्रश्नावली 6(C)

 प्रश्नावली 6(C)

प्रश्न 1

दी हुई आकृति में $\mathrm{CM}$ और $\mathrm{RN}$ क्रमशः $\triangle \mathrm{ABC}$ और $\triangle \mathrm{PQR}$ की माध्यिकाएँ हैं। यदि $\triangle \mathrm{ABC} \sim$ $\triangle \mathrm{PQR}$ है तो सिद्ध कीजिए कि

(i) $\triangle \mathbf{A M C} \sim \mathbf{P N R}$

(ii) $\frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{RN}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}$

(iii) $\Delta \mathbf{C M B} \sim \triangle \mathbf{R N Q}$

हल : 

(i) दिया है :$\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{PQR}$

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{RP}}$.........(i)

$\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{P}, \angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{Q}$ और $\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{R}$

$\mathrm{AB}=2 \mathrm{AM}$ और $\mathrm{PQ}=2 \mathrm{PN}$

                                                         $(\because \mathrm{CM}$ और $\mathrm{RN}$ माध्यिकाएँ हैं।)

समी. (i) से,

$\frac{2 \mathrm{AM}}{2 \mathrm{PN}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{RP}}$

अर्थात् $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{PN}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{RP}}$..........(iii)

साथ ही $\angle \mathrm{MAC}=\angle \mathrm{NPR}$ (समी. (ii) से)...(iv)

समी. (iii) तथा (iv) से, $\triangle \mathrm{AMC} \sim \triangle \mathrm{PNR}$ (भुजा कोण भुजा समरुपता से)...(v)

(ii) समीकरण (v) से $\frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{RN}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{RP}}$......(vi)

$\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{RP}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}$ (समी. (i) से) ...(vii)

$\frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{RN}} \cdot=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}$ (समी. (vi) तथा (vii) से) ...(viii)

(iii) पुनः $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}$ (समी. (i) से)

अतः $\frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{RN}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}$(समी. (viii) से)....(ix)

साथ ही

$\frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{RN}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{2 \mathrm{BM}}{2 \mathrm{QN}}$

अर्थात्

$\frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{RN}}=\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{QN}}$........(x)

अर्थात् $\frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{RN}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}=\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{QN}}$ (समी. (ix) तथा (x) से)

अतः $\Delta \mathrm{CMB} \sim \Delta \mathrm{RNQ}$ (भुजा-भुजा-भुजा समरुपता से)

प्रश्न 2

बताइए कि निम्न आकृतियों में दिए त्रिभुजों के युगमों में से कौन-कौन से युग्म समरूप हैं। उस समरूपता कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग आपने उत्तर देने में किया है तथा साथ ही समरूप त्रिभुजों को सांकेतिक रूप में व्यक्त कीजिएं।

हल : 

(i) $\triangle \mathrm{ABC}$ और $\triangle \mathrm{PQR}$ में,

$\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{P}=60^{\circ}, \angle\mathrm{B}=\angle\mathrm{Q}=80^{\circ}, \angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{R}=40^{\circ}$

$\therefore$ संगत कोण समान हैं।

अतः समरूपता की $\mathrm{AAA}$ कसौटी से

$\Delta \mathrm{ABC} \sim \Delta \mathrm{PQR}$

(ii) $\Delta \mathrm{LMP}$ और $\Delta \mathrm{DEF}$ में,

$\begin{aligned}&\frac{\mathrm{LM}}{\mathrm{DE}}=\frac{2.7}{4} \\&\frac{\mathrm{MP}}{\mathrm{EF}}=\frac{2}{5} \\&\frac{\mathrm{LP}}{\mathrm{DF}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \\&\frac{\mathrm{LM}}{\mathrm{DE}} \neq \frac{\mathrm{MP}}{\mathrm{EF}} \neq\frac{\mathrm{LP}}{\mathrm{DF}}\end{aligned}$\

अतः $\Delta \mathrm{LMP}$ और $\triangle \mathrm{DEF}$ समरूप नहीं है।

(iii) $\triangle \mathrm{ABC}$ और $\triangle \mathrm{QRP}$ में,

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{QR}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} ; \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{RP}}=\frac{2.5}{5}=\frac{1}{2}$

$\frac{C A}{P Q}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

$\frac{A B}{Q R}=\frac{B C}{R P}=\frac{C A}{P Q}$

अतः SSS कसौटी का प्रयोग करने पर, $\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{QRP}$.

(iv) $\triangle \mathrm{DEF}$ और $\triangle \mathrm{PQR}$ में,

$\angle\mathrm{F}=180^{\circ}\left(70^{\circ}+80^{\circ}\right)=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}$

$\angle \mathrm{P}=180^{\circ} \left(80^{\circ}+30^{\circ}\right)=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$

$\angle \mathrm{D}=\angle \mathrm{P}=70^{\circ}, \angle \mathrm{E}=\angle \mathrm{Q}=80^{\circ}, \angle \mathrm{F}=\angle \mathrm{R}=30^{\circ}$

$\therefore \mathrm{AAA}$ समरूप'ता' कसौटी का प्रयोग करके, $\Delta \mathrm{DEF} \sim \triangle \mathrm{PQR}$

(v) $\Delta \mathrm{MNL}$ और $\Delta \mathrm{QPR}$ में,

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{ML}}{\mathrm{QR}} &=\frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{QP}}=\frac{1}{2} \\ \angle \mathrm{NML} &=\angle \mathrm{PQR}=70^{\circ} \\ \Delta \mathrm{MNL} & \sim \Delta \mathrm{QPR} \end{aligned}$ $\therefore$ SAS कसौटी से,

(vi) $\triangle \mathrm{ABC}$ और $\triangle \mathrm{FDE}$ में,

$\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{EFD}=80^{\circ}$

तथा $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$ और $\frac{\mathrm{FD}}{\mathrm{FE}}$ अज्ञात हैं।

$\therefore$ त्रिभुज समरूप नहीं हैं।

प्रश्न 3

निम्न आकृति में, $\triangle \mathrm{ODC} \sim \triangle \mathrm{OBA}, \angle \mathrm{BOC}=125^{\circ}$ और $\angle \mathrm{CDO}=70^{\circ}$ है। $\angle \mathrm{DOC}, \angle \mathrm{DCO}$ और $\angle O A B$ ज्ञात कीजिए।

हल : 

दिया है : 

 $\begin{aligned} \angle \mathrm{BOC} &=125^{\circ} \text { और } \angle \mathrm{CDO}=70^{\circ} \\ \angle \mathrm{DOC}+\angle \mathrm{BOC} &=180^{\circ} \\ \angle \mathrm{DOC} &=180^{\circ}-125^{\circ}=55^{\circ} \end{aligned}$

$\Delta \mathrm{DOC}$ में,

$\angle \mathrm{DOC}+\angle \mathrm{DCO}+\angle \mathrm{CDO}=180^{\circ}$ (त्रिभुज के कोणों के योगफल के नियम से)

$\begin{aligned} 55^{\circ}+\angle \mathrm{DCO}+70^{\circ} &=180^{\circ} \\ \angle \mathrm{DCO} &=180^{\circ}-125^{\circ}=55^{\circ} \\ \Delta \mathrm{ODC} & \sim \Delta \mathrm{OBA} \\ \angle \mathrm{OCD} &=\angle \mathrm{OAB}=55^{\circ} \end{aligned}$

अत: $\angle \mathrm{DOC}=55^{\circ}$ और $\angle \mathrm{OAB}=55^{\circ}$ तथा $\angle \mathrm{DCO}=55^{\circ}$.उत्तर

प्रश्न 4

$\triangle \mathrm{PQR}$ की भुजाओं $\mathrm{PR}$ और $\mathrm{QR}$ पर क्रमशः बिंदु $\mathrm{S}$ और $\mathrm{T}$ इस प्रकार स्थित हैं कि $\angle \mathrm{P}=\angle \mathrm{RTS}$ है। दर्शाइए कि $\Delta$ RPQ $\sim \triangle$ RTS है।

हल : 

आकृति में $P Q R$ एक त्रिभुज है जिसमें भुजा $Q R$ पर बिन्दु $T$ और भुजा $P R$ पर बिन्दु S हैं

$\angle \mathrm{RTS}=\angle \mathrm{P}$

अब $\triangle \mathrm{RPQ}$ और $\triangle \mathrm{RTS}$ में,

$\angle \mathrm{RPQ}=\angle \mathrm{RTS}$ [ज्ञात है]

$\angle \mathrm{PRQ}=\angle \mathrm{TRS}$[उभयनिष्ठ]

$\mathrm{AA}$ समरूपता कसौटी में

$\Delta \mathrm{RPQ} \sim \Delta \mathrm{RTS}$

प्रश्न 5

निम्न आकृति में, यदि $\triangle \mathrm{ABE} \cong \triangle \mathrm{ACD}$ है, तो दर्शाइए कि $\triangle \mathrm{ADE} \sim \triangle \mathrm{ABC}$ है।

हल : 

दिया गया है :

$\triangle \mathrm{ABE} \cong \triangle \mathrm{ACD}$

$\therefore$ इनके संगत भाग समान हैं।

$\begin{aligned} \mathrm{AB} &=\mathrm{AC} \\ \mathrm{AE} &=\mathrm{AD} \\ \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}} &=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AD}} \Rightarrow \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AE}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AD}} \\ \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}} &=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AE}} \end{aligned}$...........(1)

                                                                                             $[\because\mathrm{AE}=\mathrm{AD}]$                               

अब $\triangle \mathrm{ADE}$ और $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\begin{aligned}\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AE}} &=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}} \\\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}} &=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AE}} \\\angle \mathrm{DAE} &=\angle \mathrm{BAC}\end{aligned}$

समरूपता की SAS कसौटी में,

$\triangle \mathrm{ADE} \sim \triangle \mathrm{ABC}$

प्रश्न 6

समांतर चतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$ की बढ़ाई गई भुजा $\mathrm{AD}$ पर स्थित $\mathrm{E}$ एक बिंदु है तथा $\mathrm{BE}$ भुजा $\mathrm{CD}$ को $\mathrm{F}$ पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि $\triangle \mathrm{ABE} \sim \triangle \mathrm{CFB}$ है।

हल : 

दिया गया है : समान्तर चतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$, जिसमें $\mathrm{BE}$ और $\mathrm{CD}$ बिन्दु $\mathrm{F}$ पर प्रतिच्छेदित होती हैं। $\mathrm{E},(\mathrm{AD}$ को बढ़ाने पर) $\mathrm{AD}$ और $\mathrm{BF}$ का प्रतिच्छेदी बिन्दु है।

अब $\triangle \mathrm{ABE}$ और $\Delta \mathrm{CFB}$ में,

$\angle \mathrm{BAE}=\angle \mathrm{FCB}$ [समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण]

$\angle \mathrm{AEB}=\angle \mathrm{CBF}$ [एकान्त'र कोण]

$\therefore$ समरूपता की $\mathrm{AA}$ कसौटी से
$\Delta \mathrm{ABE} \sim \Delta \mathrm{CFB}$

प्रश्न 7

$\mathrm{CD}$ और $\mathrm{GH}$ क्रमशः $\angle \mathrm{ACB}$ और $\angle \mathrm{EGF}$ के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिंदु $\mathrm{D}$ और $\mathrm{H}$ क्रमशः $\triangle \mathrm{ABC}$ और $\triangle \mathrm{FEG}$ की भुजाओं $\mathrm{AB}$ और $\mathrm{FE}$ पर स्थित हैं। यदि $\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{FEG}$ है, तो दर्शाइए कि :

(i) $\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{GH}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{FG}}$

(ii) $\Delta \mathrm{DCB} \sim \Delta \mathrm{HGE}$

(iii) $\Delta \mathrm{DCA} \sim \Delta \mathrm{HGF}$

हल : 

दिया है : दो समरूप त्रिभुज $\triangle \mathrm{ABC}$ और $\triangle \mathrm{FEG}$ इस प्रकार हैं कि :

$\angle \mathrm{ACB}$ और $\angle \mathrm{FGE}$ के समद्विभाजक क्रमशः $\mathrm{CD}$ और $\mathrm{GH}$ हैं।

(i) $\triangle \mathrm{ACD}$ और $\triangle \mathrm{FGH}$ में,

$\angle \mathrm{CAD}=\angle \mathrm{GFH}$

$[\because \triangle \mathrm{ABC} \sim \Delta \mathrm{FEG} \Rightarrow \angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{F}]$

$\triangle \mathrm{ABC} \sim \Delta \mathrm{FEG}$[ज्ञात है]

$\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{G}$.........(1)

$\angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{FGH}$.........(2)

समीकरण' (1) और (2) से,

$\Delta \mathrm{ACD} \sim \Delta \mathrm{FGH}$ [AA समरूपता से]

इनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हैं।

$\therefore\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{GH}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{FG}}$

(ii) $\triangle \mathrm{DCB}$ और $\Delta \mathrm{HGE}$ में

 $\angle \mathrm{DBC}=\angle \mathrm{HEG}$........(1)

                                 $[\because \Delta \mathrm{ABC} \sim \Delta \mathrm{FEG} \Rightarrow \angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{E}]$

$\triangle \mathrm{ABC} \sim \Delta \mathrm{FEG}$

$\angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{FGE}$

$\begin{aligned} \frac{1}{2} \angle \mathrm{ACB} &=\frac{1}{2} \angle \mathrm{FGE} \\ \angle \mathrm{DCB} &=\angle \mathrm{HGE} \end{aligned}$...........(2)

$\therefore$ समीकरण (1) और (2) से,

$\Delta \mathrm{DCB} \sim \Delta \mathrm{HGE} .$ [AA समरूपता से]

(iii) $\Delta \mathrm{DCA}$ और $\Delta \mathrm{HGF}$ में

$\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{HFG}$.....(1)

$\begin{aligned} \triangle \mathrm{ABC} & \sim \mathrm{DFEG} \\ \angle \mathrm{CAB} &=\angle \mathrm{GFE} \\ \angle \mathrm{CAD} &=\angle \mathrm{GFH} \\ \angle \mathrm{DAC} &=\angle \mathrm{HFG} \\ \triangle \mathrm{ABC} & \sim \Delta \mathrm{FEG} \\ \angle \mathrm{ACB} &=\angle \mathrm{FGE} \\ \frac{1}{2} \angle \mathrm{ACB} &=\frac{1}{2} \angle \mathrm{FGE} \\ \angle \mathrm{DCA} &=\angle \mathrm{HGF} \end{aligned}$......(2)

$\therefore$ समीकरण (1) और (2) से,

$\Delta \mathrm{DCA} \sim \Delta \mathrm{HGF}$ [AA समरूपता' से]

प्रश्न 8

एक त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ की भुजा $\mathrm{BC}$ पर एक बिंदु $\mathrm{D}$ इस प्रकार स्थित है कि $\angle \mathrm{ADC}=\angle \mathrm{BAC}$ है। दर्शाइए कि $\mathrm{CA}^{2}=\mathrm{CB} . \mathrm{CD}$ है।

हल : 

ज्ञात है : $\triangle \mathrm{ABC}$ जिसकी भुजा $\mathrm{BC}$ पर बिन्दु $\mathrm{D}$ इस प्रकार है कि $\angle \mathrm{ADC}=\angle \mathrm{BAC}$.

अब, $\triangle \mathrm{ABC}$ और $\triangle \mathrm{ADC}$ में,

 $\because$

$\begin{aligned}&\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{ADC} \\&\angle \mathrm{BCA}=\angle \mathrm{DCA}\end{aligned}$

$\therefore \mathrm{AA}$ समरूपता कसौटी द्वारा,

$\therefore$ इनकी संगत भुजाएँ समानुपाती' हैं

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{CD}} &=\frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{CA}} \\ \mathrm{CA} \times \mathrm{CA} &=\mathrm{CB} \times \mathrm{CD} \\ \mathrm{CA}^{2} &=\mathrm{CB} \times \mathrm{CD} . \end{aligned}$

प्रश्न 9

लंबाई 6 मी. वाले एक ऊध्राधर स्तंभ की भूमि पर छाया की लम्बाई 4 मी. है, जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लंबाई 28 मी. है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

दिया है : TR एक स्तम्भ जिसकी ऊँचाई तथा छाया 6 मी तथा 4 मी है। उसी समय एक मीनार जिसकी ऊँचाई माना $h$ मी तथा छाया 28 मी है।

अब समरूप $\Delta \mathrm{TRS}$ और $\Delta \mathrm{PQS}$ में,

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{TR}} &=\frac{\mathrm{QS}}{\mathrm{SR}} \\ \frac{h}{6} &=\frac{28}{4} \\ h &=\frac{6 \times 28}{4} \\ &=42 \text { मी } \end{aligned}$

अतः मीनार की ऊँचाई $=42$ मी।

प्रश्न 10

$\mathrm{AD}$ और $\mathrm{PM}$ त्रिभुजों $\mathrm{ABC}$ और $\mathrm{PQR}$ की क्रमशः 'माध्यिकाएँ हैं, जबकि $\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{PQR}$ है। सिद्ध कीजिए कि $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{PM}}$ है।

हल : 

दिया है : त्रिभुजों $\mathrm{ABC}$ तथा $\mathrm{PQR}$ की माध्यिकाएँ क्रमशः $\mathrm{AD}$ तथा $\mathrm{PM}$ हैं जहाँ $\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{PQR}$.

सिद्ध करना है :

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{PM}}$

उपपति : $\Delta \mathrm{ABD}$ तथा $\triangle \mathrm{PQM}$ में,

$\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{Q}$ $[\because \Delta \mathrm{ABC} \sim \Delta \mathrm{PQR}]$

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\frac{1}{2} \mathrm{BC}}{\frac{1}{2} \mathrm{QR}}$

$[\because \mathrm{AD}$ तथा $\mathrm{PM}, \mathrm{BC}$ तथा $\mathrm{QR}$ की माध्यिकाएँ हैं।]

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}} &=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{QM}} \\ \Delta \mathrm{ABD} & \sim \Delta \mathrm{PQM} \end{aligned}$ [SAS समरूपता से]

 $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{QM}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{PM}}$

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{PM}}$

प्रश्न 11

समलंब $\mathrm{ABCD}$, जिसमें $\mathrm{AB} \| \mathrm{DC}$ है, के विकर्ण $\mathrm{AC}$ और $\mathrm{BD}$ परस्पर $\mathrm{O}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। दो त्रिभुजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए, दर्शाइए कि $\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OC}}=\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OD}}$ है। 

हल :
हमें दिया गया है समलंब $\mathrm{ABCD}$ जिसमें $\mathrm{AB} \| \mathrm{DC}$ है। विकर्ण $\mathrm{AC}$ और $\mathrm{BD}$ परस्पर $\mathrm{O}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।

अब, $\triangle \mathrm{OAB}$ और $\triangle \mathrm{OCD}$ में,

$\therefore\mathrm{AB} \| \mathrm{DC}$ [ज्ञात है]

और $\mathrm{BD}$ इन्हें प्रतिच्छेद करती है।

$\angle O B A=\angle O D C$.............(1) [एकान्तर कोण]

इसी प्रकार, $\angle O A B=\angle O C D$ $\ldots$ (2) [एकान्तर कोण]

$\therefore \mathrm{AA}$ कसौटी से, 

अर्थात्

$\begin{aligned}\Delta \mathrm{OAB} & \sim \Delta \mathrm{OCD} \\\frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{OA}} &=\frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{OB}}\end{aligned}$

                         (समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं के अनुपात)

$\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OC}}=\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OC}}$

प्रश्न 12

दी गई आकृति में, $\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{QS}}=\frac{\mathrm{QT}}{\mathrm{PR}}$ तथा $\angle 1=\angle 2$ है। दर्शाइए कि $\Delta \mathrm{PQS} \sim \Delta \mathrm{TQR}$ है।

हल : 

$\triangle \mathrm{PQR}$ में, 

$\because$  $\angle 1=\angle 2$ 

$\therefore$ $\mathrm{PR}=\mathrm{QP}$.......(1)

                        [एक $\Delta$ में समान कोणों के सम्मुख भुजाएं समान होती हैं]

$\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{QS}}=\frac{\mathrm{QT}}{\mathrm{PR}}$[ज्ञात है] ...(2)

समीकरण (1) और $(2)$ से,

$\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{QS}}=\frac{\mathrm{QT}}{\mathrm{QP}} \text { या } \frac{\mathrm{QS}}{\mathrm{QR}}=\frac{\mathrm{QP}}{\mathrm{QT}}$.....(3)

अब $\triangle \mathrm{PQS}$ और $\triangle \mathrm{TQR}$ में,

$\begin{aligned}\mathrm{QS} &=\frac{\mathrm{QP}}{\mathrm{QT}} \\\angle \mathrm{SQP} &=\angle \mathrm{RQT}=\angle 1\end{aligned}$

अब, समरूपता की SAS कसौटी से,

$\Delta \mathrm{PQS} \sim \Delta \mathrm{TQR}$इति सिब्धम्।

प्रश्न 13

दी गई आकृति में, $\triangle \mathrm{ABC}$ के शीर्षलंब $\mathrm{AD}$ और $\mathrm{CE}$ परस्पर बिंदु $\mathrm{P}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि :

(i) $\triangle$ AEP $\sim$ CDP

(ii) $\triangle \mathrm{ABD} \sim \triangle \mathrm{CBE}$

(iii) $\triangle$ AEP $\triangle$ ADB

(iv) $\triangle$ PDC $\sim$ BEC

हल: 

$\triangle \mathrm{ABC}$ में, लम्ब $\mathrm{AD}$ और $\mathrm{CE}$ परस्पर $\mathrm{P}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। 

$\Rightarrow$ $\angle \mathrm{D}=\angle \mathrm{E}=90^{\circ}$ .................(1)

(i) $\triangle \mathrm{AEP}$ और $\Delta \mathrm{CDP}$ में,

$\angle \mathrm{AEP}=\angle \mathrm{CDP}$ [(1) से] 

$\angle \mathrm{EPA}=\angle \mathrm{DPC}$ [शीर्षाभिमुख कोण]

समरूपता' की $\mathrm{AA}$ कसौटी से,

$\triangle \mathrm{AEP} \sim \Delta \mathrm{CDP} .$

(ii) $\triangle \mathrm{ADB}$ और $\Delta \mathrm{CBE}$ में,

$\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{CEB}$  [(1) से] 

$\angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{CBE}$[उभयनिष्ठ]

$\therefore$ समरूपता की $\mathrm{AA}$ कसौटी से,

$\triangle \mathrm{ABD} \sim \Delta \mathrm{CBE}$

(iii) $\triangle \mathrm{AEP}$ और $\triangle \mathrm{ADB}$ में,

$\angle \mathrm{AEP}=\angle \mathrm{ADB}$ [(1) से] 

$\angle \mathrm{EAP}=\angle \mathrm{DAB}$[उभयनिष्ठ]

$\therefore$ समरूपता की $\mathrm{AA}$ कसौटी से,

$\triangle \mathrm{AEP} \sim \triangle \mathrm{ADB} .$

(iv) $\Delta \mathrm{PDC}$ और $\Delta \mathrm{BEC}$ में,

$\angle \mathrm{PDC}=\angle \mathrm{BEC}$  [(1) से] 

$\angle \mathrm{DCP}=\angle \mathrm{ECB}$[उभयनिष्ठ]

$\therefore$ समरूपता' की $\mathrm{AA}$ कसौटी से,

$\Delta \mathrm{PDC} \sim \Delta \mathrm{BEC} .$

प्रश्न 14

दी गई आकृति में, $\mathrm{ABC}$ और $\mathrm{AMP}$ दो समकोण त्रिभुज हैं, जिनके कोण $\mathrm{B}$ और $\mathrm{M}$ समकोण हैं। सिद्ध कीजिए कि :

(i) $\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{AMP}$

(ii) $\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{PA}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{MP}}$.

हल : 

दिया गया है :

समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ जो कि $\mathrm{B}$ पर समकोण है तथा $\triangle \mathrm{AMP}$ जिसमें $\mathrm{M}$ समकोण है।

 $\therefore\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{M}=90^{\circ}$..........(1)

(i) $\triangle \mathrm{ABC}$ और $\triangle \mathrm{AMP}$ में,

$\because\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{AMP}$ [(1) से]

$\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{MAP}$[उभयनिष्ठ]

$\therefore$ समरूपता की $\mathrm{AA}$ कसौटी से,

$\Delta \mathrm{ABC} \sim \Delta \mathrm{AMP} .$ इति सिद्धम् ।

              [ऊपर सिद्ध किया गया है]

(ii) $\because \Delta \mathrm{ABC} \sim \mathrm{AMP}$

$\therefore$ इनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हैं।

$\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{PA}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{MP}}$

प्रश्न 15

दी गई आकृति में, $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ वाले, एक समद्विबाहु त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ की बढ़ाई गई भुजा $\mathrm{CB}$ पर स्थित $\mathrm{E}$ एक बिंदु है। यदि $\mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}$ और $\mathrm{EF} \perp \mathrm{AC}$ है तो सिद्ध कीजिए कि $\triangle \mathrm{ABD} \sim \triangle \mathrm{ECF}$ है।

हल : 

हमें प्राप्त है :

एक समद्विबाहु $\triangle \mathrm{ABC}$ जिसमें $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ 

अब, $\triangle \mathrm{ABD}$ और $\triangle \mathrm{ECF}$ में,

चूंकि  A B=A C  [जात है]

और समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं। $\therefore$

$\angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{ABC}$ 

अर्थात् $\angle \mathrm{ECF}=\angle \mathrm{ABD}$...........(1)

पुनः $\mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}$ और $\mathrm{EF} \perp \mathrm{AC}$ तब $\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{EFC}=90^{\circ}$..........(2)

समीकरण (1) और (2) से,

$\Delta \mathrm{ABD} \sim \Delta \mathrm{ECF} .$[AA समरूपता से] इति सिद्धम्।

प्रश्न 16

$\mathrm{AD}$ और $\mathrm{PM}$ त्रिभुजों $\mathrm{ABC}$ और $\mathrm{PQR}$ की क्रमशः माध्यिकाएँ हैं, जबकि $\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{PQR}$ है। सिद्ध कीजिए कि $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{PM}}$ है।

हल : 

प्रश्न 10 का हल देखिए।

प्रश्न 17

एक त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ की भुजाएँ $\mathrm{AB}$ और $\mathrm{BC}$ तथा माध्यिका $\mathrm{AD}$ एक अन्य त्रिभुज $\mathrm{PQR}$ की क्रमशः भुजाओं $\mathrm{PQ}$ और $\mathrm{QR}$ तथा माध्यिका $\mathrm{PM}$ के समानुपाती हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि $\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{PQR}$ है।

हलः 

हमें ज्ञात है कि $\triangle \mathrm{ABC}$ और $\triangle \mathrm{PQR}$ में भुजाओं $\mathrm{BC}$ और $\mathrm{QR}$ के संगत माध्यिकाएँ क्रमश : $\mathrm{AD}$ और $\mathrm{PM}$ इस प्रकार हैं।

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{PM}}$

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\frac{1}{2} \mathrm{BC}}{\frac{1}{2} \mathrm{QR}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{PM}}$

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{QM}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{PM}}$

$\therefore$ समरूपता की AAA कसौटी से

$\Delta \mathrm{ABD} \sim \Delta \mathrm{PQM}$  [AAA समरूपता]

$\therefore$ इनके संगत कोण समान हैं,

$\Rightarrow\angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{PQM}$

या अर्थात्$\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{PQR}$

अब $\triangle \mathrm{ABC}$ और $\triangle \mathrm{PQR}$ में,

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}$ ...(1) [ज्ञात है]

$\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{PQR}$...(2) [सिद्ध किया है]

$\therefore \mathrm{SAS}$ समरूपता कसौटी से, $\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{PQR}$.

प्रश्न 18

एक त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ की भुजाएँ $\mathrm{AB}$ और $\mathrm{AC}$ तथा माध्यिका $\mathrm{AD}$ एक अन्य त्रिभुज की भुजाओं $\mathrm{PQ}$ और $\mathrm{PR}$ तथा माध्यिका $\mathrm{PM}$ के क्रमशः समानुपाती हैं। दर्शाइए कि $\Delta \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{PQR}$ है।

हल : 

दो त्रिभुजों $\mathrm{ABC}$ और $\mathrm{PQR}$ में,

$\mathrm{AD}$ और $\mathrm{PM}$ क्रमशः भुजाओं $\mathrm{BC}$ और $\mathrm{QR}$ के संगत माध्यिकाएँ हैं।

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\frac{1}{2} \mathrm{BC}}{\frac{1}{2}\mathrm{QR}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{PM}}$

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{QM}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{PM}}$

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{PR}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{PM}}$.....(1)

$\Delta \mathrm{ABD} \sim \Delta \mathrm{PQM}$[SSS समरूपता कसौटी से]

चूंकि समरूप त्रिभुजों के संगत कोण समान होते हैं

$\therefore\angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{PQM}$

या $\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{PQR}$............(2)

अब, $\triangle \mathrm{ABC}$ और $\triangle \mathrm{PQR}$ में,

$\because\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{PQR}$

$\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{PQR}$[समीकरणं (2) से]

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}$[समींकरण (1) से]

$\therefore$ SAS समरूपता कसौटी से,

$\Delta \mathrm{ABC} \sim \Delta \mathrm{PQR}$

Dr Manohar Re Solution CLASS 9 CHAPTER 6 रेखाएँ और कोण (Lines and Angles) प्रश्नावली 6(C)

प्रश्नावली 6(C) 

प्रश्न 1. 

चित्र में, $m \| n$ और $\angle 1$ तथा $\angle 2$ में 3: 2 का अनुपात है । $\angle 1$ से $\angle 8$ तक के सभी कोणों का मान ज्ञात कीजिए ।

हल : 

$\angle 1: \angle 2=3: 2$

समानुपाती भागों का योग $=3+2=5$

$\begin{aligned}\angle 1+\angle 2 &=180^{\circ} \\\angle 1 &=\frac{3}{5} \times 180=3 \times 36=108^{\circ} \\\angle 2 &=\frac{2}{5} \times 180=2\times 36=72^{\circ}\end{aligned}$

$\angle 3=\angle 1=108^{\circ} \text {, }$$(\because$ शीषारिमुख कोण हैं)

$\angle 4=\angle 2=72^{\circ}$(:: शोर्षाभिपुख कोण हैं)

$\angle 5=\angle 7=\angle 1=108^{\circ}$

$\angle 6=\angle 8=\angle 2=72^{\circ}$

$\angle 1=\angle 3=\angle 5=\angle 7=108^{\circ}$

$\angle 2=\angle 4=\angle 6=\angle 8=72^{\circ}$

प्रश्न 2.

चित्र में, यदि $m \| n$ और $\angle 4-\angle 6=30^{\circ}$, तो $\angle 1$ से $\angle 8$ तक के सभी कोणों का मान ज्ञात. कीजिए ।

हल :

m || n

$\begin{aligned} \angle 4-\angle 6 &=30^{\circ} \\ m & \| n \\ \angle 4+\angle 6 &=180^{\circ} \end{aligned}$

सम्बन्ध (1)+(2) से,

$2 \angle 4=210$

$\angle 4=\frac{210}{2}=105^{\circ}$

समीकरण (2) से,

$\begin{aligned} 105^{\circ}+\angle 6 &=180^{\circ} \\ \angle 6 &=180^{\circ}-105^{\circ} \\ &=75^{\circ} \\ \angle 1 &=180^{\circ}-\angle 4 \\ &=180^{\circ}-105^{\circ}=75^{\circ} \\ \angle 1 &=\angle 3=\angle 6=\angle 8=75^{\circ} \\ \angle 2 &=\angle 4=\angle 5=\angle 7=105^{\circ} . \end{aligned}$

प्रश्न 3. 

चित्र में, $p \| q$ और $\angle 3: \angle 8=1: 3$ तो $\angle 1$ से $\angle 8$ तक के सभी कोणों का मान ज्ञात कीजिए ।

हल :

$p \| q$

$\angle 3: \angle 8=1: 3$

$\angle 3+\angle 8=180^{\circ}$

समानुपाती भागों का योगफल $=1+3=4$

$\begin{aligned} \angle 3 &=\frac{1}{4} \times 180^{\circ}=45^{\circ} \\ \angle 8 &=\frac{3}{4} \times 180^{\circ}=3 \times 45^{\circ} \\ &=135^{\circ} \\ \angle 2+\angle 3 &=180^{\circ} \\ \angle 2+45^{\circ} &=180^{\circ} \\ \angle 2 &=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \angle 1 &=\angle 3=\angle 5=\angle 7=45^{\circ} \\ \angle 2 &=\angle 4=\angle 6=\angle 8 \\ &=135^{\circ} \end{aligned}$

प्रश्न 4. 

चित्र में, यदि $\angle 2=\angle 8=70^{\circ}$ और $\angle 3=110^{\circ}$ तंब दिखाइये कि $m \| n$ और $p$ ॥ $q$.

हल : 

$\angle 2=\angle 8=70^{\circ}$

तथा $\angle 3=110^{\circ}$

तब  $\angle 4=\angle 8=70^{\circ}$

$\begin{aligned} \angle 6 &=\angle 8=70^{\circ} \\ \angle 3 &=\angle 7=4.80^{\circ}-\angle 8 \\ &=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \angle 2+\angle 3 &=70^{\circ}+110^{\circ}=180^{\circ} \\ \angle 6+\angle 7 &=70^{\circ}+110^{\circ}=180^{\circ} \\ m & \| \cdot n \\ \angle 1+\angle 6 &=\angle 7+\angle 6 \\ &=110^{\circ}+70^{\circ}=180^{\circ} \\ \angle 3+\angle 8 &=110^{\circ}+70^{\circ}=180^{\circ} \\ l & \| m . \end{aligned}$

प्रश्न 5. 

चित्र में, $A B \| C D$ और $A D \| C B$ तो सिद्ध कीजिए कि $\angle D A B=\angle D C B$.

हल : 

$A B \| C D$

तथा $A D \| C B$

$A D \| C B$, तब

$\begin{aligned} \angle A D C+\angle D C B &=180^{\circ} \\ \angle D C B &=180^{\circ}-\angle A D C \end{aligned}$...................(1)

$A B \| D C$, तब

$\begin{aligned} \angle A D C+\angle D A B &=180^{\circ} \\ \angle D A B &=180^{\circ}-\angle A D C \end{aligned}$...................(2)

समीकरण (1) तथा (2) से,

$\angle D C B=\angle D A B$

अतः             $\angle D A B=\angle D C B$

प्रश्न 6. 

चित्र में $A B \| C D$ और $A B$ और $C D$ के मध्य एक बिन्दु $E$ स्थित है । दर्शाइये कि $\angle A B E+\angle B E D+\angle C D E=360^{\circ}$

हल :  

$P Q$ ॥ $A B$ खींची.

$\because$ $A B \| C D$

तब $\angle A B G=180^{\circ}$

$\angle A B E+\angle G B E=180^{\circ}$

$\because$ $\angle B E P=\angle G B E$

$\angle A B E+\angle B E P=180^{\circ}$...............(1)

$\angle C D F=180^{\circ}$

$\begin{aligned} \angle C D E+\angle E D F &=180^{\circ} \\ \angle E D F &=\angle P E D \\ \angle C D E+\angle P E D &=180^{\circ} \end{aligned}$..............(2)

समीकरण (1) + समीकरण (2) से,

$\begin{aligned}\angle A B E+\angle C D E+(\angle B E P+\angle P E D) &=180^{\circ}+180^{\circ} \\\angle A B E+\angle C D E+\angle B E D &=360^{\circ} \\\angle A B E+\angle B E D+\angle C D E &=360^{\circ}\end{aligned}$

प्रश्न 7. 

चित्र में, $\angle B=93^{\circ}$ और $\angle C=87^{\circ}$ तो सिद्ध कीजिए कि $A B\|C D\| E F$ तथा $B C \| D E$.

हल : 

$\angle A B C+\angle C D E=93^{\circ}+\left(360^{\circ}-273^{\circ}\right)$

$\begin{aligned}&=93^{\circ}+87^{\circ}=180^{\circ} \\\angle B C D+\angle D E F &=87^{\circ}+\left(360^{\circ}-267^{\circ}\right) \\&=87^{\circ}+93^{\circ}=180^{\circ}\end{aligned}$

$A B\|C D\| E F$

$\begin{aligned} \angle A B C+\angle B C D &=93^{\circ}+87^{\circ}=180^{\circ} \\ \angle C D E+\angle D E F &=\left(360^{\circ}-273^{\circ}\right)+\left(360^{\circ}-267\right)^{\circ} \\ &=87^{\circ}+93^{\circ}=180^{\circ} \\ B C & \| D E . \end{aligned}$

प्रश्न 8. 

यदि दो समान्तर रेखाओं को एक तिर्यक् छेदी रेखा काटे, तो सिद्ध कीजिए कि एकान्तर अन्तःकोणों के अर्द्धक समान्तर होंगे ।

हल : 

प्रश्नानुसार, माना $A B \| C D$ तथा तिर्यक् छेदी रेखा $l$ इनको $P$ तथा $Q$ पर काटती है $1 \angle A P Q$ तथा $\angle P Q D$ के अर्द्धक क्रमशः $P R$ तथा $Q S$ हैं ।

सिद्ध करना है : $P R \| Q S$.

उपपत्ति : $\angle Q P R=\frac{1}{2} \angle A P Q$............(1)

$\angle P Q S=\frac{1}{2} \angle P Q D$

$\angle P Q S=\frac{1}{2} \angle A P Q$...............(2)

                                                                                        $[\because \angle P Q D=\angle A P Q$ एकान्तर कोण हैं]

समीकरण (1) तथा (2) से,

$\angle Q P R=\angle P Q S$

रेखा $Q S$ तथा $P R$ को तिर्यक् रेखा $l$ काट रही है जिससे बने एकान्तर कोण, $\angle Q P R$ और $\angle P Q S$ बराबर हैं।

∴ $Q S \| P R$

प्रश्न 9. 

यदि दी हुई दो समान्तर रेखाओं में से एक पर कोई रेखा लम्ब हो, तो सिद्ध कीजिए कि यह दूसरी रेखा पर भी लम्ब होगी ।

हल : 

प्रश्नीनुसार, माना $A B \| C D$ है और $E F \perp A B$ जो $A B$ को $P$ तथा $C D$ को $Q$ पर काटती है ।

सिद्ध करना है : $\angle P Q D=90^{\circ}$

या  $E F \perp C D$

उपपत्ति :  $\angle P Q D=\angle E P B$

$\angle P Q D=90^{\circ}$

अत: $E F, C D$ पर लम्ब है ।

प्रश्न 10. 

यदि दो रेखाओं को एक तिर्यक् छेदी रेखा काटे तथा बनने वाले दो संगत कोणों के अर्द्धक समान्तर हों, तो सिद्ध कीजिए कि दी हुई रेखाएँ समान्तर हैं ।

हल : 

माना दो रेखाओं $A B$ और $C D$ को तिर्यक्छेदी रेखा $E M$ क्रमशः $G$ वा $H_{i}$ पर काट रही है । किरण $G \dot{P}$ और $H Q$ क्रमशः $\angle A G E$ तथा $\angle C H G$ के ऐसे अर्द्धक हैं कि $G P \| H Q$.

सिद्ध करना है : $A B \| C D$. 

उपपत्ति :   $\angle E G P=\frac{1}{2} \angle A G E$  $[\because G P, \angle A G E$ का अर्द्धक है]

और  $\angle G H Q=\frac{1}{2} \angle C H G \quad[\because H Q, \angle C H G$ का अर्द्धक है]

$\therefore$  $\angle E G P=\angle G H Q$

$\therefore$  $\frac{1}{2} \angle A G E=\frac{1}{2} \angle C H G$

या  $\angle A G E=\angle C H G$

यहाँ रेखाओं $A B$ और $C D$ को 'तिर्यक्छेदी रेखा $E F$ काट रही है तथा इनके संगत कोण, $\angle A G E$ और $\angle C H G$ बराबर हैं।

अत:  $A B \| C D$

प्रश्न 11.

यदि एक कोण की भुजाएँ, दूसरे कोण की भुजाओं के क्रमशः समान्तर हों, तो सिद्ध कीजिए कि दोनों कोण या तो बराबर होंगे या सम्पूरक 1

हल : 

दिया है : दो $\angle A B C$ तथा $\angle P Q R$ तथा $A B\|P Q, B C\| Q R$.

सिद्ध करना है :

$\angle A B C=\angle P Q R$

या

$\angle A B C+\angle P Q R=180^{\circ} .$

उ़पपत्ति : $\because B C \| Q R$ और $P Q$ एक तिर्यक् रेखा है ।

$\angle P D C=\angle P Q R$  $\ldots(1)$

∵ A B || PQ और BC एक तिर्यक् रेखा है । 

$\angle A B C=\angle P D C$.................(2)

समीकरण (1) व (2) से,

                  $\angle A B C=\angle P Q R$

पुन: दूसरे चित्र से,

$\because B C \| Q R$ तथा $A B$ एक तिर्यक् रेखा है ।

$\therefore \quad \angle A E Q=\angle A B C$...............(3)

$\because A B \| P Q$ और $Q R$ एक तिर्यक् रेखा है ।

$\angle A E R=\angle P Q R$....................(4)

समीकरण (3) तथा (4) को जोड़ने पर,

$\therefore$ या

$\begin{aligned}\angle A E Q+\angle A E R &=\angle A B C+\angle P Q R \\180^{\circ} &=\angle A B C+\angle P Q R,\end{aligned}$

अतः $\angle A B C+\angle P Q R=180^{\circ}$

$\angle A B C=\angle P Q R$

प्रश्न 12. 

चित्र में, $m$ तथा $n$ दो समतल दर्पण हैं । यदि आपतित किरण $C A$ ॥ परावर्तित किरण $B D$, तो दर्शाइये कि $m \| n .$

हल : 

दिया है : दर्पण $m$ ॥ दर्पण $n$ तथा दर्पण $m$ के लिए $C A$ आपतित किरण और $B D$ दर्पण $n$ के लिए परावर्तित किरण है ।

सिद्ध करना है : $C A \| B D$.

उपपत्ति : $A X$ तथा $B Y$ क्रमशः दर्पण $m$ तथा $n$ पर लम्ब हैं ।

$\because A X \| B Y$ और $A B$ तिर्यक् रेखा है ।

$\therefore \quad \angle X A B=\angle Y B A$....................(1)

परावर्तन के नियम से,

$\angle C A X=\angle X A B$....................(2)

$\angle A B Y=\angle D B Y$................(3)

समीकरण (1), (2), (3) से,

$\angle C A X=\angle X A B=\angle A B Y=\angle D B Y$

$\therefore \angle C A X+\angle X A B=\angle A B Y+\angle D B Y$

या  $\angle C A B=\angle A B D$

यह कोण $C A$ तथा $B D$ से तिर्यक् रेखा $A B$ द्वारा बने कोण एकान्तर कोण हैं ।

$\therefore$ $C A \quad \| B D$.

प्रश्न 13. 

चित्र में, $A B \| C E$ और $A E \| C D$, तो सिद्ध कीजिए कि

$\angle B A E=\angle D C E$

हल : 

दिया है: $A B \| C E$ और $A E \| C D$.

सिद्ध करना है :$\angle B A E=\angle D C E .$

'उपपत्ति : $A E \| C D, E C$ एक तिर्यक् रेखा है

$\therefore$$\angle P E Q=\angle P C D$....................(1)

$A B \| C E$ तथा $A Q$ एक तिर्यक् रेखा है ।

$\angle B A E=\angle P E Q$...............(2)

समीकरण (1) तथा (2) से,

              $\angle B A E=\angle P C D \text { या } \angle D C E$

अतः  $\angle B A E=\angle D C E$

प्रश्न 14. 

दी गई आकृति में सिद्ध कीजिए कि $A B \| C F$.

हल : 

दिया है : $\angle C E P=42^{\circ}, \angle C P E=48^{\circ}$.

सिद्ध करना है : $A B$ II $C F$.

उपपत्ति : $\triangle C E P$ में

$\begin{aligned} \angle P C E+\angle C E P+\angle C P E &=180^{\circ} \\ \angle P C E+42^{\circ}+48^{\circ} &=180^{\circ} \\ \angle P C E=180^{\circ}-90^{\circ} &=90^{\circ} \\ \angle F C P &=180^{\circ}-\angle P C E \\ &=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ} \end{aligned}$

अब $F E$ रेखा $B D$ पर लम्ब है ।

$\therefore \quad \angle A B D=90^{\circ}$

अतः $A B \| F C$.

प्रश्न 15. 

संलग्न आकृति में $x$ और $y$ के मान ज्ञात कीजिए और फिर दर्शाइए कि $A B \| C D$ है।

हल : 

$\because$ $x+50^{\circ}=180^{\circ}$  (रेखीय युग्म से)

$x=180^{\circ}-50^{\circ}$

$=130^{\circ}$

$y=130^{\circ}$ (शीर्षाभिमुख कोण)

$x=y=130^{\circ}$

रेखाओं $A B$ और $C D$ के लिए ये एकान्तर कोण हैं।

 अतः $A B \| C D$

प्रश्न 16. 

संलग्न आकृति में, यदि $A B\|C D, C D\| E F$ और $y: z=3: 7$ है, तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल : 

$A B \| C D$

$x+y=180^{\circ}$

                              (एक ही ओर के अन्तःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है)  

 $A B \| C D$ तथा $C D^{\prime} \| E F$

$\begin{aligned}&A B \| E F \text { तब } x=z \\&y+z=180^{\circ} \text { तथा } y: z=3: 7 \\&\frac{y}{z}=\frac{3}{7}\end{aligned}$

$\begin{aligned} y &=\frac{3 z}{7} \\ z+\frac{3 z}{7} &=180 \\ 7 z+3 z &=180 \times 7=10 z \\ z &=126^{\circ} \\ x &=z \text { तब } x=126^{\circ} . \end{aligned}$

प्रश्न 17. 

संलग्न आकृति में, यदि $A B \| C D, E F \perp C D$ और $\angle G E D=126^{\circ}$ है, तो $\angle A G E, \angle G E F$ और $\angle F G E$ ज्ञात कीजिए।

हल :

$\angle D E F=90^{\circ} \text { and} \angle G E D=126^{\circ}$

$\angle D E F+\angle G E F=126^{\circ}$

$\begin{aligned} 90^{\circ}+\angle G E F &=126^{\circ} \\ \angle G E F &=126^{\circ}-90^{\circ}=36^{\circ} \end{aligned}$

$\angle A G E=\angle G E F+\angle E F G$  (बाह्य कोण प्रमेय से)

$\angle E F G=\angle F E D$(समान्तर कोण)

$\begin{aligned} \angle F E D &=90^{\circ} \\ \angle E F G &=90^{\circ} \\ \angle A G E &=36^{\circ}+90^{\circ} \\ &=126^{\circ} \end{aligned}$

$\angle A G E+\angle E G F=180^{\circ}$  (रैखिक युग्म से)

$\begin{aligned} 26^{\circ}+\angle E G F &=180^{\circ} \\ \angle E G F &=180^{\circ}-126^{\circ}=54^{\circ} \\ \angle A G E &=126^{\circ}, \angle G E F=36^{\circ} \\ \angle F G E &=54^{\circ} \end{aligned}$

प्रश्न 18. 

संलग्न आकृति में, यदि $P Q \| S T, \angle P Q R=110^{\circ}$ और $\angle R S T=130^{\circ}$ है, तो $\angle Q R S$ ज्ञात कीजिए।

हल : 

दिया है : $P Q \| S T, \angle P Q R=110^{\circ}, \angle R S T=130^{\circ}$

ज्ञात करना है : $\angle Q R S$.

रचना :  $R K \| S T$ ख्खीची।

$S T \| R K$

$\angle T S R+\angle K R S=180^{\circ}$, (एक ही ओर के अन्तःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है)

लेकिन $\angle T S R=130^{\circ}$

$\begin{aligned} 130^{\circ}+\angle K R S &=180^{\circ} \\ \angle K R S &=180^{\circ}-130^{\circ}=50^{\circ} \end{aligned}$

पुनः $P Q \| R K$ चूंकि $P Q \| S T$

$\therefore$ 

$\begin{aligned} \angle P Q R &=\angle Q R K \\ 110^{\circ} &=\angle Q R S+\angle S R K \\ 110^{\circ} &=\angle Q R S+50^{\circ} \\ \angle Q R S &=60^{\circ} . \end{aligned}$

प्रश्न 19. 

संलग्न आकृति में, यदि $A B \| C D, \angle A P Q=50^{\circ}$ और $\angle P R D=127^{\circ}$ है, तो x और y ज्ञात कीजिए।

हल : 

दिया है : $A B \| C D$

$\therefore$  $ x=50^{\circ}$(एकान्तर कोण)

$x+y=127^{\circ}$ (बाह्य कोण प्रमेय से)

$\begin{aligned} 50+y &=127^{\circ} \\ y &=127^{\circ}-50^{\circ}=77^{\circ} \\ x &=50^{\circ} \text { and } y=77^{\circ} . \end{aligned}$

प्रश्न 20. 

आकृति में, $P Q$ और $R S$ दो दर्पण हैं जो एक-दूसरे के समान्तर रखे गए हैं। एक आपतन किरण (incident ray) $A B$, दर्पण $P Q$ से $B$ पर 'टकराती है और परावर्तित किरण (reflected ray) पथ $B C$ पर चलकर दर्पण $R S$ से $C$ पर टकराती है तथा पुन: $C D$ के अनुदिश परावर्तित हो जाती है। सिद्ध कीजिए कि $A B \| C D$ है।

हल : 

दिया है : प्रश्न में दी गई आकृति में $P Q$ और $R S$ दो दर्पण हैं जो एक-दूसरे के समान्तर हैं। एक आपतन किरण AB, दर्पण PQ से B पर टकराती है। CD एक परावर्तित किरण है जो दर्पण $R S$ से परावर्तित' होती है।

सिद्ध करना है : $A B \cdot \| C D$

उपपत्ति : $\because$ हम ज़ानते हैं कि आपतन कोण = परावर्तन कोण

∴$\angle 1=\angle 2$ और $\angle 3=\angle 4$..............(1)

[यहाँ $\angle 1$ आपाती किरण $A B$ है और अभिलम्ब $B L$ है।]

$\therefore \angle 1$ एक आपतन कोण है, $\mid \angle 2$ परावर्तित्त किरण $B C$ और अभिलम्ब $B L$ के बीच स्थित है। अतः $\angle 2$ परावर्तित कोण है। इंसी प्रकार $\angle 3$ और $\angle 4$ क्रमशः आपतन कोण और परावर्तित कोण हैं।

$\therefore \quad P Q^{\prime} \| R S$ तथा $B L \perp P Q$ पर

तथा $B \dot{L} \| C M$ तथा $C M \perp R S$ प़र

अब समान्तर रेखाएँ $B L$ और $C M$ हैं। एक तिर्यक रेखा $B C$ इनको प्रतिच्छेदित करती है।

$\angle 2=\angle 3$  (एकान्तर कोण हैं) ...(i)

अब  $\angle A B C=\angle 1+\angle 2$

या  $\angle A B C=\angle 2+\angle 2$ [क्योंकि $\angle 1=\angle 2$ ]

$\angle A B C=2 \angle 2$

$\angle B C D=\angle 3+\angle 4$

$\angle B C D=\angle 3+\angle 3$  [क्योंकि $\angle 3=\angle 4]$

$\angle B C D=2 \angle 3$

लेकिन समीकरण (i) के अनुसार $\angle 2=\angle 3$

या $\quad 2 \angle 2=2 \angle 3$

या $\angle A B C=\angle B C D$

ये एकान्तर कोण हैं तथा $B C$ एक तिर्यक रेखा है।

अत: AB || CD