Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 6 त्रिभुज (Triangles) प्रश्नावली 6(F)

 प्रश्नावली 6(F)

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रत्येक प्रश्न के चार उत्तर दिये हैं। सही उत्तर छाँटकर लिखिए :

प्रश्न 1

समद्विबाहु त्रिभुज की तीनों भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने से बना त्रिभुज होता है :

(i) समबाहु

(ii) समकोण

(iii) विषमबाहु

(iv) समद्विबाहु

हल : 

दिया है : माना समद्विबाहु $\triangle \mathrm{ABC}$ में $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$.

ज्ञात करना है : $\triangle \mathrm{PQR}$ की प्रकृति कैसी होगी ?

उपपत्ति : $\triangle \mathrm{ABC}$ तथा $\triangle \mathrm{PQR}$ में,

B C=2 P Q............(i)

$\mathrm{QR}=2 \mathrm{AB}$......(ii)

$\mathrm{RP}=2 \mathrm{AC}$.....(iii)

 समी. (ii) व (iii) से,$\mathrm{QR}=\mathrm{RP}, \quad[\because \mathrm{AB}=\mathrm{AC}]$

$\mathrm{PQR}$ समद्विबाहु त्रिभुज होगा। 

अतः विकल्प (iv) समद्विबाहु।

प्रश्न 2

दो समरूप त्रिभुजों का क्षेत्रफल 32 वर्ग सेमी और 48 वर्ग सेमी है। यदि पहले त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग 24 वर्ग सेमी हो, तो दूसरे त्रिभुज की संगत भुजा का वर्ग होगा :

(i) 16 वर्ग सेमी

(ii) 30 वर्ग सेमी

(iii) 36 वर्ग सेमी

(iv) 72 वर्ग सेमी।

हल :  

 एक त्रिभुज का क्षेत्रफल / दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल  = एक भुजा का वर्ग / दूसरे भुजा का वर्ग 

$\frac{32}{48}$= 24 /  दूसरे भुजा का वर्ग

दूसरी भुजा का वर्ग $\times 32$

$=48 \times 24$

दूसरी भुजा का वर्ग $=\frac{48 \times 24}{32}=36$

दूसरी भुजा का वर्ग =36

अतः विकल्प (iii) 36 वर्ग सेमी।

प्रश्न 3

दो समरूप त्रिभुजों के परिमाप क्रमशः 30 सेमी और 20 सेमी हैं। यदि पहले त्रिभुज के एक शीर्ष की ऊचाई की माप 12 सेमी हो, तो दूसरे त्रिभुज की संगत ऊँचाई की माप है :

(i) 8 सेमी

(ii) 10 सेमी

(iii) 12 सेमी

(iv) 15 सेमी

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}} &=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{PR}} \\ &=\frac{\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{AC}}{\mathrm{PQ}+\mathrm{QR}+\mathrm{PR}} \\ &=\frac{30}{20}=\frac{3}{2} \\ \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}} &=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{PS}} \\ \frac{3}{2} &=\frac{12}{\mathrm{PS}} \\ \mathrm{PS} &=8 \end{aligned}$

अतः विकल्प (i) 8 सेमी। 

प्रश्न 4

यदि एक समकोण त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ में $\angle \mathrm{C}=90^{\circ}, \mathrm{AC}=3$ सेमी और $\mathrm{BC}=4$ सेमी है, तो $\mathrm{C}$ से जाने वाली माध्यिका की माप है :

(i) $2.5$ सेमी

(ii) $3.0$ सेमी

(iii) $3.5$ सेमी

(iv) $4.0$ सेमी

हल : 

$\angle C=90^{\circ}, A C=3$ सेमी, $B C=4$ सेमी 

समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{CA}^{2} $

=16+9=25

AB=5 सेमी

$\begin{aligned}  \mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2} &=2\left(\mathrm{CD}^{2}+\mathrm{AD}^{2}\right) \\ 9+16 &=2\left[\mathrm{CD}^{2}+\left(\frac{\mathrm{AB}}{2}\right)^{2}\right] \\ \frac{25}{2} &=\mathrm{CD}^{2}+\left(\frac{5}{2}\right)^{2} \\ \mathrm{CD}^{2} &=\frac{25}{2}-\frac{25}{4} \end{aligned}$

$=\frac{50-25}{4}=\frac{25}{4}$

$\mathrm{CD}=\frac{5}{2}=2 \cdot 5$ सेमी

अतः विकल्प (i) 2.5 सेमी।

उत्तर

प्रश्न 5

चित्र में $\triangle \mathrm{PQR}$ के कोण $\mathrm{QPR}$ का अर्बक $\mathrm{PL}$ आधार $\mathrm{QR}$ से बिन्दु $\mathrm{L}$ पर मिलता है। यदि $\mathrm{PQ}=3$ सेमी तथा $\mathrm{PR}=5$ सेमी हो, तो $\mathrm{QL}: \mathrm{LR}$ होगा :

(i) $3: 5$

(ii) $5: 3$

(iii) $3: 8$

(iv) $8: 3$

हल : 

दिया है, $\mathrm{PQ}=3$ सेमी, $\mathrm{PR}=5$ सेमी

$\begin{aligned} \frac{P Q}{L R} &=\frac{P R}{Q L} \\ \frac{Q L}{L R} &=\frac{P R}{P Q} \\ \frac{Q L}{L R} &=\frac{5}{3} \\ Q L: L R &=5: 3 \end{aligned}$

अतः विकल्प (ii) $5: 3 .$

प्रश्न 6

$\mathrm{ABC}$ और $\mathrm{AEF}$ समरूप त्रिभुज हैं। $\mathrm{AEF}$ बराबर होगा :

(i) $\angle \mathbf{B A F}$

(ii) $\angle \mathbf{A B C}$

(iii) $\angle \mathrm{BCA}$

(iv) $\angle \mathrm{CAB}$.

हल :

$\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{AEF}$

$\angle \mathrm{AEF}=\angle \mathrm{ABC}$

अतः विकल्प (ii) $\angle \mathrm{ABC}$.

प्रश्न 7

$\triangle \mathrm{ABC}$ में $\mathrm{CA}$ और $\mathrm{CB}$ के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा $\mathrm{DE}$ है। यदि $\mathrm{DE}=3$ सेमी हो, तो $\mathrm{AB}$ की माप होगी :

(i) 4 सेमी

(ii) 5 सेमी

(iii) 6 सेमी

(iv) 9 सेमी।

हल : 

$\mathrm{CA}$ तथा $\mathrm{CB}$ के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा $\mathrm{DE}$ है तथा $\mathrm{DE}=3$ सेमी।

$\begin{aligned} \mathrm{AB} &=2 \times \mathrm{DE} \\ &=2 \times 3 \end{aligned}$

=6 सेमी 

अतः विकल्प (iii) 6 सेमी।

उत्तर'

प्रश्न 8

दो समरूप त्रिभुजों के परिमाप क्रमशः 40 सेमी और 50 सेमी हैं। पहले और दूसरे त्रिभुज के क्षेत्रफलों का अनुपात है :

(i) $4: 5$

(ii) $5: 4$

(iii) $25: 16$

(iv) $16: 25$.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}} \cdot & \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}=\mathrm{AC} \\ &=\frac{\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{AC}}{\mathrm{PQ}+\mathrm{QR}+\mathrm{PR}} \\ &=\frac{40}{50}=\frac{4}{5} \\ \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}} &=\frac{4}{5} \end{aligned}$

अब  =ΔABC का क्षेत्रफल / ΔPQR का क्षेत्रफल

$=\left(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}\right)^{2}=\left(\frac{4}{5}\right)^{2}$

$=\frac{16}{25}$

तब अभीष्ट क्षेत्रफलों में अनुपात $=16: 25$ 

अत विकल्प (iv) $16: 25$.

प्रश्न 9

वित्र में $\mathrm{ABCD}$ एक वर्ग है। यदि $\mathrm{AC}=20 \sqrt{2}$ सेमी हो, तो $\triangle \mathrm{ABC}$ का क्षेत्रफल होगा :

(i) 100 वर्ग सेमी

(ii) 50 वर्ग सेमी

(iii) 150 वर्ग सेमी

(iv) 200 वर्ग सेमी।

हल : 

माना वर्ग $\mathrm{ABCD}$ की एक भुजा $a$ है तब विकर्ण $=a \sqrt{2}=20 \sqrt{2}$ या $a=20=\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{AD}=\mathrm{DC}$ $\triangle \mathrm{ABC}$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times \mathrm{AB} \times \mathrm{BC}$

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2} \times 20 \times 20\end{aligned}$

=200 वर्ग सेमी 

अतः विकल्प (iv) 200 वर्ग सेमी।

प्रश्न 10

सही उत्तर चुनकर उसका औचित्य' दीजिए : $\triangle \mathrm{ABC}$ में, $\mathrm{AB}=6 \sqrt{3}$ सेमी, $\mathrm{AC}=12$ सेमी और $\mathrm{BC}=6$ सेमी है। कोण $\mathrm{B}$ है :

(i) $120^{\circ}$

(ii) $60^{\circ}$

(iii) $90^{\circ}$

(iv) $45^{\circ}$.

हल : 

$\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\begin{aligned}A B^{2}+B C^{2} &=(6 \sqrt{3})^{2}+(6)^{2} \\&=108+36 \\&=144=(A C)^{2}\end{aligned}$

अतः $\triangle \mathrm{ABC}$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण $\mathrm{B}=90^{\circ}$ होगा। अतः विकल्प (iii) सही है।

प्रश्न 11

आकृति में, PS कोण QPR का समद्विभाजक है। सिद्ध कीजिए कि $\frac{Q S}{S R}=\frac{P Q}{P R}$ है।

हल: 

दिया है : $\triangle \mathrm{PQR}$ में, $\mathrm{PS}, \angle \mathrm{QPR}$ का एक समद्विभाजक है, अर्थात्

$\angle \mathrm{QPS}=\angle \mathrm{RPS}$

सिद्ध करना है : $\frac{\mathrm{QS}}{\mathrm{SR}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}$

रचना: $\mathrm{QP}$ तथा बिन्दु $\mathrm{R}$ से $\mathrm{PS}$ के समान्तर रेखाओं को खींचा जाता है जो बिन्दु $\mathrm{T}$ पर प्रतिच्छेद करता है।

$\mathrm{RT} \| \mathrm{PS}$ (रचना से)

$\angle \mathrm{SPR}=\angle \mathrm{PRT}$ (एकान्तर कोण) ...(i)

$\angle \mathrm{QPS}=\angle \mathrm{PTR}$(संगत कोण) ...(ii)

$\angle \mathrm{QPS}=\angle \mathrm{SPR}$(दिया है)...(iii)

समीकरण (i), (ii) तथा (iii) से,

$\therefore \begin{aligned}\angle \mathrm{PRT} &=\angle \mathrm{PTR} \\\mathrm{PT} &=\mathrm{PR}\end{aligned}$.......(iv)

अब $\Delta Q R T$ में,

 RT||PS (रचना से)

$\frac{\mathrm{QS}}{\mathrm{SR}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PT}}$(आनुपातिक प्रमेय से)

$\frac{\mathrm{QS}}{\mathrm{SR}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}$ [∵ समीकरण (iv) से ]

प्रश्न 12

आकृति में $\mathrm{D}$ त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ के कर्ण $\mathrm{AC}$ पर स्थित एक बिन्दु है जबकि $\mathrm{BD} \perp \mathrm{AC}$ तथा $\mathrm{DM} \perp \mathrm{BC}$ और $\mathrm{DN} \perp \mathrm{AB}$ है। सिद्ध कीजिए कि:

(i) $\mathrm{DM}^{2}=\mathrm{DN} \cdot \mathrm{MC}$

(ii) $\mathrm{DN}^{2}=\mathrm{DM} \cdot \mathrm{AN}$

हलः 

दिया है : $\mathrm{ABC}$ एक समकोण त्रिभुज है तथा $\mathrm{DM} \perp \mathrm{BC}, \mathrm{DN} \perp \mathrm{AB}$ तथा $\mathrm{BD} \perp \mathrm{AC}$. सिद्ध करना है : (i)

(i)$\mathrm{DM}^{2}=\mathrm{DN} \cdot \mathrm{MC}$

(ii)$\mathrm{DN}^{2}=\mathrm{DM} . \mathrm{AN}$

उपपति : समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में, $\mathrm{BD} \perp \mathrm{AC}$

$\therefore\Delta \mathrm{BDC} \sim \Delta \mathrm{ABC}$

$\triangle \mathrm{ADB} \sim \triangle \mathrm{ABC}$

$\Delta \mathrm{BDC} \sim \Delta \mathrm{ADB}$

$\because \Delta \mathrm{BDC}$ तथा $\Delta \mathrm{ADB}$ दोनों ही समकोण त्रिभुज हैं।

(i) $\Delta \mathrm{BDC}$ लेने पर, $\mathrm{DM} \perp \mathrm{BC}$

$\begin{aligned} \Delta \mathrm{DMC} & \sim \Delta \mathrm{BMD} \\ \frac{\mathrm{MC}}{\mathrm{DM}} &=\frac{\mathrm{DM}}{\mathrm{BM}} \\ \mathrm{DM}^{2} &=\mathrm{BM} \cdot \mathrm{MC} \end{aligned}$...........(1)

अतः चतुर्भुज BMDN में,

$\angle \mathrm{D}=90^{\circ}, \angle \mathrm{M}=90^{\circ}$ तथा $\angle \mathrm{N}=90^{\circ}$

अतः चतुर्भुज एक अयत होगा।

$\therefore\mathrm{BM}=\mathrm{DN}$

समीकरण (1) में $\mathrm{BM}=\mathrm{DN}$ प्रतिस्थापित करने पर,

$\mathrm{DM}^{2}=\mathrm{DN} \cdot \mathrm{MC}$

(ii) अब $\triangle \mathrm{ADB}$ लेने पर, $\mathrm{DN} \perp \mathrm{AB}$ 

$\therefore \Delta \mathrm{AND}$ तथा $\Delta \mathrm{DNB}$ में,

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{DN}}{\mathrm{BN}} &=\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{DN}} \\ \mathrm{DN}^{2} &=\mathrm{BN} \cdot \mathrm{AN} \\ \mathrm{BN} &=\mathrm{DM} \\ \mathrm{DN}^{2} &=\mathrm{DM} \cdot \mathrm{AN} \end{aligned}$

प्रश्न 13

आकृति में $\mathrm{AD}$ त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ की एक माध्यिका है तथा $\mathrm{AM} \perp \mathrm{BC}$ है। सिद्ध कीजिए कि

(i) $\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{BC} \cdot \mathrm{DM}+\left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)^{2}$

(ii) $\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AD}^{2}-\mathrm{BC} \cdot \mathrm{DM}+\left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)^{2}$

(iii) $\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{AB}^{2}=2 \mathrm{AD}^{2}+\frac{1}{2} \mathrm{BC}^{2}$

हल : 

(i) $\angle \mathrm{AMD}=90^{\circ}$

$\therefore \quad \angle \mathrm{ADM}<90^{\circ}$ तथा $\angle \mathrm{ADC}>90^{\circ}$

$\triangle \mathrm{ADC}$ में,

$\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{DC}^{2}+2 \mathrm{DC} \cdot \mathrm{DM}$

                                                                          $\left[\because \angle \mathrm{ADC}>90^{\circ}\right]$

$\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)^{2}+2 \cdot \frac{\mathrm{BC}}{2} \cdot \mathrm{DM}$$[\because \mathrm{AD}$ एक माध्यिका है]

$\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)^{2}+\mathrm{BC} \cdot \mathrm{DM}$

$\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{BC} \cdot \mathrm{DM}+\left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)^{2}$

(ii) अब $\triangle \mathrm{ABD}$ में, 

$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{BD}^{2}-2 \mathrm{BD} . \mathrm{DM}$

                                                                 $\left[\because \angle \mathrm{ADM}<90^{\circ}\right]$

$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)^{2}-2 \cdot \frac{\mathrm{BC}}{2} \cdot \mathrm{DM}$

$[\because \mathrm{AD}$ एक माध्यिका है]

$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)^{2}-\mathrm{BC} \cdot \mathrm{DM}$

$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AD}^{2}-\mathrm{BC} \cdot \mathrm{DM}+\left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)^{2}$

(iii) उपरोक्त दोनों भागों को जोड़ने पर,

$\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{AB}^{2}=2 \mathrm{AD}^{2}+\frac{1}{2} \mathrm{BC}^{2}$

प्रश्न 14

सिद्ध कीजिए कि एक समान्तर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

हल : 

माना PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है तथा $\mathrm{PM} \perp \mathrm{SR}$ और $\mathrm{QN} \perp \mathrm{SR}$ है।

$\Delta \mathrm{PMS}$ और $\Delta \mathrm{QNR}$ से,

$\begin{aligned}&\mathrm{PS}=\mathrm{QR} \\&\mathrm{PM}=\mathrm{QN}\end{aligned}$

$\angle \mathrm{PMS}=\angle \mathrm{QNR}$  (प्रत्येक $90^{\circ}$ )

 $\begin{array}{rrr}\Delta \mathrm{PMS} & \cong \Delta \mathrm{QNR} & \text { (RHS से) } \\ \mathrm{SM} & =\mathrm{RN} & \text { (CPCT से) ...(i) }\end{array}$

समकोण' $\Delta \mathrm{QNS}$ में,

$\mathrm{SQ}^{2}=\mathrm{SN}^{2}+\mathrm{QN}^{2}$ (पाइथागोरस प्रमेय से)

$=\mathrm{QN}^{2}+(\mathrm{SR}+\mathrm{RN})^{2}$

$=\mathrm{QN}^{2}+\mathrm{SR}^{2}+\mathrm{RN}^{2}+2 \mathrm{SR} \cdot \mathrm{RN}$

$=\left(\mathrm{QN}^{2}+\mathrm{RN}^{2}\right)+\mathrm{SR}^{2}+2 \mathrm{SR} \mathrm{RN}$

$=\mathrm{QR}^{2}+\mathrm{SR}^{2}+2 \mathrm{SR} \mathrm{RN}$

 [ $\because$ QRN एक समकोण त्रिभुज है]

समकोण' $\triangle \mathrm{PMR}$ में,

$\begin{aligned} \mathrm{PR}^{2} &=\mathrm{PM}^{2}+\mathrm{MR}^{2} \quad \text { (पाइथागोरस प्रमेय से) } \\ &=\mathrm{PM}^{2}+(\mathrm{SR}-\mathrm{SM})^{2} \\ &=\mathrm{PM}^{2}+\mathrm{SR}^{2}+\mathrm{SM}^{2}-2 \mathrm{SR} . \mathrm{SM} \end{aligned}$

$\begin{aligned}&=\left(\mathrm{PM}^{2}+\mathrm{SM}^{2}\right)+\mathrm{SR}^{2}-2\mathrm{SR} . \mathrm{SM} \\&=\mathrm{PS}^{2}+\mathrm{SR}^{2}-2 \mathrm{SR} . \mathrm{SM}\end{aligned}$

$[\because$ PSM एक समकोण त्रिभुज है]

$\begin{aligned} \mathrm{SQ}^{2}+\mathrm{PR}^{2} &=\mathrm{QR}^{2}+\mathrm{SR}^{2}+2 \mathrm{SR} . \mathrm{RN}+\mathrm{PS}^{2}+\mathrm{SR}^{2}-2 \mathrm{SR} \mathrm{SM} \\ &=\mathrm{QR}^{2}+\mathrm{SR}^{2}+2 \mathrm{SR} \cdot \mathrm{RN}+\mathrm{PS}^{2}+\mathrm{SR}^{2}-2 \mathrm{SR} \mathrm{RN} \end{aligned}$

                     [समी.(i) से]

$=\mathrm{QR}^{2}+\mathrm{RS}^{2}+\mathrm{SP}^{2}+\mathrm{PQ}^{2}$ [समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ]

 $\mathrm{SQ}^{2}+\mathrm{PR}^{2}=\mathrm{PQ}^{2}+\mathrm{QR}^{2}+\mathrm{RS}^{2}+\mathrm{SP}^{2} .$

प्रश्न 15

आकृति में एक वृत्त की दो जीवाएँ $\mathrm{AB}$ तथा $\mathrm{CD}$ परस्पर बिन्दु $\mathrm{P}$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिब्ध कीजिए कि

(i) $\triangle \mathrm{APC} \sim \triangle \mathrm{DPB}$

(ii) $\mathbf{A P}, \mathbf{P B}=\mathbf{C P} . \mathbf{D P}$

हल : 

(i) $\triangle \mathrm{APC}$ तथा $\triangle \mathrm{DPB}$ में,

$\angle \mathrm{APC}=\angle \mathrm{DPB}$ (शीर्षाभिमुख कोण)

$\angle \mathrm{CAP}=\angle \mathrm{BDP}$(एक ही वृत्तखण्ड के कोण)

$\Delta \mathrm{APC} \sim \Delta \mathrm{DPB} .$(AA समरूपता से)

(ii) $\because$ भाग (i) से,

$\Delta \mathrm{APC} \sim \Delta \mathrm{DPB}$

$\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{DP}}=\frac{\mathrm{CP}}{\mathrm{PB}}$

AP. $\mathrm{PB}=\mathrm{CP} . \mathrm{DP} .$

प्रश्न 16

आकृति में एक वृत्त की दो जीवाएँ $\mathrm{AB}$ तथा $\mathrm{CD}$ बढ़ाने पर परस्पर बिन्दु $\mathrm{P}$ पर प्रतिच्छेद' करती हैं। सिद्ध कीजिए कि

(i) $\Delta$ PAC $\sim \Delta$ PDB

(ii) PA. PB = PC. PD.

हल : 

(i) $\Delta$ PAC और $\Delta$ PDB में,

$\angle \mathrm{APC}=\angle \mathrm{BPD}$ (उभयनिष्ठ)

 $\angle \mathrm{BAC}=180^{\circ}-\angle \mathrm{PAC}$(रेखिक युग्म से)

$\begin{aligned} \angle \mathrm{PDB} & \text { या } \angle \mathrm{CDB} &=180^{\circ}-\angle \mathrm{BAC} \\ &=180^{\circ}-180^{\circ}+\angle \mathrm{PAC} \end{aligned}$

$\angle \mathrm{PDB} \quad=\angle \mathrm{PAC}$

$\Delta \mathrm{PAC} \sim \Delta \mathrm{PDB}$ (AA सम'रूपता से)

$\Delta$ PAC $\sim \Delta$ PDB(सिद्ध कर चुके हैं)

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{DP}} &=\frac{\mathrm{CP}}{\mathrm{PB}} \\ \mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} &=\mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD} \end{aligned}$

प्रश्न 17

आकृति में त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ की भुजा $\mathrm{BC}$ पर एक बिन्दु $\mathrm{D}$ इस प्रकार स्थित है कि $\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$ है। सिद्ध कीजिए कि $\mathrm{AD}$, कोण $\mathrm{BAC}$ का समद्विभाजक है।

हल : 

ज्ञात है : $\mathrm{ABC}$ एक त्रिभुज है तथा $\mathrm{BC}$ पर कोई बिन्दु $\mathrm{D}$ है और

$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$

सिद्ध करना है: $\mathrm{AD}, \angle \mathrm{BAC}$ का समद्विभाजक है।

रचना: भुजा $\mathrm{BA}$ को $\mathrm{E}$ तक इस प्रकार बढ़ाया गया कि

$\mathrm{AE}=\mathrm{AC} .$

उपपत्ति : $\triangle \mathrm{AEC}$ में,

$\mathrm{AE}=\mathrm{AC}$

अतः :$\angle \mathrm{AEC}=\angle \mathrm{ACE}$.........(i)

$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$(दिया है)

$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AE}}$(रचना से)

$\mathrm{DA} \| \mathrm{CE}$(आधारमूत प्रमेय के विलोम से)

$\angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{AEC}$ (संगत कोण) ...(ii)

$\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{ACE}(एकांतर कोण) $...(iii)

$\angle \mathrm{AEC}=\angle \mathrm{ACE}$[समीकरण (i) से]

$\angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{DAC}$[समीकरण' (ii) तथा (iii) से]

प्रश्न 18

नाजिमा एक नदी की धारा में मछलियाँ पकड़ रही है। उसकी मछली पकड़ने वाली छड़ का सिरा पानी की सतह से $1.8$ मी ऊपर है तथा डोरी के निचले सिरे से लगा काँटा पानी की सतह पर इस प्रकार स्थित है कि उसकी नाजिमा से दूरी $3.6$ मी है और छड़ के सिरे के ठीक नीचे पानी की सतह पर स्थित बिन्दु से उसकी दूरी $2.4$ मी है। यह मानते हुए कि उसकी डोरी (उसकी छड़ के सिरे से काँटे तक) तनी हुई है, उसने कितनी डोरी बाहर निकाली हुई है (देखिए आकृति में)? यदि वह डोरी को 5 सेमी/से. की दर से अन्दर खींचे, तो 12 सेकण्ड के बाद नाजिमा की काँटे से क्षैतिज दूरी कितनी होगी?

हल: 

नाजिमा की मछली पकड़ने वाली छड़ से एक सिरे से दूरी $1.8$ मी है। $\therefore$

$\mathrm{AC}=1.8$ मी

$\because \quad$ B पर कॉटा है, जिसकी दूरी

नाजिमा से $\mathrm{B}$ बिन्दु की दूरी

BC=2.4 मी 

BD=3.6 दूरी 

CD=(3.6-2.4) मी =1.2 मी.

$\because$ दी गयी काँटे की डोरी की लम्बाई $\mathrm{AB}$ है। 

$\therefore$ समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\begin{aligned}\mathrm{AB}^{2} &=\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{AC}^{2} \\&=(2.4)^{2}+(1.8)^{2} \\&=5.76+3.24=9\end{aligned}$

$\mathrm{AB}=3$डोरी की लम्बाई $=3$ मी।

$\because$ डोरी को 5 सेमी/से. की दर से खींचा जा रहा हो तो 12 सेकंड में खींची गयी दूरी

=5 × 12=60 सेमी =0.6 मी  

शेष बाहर बची डोरी की लम्बाई, AP=(3-0.6) मीटर =2.4 मी

समकोण $\triangle \mathrm{APC}$ में, $\mathrm{AP}^{2}=\mathrm{PC}^{2}+\mathrm{AC}^{2}$

$\begin{aligned}(2.4)^{2} &=\mathrm{PC}^{2}+(1.8)^{2} \\5.76 &=\mathrm{PC}^{2}+3.24 \\\mathrm{PC}^{2} &=5.76-3.24=2.52 \\\mathrm{PC} &=\sqrt{2.52}=1.587\end{aligned}$

=1.59 मी.

काँटि से नाजिमा की क्षैतिज दूरी 

=PC+CD

=(1.59+1.2)

=2.79 मी.।

Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 6 त्रिभुज (Triangles) प्रश्नावली 6(E)

 प्रश्नावली 6(E)

प्रश्न 1

कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं। निर्धारित कीजिए कि इनमें से कौन-कौन से त्रिभुज समको'ण' त्रिभुज हैं। इस स्थिति में कर्ण की लम्बाई भी लिखिए।

(i) 7 सेमी, 24 सेमी, 25 सेमी

(ii) 3 सेमी, 8 सेमी, 6 सेमी

(iii) 50 सेमी, 80 सेमी, 100 सेमी

(iv) 13 सेमी, 12 सेमी, 5 सेमी

हल : 

प्रश्न के चारों खण्डों में समकोण त्रिभुज हेतु तीनों भुजाओं में जो सबसे बड़ी भुजा है उसका वर्ग यदि शेष दोनों संख्याओं के वर्गों के योग के बराबर हो तो त्रिभुज समकोण' होगा। यहाँ सबसे बड़ी भुजा ही कर्ण होती है।

(i) 

$\begin{aligned}(25)^{2} &=625 \\(24)^{2}+(7)^{2} &=576+49=625\end{aligned}$

कर्ण की लम्बाई $=25$ सेमी

अतः इन भुजाओं से समकोण त्रिभुज बनेगा।

(ii)

$\begin{aligned}(8)^{2} &=64 \\(3)^{2}+(6)^{2} &=9+36=45 \\64 & \neq 45\end{aligned}$

अतः इन भुजाओं से समकोण त्रिभुज नहीं बनेगा।

(iii)

$\begin{aligned}(100)^{2} &=10000 \\(50)^{2}+(80)^{2} &=2500+6400=8900 \\ 10000 & \neq 8900 . \end{aligned}$

अतः इन भुजाओं से समकोण त्रिभुज नहीं बनेगा।

(iv) 

$\begin{aligned}(13)^{2} &=169 \\(12)^{2}+(5)^{2} &=144+25=169\end{aligned}$

कर्ण की लम्बाई =13 सेमी

अतः इन भुजाओं से समकोण त्रिभुज बनेगा।

प्रश्न 2

एक आदमी पूरब की ओर 10 मीटर जाता है और फिर 30 मीटर उत्तर की ओर जाता है। बताइए वह प्रारम्भिक बिन्दु से कितनी दूरी पर है?

हल : 

माना एक गदमी O से A तक पूरब की ओर $\mathrm{OA}=10$ मीटर चलता है। फिर उत्तर की ओर AB=30 मीटर चलता है।

तब प्रारम्भिक स्थिति $\mathrm{O}$ से $\mathrm{B}$ तक $\mathrm{OB}$ दूरी चलेगा। अब समकोण त्रिभुज $\mathrm{OAB}$ में

$\begin{aligned}\mathrm{OB}^{2} &=\mathrm{OA}^{2}+\mathrm{AB}^{2} \\&=(10)^{2}+(30)^{2} \\&=100+900=1000\end{aligned}$

$\begin{aligned} \mathrm{OB} &=\sqrt{1000}\end{aligned}$

$=10 \sqrt{10}$  मीटर

प्रश्न 3

सिद्ध कीजिए कि एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

हल : 

दिया है : एक समचतुर्भुज PQRS है जिसके विकर्ण PR तथा QS हैं जो परस्पर O पर प्रतिच्छेदित होते हैं।

सिद्ध करना है : $\mathrm{PQ}^{2}+\mathrm{QR}^{2}+\mathrm{RS}^{2}+\mathrm{SP}^{2}=\mathrm{PR}^{2}+\mathrm{QS}^{2}$.
उपपत्ति : चूँकि समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर $90^{\circ}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं अर्थात्
$\angle \mathrm{POQ}=\angle \mathrm{QOR}=\angle \mathrm{ROS}=\angle
\mathrm{SOP}=90^{\circ}$
$\begin{aligned} \mathrm{PO} &=\mathrm{RO} \\ \mathrm{QO} &=\mathrm{SO} \\ \mathrm{PQ}^{2} &=\mathrm{OP}^{2}+\mathrm{OQ}^{2} \end{aligned}$ (पाइथागोरस प्रमेय से)
$\mathrm{PQ}^{2}=\left(\frac{1}{2} \mathrm{PR}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2} \mathrm{QS}\right)^{2}$
$\mathrm{PQ}^{2}=\frac{1}{4} \mathrm{PR}^{2}+\frac{1}{4} \mathrm{QS}^{2}$
$\begin{aligned} 4 \mathrm{PQ}^{2} &=\mathrm{PR}^{2}+\mathrm{QS}^{2}....(i) \\ 4 \mathrm{QR}^{2} &=\mathrm{PR}^{2}+\mathrm{QS}^{2}....(ii) \end{aligned}$
$4 \mathrm{RS}^{2}=\mathrm{PR}^{2}+\mathrm{QS}^{2}$......(iii)
$4 \mathrm{SP}^{2}=\mathrm{PR}^{2}+\mathrm{QS}^{2}$....(iv)
उपरोक्त चारों समीकरणों को जोड़ने पर,

अतः :

$\begin{aligned}\left(\mathrm{PQ}^{2}+\mathrm{QR}^{2}+\mathrm{RS}^{2}+\mathrm{SP}^{2}\right)&=4\left(\mathrm{PR}^{2}+\mathrm{QS}^{2}\right) \\\mathrm{PQ}^{2}+\mathrm{QR}^{2}+\mathrm{RS}^{2}+\mathrm{SP}^{2}&=\mathrm{PR}^{2}+\mathrm{QS}^{2} .\end{aligned}$

प्रश्न 4

$\mathrm{ABC}$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जिसका कोण $\mathrm{C}$ समकोण है। सिद्ध कीजिए कि $\mathrm{AB}^{2}=$ $2 \mathrm{AC}^{2}$ है।

हल: 

दिया है : $\mathrm{ABC}$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें $\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$, और $\angle \mathrm{C}=90^{\circ}$ पाइथागोरस प्रमेय से,

$\begin{aligned}\mathrm{AB}^{2} &=\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{AC}^{2} \\&=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{AC}^{2} \\\mathrm{AB}^{2} &=2 \mathrm{AC}^{2}\end{aligned}$

प्रश्न 5

$\mathrm{ABC}$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण $\mathrm{C}$ समकोण है तथा $\mathrm{AC}=\sqrt{3} \mathrm{BC}$ और बिन्दु $\mathrm{D}$ भुजा $\mathrm{AB}$ का मध्य बिन्दु है, तो सिद्ध कीजिए कि $\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ}$ होगा।

हल :

$\begin{aligned}\mathrm{AB}^{2} &=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2} \\&=3 \mathrm{BC}^{2}+\mathrm{BC}^{2},\end{aligned}$

                                            $[\because \mathrm{AC}=\sqrt{3 \mathrm{BC}}]$

$\begin{aligned}A B^{2} &=4 B C^{2} \\A B &=2 B C \\B C &=\frac{1}{2} A B=B D \\C D &=\frac{1}{2} A B\end{aligned}$

[समकोण के बिन्दु से कर्ण $\mathrm{AB}$ की माध्यिका $\mathrm{CD}$ है]

$\mathrm{BC}=\mathrm{BD}=\mathrm{CD}$

$\therefore \quad \triangle \mathrm{BCD}$ समबाहु त्रिभुज है।

अतः : $\angle \mathrm{ABC}=60^{\circ}$

प्रश्न 6

10 मी लम्बी एक सीढ़ी एक दीवार पर टिकाने पर भूमि से 8 मी. की ऊँचाई पर स्थित एक खिड़की तक पहुँचती है। दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल : 

मान लीजिए AC एक सीढ़ी है, जिसकी लम्बाई 10 मी है। भूमि से 8 मी की ऊँचाई पर $\mathrm{C}$ बिन्दु पर खिडकी है। दीवार के ' 'धार और सीढ़ी के निचले सिरे के बीच की दूरी $\mathrm{AB}$ है।

$\begin{aligned}(A C)^{2} &=(A B)^{2}+(B C)^{2} \\(10)^{2} &=(A B)^{2}+(8)^{2} \\ 100 &=(A B)^{2}+64 \\(A B)^{2} &=100-64 \\ A B^{2} &=36 \\ A B &=6 \end{aligned}$

दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी 6 मी है।

प्रश्न 7

एक खेल के मैदान में 3 मीटर और 8 मीटर लम्बे दो खम्भे खड़े किये गये हैं। यदि इन खंम्भों के निचले सिरों के बीच की दूरी 12 मीटर हो, तो उनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल : 

पहले खम्भे की ऊँचाई $(\mathrm{AB})=3$ मीटर तथा दूसरे खम्भे की ऊँचाई $(\mathrm{CD})=8$ मीटर

दोनों खम्भों के बीच की दूरी (BD) $=12$ मीटर तथा $\mathrm{AE} \perp \mathrm{CD}$ डाला।

AE=BD=12 मीटर 

CE=CD-DE=CD-AB=8-3=5 मीटर 

अब समकोण $\triangle \mathrm{AEC}$ में पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,

$\begin{aligned}\mathrm{AC}^{2} &=\mathrm{AE}^{2}+\mathrm{CE}^{2}=(12)^{2}+(5)^{2} \\&=144+25=169 \\\mathrm{AC} &=\sqrt{169}=13\end{aligned}$

प्रश्न 8

दो खम्भे जिनकी ऊँचाइयाँ 6 मी और 11 मी हैं तथा ये समतल भूमि पर खड़े हैं। यदि इनके निचले सिरों के बीच की दूरी 12 मी है तो इनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना $\mathrm{AB}$ तथा $\mathrm{CD}$ दो खम्भे हैं जिनकी ऊँचाइयाँ 6 मी. तथा 11 मी. हैं। इनके निचले सिरे के बीच की दूरी $D E=12$ मी है तथा

ऊपरी सिरों के बीच की दूरी $\mathrm{AD}$ हो, तब समकोण $\triangle \mathrm{ADE}$ में,

$\begin{aligned}(A D)^{2} &=(A E)^{2}+(D E)^{2} \\&=(5)^{2}+(12)^{2} \\&=25+144\end{aligned}$

$\begin{aligned} A D^{2} &=169 \\ A D &=13 \end{aligned}$

अतः दोनों खम्भों के ऊपरी सिरों के बीच की दूरी 13 मी है।

प्रश्न 9

एक 10 मीटर लम्बी सीढ़ी एक भवन की जमीन से 8 मीटर ऊँची खिड़की तक जाती है। भवन से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना सीढ़ी की लम्बाई $\mathrm{AB}=10$ मीटर तथा भवन की जमीन से खिड़की की ऊँचाई $\mathrm{BC}=8$ मीटर।

भवन से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी $\mathrm{AC}$ ज्ञात करनी है। अब $\triangle \mathrm{ACB}$ में,

$\begin{aligned}A B^{2} &=A C^{2}+B C^{2} \\(10)^{2} &=A C^{2}+(8)^{2} \\100 &=A C^{2}+64 \\A C^{2} &=100-64=36\end{aligned}$

वर्गमूल लेने पर

$\mathrm{AC}=6 \text { मीटर }$

अतः भवन से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी $=6$ मीटर।

प्रश्न 10

सड़क के आर-पार दो मन्दिरों की ऊँचाइयाँ 10 मीटर और 18 मीटर हैं। भू-तल पर उनके बीच की दूरी 6 मीटर है, तो मन्दिर की चोटियों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना सड़क $\mathrm{BD}=6$ मीटर दूरी पर आर-पार $\mathrm{AB}=10$ मीटर, $\mathrm{CD}=18$ मीटर ऊँचाई के दो मन्दिर हैं। दोनों मन्दिरों की चोटियों $\mathrm{A}$ तथा $\mathrm{C}$ के बीच की दूरी ज्ञात करनी है।

बिन्दु $\mathrm{A}$ से $\mathrm{AE}$ लम्ब $\mathrm{CD}$ पर खींचा। समकोण त्रिभुज $\mathrm{AEC}$ में,

$\begin{aligned}\mathrm{CA}^{2} &=\mathrm{AE}^{2}+\mathrm{EC}^{2} \\\mathrm{AE} &=\mathrm{BD}=6 \\\mathrm{CE} &=8 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \mathrm{CA}^{2} &=(6)^{2}+(8)^{2} \\ \mathrm{CA}^{2} &=36+64 \\ \mathrm{CA}^{2} &=100 \\ \mathrm{CA} &=10  \end{aligned}$

अतः मन्दिरों की चोटियों की बीच की दूरी $=10$ मीटर

प्रश्न 11

$\triangle \mathrm{PQR}$ एक समकोण' त्रिभुज है जिसका कोण $\mathrm{P}$ समकोण है तथा $\mathrm{QR}$ पर बिन्दु $\mathrm{M}$ इस प्रकार स्थित है कि $\mathrm{PM} \perp \mathrm{QR}$ है। दर्शाइए कि $\mathrm{PM}^{2}=\mathrm{QM} . \mathrm{MR}$ है।

हल : 

दिया है : एक समकोण $\triangle \mathrm{PQR}$, में $\angle \mathrm{P}=90^{\circ}$ तथा $\mathrm{PM} \perp \mathrm{QR}$. सिद्ध करना है :

$\mathrm{PM}^{2}=\mathrm{QM} \cdot \mathrm{MR}$

उपपत्ति : $\triangle \mathrm{MPQ}$ और $\triangle \mathrm{PQR}$ में,

$\begin{aligned}\angle 1+\angle 2 &=\angle 3+\angle 4=90^{\circ} \\\angle 1 &=\angle 4\end{aligned}$

$\begin{aligned} \angle 2 &=\angle 3 \\ \angle \mathrm{PMQ} &=\angle \mathrm{PMR}=90^{\circ} \\ \Delta \mathrm{PQM} & \sim \Delta \mathrm{RPM} \end{aligned}$ (AAA समरूपता से)

$\frac{\mathrm{QM}}{\mathrm{PM}}=\frac{\mathrm{PM}}{\mathrm{MR}}$

$\mathrm{PM}^{2}=\mathrm{QM} \cdot \mathrm{MR}$

प्रश्न 12

दी हुई आकृति में, $\mathrm{ABD}$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण $\mathrm{A}$ समकोण है तथा $\mathrm{AC} \perp \mathrm{BD}$ है। दर्शाइए कि

(i) $\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{BC} . \mathrm{BD}$

(ii)AC $^{2}=$ BC. DC

(iii) $\mathrm{AD}^{2}=\mathrm{BD} . \mathrm{CD}$

हल : 

$\because \triangle \mathrm{ABD}$ में, $\angle \mathrm{BAD}=90^{\circ}$ तथा $\mathrm{AC} \perp \mathrm{BD}$.

इसलिए $\triangle \mathrm{ABC} \sim \Delta \mathrm{DBA}, \Delta \mathrm{DAC} \sim \Delta \mathrm{DBA}$ तथा $\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{DAC}$.

(i) $\because \triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{DBA}$ हो, तो

$\begin{aligned} \frac{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ABC})}{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{DBA})} &=\frac{\mathrm{AB}^{2}}{\mathrm{DB}^{2}} \\ \frac{1}{2} \times \mathrm{BC} \times \mathrm{AC} &=\frac{\mathrm{AB}^{2}}{\frac{1}{2} \times \mathrm{BD} \times \mathrm{AC}^{2}} \\ \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BD}} &=\frac{\mathrm{AB}^{2}}{\mathrm{DB}^{2}} \\ \mathrm{AB}^{2} &=\mathrm{BC} \cdot \mathrm{BD} . \end{aligned}$

(ii) $\because \triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{DA} \mathrm{C}$ हो, तो

$\frac{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ABC})}{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{DAC})}=\frac{\mathrm{AC}^{2}}{\mathrm{DC}^{2}}$

$\frac{\frac{1}{2} \times \mathrm{BC} \times \mathrm{AC}}{\frac{1}{2} \times \mathrm{DC} \times \mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{AC}^{2}}{\mathrm{DC}^{2}}$

$\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AC}^{2}}{\mathrm{DC}^{2}}$

$\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{BC} \cdot \mathrm{DC}$

(iii) $\because \Delta \mathrm{DAC} \sim \Delta \mathrm{DBA}$ हो, तो

$\frac{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{DAC})}{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{DBA})}=\frac{\mathrm{DA}^{2}}{\mathrm{DB}^{2}}$

$\begin{aligned} \frac{\frac{1}{2} \times \mathrm{CD} \times \mathrm{AC}}{\frac{1}{2} \times \mathrm{DB} \times \mathrm{AC}} &=\frac{\mathrm{DA}^{2}}{\mathrm{DB}^{2}} \\ \frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{DB}} &=\frac{\mathrm{DA}^{2}}{\mathrm{DB}^{2}} \\ \mathrm{AD}^{2} &=\mathrm{BD} \cdot \mathrm{CD} \end{aligned}$

प्रश्न 13

$\mathrm{ABC}$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$ है। यदि $\mathrm{AB}^{2}=2 \mathrm{AC}^{2}$ है तो सिद्ध कीजिए कि ABC एक समकोण त्रिभुज है।

हल : 

$\because \mathrm{ABC}$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें

$\mathrm{AC}=\mathrm{BC} \text ,$ (दिया है)

$\mathrm{AB}^{2}=2 \mathrm{AC}^{2}$ (दिया है)

$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{AC}^{2}$

$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}$ $(\because \mathrm{AC}=\mathrm{BC})$

पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से, $\triangle \mathrm{ABC}$ एक समकोण त्रिभुज है।

प्रश्न 14

समद्विबाहु त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ में, $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ तथा $\mathrm{BD} \perp \mathrm{AC}$, तो सिब्द कीजिए कि :

$\mathrm{BD}^{2}-\mathrm{CD}^{2}=2 \mathrm{CD} . \mathrm{AD} .$

हल : 

दिया है : $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

AB=AC तथा BD⟂AC

सिद्ध करना है : $\mathrm{BD}^{2}-\mathrm{CD}^{2}=2 \mathrm{CD} \cdot \mathrm{AD}$.

उपपत्ति : समकोण $\triangle \mathrm{ADB}$ में,

$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{BD}^{2}+\mathrm{AD}^{2}$

$\begin{aligned} \mathrm{AB}^{2}-\mathrm{AD}^{2} &=\mathrm{BD}^{2} \\ \mathrm{AB} &=\mathrm{AC}=\mathrm{AD}+\mathrm{DC} \end{aligned}$ .........(i)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर

$\begin{aligned}\mathrm{AB}^{2} &=(\mathrm{AD}+\mathrm{DC})^{2} \\&=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{DC}^{2}+2 \mathrm{AD} \cdot \mathrm{DC}\end{aligned}$....(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से,

$\mathrm{BD}^{2}=\mathrm{DC}^{2}+2 \mathrm{AD} \cdot \mathrm{DC}$

$\mathrm{BD}^{2}-\mathrm{DC}^{2}=2 \mathrm{CD} \cdot \mathrm{AD}$

प्रश्न 15

$\mathrm{ABCD}$ एक समचतुर्भुज है। सिद्ध कीजिए कि

$A B^{2}+B C^{2}+C D^{2}+D A^{2}=A C^{2}+B D^{2}$

हल : 

दिया है : एक समचतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$ जिसके विकर्ण $\mathrm{AC}$ तथा $\mathrm{BD}$ परस्पर बिन्दु $\mathrm{O}$ पर काटते हैं।

सिद्ध करना है :

$A B^{2}+B C^{2}+C D^{2}+D A^{2}=A C^{2}+B D^{2}$

उपपत्ति : किसी समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। $\therefore$

$\mathrm{OA}=\mathrm{OC} \text { और } \mathrm{OB}=\mathrm{OD}$

तथा $\angle A O B=\angle B O C=C O D=\angle D O A=90^{\circ}$

अब समकोण $\triangle \mathrm{AOB}$ में पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,

$A B^{2}=O A^{2}+O B^{2}$.....(i)

इसी प्रकार, $\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{OB}^{2}+\mathrm{OC}^{2}$.....(ii)

$\mathrm{CD}^{2}=\mathrm{OC}^{2}+\mathrm{OD}^{2}$........(iii)

$\mathrm{DA}^{2}=\mathrm{OD}^{2}+\mathrm{OA}^{2}$.......(iv)

समीकरण" (i),(ii),(iii) और (iv) को जोड़ने पर

$A B^{2}+B C^{2}+C D^{2}+D A^{2}=2 O A^{2}+2 O B^{2}+2 O C^{2}+2 O D^{2}$

$=4 \mathrm{OA}^{2}+4 \mathrm{OB}^{2},(\because \mathrm{OA}=\mathrm{OC}, \mathrm{OB}=\mathrm{OD})$ $=(2 \mathrm{OA})^{2}+(2 \mathrm{OB})^{2} .$ $\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{CD}^{2}+\mathrm{DA}^{2}$ $(\because 2 \mathrm{OA}=\mathrm{AC}, 2 \mathrm{OB}=\mathrm{BD}) \quad=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BD}^{2}$ इति सिद्धम्।

प्रश्न 16

एक समबाहु त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ की भुजा $2 a$ है। उसके प्रत्येक शीर्ष लम्ब की लम्बाई ज्ञात कीजिए। हल: दिया है : $\triangle \mathrm{ABC}$ एक समबाहु त्रिभुज है, जिसकी प्रत्येक भुजा $2 a$ है।

$\mathrm{AP} \perp \mathrm{BC}$ अर्थात्

$\angle \mathrm{P}=90^{\circ}$

समकोण त्रिभुज $\mathrm{APB}$ में,

$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AP}^{2}+\mathrm{BP}^{2}$

$(2 a)^{2}=\mathrm{AP}^{2}+(a)^{2} \quad\left[\because \mathrm{BP}=\frac{1}{2} \times 2 a=a\right]$

$\begin{aligned} 4 a^{2} &=A P^{2}+a^{2} \\ A P^{2} &=4 a^{2}-a^{2} \\ A P^{2} &=3 a^{2} \\ A P &=a \sqrt{3} \end{aligned}$

अतः समबाहु त्रिभुज के प्रत्येक शीर्षलम्ब' की लम्बाई $a \sqrt{3}$ है।

प्रश्न 17

किसी समबाहु त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ में भुजा $\mathrm{BC}$ को बिन्दु $\mathrm{D}$ पर त्रिभाजित किया गया है। सिद्ध कीजिए कि $9 \mathrm{AD}^{2}=7 \mathrm{AB}^{2}$ है।

हल : 

दिया है : $\mathrm{ABC}$ एक समबाहु त्रिभुज है जिसमें आधार $\mathrm{BC}$ पर एक बिन्दु $\mathrm{D}$ इस प्रकार स्थित है कि

$\begin{aligned} \mathrm{BD} &=\frac{1}{3} \mathrm{BC} \\ 9 \mathrm{AD}^{2} &=7 \mathrm{AB}^{2} \\ \mathrm{AE} & \perp \mathrm{BC} . \end{aligned}$

उपपत्तिः समबाहु $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\mathrm{BE}=\mathrm{CE}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}$

           (समबाहु त्रिभुज में ऊँचाई $\mathrm{AE}$ भुजा $\mathrm{BC}$ की लम्ब समद्विभाजक है)

$\mathrm{BE}=\frac{1}{2} \mathrm{AB} \quad(\because \mathrm{BC}=\mathrm{AB}) \ldots$..(i)

'समकोण' $\triangle \mathrm{ABE}$ में, $\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AE}^{2}+\mathrm{BE}^{2}$

$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AE}^{2}+\left(\frac{1}{2} \mathrm{AB}\right)^{2}$

$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AE}^{2}+\frac{1}{4} \mathrm{AB}^{2}$

$\begin{aligned} \mathrm{AB}^{2}-\frac{1}{4} \mathrm{AB}^{2} &=\mathrm{AE}^{2} \\ \frac{3}{4} \mathrm{AB}^{2} &=\mathrm{AE}^{2} \end{aligned}$.......(ii)

समकोण' $\triangle \mathrm{ADE}$ में, $\mathrm{AD}^{2}=\mathrm{AE}^{2}+\mathrm{DE}^{2}$

$\mathrm{AE}^{2}=\mathrm{AD}^{2}-\mathrm{DE}^{2}$......(iii)

$\mathrm{BD}=\frac{1}{3} \mathrm{BC}$ (दिया है)

$\mathrm{BD}=\frac{1}{3} \mathrm{AB}$.......(iv)

समीकरण' (i) में से (iv) को घटाने पर,

$\mathrm{BE}-\mathrm{BD}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}-\frac{1}{3} \mathrm{AB}$

$\mathrm{DE}=\frac{1}{6} \mathrm{AB}$.......(iv)

समीकरण (ii)तथा (iii) से,

$\frac{3}{4} \mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AD}^{2}-\mathrm{DE}^{2}$

$\frac{3}{4} \mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AD}^{2}-\left(\frac{1}{6} \mathrm{AB}\right)^{2}$[समीकरण' (v) से]

$\begin{aligned} \frac{3}{4} \mathrm{AB}^{2}+\frac{1}{36} \mathrm{AB}^{2} &=\mathrm{AD}^{2} \\ 27 \mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AB}^{2} &=36 \mathrm{AD}^{2} \end{aligned}$ (36 का दोनों पक्षों में गुणा करने पर)

$\begin{aligned} 28 \mathrm{AB}^{2} &=36 \mathrm{AD}^{2} \\ 7 \mathrm{AB}^{2} &=9 \mathrm{AD}^{2} \\ 9 \mathrm{AD}^{2} &=7 \mathrm{AB}^{2} \end{aligned}$

प्रश्न 18

त्रिभुज $\triangle \mathrm{ABC}$ में, $\triangle \mathrm{BCA}=90^{\circ}$, बिन्दु $\mathrm{Q}$ भुजा $\mathrm{BC}$ का मध्य बिन्दु है। सिद्ध कीजिए कि

$A B^{2}=4 A Q^{2}-3 A C^{2}$

हल : 

दिया है : $\triangle \mathrm{ABC}$ में $\triangle \mathrm{BCA}=90^{\circ}$ तथा $\mathrm{BC}$ का मध्य बिन्दु $\mathrm{Q}$ हैं।

सिद्ध करना है : $\mathrm{AB}^{2}=4 \mathrm{AQ}^{2}-3 \mathrm{AC}^{2}$

रचना : $\mathrm{AQ}$ को मिलाया।

उपपत्ति : समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}$........(i)

समकोण $\triangle \mathrm{AQC}$ में, 

                     $A Q^{2}=Q C^{2}+A C^{2}$

$\begin{aligned} &=\left(\frac{1}{2} B C\right)^{2}+A C^{2} \\ &=\frac{1}{4} B C^{2}+A C^{2} \\ 4 A Q^{2} &=B C^{2}+4 A C^{2} \\ B C^{2} &=4 A Q^{2}-4 A C^{2} \end{aligned}$.......(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से,

$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+4 \mathrm{AQ}^{2}-4 \mathrm{AC}^{2}$

अतः $\mathrm{AB}^{2}=4 \mathrm{AQ}^{2}-3 \mathrm{AC}^{2}$

प्रश्न 19

दी हुयी आकृति में, $\triangle \mathrm{ABC}$ के अभ्यंतर में स्थित कोई बिन्दु $\mathrm{O}$ है तथा $\mathrm{OD} \perp \mathrm{BC}, \mathrm{OE} \perp \mathrm{AC}$ और $O F \perp A B$ है। दर्शाइए कि

(i) $O A^{2}+O B^{2}+O C^{2}-O D^{2}-O E^{2}-O F^{2}=A F^{2}+B D^{2}+C E^{2}$

(ii)$\mathrm{AF}^{2}+\mathrm{BD}^{2}+\mathrm{CE}^{2}=\mathrm{AE}^{2}+\mathrm{CD}^{2}+\mathrm{BF}^{2}$.

हल : 

(i) समकोण $\Delta \mathrm{OAF}$ में,

$\mathrm{OA}^{2}=\mathrm{AF}^{2}+\mathrm{OF}^{2}$......(i)

समकोण $\Delta \mathrm{OBD}$ में,

$\mathrm{OB}^{2}=\mathrm{BD}^{2}+\mathrm{OD}^{2}$........(ii)

समकोण $\Delta$ OCE में,

$O C^{2}=E C^{2}+O E^{2}$.........(iii)

समीकरण (i) + (ii) + (iii) से,

$\begin{aligned} \mathrm{OA}^{2}+\mathrm{OB}^{2}+\mathrm{OC}^{2} &=\mathrm{AF}^{2}+\mathrm{OF}^{2}+\mathrm{BD}^{2}+\mathrm{OD}^{2}+\mathrm{EC}^{2}+\mathrm{OE}^{2} \\ \therefore \quad \mathrm{OA}^{2}+\mathrm{OB}^{2}+\mathrm{OC}^{2}-\mathrm{OD}^{2}-\mathrm{OE}^{2}-\mathrm{OF}^{2} &=\mathrm{AF}^{2}+\mathrm{BD}^{2}+\mathrm{EC}^{2} . \end{aligned}$

(ii) समकोण' $\triangle \mathrm{OBD}$ में,

$\mathrm{OB}^{2}=\mathrm{BD}^{2}+\mathrm{OD}^{2}$.......(iv)

समकोण $\triangle O C D$ में,

$\mathrm{OC}^{2}=\mathrm{CD}^{2}+\mathrm{OD}^{2}$........(v)

समीकरण (v) को (iv) में से घटाने पर,

$\mathrm{OB}^{2}-\mathrm{OC}^{2}=\mathrm{BD}^{2}-\mathrm{CD}^{2}$......(vi)

इसी प्रकार, $\Delta \mathrm{OCE}$ तथा $\Delta \mathrm{OAE}$ में,

$O C^{2}-O A^{2}=C E^{2}-A E^{2}$......(vii)

इसी प्रकार, संमकोण $\Delta \mathrm{OAF}$ तथा $\Delta \mathrm{OBF}$ में,

$\mathrm{OA}^{2}-\mathrm{OB}^{2}=\mathrm{AF}^{2}-\mathrm{BF}^{2}$........(viii)

समीकरण' (vi), (vii) तथा (viii)से,

$\mathrm{BD}^{2}-\mathrm{CD}^{2}+\mathrm{CE}^{2}-\mathrm{AE}^{2}+\mathrm{AF}^{2}\mathrm{BF}^{2}=0$

या $\mathrm{AF}^{2}+\mathrm{BD}^{2}+\mathrm{CE}^{2}=\mathrm{AE}^{2}+\mathrm{CD}^{2}+\mathrm{BF}^{2}$

प्रश्न 20

$\triangle \mathrm{ABC}$ के कर्ण $\mathrm{AB}$ पर एक दूसरा समकोण' त्रिभुज $\triangle \mathrm{ABD}$ बनाया गया है यदि $\mathrm{BC}=1$ सेमी, $\mathrm{AC}=6$ सेमी तथा $\mathrm{AD}=2$ सेमी, तो $\mathrm{BD}$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल : 

दिया है : समकोण $\triangle \mathrm{ACB}$ में $\mathrm{BC}=1$ सेमी, $\mathrm{AC}=6$ सेमी तथा समकोण' $\triangle \mathrm{ADB}$ में $\mathrm{AD}=2$ सेमी।

ज्ञात करना है : $\mathrm{BD}$ का मान ज्ञात करना है।

गणना : समकोण $\triangle \mathrm{ACB}$ में,

$\begin{aligned} \mathrm{AB}^{2} &=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2} \\ \mathrm{AB}^{2} &=(6)^{2}+(1)^{2} \\ &=36+1=37 \end{aligned}$........(i)

पुनः समकोण $\triangle \mathrm{ADB}$ में,

$\begin{aligned}\mathrm{AB}^{2} &=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{BD}^{2} \\37 &=(2)^{2}+\mathrm{BD}^{2}\end{aligned}$

                               $\left[\because \mathrm{AB}^{2}=37\right.$ सम्बन्ध (i) से]

$\begin{aligned} 37 &=4+B D^{2} \\ B D^{2} &=37-4=33 \\ B D &=\sqrt{33} \\ B D &=\sqrt{33} \text { सेमी। } \end{aligned}$

प्रश्न 21

18 मी ऊँचे एक ऊर्ध्वाधर खम्भे के ऊपरी सिरे से एक तार का एक सिरा जुड़ा हुआ है तथा तार का दूसरा सिरा एक खूँटे से जुड़ा हुआ है। खम्भे के आधार से खूँटे को कितनी दूरी पर गाड़ा जाए कि तार तना रहे जबकि तार की लम्बाई 24 मी है।

हल : 

मान लीजिए $\mathrm{AB}$ एक ऊर्ध्वाधर खम्भा है जिसकी ऊँचाई 18 मी है। तार को $\mathrm{AC}$ द्वारा व्यक्त किया गया है जिसकी लम्बाई, $\mathrm{AC}=24$ मी है। खम्भे के आधार से खूँटे की दूरी $\mathrm{BC}$ है।

$\because$ खम्भा ऊर्ध्वाधर अर्थात् $90^{\circ}$ के कोण पर स्थित है। 

$\therefore$ पाइथागोरस प्रमेय से,

$\begin{aligned}(\mathrm{AC})^{2} &=(\mathrm{AB})^{2}+(\mathrm{BC})^{2} \\(24)^{2} &=(18)^{2}+(\mathrm{BC})^{2} \\ 576 &=324+\mathrm{BC}^{2} \\ \mathrm{BC}^{2} &=576-324=252 \end{aligned}$

$BC=6 \sqrt{7}$ मी। 

प्रश्न 22

एक हवाई जहाज एक हवाई अड्डे से उत्तर की ओर 1000 किमी/घष्टे की चाल से उड़ता है। इसी समय एक अन्य हवाई जहाज उसी हवाई अड्डे से पश्चिम की ओर 1200 किमी/घष्टे की चाल से उड़ता है। $1 \frac{1}{2}$ घण्टे के बाद दोनों हवाई जहाजों के बीच की दूरी कितनी होगी?

हल : 

$\because$ एक हवाई जहाज की चाल (उत्तर की ओर)

$\quad=1000$ किमी/घण्टा समय $=1^{1 / 2}$ घण्टे या $\frac{3}{2}$ घण्टे

$\therefore \frac{3}{2}$ घण्टे में हवाई जहाज द्वारा उत्तर दिशा में तय की गयी दूरी

=चाल×समय=1000×$\frac{3}{2}=1500$ किमी

इसी प्रकार, $\frac{3}{2}$ घण्टे में दूसरे हवाई जहाज द्वारा पश्चिम दिशा में तय की गयी दूरी

$=1200 \times \frac{3}{2}$=1800 किमी

अब समकोण त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ में,

$(\mathrm{AC})^{2}=(\mathrm{AB})^{2}+(\mathrm{BC})^{2}$

$\begin{aligned} &=(1500)^{2}+(1800)^{2} \\ &=2250000+3240000 \\(\mathrm{BC})^{2} &=5490000 \\ \mathrm{BC} &=\sqrt{9 \times 10000 \times 61} \end{aligned}$

$=300 \sqrt{61}$  किमी। 

प्रश्न 23

एक त्रिभुज $A B C$ जिसका कोण $C$ समकोण है, की भुजाओं $C A$ और $C B$ पर क्रमशः बिन्दु $D$ और $E$ स्थित हैं। सिद्ध कीजिए कि $\mathrm{AE}^{2}+\mathrm{BD}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{DE}^{2}$ है।

हल : 

दिया है, $\mathrm{ABC}$ एक समकोण त्रिभुज है जिसकी भुजाओं $\mathrm{AC}$ तथा $\mathrm{BC}$ पर $\mathrm{D}$ तथा $\mathrm{E}$ बिन्दु स्थित हैं।

$\triangle \mathrm{ACE}$ में,$\mathrm{AE}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{CE}^{2}$...(i)

और $\triangle \mathrm{DCB}$ में,$\mathrm{BD}^{2}=\mathrm{DC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}$...(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर,

$\mathrm{AE}^{2}+\mathrm{BD}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{CE}^{2}+\mathrm{DC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}$

$\begin{aligned} \mathrm{AE}^{2}+\mathrm{BD}^{2} &=\left(\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}\right)+\left(\mathrm{DC}^{2}+\mathrm{CE}^{2}\right) \\ \mathrm{AE}^{2}+: \mathrm{i} \mathrm{b}^{2} &=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{DE}^{2} \end{aligned}$

प्रश्न 24

किसी त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ के शीर्ष $\mathrm{A}$ से $\mathrm{BC}$ पर डाला गया लम्ब $\mathrm{BC}$ को बिन्दु $\mathrm{D}$ पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि $\mathrm{DB}=3 \mathrm{CD}$ है (देखिए आकृति में)। सिद्ध कीजिए कि $2 \mathrm{AB}^{2}=2 \mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}$ है।

हल : 

$D B=3 C D$ (दिया है)

अब $\mathrm{BC}=\mathrm{CD}+\mathrm{DB}$ (आकृति से)

$\begin{aligned} &=C D+3 C D \\ B C &=4 C D \end{aligned}$

$\begin{aligned} C D &=\frac{1}{4} B C \\ D B &=3 C D \end{aligned}$

$=3 \times \frac{1}{4} \mathrm{BC}=\frac{3}{4} \mathrm{BC}$........(i)

$\because \triangle \mathrm{ABD}$ तथा $\mathrm{ACD}$ समकोण त्रिभुज हैं।

$\therefore AB^{2}=A D^{2}+B D^{2}$........(ii)

$A C^{2}=A D^{2}+C D^{2}$........(iii)

समीकरण (iii) को (ii) में से घटाने पर,

$A B^{2}-A C^{2}=B D^{2}-C D^{2}$

$=\left(\frac{3}{4} \mathrm{BC}\right)^{2}-\left(\frac{1}{4} \mathrm{BC}\right)^{2}$

$\begin{aligned} \mathrm{AB}^{2}-\mathrm{AC}^{2} &=\frac{9}{16} \mathrm{BC}^{2}-\frac{1}{16} \mathrm{BC}^{2} \\ \mathrm{AB}^{2}-\mathrm{AC}^{2} &=\frac{8}{16} \mathrm{BC}^{2} \\ \mathrm{AB}^{2}-\mathrm{AC}^{2} &=\frac{1}{2} \mathrm{BC}^{2} \\ 2 \mathrm{AB}^{2}-2 \mathrm{AC}^{2} &=\mathrm{BC}^{2} \\ 2 \mathrm{AB}^{2} &=2 \mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2} \end{aligned}$

प्रश्न 25

किसी समबाहु त्रिभुज में, सिब्ध कीजिंए कि उसकी एक भुजा के वर्ग का तिगुना उसके एक शीर्षलम्ब के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है।

हल : 

दिया है : एक समबाहु त्रिभुज $P Q R$ है, जिसमें शीर्ष $P$ से $Q R$ पर एक लम्ब डाला गया। सिद्ध करना है :

$3 \times \mathrm{PQ}^{2}=4 \times \mathrm{PM}^{2}$

उपपत्ति : $\Delta \mathrm{PQM}$ तथा $\Delta \mathrm{PRM}$ में,

$P Q=P R=Q R$(समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा) 

$\angle \mathrm{Q}=\angle \mathrm{R}$(प्रत्येक $60^{\circ}$ )

$\begin{array}{lr}\angle \mathrm{PMQ}=\angle \mathrm{PMR} & (\because \mathrm{PM} \perp \mathrm{QR}) \\ \triangle \mathrm{PQM} \cong \triangle \mathrm{PMR} & \text { (ASA समरूपता से) }\end{array}$

$\mathrm{QM}=\mathrm{MR} \Rightarrow \mathrm{QM}=\mathrm{MR}=\frac{1}{2} \mathrm{QR}$

समकोण त्रिभुज $\mathrm{PMQ}$ में, 

         $(\mathrm{PQ})^{2}=(\mathrm{PM})^{2}+(\mathrm{QM})^{2}$

$\begin{aligned} &=(\mathrm{PM})^{2}+\left(\frac{1}{2} \mathrm{QR}\right)^{2} \\ &=(\mathrm{PM})^{2}+\frac{1}{4} \mathrm{QR}^{2} \\ \mathrm{PQ}^{2} &=\mathrm{PM}^{2}+\frac{1}{4} \mathrm{PQ}^{2} \end{aligned}$ $[\because \mathrm{PQ}=\mathrm{QR}]$

$\begin{aligned} \mathrm{PQ}^{2}-\frac{1}{4} \mathrm{PQ}^{2} &=\mathrm{PM}^{2} \\ \frac{3}{4} \mathrm{PQ}^{2} &=\mathrm{PM}^{2} \\ 3 \mathrm{PQ}^{2} &=4 \mathrm{PM}^{2} \end{aligned}$

Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 6 त्रिभुज (Triangles) प्रश्नावली 6(D)

 प्रश्नावली 6(D)

प्रश्न 1

दो समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ $4: 9$ के अनुपात में हैं। इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात है :

(A) $2: 3$

(B) $4: 9$

(C) $81: 16$

(D) $16: 81$

हुल :

समरूप त्रिभुज (1) का क्षेत्रफल = (पहले  Δ की भुजा )$^{2}$ /  ( दूसरे Δ की भुजा )$ ^{2}$

समरूप त्रिभुज (2) का क्षेत्रफ़ल 

$=\frac{(4)^{2}}{(9)^{2}}=\frac{16}{81}$

अतः त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात $16: 81$ होगा, विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 2

मान लीजिए $\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{DEF}$ है और इनके क्षेत्रफल क्रमशः 64 सेमी $^{2}$ और 121 सेमी $^{2}$ हैं। यदि $\mathrm{EF}$ $=15.4$ सेमी $^{2}$ हो, तो $\mathrm{BC}$ ज्ञात कीजिए।

हल : 

ΔABC का क्षेत्रफल  / ΔDEF का क्षेत्रफल

$=\frac{\mathrm{BC}^{2}}{\mathrm{EF}^{2}}$

अर्थात् $\frac{64}{121}=\frac{B C^{2}}{(15.4)^{2}}$

$\frac{8}{11}=\frac{\mathrm{BC}}{15.4}$

                                                     [ $\because$ दोनों पक्षों का वर्गमूल करने पर]

$\begin{aligned} \mathrm{BC} &=\frac{8 \times 15.4}{11} \\ &=8 \times 1.4=11.2\end{aligned}$

BC=11.2 सेमी।

प्रश्न 3

त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ और त्रिभुज $\mathrm{PQR}$ दो समरूप त्रिभुजों में शीर्ष $\mathrm{A}$ से भुजा $\mathrm{BC}$ पर डाला गया लम्ब 4 सेमी तथा शीर्ष $\mathrm{P}$ से भुजा $\mathrm{QR}$ पर डाला गया लम्ब 8 सेमी हो, तो $\triangle \mathrm{ABC}$ तथा $\triangle \mathrm{PQR}$ के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल : 

$\because \triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{PQR}$ (दिया है)
तथा $\mathrm{AD}=4$ सेमी
और $\mathrm{PS}=8$ सेमी

अब ΔABC का क्षेत्रफल / ΔPQR का क्षेत्रफल  

$\begin{aligned}&=\frac{\mathrm{AD}^{2}}{\mathrm{PS}^{2}}=\frac{(4)^{2}}{(8)^{2}} \\&=\frac{16}{64}=\frac{1}{4}\end{aligned}$

अतः $\triangle \mathrm{ABC}$ का क्षेत्रफल : $\triangle \mathrm{PQR}$ का क्षेत्रफल $=1: 4$ उत्तर

प्रश्न 4

दो समरूप त्रिभुजों की ऊँचाइयाँ क्रमशः 6 सेमी और 12 सेमी हैं। यदि एक त्रिभुज का क्षेत्रफल 20 वर्ग सेमी हो, तो दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना दो समरूप त्रिभुजों की ऊँचाइयाँ $h_{1}=6$ सेमी तथा $h_{2}=12$ सेमी हैं।'

 तथा एक त्रिभुज का क्षेत्रफल =20 वर्ग सेमी 

तब दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल  / दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल

$=\frac{h_{1}^{2}}{h_{2}^{2}}$

=20 / दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल

$=\frac{(6)^{2}}{(12)^{2}}$

$=\frac{36}{144}=\frac{1}{4}$

दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल $=20 \times 4$

=80 वर्ग सेमी

दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल =80 वर्ग सेमी।

प्रश्न 5

दो समरूप समान ऊँचाई वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफल $4: 3$ के अनुपात में हैं। यदि पहले त्रिभुज का आधार 8 सेमी हो, तो दूसरे त्रिभुज का आधार ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना दो समरूप समान ऊँचाई वाले $\triangle \mathrm{ABC}$ और $\triangle \mathrm{PQR}$ हैं।

दिया है :

ΔABC का क्षेत्रफल  / ΔPQR का क्षेत्रफल

$=\frac{4}{3}$

तथा $\triangle \mathrm{ABC}$ का आधार $\mathrm{BC}=8$ सेमी है, $\triangle \mathrm{PQR}$ का आधार $\mathrm{QR}$ ज्ञात करना है।

ΔABC का क्षेत्रफल  / ΔPQR का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}  &=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}} \\ \frac{4}{3} &=\frac{8}{\mathrm{QR}} \\ 4 \mathrm{QR} &=3 \times 8 \\ \mathrm{QR} &=\frac{3 \times 8}{4} \\ &=3 \times 2=6 \end{aligned}$

QR=6 सेमी। 

प्रश्न 6

दो समरूप त्रिभुजों में से एक का क्षेत्रफल 48 वर्ग सेमी तथा एक भुजा का वर्ग 36 वर्ग सेमी है। यदि दूसरे त्रिभुज की संगत भुजा का वर्ग 24 वर्ग सेमी हो, तो दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल  / दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल =  एक त्रिभुज की भुजा का वर्ग / दूसरे त्रिभुज की भुजा का वर्ग

=48 / दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\frac{36}{24}=\frac{3}{2}$

या $3 \times$ दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल

$=2 \times 48$

या दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल

$=\frac{2 \times 48}{3}=2 \times 16$

=32 वर्ग सेमी 

अभीष्ट त्रिभुज का क्षेत्रफल $=32$ वर्ग सेमी।

प्रश्न 7

यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हों तो सिद्ध कीजिए कि वे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं। हल : दिया है : $\Delta \mathrm{ABC} \sim \Delta \mathrm{DEF}$ तथा $\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ABC})=\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{DEF})$

हल : 

दिया है : $\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{DEF}$ तथा $\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{ABC})=\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{DEF})$

सिद्ध करना है :

$\triangle \mathrm{ABC} \cong \Delta \mathrm{DEF} .$

उपपत्ति : जब समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के

बराबर होता है, तब

$\therefore \quad \frac{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ABC})}{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{DEF})}=\frac{\mathrm{BC}^{2}}{\mathrm{EF}^{2}}$

$\begin{aligned} \operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ABC}) &=\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{DEF}) \\ \frac{\mathrm{BC}^{2}}{\mathrm{EF}^{2}} &=1 \\ \mathrm{BC}^{2} &=\mathrm{EF}^{2} \text { or} \mathrm{BC}=\mathrm{EF} \end{aligned}$

$\triangle \mathrm{ABC}$ तथा $\triangle \mathrm{DEF}$ से,

∠ABC = ∠DEF (दोनों त्रिभुज समरूप हैं)

∠ACB = ∠DEF (दोनों त्रिभुज समरूप हैं)

$\mathrm{BC}=\mathrm{EF}$(सिद्ध किया जा चुका है)

$\triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{DEF} .$ (SAS समरूपता से) इति सिद्धम्।

प्रश्न 8

सिद्ध कीजिए कि एक वर्ग की किसी भुजा पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसी वर्ग के एक विकर्ण पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।

हल : 

दिया है : $\mathrm{ABCD}$ एक वर्ग है जिसकी भुजा $\mathrm{AB}$ तथा विकर्ण $\mathrm{AC}$ है। जिस पर दो समबाहु त्रिभुज $\mathrm{ABP}$ तथा $\mathrm{ACQ}$ बनाए गए हैं।

सिद्ध करना है :

$\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ABP})=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ACQ})$

उपपत्ति : $\because$ समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\frac{\sqrt{3}}{4} \times$ (भुजा)$^{2}$

$\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ABP})=\frac{(\mathrm{AB})^{2} \cdot \sqrt{3}}{4}$

इसी प्रकार, विकर्ण $\mathrm{AC}$ पर बने समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल,

$\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ACQ})=\frac{(\mathrm{AC})^{2} \cdot \sqrt{3}}{4}$

$\begin{aligned} \frac{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ABP})}{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ACQ})} &=\frac{(\mathrm{AB})^{2} \cdot \sqrt{3}}{(\mathrm{AC})^{2} \cdot \sqrt{3}}=\left(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\right)^{2} \\ &=\left(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AB} \sqrt{2}}\right)^{2} \quad[\because \mathrm{AC}=\mathrm{AB} \sqrt{2}] \\ &=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2} \\ \frac{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ABP})}{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ACQ})} &=\frac{1}{2} \\ \operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ABP}) &=\frac{1}{2} \cdot \operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ACQ}) . \end{aligned}$

प्रश्न 9

सिद्ध कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत माधिकाओं के अनुपात का वर्ग होता है।

हल :

दिया है : मान लीजिए दो समरूप $\triangle \mathrm{ABC}$ तथा $\triangle \mathrm{PQR}$ हैं जिनकी माध्यिकाएँ दी गयी हैं, जो क्रमशः AD तथा $\mathrm{PM}$ हैं।

$\frac{\operatorname{ar}(\Delta A B C)}{\operatorname{ar}(\triangle P Q R)}=\frac{A D^{2}}{P M^{2}} .$

उपपत्ति : ∵ ΔABC ~ ΔPQR

$\frac{\text{ar}(\Delta \text{ABC}}{\text{ar} (\Delta\mathrm{PQR})}=\frac{\mathrm{AB}^{2}}{\mathrm{PQ}^{2}}$............(1)

परन्तु $\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{PQR}$ में, AD तथा PM उनकी संगत माध्यिकाएँ हैं। 

∴

$\begin{aligned}\Delta \mathrm{ABD} & \sim \Delta \mathrm{PQM}\end{aligned}$  में,

$\begin{aligned} \frac{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ABD})}{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{PQM})}&=\frac{\mathrm{AD}^{2}}{\mathrm{PM}^{2}}\end{aligned}$

प्रश्न 10

चित्र में $\triangle \mathrm{ACB}$ तथा $\triangle \mathrm{APQ}$ समरूप हैं। यदि $\mathrm{BC}=8$ सेमी, $\mathrm{PQ}=4$ सेमी, $\mathrm{BA}=6.5$ सेमी, $\mathrm{AP}=$ $2.8$ सेमी, तो $\mathrm{CA}$ तथा $\mathrm{AQ}$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल :
$\because \Delta \mathrm{ACB} \sim \Delta \mathrm{APQ}$
$\mathrm{BC}=8$ सेमी, $\mathrm{PQ}=4$ सेमी, $\mathrm{BA}=6.5$ सेमी, $\mathrm{AP}=2.8$ सेमी, $\mathrm{CA}$ तथा $\mathrm{AQ}$ का मान ज्ञात करना है।

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}} &=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{AP}} \\ \frac{8}{\mathrm{CA}} &=\frac{4}{2.8} \\ 4 \times \mathrm{CA} &=8 \times 2.8 \\ \mathrm{CA} &=\frac{8 \times 2.8}{4} \end{aligned}$

=5.6 सेमी 

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{PQ}} &=\frac{\mathrm{BA}}{\mathrm{AQ}} \\ \frac{8}{4} &=\frac{6.5}{\mathrm{AQ}} \\ \mathrm{AQ} &=\frac{6.5 \times 4}{8} \end{aligned}$

=3.25 सेमी 

CA=5.6 सेमी , AQ=3.25 सेमी।

प्रश्न 11

एक त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ की भुजाओं $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}$ और $\mathrm{CA}$ के मध्य-बिन्दु क्रमशः $\mathrm{D}, \mathrm{E}$ तथा $\mathrm{F}$ हैं। $\triangle \mathrm{DEF}$ और $\triangle \mathrm{ABC}$ के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल : 

$\because \mathrm{AB}$ तथा $\mathrm{AC}$ के मध्य-बिन्दु $\mathrm{D}$ तथा $\mathrm{F}$ हों, तब

$\mathrm{DF} \| \mathrm{BC}$

$\mathrm{DF} \| \mathrm{BE}$..........( i)

$\because \mathrm{AB}$ तथा $\mathrm{BC}$ के मध्य-बिन्दु $\mathrm{D}$ तथा $\mathrm{E}$ हों, तो

$\mathrm{DE} \| \mathrm{AC}$

$\mathrm{DE} \| \mathrm{AF}$........(ii)

समी. (i) से हमें BEFD एक समान्तर चतुर्भुज प्राप्त होता है। इसी प्रकार, समीकरण (ii) से हमें DEFA एक दूसरा समान्तर चतुर्भुज प्राप्त होता है।

$\triangle \mathrm{ABC}$ तथा $\triangle \mathrm{DEF}$ से,

$\triangle \mathrm{ABC}$ तथा $\triangle \mathrm{DEF}$ से,

$\begin{aligned}&\angle \mathrm{DEF}=\angle \mathrm{BAC} \\&\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{DFE}\end{aligned}$

$\Delta \mathrm{ABC} \sim \Delta \mathrm{DEF}$(AA समरूपता से)

$\begin{aligned} \frac{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{DEF})}{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ABC})} &=\frac{\mathrm{DF}^{2}}{\mathrm{BC}^{2}}=\frac{\left(\frac{1}{2} \mathrm{BC}\right)^{2}}{\mathrm{BC}^{2}} \\ &=\frac{1 \times \mathrm{BC}^{2}}{4 \times \mathrm{BC}^{2}}=\frac{1}{4} \end{aligned}$ 

                                                       $\left[\because \mathrm{DF}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}\right]$

अतः : $\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{DEF}): \operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ABC})=1: 4 .$

प्रश्न 12

किसी समलम्ब' चतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$ में $\mathrm{AB} \| \mathrm{DC}$. यदि $\triangle \mathrm{AED}$ तथा $\triangle \mathrm{BEC}$ समरूप हैं, जहाँ बिन्दु $\mathrm{E}$ विकर्णों का कटान बिन्दु है, सिद्ध कीजिए $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$.

हल : 

दिया है : ABCD एक समलम्बं चतुर्भुज है जिसमें AB||DCऔर ΔAED तथा ΔBEC समरूप हैं।

सिद्ध करना है : AD=BC.

उपपत्ति ∵Δ ACD तथा ΔBDC एक ही आधार CD तथा दो समानान्तर रेखाओं AB||DC के बीच बने हैं।

Δ ACD का क्षेत्रफल =Δ BDC का क्षेत्रफल

दोनों पक्षों में Δ ECD का क्षेत्रफल घटाने पर Δ ACD का क्षेत्रफल -Δ ECD का क्षेत्रफल = ΔBDC का क्षेत्रफल -Δ ECD का क्षेत्रफल

ΔAED का क्षेत्रफल =(ΔBEC का क्षेत्रफल ) × ( ΔAED का क्षेत्रफल / ΔBEC का क्षेत्रफल )=1....(i)

ΔAED ~ ΔBEC

ΔAEC का क्षेत्रफल / ΔBEC का क्षेत्रफल

$=\frac{\mathrm{AD}^{2}}{\mathrm{BC}^{2}}$..........(ii)

∵ दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात किन्हीं दो संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।)

समी (i) और (ii) से हम प्राप्त करते हैं,

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{AD}^{2}}{\mathrm{BC}^{2}} &=1 \text { or } \mathrm{AD}^{2}=\mathrm{BC}^{2} \\ \mathrm{AD} &=\mathrm{BC} \end{aligned}$

प्रश्न 13

एक समलम्ब $A B C D$ जिसमें $A B \| D C$ है, के विकर्ण परस्पर बिन्दु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि $\mathrm{AB}=2 \mathrm{CD}$ हो तो त्रिभुजों $\mathrm{AOB}$ और $\mathrm{COD}$ के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल : 

$\because\mathrm{AB} \| \mathrm{DC}$(ABCD समलम्ब है)

जब $\mathrm{AC}$ तिर्यक रेखा हो, तब 

$\angle \mathrm{CAB}=\angle \mathrm{ACD}$

$\angle \mathrm{OAB}=\angle_{1}$

$\mathrm{AB} \| \mathrm{DC}$

जब $\mathrm{BD}$ तिर्यक रेखा हो,

$\begin{aligned}&\angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{BDC} \\&\angle \mathrm{ABO}=\angle \mathrm{ODC}\end{aligned}$

अब $\Delta \mathrm{AOB}$ तथा $\triangle \mathrm{COD}$ में,

$\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OCD}$(सिद्ध किया है)

$\angle \mathrm{ODC}=\angle \mathrm{ABO}$(सिद्ध किया है)

$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COD}$(शीर्षाभिमुख कोण)

$\Delta \mathrm{AOB} \sim \Delta \mathrm{COD}$(AAA समरूपता से) 

$\therefore \quad \Delta \mathrm{AOB}$ का क्षेत्रफल : $\Delta \mathrm{COD}$ का क्षेत्रफल उत्तर

प्रश्न 14

$\triangle \mathrm{ABC}$ में बिन्दु $\mathrm{D}$ तथा $\mathrm{E}$ भुजा $\mathrm{AB}$ तथा $\mathrm{AC}$ के क्रमशः मध्य बिन्दु हैं। सिद्ध कीजिए कि $\triangle \mathrm{ADE}$ और $\triangle \mathrm{ABC}$ समरूप हैं।

हल : 

दिया है : $\triangle \mathrm{ABC}$ में बिन्दु $\mathrm{D}$, भुजा $\mathrm{AB}$ का मध्य बिन्दु तथा बिन्दु $\mathrm{E}$, भुजा $\mathrm{AC}$ का मध्य बिन्दु है।

$\begin{aligned}&\mathrm{AD}=\mathrm{DB} \text { तथा } \mathrm{AE}=\mathrm{EC} \\&\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=1 \text { तथा } \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}=1 \\&\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\end{aligned}$

$\mathrm{DE}, \mathrm{ABC}$ की भुजाओं $\mathrm{AB}$ तथा $\mathrm{AC}$ को एक ही अनुपात में काटती हैं। $\mathrm{DE}, \mathrm{BC}$ के समान्तर होगी, अर्थात् $\mathrm{DE} \| \mathrm{BC}$.

$\therefore \quad \mathrm{DE}, \mathrm{ABC}$ की भुजाओं $\mathrm{AB}$ तथा $\mathrm{AC}$ को एक ही अनुपात में काटती हैं। $\therefore \quad \mathrm{DE}, \mathrm{BC}$ के समान्तर होगी, अर्थात् $\mathrm{DE} \| \mathrm{BC}$.

अतः $\triangle \mathrm{ADE}$ और $\triangle \mathrm{ABC}$ समरूप हैं।

प्रश्न 15

दी गयी आकृति में, एक ही आधार $\mathrm{BC}$ पर दो त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ और $\mathrm{DBC}$ बने हुए हैं। यदि $\mathrm{AD}, \mathrm{BC}$ को $O$ पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए कि $\frac{\operatorname{ar}(\Delta A B C)}{\operatorname{ar}(\Delta D B C)}=\frac{A O}{D O}$ है।

हल : 

दिया है : दो त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ तथा $\mathrm{DBC}$ एक ही आधार $\mathrm{BC}$ पर स्थित हैं तथा दोनों विकर्ण $\mathrm{O}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।

सिद्ध करना है :$\frac{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ABC})}{\operatorname{ar}(\Delta\mathrm{DBC})}=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{DO}}$

रचना : $\mathrm{AL} \perp \mathrm{BC}$ तथा $\mathrm{DM} \perp \mathrm{BC}$ खींचिए।

उपपति : ∠ALO=∠DMO=90°

ΔALO तथा ΔDMO से,

 ∠ALO=∠DMO (प्रत्येक $90^{\circ}$ )

 ∠AOL=∠DOM (शीर्षाभिमुख कोण)

$\begin{aligned} \Delta \mathrm{ALO} & \sim \Delta \mathrm{DMO} \\ \frac{\mathrm{AL}}{\mathrm{DM}} &=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{DO}} \end{aligned}$........(i)

$\begin{aligned} \frac{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ABC})}{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{DBC})} &=\frac{\frac{1}{2} \times \mathrm{BC} \times \mathrm{AL}}{\frac{1}{2} \times \mathrm{BC} \times \mathrm{DM}} \\ &=\frac{\mathrm{AL}}{\mathrm{DM}} \\ \frac{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ABC})}{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{DBC})} &=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{DO}} \end{aligned}$