प्रश्नावली 6(C)
प्रश्न 1.
चित्र में, $m \| n$ और $\angle 1$ तथा $\angle 2$ में 3: 2 का अनुपात है । $\angle 1$ से $\angle 8$ तक के सभी कोणों का मान ज्ञात कीजिए ।
हल :
$\angle 1: \angle 2=3: 2$
समानुपाती भागों का योग $=3+2=5$
$\begin{aligned}\angle 1+\angle 2 &=180^{\circ} \\\angle 1 &=\frac{3}{5} \times 180=3 \times 36=108^{\circ} \\\angle 2 &=\frac{2}{5} \times 180=2\times 36=72^{\circ}\end{aligned}$
$\angle 3=\angle 1=108^{\circ} \text {, }$$(\because$ शीषारिमुख कोण हैं)
$\angle 4=\angle 2=72^{\circ}$(:: शोर्षाभिपुख कोण हैं)
$\angle 5=\angle 7=\angle 1=108^{\circ}$
$\angle 6=\angle 8=\angle 2=72^{\circ}$
$\angle 1=\angle 3=\angle 5=\angle 7=108^{\circ}$
$\angle 2=\angle 4=\angle 6=\angle 8=72^{\circ}$
प्रश्न 2.
चित्र में, यदि $m \| n$ और $\angle 4-\angle 6=30^{\circ}$, तो $\angle 1$ से $\angle 8$ तक के सभी कोणों का मान ज्ञात. कीजिए ।
हल :
m || n
$\begin{aligned} \angle 4-\angle 6 &=30^{\circ} \\ m & \| n \\ \angle 4+\angle 6 &=180^{\circ} \end{aligned}$
सम्बन्ध (1)+(2) से,
$2 \angle 4=210$
$\angle 4=\frac{210}{2}=105^{\circ}$
समीकरण (2) से,
$\begin{aligned} 105^{\circ}+\angle 6 &=180^{\circ} \\ \angle 6 &=180^{\circ}-105^{\circ} \\ &=75^{\circ} \\ \angle 1 &=180^{\circ}-\angle 4 \\ &=180^{\circ}-105^{\circ}=75^{\circ} \\ \angle 1 &=\angle 3=\angle 6=\angle 8=75^{\circ} \\ \angle 2 &=\angle 4=\angle 5=\angle 7=105^{\circ} . \end{aligned}$
प्रश्न 3.
चित्र में, $p \| q$ और $\angle 3: \angle 8=1: 3$ तो $\angle 1$ से $\angle 8$ तक के सभी कोणों का मान ज्ञात कीजिए ।
हल :
$p \| q$
$\angle 3: \angle 8=1: 3$
$\angle 3+\angle 8=180^{\circ}$
समानुपाती भागों का योगफल $=1+3=4$
$\begin{aligned} \angle 3 &=\frac{1}{4} \times 180^{\circ}=45^{\circ} \\ \angle 8 &=\frac{3}{4} \times 180^{\circ}=3 \times 45^{\circ} \\ &=135^{\circ} \\ \angle 2+\angle 3 &=180^{\circ} \\ \angle 2+45^{\circ} &=180^{\circ} \\ \angle 2 &=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \angle 1 &=\angle 3=\angle 5=\angle 7=45^{\circ} \\ \angle 2 &=\angle 4=\angle 6=\angle 8 \\ &=135^{\circ} \end{aligned}$
प्रश्न 4.
चित्र में, यदि $\angle 2=\angle 8=70^{\circ}$ और $\angle 3=110^{\circ}$ तंब दिखाइये कि $m \| n$ और $p$ ॥ $q$.
हल :
$\angle 2=\angle 8=70^{\circ}$
तथा $\angle 3=110^{\circ}$
तब $\angle 4=\angle 8=70^{\circ}$
$\begin{aligned} \angle 6 &=\angle 8=70^{\circ} \\ \angle 3 &=\angle 7=4.80^{\circ}-\angle 8 \\ &=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \angle 2+\angle 3 &=70^{\circ}+110^{\circ}=180^{\circ} \\ \angle 6+\angle 7 &=70^{\circ}+110^{\circ}=180^{\circ} \\ m & \| \cdot n \\ \angle 1+\angle 6 &=\angle 7+\angle 6 \\ &=110^{\circ}+70^{\circ}=180^{\circ} \\ \angle 3+\angle 8 &=110^{\circ}+70^{\circ}=180^{\circ} \\ l & \| m . \end{aligned}$
प्रश्न 5.
चित्र में, $A B \| C D$ और $A D \| C B$ तो सिद्ध कीजिए कि $\angle D A B=\angle D C B$.
हल :
$A B \| C D$
तथा $A D \| C B$
$A D \| C B$, तब
$\begin{aligned} \angle A D C+\angle D C B &=180^{\circ} \\ \angle D C B &=180^{\circ}-\angle A D C \end{aligned}$...................(1)
$A B \| D C$, तब
$\begin{aligned} \angle A D C+\angle D A B &=180^{\circ} \\ \angle D A B &=180^{\circ}-\angle A D C \end{aligned}$...................(2)
समीकरण (1) तथा (2) से,
$\angle D C B=\angle D A B$
अतः $\angle D A B=\angle D C B$
प्रश्न 6.
चित्र में $A B \| C D$ और $A B$ और $C D$ के मध्य एक बिन्दु $E$ स्थित है । दर्शाइये कि $\angle A B E+\angle B E D+\angle C D E=360^{\circ}$
हल :
$P Q$ ॥ $A B$ खींची.
$\because$ $A B \| C D$
तब $\angle A B G=180^{\circ}$
$\angle A B E+\angle G B E=180^{\circ}$
$\because$ $\angle B E P=\angle G B E$
$\angle A B E+\angle B E P=180^{\circ}$...............(1)
$\angle C D F=180^{\circ}$
$\begin{aligned} \angle C D E+\angle E D F &=180^{\circ} \\ \angle E D F &=\angle P E D \\ \angle C D E+\angle P E D &=180^{\circ} \end{aligned}$..............(2)
समीकरण (1) + समीकरण (2) से,
$\begin{aligned}\angle A B E+\angle C D E+(\angle B E P+\angle P E D) &=180^{\circ}+180^{\circ} \\\angle A B E+\angle C D E+\angle B E D &=360^{\circ} \\\angle A B E+\angle B E D+\angle C D E &=360^{\circ}\end{aligned}$
प्रश्न 7.
चित्र में, $\angle B=93^{\circ}$ और $\angle C=87^{\circ}$ तो सिद्ध कीजिए कि $A B\|C D\| E F$ तथा $B C \| D E$.
हल :
$\angle A B C+\angle C D E=93^{\circ}+\left(360^{\circ}-273^{\circ}\right)$
$\begin{aligned}&=93^{\circ}+87^{\circ}=180^{\circ} \\\angle B C D+\angle D E F &=87^{\circ}+\left(360^{\circ}-267^{\circ}\right) \\&=87^{\circ}+93^{\circ}=180^{\circ}\end{aligned}$
$A B\|C D\| E F$
$\begin{aligned} \angle A B C+\angle B C D &=93^{\circ}+87^{\circ}=180^{\circ} \\ \angle C D E+\angle D E F &=\left(360^{\circ}-273^{\circ}\right)+\left(360^{\circ}-267\right)^{\circ} \\ &=87^{\circ}+93^{\circ}=180^{\circ} \\ B C & \| D E . \end{aligned}$
प्रश्न 8.
यदि दो समान्तर रेखाओं को एक तिर्यक् छेदी रेखा काटे, तो सिद्ध कीजिए कि एकान्तर अन्तःकोणों के अर्द्धक समान्तर होंगे ।
हल :
प्रश्नानुसार, माना $A B \| C D$ तथा तिर्यक् छेदी रेखा $l$ इनको $P$ तथा $Q$ पर काटती है $1 \angle A P Q$ तथा $\angle P Q D$ के अर्द्धक क्रमशः $P R$ तथा $Q S$ हैं ।
सिद्ध करना है : $P R \| Q S$.
उपपत्ति : $\angle Q P R=\frac{1}{2} \angle A P Q$............(1)
$\angle P Q S=\frac{1}{2} \angle P Q D$
$\angle P Q S=\frac{1}{2} \angle A P Q$...............(2)
$[\because \angle P Q D=\angle A P Q$ एकान्तर कोण हैं]
समीकरण (1) तथा (2) से,
$\angle Q P R=\angle P Q S$
रेखा $Q S$ तथा $P R$ को तिर्यक् रेखा $l$ काट रही है जिससे बने एकान्तर कोण, $\angle Q P R$ और $\angle P Q S$ बराबर हैं।
∴ $Q S \| P R$
प्रश्न 9.
यदि दी हुई दो समान्तर रेखाओं में से एक पर कोई रेखा लम्ब हो, तो सिद्ध कीजिए कि यह दूसरी रेखा पर भी लम्ब होगी ।
हल :
प्रश्नीनुसार, माना $A B \| C D$ है और $E F \perp A B$ जो $A B$ को $P$ तथा $C D$ को $Q$ पर काटती है ।
सिद्ध करना है : $\angle P Q D=90^{\circ}$
या $E F \perp C D$
उपपत्ति : $\angle P Q D=\angle E P B$
$\angle P Q D=90^{\circ}$
अत: $E F, C D$ पर लम्ब है ।
प्रश्न 10.
यदि दो रेखाओं को एक तिर्यक् छेदी रेखा काटे तथा बनने वाले दो संगत कोणों के अर्द्धक समान्तर हों, तो सिद्ध कीजिए कि दी हुई रेखाएँ समान्तर हैं ।
हल :
माना दो रेखाओं $A B$ और $C D$ को तिर्यक्छेदी रेखा $E M$ क्रमशः $G$ वा $H_{i}$ पर काट रही है । किरण $G \dot{P}$ और $H Q$ क्रमशः $\angle A G E$ तथा $\angle C H G$ के ऐसे अर्द्धक हैं कि $G P \| H Q$.
सिद्ध करना है : $A B \| C D$.
उपपत्ति : $\angle E G P=\frac{1}{2} \angle A G E$ $[\because G P, \angle A G E$ का अर्द्धक है]
और $\angle G H Q=\frac{1}{2} \angle C H G \quad[\because H Q, \angle C H G$ का अर्द्धक है]
$\therefore$ $\angle E G P=\angle G H Q$
$\therefore$ $\frac{1}{2} \angle A G E=\frac{1}{2} \angle C H G$
या $\angle A G E=\angle C H G$
यहाँ रेखाओं $A B$ और $C D$ को 'तिर्यक्छेदी रेखा $E F$ काट रही है तथा इनके संगत कोण, $\angle A G E$ और $\angle C H G$ बराबर हैं।
अत: $A B \| C D$
प्रश्न 11.
यदि एक कोण की भुजाएँ, दूसरे कोण की भुजाओं के क्रमशः समान्तर हों, तो सिद्ध कीजिए कि दोनों कोण या तो बराबर होंगे या सम्पूरक 1
हल :
दिया है : दो $\angle A B C$ तथा $\angle P Q R$ तथा $A B\|P Q, B C\| Q R$.
सिद्ध करना है :
$\angle A B C=\angle P Q R$
या
$\angle A B C+\angle P Q R=180^{\circ} .$
उ़पपत्ति : $\because B C \| Q R$ और $P Q$ एक तिर्यक् रेखा है ।
$\angle P D C=\angle P Q R$ $\ldots(1)$
∵ A B || PQ और BC एक तिर्यक् रेखा है ।
$\angle A B C=\angle P D C$.................(2)
समीकरण (1) व (2) से,
$\angle A B C=\angle P Q R$
पुन: दूसरे चित्र से,
$\because B C \| Q R$ तथा $A B$ एक तिर्यक् रेखा है ।
$\therefore \quad \angle A E Q=\angle A B C$...............(3)
$\because A B \| P Q$ और $Q R$ एक तिर्यक् रेखा है ।
$\angle A E R=\angle P Q R$....................(4)
समीकरण (3) तथा (4) को जोड़ने पर,
$\therefore$ या
$\begin{aligned}\angle A E Q+\angle A E R &=\angle A B C+\angle P Q R \\180^{\circ} &=\angle A B C+\angle P Q R,\end{aligned}$
अतः $\angle A B C+\angle P Q R=180^{\circ}$
$\angle A B C=\angle P Q R$
प्रश्न 12.
चित्र में, $m$ तथा $n$ दो समतल दर्पण हैं । यदि आपतित किरण $C A$ ॥ परावर्तित किरण $B D$, तो दर्शाइये कि $m \| n .$
हल :
दिया है : दर्पण $m$ ॥ दर्पण $n$ तथा दर्पण $m$ के लिए $C A$ आपतित किरण और $B D$ दर्पण $n$ के लिए परावर्तित किरण है ।
सिद्ध करना है : $C A \| B D$.
उपपत्ति : $A X$ तथा $B Y$ क्रमशः दर्पण $m$ तथा $n$ पर लम्ब हैं ।
$\because A X \| B Y$ और $A B$ तिर्यक् रेखा है ।
$\therefore \quad \angle X A B=\angle Y B A$....................(1)
परावर्तन के नियम से,
$\angle C A X=\angle X A B$....................(2)
$\angle A B Y=\angle D B Y$................(3)
समीकरण (1), (2), (3) से,
$\angle C A X=\angle X A B=\angle A B Y=\angle D B Y$
$\therefore \angle C A X+\angle X A B=\angle A B Y+\angle D B Y$
या $\angle C A B=\angle A B D$
यह कोण $C A$ तथा $B D$ से तिर्यक् रेखा $A B$ द्वारा बने कोण एकान्तर कोण हैं ।
$\therefore$ $C A \quad \| B D$.
प्रश्न 13.
चित्र में, $A B \| C E$ और $A E \| C D$, तो सिद्ध कीजिए कि
$\angle B A E=\angle D C E$
हल :
दिया है: $A B \| C E$ और $A E \| C D$.
सिद्ध करना है :$\angle B A E=\angle D C E .$
'उपपत्ति : $A E \| C D, E C$ एक तिर्यक् रेखा है
$\therefore$$\angle P E Q=\angle P C D$....................(1)
$A B \| C E$ तथा $A Q$ एक तिर्यक् रेखा है ।
$\angle B A E=\angle P E Q$...............(2)
समीकरण (1) तथा (2) से,
$\angle B A E=\angle P C D \text { या } \angle D C E$
अतः $\angle B A E=\angle D C E$
प्रश्न 14.
दी गई आकृति में सिद्ध कीजिए कि $A B \| C F$.
हल :
दिया है : $\angle C E P=42^{\circ}, \angle C P E=48^{\circ}$.
सिद्ध करना है : $A B$ II $C F$.
उपपत्ति : $\triangle C E P$ में
$\begin{aligned} \angle P C E+\angle C E P+\angle C P E &=180^{\circ} \\ \angle P C E+42^{\circ}+48^{\circ} &=180^{\circ} \\ \angle P C E=180^{\circ}-90^{\circ} &=90^{\circ} \\ \angle F C P &=180^{\circ}-\angle P C E \\ &=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ} \end{aligned}$
अब $F E$ रेखा $B D$ पर लम्ब है ।
$\therefore \quad \angle A B D=90^{\circ}$
अतः $A B \| F C$.
प्रश्न 15.
संलग्न आकृति में $x$ और $y$ के मान ज्ञात कीजिए और फिर दर्शाइए कि $A B \| C D$ है।
हल :
$\because$ $x+50^{\circ}=180^{\circ}$ (रेखीय युग्म से)
$x=180^{\circ}-50^{\circ}$
$=130^{\circ}$
$y=130^{\circ}$ (शीर्षाभिमुख कोण)
$x=y=130^{\circ}$
रेखाओं $A B$ और $C D$ के लिए ये एकान्तर कोण हैं।
अतः $A B \| C D$
प्रश्न 16.
संलग्न आकृति में, यदि $A B\|C D, C D\| E F$ और $y: z=3: 7$ है, तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
$A B \| C D$
$x+y=180^{\circ}$
(एक ही ओर के अन्तःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है)
$A B \| C D$ तथा $C D^{\prime} \| E F$
$\begin{aligned}&A B \| E F \text { तब } x=z \\&y+z=180^{\circ} \text { तथा } y: z=3: 7 \\&\frac{y}{z}=\frac{3}{7}\end{aligned}$
$\begin{aligned} y &=\frac{3 z}{7} \\ z+\frac{3 z}{7} &=180 \\ 7 z+3 z &=180 \times 7=10 z \\ z &=126^{\circ} \\ x &=z \text { तब } x=126^{\circ} . \end{aligned}$
प्रश्न 17.
संलग्न आकृति में, यदि $A B \| C D, E F \perp C D$ और $\angle G E D=126^{\circ}$ है, तो $\angle A G E, \angle G E F$ और $\angle F G E$ ज्ञात कीजिए।
हल :
$\angle D E F=90^{\circ} \text { and} \angle G E D=126^{\circ}$
$\angle D E F+\angle G E F=126^{\circ}$
$\begin{aligned} 90^{\circ}+\angle G E F &=126^{\circ} \\ \angle G E F &=126^{\circ}-90^{\circ}=36^{\circ} \end{aligned}$
$\angle A G E=\angle G E F+\angle E F G$ (बाह्य कोण प्रमेय से)
$\angle E F G=\angle F E D$(समान्तर कोण)
$\begin{aligned} \angle F E D &=90^{\circ} \\ \angle E F G &=90^{\circ} \\ \angle A G E &=36^{\circ}+90^{\circ} \\ &=126^{\circ} \end{aligned}$
$\angle A G E+\angle E G F=180^{\circ}$ (रैखिक युग्म से)
$\begin{aligned} 26^{\circ}+\angle E G F &=180^{\circ} \\ \angle E G F &=180^{\circ}-126^{\circ}=54^{\circ} \\ \angle A G E &=126^{\circ}, \angle G E F=36^{\circ} \\ \angle F G E &=54^{\circ} \end{aligned}$
प्रश्न 18.
संलग्न आकृति में, यदि $P Q \| S T, \angle P Q R=110^{\circ}$ और $\angle R S T=130^{\circ}$ है, तो $\angle Q R S$ ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है : $P Q \| S T, \angle P Q R=110^{\circ}, \angle R S T=130^{\circ}$
ज्ञात करना है : $\angle Q R S$.
रचना : $R K \| S T$ ख्खीची।
$S T \| R K$
$\angle T S R+\angle K R S=180^{\circ}$, (एक ही ओर के अन्तःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है)
लेकिन $\angle T S R=130^{\circ}$
$\begin{aligned} 130^{\circ}+\angle K R S &=180^{\circ} \\ \angle K R S &=180^{\circ}-130^{\circ}=50^{\circ} \end{aligned}$
पुनः $P Q \| R K$ चूंकि $P Q \| S T$
$\therefore$
$\begin{aligned} \angle P Q R &=\angle Q R K \\ 110^{\circ} &=\angle Q R S+\angle S R K \\ 110^{\circ} &=\angle Q R S+50^{\circ} \\ \angle Q R S &=60^{\circ} . \end{aligned}$
प्रश्न 19.
संलग्न आकृति में, यदि $A B \| C D, \angle A P Q=50^{\circ}$ और $\angle P R D=127^{\circ}$ है, तो x और y ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है : $A B \| C D$
$\therefore$ $ x=50^{\circ}$(एकान्तर कोण)
$x+y=127^{\circ}$ (बाह्य कोण प्रमेय से)
$\begin{aligned} 50+y &=127^{\circ} \\ y &=127^{\circ}-50^{\circ}=77^{\circ} \\ x &=50^{\circ} \text { and } y=77^{\circ} . \end{aligned}$
प्रश्न 20.
आकृति में, $P Q$ और $R S$ दो दर्पण हैं जो एक-दूसरे के समान्तर रखे गए हैं। एक आपतन किरण (incident ray) $A B$, दर्पण $P Q$ से $B$ पर 'टकराती है और परावर्तित किरण (reflected ray) पथ $B C$ पर चलकर दर्पण $R S$ से $C$ पर टकराती है तथा पुन: $C D$ के अनुदिश परावर्तित हो जाती है। सिद्ध कीजिए कि $A B \| C D$ है।
हल :
दिया है : प्रश्न में दी गई आकृति में $P Q$ और $R S$ दो दर्पण हैं जो एक-दूसरे के समान्तर हैं। एक आपतन किरण AB, दर्पण PQ से B पर टकराती है। CD एक परावर्तित किरण है जो दर्पण $R S$ से परावर्तित' होती है।
सिद्ध करना है : $A B \cdot \| C D$
उपपत्ति : $\because$ हम ज़ानते हैं कि आपतन कोण = परावर्तन कोण
∴$\angle 1=\angle 2$ और $\angle 3=\angle 4$..............(1)
[यहाँ $\angle 1$ आपाती किरण $A B$ है और अभिलम्ब $B L$ है।]
$\therefore \angle 1$ एक आपतन कोण है, $\mid \angle 2$ परावर्तित्त किरण $B C$ और अभिलम्ब $B L$ के बीच स्थित है। अतः $\angle 2$ परावर्तित कोण है। इंसी प्रकार $\angle 3$ और $\angle 4$ क्रमशः आपतन कोण और परावर्तित कोण हैं।
$\therefore \quad P Q^{\prime} \| R S$ तथा $B L \perp P Q$ पर
तथा $B \dot{L} \| C M$ तथा $C M \perp R S$ प़र
अब समान्तर रेखाएँ $B L$ और $C M$ हैं। एक तिर्यक रेखा $B C$ इनको प्रतिच्छेदित करती है।
$\angle 2=\angle 3$ (एकान्तर कोण हैं) ...(i)
अब $\angle A B C=\angle 1+\angle 2$
या $\angle A B C=\angle 2+\angle 2$ [क्योंकि $\angle 1=\angle 2$ ]
$\angle A B C=2 \angle 2$
$\angle B C D=\angle 3+\angle 4$
$\angle B C D=\angle 3+\angle 3$ [क्योंकि $\angle 3=\angle 4]$
$\angle B C D=2 \angle 3$
लेकिन समीकरण (i) के अनुसार $\angle 2=\angle 3$
या $\quad 2 \angle 2=2 \angle 3$
या $\angle A B C=\angle B C D$
ये एकान्तर कोण हैं तथा $B C$ एक तिर्यक रेखा है।
अत: AB || CD
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