Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 6 त्रिभुज (Triangles) प्रश्नावली 6(C)

 प्रश्नावली 6(C)

प्रश्न 1

दी हुई आकृति में $\mathrm{CM}$ और $\mathrm{RN}$ क्रमशः $\triangle \mathrm{ABC}$ और $\triangle \mathrm{PQR}$ की माध्यिकाएँ हैं। यदि $\triangle \mathrm{ABC} \sim$ $\triangle \mathrm{PQR}$ है तो सिद्ध कीजिए कि

(i) $\triangle \mathbf{A M C} \sim \mathbf{P N R}$

(ii) $\frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{RN}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}$

(iii) $\Delta \mathbf{C M B} \sim \triangle \mathbf{R N Q}$

हल : 

(i) दिया है :$\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{PQR}$

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{RP}}$.........(i)

$\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{P}, \angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{Q}$ और $\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{R}$

$\mathrm{AB}=2 \mathrm{AM}$ और $\mathrm{PQ}=2 \mathrm{PN}$

                                                         $(\because \mathrm{CM}$ और $\mathrm{RN}$ माध्यिकाएँ हैं।)

समी. (i) से,

$\frac{2 \mathrm{AM}}{2 \mathrm{PN}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{RP}}$

अर्थात् $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{PN}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{RP}}$..........(iii)

साथ ही $\angle \mathrm{MAC}=\angle \mathrm{NPR}$ (समी. (ii) से)...(iv)

समी. (iii) तथा (iv) से, $\triangle \mathrm{AMC} \sim \triangle \mathrm{PNR}$ (भुजा कोण भुजा समरुपता से)...(v)

(ii) समीकरण (v) से $\frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{RN}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{RP}}$......(vi)

$\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{RP}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}$ (समी. (i) से) ...(vii)

$\frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{RN}} \cdot=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}$ (समी. (vi) तथा (vii) से) ...(viii)

(iii) पुनः $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}$ (समी. (i) से)

अतः $\frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{RN}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}$(समी. (viii) से)....(ix)

साथ ही

$\frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{RN}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{2 \mathrm{BM}}{2 \mathrm{QN}}$

अर्थात्

$\frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{RN}}=\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{QN}}$........(x)

अर्थात् $\frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{RN}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}=\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{QN}}$ (समी. (ix) तथा (x) से)

अतः $\Delta \mathrm{CMB} \sim \Delta \mathrm{RNQ}$ (भुजा-भुजा-भुजा समरुपता से)

प्रश्न 2

बताइए कि निम्न आकृतियों में दिए त्रिभुजों के युगमों में से कौन-कौन से युग्म समरूप हैं। उस समरूपता कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग आपने उत्तर देने में किया है तथा साथ ही समरूप त्रिभुजों को सांकेतिक रूप में व्यक्त कीजिएं।

हल : 

(i) $\triangle \mathrm{ABC}$ और $\triangle \mathrm{PQR}$ में,

$\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{P}=60^{\circ}, \angle\mathrm{B}=\angle\mathrm{Q}=80^{\circ}, \angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{R}=40^{\circ}$

$\therefore$ संगत कोण समान हैं।

अतः समरूपता की $\mathrm{AAA}$ कसौटी से

$\Delta \mathrm{ABC} \sim \Delta \mathrm{PQR}$

(ii) $\Delta \mathrm{LMP}$ और $\Delta \mathrm{DEF}$ में,

$\begin{aligned}&\frac{\mathrm{LM}}{\mathrm{DE}}=\frac{2.7}{4} \\&\frac{\mathrm{MP}}{\mathrm{EF}}=\frac{2}{5} \\&\frac{\mathrm{LP}}{\mathrm{DF}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \\&\frac{\mathrm{LM}}{\mathrm{DE}} \neq \frac{\mathrm{MP}}{\mathrm{EF}} \neq\frac{\mathrm{LP}}{\mathrm{DF}}\end{aligned}$\

अतः $\Delta \mathrm{LMP}$ और $\triangle \mathrm{DEF}$ समरूप नहीं है।

(iii) $\triangle \mathrm{ABC}$ और $\triangle \mathrm{QRP}$ में,

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{QR}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} ; \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{RP}}=\frac{2.5}{5}=\frac{1}{2}$

$\frac{C A}{P Q}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

$\frac{A B}{Q R}=\frac{B C}{R P}=\frac{C A}{P Q}$

अतः SSS कसौटी का प्रयोग करने पर, $\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{QRP}$.

(iv) $\triangle \mathrm{DEF}$ और $\triangle \mathrm{PQR}$ में,

$\angle\mathrm{F}=180^{\circ}\left(70^{\circ}+80^{\circ}\right)=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}$

$\angle \mathrm{P}=180^{\circ} \left(80^{\circ}+30^{\circ}\right)=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$

$\angle \mathrm{D}=\angle \mathrm{P}=70^{\circ}, \angle \mathrm{E}=\angle \mathrm{Q}=80^{\circ}, \angle \mathrm{F}=\angle \mathrm{R}=30^{\circ}$

$\therefore \mathrm{AAA}$ समरूप'ता' कसौटी का प्रयोग करके, $\Delta \mathrm{DEF} \sim \triangle \mathrm{PQR}$

(v) $\Delta \mathrm{MNL}$ और $\Delta \mathrm{QPR}$ में,

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{ML}}{\mathrm{QR}} &=\frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{QP}}=\frac{1}{2} \\ \angle \mathrm{NML} &=\angle \mathrm{PQR}=70^{\circ} \\ \Delta \mathrm{MNL} & \sim \Delta \mathrm{QPR} \end{aligned}$ $\therefore$ SAS कसौटी से,

(vi) $\triangle \mathrm{ABC}$ और $\triangle \mathrm{FDE}$ में,

$\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{EFD}=80^{\circ}$

तथा $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$ और $\frac{\mathrm{FD}}{\mathrm{FE}}$ अज्ञात हैं।

$\therefore$ त्रिभुज समरूप नहीं हैं।

प्रश्न 3

निम्न आकृति में, $\triangle \mathrm{ODC} \sim \triangle \mathrm{OBA}, \angle \mathrm{BOC}=125^{\circ}$ और $\angle \mathrm{CDO}=70^{\circ}$ है। $\angle \mathrm{DOC}, \angle \mathrm{DCO}$ और $\angle O A B$ ज्ञात कीजिए।

हल : 

दिया है : 

 $\begin{aligned} \angle \mathrm{BOC} &=125^{\circ} \text { और } \angle \mathrm{CDO}=70^{\circ} \\ \angle \mathrm{DOC}+\angle \mathrm{BOC} &=180^{\circ} \\ \angle \mathrm{DOC} &=180^{\circ}-125^{\circ}=55^{\circ} \end{aligned}$

$\Delta \mathrm{DOC}$ में,

$\angle \mathrm{DOC}+\angle \mathrm{DCO}+\angle \mathrm{CDO}=180^{\circ}$ (त्रिभुज के कोणों के योगफल के नियम से)

$\begin{aligned} 55^{\circ}+\angle \mathrm{DCO}+70^{\circ} &=180^{\circ} \\ \angle \mathrm{DCO} &=180^{\circ}-125^{\circ}=55^{\circ} \\ \Delta \mathrm{ODC} & \sim \Delta \mathrm{OBA} \\ \angle \mathrm{OCD} &=\angle \mathrm{OAB}=55^{\circ} \end{aligned}$

अत: $\angle \mathrm{DOC}=55^{\circ}$ और $\angle \mathrm{OAB}=55^{\circ}$ तथा $\angle \mathrm{DCO}=55^{\circ}$.उत्तर

प्रश्न 4

$\triangle \mathrm{PQR}$ की भुजाओं $\mathrm{PR}$ और $\mathrm{QR}$ पर क्रमशः बिंदु $\mathrm{S}$ और $\mathrm{T}$ इस प्रकार स्थित हैं कि $\angle \mathrm{P}=\angle \mathrm{RTS}$ है। दर्शाइए कि $\Delta$ RPQ $\sim \triangle$ RTS है।

हल : 

आकृति में $P Q R$ एक त्रिभुज है जिसमें भुजा $Q R$ पर बिन्दु $T$ और भुजा $P R$ पर बिन्दु S हैं

$\angle \mathrm{RTS}=\angle \mathrm{P}$

अब $\triangle \mathrm{RPQ}$ और $\triangle \mathrm{RTS}$ में,

$\angle \mathrm{RPQ}=\angle \mathrm{RTS}$ [ज्ञात है]

$\angle \mathrm{PRQ}=\angle \mathrm{TRS}$[उभयनिष्ठ]

$\mathrm{AA}$ समरूपता कसौटी में

$\Delta \mathrm{RPQ} \sim \Delta \mathrm{RTS}$

प्रश्न 5

निम्न आकृति में, यदि $\triangle \mathrm{ABE} \cong \triangle \mathrm{ACD}$ है, तो दर्शाइए कि $\triangle \mathrm{ADE} \sim \triangle \mathrm{ABC}$ है।

हल : 

दिया गया है :

$\triangle \mathrm{ABE} \cong \triangle \mathrm{ACD}$

$\therefore$ इनके संगत भाग समान हैं।

$\begin{aligned} \mathrm{AB} &=\mathrm{AC} \\ \mathrm{AE} &=\mathrm{AD} \\ \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}} &=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AD}} \Rightarrow \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AE}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AD}} \\ \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}} &=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AE}} \end{aligned}$...........(1)

                                                                                             $[\because\mathrm{AE}=\mathrm{AD}]$                               

अब $\triangle \mathrm{ADE}$ और $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\begin{aligned}\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AE}} &=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}} \\\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}} &=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AE}} \\\angle \mathrm{DAE} &=\angle \mathrm{BAC}\end{aligned}$

समरूपता की SAS कसौटी में,

$\triangle \mathrm{ADE} \sim \triangle \mathrm{ABC}$

प्रश्न 6

समांतर चतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$ की बढ़ाई गई भुजा $\mathrm{AD}$ पर स्थित $\mathrm{E}$ एक बिंदु है तथा $\mathrm{BE}$ भुजा $\mathrm{CD}$ को $\mathrm{F}$ पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि $\triangle \mathrm{ABE} \sim \triangle \mathrm{CFB}$ है।

हल : 

दिया गया है : समान्तर चतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$, जिसमें $\mathrm{BE}$ और $\mathrm{CD}$ बिन्दु $\mathrm{F}$ पर प्रतिच्छेदित होती हैं। $\mathrm{E},(\mathrm{AD}$ को बढ़ाने पर) $\mathrm{AD}$ और $\mathrm{BF}$ का प्रतिच्छेदी बिन्दु है।

अब $\triangle \mathrm{ABE}$ और $\Delta \mathrm{CFB}$ में,

$\angle \mathrm{BAE}=\angle \mathrm{FCB}$ [समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण]

$\angle \mathrm{AEB}=\angle \mathrm{CBF}$ [एकान्त'र कोण]

$\therefore$ समरूपता की $\mathrm{AA}$ कसौटी से
$\Delta \mathrm{ABE} \sim \Delta \mathrm{CFB}$

प्रश्न 7

$\mathrm{CD}$ और $\mathrm{GH}$ क्रमशः $\angle \mathrm{ACB}$ और $\angle \mathrm{EGF}$ के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिंदु $\mathrm{D}$ और $\mathrm{H}$ क्रमशः $\triangle \mathrm{ABC}$ और $\triangle \mathrm{FEG}$ की भुजाओं $\mathrm{AB}$ और $\mathrm{FE}$ पर स्थित हैं। यदि $\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{FEG}$ है, तो दर्शाइए कि :

(i) $\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{GH}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{FG}}$

(ii) $\Delta \mathrm{DCB} \sim \Delta \mathrm{HGE}$

(iii) $\Delta \mathrm{DCA} \sim \Delta \mathrm{HGF}$

हल : 

दिया है : दो समरूप त्रिभुज $\triangle \mathrm{ABC}$ और $\triangle \mathrm{FEG}$ इस प्रकार हैं कि :

$\angle \mathrm{ACB}$ और $\angle \mathrm{FGE}$ के समद्विभाजक क्रमशः $\mathrm{CD}$ और $\mathrm{GH}$ हैं।

(i) $\triangle \mathrm{ACD}$ और $\triangle \mathrm{FGH}$ में,

$\angle \mathrm{CAD}=\angle \mathrm{GFH}$

$[\because \triangle \mathrm{ABC} \sim \Delta \mathrm{FEG} \Rightarrow \angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{F}]$

$\triangle \mathrm{ABC} \sim \Delta \mathrm{FEG}$[ज्ञात है]

$\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{G}$.........(1)

$\angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{FGH}$.........(2)

समीकरण' (1) और (2) से,

$\Delta \mathrm{ACD} \sim \Delta \mathrm{FGH}$ [AA समरूपता से]

इनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हैं।

$\therefore\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{GH}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{FG}}$

(ii) $\triangle \mathrm{DCB}$ और $\Delta \mathrm{HGE}$ में

 $\angle \mathrm{DBC}=\angle \mathrm{HEG}$........(1)

                                 $[\because \Delta \mathrm{ABC} \sim \Delta \mathrm{FEG} \Rightarrow \angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{E}]$

$\triangle \mathrm{ABC} \sim \Delta \mathrm{FEG}$

$\angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{FGE}$

$\begin{aligned} \frac{1}{2} \angle \mathrm{ACB} &=\frac{1}{2} \angle \mathrm{FGE} \\ \angle \mathrm{DCB} &=\angle \mathrm{HGE} \end{aligned}$...........(2)

$\therefore$ समीकरण (1) और (2) से,

$\Delta \mathrm{DCB} \sim \Delta \mathrm{HGE} .$ [AA समरूपता से]

(iii) $\Delta \mathrm{DCA}$ और $\Delta \mathrm{HGF}$ में

$\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{HFG}$.....(1)

$\begin{aligned} \triangle \mathrm{ABC} & \sim \mathrm{DFEG} \\ \angle \mathrm{CAB} &=\angle \mathrm{GFE} \\ \angle \mathrm{CAD} &=\angle \mathrm{GFH} \\ \angle \mathrm{DAC} &=\angle \mathrm{HFG} \\ \triangle \mathrm{ABC} & \sim \Delta \mathrm{FEG} \\ \angle \mathrm{ACB} &=\angle \mathrm{FGE} \\ \frac{1}{2} \angle \mathrm{ACB} &=\frac{1}{2} \angle \mathrm{FGE} \\ \angle \mathrm{DCA} &=\angle \mathrm{HGF} \end{aligned}$......(2)

$\therefore$ समीकरण (1) और (2) से,

$\Delta \mathrm{DCA} \sim \Delta \mathrm{HGF}$ [AA समरूपता' से]

प्रश्न 8

एक त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ की भुजा $\mathrm{BC}$ पर एक बिंदु $\mathrm{D}$ इस प्रकार स्थित है कि $\angle \mathrm{ADC}=\angle \mathrm{BAC}$ है। दर्शाइए कि $\mathrm{CA}^{2}=\mathrm{CB} . \mathrm{CD}$ है।

हल : 

ज्ञात है : $\triangle \mathrm{ABC}$ जिसकी भुजा $\mathrm{BC}$ पर बिन्दु $\mathrm{D}$ इस प्रकार है कि $\angle \mathrm{ADC}=\angle \mathrm{BAC}$.

अब, $\triangle \mathrm{ABC}$ और $\triangle \mathrm{ADC}$ में,

 $\because$

$\begin{aligned}&\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{ADC} \\&\angle \mathrm{BCA}=\angle \mathrm{DCA}\end{aligned}$

$\therefore \mathrm{AA}$ समरूपता कसौटी द्वारा,

$\therefore$ इनकी संगत भुजाएँ समानुपाती' हैं

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{CD}} &=\frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{CA}} \\ \mathrm{CA} \times \mathrm{CA} &=\mathrm{CB} \times \mathrm{CD} \\ \mathrm{CA}^{2} &=\mathrm{CB} \times \mathrm{CD} . \end{aligned}$

प्रश्न 9

लंबाई 6 मी. वाले एक ऊध्राधर स्तंभ की भूमि पर छाया की लम्बाई 4 मी. है, जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लंबाई 28 मी. है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

दिया है : TR एक स्तम्भ जिसकी ऊँचाई तथा छाया 6 मी तथा 4 मी है। उसी समय एक मीनार जिसकी ऊँचाई माना $h$ मी तथा छाया 28 मी है।

अब समरूप $\Delta \mathrm{TRS}$ और $\Delta \mathrm{PQS}$ में,

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{TR}} &=\frac{\mathrm{QS}}{\mathrm{SR}} \\ \frac{h}{6} &=\frac{28}{4} \\ h &=\frac{6 \times 28}{4} \\ &=42 \text { मी } \end{aligned}$

अतः मीनार की ऊँचाई $=42$ मी।

प्रश्न 10

$\mathrm{AD}$ और $\mathrm{PM}$ त्रिभुजों $\mathrm{ABC}$ और $\mathrm{PQR}$ की क्रमशः 'माध्यिकाएँ हैं, जबकि $\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{PQR}$ है। सिद्ध कीजिए कि $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{PM}}$ है।

हल : 

दिया है : त्रिभुजों $\mathrm{ABC}$ तथा $\mathrm{PQR}$ की माध्यिकाएँ क्रमशः $\mathrm{AD}$ तथा $\mathrm{PM}$ हैं जहाँ $\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{PQR}$.

सिद्ध करना है :

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{PM}}$

उपपति : $\Delta \mathrm{ABD}$ तथा $\triangle \mathrm{PQM}$ में,

$\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{Q}$ $[\because \Delta \mathrm{ABC} \sim \Delta \mathrm{PQR}]$

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\frac{1}{2} \mathrm{BC}}{\frac{1}{2} \mathrm{QR}}$

$[\because \mathrm{AD}$ तथा $\mathrm{PM}, \mathrm{BC}$ तथा $\mathrm{QR}$ की माध्यिकाएँ हैं।]

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}} &=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{QM}} \\ \Delta \mathrm{ABD} & \sim \Delta \mathrm{PQM} \end{aligned}$ [SAS समरूपता से]

 $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{QM}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{PM}}$

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{PM}}$

प्रश्न 11

समलंब $\mathrm{ABCD}$, जिसमें $\mathrm{AB} \| \mathrm{DC}$ है, के विकर्ण $\mathrm{AC}$ और $\mathrm{BD}$ परस्पर $\mathrm{O}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। दो त्रिभुजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए, दर्शाइए कि $\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OC}}=\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OD}}$ है। 

हल :
हमें दिया गया है समलंब $\mathrm{ABCD}$ जिसमें $\mathrm{AB} \| \mathrm{DC}$ है। विकर्ण $\mathrm{AC}$ और $\mathrm{BD}$ परस्पर $\mathrm{O}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।

अब, $\triangle \mathrm{OAB}$ और $\triangle \mathrm{OCD}$ में,

$\therefore\mathrm{AB} \| \mathrm{DC}$ [ज्ञात है]

और $\mathrm{BD}$ इन्हें प्रतिच्छेद करती है।

$\angle O B A=\angle O D C$.............(1) [एकान्तर कोण]

इसी प्रकार, $\angle O A B=\angle O C D$ $\ldots$ (2) [एकान्तर कोण]

$\therefore \mathrm{AA}$ कसौटी से, 

अर्थात्

$\begin{aligned}\Delta \mathrm{OAB} & \sim \Delta \mathrm{OCD} \\\frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{OA}} &=\frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{OB}}\end{aligned}$

                         (समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं के अनुपात)

$\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OC}}=\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OC}}$

प्रश्न 12

दी गई आकृति में, $\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{QS}}=\frac{\mathrm{QT}}{\mathrm{PR}}$ तथा $\angle 1=\angle 2$ है। दर्शाइए कि $\Delta \mathrm{PQS} \sim \Delta \mathrm{TQR}$ है।

हल : 

$\triangle \mathrm{PQR}$ में, 

$\because$  $\angle 1=\angle 2$ 

$\therefore$ $\mathrm{PR}=\mathrm{QP}$.......(1)

                        [एक $\Delta$ में समान कोणों के सम्मुख भुजाएं समान होती हैं]

$\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{QS}}=\frac{\mathrm{QT}}{\mathrm{PR}}$[ज्ञात है] ...(2)

समीकरण (1) और $(2)$ से,

$\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{QS}}=\frac{\mathrm{QT}}{\mathrm{QP}} \text { या } \frac{\mathrm{QS}}{\mathrm{QR}}=\frac{\mathrm{QP}}{\mathrm{QT}}$.....(3)

अब $\triangle \mathrm{PQS}$ और $\triangle \mathrm{TQR}$ में,

$\begin{aligned}\mathrm{QS} &=\frac{\mathrm{QP}}{\mathrm{QT}} \\\angle \mathrm{SQP} &=\angle \mathrm{RQT}=\angle 1\end{aligned}$

अब, समरूपता की SAS कसौटी से,

$\Delta \mathrm{PQS} \sim \Delta \mathrm{TQR}$इति सिब्धम्।

प्रश्न 13

दी गई आकृति में, $\triangle \mathrm{ABC}$ के शीर्षलंब $\mathrm{AD}$ और $\mathrm{CE}$ परस्पर बिंदु $\mathrm{P}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि :

(i) $\triangle$ AEP $\sim$ CDP

(ii) $\triangle \mathrm{ABD} \sim \triangle \mathrm{CBE}$

(iii) $\triangle$ AEP $\triangle$ ADB

(iv) $\triangle$ PDC $\sim$ BEC

हल: 

$\triangle \mathrm{ABC}$ में, लम्ब $\mathrm{AD}$ और $\mathrm{CE}$ परस्पर $\mathrm{P}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। 

$\Rightarrow$ $\angle \mathrm{D}=\angle \mathrm{E}=90^{\circ}$ .................(1)

(i) $\triangle \mathrm{AEP}$ और $\Delta \mathrm{CDP}$ में,

$\angle \mathrm{AEP}=\angle \mathrm{CDP}$ [(1) से] 

$\angle \mathrm{EPA}=\angle \mathrm{DPC}$ [शीर्षाभिमुख कोण]

समरूपता' की $\mathrm{AA}$ कसौटी से,

$\triangle \mathrm{AEP} \sim \Delta \mathrm{CDP} .$

(ii) $\triangle \mathrm{ADB}$ और $\Delta \mathrm{CBE}$ में,

$\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{CEB}$  [(1) से] 

$\angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{CBE}$[उभयनिष्ठ]

$\therefore$ समरूपता की $\mathrm{AA}$ कसौटी से,

$\triangle \mathrm{ABD} \sim \Delta \mathrm{CBE}$

(iii) $\triangle \mathrm{AEP}$ और $\triangle \mathrm{ADB}$ में,

$\angle \mathrm{AEP}=\angle \mathrm{ADB}$ [(1) से] 

$\angle \mathrm{EAP}=\angle \mathrm{DAB}$[उभयनिष्ठ]

$\therefore$ समरूपता की $\mathrm{AA}$ कसौटी से,

$\triangle \mathrm{AEP} \sim \triangle \mathrm{ADB} .$

(iv) $\Delta \mathrm{PDC}$ और $\Delta \mathrm{BEC}$ में,

$\angle \mathrm{PDC}=\angle \mathrm{BEC}$  [(1) से] 

$\angle \mathrm{DCP}=\angle \mathrm{ECB}$[उभयनिष्ठ]

$\therefore$ समरूपता' की $\mathrm{AA}$ कसौटी से,

$\Delta \mathrm{PDC} \sim \Delta \mathrm{BEC} .$

प्रश्न 14

दी गई आकृति में, $\mathrm{ABC}$ और $\mathrm{AMP}$ दो समकोण त्रिभुज हैं, जिनके कोण $\mathrm{B}$ और $\mathrm{M}$ समकोण हैं। सिद्ध कीजिए कि :

(i) $\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{AMP}$

(ii) $\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{PA}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{MP}}$.

हल : 

दिया गया है :

समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ जो कि $\mathrm{B}$ पर समकोण है तथा $\triangle \mathrm{AMP}$ जिसमें $\mathrm{M}$ समकोण है।

 $\therefore\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{M}=90^{\circ}$..........(1)

(i) $\triangle \mathrm{ABC}$ और $\triangle \mathrm{AMP}$ में,

$\because\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{AMP}$ [(1) से]

$\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{MAP}$[उभयनिष्ठ]

$\therefore$ समरूपता की $\mathrm{AA}$ कसौटी से,

$\Delta \mathrm{ABC} \sim \Delta \mathrm{AMP} .$ इति सिद्धम् ।

              [ऊपर सिद्ध किया गया है]

(ii) $\because \Delta \mathrm{ABC} \sim \mathrm{AMP}$

$\therefore$ इनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हैं।

$\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{PA}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{MP}}$

प्रश्न 15

दी गई आकृति में, $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ वाले, एक समद्विबाहु त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ की बढ़ाई गई भुजा $\mathrm{CB}$ पर स्थित $\mathrm{E}$ एक बिंदु है। यदि $\mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}$ और $\mathrm{EF} \perp \mathrm{AC}$ है तो सिद्ध कीजिए कि $\triangle \mathrm{ABD} \sim \triangle \mathrm{ECF}$ है।

हल : 

हमें प्राप्त है :

एक समद्विबाहु $\triangle \mathrm{ABC}$ जिसमें $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ 

अब, $\triangle \mathrm{ABD}$ और $\triangle \mathrm{ECF}$ में,

चूंकि  A B=A C  [जात है]

और समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं। $\therefore$

$\angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{ABC}$ 

अर्थात् $\angle \mathrm{ECF}=\angle \mathrm{ABD}$...........(1)

पुनः $\mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}$ और $\mathrm{EF} \perp \mathrm{AC}$ तब $\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{EFC}=90^{\circ}$..........(2)

समीकरण (1) और (2) से,

$\Delta \mathrm{ABD} \sim \Delta \mathrm{ECF} .$[AA समरूपता से] इति सिद्धम्।

प्रश्न 16

$\mathrm{AD}$ और $\mathrm{PM}$ त्रिभुजों $\mathrm{ABC}$ और $\mathrm{PQR}$ की क्रमशः माध्यिकाएँ हैं, जबकि $\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{PQR}$ है। सिद्ध कीजिए कि $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{PM}}$ है।

हल : 

प्रश्न 10 का हल देखिए।

प्रश्न 17

एक त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ की भुजाएँ $\mathrm{AB}$ और $\mathrm{BC}$ तथा माध्यिका $\mathrm{AD}$ एक अन्य त्रिभुज $\mathrm{PQR}$ की क्रमशः भुजाओं $\mathrm{PQ}$ और $\mathrm{QR}$ तथा माध्यिका $\mathrm{PM}$ के समानुपाती हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि $\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{PQR}$ है।

हलः 

हमें ज्ञात है कि $\triangle \mathrm{ABC}$ और $\triangle \mathrm{PQR}$ में भुजाओं $\mathrm{BC}$ और $\mathrm{QR}$ के संगत माध्यिकाएँ क्रमश : $\mathrm{AD}$ और $\mathrm{PM}$ इस प्रकार हैं।

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{PM}}$

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\frac{1}{2} \mathrm{BC}}{\frac{1}{2} \mathrm{QR}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{PM}}$

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{QM}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{PM}}$

$\therefore$ समरूपता की AAA कसौटी से

$\Delta \mathrm{ABD} \sim \Delta \mathrm{PQM}$  [AAA समरूपता]

$\therefore$ इनके संगत कोण समान हैं,

$\Rightarrow\angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{PQM}$

या अर्थात्$\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{PQR}$

अब $\triangle \mathrm{ABC}$ और $\triangle \mathrm{PQR}$ में,

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}$ ...(1) [ज्ञात है]

$\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{PQR}$...(2) [सिद्ध किया है]

$\therefore \mathrm{SAS}$ समरूपता कसौटी से, $\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{PQR}$.

प्रश्न 18

एक त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ की भुजाएँ $\mathrm{AB}$ और $\mathrm{AC}$ तथा माध्यिका $\mathrm{AD}$ एक अन्य त्रिभुज की भुजाओं $\mathrm{PQ}$ और $\mathrm{PR}$ तथा माध्यिका $\mathrm{PM}$ के क्रमशः समानुपाती हैं। दर्शाइए कि $\Delta \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{PQR}$ है।

हल : 

दो त्रिभुजों $\mathrm{ABC}$ और $\mathrm{PQR}$ में,

$\mathrm{AD}$ और $\mathrm{PM}$ क्रमशः भुजाओं $\mathrm{BC}$ और $\mathrm{QR}$ के संगत माध्यिकाएँ हैं।

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\frac{1}{2} \mathrm{BC}}{\frac{1}{2}\mathrm{QR}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{PM}}$

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{QM}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{PM}}$

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{PR}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{PM}}$.....(1)

$\Delta \mathrm{ABD} \sim \Delta \mathrm{PQM}$[SSS समरूपता कसौटी से]

चूंकि समरूप त्रिभुजों के संगत कोण समान होते हैं

$\therefore\angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{PQM}$

या $\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{PQR}$............(2)

अब, $\triangle \mathrm{ABC}$ और $\triangle \mathrm{PQR}$ में,

$\because\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{PQR}$

$\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{PQR}$[समीकरणं (2) से]

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}$[समींकरण (1) से]

$\therefore$ SAS समरूपता कसौटी से,

$\Delta \mathrm{ABC} \sim \Delta \mathrm{PQR}$