Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 6 त्रिभुज (Triangles) प्रश्नावली 6(D)

 प्रश्नावली 6(D)

प्रश्न 1

दो समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ $4: 9$ के अनुपात में हैं। इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात है :

(A) $2: 3$

(B) $4: 9$

(C) $81: 16$

(D) $16: 81$

हुल :

समरूप त्रिभुज (1) का क्षेत्रफल = (पहले  Δ की भुजा )$^{2}$ /  ( दूसरे Δ की भुजा )$^{2}$

समरूप त्रिभुज (2) का क्षेत्रफ़ल 

$=\frac{(4)^{2}}{(9)^{2}}=\frac{16}{81}$

अतः त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात $16: 81$ होगा, विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 2

मान लीजिए $\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{DEF}$ है और इनके क्षेत्रफल क्रमशः 64 सेमी $^{2}$ और 121 सेमी $^{2}$ हैं। यदि $\mathrm{EF}$ $=15.4$ सेमी $^{2}$ हो, तो $\mathrm{BC}$ ज्ञात कीजिए।

हल : 

ΔABC का क्षेत्रफल  / ΔDEF का क्षेत्रफल

$=\frac{\mathrm{BC}^{2}}{\mathrm{EF}^{2}}$

अर्थात् $\frac{64}{121}=\frac{B C^{2}}{(15.4)^{2}}$

$\frac{8}{11}=\frac{\mathrm{BC}}{15.4}$

                                                     [ $\because$ दोनों पक्षों का वर्गमूल करने पर]

$\begin{aligned} \mathrm{BC} &=\frac{8 \times 15.4}{11} \\ &=8 \times 1.4=11.2\end{aligned}$

BC=11.2 सेमी।

प्रश्न 3

त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ और त्रिभुज $\mathrm{PQR}$ दो समरूप त्रिभुजों में शीर्ष $\mathrm{A}$ से भुजा $\mathrm{BC}$ पर डाला गया लम्ब 4 सेमी तथा शीर्ष $\mathrm{P}$ से भुजा $\mathrm{QR}$ पर डाला गया लम्ब 8 सेमी हो, तो $\triangle \mathrm{ABC}$ तथा $\triangle \mathrm{PQR}$ के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल : 

$\because \triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{PQR}$ (दिया है)
तथा $\mathrm{AD}=4$ सेमी
और $\mathrm{PS}=8$ सेमी

अब ΔABC का क्षेत्रफल / ΔPQR का क्षेत्रफल  

$\begin{aligned}&=\frac{\mathrm{AD}^{2}}{\mathrm{PS}^{2}}=\frac{(4)^{2}}{(8)^{2}} \\&=\frac{16}{64}=\frac{1}{4}\end{aligned}$

अतः $\triangle \mathrm{ABC}$ का क्षेत्रफल : $\triangle \mathrm{PQR}$ का क्षेत्रफल $=1: 4$ उत्तर

प्रश्न 4

दो समरूप त्रिभुजों की ऊँचाइयाँ क्रमशः 6 सेमी और 12 सेमी हैं। यदि एक त्रिभुज का क्षेत्रफल 20 वर्ग सेमी हो, तो दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना दो समरूप त्रिभुजों की ऊँचाइयाँ $h_{1}=6$ सेमी तथा $h_{2}=12$ सेमी हैं।'

 तथा एक त्रिभुज का क्षेत्रफल =20 वर्ग सेमी 

तब दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल  / दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल

$=\frac{h_{1}^{2}}{h_{2}^{2}}$

=20 / दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल

$=\frac{(6)^{2}}{(12)^{2}}$

$=\frac{36}{144}=\frac{1}{4}$

दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल $=20 \times 4$

=80 वर्ग सेमी

दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल =80 वर्ग सेमी।

प्रश्न 5

दो समरूप समान ऊँचाई वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफल $4: 3$ के अनुपात में हैं। यदि पहले त्रिभुज का आधार 8 सेमी हो, तो दूसरे त्रिभुज का आधार ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना दो समरूप समान ऊँचाई वाले $\triangle \mathrm{ABC}$ और $\triangle \mathrm{PQR}$ हैं।

दिया है :

ΔABC का क्षेत्रफल  / ΔPQR का क्षेत्रफल

$=\frac{4}{3}$

तथा $\triangle \mathrm{ABC}$ का आधार $\mathrm{BC}=8$ सेमी है, $\triangle \mathrm{PQR}$ का आधार $\mathrm{QR}$ ज्ञात करना है।

ΔABC का क्षेत्रफल  / ΔPQR का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}  &=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}} \\ \frac{4}{3} &=\frac{8}{\mathrm{QR}} \\ 4 \mathrm{QR} &=3 \times 8 \\ \mathrm{QR} &=\frac{3 \times 8}{4} \\ &=3 \times 2=6 \end{aligned}$

QR=6 सेमी। 

प्रश्न 6

दो समरूप त्रिभुजों में से एक का क्षेत्रफल 48 वर्ग सेमी तथा एक भुजा का वर्ग 36 वर्ग सेमी है। यदि दूसरे त्रिभुज की संगत भुजा का वर्ग 24 वर्ग सेमी हो, तो दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल  / दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल =  एक त्रिभुज की भुजा का वर्ग / दूसरे त्रिभुज की भुजा का वर्ग

=48 / दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\frac{36}{24}=\frac{3}{2}$

या $3 \times$ दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल

$=2 \times 48$

या दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल

$=\frac{2 \times 48}{3}=2 \times 16$

=32 वर्ग सेमी 

अभीष्ट त्रिभुज का क्षेत्रफल $=32$ वर्ग सेमी।

प्रश्न 7

यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हों तो सिद्ध कीजिए कि वे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं। हल : दिया है : $\Delta \mathrm{ABC} \sim \Delta \mathrm{DEF}$ तथा $\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ABC})=\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{DEF})$

हल : 

दिया है : $\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{DEF}$ तथा $\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{ABC})=\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{DEF})$

सिद्ध करना है :

$\triangle \mathrm{ABC} \cong \Delta \mathrm{DEF} .$

उपपत्ति : जब समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के

बराबर होता है, तब

$\therefore \quad \frac{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ABC})}{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{DEF})}=\frac{\mathrm{BC}^{2}}{\mathrm{EF}^{2}}$

$\begin{aligned} \operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ABC}) &=\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{DEF}) \\ \frac{\mathrm{BC}^{2}}{\mathrm{EF}^{2}} &=1 \\ \mathrm{BC}^{2} &=\mathrm{EF}^{2} \text { or} \mathrm{BC}=\mathrm{EF} \end{aligned}$

$\triangle \mathrm{ABC}$ तथा $\triangle \mathrm{DEF}$ से,

∠ABC = ∠DEF (दोनों त्रिभुज समरूप हैं)

∠ACB = ∠DEF (दोनों त्रिभुज समरूप हैं)

$\mathrm{BC}=\mathrm{EF}$(सिद्ध किया जा चुका है)

$\triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{DEF} .$ (SAS समरूपता से) इति सिद्धम्।

प्रश्न 8

सिद्ध कीजिए कि एक वर्ग की किसी भुजा पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसी वर्ग के एक विकर्ण पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।

हल : 

दिया है : $\mathrm{ABCD}$ एक वर्ग है जिसकी भुजा $\mathrm{AB}$ तथा विकर्ण $\mathrm{AC}$ है। जिस पर दो समबाहु त्रिभुज $\mathrm{ABP}$ तथा $\mathrm{ACQ}$ बनाए गए हैं।

सिद्ध करना है :

$\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ABP})=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ACQ})$

उपपत्ति : $\because$ समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\frac{\sqrt{3}}{4} \times$ (भुजा)$^{2}$

$\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ABP})=\frac{(\mathrm{AB})^{2} \cdot \sqrt{3}}{4}$

इसी प्रकार, विकर्ण $\mathrm{AC}$ पर बने समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल,

$\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ACQ})=\frac{(\mathrm{AC})^{2} \cdot \sqrt{3}}{4}$

$\begin{aligned} \frac{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ABP})}{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ACQ})} &=\frac{(\mathrm{AB})^{2} \cdot \sqrt{3}}{(\mathrm{AC})^{2} \cdot \sqrt{3}}=\left(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\right)^{2} \\ &=\left(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AB} \sqrt{2}}\right)^{2} \quad[\because \mathrm{AC}=\mathrm{AB} \sqrt{2}] \\ &=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2} \\ \frac{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ABP})}{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ACQ})} &=\frac{1}{2} \\ \operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ABP}) &=\frac{1}{2} \cdot \operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ACQ}) . \end{aligned}$

प्रश्न 9

सिद्ध कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत माधिकाओं के अनुपात का वर्ग होता है।

हल :

दिया है : मान लीजिए दो समरूप $\triangle \mathrm{ABC}$ तथा $\triangle \mathrm{PQR}$ हैं जिनकी माध्यिकाएँ दी गयी हैं, जो क्रमशः AD तथा $\mathrm{PM}$ हैं।

$\frac{\operatorname{ar}(\Delta A B C)}{\operatorname{ar}(\triangle P Q R)}=\frac{A D^{2}}{P M^{2}} .$

उपपत्ति : ∵ ΔABC ~ ΔPQR

$\frac{\text{ar}(\Delta \text{ABC}}{\text{ar} (\Delta\mathrm{PQR})}=\frac{\mathrm{AB}^{2}}{\mathrm{PQ}^{2}}$............(1)

परन्तु $\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{PQR}$ में, AD तथा PM उनकी संगत माध्यिकाएँ हैं। 

∴

$\begin{aligned}\Delta \mathrm{ABD} & \sim \Delta \mathrm{PQM}\end{aligned}$  में,

$\begin{aligned} \frac{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ABD})}{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{PQM})}&=\frac{\mathrm{AD}^{2}}{\mathrm{PM}^{2}}\end{aligned}$

प्रश्न 10

चित्र में $\triangle \mathrm{ACB}$ तथा $\triangle \mathrm{APQ}$ समरूप हैं। यदि $\mathrm{BC}=8$ सेमी, $\mathrm{PQ}=4$ सेमी, $\mathrm{BA}=6.5$ सेमी, $\mathrm{AP}=$ $2.8$ सेमी, तो $\mathrm{CA}$ तथा $\mathrm{AQ}$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल :
$\because \Delta \mathrm{ACB} \sim \Delta \mathrm{APQ}$
$\mathrm{BC}=8$ सेमी, $\mathrm{PQ}=4$ सेमी, $\mathrm{BA}=6.5$ सेमी, $\mathrm{AP}=2.8$ सेमी, $\mathrm{CA}$ तथा $\mathrm{AQ}$ का मान ज्ञात करना है।

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}} &=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{AP}} \\ \frac{8}{\mathrm{CA}} &=\frac{4}{2.8} \\ 4 \times \mathrm{CA} &=8 \times 2.8 \\ \mathrm{CA} &=\frac{8 \times 2.8}{4} \end{aligned}$

=5.6 सेमी 

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{PQ}} &=\frac{\mathrm{BA}}{\mathrm{AQ}} \\ \frac{8}{4} &=\frac{6.5}{\mathrm{AQ}} \\ \mathrm{AQ} &=\frac{6.5 \times 4}{8} \end{aligned}$

=3.25 सेमी 

CA=5.6 सेमी , AQ=3.25 सेमी।

प्रश्न 11

एक त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ की भुजाओं $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}$ और $\mathrm{CA}$ के मध्य-बिन्दु क्रमशः $\mathrm{D}, \mathrm{E}$ तथा $\mathrm{F}$ हैं। $\triangle \mathrm{DEF}$ और $\triangle \mathrm{ABC}$ के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल : 

$\because \mathrm{AB}$ तथा $\mathrm{AC}$ के मध्य-बिन्दु $\mathrm{D}$ तथा $\mathrm{F}$ हों, तब

$\mathrm{DF} \| \mathrm{BC}$

$\mathrm{DF} \| \mathrm{BE}$..........( i)

$\because \mathrm{AB}$ तथा $\mathrm{BC}$ के मध्य-बिन्दु $\mathrm{D}$ तथा $\mathrm{E}$ हों, तो

$\mathrm{DE} \| \mathrm{AC}$

$\mathrm{DE} \| \mathrm{AF}$........(ii)

समी. (i) से हमें BEFD एक समान्तर चतुर्भुज प्राप्त होता है। इसी प्रकार, समीकरण (ii) से हमें DEFA एक दूसरा समान्तर चतुर्भुज प्राप्त होता है।

$\triangle \mathrm{ABC}$ तथा $\triangle \mathrm{DEF}$ से,

$\triangle \mathrm{ABC}$ तथा $\triangle \mathrm{DEF}$ से,

$\begin{aligned}&\angle \mathrm{DEF}=\angle \mathrm{BAC} \\&\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{DFE}\end{aligned}$

$\Delta \mathrm{ABC} \sim \Delta \mathrm{DEF}$(AA समरूपता से)

$\begin{aligned} \frac{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{DEF})}{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ABC})} &=\frac{\mathrm{DF}^{2}}{\mathrm{BC}^{2}}=\frac{\left(\frac{1}{2} \mathrm{BC}\right)^{2}}{\mathrm{BC}^{2}} \\ &=\frac{1 \times \mathrm{BC}^{2}}{4 \times \mathrm{BC}^{2}}=\frac{1}{4} \end{aligned}$ 

                                                       $\left[\because \mathrm{DF}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}\right]$

अतः : $\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{DEF}): \operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ABC})=1: 4 .$

प्रश्न 12

किसी समलम्ब' चतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$ में $\mathrm{AB} \| \mathrm{DC}$. यदि $\triangle \mathrm{AED}$ तथा $\triangle \mathrm{BEC}$ समरूप हैं, जहाँ बिन्दु $\mathrm{E}$ विकर्णों का कटान बिन्दु है, सिद्ध कीजिए $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$.

हल : 

दिया है : ABCD एक समलम्बं चतुर्भुज है जिसमें AB||DCऔर ΔAED तथा ΔBEC समरूप हैं।

सिद्ध करना है : AD=BC.

उपपत्ति ∵Δ ACD तथा ΔBDC एक ही आधार CD तथा दो समानान्तर रेखाओं AB||DC के बीच बने हैं।

Δ ACD का क्षेत्रफल =Δ BDC का क्षेत्रफल

दोनों पक्षों में Δ ECD का क्षेत्रफल घटाने पर Δ ACD का क्षेत्रफल -Δ ECD का क्षेत्रफल = ΔBDC का क्षेत्रफल -Δ ECD का क्षेत्रफल

ΔAED का क्षेत्रफल =(ΔBEC का क्षेत्रफल ) × ( ΔAED का क्षेत्रफल / ΔBEC का क्षेत्रफल )=1....(i)

ΔAED ~ ΔBEC

ΔAEC का क्षेत्रफल / ΔBEC का क्षेत्रफल

$=\frac{\mathrm{AD}^{2}}{\mathrm{BC}^{2}}$..........(ii)

∵ दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात किन्हीं दो संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।)

समी (i) और (ii) से हम प्राप्त करते हैं,

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{AD}^{2}}{\mathrm{BC}^{2}} &=1 \text { or } \mathrm{AD}^{2}=\mathrm{BC}^{2} \\ \mathrm{AD} &=\mathrm{BC} \end{aligned}$

प्रश्न 13

एक समलम्ब $A B C D$ जिसमें $A B \| D C$ है, के विकर्ण परस्पर बिन्दु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि $\mathrm{AB}=2 \mathrm{CD}$ हो तो त्रिभुजों $\mathrm{AOB}$ और $\mathrm{COD}$ के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल : 

$\because\mathrm{AB} \| \mathrm{DC}$(ABCD समलम्ब है)

जब $\mathrm{AC}$ तिर्यक रेखा हो, तब 

$\angle \mathrm{CAB}=\angle \mathrm{ACD}$

$\angle \mathrm{OAB}=\angle_{1}$

$\mathrm{AB} \| \mathrm{DC}$

जब $\mathrm{BD}$ तिर्यक रेखा हो,

$\begin{aligned}&\angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{BDC} \\&\angle \mathrm{ABO}=\angle \mathrm{ODC}\end{aligned}$

अब $\Delta \mathrm{AOB}$ तथा $\triangle \mathrm{COD}$ में,

$\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OCD}$(सिद्ध किया है)

$\angle \mathrm{ODC}=\angle \mathrm{ABO}$(सिद्ध किया है)

$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COD}$(शीर्षाभिमुख कोण)

$\Delta \mathrm{AOB} \sim \Delta \mathrm{COD}$(AAA समरूपता से) 

$\therefore \quad \Delta \mathrm{AOB}$ का क्षेत्रफल : $\Delta \mathrm{COD}$ का क्षेत्रफल उत्तर

प्रश्न 14

$\triangle \mathrm{ABC}$ में बिन्दु $\mathrm{D}$ तथा $\mathrm{E}$ भुजा $\mathrm{AB}$ तथा $\mathrm{AC}$ के क्रमशः मध्य बिन्दु हैं। सिद्ध कीजिए कि $\triangle \mathrm{ADE}$ और $\triangle \mathrm{ABC}$ समरूप हैं।

हल : 

दिया है : $\triangle \mathrm{ABC}$ में बिन्दु $\mathrm{D}$, भुजा $\mathrm{AB}$ का मध्य बिन्दु तथा बिन्दु $\mathrm{E}$, भुजा $\mathrm{AC}$ का मध्य बिन्दु है।

$\begin{aligned}&\mathrm{AD}=\mathrm{DB} \text { तथा } \mathrm{AE}=\mathrm{EC} \\&\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=1 \text { तथा } \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}=1 \\&\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\end{aligned}$

$\mathrm{DE}, \mathrm{ABC}$ की भुजाओं $\mathrm{AB}$ तथा $\mathrm{AC}$ को एक ही अनुपात में काटती हैं। $\mathrm{DE}, \mathrm{BC}$ के समान्तर होगी, अर्थात् $\mathrm{DE} \| \mathrm{BC}$.

$\therefore \quad \mathrm{DE}, \mathrm{ABC}$ की भुजाओं $\mathrm{AB}$ तथा $\mathrm{AC}$ को एक ही अनुपात में काटती हैं। $\therefore \quad \mathrm{DE}, \mathrm{BC}$ के समान्तर होगी, अर्थात् $\mathrm{DE} \| \mathrm{BC}$.

अतः $\triangle \mathrm{ADE}$ और $\triangle \mathrm{ABC}$ समरूप हैं।

प्रश्न 15

दी गयी आकृति में, एक ही आधार $\mathrm{BC}$ पर दो त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ और $\mathrm{DBC}$ बने हुए हैं। यदि $\mathrm{AD}, \mathrm{BC}$ को $O$ पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए कि $\frac{\operatorname{ar}(\Delta A B C)}{\operatorname{ar}(\Delta D B C)}=\frac{A O}{D O}$ है।

हल : 

दिया है : दो त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ तथा $\mathrm{DBC}$ एक ही आधार $\mathrm{BC}$ पर स्थित हैं तथा दोनों विकर्ण $\mathrm{O}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।

सिद्ध करना है :$\frac{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ABC})}{\operatorname{ar}(\Delta\mathrm{DBC})}=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{DO}}$

रचना : $\mathrm{AL} \perp \mathrm{BC}$ तथा $\mathrm{DM} \perp \mathrm{BC}$ खींचिए।

उपपति : ∠ALO=∠DMO=90°

ΔALO तथा ΔDMO से,

 ∠ALO=∠DMO (प्रत्येक $90^{\circ}$ )

 ∠AOL=∠DOM (शीर्षाभिमुख कोण)

$\begin{aligned} \Delta \mathrm{ALO} & \sim \Delta \mathrm{DMO} \\ \frac{\mathrm{AL}}{\mathrm{DM}} &=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{DO}} \end{aligned}$........(i)

$\begin{aligned} \frac{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ABC})}{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{DBC})} &=\frac{\frac{1}{2} \times \mathrm{BC} \times \mathrm{AL}}{\frac{1}{2} \times \mathrm{BC} \times \mathrm{DM}} \\ &=\frac{\mathrm{AL}}{\mathrm{DM}} \\ \frac{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ABC})}{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{DBC})} &=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{DO}} \end{aligned}$