Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 6 त्रिभुज (Triangles) प्रश्नावली 6(F)

 प्रश्नावली 6(F)

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रत्येक प्रश्न के चार उत्तर दिये हैं। सही उत्तर छाँटकर लिखिए :

प्रश्न 1

समद्विबाहु त्रिभुज की तीनों भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने से बना त्रिभुज होता है :

(i) समबाहु

(ii) समकोण

(iii) विषमबाहु

(iv) समद्विबाहु

हल : 

दिया है : माना समद्विबाहु $\triangle \mathrm{ABC}$ में $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$.

ज्ञात करना है : $\triangle \mathrm{PQR}$ की प्रकृति कैसी होगी ?

उपपत्ति : $\triangle \mathrm{ABC}$ तथा $\triangle \mathrm{PQR}$ में,

B C=2 P Q............(i)

$\mathrm{QR}=2 \mathrm{AB}$......(ii)

$\mathrm{RP}=2 \mathrm{AC}$.....(iii)

 समी. (ii) व (iii) से,$\mathrm{QR}=\mathrm{RP}, \quad[\because \mathrm{AB}=\mathrm{AC}]$

$\mathrm{PQR}$ समद्विबाहु त्रिभुज होगा। 

अतः विकल्प (iv) समद्विबाहु।

प्रश्न 2

दो समरूप त्रिभुजों का क्षेत्रफल 32 वर्ग सेमी और 48 वर्ग सेमी है। यदि पहले त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग 24 वर्ग सेमी हो, तो दूसरे त्रिभुज की संगत भुजा का वर्ग होगा :

(i) 16 वर्ग सेमी

(ii) 30 वर्ग सेमी

(iii) 36 वर्ग सेमी

(iv) 72 वर्ग सेमी।

हल :  

 एक त्रिभुज का क्षेत्रफल / दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल  = एक भुजा का वर्ग / दूसरे भुजा का वर्ग 

$\frac{32}{48}$= 24 /  दूसरे भुजा का वर्ग

दूसरी भुजा का वर्ग $\times 32$

$=48 \times 24$

दूसरी भुजा का वर्ग $=\frac{48 \times 24}{32}=36$

दूसरी भुजा का वर्ग =36

अतः विकल्प (iii) 36 वर्ग सेमी।

प्रश्न 3

दो समरूप त्रिभुजों के परिमाप क्रमशः 30 सेमी और 20 सेमी हैं। यदि पहले त्रिभुज के एक शीर्ष की ऊचाई की माप 12 सेमी हो, तो दूसरे त्रिभुज की संगत ऊँचाई की माप है :

(i) 8 सेमी

(ii) 10 सेमी

(iii) 12 सेमी

(iv) 15 सेमी

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}} &=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{PR}} \\ &=\frac{\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{AC}}{\mathrm{PQ}+\mathrm{QR}+\mathrm{PR}} \\ &=\frac{30}{20}=\frac{3}{2} \\ \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}} &=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{PS}} \\ \frac{3}{2} &=\frac{12}{\mathrm{PS}} \\ \mathrm{PS} &=8 \end{aligned}$

अतः विकल्प (i) 8 सेमी। 

प्रश्न 4

यदि एक समकोण त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ में $\angle \mathrm{C}=90^{\circ}, \mathrm{AC}=3$ सेमी और $\mathrm{BC}=4$ सेमी है, तो $\mathrm{C}$ से जाने वाली माध्यिका की माप है :

(i) $2.5$ सेमी

(ii) $3.0$ सेमी

(iii) $3.5$ सेमी

(iv) $4.0$ सेमी

हल : 

$\angle C=90^{\circ}, A C=3$ सेमी, $B C=4$ सेमी 

समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{CA}^{2}$

=16+9=25

AB=5 सेमी

$\begin{aligned}  \mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2} &=2\left(\mathrm{CD}^{2}+\mathrm{AD}^{2}\right) \\ 9+16 &=2\left[\mathrm{CD}^{2}+\left(\frac{\mathrm{AB}}{2}\right)^{2}\right] \\ \frac{25}{2} &=\mathrm{CD}^{2}+\left(\frac{5}{2}\right)^{2} \\ \mathrm{CD}^{2} &=\frac{25}{2}-\frac{25}{4} \end{aligned}$

$=\frac{50-25}{4}=\frac{25}{4}$

$\mathrm{CD}=\frac{5}{2}=2 \cdot 5$ सेमी

अतः विकल्प (i) 2.5 सेमी।

उत्तर

प्रश्न 5

चित्र में $\triangle \mathrm{PQR}$ के कोण $\mathrm{QPR}$ का अर्बक $\mathrm{PL}$ आधार $\mathrm{QR}$ से बिन्दु $\mathrm{L}$ पर मिलता है। यदि $\mathrm{PQ}=3$ सेमी तथा $\mathrm{PR}=5$ सेमी हो, तो $\mathrm{QL}: \mathrm{LR}$ होगा :

(i) $3: 5$

(ii) $5: 3$

(iii) $3: 8$

(iv) $8: 3$

हल : 

दिया है, $\mathrm{PQ}=3$ सेमी, $\mathrm{PR}=5$ सेमी

$\begin{aligned} \frac{P Q}{L R} &=\frac{P R}{Q L} \\ \frac{Q L}{L R} &=\frac{P R}{P Q} \\ \frac{Q L}{L R} &=\frac{5}{3} \\ Q L: L R &=5: 3 \end{aligned}$

अतः विकल्प (ii) $5: 3 .$

प्रश्न 6

$\mathrm{ABC}$ और $\mathrm{AEF}$ समरूप त्रिभुज हैं। $\mathrm{AEF}$ बराबर होगा :

(i) $\angle \mathbf{B A F}$

(ii) $\angle \mathbf{A B C}$

(iii) $\angle \mathrm{BCA}$

(iv) $\angle \mathrm{CAB}$.

हल :

$\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{AEF}$

$\angle \mathrm{AEF}=\angle \mathrm{ABC}$

अतः विकल्प (ii) $\angle \mathrm{ABC}$.

प्रश्न 7

$\triangle \mathrm{ABC}$ में $\mathrm{CA}$ और $\mathrm{CB}$ के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा $\mathrm{DE}$ है। यदि $\mathrm{DE}=3$ सेमी हो, तो $\mathrm{AB}$ की माप होगी :

(i) 4 सेमी

(ii) 5 सेमी

(iii) 6 सेमी

(iv) 9 सेमी।

हल : 

$\mathrm{CA}$ तथा $\mathrm{CB}$ के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा $\mathrm{DE}$ है तथा $\mathrm{DE}=3$ सेमी।

$\begin{aligned} \mathrm{AB} &=2 \times \mathrm{DE} \\ &=2 \times 3 \end{aligned}$

=6 सेमी 

अतः विकल्प (iii) 6 सेमी।

उत्तर'

प्रश्न 8

दो समरूप त्रिभुजों के परिमाप क्रमशः 40 सेमी और 50 सेमी हैं। पहले और दूसरे त्रिभुज के क्षेत्रफलों का अनुपात है :

(i) $4: 5$

(ii) $5: 4$

(iii) $25: 16$

(iv) $16: 25$.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}} \cdot & \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}=\mathrm{AC} \\ &=\frac{\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{AC}}{\mathrm{PQ}+\mathrm{QR}+\mathrm{PR}} \\ &=\frac{40}{50}=\frac{4}{5} \\ \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}} &=\frac{4}{5} \end{aligned}$

अब  =ΔABC का क्षेत्रफल / ΔPQR का क्षेत्रफल

$=\left(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}\right)^{2}=\left(\frac{4}{5}\right)^{2}$

$=\frac{16}{25}$

तब अभीष्ट क्षेत्रफलों में अनुपात $=16: 25$ 

अत विकल्प (iv) $16: 25$.

प्रश्न 9

वित्र में $\mathrm{ABCD}$ एक वर्ग है। यदि $\mathrm{AC}=20 \sqrt{2}$ सेमी हो, तो $\triangle \mathrm{ABC}$ का क्षेत्रफल होगा :

(i) 100 वर्ग सेमी

(ii) 50 वर्ग सेमी

(iii) 150 वर्ग सेमी

(iv) 200 वर्ग सेमी।

हल : 

माना वर्ग $\mathrm{ABCD}$ की एक भुजा $a$ है तब विकर्ण $=a \sqrt{2}=20 \sqrt{2}$ या $a=20=\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{AD}=\mathrm{DC}$ $\triangle \mathrm{ABC}$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times \mathrm{AB} \times \mathrm{BC}$

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2} \times 20 \times 20\end{aligned}$

=200 वर्ग सेमी 

अतः विकल्प (iv) 200 वर्ग सेमी।

प्रश्न 10

सही उत्तर चुनकर उसका औचित्य' दीजिए : $\triangle \mathrm{ABC}$ में, $\mathrm{AB}=6 \sqrt{3}$ सेमी, $\mathrm{AC}=12$ सेमी और $\mathrm{BC}=6$ सेमी है। कोण $\mathrm{B}$ है :

(i) $120^{\circ}$

(ii) $60^{\circ}$

(iii) $90^{\circ}$

(iv) $45^{\circ}$.

हल : 

$\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\begin{aligned}A B^{2}+B C^{2} &=(6 \sqrt{3})^{2}+(6)^{2} \\&=108+36 \\&=144=(A C)^{2}\end{aligned}$

अतः $\triangle \mathrm{ABC}$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण $\mathrm{B}=90^{\circ}$ होगा। अतः विकल्प (iii) सही है।

प्रश्न 11

आकृति में, PS कोण QPR का समद्विभाजक है। सिद्ध कीजिए कि $\frac{Q S}{S R}=\frac{P Q}{P R}$ है।

हल: 

दिया है : $\triangle \mathrm{PQR}$ में, $\mathrm{PS}, \angle \mathrm{QPR}$ का एक समद्विभाजक है, अर्थात्

$\angle \mathrm{QPS}=\angle \mathrm{RPS}$

सिद्ध करना है : $\frac{\mathrm{QS}}{\mathrm{SR}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}$

रचना: $\mathrm{QP}$ तथा बिन्दु $\mathrm{R}$ से $\mathrm{PS}$ के समान्तर रेखाओं को खींचा जाता है जो बिन्दु $\mathrm{T}$ पर प्रतिच्छेद करता है।

$\mathrm{RT} \| \mathrm{PS}$ (रचना से)

$\angle \mathrm{SPR}=\angle \mathrm{PRT}$ (एकान्तर कोण) ...(i)

$\angle \mathrm{QPS}=\angle \mathrm{PTR}$(संगत कोण) ...(ii)

$\angle \mathrm{QPS}=\angle \mathrm{SPR}$(दिया है)...(iii)

समीकरण (i), (ii) तथा (iii) से,

$\therefore \begin{aligned}\angle \mathrm{PRT} &=\angle \mathrm{PTR} \\\mathrm{PT} &=\mathrm{PR}\end{aligned}$.......(iv)

अब $\Delta Q R T$ में,

 RT||PS (रचना से)

$\frac{\mathrm{QS}}{\mathrm{SR}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PT}}$(आनुपातिक प्रमेय से)

$\frac{\mathrm{QS}}{\mathrm{SR}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}$ [∵ समीकरण (iv) से ]

प्रश्न 12

आकृति में $\mathrm{D}$ त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ के कर्ण $\mathrm{AC}$ पर स्थित एक बिन्दु है जबकि $\mathrm{BD} \perp \mathrm{AC}$ तथा $\mathrm{DM} \perp \mathrm{BC}$ और $\mathrm{DN} \perp \mathrm{AB}$ है। सिद्ध कीजिए कि:

(i) $\mathrm{DM}^{2}=\mathrm{DN} \cdot \mathrm{MC}$

(ii) $\mathrm{DN}^{2}=\mathrm{DM} \cdot \mathrm{AN}$

हलः 

दिया है : $\mathrm{ABC}$ एक समकोण त्रिभुज है तथा $\mathrm{DM} \perp \mathrm{BC}, \mathrm{DN} \perp \mathrm{AB}$ तथा $\mathrm{BD} \perp \mathrm{AC}$. सिद्ध करना है : (i)

(i)$\mathrm{DM}^{2}=\mathrm{DN} \cdot \mathrm{MC}$

(ii)$\mathrm{DN}^{2}=\mathrm{DM} . \mathrm{AN}$

उपपति : समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में, $\mathrm{BD} \perp \mathrm{AC}$

$\therefore\Delta \mathrm{BDC} \sim \Delta \mathrm{ABC}$

$\triangle \mathrm{ADB} \sim \triangle \mathrm{ABC}$

$\Delta \mathrm{BDC} \sim \Delta \mathrm{ADB}$

$\because \Delta \mathrm{BDC}$ तथा $\Delta \mathrm{ADB}$ दोनों ही समकोण त्रिभुज हैं।

(i) $\Delta \mathrm{BDC}$ लेने पर, $\mathrm{DM} \perp \mathrm{BC}$

$\begin{aligned} \Delta \mathrm{DMC} & \sim \Delta \mathrm{BMD} \\ \frac{\mathrm{MC}}{\mathrm{DM}} &=\frac{\mathrm{DM}}{\mathrm{BM}} \\ \mathrm{DM}^{2} &=\mathrm{BM} \cdot \mathrm{MC} \end{aligned}$...........(1)

अतः चतुर्भुज BMDN में,

$\angle \mathrm{D}=90^{\circ}, \angle \mathrm{M}=90^{\circ}$ तथा $\angle \mathrm{N}=90^{\circ}$

अतः चतुर्भुज एक अयत होगा।

$\therefore\mathrm{BM}=\mathrm{DN}$

समीकरण (1) में $\mathrm{BM}=\mathrm{DN}$ प्रतिस्थापित करने पर,

$\mathrm{DM}^{2}=\mathrm{DN} \cdot \mathrm{MC}$

(ii) अब $\triangle \mathrm{ADB}$ लेने पर, $\mathrm{DN} \perp \mathrm{AB}$ 

$\therefore \Delta \mathrm{AND}$ तथा $\Delta \mathrm{DNB}$ में,

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{DN}}{\mathrm{BN}} &=\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{DN}} \\ \mathrm{DN}^{2} &=\mathrm{BN} \cdot \mathrm{AN} \\ \mathrm{BN} &=\mathrm{DM} \\ \mathrm{DN}^{2} &=\mathrm{DM} \cdot \mathrm{AN} \end{aligned}$

प्रश्न 13

आकृति में $\mathrm{AD}$ त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ की एक माध्यिका है तथा $\mathrm{AM} \perp \mathrm{BC}$ है। सिद्ध कीजिए कि

(i) $\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{BC} \cdot \mathrm{DM}+\left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)^{2}$

(ii) $\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AD}^{2}-\mathrm{BC} \cdot \mathrm{DM}+\left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)^{2}$

(iii) $\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{AB}^{2}=2 \mathrm{AD}^{2}+\frac{1}{2} \mathrm{BC}^{2}$

हल : 

(i) $\angle \mathrm{AMD}=90^{\circ}$

$\therefore \quad \angle \mathrm{ADM}<90^{\circ}$ तथा $\angle \mathrm{ADC}>90^{\circ}$

$\triangle \mathrm{ADC}$ में,

$\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{DC}^{2}+2 \mathrm{DC} \cdot \mathrm{DM}$

                                                                          $\left[\because \angle \mathrm{ADC}>90^{\circ}\right]$

$\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)^{2}+2 \cdot \frac{\mathrm{BC}}{2} \cdot \mathrm{DM}$$[\because \mathrm{AD}$ एक माध्यिका है]

$\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)^{2}+\mathrm{BC} \cdot \mathrm{DM}$

$\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{BC} \cdot \mathrm{DM}+\left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)^{2}$

(ii) अब $\triangle \mathrm{ABD}$ में, 

$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{BD}^{2}-2 \mathrm{BD} . \mathrm{DM}$

                                                                 $\left[\because \angle \mathrm{ADM}<90^{\circ}\right]$

$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)^{2}-2 \cdot \frac{\mathrm{BC}}{2} \cdot \mathrm{DM}$

$[\because \mathrm{AD}$ एक माध्यिका है]

$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)^{2}-\mathrm{BC} \cdot \mathrm{DM}$

$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AD}^{2}-\mathrm{BC} \cdot \mathrm{DM}+\left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)^{2}$

(iii) उपरोक्त दोनों भागों को जोड़ने पर,

$\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{AB}^{2}=2 \mathrm{AD}^{2}+\frac{1}{2} \mathrm{BC}^{2}$

प्रश्न 14

सिद्ध कीजिए कि एक समान्तर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

हल : 

माना PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है तथा $\mathrm{PM} \perp \mathrm{SR}$ और $\mathrm{QN} \perp \mathrm{SR}$ है।

$\Delta \mathrm{PMS}$ और $\Delta \mathrm{QNR}$ से,

$\begin{aligned}&\mathrm{PS}=\mathrm{QR} \\&\mathrm{PM}=\mathrm{QN}\end{aligned}$

$\angle \mathrm{PMS}=\angle \mathrm{QNR}$  (प्रत्येक $90^{\circ}$ )

 $\begin{array}{rrr}\Delta \mathrm{PMS} & \cong \Delta \mathrm{QNR} & \text { (RHS से) } \\ \mathrm{SM} & =\mathrm{RN} & \text { (CPCT से) ...(i) }\end{array}$

समकोण' $\Delta \mathrm{QNS}$ में,

$\mathrm{SQ}^{2}=\mathrm{SN}^{2}+\mathrm{QN}^{2}$ (पाइथागोरस प्रमेय से)

$=\mathrm{QN}^{2}+(\mathrm{SR}+\mathrm{RN})^{2}$

$=\mathrm{QN}^{2}+\mathrm{SR}^{2}+\mathrm{RN}^{2}+2 \mathrm{SR} \cdot \mathrm{RN}$

$=\left(\mathrm{QN}^{2}+\mathrm{RN}^{2}\right)+\mathrm{SR}^{2}+2 \mathrm{SR} \mathrm{RN}$

$=\mathrm{QR}^{2}+\mathrm{SR}^{2}+2 \mathrm{SR} \mathrm{RN}$

 [ $\because$ QRN एक समकोण त्रिभुज है]

समकोण' $\triangle \mathrm{PMR}$ में,

$\begin{aligned} \mathrm{PR}^{2} &=\mathrm{PM}^{2}+\mathrm{MR}^{2} \quad \text { (पाइथागोरस प्रमेय से) } \\ &=\mathrm{PM}^{2}+(\mathrm{SR}-\mathrm{SM})^{2} \\ &=\mathrm{PM}^{2}+\mathrm{SR}^{2}+\mathrm{SM}^{2}-2 \mathrm{SR} . \mathrm{SM} \end{aligned}$

$\begin{aligned}&=\left(\mathrm{PM}^{2}+\mathrm{SM}^{2}\right)+\mathrm{SR}^{2}-2\mathrm{SR} . \mathrm{SM} \\&=\mathrm{PS}^{2}+\mathrm{SR}^{2}-2 \mathrm{SR} . \mathrm{SM}\end{aligned}$

$[\because$ PSM एक समकोण त्रिभुज है]

$\begin{aligned} \mathrm{SQ}^{2}+\mathrm{PR}^{2} &=\mathrm{QR}^{2}+\mathrm{SR}^{2}+2 \mathrm{SR} . \mathrm{RN}+\mathrm{PS}^{2}+\mathrm{SR}^{2}-2 \mathrm{SR} \mathrm{SM} \\ &=\mathrm{QR}^{2}+\mathrm{SR}^{2}+2 \mathrm{SR} \cdot \mathrm{RN}+\mathrm{PS}^{2}+\mathrm{SR}^{2}-2 \mathrm{SR} \mathrm{RN} \end{aligned}$

                     [समी.(i) से]

$=\mathrm{QR}^{2}+\mathrm{RS}^{2}+\mathrm{SP}^{2}+\mathrm{PQ}^{2}$ [समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ]

 $\mathrm{SQ}^{2}+\mathrm{PR}^{2}=\mathrm{PQ}^{2}+\mathrm{QR}^{2}+\mathrm{RS}^{2}+\mathrm{SP}^{2} .$

प्रश्न 15

आकृति में एक वृत्त की दो जीवाएँ $\mathrm{AB}$ तथा $\mathrm{CD}$ परस्पर बिन्दु $\mathrm{P}$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिब्ध कीजिए कि

(i) $\triangle \mathrm{APC} \sim \triangle \mathrm{DPB}$

(ii) $\mathbf{A P}, \mathbf{P B}=\mathbf{C P} . \mathbf{D P}$

हल : 

(i) $\triangle \mathrm{APC}$ तथा $\triangle \mathrm{DPB}$ में,

$\angle \mathrm{APC}=\angle \mathrm{DPB}$ (शीर्षाभिमुख कोण)

$\angle \mathrm{CAP}=\angle \mathrm{BDP}$(एक ही वृत्तखण्ड के कोण)

$\Delta \mathrm{APC} \sim \Delta \mathrm{DPB} .$(AA समरूपता से)

(ii) $\because$ भाग (i) से,

$\Delta \mathrm{APC} \sim \Delta \mathrm{DPB}$

$\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{DP}}=\frac{\mathrm{CP}}{\mathrm{PB}}$

AP. $\mathrm{PB}=\mathrm{CP} . \mathrm{DP} .$

प्रश्न 16

आकृति में एक वृत्त की दो जीवाएँ $\mathrm{AB}$ तथा $\mathrm{CD}$ बढ़ाने पर परस्पर बिन्दु $\mathrm{P}$ पर प्रतिच्छेद' करती हैं। सिद्ध कीजिए कि

(i) $\Delta$ PAC $\sim \Delta$ PDB

(ii) PA. PB = PC. PD.

हल : 

(i) $\Delta$ PAC और $\Delta$ PDB में,

$\angle \mathrm{APC}=\angle \mathrm{BPD}$ (उभयनिष्ठ)

 $\angle \mathrm{BAC}=180^{\circ}-\angle \mathrm{PAC}$(रेखिक युग्म से)

$\begin{aligned} \angle \mathrm{PDB} & \text { या } \angle \mathrm{CDB} &=180^{\circ}-\angle \mathrm{BAC} \\ &=180^{\circ}-180^{\circ}+\angle \mathrm{PAC} \end{aligned}$

$\angle \mathrm{PDB} \quad=\angle \mathrm{PAC}$

$\Delta \mathrm{PAC} \sim \Delta \mathrm{PDB}$ (AA सम'रूपता से)

$\Delta$ PAC $\sim \Delta$ PDB(सिद्ध कर चुके हैं)

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{DP}} &=\frac{\mathrm{CP}}{\mathrm{PB}} \\ \mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} &=\mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD} \end{aligned}$

प्रश्न 17

आकृति में त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ की भुजा $\mathrm{BC}$ पर एक बिन्दु $\mathrm{D}$ इस प्रकार स्थित है कि $\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$ है। सिद्ध कीजिए कि $\mathrm{AD}$, कोण $\mathrm{BAC}$ का समद्विभाजक है।

हल : 

ज्ञात है : $\mathrm{ABC}$ एक त्रिभुज है तथा $\mathrm{BC}$ पर कोई बिन्दु $\mathrm{D}$ है और

$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$

सिद्ध करना है: $\mathrm{AD}, \angle \mathrm{BAC}$ का समद्विभाजक है।

रचना: भुजा $\mathrm{BA}$ को $\mathrm{E}$ तक इस प्रकार बढ़ाया गया कि

$\mathrm{AE}=\mathrm{AC} .$

उपपत्ति : $\triangle \mathrm{AEC}$ में,

$\mathrm{AE}=\mathrm{AC}$

अतः :$\angle \mathrm{AEC}=\angle \mathrm{ACE}$.........(i)

$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$(दिया है)

$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AE}}$(रचना से)

$\mathrm{DA} \| \mathrm{CE}$(आधारमूत प्रमेय के विलोम से)

$\angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{AEC}$ (संगत कोण) ...(ii)

$\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{ACE}(एकांतर कोण)$...(iii)

$\angle \mathrm{AEC}=\angle \mathrm{ACE}$[समीकरण (i) से]

$\angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{DAC}$[समीकरण' (ii) तथा (iii) से]

प्रश्न 18

नाजिमा एक नदी की धारा में मछलियाँ पकड़ रही है। उसकी मछली पकड़ने वाली छड़ का सिरा पानी की सतह से $1.8$ मी ऊपर है तथा डोरी के निचले सिरे से लगा काँटा पानी की सतह पर इस प्रकार स्थित है कि उसकी नाजिमा से दूरी $3.6$ मी है और छड़ के सिरे के ठीक नीचे पानी की सतह पर स्थित बिन्दु से उसकी दूरी $2.4$ मी है। यह मानते हुए कि उसकी डोरी (उसकी छड़ के सिरे से काँटे तक) तनी हुई है, उसने कितनी डोरी बाहर निकाली हुई है (देखिए आकृति में)? यदि वह डोरी को 5 सेमी/से. की दर से अन्दर खींचे, तो 12 सेकण्ड के बाद नाजिमा की काँटे से क्षैतिज दूरी कितनी होगी?

हल: 

नाजिमा की मछली पकड़ने वाली छड़ से एक सिरे से दूरी $1.8$ मी है। $\therefore$

$\mathrm{AC}=1.8$ मी

$\because \quad$ B पर कॉटा है, जिसकी दूरी

नाजिमा से $\mathrm{B}$ बिन्दु की दूरी

BC=2.4 मी 

BD=3.6 दूरी 

CD=(3.6-2.4) मी =1.2 मी.

$\because$ दी गयी काँटे की डोरी की लम्बाई $\mathrm{AB}$ है। 

$\therefore$ समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\begin{aligned}\mathrm{AB}^{2} &=\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{AC}^{2} \\&=(2.4)^{2}+(1.8)^{2} \\&=5.76+3.24=9\end{aligned}$

$\mathrm{AB}=3$डोरी की लम्बाई $=3$ मी।

$\because$ डोरी को 5 सेमी/से. की दर से खींचा जा रहा हो तो 12 सेकंड में खींची गयी दूरी

=5 × 12=60 सेमी =0.6 मी  

शेष बाहर बची डोरी की लम्बाई, AP=(3-0.6) मीटर =2.4 मी

समकोण $\triangle \mathrm{APC}$ में, $\mathrm{AP}^{2}=\mathrm{PC}^{2}+\mathrm{AC}^{2}$

$\begin{aligned}(2.4)^{2} &=\mathrm{PC}^{2}+(1.8)^{2} \\5.76 &=\mathrm{PC}^{2}+3.24 \\\mathrm{PC}^{2} &=5.76-3.24=2.52 \\\mathrm{PC} &=\sqrt{2.52}=1.587\end{aligned}$

=1.59 मी.

काँटि से नाजिमा की क्षैतिज दूरी 

=PC+CD

=(1.59+1.2)

=2.79 मी.।