प्रश्नावली 6(E)
प्रश्न 1
कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं। निर्धारित कीजिए कि इनमें से कौन-कौन से त्रिभुज समको'ण' त्रिभुज हैं। इस स्थिति में कर्ण की लम्बाई भी लिखिए।
(i) 7 सेमी, 24 सेमी, 25 सेमी
(ii) 3 सेमी, 8 सेमी, 6 सेमी
(iii) 50 सेमी, 80 सेमी, 100 सेमी
(iv) 13 सेमी, 12 सेमी, 5 सेमी
हल :
प्रश्न के चारों खण्डों में समकोण त्रिभुज हेतु तीनों भुजाओं में जो सबसे बड़ी भुजा है उसका वर्ग यदि शेष दोनों संख्याओं के वर्गों के योग के बराबर हो तो त्रिभुज समकोण' होगा। यहाँ सबसे बड़ी भुजा ही कर्ण होती है।
(i)
$\begin{aligned}(25)^{2} &=625 \\(24)^{2}+(7)^{2} &=576+49=625\end{aligned}$
कर्ण की लम्बाई $=25$ सेमी
अतः इन भुजाओं से समकोण त्रिभुज बनेगा।
(ii)
$\begin{aligned}(8)^{2} &=64 \\(3)^{2}+(6)^{2} &=9+36=45 \\64 & \neq 45\end{aligned}$
अतः इन भुजाओं से समकोण त्रिभुज नहीं बनेगा।
(iii)
$\begin{aligned}(100)^{2} &=10000 \\(50)^{2}+(80)^{2} &=2500+6400=8900 \\ 10000 & \neq 8900 . \end{aligned}$
अतः इन भुजाओं से समकोण त्रिभुज नहीं बनेगा।
(iv)
$\begin{aligned}(13)^{2} &=169 \\(12)^{2}+(5)^{2} &=144+25=169\end{aligned}$
कर्ण की लम्बाई =13 सेमी
अतः इन भुजाओं से समकोण त्रिभुज बनेगा।
प्रश्न 2
एक आदमी पूरब की ओर 10 मीटर जाता है और फिर 30 मीटर उत्तर की ओर जाता है। बताइए वह प्रारम्भिक बिन्दु से कितनी दूरी पर है?
हल :
माना एक गदमी O से A तक पूरब की ओर $\mathrm{OA}=10$ मीटर चलता है। फिर उत्तर की ओर AB=30 मीटर चलता है।
तब प्रारम्भिक स्थिति $\mathrm{O}$ से $\mathrm{B}$ तक $\mathrm{OB}$ दूरी चलेगा। अब समकोण त्रिभुज $\mathrm{OAB}$ में
$\begin{aligned}\mathrm{OB}^{2} &=\mathrm{OA}^{2}+\mathrm{AB}^{2} \\&=(10)^{2}+(30)^{2} \\&=100+900=1000\end{aligned}$
$\begin{aligned} \mathrm{OB} &=\sqrt{1000}\end{aligned}$
$=10 \sqrt{10}$ मीटर
प्रश्न 3
सिद्ध कीजिए कि एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
हल :
दिया है : एक समचतुर्भुज PQRS है जिसके विकर्ण PR तथा QS हैं जो परस्पर O पर प्रतिच्छेदित होते हैं।
उपपत्ति : चूँकि समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर $90^{\circ}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं अर्थात्
$\angle \mathrm{POQ}=\angle \mathrm{QOR}=\angle \mathrm{ROS}=\angle
\mathrm{SOP}=90^{\circ}$
$\begin{aligned} \mathrm{PO} &=\mathrm{RO} \\ \mathrm{QO} &=\mathrm{SO} \\ \mathrm{PQ}^{2} &=\mathrm{OP}^{2}+\mathrm{OQ}^{2} \end{aligned}$ (पाइथागोरस प्रमेय से)
$\mathrm{PQ}^{2}=\left(\frac{1}{2} \mathrm{PR}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2} \mathrm{QS}\right)^{2}$
$\mathrm{PQ}^{2}=\frac{1}{4} \mathrm{PR}^{2}+\frac{1}{4} \mathrm{QS}^{2}$
$\begin{aligned} 4 \mathrm{PQ}^{2} &=\mathrm{PR}^{2}+\mathrm{QS}^{2}....(i) \\ 4 \mathrm{QR}^{2} &=\mathrm{PR}^{2}+\mathrm{QS}^{2}....(ii) \end{aligned}$
$4 \mathrm{RS}^{2}=\mathrm{PR}^{2}+\mathrm{QS}^{2}$......(iii)
$4 \mathrm{SP}^{2}=\mathrm{PR}^{2}+\mathrm{QS}^{2}$....(iv)
उपरोक्त चारों समीकरणों को जोड़ने पर,
अतः :
$\begin{aligned}\left(\mathrm{PQ}^{2}+\mathrm{QR}^{2}+\mathrm{RS}^{2}+\mathrm{SP}^{2}\right)&=4\left(\mathrm{PR}^{2}+\mathrm{QS}^{2}\right) \\\mathrm{PQ}^{2}+\mathrm{QR}^{2}+\mathrm{RS}^{2}+\mathrm{SP}^{2}&=\mathrm{PR}^{2}+\mathrm{QS}^{2} .\end{aligned}$
प्रश्न 4
$\mathrm{ABC}$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जिसका कोण $\mathrm{C}$ समकोण है। सिद्ध कीजिए कि $\mathrm{AB}^{2}=$ $2 \mathrm{AC}^{2}$ है।
हल:
दिया है : $\mathrm{ABC}$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें $\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$, और $\angle \mathrm{C}=90^{\circ}$ पाइथागोरस प्रमेय से,
$\begin{aligned}\mathrm{AB}^{2} &=\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{AC}^{2} \\&=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{AC}^{2} \\\mathrm{AB}^{2} &=2 \mathrm{AC}^{2}\end{aligned}$
प्रश्न 5
$\mathrm{ABC}$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण $\mathrm{C}$ समकोण है तथा $\mathrm{AC}=\sqrt{3} \mathrm{BC}$ और बिन्दु $\mathrm{D}$ भुजा $\mathrm{AB}$ का मध्य बिन्दु है, तो सिद्ध कीजिए कि $\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ}$ होगा।
हल :
$\begin{aligned}\mathrm{AB}^{2} &=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2} \\&=3 \mathrm{BC}^{2}+\mathrm{BC}^{2},\end{aligned}$
$[\because \mathrm{AC}=\sqrt{3 \mathrm{BC}}]$
$\begin{aligned}A B^{2} &=4 B C^{2} \\A B &=2 B C \\B C &=\frac{1}{2} A B=B D \\C D &=\frac{1}{2} A B\end{aligned}$
[समकोण के बिन्दु से कर्ण $\mathrm{AB}$ की माध्यिका $\mathrm{CD}$ है]
$\mathrm{BC}=\mathrm{BD}=\mathrm{CD}$
$\therefore \quad \triangle \mathrm{BCD}$ समबाहु त्रिभुज है।
अतः : $\angle \mathrm{ABC}=60^{\circ}$
प्रश्न 6
10 मी लम्बी एक सीढ़ी एक दीवार पर टिकाने पर भूमि से 8 मी. की ऊँचाई पर स्थित एक खिड़की तक पहुँचती है। दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए AC एक सीढ़ी है, जिसकी लम्बाई 10 मी है। भूमि से 8 मी की ऊँचाई पर $\mathrm{C}$ बिन्दु पर खिडकी है। दीवार के ' 'धार और सीढ़ी के निचले सिरे के बीच की दूरी $\mathrm{AB}$ है।
$\begin{aligned}(A C)^{2} &=(A B)^{2}+(B C)^{2} \\(10)^{2} &=(A B)^{2}+(8)^{2} \\ 100 &=(A B)^{2}+64 \\(A B)^{2} &=100-64 \\ A B^{2} &=36 \\ A B &=6 \end{aligned}$
दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी 6 मी है।
प्रश्न 7
एक खेल के मैदान में 3 मीटर और 8 मीटर लम्बे दो खम्भे खड़े किये गये हैं। यदि इन खंम्भों के निचले सिरों के बीच की दूरी 12 मीटर हो, तो उनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :
पहले खम्भे की ऊँचाई $(\mathrm{AB})=3$ मीटर तथा दूसरे खम्भे की ऊँचाई $(\mathrm{CD})=8$ मीटर
दोनों खम्भों के बीच की दूरी (BD) $=12$ मीटर तथा $\mathrm{AE} \perp \mathrm{CD}$ डाला।
AE=BD=12 मीटर
CE=CD-DE=CD-AB=8-3=5 मीटर
अब समकोण $\triangle \mathrm{AEC}$ में पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,
$\begin{aligned}\mathrm{AC}^{2} &=\mathrm{AE}^{2}+\mathrm{CE}^{2}=(12)^{2}+(5)^{2} \\&=144+25=169 \\\mathrm{AC} &=\sqrt{169}=13\end{aligned}$
प्रश्न 8
दो खम्भे जिनकी ऊँचाइयाँ 6 मी और 11 मी हैं तथा ये समतल भूमि पर खड़े हैं। यदि इनके निचले सिरों के बीच की दूरी 12 मी है तो इनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :
माना $\mathrm{AB}$ तथा $\mathrm{CD}$ दो खम्भे हैं जिनकी ऊँचाइयाँ 6 मी. तथा 11 मी. हैं। इनके निचले सिरे के बीच की दूरी $D E=12$ मी है तथा
ऊपरी सिरों के बीच की दूरी $\mathrm{AD}$ हो, तब समकोण $\triangle \mathrm{ADE}$ में,
$\begin{aligned}(A D)^{2} &=(A E)^{2}+(D E)^{2} \\&=(5)^{2}+(12)^{2} \\&=25+144\end{aligned}$
$\begin{aligned} A D^{2} &=169 \\ A D &=13 \end{aligned}$
अतः दोनों खम्भों के ऊपरी सिरों के बीच की दूरी 13 मी है।
प्रश्न 9
एक 10 मीटर लम्बी सीढ़ी एक भवन की जमीन से 8 मीटर ऊँची खिड़की तक जाती है। भवन से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :
माना सीढ़ी की लम्बाई $\mathrm{AB}=10$ मीटर तथा भवन की जमीन से खिड़की की ऊँचाई $\mathrm{BC}=8$ मीटर।
भवन से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी $\mathrm{AC}$ ज्ञात करनी है। अब $\triangle \mathrm{ACB}$ में,
$\begin{aligned}A B^{2} &=A C^{2}+B C^{2} \\(10)^{2} &=A C^{2}+(8)^{2} \\100 &=A C^{2}+64 \\A C^{2} &=100-64=36\end{aligned}$
वर्गमूल लेने पर
$\mathrm{AC}=6 \text { मीटर }$
अतः भवन से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी $=6$ मीटर।
प्रश्न 10
सड़क के आर-पार दो मन्दिरों की ऊँचाइयाँ 10 मीटर और 18 मीटर हैं। भू-तल पर उनके बीच की दूरी 6 मीटर है, तो मन्दिर की चोटियों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :
माना सड़क $\mathrm{BD}=6$ मीटर दूरी पर आर-पार $\mathrm{AB}=10$ मीटर, $\mathrm{CD}=18$ मीटर ऊँचाई के दो मन्दिर हैं। दोनों मन्दिरों की चोटियों $\mathrm{A}$ तथा $\mathrm{C}$ के बीच की दूरी ज्ञात करनी है।
बिन्दु $\mathrm{A}$ से $\mathrm{AE}$ लम्ब $\mathrm{CD}$ पर खींचा। समकोण त्रिभुज $\mathrm{AEC}$ में,
$\begin{aligned}\mathrm{CA}^{2} &=\mathrm{AE}^{2}+\mathrm{EC}^{2} \\\mathrm{AE} &=\mathrm{BD}=6 \\\mathrm{CE} &=8 \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mathrm{CA}^{2} &=(6)^{2}+(8)^{2} \\ \mathrm{CA}^{2} &=36+64 \\ \mathrm{CA}^{2} &=100 \\ \mathrm{CA} &=10 \end{aligned}$
अतः मन्दिरों की चोटियों की बीच की दूरी $=10$ मीटर
प्रश्न 11
$\triangle \mathrm{PQR}$ एक समकोण' त्रिभुज है जिसका कोण $\mathrm{P}$ समकोण है तथा $\mathrm{QR}$ पर बिन्दु $\mathrm{M}$ इस प्रकार स्थित है कि $\mathrm{PM} \perp \mathrm{QR}$ है। दर्शाइए कि $\mathrm{PM}^{2}=\mathrm{QM} . \mathrm{MR}$ है।
हल :
दिया है : एक समकोण $\triangle \mathrm{PQR}$, में $\angle \mathrm{P}=90^{\circ}$ तथा $\mathrm{PM} \perp \mathrm{QR}$. सिद्ध करना है :
$\mathrm{PM}^{2}=\mathrm{QM} \cdot \mathrm{MR}$
उपपत्ति : $\triangle \mathrm{MPQ}$ और $\triangle \mathrm{PQR}$ में,
$\begin{aligned}\angle 1+\angle 2 &=\angle 3+\angle 4=90^{\circ} \\\angle 1 &=\angle 4\end{aligned}$
$\begin{aligned} \angle 2 &=\angle 3 \\ \angle \mathrm{PMQ} &=\angle \mathrm{PMR}=90^{\circ} \\ \Delta \mathrm{PQM} & \sim \Delta \mathrm{RPM} \end{aligned}$ (AAA समरूपता से)
$\frac{\mathrm{QM}}{\mathrm{PM}}=\frac{\mathrm{PM}}{\mathrm{MR}}$
$\mathrm{PM}^{2}=\mathrm{QM} \cdot \mathrm{MR}$
प्रश्न 12
दी हुई आकृति में, $\mathrm{ABD}$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण $\mathrm{A}$ समकोण है तथा $\mathrm{AC} \perp \mathrm{BD}$ है। दर्शाइए कि
(i) $\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{BC} . \mathrm{BD}$
(ii)AC $^{2}=$ BC. DC
(iii) $\mathrm{AD}^{2}=\mathrm{BD} . \mathrm{CD}$
हल :
$\because \triangle \mathrm{ABD}$ में, $\angle \mathrm{BAD}=90^{\circ}$ तथा $\mathrm{AC} \perp \mathrm{BD}$.
इसलिए $\triangle \mathrm{ABC} \sim \Delta \mathrm{DBA}, \Delta \mathrm{DAC} \sim \Delta \mathrm{DBA}$ तथा $\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{DAC}$.
(i) $\because \triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{DBA}$ हो, तो
$\begin{aligned} \frac{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ABC})}{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{DBA})} &=\frac{\mathrm{AB}^{2}}{\mathrm{DB}^{2}} \\ \frac{1}{2} \times \mathrm{BC} \times \mathrm{AC} &=\frac{\mathrm{AB}^{2}}{\frac{1}{2} \times \mathrm{BD} \times \mathrm{AC}^{2}} \\ \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BD}} &=\frac{\mathrm{AB}^{2}}{\mathrm{DB}^{2}} \\ \mathrm{AB}^{2} &=\mathrm{BC} \cdot \mathrm{BD} . \end{aligned}$
(ii) $\because \triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{DA} \mathrm{C}$ हो, तो
$\frac{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ABC})}{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{DAC})}=\frac{\mathrm{AC}^{2}}{\mathrm{DC}^{2}}$
$\frac{\frac{1}{2} \times \mathrm{BC} \times \mathrm{AC}}{\frac{1}{2} \times \mathrm{DC} \times \mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{AC}^{2}}{\mathrm{DC}^{2}}$
$\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AC}^{2}}{\mathrm{DC}^{2}}$
$\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{BC} \cdot \mathrm{DC}$
(iii) $\because \Delta \mathrm{DAC} \sim \Delta \mathrm{DBA}$ हो, तो
$\frac{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{DAC})}{\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{DBA})}=\frac{\mathrm{DA}^{2}}{\mathrm{DB}^{2}}$
$\begin{aligned} \frac{\frac{1}{2} \times \mathrm{CD} \times \mathrm{AC}}{\frac{1}{2} \times \mathrm{DB} \times \mathrm{AC}} &=\frac{\mathrm{DA}^{2}}{\mathrm{DB}^{2}} \\ \frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{DB}} &=\frac{\mathrm{DA}^{2}}{\mathrm{DB}^{2}} \\ \mathrm{AD}^{2} &=\mathrm{BD} \cdot \mathrm{CD} \end{aligned}$
प्रश्न 13
$\mathrm{ABC}$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$ है। यदि $\mathrm{AB}^{2}=2 \mathrm{AC}^{2}$ है तो सिद्ध कीजिए कि ABC एक समकोण त्रिभुज है।
हल :
$\because \mathrm{ABC}$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें
$\mathrm{AC}=\mathrm{BC} \text ,$ (दिया है)
$\mathrm{AB}^{2}=2 \mathrm{AC}^{2}$ (दिया है)
$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{AC}^{2}$
$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}$ $(\because \mathrm{AC}=\mathrm{BC})$
पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से, $\triangle \mathrm{ABC}$ एक समकोण त्रिभुज है।
प्रश्न 14
समद्विबाहु त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ में, $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ तथा $\mathrm{BD} \perp \mathrm{AC}$, तो सिब्द कीजिए कि :
$\mathrm{BD}^{2}-\mathrm{CD}^{2}=2 \mathrm{CD} . \mathrm{AD} .$
हल :
दिया है : $\triangle \mathrm{ABC}$ में,
AB=AC तथा BD⟂AC
सिद्ध करना है : $\mathrm{BD}^{2}-\mathrm{CD}^{2}=2 \mathrm{CD} \cdot \mathrm{AD}$.
उपपत्ति : समकोण $\triangle \mathrm{ADB}$ में,
$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{BD}^{2}+\mathrm{AD}^{2}$
$\begin{aligned} \mathrm{AB}^{2}-\mathrm{AD}^{2} &=\mathrm{BD}^{2} \\ \mathrm{AB} &=\mathrm{AC}=\mathrm{AD}+\mathrm{DC} \end{aligned}$ .........(i)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
$\begin{aligned}\mathrm{AB}^{2} &=(\mathrm{AD}+\mathrm{DC})^{2} \\&=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{DC}^{2}+2 \mathrm{AD} \cdot \mathrm{DC}\end{aligned}$....(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) से,
$\mathrm{BD}^{2}=\mathrm{DC}^{2}+2 \mathrm{AD} \cdot \mathrm{DC}$
$\mathrm{BD}^{2}-\mathrm{DC}^{2}=2 \mathrm{CD} \cdot \mathrm{AD}$
प्रश्न 15
$\mathrm{ABCD}$ एक समचतुर्भुज है। सिद्ध कीजिए कि
$A B^{2}+B C^{2}+C D^{2}+D A^{2}=A C^{2}+B D^{2}$
हल :
दिया है : एक समचतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$ जिसके विकर्ण $\mathrm{AC}$ तथा $\mathrm{BD}$ परस्पर बिन्दु $\mathrm{O}$ पर काटते हैं।
सिद्ध करना है :
$A B^{2}+B C^{2}+C D^{2}+D A^{2}=A C^{2}+B D^{2}$
उपपत्ति : किसी समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। $\therefore$
$\mathrm{OA}=\mathrm{OC} \text { और } \mathrm{OB}=\mathrm{OD}$
तथा $\angle A O B=\angle B O C=C O D=\angle D O A=90^{\circ}$
अब समकोण $\triangle \mathrm{AOB}$ में पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,
$A B^{2}=O A^{2}+O B^{2}$.....(i)
इसी प्रकार, $\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{OB}^{2}+\mathrm{OC}^{2}$.....(ii)
$\mathrm{CD}^{2}=\mathrm{OC}^{2}+\mathrm{OD}^{2}$........(iii)
$\mathrm{DA}^{2}=\mathrm{OD}^{2}+\mathrm{OA}^{2}$.......(iv)
समीकरण" (i),(ii),(iii) और (iv) को जोड़ने पर
$A B^{2}+B C^{2}+C D^{2}+D A^{2}=2 O A^{2}+2 O B^{2}+2 O C^{2}+2 O D^{2}$
$=4 \mathrm{OA}^{2}+4 \mathrm{OB}^{2},(\because \mathrm{OA}=\mathrm{OC}, \mathrm{OB}=\mathrm{OD})$ $=(2 \mathrm{OA})^{2}+(2 \mathrm{OB})^{2} .$ $\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{CD}^{2}+\mathrm{DA}^{2}$ $(\because 2 \mathrm{OA}=\mathrm{AC}, 2 \mathrm{OB}=\mathrm{BD}) \quad=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BD}^{2}$ इति सिद्धम्।
प्रश्न 16
एक समबाहु त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ की भुजा $2 a$ है। उसके प्रत्येक शीर्ष लम्ब की लम्बाई ज्ञात कीजिए। हल: दिया है : $\triangle \mathrm{ABC}$ एक समबाहु त्रिभुज है, जिसकी प्रत्येक भुजा $2 a$ है।
$\mathrm{AP} \perp \mathrm{BC}$ अर्थात्
$\angle \mathrm{P}=90^{\circ}$
समकोण त्रिभुज $\mathrm{APB}$ में,
$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AP}^{2}+\mathrm{BP}^{2}$
$(2 a)^{2}=\mathrm{AP}^{2}+(a)^{2} \quad\left[\because \mathrm{BP}=\frac{1}{2} \times 2 a=a\right]$
$\begin{aligned} 4 a^{2} &=A P^{2}+a^{2} \\ A P^{2} &=4 a^{2}-a^{2} \\ A P^{2} &=3 a^{2} \\ A P &=a \sqrt{3} \end{aligned}$
अतः समबाहु त्रिभुज के प्रत्येक शीर्षलम्ब' की लम्बाई $a \sqrt{3}$ है।
प्रश्न 17
किसी समबाहु त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ में भुजा $\mathrm{BC}$ को बिन्दु $\mathrm{D}$ पर त्रिभाजित किया गया है। सिद्ध कीजिए कि $9 \mathrm{AD}^{2}=7 \mathrm{AB}^{2}$ है।
हल :
दिया है : $\mathrm{ABC}$ एक समबाहु त्रिभुज है जिसमें आधार $\mathrm{BC}$ पर एक बिन्दु $\mathrm{D}$ इस प्रकार स्थित है कि
$\begin{aligned} \mathrm{BD} &=\frac{1}{3} \mathrm{BC} \\ 9 \mathrm{AD}^{2} &=7 \mathrm{AB}^{2} \\ \mathrm{AE} & \perp \mathrm{BC} . \end{aligned}$
उपपत्तिः समबाहु $\triangle \mathrm{ABC}$ में,
$\mathrm{BE}=\mathrm{CE}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}$
(समबाहु त्रिभुज में ऊँचाई $\mathrm{AE}$ भुजा $\mathrm{BC}$ की लम्ब समद्विभाजक है)
$\mathrm{BE}=\frac{1}{2} \mathrm{AB} \quad(\because \mathrm{BC}=\mathrm{AB}) \ldots$..(i)
'समकोण' $\triangle \mathrm{ABE}$ में, $\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AE}^{2}+\mathrm{BE}^{2}$
$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AE}^{2}+\left(\frac{1}{2} \mathrm{AB}\right)^{2}$
$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AE}^{2}+\frac{1}{4} \mathrm{AB}^{2}$
$\begin{aligned} \mathrm{AB}^{2}-\frac{1}{4} \mathrm{AB}^{2} &=\mathrm{AE}^{2} \\ \frac{3}{4} \mathrm{AB}^{2} &=\mathrm{AE}^{2} \end{aligned}$.......(ii)
समकोण' $\triangle \mathrm{ADE}$ में, $\mathrm{AD}^{2}=\mathrm{AE}^{2}+\mathrm{DE}^{2}$
$\mathrm{AE}^{2}=\mathrm{AD}^{2}-\mathrm{DE}^{2}$......(iii)
$\mathrm{BD}=\frac{1}{3} \mathrm{BC}$ (दिया है)
$\mathrm{BD}=\frac{1}{3} \mathrm{AB}$.......(iv)
समीकरण' (i) में से (iv) को घटाने पर,
$\mathrm{BE}-\mathrm{BD}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}-\frac{1}{3} \mathrm{AB}$
$\mathrm{DE}=\frac{1}{6} \mathrm{AB}$.......(iv)
समीकरण (ii)तथा (iii) से,
$\frac{3}{4} \mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AD}^{2}-\mathrm{DE}^{2}$
$\frac{3}{4} \mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AD}^{2}-\left(\frac{1}{6} \mathrm{AB}\right)^{2}$[समीकरण' (v) से]
$\begin{aligned} \frac{3}{4} \mathrm{AB}^{2}+\frac{1}{36} \mathrm{AB}^{2} &=\mathrm{AD}^{2} \\ 27 \mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AB}^{2} &=36 \mathrm{AD}^{2} \end{aligned}$ (36 का दोनों पक्षों में गुणा करने पर)
$\begin{aligned} 28 \mathrm{AB}^{2} &=36 \mathrm{AD}^{2} \\ 7 \mathrm{AB}^{2} &=9 \mathrm{AD}^{2} \\ 9 \mathrm{AD}^{2} &=7 \mathrm{AB}^{2} \end{aligned}$
प्रश्न 18
त्रिभुज $\triangle \mathrm{ABC}$ में, $\triangle \mathrm{BCA}=90^{\circ}$, बिन्दु $\mathrm{Q}$ भुजा $\mathrm{BC}$ का मध्य बिन्दु है। सिद्ध कीजिए कि
$A B^{2}=4 A Q^{2}-3 A C^{2}$
हल :
दिया है : $\triangle \mathrm{ABC}$ में $\triangle \mathrm{BCA}=90^{\circ}$ तथा $\mathrm{BC}$ का मध्य बिन्दु $\mathrm{Q}$ हैं।
सिद्ध करना है : $\mathrm{AB}^{2}=4 \mathrm{AQ}^{2}-3 \mathrm{AC}^{2}$
रचना : $\mathrm{AQ}$ को मिलाया।
उपपत्ति : समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में,
$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}$........(i)
समकोण $\triangle \mathrm{AQC}$ में,
$A Q^{2}=Q C^{2}+A C^{2}$
$\begin{aligned} &=\left(\frac{1}{2} B C\right)^{2}+A C^{2} \\ &=\frac{1}{4} B C^{2}+A C^{2} \\ 4 A Q^{2} &=B C^{2}+4 A C^{2} \\ B C^{2} &=4 A Q^{2}-4 A C^{2} \end{aligned}$.......(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) से,
$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+4 \mathrm{AQ}^{2}-4 \mathrm{AC}^{2}$
अतः $\mathrm{AB}^{2}=4 \mathrm{AQ}^{2}-3 \mathrm{AC}^{2}$
प्रश्न 19
दी हुयी आकृति में, $\triangle \mathrm{ABC}$ के अभ्यंतर में स्थित कोई बिन्दु $\mathrm{O}$ है तथा $\mathrm{OD} \perp \mathrm{BC}, \mathrm{OE} \perp \mathrm{AC}$ और $O F \perp A B$ है। दर्शाइए कि
(i) $O A^{2}+O B^{2}+O C^{2}-O D^{2}-O E^{2}-O F^{2}=A F^{2}+B D^{2}+C E^{2}$
(ii)$\mathrm{AF}^{2}+\mathrm{BD}^{2}+\mathrm{CE}^{2}=\mathrm{AE}^{2}+\mathrm{CD}^{2}+\mathrm{BF}^{2}$.
हल :
(i) समकोण $\Delta \mathrm{OAF}$ में,
$\mathrm{OA}^{2}=\mathrm{AF}^{2}+\mathrm{OF}^{2}$......(i)
समकोण $\Delta \mathrm{OBD}$ में,
$\mathrm{OB}^{2}=\mathrm{BD}^{2}+\mathrm{OD}^{2}$........(ii)
समकोण $\Delta$ OCE में,
$O C^{2}=E C^{2}+O E^{2}$.........(iii)
समीकरण (i) + (ii) + (iii) से,
$\begin{aligned} \mathrm{OA}^{2}+\mathrm{OB}^{2}+\mathrm{OC}^{2} &=\mathrm{AF}^{2}+\mathrm{OF}^{2}+\mathrm{BD}^{2}+\mathrm{OD}^{2}+\mathrm{EC}^{2}+\mathrm{OE}^{2} \\ \therefore \quad \mathrm{OA}^{2}+\mathrm{OB}^{2}+\mathrm{OC}^{2}-\mathrm{OD}^{2}-\mathrm{OE}^{2}-\mathrm{OF}^{2} &=\mathrm{AF}^{2}+\mathrm{BD}^{2}+\mathrm{EC}^{2} . \end{aligned}$
(ii) समकोण' $\triangle \mathrm{OBD}$ में,
$\mathrm{OB}^{2}=\mathrm{BD}^{2}+\mathrm{OD}^{2}$.......(iv)
समकोण $\triangle O C D$ में,
$\mathrm{OC}^{2}=\mathrm{CD}^{2}+\mathrm{OD}^{2}$........(v)
समीकरण (v) को (iv) में से घटाने पर,
$\mathrm{OB}^{2}-\mathrm{OC}^{2}=\mathrm{BD}^{2}-\mathrm{CD}^{2}$......(vi)
इसी प्रकार, $\Delta \mathrm{OCE}$ तथा $\Delta \mathrm{OAE}$ में,
$O C^{2}-O A^{2}=C E^{2}-A E^{2}$......(vii)
इसी प्रकार, संमकोण $\Delta \mathrm{OAF}$ तथा $\Delta \mathrm{OBF}$ में,
$\mathrm{OA}^{2}-\mathrm{OB}^{2}=\mathrm{AF}^{2}-\mathrm{BF}^{2}$........(viii)
समीकरण' (vi), (vii) तथा (viii)से,
$\mathrm{BD}^{2}-\mathrm{CD}^{2}+\mathrm{CE}^{2}-\mathrm{AE}^{2}+\mathrm{AF}^{2}\mathrm{BF}^{2}=0$
या $\mathrm{AF}^{2}+\mathrm{BD}^{2}+\mathrm{CE}^{2}=\mathrm{AE}^{2}+\mathrm{CD}^{2}+\mathrm{BF}^{2}$प्रश्न 20
$\triangle \mathrm{ABC}$ के कर्ण $\mathrm{AB}$ पर एक दूसरा समकोण' त्रिभुज $\triangle \mathrm{ABD}$ बनाया गया है यदि $\mathrm{BC}=1$ सेमी, $\mathrm{AC}=6$ सेमी तथा $\mathrm{AD}=2$ सेमी, तो $\mathrm{BD}$ का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है : समकोण $\triangle \mathrm{ACB}$ में $\mathrm{BC}=1$ सेमी, $\mathrm{AC}=6$ सेमी तथा समकोण' $\triangle \mathrm{ADB}$ में $\mathrm{AD}=2$ सेमी।
ज्ञात करना है : $\mathrm{BD}$ का मान ज्ञात करना है।
गणना : समकोण $\triangle \mathrm{ACB}$ में,
$\begin{aligned} \mathrm{AB}^{2} &=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2} \\ \mathrm{AB}^{2} &=(6)^{2}+(1)^{2} \\ &=36+1=37 \end{aligned}$........(i)
पुनः समकोण $\triangle \mathrm{ADB}$ में,
$\begin{aligned}\mathrm{AB}^{2} &=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{BD}^{2} \\37 &=(2)^{2}+\mathrm{BD}^{2}\end{aligned}$
$\left[\because \mathrm{AB}^{2}=37\right.$ सम्बन्ध (i) से]
$\begin{aligned} 37 &=4+B D^{2} \\ B D^{2} &=37-4=33 \\ B D &=\sqrt{33} \\ B D &=\sqrt{33} \text { सेमी। } \end{aligned}$
प्रश्न 21
18 मी ऊँचे एक ऊर्ध्वाधर खम्भे के ऊपरी सिरे से एक तार का एक सिरा जुड़ा हुआ है तथा तार का दूसरा सिरा एक खूँटे से जुड़ा हुआ है। खम्भे के आधार से खूँटे को कितनी दूरी पर गाड़ा जाए कि तार तना रहे जबकि तार की लम्बाई 24 मी है।
हल :
मान लीजिए $\mathrm{AB}$ एक ऊर्ध्वाधर खम्भा है जिसकी ऊँचाई 18 मी है। तार को $\mathrm{AC}$ द्वारा व्यक्त किया गया है जिसकी लम्बाई, $\mathrm{AC}=24$ मी है। खम्भे के आधार से खूँटे की दूरी $\mathrm{BC}$ है।
$\because$ खम्भा ऊर्ध्वाधर अर्थात् $90^{\circ}$ के कोण पर स्थित है।
$\therefore$ पाइथागोरस प्रमेय से,
$\begin{aligned}(\mathrm{AC})^{2} &=(\mathrm{AB})^{2}+(\mathrm{BC})^{2} \\(24)^{2} &=(18)^{2}+(\mathrm{BC})^{2} \\ 576 &=324+\mathrm{BC}^{2} \\ \mathrm{BC}^{2} &=576-324=252 \end{aligned}$
$BC=6 \sqrt{7}$ मी।
प्रश्न 22
एक हवाई जहाज एक हवाई अड्डे से उत्तर की ओर 1000 किमी/घष्टे की चाल से उड़ता है। इसी समय एक अन्य हवाई जहाज उसी हवाई अड्डे से पश्चिम की ओर 1200 किमी/घष्टे की चाल से उड़ता है। $1 \frac{1}{2}$ घण्टे के बाद दोनों हवाई जहाजों के बीच की दूरी कितनी होगी?
हल :
$\because$ एक हवाई जहाज की चाल (उत्तर की ओर)
$\quad=1000$ किमी/घण्टा समय $=1^{1 / 2}$ घण्टे या $\frac{3}{2}$ घण्टे
$\therefore \frac{3}{2}$ घण्टे में हवाई जहाज द्वारा उत्तर दिशा में तय की गयी दूरी
=चाल×समय=1000×$\frac{3}{2}=1500$ किमी
इसी प्रकार, $\frac{3}{2}$ घण्टे में दूसरे हवाई जहाज द्वारा पश्चिम दिशा में तय की गयी दूरी
$=1200 \times \frac{3}{2}$=1800 किमी
अब समकोण त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ में,
$(\mathrm{AC})^{2}=(\mathrm{AB})^{2}+(\mathrm{BC})^{2}$
$\begin{aligned} &=(1500)^{2}+(1800)^{2} \\ &=2250000+3240000 \\(\mathrm{BC})^{2} &=5490000 \\ \mathrm{BC} &=\sqrt{9 \times 10000 \times 61} \end{aligned}$
$=300 \sqrt{61}$ किमी।
प्रश्न 23
एक त्रिभुज $A B C$ जिसका कोण $C$ समकोण है, की भुजाओं $C A$ और $C B$ पर क्रमशः बिन्दु $D$ और $E$ स्थित हैं। सिद्ध कीजिए कि $\mathrm{AE}^{2}+\mathrm{BD}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{DE}^{2}$ है।
हल :
दिया है, $\mathrm{ABC}$ एक समकोण त्रिभुज है जिसकी भुजाओं $\mathrm{AC}$ तथा $\mathrm{BC}$ पर $\mathrm{D}$ तथा $\mathrm{E}$ बिन्दु स्थित हैं।
$\triangle \mathrm{ACE}$ में,$\mathrm{AE}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{CE}^{2}$...(i)
और $\triangle \mathrm{DCB}$ में,$\mathrm{BD}^{2}=\mathrm{DC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}$...(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर,
$\mathrm{AE}^{2}+\mathrm{BD}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{CE}^{2}+\mathrm{DC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}$
$\begin{aligned} \mathrm{AE}^{2}+\mathrm{BD}^{2} &=\left(\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}\right)+\left(\mathrm{DC}^{2}+\mathrm{CE}^{2}\right) \\ \mathrm{AE}^{2}+: \mathrm{i} \mathrm{b}^{2} &=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{DE}^{2} \end{aligned}$
प्रश्न 24
किसी त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ के शीर्ष $\mathrm{A}$ से $\mathrm{BC}$ पर डाला गया लम्ब $\mathrm{BC}$ को बिन्दु $\mathrm{D}$ पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि $\mathrm{DB}=3 \mathrm{CD}$ है (देखिए आकृति में)। सिद्ध कीजिए कि $2 \mathrm{AB}^{2}=2 \mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}$ है।
हल :
$D B=3 C D$ (दिया है)
अब $\mathrm{BC}=\mathrm{CD}+\mathrm{DB}$ (आकृति से)
$\begin{aligned} &=C D+3 C D \\ B C &=4 C D \end{aligned}$
$\begin{aligned} C D &=\frac{1}{4} B C \\ D B &=3 C D \end{aligned}$
$=3 \times \frac{1}{4} \mathrm{BC}=\frac{3}{4} \mathrm{BC}$........(i)
$\because \triangle \mathrm{ABD}$ तथा $\mathrm{ACD}$ समकोण त्रिभुज हैं।
$\therefore AB^{2}=A D^{2}+B D^{2}$........(ii)
$A C^{2}=A D^{2}+C D^{2}$........(iii)
समीकरण (iii) को (ii) में से घटाने पर,
$A B^{2}-A C^{2}=B D^{2}-C D^{2}$
$=\left(\frac{3}{4} \mathrm{BC}\right)^{2}-\left(\frac{1}{4} \mathrm{BC}\right)^{2}$
$\begin{aligned} \mathrm{AB}^{2}-\mathrm{AC}^{2} &=\frac{9}{16} \mathrm{BC}^{2}-\frac{1}{16} \mathrm{BC}^{2} \\ \mathrm{AB}^{2}-\mathrm{AC}^{2} &=\frac{8}{16} \mathrm{BC}^{2} \\ \mathrm{AB}^{2}-\mathrm{AC}^{2} &=\frac{1}{2} \mathrm{BC}^{2} \\ 2 \mathrm{AB}^{2}-2 \mathrm{AC}^{2} &=\mathrm{BC}^{2} \\ 2 \mathrm{AB}^{2} &=2 \mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2} \end{aligned}$
प्रश्न 25
किसी समबाहु त्रिभुज में, सिब्ध कीजिंए कि उसकी एक भुजा के वर्ग का तिगुना उसके एक शीर्षलम्ब के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है।
हल :
दिया है : एक समबाहु त्रिभुज $P Q R$ है, जिसमें शीर्ष $P$ से $Q R$ पर एक लम्ब डाला गया। सिद्ध करना है :
$3 \times \mathrm{PQ}^{2}=4 \times \mathrm{PM}^{2}$
उपपत्ति : $\Delta \mathrm{PQM}$ तथा $\Delta \mathrm{PRM}$ में,
$P Q=P R=Q R$(समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा)
$\angle \mathrm{Q}=\angle \mathrm{R}$(प्रत्येक $60^{\circ}$ )
$\begin{array}{lr}\angle \mathrm{PMQ}=\angle \mathrm{PMR} & (\because \mathrm{PM} \perp \mathrm{QR}) \\ \triangle \mathrm{PQM} \cong \triangle \mathrm{PMR} & \text { (ASA समरूपता से) }\end{array}$
$\mathrm{QM}=\mathrm{MR} \Rightarrow \mathrm{QM}=\mathrm{MR}=\frac{1}{2} \mathrm{QR}$
समकोण त्रिभुज $\mathrm{PMQ}$ में,
$(\mathrm{PQ})^{2}=(\mathrm{PM})^{2}+(\mathrm{QM})^{2}$
$\begin{aligned} &=(\mathrm{PM})^{2}+\left(\frac{1}{2} \mathrm{QR}\right)^{2} \\ &=(\mathrm{PM})^{2}+\frac{1}{4} \mathrm{QR}^{2} \\ \mathrm{PQ}^{2} &=\mathrm{PM}^{2}+\frac{1}{4} \mathrm{PQ}^{2} \end{aligned}$ $[\because \mathrm{PQ}=\mathrm{QR}]$
$\begin{aligned} \mathrm{PQ}^{2}-\frac{1}{4} \mathrm{PQ}^{2} &=\mathrm{PM}^{2} \\ \frac{3}{4} \mathrm{PQ}^{2} &=\mathrm{PM}^{2} \\ 3 \mathrm{PQ}^{2} &=4 \mathrm{PM}^{2} \end{aligned}$
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