Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 6 त्रिभुज (Triangles) प्रश्नावली 6(B)

 प्रश्नावली 6(B)

प्रश्न 1

$ \triangle \mathrm{ABC}$ में रेखा $\mathrm{DE}$ आधार $\mathrm{BC}$ के समांतर है। $\mathrm{AD}: \mathrm{AB}=1: 3$ है। यदि $\mathrm{AC}=4$ हो, तो $\mathrm{AE}$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल : 

जब $\triangle \mathrm{ADE} \sim \triangle \mathrm{ABC}$, तब

$\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}$

दिया है : $\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{1}{3}$ और $\mathrm{AC}=4$

$\therefore$ $\frac{1}{3}=\frac{\mathrm{AE}}{4}$

या $\mathrm{AE}=\frac{4}{3}$'

प्रश्न 2. 

चित्र में $\mathrm{AD}, \angle \mathrm{BAC}$ की समद्विभाजक है तथा $\mathrm{AB}=6$ सेमी, $\mathrm{AC}=5$ सेमी तथा $\mathrm{BD}=3$ सेमी, तो $\mathrm{DC}$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल : 

$\because \triangle \mathrm{ABD} \sim \triangle \mathrm{ADC}$, तब

$\therefore$ $\Rightarrow \begin{aligned}\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BD}} &=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DC}} \\\frac{6}{3} &=\frac{5}{\mathrm{DC}}\end{aligned}$

$\Rightarrow 2=\frac{5}{\mathrm{DC}}$

या अतः $2 \mathrm{DC}=5$ या $\mathrm{DC}=\frac{5}{2}=2.5$

$\mathrm{DC}=2.5$ सेमी।

उत्तर

प्रश्न 3. 

किसी $\triangle \mathrm{PQR}$ की भुजाओं $\mathrm{PQ}$ और $\mathrm{PR}$ पर क्रमशः बिन्दु $\mathrm{E}$ और $\mathrm{F}$ स्थित हैं। निम्नलिखित' में से प्रत्येक स्थिति के लिए बताइए कि क्या $\mathbf{E F} \| \mathbf{Q R}$ है :

(i) $\mathrm{PE}=3.9$ सेमी, $\mathrm{EQ}=3$ सेमी, $\mathrm{PF}=3.6$ सेमी और $\mathrm{FR}=2.4$ सेमी।

(ii) $\mathrm{PE}=4$ सेमी, $\mathrm{QE}=4.5$ सेमी, $\mathrm{PF}=8$ सेमी और $\mathrm{RF}=9$ सेमी।

(iii) $\mathrm{PQ}=1.28$ सेमी, $\mathrm{PR}=2.56$ सेमी, $\mathrm{PE}=0.18$ सेमी और $\mathrm{PF}=0.36$ सेमी।

हल : 

(i) चूँकि $\mathrm{PE}=3.9$ सेमी, $\mathrm{EQ}=3$ सेमी., $\mathrm{PF}=3.6$ सेमी. और $\mathrm{FR}=2.4$ सेमी.

PE / EQ=3.9 सेमी  / 3  सेमी $=\frac{1.3}{1}$

PF / FR = 3.6 सेमी / 2.4 सेमी $=\frac{1.5}{1}$

$\frac{1.3}{1} \neq \frac{1.5}{1}$

$\frac{P E}{E Q} \neq \frac{P F}{E R}$

अतः $\mathrm{EF}$ भुजा $\mathrm{QR}$ के समान्तर नहीं है।

(ii) चूंकि $\mathrm{PE}=4$ सेमी., $\mathrm{QE}=4.5$ सेमी., $\mathrm{PF}=8$ सेमी. और $\mathrm{RF}=9$ सेमी.

$\frac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EQ}}=\frac{4}{4.5}=\frac{40}{45}=\frac{8}{9}$

$\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}}=\frac{8}{9}$

$\frac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EQ}}=\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{ER}}$

अतः $\mathrm{EF}$ भुजा $\mathrm{QR}$ के समान्तर है।

(iii) चूंकि $\mathrm{PE}=0.18$ सेमी., $\mathrm{PQ}=1.28$ सेमी, $\mathrm{PF}=0.36$ सेमी. और $\mathrm{PR}=2.56$ सेमी.

$\frac{P E}{P Q}=\frac{0.18}{1.28}=\frac{18}{128}=\frac{9}{64}$

$\frac{P F}{P R}=\frac{0.36}{2.56}=\frac{36}{256}=\frac{9}{64}$

$\frac{P E}{P Q}=\frac{P F}{P R}$

अतः $\mathrm{EF}$ भुजा $\mathrm{QR}$ के समान्तर है।

प्रश्न 4. 

दी हुई आकृति में, यदि $\mathrm{LM} \| \mathrm{CB}$ और $\mathrm{LN} \| \mathrm{CD}$ हो, तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AD}}$ है।

हल : 

$\triangle \mathrm{ABC}$ में, दिया है : $\mathrm{LM} \| \mathrm{CB}$,

$\therefore \quad \frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{MB}}=\frac{\mathrm{AL}}{\mathrm{LC}}$

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{MB}}{\mathrm{AM}} &=\frac{\mathrm{LC}}{\mathrm{AL}} \\ \frac{\mathrm{MB}}{\mathrm{AM}}+1 &=\frac{\mathrm{LC}}{\mathrm{AL}}+1 \end{aligned}$ $(\because$ दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर $)$

$\frac{\mathrm{MB}+\mathrm{AM}}{\mathrm{AM}}=\frac{\mathrm{LC}+\mathrm{AL}}{\mathrm{AL}} \Rightarrow \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AM}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AL}}$

$\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AL}}{\mathrm{AC}}$...........(1)

अब $\triangle \mathrm{ACD}$ में, दिया है : $\mathrm{LN} \| \mathrm{CD}$,

$\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{ND}}=\frac{\mathrm{AL}}{\mathrm{LC}}$

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{ND}}{\mathrm{AN}} &=\frac{\mathrm{LC}}{\mathrm{AL}} \\ \frac{\mathrm{ND}}{\mathrm{AN}}+1 &=\frac{\mathrm{LC}}{\mathrm{AL}}+1 \end{aligned}$ $(\because$ दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर)

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{ND}+\mathrm{AN}}{\mathrm{AN}} &=\mathrm{LC}+\mathrm{AL} \\ \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AN}} &=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AL}} \\ \frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AD}} &=\frac{\mathrm{AL}}{\mathrm{AC}} \end{aligned}$..........(2)

समीकरण (1) और (2) से,

$\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AD}}$

प्रश्न 5

चित्र में $\mathrm{AD}, \angle \mathrm{BAC}$ की समद्विभाजक है, तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल : 

$\because \triangle \mathrm{ABD} \sim \triangle \mathrm{ACD}$

तब $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DC}}$

$\begin{aligned} \frac{2}{1.5} &=\frac{3.8}{x} \\ 2 x &=1.5 \times 3.8 \\ x &=\frac{1.5 \times 3.8}{2}=1.5 \times 1.9  \end{aligned}$

x=2.85 सेमी 

प्रश्न 6

दी हुई आकृति में, $\mathrm{DE} \| \mathrm{AC}$ और $\mathrm{DF} \| \mathrm{AE}$ हैं। सिद्ध कीजिए कि $\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{FE}}=\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EC}}$ है।

हल : 

दिया है : $\mathrm{DE} \| \mathrm{AC}$

$\therefore \triangle \mathrm{ABC}$ में, $\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EC}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DA}}$......(1)

$\mathrm{DF} \| \mathrm{AE}$ (दिया है)

तो $\triangle \mathrm{ABE}$ में, $\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{FE}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DA}}$........(2)

समीकरण (1)तथा (2) से,

$\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{FE}}=\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EC}}$

प्रश्न 7

दी हुई आकृति में, $\mathrm{DE} \| \mathrm{OQ}$ और $\mathrm{DF} \| \mathrm{OR}$ हैं। दर्शाइए कि $\mathrm{EF} \| \mathrm{QR}$ है।

हल : 

$\triangle \mathrm{PQO}$ में,

$\mathrm{DE} \| \mathrm{OQ}$ [ज्ञात है]

$\therefore$ मूलभूत-समानुपातिकता प्रमेय से, 

$\frac{P E}{E Q}=\frac{P D}{D O}$...........(1)

और $\triangle \mathrm{POR}$ में,

DF $\|$ OR [ज्ञात है]

$\frac{P D}{D O}=\frac{P F}{F R}$............(2)

समीकरण (1) और (2) से,

$\frac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EQ}}=\frac{\mathrm{PD}}{\mathrm{DO}}=\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}} \text { or } \frac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EQ}}=\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}}$

अब $\Delta \mathrm{PQR}$ में,

$\because \mathrm{E}$ और $\mathrm{F}$ क्रमश : भुजाओं $\mathrm{PQ}$ और $\mathrm{PR}$ पर स्थित हैं, तथा

$\frac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EQ}}=\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}}$

अर्थात् $\mathrm{E}$ और $\mathrm{F}$ भुजाओं $\mathrm{PQ}$ और $\mathrm{PR}=7$ एक ही अनुपात में विभाजित करते हैं। 

$\therefore$ $E F \| Q R$

प्रश्न 8

किसी समान्तर चतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$ का विकर्ण $\mathrm{BD}$, रेखा $\mathrm{AE}$ को बिन्दु $\mathrm{F}$ पर प्रतिच्देदित' करता है, जहाँ बिन्दु $\mathrm{E}$, भुजा $\mathrm{BC}$ पर स्थित है, तो सिद्ध कीजिए कि

DF $\times$ EF $=$ FB $\times$ FA

हल : 

दिया है : $\mathrm{ABCD}$ एक समान्तर चतुर्भुज है जिसका विकर्ण $\mathrm{BD}$ है। विकर्ण $\mathrm{BD}$ रेखा $\mathrm{AE}$ को बिन्दु $\mathrm{F}$ पर प्रतिच्छेदित करता है। जहाँ बिन्दु $\mathrm{E}$, रेखा $\mathrm{BC}$ पर स्थित है।

सिद्ध करना है : $\mathrm{DF} \times \mathrm{EF}=\mathrm{FB} \times \mathrm{FA}$.

उपपत्ति : $\triangle \mathrm{AFD}$ तथा $\triangle \mathrm{BFE}$ में,

$\angle 1=\angle 2$(एकान्तर कोण हैं)

$\angle 3=\angle 4$ (विपरीत कोण हैं)

$\begin{aligned} \triangle \mathrm{AFD} & \sim \Delta \mathrm{BFE} \\ \frac{\mathrm{DF}}{\mathrm{FA}} &=\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{FB}} \\ \mathrm{DF} \times \mathrm{FE} &=\mathrm{FB} \times \mathrm{FA} . \end{aligned}$

प्रश्न 9

थेल्स प्रमेय का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिन्दु से एक अन्य भुजा के समान्त'र खींची गयी रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।

हल : 

दिया है : एक त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ जिसमें बिन्दु $\mathrm{D}, \mathrm{AB}$ का मध्य-बिन्दु है तथा बिन्दु $\mathrm{D}$ से एक रेखा खींची जो $\mathrm{BC}$ के समान्तर है, वह रेखा बिन्दु $\mathrm{E}$ पर $\mathrm{AC}$ रेखा को प्रतिच्छेद करती है।

सिद्ध करना है : बिन्दु $\mathrm{E}$, रेखा $\mathrm{AC}$ का मध्य-बिन्दु है।

उपपति : $\because \mathrm{D}, \mathrm{AB}$ का मध्य-बिन्दु है अर्थातु

$\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{1}{1}$

और $\mathrm{DE} \| \mathrm{BC}$ हो, तो

$\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}$ (प्रमेय से) 

$\begin{aligned}\frac{1}{1} &=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}} \\\mathrm{AE} &=\mathrm{EC}\end{aligned}$

अतः $\mathrm{DE}$ रेखा तीसरी भुजा अर्थात् $\mathrm{AC}$ को समद्विभाजित करती है।

प्रश्न 10

$\mathrm{ABCD}$ एक समलंब है जिसमें $\mathrm{AB} \| \mathrm{DC}$ है तथा इसके विकर्ण परस्पर बिन्दु $\mathrm{O}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि $\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}$ है।

हल : 

हमें ज्ञात है कि एक समलम्ब चतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$ में $\mathrm{AB} \| \mathrm{DC}$

$\because$ विकर्ण $\mathrm{AC}$ और $\mathrm{BD}$ परस्पर $\mathrm{O}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं और यदि $\mathrm{O}$ से $\mathrm{OE} \| \mathrm{AB}$ या $\mathrm{DC}$ खींचने पर,

$\triangle \mathrm{ADC}$ में    $O E \| D C$    [रचना द्वारा]

$\therefore$ मूलभूत समानुपातिकता प्रमेय से,

$\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{ED}}=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{CO}}$.........(1)

$\triangle \mathrm{ABD}$ में $\mathrm{OE} \| \mathrm{AB}    $[रचना द्वारा]

$\therefore$ मूलभूत समानुपातिकता' प्रमेय से,

$\frac{\mathrm{ED}}{\mathrm{AE}}=\frac{\mathrm{DO}}{\mathrm{BO}} \Rightarrow \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{ED}}=\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{DO}}$......(2)

(1) और $(2)$ से

$\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{ED}}=\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{DO}}=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{CO}}$

$\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{DO}}=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{CO}}$ अर्थात् $\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}$

प्रश्न 11

एक चतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$ के विकर्ण परस्पर बिन्दु $\mathrm{O}$ पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि $\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}$ है। दर्शाइए कि $\mathrm{ABCD}$ एक समलंब है।

हल : 

हमें ज्ञात है कि चतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$ में $\mathrm{AC}$ और $\mathrm{BD}$ परस्पर $\mathrm{O}$ पर प्रतिच्छेद' इस प्रकार करते हैं कि :

$\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}$

 

अब, $\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}$ से हमें प्राप्त होता है कि

$\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{CO}}=\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{DO}}$............(i)

बिन्दु $O$ से $O E \| D C$ या $A B$ खींचो।

$\triangle \mathrm{ADB}$ में, मूलभूत समानुपातिकता प्रमेय से,

$\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{EA}}=\frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{BO}}$ अर्थात्

$\frac{\mathrm{EA}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{OD}}$..........(ii)

समीकरण (i) और (ii) से,

$\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}$

$\frac{\mathrm{EA}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{OD}}=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{CO}}$

अर्थात् $\triangle \mathrm{ABC}$ की भुजाओं $\mathrm{AD}$ और $\mathrm{AC}$ पर स्थित क्रमश : बिन्दु $\mathrm{E}$ और $\mathrm{O}$, इनको एक ही अनुपात में बांटते हैं।

$\therefore$ $\mathrm{OE} \| \mathrm{DC}$ और $\mathrm{OE} \| \mathrm{AB}$

अर्थात् $\mathrm{AB} \| \mathrm{DC}$

अतः $\mathrm{ABCD}$ एक समलंब चतुर्भुज है।

प्रश्न 12

यदि किसी त्रिभुज के एक कोण का समदिभाजक सम्मुख भुजा को समद्धिभाजित करता हो, तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज समद्विबाहु त्रिभुज है।

हल : 

दिया है : $\triangle \mathrm{ABC}$ में, $\mathrm{AD}, \angle \mathrm{A}$ का समद्विभाजक है तथा $\mathrm{BD}=\mathrm{DC}$ है। सिद्ध करना है : $\triangle \mathrm{ABC}$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

रचना : $\angle \mathrm{A}$ का समद्विभाजक $\mathrm{AD}$ खींचा।

उपपत्ति : $\because \mathrm{A}$ का समद्विभाजक $\mathrm{AD}$ है।

$\therefore \quad \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}$ ,

 
परन्तु  $\mathrm{BD}=\mathrm{DC}$ (समद्विभाजक प्रमेय से) (दिया है)

 $\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=1$

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=1$

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=1$

$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$

अतः $\triangle \mathrm{ABC}$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

प्रश्न 13

चतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$ का विकर्ण $\mathrm{BD}, \angle \mathrm{B}$ और $\angle \mathrm{D}$ को समद्विभाजित करता है। सिद्ध कीजिए कि

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{DA}}{\mathrm{CD}}$

हल : 

दिया है : एक चतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$ में, $\mathrm{BD}$ एक विकर्ण है जो $\mathrm{B}$ तथा $\mathrm{D}$ का समद्विभाजक है।

सिद्ध करना है : $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DC}}$

रचना : विकर्ण $\mathrm{AC}$ खींचा जो $\mathrm{BD}$ को बिन्दु $\mathrm{M}$ पर काटता है।

उपपत्ति : $\triangle \mathrm{ABC}$ में, $\mathrm{BM}, \angle \mathrm{B}$ का समद्विभाजक है।

$\therefore$$\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{MC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}$.......(i)

$\triangle \mathrm{ADC}$ में, $\mathrm{DM}, \angle \mathrm{D}$ का समद्विभाजक है।

$\therefore$$\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{MC}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{CD}}$.......(ii)

सम्बन्ध (i) तथा (ii) से,

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{CD}} .$

प्रश्न 14

$\mathrm{ABCD}$ समलम्ब' चतुर्भुज में $\mathrm{AB} \| \mathrm{DC}$, तो सिद्ध कीजिए कि :

$\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{EB}}=\frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{EA}}$

हल : 

दिया है : समलम्ब चतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$ के विकर्ण $\mathrm{AC}$ तथा $\mathrm{BD}$ परस्पर बिन्दु $\mathrm{O}$ पर काटते हैं।

सिद्ध करना है :$\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{EB}}=\frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{EA}}$

रचना : बिन्दु $\mathrm{E}$ से $\mathrm{EF}\|\cdot \mathrm{AB}\| \mathrm{CD}$ खींचिए।

 उपपत्ति : $\triangle \mathrm{ACD}$ में,

$\mathrm{EF} \| \mathrm{CD}$ (रचना से)

$\frac{E C}{E A}=\frac{F D}{A F}$.........(i)

$\triangle \mathrm{ABD}$ में, $\mathrm{EF} \| \mathrm{AB}$,

$\frac{\mathrm{ED}}{\mathrm{EB}}=\frac{\mathrm{FD}}{\mathrm{AF}}$.......(ii)

                                                                                                             (थेल्स प्रमेय से)

सम्बन्ध (i) तथा (ii) से,

$\frac{E D}{E B}=\frac{E C}{E A}$

प्रश्न 15

चित्र में, उभयनिष्ठ विकर्ण $\mathrm{BC}$ के दो समकोण त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ तथा $\mathrm{DBC}$ हैं तथा भुजाएँ $\mathrm{AC}$ तथा DB एक-दूसरे को एक बिन्दु P पर प्रतिच्छेदित करती हैं। सिद्ध कीजिए कि :

AP.PC = DP.PB.

हल : 

दिया है : $\triangle \mathrm{ABC}$ तथा $\triangle \mathrm{DBC}$ भुजा $\mathrm{BC}$ के एक ही ओर हैं। जहाँ $\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{D}=90^{\circ}$ तथा $\mathrm{AC}$ तथा $\mathrm{BD}$ एक-दूसरे को एक बिन्दु P पर मिलती हैं।

सिद्ध करना है : $\mathrm{AP} \times \mathrm{PC}=\mathrm{DP} \times \mathrm{PB}$

उपपत्ति' : $\triangle \mathrm{ABC}$ तथा $\triangle \mathrm{DBC}$ में,

$\angle A=\angle D=90^{\circ}$ (दिया है)

∠BPA=∠CPD ,  (विपरीत कोण हैं)

∠BPA=∠CPD , (उभयनिष्ठ है)

$\Delta \mathrm{BAP} \sim \Delta \mathrm{CDP}$ (AA समरूपता से)

$\frac{\mathrm{BA}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{DP}}=\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{CP}}$

$\mathrm{AP} \times \mathrm{CP}=\mathrm{BP} \times \mathrm{DP}$

अतः : $\mathrm{AP} \times \mathrm{PC}=\mathrm{DP} \times \mathrm{PB}$

प्रश्न 16

निम्न आकृति में क्रमशः OP, OQ तथा OR पर स्थित बिन्दु A, B तथा C इस प्रकार हैं कि $A B \| P Q$ और $A C \| P R$ हैं। दर्शाइए कि $B C \| Q R$ है।

हल : 
$\triangle \mathrm{POQ}$ में, $\mathrm{AB} \| \mathrm{PQ}$(दिया है)
$\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{AP}}=\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{BQ}}$.........(i) (आनुपातिक के आधारभूत प्रमेय से)
और $\triangle \mathrm{POR}$ में ,$\mathrm{AC} \| \mathrm{PR}$ (दिया है) 

 $\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{AP}}=\frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{CR}}$......(ii) (आनुपातिक के आधारभूत प्रमेय से)


समीकरण (i) तथा (ii) से, 

$ \frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{BQ}}=\frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{CR}}$ (जो त्रिभुज QOR में स्थित है)
अतः :$\mathrm{BC} \| \mathrm{QR}$ (थेल्स प्रमेय के विलोम से)